CN108168381A - 一种多枚导弹协同作战的控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种多枚导弹协同作战的控制方法,可以控制多枚导弹在三维空间从不同的方向以指定的落角同时打击静止或运动目标，大大提高了导弹的突防概率和对目标的打击能力，实现对目标的全方向饱和攻击。此方法可应用于多种类型的导弹上，既可用来攻击高价值点固定目标也可用来攻击运动目标，且因算法计算复杂度低计算效率高，不同于传统优化算法可用于在线弹道优化，对于各种干扰类型具有较强的鲁棒性；具有应用灵活、功能较强的特点，具有广阔的军事应用前景。

Description

一种多枚导弹协同作战的控制方法

技术领域

本发明涉及一种在三维空间内控制多枚导弹协同作战时的攻击时间和攻击角度的方法，属于制导技术领域。

背景技术

随着反导技术的不断发展，现代战场中，单枚导弹的作战能力受到很大局限，如果多枚导弹能够协同作战——从不同的方向并以指定的落角同时命中目标，则会大大增强导弹的突防能力和对目标的打击能力，这也将是导弹武器系统未来发展的方向。

如果要求多导弹能够从不同的方向以指定的落角同时命中目标，则需要对导弹的攻击角度和攻击时间同时进行约束，设计同时具有攻击角度和时间约束的制导律。从目前已公开的相关文献来看，对导弹的攻击角度进行约束的制导控制方法较多，对导弹的攻击时间进行约束、对攻击角度和攻击时间同时进行约束的制导控制方法比较少，而对三维空间内的攻击角度和攻击时间进行约束的方法就更少。先技术[1](参见Jeon I S,Lee J I,Tahk M J.Impact-time-control guidance law for anti-ship missiles[J].IEEETransactions on Control Systems Technology,2006,14(2):260-266)、先技术[2](参见Cho D,Kim H J,Tahk M J.Nonsingular Sliding Mode Guidance for Impact TimeControl[J].Journal of Guidance Control&Dynamics,2015,39(1):1-8)分别基于比例导引律、最优控制理论提出了可对攻击时间进行约束的制导律，先技术[3](参见Kang S,KimH J.Differential Game Missile Guidance with Impact Angle and Time Constraints[C]//World Congress.2011:3920-3925)和先技术[4](参见Lee J I,Jeon I S,Tahk MJ.Guidance law to control impact time and angle[J].IEEE Transactions onAerospace&Electronic System)针对二维平面内对攻击时间和攻击角度进行控制的制导律进行了研究。但在三维空间内，同时考虑导弹的方位角、落角以及攻击时间约束的协同制导律目前还未见到。

发明内容

本发明的目的是为了解决多导弹协同作战时同时增强突防能力和对目标的打击能力的问题。提出一种能够控制导弹在三维空间内飞行，实现方位角、落角及攻击时间协同的方法。

一种多枚导弹在三维空间内协同作战的制导控制方法，包括如下步骤：

步骤一、假设各枚导弹纵向采用增强比例导引律，设计导弹基于弹目距离的侧向导引律，得到能够使多枚导弹同时命中目标的且具有攻击时间约束的协同制导律；

步骤二、将步骤一中得到的具有攻击时间约束的所述协同制导律作为初始控制量，采用模型预测静态规划方法MPSP设计控制器，使得各导弹不仅能够同时命中目标，而且能够以指定的方位角和落角在同一时间命中目标，得到同时具有攻击时间和攻击角度约束的三维协同制导律，具体为：

步骤Ⅰ：

目标二维机动的模型表示为：

式中，V_t,ψ_vt分别为目标速度与弹道偏角，a_zt为目标运动的法向加速度，x_t,z_t为目标在水平面内的位置坐标；

将导弹在三维空间内运动的运动学模型和导弹质心运动的动力学方程联立，得到导弹在三维空间的运动模型：

式中，P_m为导弹推力，D_m为导弹飞行过程中所受到的阻力，m为导弹质量，g为重力加速度；V_m,θ_m分别为导弹速度和弹道倾角，x_m,y_m,z_m为导弹的位置坐标；

[V_m,θ_m,ψ_vm,x_m,y_m,z_m]^T为导弹的状态变量；[a_y,a_z]^T为控制变量，初始值为步骤一得到的所述协同制导律；对状态变量和控制变量进行归一化处理，分别得到：

