CN107942934A - 一种卧式数控车床的主轴径向热漂移误差建模及补偿方法 - Google Patents

一种卧式数控车床的主轴径向热漂移误差建模及补偿方法 Download PDF

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Abstract

本发明提供一种卧式数控车床的主轴径向热漂移误差建模及补偿方法，属于数控机床误差补偿领域。先测试数控车床主轴沿径向的两点热漂移误差及对应的关键点温度；再基于主轴的热倾斜变形机理获取主轴的热倾角，并分析热倾角与主轴箱左右两侧温度差的相关性。根据被测两点的热漂移误差的正负及主轴箱左右侧伸长或缩短的情况，将主轴热变形情况进行分类并建立各种热变形姿态下的热漂移误差模型。然后分析机床结构尺寸对模型预测结果的影响。在实时补偿时，根据关键点的温度自动判断主轴的热变形姿态，并自动选择相应的热漂移误差模型对主轴进行补偿。该方法实现加工过程中数控车床主轴热变形姿态的判别，并热变形机理实现对主轴径向热漂移误差的预测。

Description

一种卧式数控车床的主轴径向热漂移误差建模及补偿方法
技术领域
本发明属于数控机床误差补偿技术领域，具体为一种卧式数控车床的主轴径向热漂移误差建模及补偿方法。
背景技术
机床的热误差是困扰机床行业几十年的难题。由于机床热误差的存在，导致的问题在于：单件的加工精度不合格；批量加工零件的一致性差、废品率高；为了减少热误差，机床开机后需要热机，能耗损失大；若对工件的加工精度要求高，还需要建立恒温车间。这些问题说明热误差对机床造成了众多不良影响。
目前减小机床热误差的方法主要有两种：误差防止法和误差补偿法。误差防止法是通过设计和制造方式消除或减少机床的热源，但是最大的缺点是成本高。当机床精度达到一定程度后，提高机床精度所花费的成本呈指数型增长。而热误差补偿技术作为一种提高数控机床精度稳定性的方法有很多优点，如相对低的成本、应用范围广等。
数控机床的热误差主要包括进给轴热误差和主轴热误差两部分。进给轴的热误差可以通过光栅尺闭环反馈的方式得到极大地降低，但是主轴热误差却缺乏有效的抑制手段。主轴热误差包括轴向热伸长误差和径向热漂移误差。目前学者们对主轴轴向热伸长误差补偿的研究开展得比较多，并尝试了多元回归法、神经网络法、热模态法、时间序列法和支持向量机等多种建模方法。但是，对于主轴径向热漂移误差建模和补偿的研究却非常少。唯一比较相似的是T.J. Ko 在《Particular behavior of spindle thermal deformationby thermal bending》中分析了由立式加工中心主轴系统的热梯度引起的热弯曲变形并建立了主轴径向的热误差预测模型，但是未对主轴进行补偿，更没有给出主轴热变形姿态的判定准则以及机床结构尺寸对模型预测结果的影响分析。
然而，数控车床的主轴径向热误差是非常重要的，因为相对于Z轴精度来说，人们更关心车床的X向精度。本发明针对数控车床主轴径向热误差补偿的难题，提出一种卧式数控车床主轴的径向热漂移误差建模及补偿方法。
发明内容
本发明的目的为提供一种有效的卧式数控车床主轴的径向热漂移误差建模及补偿方法，解决数控车床主轴径向热误差补偿的难题。
为解决上述技术问题，本发明的技术方案为：首先测试数控车床主轴沿径向的两点热漂移误差及对应的关键点温度。然后，基于主轴的热倾斜变形机理获取主轴的热倾角，并采用相关性分析方法分析热倾角与主轴箱左右两侧温度差的相关性。根据被测两点的热漂移误差的正负及主轴箱左右侧伸长或缩短的情况，将主轴热变形情况进行分类并建立各种热变形姿态下的热漂移误差模型。然后，采用渐近积分法分析机床结构尺寸对模型预测结果的影响。在实时补偿时，根据关键点的温度自动判断主轴的热变形姿态，并自动选择相应的热漂移误差模型对主轴进行补偿。
