CN107977530B - 一种非轴对称细长形小天体引力场简化建模方法 - Google Patents

一种非轴对称细长形小天体引力场简化建模方法 Download PDF

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Abstract

本发明涉及一种小天体引力场简化建模方法，属于航空航天技术领域。现有的建模方法对于非轴对称的细长形小天体简化建模适用性不足，而本发明的简化建模方法特别适用于非轴对称细长形小天体的引力场简化建模，具体步骤为：首先，建立非轴对称三质点模型的简化模型动力学方程；然后，推导简化模型平衡点位置方程，并建立最小化平衡点位置偏差的简化建模模型参数优化问题；最后，通过非线性优化方法求解细长形小天体引力场简化模型最优参数。该方法在优化求解过程中所涉及的优化参数个数少并且平衡点求解方程为代数方程，匹配非轴对称的细长形小天体平衡点时精度良好，扩展了现有设计方法的适用范围。

Description

一种非轴对称细长形小天体引力场简化建模方法
技术领域
本发明涉及一种小天体引力场简化建模方法，尤其涉及一种非轴对称细长形小天体的引力场简化建模方法，属于航空航天技术领域。
背景技术
小天体探测由于其巨大的科学意义和工程价值，目前已成为深空探测领域的重要方向。美国、日本、欧洲等均已开展了包括小行星和彗星在内的小天体探测任务。宇宙中的小天体数量众多、形状各异，而细长形小天体是小天体中常见的一类，如美国舒梅克号任务的目标小行星433Eros，日本隼鸟号任务的目标小行星25143 Itokawa，美国深度撞击任务飞越探测的彗星103P/Hartley等。
小天体引力场建模是小天体探测任务分析和开展的关键基础。而小天体引力场简化建模相比于多面体法等精确建模方法，具有参数少、计算效率高的优点，便于深入分析小天体附近动力学，也可以用于指导设计小天体引力场中轨道与控制律。因而小天体引力场简化建模已成为小天体引力场建模研究的当前热点问题之一。
在已发展的细长形小天体简化建模方法中，在先技术(Zeng X,Jiang F,Li J,etal.Study on the connection between the rotating mass dipole and naturalelongated bodies[J].Astrophysics and Space Science,2015,356(1):29-42)中，采用偶极子模型作为简化模型，并提出了一种通过匹配简化模型平衡点位置和多面体模型(即一种精确模型)的平衡点位置来设计简化模型参数的方法。该方法的优点是和精确模型建立了联系并且可以体现小天体质量沿长度方向(即x轴方向)分布的不均匀性。但该方法采用的简化模型关于x轴对称，对于非x轴对称的小天体(如243Ida)不适用。
在先技术(Lan L,Yang H,Baoyin H,et al.Retrograde near-circularperiodic orbits near equatorial planes of small irregular bodies[J].Astrophysics and Space Science,2017,362(9):169)中，建立了关于y轴对称的三质点模型作为简化模型，适用于匹配关于x轴非对称而关于y轴对称的小天体。但是该模型也具有对称性，在应用于非y轴对称的小天体243Ida、433Eros等时匹配误差大，适用性不足。
发明内容
本发明为解决现有建模方法对于非轴对称的细长形小天体简化建模适用性不足，提出一种基于非轴对称三质点模型和非线性优化设计方法的非轴对称细长形小天体引力场简化建模方法。
本发明的技术方案为：
一种非轴对称细长形小天体引力场简化建模方法，具体步骤为：
步骤一，建立基于非轴对称三质点模型的简化模型动力学方程
建立由无质量杆刚性连接且质量不等、分布不对称的三质点M1、M2和M3构成的简化模型并设定其旋转角速度与小天体自转角速度一致。选取归一化长度单位为质点M1和M2间距离，时间单位为小天体自转角速度的倒数，质量单位为小天体质量即三质点质量之和。根据三质点M1、M2和M3在以M1和M2中点为原点的旋转坐标系中的相对位置，推导得到三质点在质心旋转坐标系中的归一化坐标。定义有效势为三质点引力势与离心势之和，然后利用有效势建立旋转坐标下非轴对称三质点模型的动力学方程。
步骤二，推导简化模型平衡点位置方程
将平衡点处位置和速度导数为零的条件代入步骤一得到的动力学方程，导出平衡点处有效势沿各个方向导数为零的条件，即简化模型平衡点位置的方程。
步骤三，建立最小化平衡点位置偏差的简化模型参数优化问题
建立参数优化问题过程如下：
选取优化变量为M1和M2间距离，M3相对于M1和M2中点的位置，M1占总质量之比及M2占M2和M3质量和之比，并设定各优化变量的上下界约束条件。
选取优化指标为简化模型各平衡点和精确模型平衡点位置(非归一化)偏差之和。在优化过程中，某组参数对应的简化模型平衡点的归一化位置是通过MATLAB中的非线性方程求解函数fsolve求解步骤二中平衡点位置方程得到的。其中，求解初值选取为精确模型平衡点位置归一化值。
步骤四，通过非线性优化求解细长形小天体引力场简化模型最优参数
根据步骤三中优化变量、优化指标和约束条件，设定优化变量初值，通过MATLAB中的非线性优化求解函数fmincon即可求解得最小化平衡点位置偏差的细长形小天体引力场简化模型最优参数。
优选地，步骤三中所述简化模型平衡点求解时，选取精确模型平衡点位置归一化值为初值。