式中，带下标n的参量表示归一化后的变量；

则归一化后的导弹运动方程组为：

将目标运动方程组进行归一化处理得到：

式(21)和(22)中，带下标n的参量表示归一化后的变量，带有上标*的参量代表用以归一化的参考数值；

选取输出变量假设协同攻击时间表示为t^*，其中该协同攻击时间t^*即为步骤一中约束的攻击时间；设仿真时末端终止时间步数为N，根据设定的脱靶量和攻击角度约束，给定理想的末端输出变量

步骤Ⅱ，

将导弹的纵向增强比例导引律指令和步骤一中得到侧向制导指令作为初始控制量，基于模型预测静态规划理论(MPSP)预测末端输出变量Y_N，并判断末端输出变量Y_N是否趋近于理想的末端输出变量如果不满足，基于模型预测静态规划理论MPSP对控制量进行校正，并基于校正后的控制量重新预测末端输出变量Y_N，再根据末端输出变量Y_N是否趋近于理想的末端输出变量的结论来校正控制量；依次类推，直到末端输出变量Y_N趋近于理想的末端输出变量此时的控制量即为能够控制参与协同作战的导弹以约束的攻击角度同时击中目标的制导律指令。

较佳的，所述步骤一中，包括如下具体步骤：

步骤Ⅰ：

设协同飞行的导弹数目为n枚，设另有一枚虚拟领弹，虚拟领弹的纵向即俯仰方向以及侧向即偏航方向均采用如式(1)和(2)所示的增强比例导引律飞行：

式中，a_zc,a_yc分别为相对于水平面和垂直面的指令加速度；V_c为弹目相对速度；和分别表示视线角速度在弹道坐标系下的分量；分别表示目标加速度在导弹弹道坐标系下的分量；a_cmax表示导弹最大指令加速度；K为制导系数；

步骤Ⅱ：

飞行过程中，n枚导弹在俯仰通道同样采用如式(1)所示的增强比例导引律指令；偏航通道设计协同制导指令，使得每枚导弹的弹目距离跟踪虚拟领弹的弹目距离r_l，从而实现协同；其中，任意一枚导弹的弹目距离误差为：

e_r＝r-r_l (3)

对式(3)求导得：

弹目距离变化率的表达式为：

式中，r为导弹和目标之间的距离，即弹目距离；q_θ为俯仰方向视线角，q_ψ为偏航方向视线角，V_t,ψ_vt分别为目标速度、弹道偏角，为待设计的偏航方向导弹速度前置角指令；

将式(5)代入式(4)得：

为使e_r→0，令：

式中，k_r＞0；当导弹实际的偏航方向的速度前置角η_ψ跟踪上时，有

式(8)所示的系统为渐进稳定的系统，将有e_r→0即r→r_l；为简化表示，令

考虑到反余弦三角函数的定义域为[-1,1]，又考虑到导弹飞行过程中实际框架角的限制，即|η_ψc|∈[0,η_ψmax]，其中为最大框架角，需要根据不同的S值确定对应的η_ψc，有

其中η_ψ0为导弹的初始偏航方向速度前置角。采用低通滤波器对进行滤波，有：

式中，为经过低通滤波器后的输出，τ_η为滤波器时间常数；

步骤Ⅲ，

设计加速度指令控制导弹偏航方向的实际速度前置角η_ψ跟踪令x＝η_ψ，u＝a_zc，定义跟踪误差对其求导得：

根据偏航方向速度前置角的定义η_ψ＝q_ψ-ψ_vm，其中，q_ψ为偏航方向的视线角，ψ_vm为偏航方向的速度偏角，式(11)变为

根据导弹偏航方向的动力学模型将式(12)写为：

为使η_ψ快速收敛于指令值令具有如下动态特性：

式中，k＞0；基于动态逆理论得到偏航通道的期望控制指令为：

本发明具有如下有益效果

本发明中的方法可以控制多枚导弹在三维空间从不同的方向以指定的落角同时打击静止或运动目标，大大提高了导弹的突防概率和对目标的打击能力，实现对目标的全方向饱和攻击。此方法可应用于多种类型的导弹上，既可用来攻击高价值点固定目标也可用来攻击运动目标，且因算法计算复杂度低计算效率高，不同于传统优化算法可用于在线弹道优化，对于各种干扰类型具有较强的鲁棒性。因此，本发明中的方法具有应用灵活、功能较强的特点，具有广阔的军事应用前景。

