CN108256203A - 一种基于天线撑腿应变的副面变形位置姿态快速计算方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于天线撑腿应变的副面变形位置姿态快速计算方法，包括：确定双反射面天线主面、副面、撑腿及背架结构参数、工作频率及材料属性及应变传感器分布位置及个数；提取天线撑腿上应变传感器的测量值并建立有限元模型；确定天线撑腿与副面连接处的节点及对应的模态振型矩阵；确定天线撑腿上应变传感器处的节点及对应的应变模态振型矩阵；计算天线副面的广义模态坐标；计算天线撑腿与副面连接点位移；计算天线撑腿与副面连接点变形后位置；计算副面顶点变形前后的平移量与连接点变形前后的坐标转换矩阵，得到副面变形后的位置姿态。本发明能够快速有效地计算出天线撑腿与副面连接点的位移，有利于双反射面天线满足电性能的指标要求。

Description

一种基于天线撑腿应变的副面变形位置姿态快速计算方法

技术领域

本发明属于天线技术领域，具体涉及基于天线撑腿应变的副面变形位置姿态快速计算方法。

背景技术

随着大型天线日益广泛地应用在天文观测、卫星跟踪与通信等方面，双反射面天线的口径、频段也在不断地增加，这给天线的结构设计带来了很多挑战，对天线的电性能要求也越来越高。

双反射面天线由于长期暴露在自然环境中，其撑腿容易受到自重以及风、雨雪、太阳照射等环境因素的影响，这些都会使天线撑腿产生应变，导致副反射面的位置和姿态发生改变，进而使天线的电性能指标恶化。因而，快速准确计算出双反射面天线撑腿产生应变后副反射面的位置和姿态，是保证双反射面天线满足其电性能指标要求的关键，有利于天线工作性能达到最优。

目前，有关双反射面天线副反射面的相关学术研究主要是通过调整副反射面的位置姿态来确保满足天线的高性能要求，比如姚建涛,曾达幸,侯雨雷,等.大型射电望远镜天线副反射面调整系统设计与实验研究[J].载人航天,2016(1):69-73，为满足大型射电望远镜天线运动过程中由于重力变形而引起的天线性能的变化,确定并优化了“上海65米射电望远镜系统"天线副反射面调整机构的构型。白瑶君.基于大口径天线结构变形的副面补偿方法的研究[D].西安电子科技大学,2013.中利用主副反射面之间的几何关系，通过计算出副反射面调整量来补偿因主反射面变形而造成的电性能损失。但是，这些都没有考虑双反射面天线撑腿因服役载荷作用产生应变而造成副面位置姿态发生变化的情况，从而直接或间接上导致对天线电性能指标补偿的不准确性。

因此，在对双反射面天线工作性能进行补偿时，有必要考虑在撑腿产生应变的情况下天线撑腿与副面连接点的位移，进而快速获得变形后副面的位置姿态，有利于提高对双反射面天线电性能进行补偿的准确性，使天线工作性能达到最优。

发明内容

为解决现有技术中存在的上述缺陷，本发明的目的在于提供一种基于天线撑腿应变的副面变形位置姿态快速计算方法，本发明方法可用于在双反射面天线撑腿产生应变的情况下，快速有效地计算出天线撑腿与副面连接点的位移，进而获得变形后副面的位置姿态，有利于双反射面天线满足电性能的指标要求，使天线工作性能达到最优。

