CN108090312B - 一种获取圆柱滚子轴承载荷分布的方法 - Google Patents

Abstract

本申请涉及一种获取圆柱滚子轴承载荷分布的方法，包括如下步骤：建立获取圆柱滚子轴承载荷分布的非线性代数方程组；首先假定所有滚子均与轴承内滚道接触，获得所有H_j的值，求解上述非线性代数方程组，得到关于δ_r，δ_ij和δ_oj的数值解；检查上述数值解中的所有δ_ij是否均为非负解：若是，则在上述步骤中获得的数值解即为最终的真实物理解；若否，则按照滚子与轴承径向载荷作用点处的距离远近依次选取一组新的H_j值，重复上面的对非线性方程组的求解和对δ_ij的检查，直至δ_ij均为非负解，则所获得的关于δ_r，δ_ij和δ_oj的数值解即为最终的真实物理解。本方法更易于获得实际物理解，迭代轮次可控，效率高，更适于工程应用。

Description

一种获取圆柱滚子轴承载荷分布的方法

技术领域

本申请涉及一种获取圆柱滚子轴承载荷分布的方法，属于圆柱滚子轴承载荷分布计算方法领域。

背景技术

圆柱滚子轴承的主要组成部分为内滚道、外滚道、圆柱滚子以及保持架。该类轴承通过利用滚子沿内滚道和外滚道的运动来实现旋转机械系统的静止部件与运动部件之间的联系，或者来实现不同运动部件之间的联系。对于圆柱滚子轴承而言，滚子与内滚道或外滚道的接触属于线接触。

圆柱滚子轴承广泛应用于旋转机械中，载荷分布问题是研究圆柱滚子轴承承载能力、刚度、寿命等的基础。圆柱滚子轴承的载荷分布求解的目的是：在一定的工况条件下，通过计算得到轴承的位移、滚动体分别与内滚道、外滚道之间的接触变形和接触载荷等。目前已经提出并被广泛应用的计算圆柱滚子轴承载荷分布的方法存在诸多缺陷，例如，传统方法不能满足全部载荷工况下的求解问题，或者，方法属于经验公式，导致应用范围受限；计算过程中不能充分顾及载荷分布问题的物理背景，导致所求解的结果没有物理意义等。

关于圆柱滚子轴承的载荷分布问题，在历史上，有许多研究人员做了大量的工作，提出了许多可用的方法，这些方法主要分为两类：基于试验的经验公式方法和基于迭代计算的数学方法。

基于试验的经验公式法适用于工况简单的载荷分布问题的计算，不能考虑转速、游隙等带来的影响。更重要的是，经验公式法的计算精度较低，只能用于粗略估算，很多情况下已经无法满足实际工程需求。

基于迭代计算的数学方法是在经验公式法之后提出的，该方法相比于经验公式法计算精度有了很大的提高，但是由于该方法没有充分考虑圆柱滚子轴承载荷分布问题的物理背景，导致求解出的结果会出现没有物理意义的情况，即使改变迭代计算的初值,往往也不能收敛到真实的结果。该方法的代表是Jones和Harr i s提出的经典方法，通过建立滚子的受力方程和轴承内圈的受力方程构成求解圆柱滚子轴承载荷分布的非线性代数方程组，进而通过迭代方法计算该非线性方程组的解，直至得出收敛的解，即认为该解为载荷分布问题的最终结果。但是，这种方法由于迭代过程中只能从数学意义上控制计算的过程，得出的解往往只是数学意义上的真解，而非物理意义上的真解，即使改变初值，重新进行迭代计算，也很难找到既满足数学上的收敛条件又满足物理条件的解，导致无法得出载荷分布问题的真实解，这是该方法在实际应用中非常棘手的问题。

因此，目前，亟待提出一种能够克服现有技术中存在的缺点的获取圆柱滚子轴承载荷分布的方法。

发明内容

本申请的目的就是克服现有技术存在的缺点，在保证计算精度的同时，经过可控的计算次数得到圆柱滚子轴承载荷分布的真实解，从而克服现有方法在求解时的盲目性，大大减少试错的次数，并且扩大了方法的适用范围。