附图说明

图1(a)为本发明的方法流程图；

图1(b)为本发明中基于模型预测静态规划理论MPSP预测末端输出变量并进行迭代优化的算法流程图；

图2(a)、图2(b)图2(c)分别为四枚导弹协同攻击某运动目标的弹道图，其中图2(a)为协同攻击运动目标的总体弹道图，图2(b)为协同攻击目标的xoz平面图即俯视图，图2(c)为协同攻击目标的zoy平面图即侧视图；

图3为导弹c的弹目距离与虚拟领弹的弹目距离差随时间的变化图；

图4为导弹c实际的速度前置角与期望的速度前置角对比图；

图5为导弹c的弹道倾角随时间变化图；

图6为导弹c的弹道偏角随时间变化图；

图7为导弹的纵向控制加速度随时间的变化图；

图8为导弹的侧向控制加速度随时间的变化图。

具体实施方式

下面结合附图和具体实施例对本发明进行详细说明。

当前，在多枚导弹协同作战研究领域中，如何控制各导弹在三维空间内能够从不同的方向以指定的角度同时命中目标是提高导弹的突防能力、增强导弹对目标的打击能力的重要问题。在本发明中：

如图1所示，首先引入虚拟领弹的概念，并假设虚拟领弹纵向和侧向均采用增强比例导引律飞行；n枚导弹纵向采用增强比例导引律飞行，侧向通过调整速度前置角来调整其弹目距离，使得其弹目距离能够跟踪虚拟领弹的弹目距离，从而得到能够使多枚导弹同时对目标进行攻击的协同制导律；将此协同制导律作为初始控制量，在此基础上基于MPSP理论对控制输入——法向加速度进行不断调整，使得各导弹不仅能够同时到达目标，而且到达目标时的攻击方位角和均为指定的角度，即使多导弹在三维空间内从指定的不同方向以指定的落角同时命中目标。

对使用符号的注释：本发明中凡是出现符号上面带“·”的表达式，其采用课本上的表达式，即为对该符号的求导，例如下文中为r对时间的求导。

本发明为控制多枚导弹在三维空间内协同作战的方法，如图1(a)所示，具体的过程为：

步骤一、假设各枚导弹纵向采用增强比例导引律，设计基于弹目距离的侧向导引律，得到能够使多枚导弹同时命中目标的具有攻击时间约束的协同制导律。具体又分为：

步骤Ⅰ，

设有n枚导弹协同飞行，另外有一枚虚拟领弹，虚拟领弹的纵向和侧向都采用如式(41)和(42)所示的增强比例导引律(APN)飞行。

式中，a_zc,a_yc分别为纵向平面和侧向平面的指令加速度；V_c为弹目相对速度；和分别表示视线角速度在弹道坐标系下的分量；分别表示目标加速度在导弹弹道坐标系下的分量；a_cmax表示导弹最大指令加速度；K为制导系数。

步骤Ⅱ，

飞行过程中，n枚导弹在俯仰通道同样采用如式(41)所示的APN制导指令。偏航通道设计协同制导指令，使得每枚导弹的弹目距离r_i(i＝1,2,…n)跟踪虚拟领弹的弹目距离r_l，从而实现协同。以一枚导弹跟踪虚拟领弹为例来说明问题，因此，以下描述中，省略r_i的下标i。

定义弹目距离误差为

e_r＝r-r_l (43)

对式(43)求导得

弹目距离变化率的表达式为

式中，r为导弹和目标之间的距离，q_θ为俯仰方向视线角，q_ψ为偏航方向视线角，V_m,θ_m分别为导弹速度、弹道倾角，V_t,ψ_vt为目标速度与弹道偏角，为待设计的偏航方向导弹速度前置角指令。

将式(45)代入式(44)可得

为使e_r→0，可设计

式中，k_r＞0。当导弹实际的偏航方向的速度前置角η_ψ跟踪上时，有

式(48)所示的系统为渐进稳定的系统，将有e_r→0即r→r_l。为了简化表示，令考虑到反余弦三角函数的定义域为[-1,1]，又考虑到导弹飞行过程中实际框架角的限制即(其中η_ψmax为最大框架角)，需要根据不同的S值确定对应的有