为了实现上述目的，本发明提供的一种基于天线撑腿应变的副面变形位置姿态快速计算方法，包括下述步骤：

(1)确定双反射面天线主面、副面、撑腿及背架等的结构参数、工作频率及材料属性，及应变传感器分布的位置及个数；

(2)提取天线撑腿上应变传感器测量值，并在ANSYS软件中建立该双反射面天线的有限元模型；

(3)根据有限元模型确定天线撑腿与副面连接处的节点及其对应的模态振型矩阵；

(4)根据有限元模型确定天线撑腿上应变传感器处的节点及其对应的应变模态振型矩阵；

(5)根据得到的步骤(2)中应变传感器测量值和步骤(4)中天线撑腿上应变传感器处节点对应的应变模态振型矩阵，计算双反射面天线副面的广义模态坐标；

(6)根据得到的步骤(5)中双反射面天线副面的广义模态坐标和步骤(3)中天线撑腿与副面连接点对应的模态振型矩阵，计算天线撑腿与副面连接点的位移；

(7)根据得到的步骤(6)中天线撑腿与副面连接点的位移，结合变形前连接点的理想位置，计算天线撑腿与副面连接点变形后的位置；

(8)根据得到的步骤(7)中天线撑腿与副面连接点变形后的位置，计算副面顶点变形前后的平移量与连接点变形前后的坐标转换矩阵，从而得到副面变形后的位置姿态。

本发明进一步限定的方案包括：

所述双反射面天线的结构参数包括反射面口径、面板和撑腿的结构单元排布情况；所述双反射面天线的材料属性包括主面、副面、撑腿及背架材料的密度、弹性模量和泊松比。确定应变传感器分布的位置和个数n。

所述步骤(2)中，天线撑腿上应变传感器测量值为{ε}＝{ε₁,ε₂,...,ε_n}。

所述步骤(3)包括下述步骤：

(3a)在ANSYS软件中对有限元模型进行有限元分析，提取前N(N＝n)阶模态振型β_j，其中1≤j≤N：

式中，S为该有限元模型的总节点个数；

(3b)确定天线撑腿与副面连接处的m个节点，分别为p₁,p₂,...,p_m，依次从N个模态振型中提取这m个节点对应的值，并组合形成这m个天线撑腿与副面连接点处节点对应的模态振型矩阵{β}_m：

所述步骤(4)包括下述步骤：

(4a)在ANSYS软件中对有限元模型进行有限元分析，提取前N(N＝n)阶应变模态振型γ_j：

式中，S为该有限元模型的总节点个数；

(4b)确定天线撑腿上应变传感器处对应的n个节点，分别为q₁,q₂,...,q_n，依次从N个应变模态振型中提取这n个节点对应的值，并组合形成这n个天线撑腿上应变传感器处节点对应的应变模态振型矩阵{γ}_n：

所述步骤(5)中计算双反射面天线副面的广义模态坐标，包括下述步骤：

根据步骤(2)中得到的应变传感器测量的应变值{ε}与步骤(4)中得到的n个天线撑腿上应变传感器处节点对应的应变模态振型矩阵{γ}_n，可求出天线副面的广义模态坐标{r}＝{r₁,r₂,…,r_N}：

{r}＝(({γ}_n)^T({γ}_n))^-1({γ}_n)^T{ε} (1)。

所述步骤(6)中计算天线撑腿与副面连接点的位移，包括下述步骤：

根据得到的步骤(5)中双反射面天线副面的广义模态坐标{r}与步骤(3)中天线撑腿与副面连接点对应的模态振型矩阵{β}_m，可求出天线撑腿与副面连接点的位移{χ}＝{χ₁,χ₂,…,χ_i,…,χ_m},1≤i≤m：

{χ}＝{β}_m{r} (2)。

所述步骤(7)中根据得到的步骤(6)中天线撑腿与副面连接点的位移，结合变形前连接点的理想位置，计算天线撑腿与副面连接点变形后的位置，包括下述步骤：

(7a)根据得到的步骤(6)中天线撑腿与副面连接点的位移{χ}＝{χ₁,χ₂,…,χ_i,…,χ_m},1≤i≤m，假设双反射面天线的副反射面是旋转抛物面，且只发生刚体位移和刚体转动，在以主反射面为顶点的坐标系O-xyz中，副面方程为x²+(y-y₀)²＝4fz，其中副面顶点坐标为(0,y₀,0)，f为焦距；

(7b)假设副面上m个天线撑腿与副面连接点处节点的理想位置为(x_i,y_i,z_i)，且均满足副面方程；天线撑腿产生应变后，这些节点发生相应的位移为

其中，分别为节点在x,y,z方向上的位移分量；通过矢量相加得到节点变形后的位置(x_i',yi',z_i')。

所述步骤(8)包括下述步骤：

(8a)根据得到的步骤(7)中m个天线撑腿与副面连接点处节点变形前后的位置分别为(x_i,y_i,z_i)、(x_i',y_i',z_i')，以及副面顶点变形前后的位置分别为(0,y₀,0)；假设副面顶点变形后的位置为(x'₀,y₀+y'₀,z'₀)，其中x'₀,y'₀,z'₀分别为副面顶点变形前后在x,y,z方向上的平移分量；则在坐标系O-xyz中变形后节点位置与副面顶点之间的距离等于变形前节点位置与副面顶点之间的距离，即