本发明的技术方案：
一种卧式数控车床的主轴径向热漂移误差建模及补偿方法，步骤如下：
第一步，数控车床主轴径向热漂移误差和关键点温度测试
在数控车床主轴1的径向热漂移误差和温度测试时，采用2个温度传感器分别测试主轴箱2左右两侧的温度T1和T2，采用2个位移传感器分别测试主轴 1夹持的检棒5的两个位置点沿X向的误差；测试时先让主轴1以某一转速转动几个小时(如4小时)而升温，然后让主轴1停止转动几个小时(如3小时) 而降温；
主轴1沿竖直方向的热误差ei产生X向的热误差分量ei,x，主轴1沿X向的热误差e1,x和e2,x按如下公式计算：
e2,x＝sin(αxdir)×e2 (1)
e1,x＝sin(αxdir)×e1 (2)
式中，αxdir为车床X轴的倾斜角度；i＝1或2，1表示右侧，2表示左侧；
第二步，主轴热倾角与温度差的相关性分析
主轴1受热后的热倾角通过如下公式计算：
式中，为主轴1的热倾角，Lsnr为两个误差测点之间的距离；
确定主轴1的热倾角与两个温度之差ΔT之间的关系图，ΔT＝T1-T2，分析两个曲线的相似程度；进一步地，按照如下公式计算两者的相关性：
式中，R为与ΔT的相关性矩阵，为和ΔT之间的协方差矩阵；
第三步，不同热变形姿态下的主轴径向热漂移误差模型
根据两个误差数据e1,x和e2,x的正负号及主轴箱2左右侧伸长或缩短的情况，将主轴1的热变形情况分为3大类、10小种；设δl为主轴箱2左侧面的热变化量，δr为主轴箱2右侧面的热变化量，δl和δr都是热膨胀时为正，收缩时为负； dcrs为变形后的主轴1与初始状态的主轴1的交点到主轴箱2右侧面的距离，dspl为主轴箱2的左右端面的距离，dss为主轴箱2右端面与左侧位移传感器7沿水平方向的距离，dsnr为左侧位移传感器7和右侧位移传感器8沿水平方向的距离；假设δl>δr≥0且检棒5靠近左侧位移传感器7和右侧位移传感器8的热变形姿态，建立主轴1的径向热漂移误差与温度之间的关系；通过式(5)和(6)表征主轴箱2左右两侧的热膨胀量与温度的线性关系：
δl(t)＝ζl1×(T1(t)-T1(0))+ζl2 (5)
δr(t)＝ζr1×(T2(t)-T2(0))+ζr2 (6)
其中，ζl1，ζl2，ζr1和ζr2为待辨识系数；
对于δl>δr≥0且检棒5靠近左侧位移传感器7和右侧位移传感器8的热变形姿态，任意时刻t的dcrs(t)通过式(7)计算：
任意时刻t主轴1沿X方向的热漂移误差e1,x(t)和e2,x(t)通过式(8)和(9) 计算：
第四步，机床结构尺寸对模型预测结果的影响分析
分析热漂移误差模型中dspl和dss的测量偏差对模型预测结果的影响，采用渐近积分法分析预测残差的波动值属于某一允许的偏差范围的可靠度；针对该问题的功能函数Z的表达式描述为：
Z＝gx(X)＝δ-δa(dspl,dss) (10)
式中，X为dspl和dss组成的随机向量，δ为允许的偏差指标，δa为预测残差的波动值且定义为：
式中，R为dspl和dss作为随机变量时的预测残差，是dspl和dss的函数，Rn为dspl和dss为真实值时模型的预测残差，N为热误差测试时的采样点数；
设X的联合概率密度函数为fx(x)，预测残差的波动值不属于某一允许偏差范围的概率按式(12)计算：
pf＝∫gx(x)≤0exp[h(x)]dx (12)
式中，h(x)＝lnfx(x)；
设为极限状态面上的一点，在该点将h(x)展开成Taylor 级数并取至二次项：
式中，