优选地，简化模型参数通过非线性优化方法最小化各平衡点和精确模型平衡点位置偏差之和设计。
本发明的有益效果在于：
本方法提供了一种非轴对称细长形小天体引力场简化建模方法，该方法利用非轴对称三质点的引力场近似细长形小天体引力场，通过非线性优化方法优化简化模型各平衡点和精确模型相应平衡点位置偏差之和从而获得简化模型的参数，在优化求解过程中所涉及的优化参数个数少并且平衡点求解方程为代数方程。该方法匹配非轴对称的细长形小天体平衡点时精度良好，扩展了现有设计方法的适用范围。
附图说明
图1是本发明的细长形小天体简化建模的非轴对称三质点模型。
图1中，M1、M2和M3分别表示三个质点，rod1表示连接M1和M2的无质量杆，o1为rod1杆的中点，rod2表示连接M3和rod1的中点o1的无质量杆，o为系统质心，o-xy和o1-x1y1表示两个旋转坐标系，L表示M1和M2之间的距离，σx和σy分别表示M3相对于o1点在x和y方向上的偏离量与L的比例。
具体实施方式
下面以非轴对称细长形小天体243Ida引力场简化建模为例，并结合附图对本发明的方案做详细说明。
本发明的非轴对称细长形小天体引力场简化建模方法具体实施方式步骤如下：
步骤一，建立基于非轴对称三质点模型的简化模型动力学方程
建立非轴对称三质点模型如图1所示。选取归一化长度单位为质点M1和M2间距离L，时间单位为2652.795s，质量单位为4.092×1016kg。定义M1和M2占总质量M之比分别为μ1、μ2(1-μ1)。记M1、M2和M3在以M1和M2中点o1为原点的旋转坐标系中归一化坐标分别为
Figure BDA0001513847990000031
Figure BDA0001513847990000032
[σx,-σy,0]，则三质点在以三点质心o为原点旋转坐标系中的归一化坐标分别为：
Figure BDA0001513847990000033
Figure BDA0001513847990000034
Figure BDA0001513847990000035
定义小天体附近某一点
Figure BDA0001513847990000036
处的有效势为离心势和三质点引力势之和，即
Figure BDA0001513847990000041
其中：
Figure BDA0001513847990000042
G为万有引力常数，
Figure BDA0001513847990000043
和
Figure BDA0001513847990000044
分别为该点与M1、M2和M3的距离，即
Figure BDA0001513847990000045
Figure BDA0001513847990000046
Figure BDA0001513847990000047
则基于非轴对称三质点模型的动力学方程为
Figure BDA0001513847990000048
其中：a′和a″分别表示a对归一化时间的一阶和二阶导数，有效势的沿各个方向偏导数的表达式为
Figure BDA0001513847990000049
Figure BDA00015138479900000410
Figure BDA00015138479900000411
步骤二，推导简化模型平衡点位置方程
将平衡点处
Figure BDA00015138479900000412
和
Figure BDA00015138479900000413
的条件代入步骤一中动力学方程可知：
Figure BDA00015138479900000414
即平衡点处有效势沿各个方向导数为零，上述方程即简化模型平衡点位置方程。
步骤三，建立最小化平衡点位置偏差的简化模型参数优化问题
选取优化变量为L、σx、σy、μ1和μ2，设定各优化变量的上下界约束条件分别为L∈[30，60]km、σx∈[-0.5,0.5]、σy∈[-0.2,0.2]、μ1∈[0.001,0.999]和μ2∈[0.001,0.999]。
选取优化指标J为：
Figure BDA0001513847990000051
其中：i表示平衡点编号，
Figure BDA0001513847990000052
为简化模型的平衡点位置(非归一化)，[xEi *,yEi *,zEi *]为精确模型的平衡点位置。精确模型的平衡点位置具体数值分别为[31.3969,5.96274,0.0340299]km，[-2.16095,23.5734,0.0975084]km，[-33.3563,4.85067,-1.08844]km和[-1.41502,-25.4128,-0.378479]km。
对于某一组参数[L,σx,σy,μ1,μ2]对应的简化模型平衡点的归一化位置的求解方式为：以[xE *,yE *,zE *]/L为初值，通过MATLAB中的fsolve函数求解步骤二中平衡点位置方程获得。
步骤四，通过非线性优化求解细长形小天体引力场简化模型最优参数
根据步骤三中优化变量、优化指标和约束条件，设定优化变量L、σx、σy、μ1和μ2的初值分别为40km、0.0、0.2、0.5和0.9。通过MATLAB中的非线性优化函数fmincon求解，得到参数L、σx、σy、μ1和μ2的最优值分别为36.843755km、0.049992、0.174726、0.192561和0.320023，最优指标为1.928778km。其中，第一个平衡点的匹配误差最小，仅为0.038556km，第三个平衡点的匹配误差最大，为1.143695km，但该误差相比于最优长度L仅约为其3％，表明本发明采用的简化建模方法对于匹配小天体243Ida平衡点位置时精度高。