(x_i)²+(y_i-y₀)²+(z_i)²＝(x_i'-x'₀)²+(y_i'-y₀-y'₀)²+(z_i'-z'₀)²

分别取三组(x_i,y_i,z_i)、(x_i',y_i',z_i')坐标代入方程，即可求得副面顶点变形前后的平移量(x'₀,y'₀,z'₀)，也是副反射面变形前后所在位置的平移量；

(8b)已知空间点M(x,y,z)(或物体)绕固定的坐标轴x、y、z依次右手旋转后，新的空间点M^*(x^*,y^*,z^*)在原坐标系中的新坐标为

式中，坐标转化矩阵分别为

在坐标系O-xyz中天线处于初始指平状态，则变形后副反射面上的点在坐标系O-xyz中的坐标为

式中，(x,y,z)为在坐标系O-xyz中副反射面上的点的理想坐标，(x^*,y^*,z^*)由副反射面上的点变形后的位置坐标与副面顶点变形前后平移量(x'₀,y'₀,z'₀)矢量叠加得到，分别为副反射面绕z轴、x轴右手转动的角度；

(8c)变形前后，副反射面所在位置的平移量为(x₁,y₁,z₁)，且变形前的副反射面通过先后绕z轴、x轴右手转动角度可以得到变形后副反射面的姿态。

本发明与现有技术相比，具有以下特点：

1.在研究重力及外界环境载荷等对双反射面天线造成结构变形时，与其他发明相比本发明将天线撑腿产生的应变考虑其中，可消除天线撑腿产生的应变对副面位置姿态产生的影响，可提高天线电性能指标补偿的准确性。

2.本发明可以利用很少的应变传感器快速计算出天线撑腿与副面连接点的位移，无需建模分析重力及外界环境载荷等因素对天线结构的影响，具有成本低、方法简单及计算周期短的优点。

附图说明

图1是本发明基于天线撑腿应变的副面变形位置姿态快速计算方法的流程图；

图2是以主反射面为顶点的坐标系O-xyz示意图；

图3是该双反射面天线的ANSYS结构模型示意图；

图4是该双反射面天线的应变传感器分布位置示意图。

具体实施方式

下面结合附图和实施例对本发明作进一步的详细说明，但并不作为对本发明做任何限制的依据。

参照图1，本发明为基于天线撑腿应变的副面变形位置姿态快速计算方法，具体步骤如下：

步骤1，确定双反射面天线结构方案、应变传感器布局方案。

确定双反射面天线的结构参数包括反射面口径，面板、撑腿的结构单元排布情况；双反射面天线的材料属性包括主面、副面、撑腿及背架材料的密度、弹性模量、泊松比等。并确定应变传感器分布的位置和个数n。

步骤2，提取天线撑腿上应变传感器测量的应变值，并在ANSYS软件中建立该双反射面天线的有限元模型。

天线撑腿上应变传感器测量值为{ε}＝{ε₁,ε₂,...,ε_n}。

步骤3，确定天线撑腿与副面连接处的节点及其对应的模态振型矩阵。

3.1.在ANSYS软件中对结构的有限元模型进行有限元分析，提取前N(N＝n)阶模态振型β_j，其中1≤j≤N：

式中，S为该有限元模型的总节点个数；

3.2.确定天线撑腿与副面连接处的m个节点，分别为p₁,p₂,...,p_m，依次从N个模态振型中提取这m个节点对应的值，并组合形成这m个天线撑腿与副面连接点处节点对应的模态振型矩阵{β}_m：

步骤4，确定天线撑腿上应变传感器处的节点及其对应的应变模态振型矩阵。

4.1.在ANSYS软件中对结构的有限元模型进行有限元分析，提取前N(N＝n)阶应变模态振型γ_j：

式中，S为该有限元模型的总节点个数；

4.2.确定天线撑腿上应变传感器处对应的n个节点，分别为q₁,q₂,...,q_n，依次从N个应变模态振型中提取这n个节点对应的值，并组合形成这n个天线撑腿上应变传感器处节点对应的应变模态振型矩阵{γ}_n：

步骤5，计算双反射面天线副面的广义模态坐标。

根据步骤2中得到的应变传感器测量的应变值{ε}与步骤4中得到的n个天线撑腿上应变传感器处节点对应的应变模态振型矩阵{γ}_n，可求出天线副面的广义模态坐标{r}＝{r₁,r₂,…,r_N}：