由于式(49)给出的前置角指令及其导数项可能不满足连续性，会对后续的前置角跟踪控制器带来困难，因此采用低通滤波器对其进行滤波，有：

式中，为η_ψc经过低通滤波器后的输出，τ_η为滤波器时间常数。

步骤Ⅲ，

设计加速度指令控制导弹偏航方向的实际速度前置角η_ψ跟踪令x＝η_ψ，u＝a_zc，定义跟踪误差对其求导可得，

根据偏航方向速度前置角的定义η_ψ＝q_ψ-ψ_vm(q_ψ为偏航方向的视线角，ψ_vm为偏航方向的速度偏角)，式(51)变为

根据导弹偏航方向的动力学模型可知式(52)可写为

为使η_ψ快速收敛于指令值令具有如下动态特性：

式中，k＞0。基于动态逆理论得到偏航通道的期望控制指令为

步骤二、将步骤一中得到的具有攻击时间约束的制导律的纵侧向加速度指令作为初始控制量，采用模型预测静态规划方法对控制量进行迭代优化，使得各导弹不仅能够同时命中目标，而且能够以指定的方位角、落角在同一时间命中目标，得到同时具有攻击时间和攻击角度约束的三维协同制导律。具体又分为：

步骤Ⅰ，

导弹在三维空间内运动的运动学模型为

式中，x_m,y_m,z_m为导弹在oxyz坐标系下的位置坐标。

导弹质心运动的动力学方程为

式中，P_m为导弹推力，D_m为导弹飞行过程中所受到的阻力，m为导弹质量，a_y、a_z分别为在考虑导弹自动驾驶仪延迟时的实际纵向和侧向的法向加速度。目标二维机动的模型为

式中，a_zt为目标运动的法向加速度，x_t,z_t,ψ_vt为目标在水平面内的位置坐标和弹道偏角。联立式(56)和式(57)则得到导弹在三维空间的运动模型，

式中，[V_m,θ_m,ψ_vm,x_m,y_m,z_m]^T为导弹的状态变量，[a_y,a_z]^T为控制变量。对状态变量和控制变量进行归一化处理，得到

式中，带下标n的量表示归一化后的变量，带有上标*的量代表归一化的参考数值。则归一化后的导弹运动方程组为

同样将目标运动方程组进行归一化处理得到

式(62)中下标n和上标*表示的意义同导弹运动参数的情况。

选取输出变量假设协同攻击时间为t^*(本专利中，由步骤一中的方法得到)、仿真时末端终止时间步数为N，根据脱靶量和攻击角度约束，给定理想的末端输出变量本步骤的目的为：通过设计控制变量使得在t^*时刻各导弹的输出Y能够趋近于理想的输出变量即满足末端约束

步骤Ⅱ，

将导弹的纵向增强比例导引律指令和步骤一的步骤Ⅱ中得到侧向制导指令作为初始控制量，基于模型预测静态规划理论(MPSP)对初始控制量进行不断调整，如图1(b)所示，直到满足末端约束则得到能够控制参与协同作战的导弹以约束的攻击角度同时击中目标的制导律指令。经过归一化后的导弹非线性运动方程组可表示为

式中，为该控制系统的状态变量、为控制变量。采用欧拉法对动力学模型进行离散化处理，得到

式中，k表示第k步，h为积分步长。MPSP预测-校正制导的原理是：利用现有的状态量和控制量，来获取新的控制量，使得最终的输出Y_N无限接近期望的终端值定义末端时刻输出量偏差将Y_N在处进行泰勒展开并忽略高阶项，可得到

式(65)中的

根据式(64)，可写出在第k+1步的误差为

dX_k和dU_k分别为第k步的状态量误差和控制量误差，且

式中，

F_k对U_k的偏导数为

令k＝N-1，由式(67)得到dX_N，再将其代入式(65)得

式(71)中的dX_N-1可以根据式(67)由(N-2)时刻的控制变量和状态变量偏差确定，dX_N-2可以以dX_N-3和dU_N-3的形式展开，以此类推，直到k＝1，得

dY_N＝AdX₁+B₁dU₁+B₂dU₂+...+B_N-1dU_N-1 (72)

式中，

其中，k＝1,...,N-2。因为状态变量的初始值是确定的，所以第一步的状态变量误差为0，即dX₁＝0。于是式(72)写为

B_k称为敏感矩阵，其可以由递归算法计算出来。定义为

可写为

敏感矩阵B_k可以写为

由式(75-77)可知，敏感矩阵可以逐步迭代求解出来。

如果终端误差不满足要求，MPSP方法引入最优控制理论对控制量进行校正，然后重新预测终端状态。式(74)中含有(N-1)m个未知变量和p个方程，且通常p≤(N-1)m，方程组的解是不唯一的，因此采用最优化理论求得使某设定的性能指标最小的解。设优化约束条件为：