本申请提出了一种获取圆柱滚子轴承载荷分布的方法，该方法包括如下步骤：

步骤一、建立获取圆柱滚子轴承载荷分布的非线性代数方程组：

Q_oj-H_jQ_ij-F_cj＝0 j＝1,2,...,z (1)

其中，j为滚子编号，Q_ij为第j个滚子与轴承内滚道的接触力，Q_oj为第j个滚子与轴承外滚道的接触力，F_cj为第j个滚子受到的离心力，H_j为第j个滚子的接触状态系数，ω_j为第j个滚子的角速度，m为滚子的质量，R为滚子中心所在节圆的半径，指数n为10/9，K_ij和K_oj分别表示第j个滚子与轴承内滚道和外滚道接触的接触刚度系数，δ_ij和δ_oj分别表示第j个滚子与轴承内滚道和外滚道的接触变形量，F_r为圆柱滚子轴承受到的外部径向载荷，z为滚子数，

表示第j个滚子的角位置，δ_r为轴承内圈的位移，P_d为轴承的直径游隙；

步骤二、假定所有滚子均与轴承内滚道接触，从而确定所有滚子对应的H_j的值，求解上述非线性代数方程组(1)-(7)，得到关于δ_r，δ_ij和δ_oj的数值解；

步骤三、检查上述数值解中的所有δ_ij是否均为非负解：若是，则在上述步骤二中获得的数值解即为最终的真实物理解；若否，则假定最远离轴承径向载荷作用点处的滚子与轴承内滚道脱离，其余滚子与轴承内滚道接触，从而确定所有滚子对应的H_j的值，然后重新求解上述的非线性代数方程组(1)-(7)，得到关于δ_r，δ_ij和δ_oj的数值解；

步骤四、检查在步骤三中获得的数值解中的所有δ_ij是否均为非负解：若是，则该数值解即为最终的真实物理解；若否，则假定进一步靠近轴承径向载荷作用点处的滚子也与轴承内滚道脱离，其余滚子与轴承内滚道接触，从而确定所有滚子对应的H_j的值，重新求解上述的非线性代数方程组(1)-(7)，得到关于δ_r，δ_ij和δ_oj的数值解；

步骤五、检查在步骤四中获得的数值解中的所有δ_ij是否均为非负解：若是，则在上述步骤四中获得的数值解即为最终的真实物理解；若否，则继续假定更进一步靠近轴承径向载荷作用点处的滚子也与轴承内滚道脱离，其余滚子与轴承内滚道接触，从而确定所有滚子对应的H_j的值，重复上面的对非线性代数方程组(1)-(7)的求解和对δ_ij的检查步骤，直至δ_ij均为非负解，则所获得的关于δ_r，δ_ij和δ_oj的数值解即为最终的真实物理解。

对于一般的圆柱滚子轴承，K_ij和K_oj相差不大，可认为相等，因此，可假设K_ij＝K_oj。

对于钢制圆柱滚子轴承，接触刚度系数可通过下式计算：

K_ij＝K_oj＝K＝8.05×10⁴×(1000l)^8/9×1000^10/9 (8)

在式(9)中，l是滚子与滚道的线接触长度，单位为m，接触刚度系数的单位为N/m^{10 /9}。

优选地，采用牛顿-拉夫逊方法求解上述非线性代数方程组。

对于本申请的获取圆柱滚子轴承载荷分布的方法，当滚子数z为偶数时，求解上述非线性方程组的次数不超过z/2+1次。

对于本申请的获取圆柱滚子轴承载荷分布的方法，当滚子数z为奇数时，求解上述非线性方程组的次数不超过(z-1)/2+1次。

本申请的方法在建立圆柱滚子轴承的力学模型时考虑了轴承的直径游隙以及轴承转速的影响，并提出了一种结合物理含义求解非线性代数方程组数学模型的方法，利用本申请获得圆柱滚子轴承载荷分布具有以下几个优点：