{r}＝(({γ}_n)^T({γ}_n))^-1({γ}_n)^T{ε} (1)。

步骤6，计算天线撑腿与副面连接点的位移。

根据得到的步骤5中双反射面天线副面的广义模态坐标{r}与步骤3中天线撑腿与副面连接点对应的模态振型矩阵{β}_m，可求出天线撑腿与副面连接点的位移{χ}＝{χ₁,χ₂,…,χ_i,…,χ_m},1≤i≤m：

{χ}＝{β}_m{r} (2)。

步骤7，计算天线撑腿与副面连接点变形后的位置。

7.1.根据得到的步骤6中天线撑腿与副面连接点的位移{χ}＝{χ₁,χ₂,…,χ_i,…,χ_m},1≤i≤m，假设双反射面天线的副反射面是旋转抛物面，且只发生刚体位移和刚体转动，如图2所示，在以主反射面为顶点的坐标系O-xyz中，副面方程为x²+(y-y₀)²＝4fz，其中副面顶点坐标为(0,y₀,0)，f为焦距；

7.2.假设副面上m个天线撑腿与副面连接点处节点的理想位置为(x_i,y_i,z_i)，且均满足副面方程。天线撑腿产生应变后，这些节点发生相应的位移其中分别为节点在x,y,z方向上的位移分量。通过矢量相加得到节点变形后的位置(x_i',y_i',z_i')。

步骤8，计算副面顶点变形前后的平移量与连接点变形前后的坐标转换矩阵，得到副面变形后的位置姿态。

8.1.根据得到的步骤7中m个天线撑腿与副面连接点处节点变形前后的位置分别为(x_i,y_i,z_i)、(x_i',y_i',z_i')，副面顶点变形前后的位置分别为(0,y₀,0)、(x'₀,y₀+y'₀,z'₀)。由于不考虑副反射面自身发生变形的情况，则在坐标系O-xyz中变形后节点位置与副面顶点之间的距离等于变形前节点位置与副面顶点之间的距离，即(x_i)²+(y_i-y₀)²+(z_i)²＝(x_i'-x'₀)²+(y_i'-y₀-y'₀)²+(z_i'-z'₀)²。因此，分别取三组(x_i,y_i,z_i)、(x_i',y_i',z_i')坐标代入方程，即可求得副面顶点变形前后的平移量(x'₀,y'₀,z'₀)，也是副反射面变形前后所在位置的平移量。

8.2.已知空间点M(x,y,z)(或物体)绕固定的坐标轴x、y、z依次右手旋转后，新的空间点M^*(x^*,y^*,z^*)在原坐标系中的新坐标为

式中，坐标转化矩阵分别为

在坐标系O-xyz中天线处于初始指平状态，则变形后副反射面上的点在坐标系O-xyz中的坐标为

式中，(x,y,z)为在坐标系O-xyz中副反射面上的点的理想坐标，(x^*,y^*,z^*)由副反射面上的点变形后的位置坐标与副面顶点变形前后平移量(x'₀,y'₀,z'₀)矢量叠加得到，分别为副反射面绕z轴、x轴右手转动的角度。代入任意两组坐标值即可求得

8.3.变形前后副反射面所在位置的平移量为(x₁,y₁,z₁)，且变形前的副反射面通过先后绕z轴、x轴右手转动角度可以得到变形后副反射面的姿态。

本发明的优点可通过以下仿真实验进一步说明：

1、确定双反射面天线结构方案、应变传感器布局方案，并建立ANSYS结构有限元模型。

本实施例中，以110米双反射面天线进行实例分析，撑腿桁架结构为beam188单元，单元截面类型均为“口”形梁；副反射面单元类型为shell163，厚度40mm，弹性模量为2E+05MPa，泊松比为0.3，密度为7.8e+03kg/m3；ANSYS结构模型如图3所示。在ANSYS中天线处于指平状态，对已建好的理想情况下天线结构有限元模型施加重力载荷，撑腿结构中共有16个应变传感器，其分布位置如图4所示，在图中应变传感器的位置使对应的单元中点，坐标如表1所示。