Claims (3)

1.一种非轴对称细长形小天体引力场简化建模方法，其特征在于，包括如下步骤：
步骤一，建立基于非轴对称三质点模型的简化模型动力学方程
建立由无质量杆刚性连接且质量不等、分布不对称的三质点M 1、M 2和M 3构成的简化模型并设定其旋转角速度与小天体自转角速度一致；选取归一化长度单位为质点M 1和M 2间距离，时间单位为小天体自转角速度的倒数，质量单位为小天体质量即三质点质量之和；根据三质点M 1、M 2和M 3在以M 1和M 2中点为原点的旋转坐标系中的相对位置，推导得到三质点在质心旋转坐标系中的归一化坐标；
定义有效势为离心势与三质点引力势之和，然后利用有效势建立旋转坐标下非轴对称三质点模型的动力学方程；
步骤二，推导简化模型平衡点位置方程
将平衡点处位置和速度导数为零的条件代入步骤一得到的动力学方程，导出平衡点处有效势沿各个方向导数为零的条件，即简化模型平衡点位置的方程；
步骤三，建立最小化平衡点位置偏差的简化模型参数优化问题
建立参数优化问题过程如下：
选取优化变量为M 1和M 2间距离，M 3相对于M 1和M 2中点的位置，M 1占总质量之比及M 2占M 2和M 3质量和之比，并设定各优化变量的上下界约束条件；
选取优化指标为简化模型各平衡点和精确模型平衡点位置偏差之和；在优化过程中，某组参数[L, σ x , σ y , μ 1, μ 2]对应的简化模型平衡点的归一化位置是通过MATLAB中的非线性方程求解函数fsolve求解步骤二中平衡点位置方程得到的；上述参数[L, σ x , σ y , μ 1,μ 2]中，L表示M 1和M 2之间的距离，σ x 和σ y 分别表示M 3相对于o 1点在x和y方向上的偏离量与L的比例，o 1为rod1杆的中点，rod1表示连接M 1和M 2的无质量杆，定义M 1和M 2占总质量M之比分别为μ 1、μ 2(1-μ 1)；
步骤四，通过非线性优化求解细长形小天体引力场简化模型最优参数
根据步骤三中优化变量、优化指标和约束条件，设定优化变量初值，通过MATLAB中的非线性优化求解函数fmincon即可求解得最小化平衡点位置偏差的细长形小天体引力场简化模型最优参数。
2.根据权利要求1所述的一种非轴对称细长形小天体引力场简化建模方法，其特征在于，步骤三中所述简化模型平衡点求解时，选取精确模型平衡点位置归一化值为初值。
3.根据权利要求1所述的一种非轴对称细长形小天体引力场简化建模方法，其特征在于,简化模型参数通过非线性优化方法最小化各平衡点和精确模型平衡点位置偏差之和设计。
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