式中，为先前的控制变量，dU_k为控制变量的偏差，为调整后的控制量，R_k为正定的权重函数。选择式(78)所示的性能指标函数是为了使整个过程中的控制能量最小。MPSP技术的设计目标为在式(74)的约束下求解dU_k使性能指标函数(78)最小。式(74)和(78)构成了约束条件下的静态规划问题。根据静态规划理论可得

式中

所以在k＝1,...,N-1时更新后的控制变量为

式(80)即能生成使多枚导弹实现以指定的方位角、落角同时攻击目标的协同制导控制指令。

以下为三维空间内协同制导方法的验证:

假设四枚导弹(导弹a、导弹b、导弹c、导弹d)协同攻击一个在水平面内运动的目标，目标的初始位置在地面坐标系的原点即为(0m,0m,0m)，其运动速度为20m/s，法向加速度为sin(0.6t)m/s²。虚拟领弹及4枚导弹的初始参数如表1所示。

表1虚拟领弹及4枚导弹的初始参数

虚拟领弹纵侧向均采用比例系数K＝3的APN，导弹a、导弹b、导弹c、导弹d的理想落角、方位角分别为(-30°,-140°)、(-20°,-80°)、(-45°,90°)、(-75°,-90°)。

协同策略中，k_r＝1，低通滤波器中，时间常数τ＝0.01，自动驾驶仪延迟系数为0.3，仿真步长为0.01。四枚导弹协同作战时的弹道如图2所示，以导弹c例，其他特征如图3-7所示。

多导弹协同制导律的设计是导弹协同作战的关键技术。协同制导律设计中一般会采用具有攻击时间约束的制导律来实现多导弹同时击中目标，以达到协同目的。目前广泛应用的约束攻击时间的方法，是在控制量中对剩余飞行时间和期望时间之间偏差进行补偿，但关于剩余飞行时间的估计一直都是一个难题。在大部分的研究成果中，都是在导弹常速假设和目标静止条件下进行多次近似后计算导弹的剩余飞行时间，而在实际作战中假设难以成立，这就降低了协同效果的准确性。目前针对具有攻击时间约束的协同制导律研究中，虽然部分避免了剩余飞行时间的估计问题，但是大部分只适用于导弹在二维平面内攻击静止目标时的情况，因此研究三维空间内可用于攻击运动目标的协同制导律具有重要意义。

为实现饱和攻击，协同制导需满足攻击时间的约束，在此基础上为了提高导弹的突防能力和杀伤力，对攻击角度也提出一定的要求。目前，针对三维空间内单独具有攻击角度约束的制导律研究取得了一定成果，但单独具有攻击时间约束的制导方法研究较少，而对同时具有攻击时间和攻击角度约束的三维协同制导律的研究则更少。针对三维空间的同时具有攻击时间和攻击角度约束的协同制导问题急需进一步研究。

本发明中的方法可以控制多枚导弹在三维空间从不同的方向以指定的落角同时打击静止或运动目标，大大提高了导弹的突防概率和对目标的打击能力，实现对目标的全方向饱和攻击。此方法可应用于多种类型的导弹上，既可用来攻击高价值点固定目标也可用来攻击运动目标，且因算法计算复杂度低计算效率高，不同于传统优化算法可用于在线弹道优化，对于各种干扰类型具有较强的鲁棒性。因此，本发明中的方法具有应用灵活、功能较强的特点，具有广阔的军事应用前景。

Claims (2)

1.一种多枚导弹在三维空间内协同作战的制导控制方法，其特征在于，包括如下步骤：

步骤一、假设各枚导弹纵向采用增强比例导引律，设计导弹基于弹目距离的侧向导引律，得到能够使多枚导弹同时命中目标的且具有攻击时间约束的协同制导律；

步骤二、将步骤一中得到的具有攻击时间约束的所述协同制导律作为初始控制量，采用模型预测静态规划方法MPSP设计控制器，使得各导弹不仅能够同时命中目标，而且能够以指定的方位角和落角在同一时间命中目标，得到同时具有攻击时间和攻击角度约束的三维协同制导律，具体为：