第一，本申请相对于经验公式法计算精度更高；

第二，本申请适用的圆柱滚子轴承的工况范围更宽，可以包括更极端的载荷条件，并且可以考虑轴承转速和间隙的影响等。

第三，本申请相对于基于迭代的数学方法计算次数更加可控。由于迭代初值估计的随机性，采用基于迭代的数学方法的计算过程充满了不确定性，若初值选择不好的话，有可能需要多次尝试改变初值，进行多轮次的迭代计算，甚至无法获得收敛解。迭代的本质决定了这种尝试初值的办法极其低效，在实际应用中经常出现求解失败的情况，非常不利于工程应用。而应用本申请，结合实际物理含义选择初值，更易于获得最终的实际物理解，并且迭代计算的轮次是可控的，效率更高，更适于工程应用。

附图说明

附图示出了本申请的示例性实施方式，并与其说明一起用于解释本申请的原理，其中包括了这些附图以提供对本申请的进一步理解，并且附图包括在本说明书中并构成本说明书的一部分：

图1是本申请的获取圆柱滚子轴承载荷分布的方法的流程示意图；

图2是圆柱滚子轴承的结构及受载简图(滚子数z为12)；

图3是圆柱滚子轴承的结构及受载简图(滚子数z为11)；

图4是圆柱滚子轴承的第j个滚子的受载简图；

图5是圆柱滚子轴承的物理模型；和

图6是圆柱滚子轴承的数学模型。

具体实施方式

下面结合附图和实施例对本申请作进一步的详细说明。可以理解的是，此处所描述的具体实施例仅用于解释相关内容，而非对本申请的限定。另外还需要说明的是，为了便于描述，附图中仅示出了与本申请相关的部分。

需要说明的是，在不冲突的情况下，本申请中的实施例及实施例中的特征可以相互组合，下面将参考本申请的获取圆柱滚子轴承载荷分布的方法的流程示意图图1并结合实施例来详细说明本申请。

为了在充分考虑圆柱滚子轴承工作的工况条件的情况下计算出其载荷分布，需要计及间隙、转速及外载荷的影响来建立圆柱滚子轴承的力学模型。为了详细地说明本申请的技术方案，本申请分别对轴承内滚子的数目为偶数和奇数的情况进行说明。在本实施例中，对于轴承内滚子的数目为偶数的情况，选取滚子数目z为12；对于轴承内滚子的数目为奇数的情况，选取滚子数目z为11。但对于本申请，轴承的滚子数不限于此。通常情况下，圆柱滚子轴承只承受外部径向载荷，因此，此处假设圆柱滚子轴承只承受外部径向载荷F_r，根据轴承的结构特征以及其内部滚子沿着滚道的分布呈周期性变化的特点可知，在求解载荷分布问题时，上述假设是完全合理的，轴承内滚子的数目为偶数和奇数的情况下轴承内滚子分部以及轴承受载情况分别如图2和图3所示。

为了建立获取圆柱滚子轴承载荷分布的物理和数学模型，即建立获取圆柱滚子轴承载荷分布的非线性代数方程组(101)，首先分析轴承中滚子的受力。任取圆柱滚子轴承内编号为j的滚子进行受力分析，其所受到的作用力如图4所示，包括滚子与轴承内滚道的接触力Q_ij、滚子与轴承外滚道的接触力Q_oj以及滚子受到的离心力F_cj。根据达朗贝尔原理，滚子的力平衡方程为

Q_oj-H_jQ_ij-F_cj＝0 j＝1,2,...,z (1)

若设第j个滚子的角速度为ω_j，则第j个滚子受到的离心力为

在式(2)中，m表示滚子的质量，R表示滚子中心所在节圆的半径。

根据赫兹接触理论，

在式(3)与式(4)中，对于圆柱滚子轴承，指数n为10/9。K_ij和K_oj分别表示滚子与轴承内滚道和外滚道接触的接触刚度系数，δ_ij和δ_oj分别表示滚子与轴承内滚道和外滚道的接触变形量。