表1应变传感器位置处的节点坐标

2、计算天线撑腿与副面连接点处节点的位移

2.1天线撑腿与副面连接处的节点坐标如表2所示，通过ANSYS软件进行网格划分和模态分析，并根据步骤3确定其对应的前16阶模态振型矩阵。

表2天线撑腿与副面连接处的节点坐标

2.2天线仅受重力载荷时天线撑腿上应变传感器测量的应变值如表3所示，并根据步骤4确定其对应的前16阶应变模态振型矩阵。

表3应变传感器测量的应变值

2.3根据公式(1)及步骤5，得到广义模态坐标，如表4所示。

2.4根据公式(2)及步骤6，计算天线撑腿与副面连接点处节点的位移，如表5所示。由表5可知，重力载荷作用下副面目标点在Y方向的变形大于其在X方向、Z方向的变形，Y方向的最大变形量达到-168.7284mm。

表4广义模态坐标

表5天线撑腿与副面连接点处的节点位移

3、计算副面变形后的位置姿态

由于ANSYS软件默认天线初始位置是仰天的，所以这里要把得到的坐标绕x轴转动-90°，即可得到指平天线在坐标系O-xyz中的坐标。根据公式(3)、(4)及步骤(7)、(8)，计算变形前后，副反射面所在位置的平移量为(0.05,-6.49,-2.58)(单位：mm)，且变形前的副反射面通过先后绕z轴、x轴右手转动角度-0.007796°、-0.007796°可以得到变形后副反射面的姿态。

4、分析结果

上述实验可以看出，应用本发明可以通过确定天线撑腿与副面连接处的节点及其对应的模态振型矩阵和天线撑腿上应变传感器处的节点及其对应的应变模态振型矩阵，快速有效地计算天线撑腿与副面连接点的位移，进而获得变形后副面的位置姿态，有利于双反射面天线满足电性能的指标要求，具有重要的学术意义和工程应用价值。

Claims (9)

1.一种基于天线撑腿应变的副面变形位置姿态快速计算方法，其特征在于，包括如下步骤：

(1)确定双反射面天线主面、副面、撑腿及背架的结构参数、工作频率及材料属性，及应变传感器分布的位置及个数；

(2)提取天线撑腿上应变传感器测量值，并在ANSYS软件中建立该双反射面天线的有限元模型；

(3)根据有限元模型确定天线撑腿与副面连接处的节点及其对应的模态振型矩阵；

(4)根据有限元模型确定天线撑腿上应变传感器处的节点及其对应的应变模态振型矩阵；

(5)根据得到的步骤(2)中应变传感器测量值和步骤(4)中天线撑腿上应变传感器处节点对应的应变模态振型矩阵，计算双反射面天线副面的广义模态坐标；

(6)根据得到的步骤(5)中双反射面天线副面的广义模态坐标和步骤(3)中天线撑腿与副面连接点对应的模态振型矩阵，计算天线撑腿与副面连接点的位移；

(7)根据得到的步骤(6)中天线撑腿与副面连接点的位移，结合变形前连接点的理想位置，计算天线撑腿与副面连接点变形后的位置；

(8)根据得到的步骤(7)中天线撑腿与副面连接点变形后的位置，计算副面顶点变形前后的平移量与连接点变形前后的坐标转换矩阵，从而得到副面变形后的位置姿态。

2.根据权利要求1所述的基于天线撑腿应变的副面变形位置姿态快速计算方法，其特征在于，所述双反射面天线的结构参数包括反射面口径、面板和撑腿的结构单元排布情况；所述双反射面天线的材料属性包括主面、副面、撑腿及背架材料的密度、弹性模量和泊松比。

3.根据权利要求1所述的基于天线撑腿应变的副面变形位置姿态快速计算方法，其特征在于，步骤(2)中，天线撑腿上应变传感器测量值为{ε}＝{ε₁,ε₂,...,ε_n}。

4.根据权利要求1所述的基于天线撑腿应变的副面变形位置姿态快速计算方法，其特征在于，步骤(3)按如下过程进行：

(3a)在ANSYS软件中对有限元模型进行有限元分析，提取前N阶模态振型β_j，其中，1≤j≤N，N＝n：

式中，S为该有限元模型的总节点个数；

(3b)确定天线撑腿与副面连接处的m个节点，分别为p₁,p₂,...,p_m，依次从N个模态振型中提取这m个节点对应的值，并组合形成这m个天线撑腿与副面连接点处节点对应的模态振型矩阵{β}_m：