步骤Ⅰ：

目标二维机动的模型表示为：

式中，V_t,ψ_vt分别为目标速度与弹道偏角，a_zt为目标运动的法向加速度，x_t,z_t为目标在水平面内的位置坐标；

将导弹在三维空间内运动的运动学模型和导弹质心运动的动力学方程联立，得到导弹在三维空间的运动模型：

式中，P_m为导弹推力，D_m为导弹飞行过程中所受到的阻力，m为导弹质量，g为重力加速度；V_m,θ_m分别为导弹速度和弹道倾角，x_m,y_m,z_m为导弹的位置坐标；[V_m,θ_m,ψ_vm,x_m,y_m,z_m]^T为导弹的状态变量；[a_y,a_z]^T为控制变量，初始值为步骤一得到的所述协同制导律；对状态变量和控制变量进行归一化处理，分别得到：

式中，带下标n的参量表示归一化后的变量；

则归一化后的导弹运动方程组为：

将目标运动方程组进行归一化处理得到：

式(21)和(22)中，带下标n的参量表示归一化后的变量，带有上标*的参量代表用以归一化的参考数值；

选取输出变量假设协同攻击时间表示为t*，其中该协同攻击时间t*即为步骤一中约束的攻击时间；设仿真时末端终止时间步数为N，根据设定的脱靶量和攻击角度约束，给定理想的末端输出变量

步骤Ⅱ，

将导弹的纵向增强比例导引律指令和步骤一中得到侧向制导指令作为初始控制量，基于模型预测静态规划理论(MPSP)预测末端输出变量Y_N，并判断末端输出变量Y_N是否趋近于理想的末端输出变量如果不满足，基于模型预测静态规划理论MPSP对控制量进行校正，并基于校正后的控制量重新预测末端输出变量Y_N，再根据末端输出变量Y_N是否趋近于理想的末端输出变量的结论来校正控制量；依次类推，直到末端输出变量Y_N趋近于理想的末端输出变量此时的控制量即为能够控制参与协同作战的导弹以约束的攻击角度同时击中目标的制导律指令。

2.如权利要求1所述的一种多枚导弹在三维空间内协同作战的制导控制方法，其特征在于，所述步骤一中，包括如下具体步骤：

步骤Ⅰ：

设协同飞行的导弹数目为n枚，设另有一枚虚拟领弹，虚拟领弹的纵向即俯仰方向以及侧向即偏航方向均采用如式(1)和(2)所示的增强比例导引律飞行：

式中，a_zc,a_yc分别为相对于水平面和垂直面的指令加速度；V_c为弹目相对速度；和分别表示视线角速度在弹道坐标系下的分量；分别表示目标加速度在导弹弹道坐标系下的分量；a_cmax表示导弹最大指令加速度；K为制导系数；

步骤Ⅱ：

飞行过程中，n枚导弹在俯仰通道同样采用如式(1)所示的增强比例导引律指令；偏航通道设计协同制导指令，使得每枚导弹的弹目距离跟踪虚拟领弹的弹目距离r_l，从而实现协同；其中，任意一枚导弹的弹目距离误差为：

e_r＝r-r_l (3)

对式(3)求导得：

弹目距离变化率的表达式为：

式中，r为导弹和目标之间的距离，即弹目距离；q_θ为俯仰方向视线角，q_ψ为偏航方向视线角，V_t,ψ_vt分别为目标速度、弹道偏角，为待设计的偏航方向导弹速度前置角指令；

将式(5)代入式(4)得：

为使e_r→0，令：

式中，k_r＞0；当导弹实际的偏航方向的速度前置角η_ψ跟踪上时，有

式(8)所示的系统为渐进稳定的系统，将有e_r→0即r→r_l；为简化表示，令

考虑到反余弦三角函数的定义域为

[-1,1]，又考虑到导弹飞行过程中实际框架角的限制，即其中为最大框架角，需要根据不同的S值确定对应的η_ψc，有

其中η_ψ0为导弹的初始偏航方向速度前置角。采用低通滤波器对进行滤波，有：

式中，为经过低通滤波器后的输出，τ_η为滤波器时间常数；

步骤Ⅲ，

设计加速度指令控制导弹偏航方向的实际速度前置角η_ψ跟踪令x＝η_ψ，u＝a_zc，定义跟踪误差对其求导得：

根据偏航方向速度前置角的定义η_ψ＝q_ψ-ψ_vm，其中，q_ψ为偏航方向的视线角，ψ_vm为偏航方向的速度偏角，式(11)变为

根据导弹偏航方向的动力学模型将式(12)写为：

为使η_ψ快速收敛于指令值令具有如下动态特性：

式中，k＞0；基于动态逆理论得到偏航通道的期望控制指令为：