对于一般的圆柱滚子轴承，K_ij和K_oj相差不大，可认为相等，因此，可以假设K_ij＝K_oj。

此外，在式(1)中，H_j为接触状态系数，用于表征滚子与轴承内滚道的接触状态，其表达式如下

在计算过程中，H_j需要根据滚子的接触状态确定。

本申请仅考虑轴承内圈承受外载荷的情况，因此轴承的受力分析就是指轴承内圈的受力分析，内圈受到的载荷来自外载以及与之接触的滚子，因此，轴承的受力平衡方程如下：

在式(6)中，j表示滚子的编号，z表示轴承内滚子的个数，

表示第j个滚子的角位置，F_r为已知的圆柱滚子轴承受到的外部径向载荷。

除了上述方程之外，还需要补充滚子变形与轴承内圈位移之间的变形协调方程：

其中δ_r表示轴承内圈的位移，P_d表示轴承的直径游隙。

至此，式(1)—(7)构成了求解圆柱滚子轴承载荷分布的非线性代数方程组，在求解该方程组前，还需要明确接触状态系数H_j的确定方法，应该说H_j的确定是载荷分布问题成功求解的关键。

由于保持架的存在，滚子沿节圆均匀分布在圆柱滚子轴承内。当滚子数为偶数时，坐标系o-xy如图2中位置进行布置，当滚子数为奇数时，坐标系o-xy如图3中位置进行布置。如上所述的，在本实施例中，仅以滚子数为12和11两种情况给出本申请的获取圆柱滚子轴承载荷分布的方法的说明，对于其他滚子数的情况，可以类推。

由图2可知，当滚子数为偶数时，滚子相对于轴承载荷的作用线呈左右对称分布，随着轴承载荷的增大或者轴承转速的提高，滚子会自上而下地逐渐脱离与内滚道的接触，并且，相对于载荷作用线呈左右对称位置的滚子会同时脱离接触。以图2中的轴承为例，脱离接触的滚子编号组合只能是表1中给出的情况。同理，当滚子数为奇数时，如图3所示，脱离接触的滚子编号组合只能是表2中给出的情况。

表1脱离接触的滚子编号组合(z＝12)

表2脱离接触的滚子编号组合(z＝11)

然而，在未求解之前，轴承内的载荷分布显然是未知的，因此脱离接触的滚子编号是表1或2中的哪一组也是未知的，也就导致H_j的值不能在求解之前确定。为了解决这个问题，通过分析所求解问题的物理特征，本申请提出获取圆柱滚子轴承载荷分布的新方法。

具体而言，在本申请中，确定H_j的值以及求解方法采取以下方式：

在初始计算时，假定所有的滚子均与轴承内滚道接触，即所有滚子对应的H_j的值均为1，利用求解非线性代数方程组的方法、例如牛顿-拉夫逊方法来求解上面获得的非线性代数方程组，此时会得到一组收敛解，该解中包含了轴承的位移δ_r以及各个滚子与轴承内滚道和外滚道的接触变形量δ_ij和δ_oj(102)。

检查上述解中包含的所有滚子与内滚道的接触变形量δ_ij，此时可能会发现有些滚子的接触变形δ_ij为负值。就物理意义而言，接触变形δ_ij为正值表示产生的是压缩变形，为负值则表示产生的是拉伸变形。虽然在收敛的数学解中δ_ij出现负值是合理，但是，显然，在本申请所要解决的圆柱滚子轴承载荷分布这个物理问题中，出现拉伸变形是不合理的。也就是说，此时，求解非线性代数方程组获得的数学解与真实物理解不一致。