5.根据权利要求1所述的基于天线撑腿应变的副面变形位置姿态快速计算方法，其特征在于，步骤(4)按如下过程进行：

(4a)在ANSYS软件中对有限元模型进行有限元分析，提取前N阶应变模态振型γ_j，其中，N＝n：

式中，S为该有限元模型的总节点个数；

(4b)确定天线撑腿上应变传感器处对应的n个节点，分别为q₁,q₂,...,q_n，依次从N个应变模态振型中提取这n个节点对应的值，并组合形成这n个天线撑腿上应变传感器处节点对应的应变模态振型矩阵{γ}_n：

6.根据权利要求1所述的基于天线撑腿应变的副面变形位置姿态快速计算方法，其特征在于，步骤(5)按如下过程进行：

根据步骤(2)中得到的应变传感器测量的应变值{ε}与步骤(4)中得到的n个天线撑腿上应变传感器处节点对应的应变模态振型矩阵{γ}_n，可求出天线副面的广义模态坐标{r}＝{r₁,r₂,…,r_N}：

{r}＝(({γ}_n)^T({γ}_n))^-1({γ}_n)^T{ε} (1)。

7.根据权利要求6所述的基于天线撑腿应变的副面变形位置姿态快速计算方法，其特征在于，步骤(6)按如下过程进行：

根据得到的步骤(5)中双反射面天线副面的广义模态坐标{r}与步骤(3)中天线撑腿与副面连接点对应的模态振型矩阵{β}_m，可求出天线撑腿与副面连接点的位移{χ}＝{χ₁,χ₂,…,χ_i,…,χ_m},1≤i≤m：

{χ}＝{β}_m{r} (2)。

8.根据权利要求1所述的基于天线撑腿应变的副面变形位置姿态快速计算方法，其特征在于，步骤(7)按如下过程进行：

(7a)根据得到的步骤(6)中天线撑腿与副面连接点的位移{χ}＝{χ₁,χ₂,…,χ_i,…,χ_m},1≤i≤m，假设双反射面天线的副反射面是旋转抛物面，且只发生刚体位移和刚体转动，在以主反射面为顶点的坐标系O-xyz中，副面方程为：

x²+(y-y₀)²＝4fz

其中，副面顶点坐标为(0,y₀,0)，f为焦距；

(7b)假设副面上m个天线撑腿与副面连接点处节点的理想位置为(x_i,y_i,z_i)，且均满足副面方程；天线撑腿产生应变后，这些节点发生相应的位移为：

其中，分别为节点在x,y,z方向上的位移分量；通过矢量相加得到节点变形后的位置(x′_i,y′_i,z′_i)。

9.根据权利要求1所述的基于天线撑腿应变的副面变形位置姿态快速计算方法，其特征在于，步骤(8)按如下过程进行：

(8a)根据得到的步骤(7)中m个天线撑腿与副面连接点处节点变形前后的位置分别为(x_i,y_i,z_i)、(x′_i,y′_i,z′_i)，以及副面顶点变形前后的位置分别为(0,y₀,0)；假设副面顶点变形后的位置为(x′₀,y₀+y′₀,z′₀)，其中x′₀,y′₀,z′₀分别为副面顶点变形前后在x,y,z方向上的平移分量；则在坐标系O-xyz中变形后节点位置与副面顶点之间的距离等于变形前节点位置与副面顶点之间的距离，即

(x_i)²+(y_i-y₀)²+(z_i)²＝(x′_i-x′₀)²+(y′_i-y₀-y′₀)²+(z′_i-z′₀)²

分别取三组(x_i,y_i,z_i)、(x′_i,y′_i,z′_i)坐标代入方程，即可求得副面顶点变形前后的平移量(x′₀,y′₀,z′₀)；

(8b)已知空间点M(x,y,z)或物体绕固定的坐标轴x、y、z依次右手旋转θ、φ后，新的空间点M^*(x^*,y^*,z^*)在原坐标系中的新坐标为

式中，坐标转化矩阵分别为

在坐标系O-xyz中天线处于初始指平状态，则变形后副反射面上的点在坐标系O-xyz中的坐标为

式中，(x,y,z)为在坐标系O-xyz中副反射面上的点的理想坐标，(x^*,y^*,z^*)由副反射面上的点变形后的位置坐标与副面顶点变形前后平移量(x′₀,y′₀,z′₀)矢量叠加得到，θ分别为副反射面绕z轴、x轴右手转动的角度；

(8c)变形前后副反射面所在位置的平移量为(x₁,y₁,z₁)，且变形前的副反射面通过先后绕z轴、x轴右手转动角度θ可以得到变形后副反射面的姿态。