这种数学解与真实物理解的不一致可从图5和图6的比较直观地看出。图5示出圆柱滚子轴承的物理简化模型，如图所示，与滚子连接的弹簧与内、外滚道之间都存在间隙，而且弹簧只能产生压缩变形。图6示出数值求解算法所对应的数学模型，其中假设滚子质心通过弹簧与轴承内外滚道连接，弹簧与滚道之间始终保持连接，并且弹簧不仅可以产生压缩变形，也可以产生拉伸变形。

具体地，检查上述数值解中的所有δ_ij是否均为非负解(103)：若是，则在上述步骤二中获得的数值解即为最终的真实物理解(104)；若否，则假定最远离轴承径向载荷作用点处的滚子与轴承内滚道脱离，对于z＝12的实施例，根据表1，选取滚子编号为7；对于z＝11的实施例，根据表2，选取滚子编号为6、7，认为所选取的滚子编号对应的滚子脱离轴承内滚道，其余滚子与轴承内滚道接触，从而确定所有滚子对应的H_j的值，然后重新求解上述的非线性代数方程组(1)-(7)，得到关于δ_r，δ_ij和δ_oj的数值解(105)。

检查在上一步骤中获得的数值解中的所有δ_ij是否均为非负解(106)，若是，则该数值解即为最终的真实物理解(107)；若否，则假定进一步靠近轴承径向载荷作用点处的滚子也与轴承内滚道脱离，即此次选取的滚子编号与之前选取的滚子编号所对应的滚子脱离轴承内滚道，其余滚子与轴承内滚道接触，从而重新确定所有滚子对应的H_j的值，重新求解上述的非线性代数方程组(1)-(7)，得到一组关于δ_r，δ_ij和δ_oj的数值解(108)。

检查在上步骤中获得的数值解中的所有δ_ij是否均为非负解(109)：若是，则在上述步骤四中获得的数值解即为最终的真实物理解(110)；若否，则继续假定更进一步靠近轴承径向载荷作用点处的滚子也与轴承内滚道脱离，即逐步增加处于与轴承内滚道脱离的滚子，其余滚子与轴承内滚道接触，从而确定所有滚子对应的H_j的值，重复上面的对非线性代数方程组(1)-(7)的求解和对δ_ij的检查步骤，直至δ_ij均为非负解，则所获得的关于δ_r，δ_ij和δ_oj的数值解即为最终的真实物理解。

对于z＝12的实施例，根据表1，每次求解非线性方程组顺次选取的滚子编号为7；6和8；5和9；4和10；3和11；2和12。

对于z＝11的实施例，根据表2，每次求解非线性方程组顺次选取的滚子编号为6和7；5和8；4和9；3和10；2和11。

值得一提的是，本申请提出的方法正是通过利用数学解和真实物理解的不一致性来确定脱离接触的滚子编号组合。只要解中包含的滚子的接触变形δ_ij存在负值，就在表1或2中按自上而下的顺序选取一组编号组合，认为所选取的编号组合对应的滚子是脱离内滚道的，其余滚子则与内滚道处于接触状态，从而确定所有滚子对应的H_j的值，然后重新利用求解非线性代数方程组的方法、例如牛顿-拉夫逊方法来求解上面获得的非线性代数方程组，得到一组收敛解。

以上实施例虽仅针对滚子数z＝11和z＝12的情况说明H_j的值的选取，但本申请不限于此，本领域技术人员能够根据对本申请的实施例的说明理解如何通过上面所述的依据滚子与轴承径向载荷作用点处的距离远近逐步增加与轴承内滚道脱离的滚子数目来选取H_j的值。

另外，对于钢制圆柱滚子轴承，通常采用下式来计算K_ij和K_oj：

K_ij＝K_oj＝K＝8.05×10⁴×(1000l)^8/9×1000^10/9 (8)

在式(8)中，l是滚子与滚道的线接触长度，单位为m，接触刚度系数的单位为N/m^{10 /9}。

本领域的技术人员应当理解，上述实施方式仅仅是为了清楚地说明本申请，而并非是对本申请的范围进行限定。对于所属领域的技术人员而言，在上述公开的基础上还可以做出其它变化或变型，并且这些变化或变型仍处于本申请的范围内。

Claims (6)

1.一种获取圆柱滚子轴承载荷分布的方法，包括如下步骤：

步骤一、建立获取圆柱滚子轴承载荷分布的非线性代数方程组(101)：

Q_oj-H_jQ_ij-F_cj＝0 j＝1,2,...,z (1)

其中，j为滚子编号，Q_ij为第j个滚子与轴承内滚道的接触力，Q_oj为第j个滚子与轴承外滚道的接触力，F_cj为第j个滚子受到的离心力，H_j为第j个滚子的接触状态系数，ω_j为第j个滚子的角速度，m为滚子的质量，R为滚子中心所在节圆的半径，指数n为10/9，K_ij和K_oj分别表示第j个滚子与轴承内滚道和外滚道接触的接触刚度系数，δ_ij和δ_oj分别表示第j个滚子与轴承内滚道和外滚道的接触变形量，F_r为圆柱滚子轴承受到的外部径向载荷，z为滚子数，

表示第j个滚子的角位置，δ_r为轴承内圈的位移，P_d为轴承的直径游隙；

步骤二、假定所有滚子均与轴承内滚道接触，从而确定所有滚子对应的H_j的值，求解上述非线性代数方程组(1)-(7)，得到关于δ_r，δ_ij和δ_oj的数值解(102)；

步骤三、检查上述数值解中的所有δ_ij是否均为非负解(103)：若是，则在上述步骤二中获得的数值解即为最终的真实物理解(104)；若否，则假定最远离轴承径向载荷作用点处的滚子与轴承内滚道脱离，其余滚子与轴承内滚道接触，从而确定所有滚子对应的H_j的值，然后重新求解上述的非线性代数方程组(1)-(7)，得到关于δ_r，δ_ij和δ_oj的数值解(105)；

步骤四、检查在步骤三中获得的数值解中的所有δ_ij是否均为非负解(106)：若是，则该数值解即为最终的真实物理解(107)；若否，则假定进一步靠近轴承径向载荷作用点处的滚子也与轴承内滚道脱离，其余滚子与轴承内滚道接触，从而确定所有滚子对应的H_j的值，重新求解上述的非线性代数方程组(1)-(7)，得到关于δ_r，δ_ij和δ_oj的数值解(108)；

步骤五、检查在步骤四中获得的数值解中的所有δ_ij是否均为非负解(109)：若是，则在上述步骤四中获得的数值解即为最终的真实物理解(110)；若否，则继续假定更进一步靠近轴承径向载荷作用点处的滚子也与轴承内滚道脱离，其余滚子与轴承内滚道接触，从而确定所有滚子对应的H_j的值，重复上面的对非线性代数方程组(1)-(7)的求解和对δ_ij的检查步骤，直至δ_ij均为非负解，则所获得的关于δ_r，δ_ij和δ_oj的数值解即为最终的真实物理解。

2.根据权利要求1所述的获取圆柱滚子轴承载荷分布的方法，其特征在于，K_ij＝K_oj。

3.根据权利要求2所述的获取圆柱滚子轴承载荷分布的方法，其特征在于，对于钢制圆柱滚子轴承，

K_ij＝K_oj＝K＝8.05×10⁴×(1000l)^8/9×1000^10/9 (8)

在式(8)中，l是滚子与滚道的线接触长度，单位为m，接触刚度系数的单位为N/m^10/9。

4.根据权利要求1至3中任一项所述的获取圆柱滚子轴承载荷分布的方法，其特征在于，采用牛顿-拉夫逊方法求解上述非线性代数方程组。

5.根据权利要求1至3中任一项所述的获取圆柱滚子轴承载荷分布的方法，其特征在于，当滚子数z为偶数时，求解上述非线性代数方程组的次数不超过z/2+1次。

6.根据权利要求1至3中任一项所述的获取圆柱滚子轴承载荷分布的方法，其特征在于，当滚子数z为奇数时，求解上述非线性代数方程组的次数不超过(z-1)/2+1次。

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