将极限状态面Z＝gx(X)＝0以点x*处的超平面代替，以实现对预测残差波动值超出允许范围概率的渐近积分；采用一次二阶矩法按式(16)计算预测残差的波动值属于某一允许偏差范围的可靠性指标：
采用一次二阶矩法按式(17)计算预测残差的波动值属于某一允许偏差范围的失效概率指标：
根据解最优化问题的Lagrange乘子法，引入乘子λ，由泛函L(x,λ)＝h(x) +λgx(x)的驻值条件之一得到
将式(18)代入式(16)，得
将式(19)代入式(17)，得
采用渐近积分法计算预测残差的波动值属于某一允许的偏差范围的可靠度根据式(21)得到：
pr＝1-pfL (21)
第五步，主轴热变形姿态的判定及模型选择
采用主轴箱2两侧面的热变形量δl、δr和dσ判定加工过程中主轴1无规律变化的热变形姿态。其中，dσ为变形后的主轴1与原初始状态主轴1的交点到主轴箱2右侧面的距离；在各种热变形姿态下，dσ的计算公式均通过式(22) 计算：
对10种主轴热变形姿态的判定准则设定为：
姿态(1)：δl>δr≥0,dσ≤dss
姿态(2)：δr<0<δl
姿态(3)：δr≤δl<0
姿态(4)：δl<δr<0,dss+dsnr<dσ
姿态(5)：δl>δr≥0,dss<dσ≤dss+dsnr
姿态(6)：δl<δr<0,dss<dσ≤dss+dsnr
姿态(7)：δl>δr≥0,dss+dsnr<dσ
姿态(8)：δr≥δl≥0
姿态(9)：δl<0<δr
姿态(10)：δl<δr<0,dσ≤dss
最后，考虑到主轴1的热倾斜，对不同长度的工件补偿不同的误差；设dwp为工件被加工点到卡盘9端面的距离，ds为左侧位移传感器7到卡盘9端面的距离；在各种热变形姿态下，无论dwp<ds、ds<dwp<ds+dsnr还是dwp>ds+dsnr，工件被加工点的热误差补偿量ewp均按照式(23)计算：
将热误差的预测值ewp实时输入到机床的数控系统中，实现对数控车床主轴在任意位置和时间的热误差补偿。
本发明的有益效果：
(1)为卧式数控车床主轴的径向热误差补偿提供一种新方法，解决卧式数控车床径向热误差补偿的难题。
(2)提高数控车床主轴的精度稳定性。
(3)解决批量盘轴类零件加工时一致性差的问题，降低废品率。
(4)只需要在某一主轴转速下一次性采集误差和温度数据，试验过程简单、快速；
(5)热误差预测模型基于主轴的热倾斜变形机理而建立，模型的鲁棒性强；
(6)热误差预测模型考虑了理论分析得到的10种热变形姿态，因此模型适合于任意主轴转速变化和环境温度变化的情况；
(7)模型可自动根据主轴箱左右侧的温度判断主轴的热变形姿态，并采用相应的热误差模型。
附图说明
图1为主轴系统的结构和温度传感器布置图。
图2为误差测试仪器及其安装图。
图3为主轴径向热漂移误差的分解图。
图4为主轴在初始热平衡状态的示意图。
图5为数控车床的主轴热变形姿态图；其中
图5(a)为e1＞0，且e2＞0条件下，热变形姿态(1)；
图5(b)为e1＞0，且e2＞0条件下，热变形姿态(2)-(4)；
图5(c)为e1＞0，且e2＜0条件下，热变形姿态(5)；e1＜0，且e2＞0条件下，热变形姿态(6)；
图5(d)为e1＜0，且e2＜0条件下，热变形姿态(7)-(10)。
图6为主轴径向热漂移误差建模及补偿的流程图。
图7为主轴在不同转速下的误差和温度图；其中
图7(a)为X向的主轴误差值；
图7(b)为主轴箱左右侧的温度值。
图8为主轴热倾角与温度差的关系图。
图9为4000转时的热变形状态切换图。
图10为主轴在各转速的仿真效果图；其中
图10(a)为在2000rpm条件下的效果图；
图10(b)为在3000rpm条件下的效果图；
图10(c)为在4000rpm条件下的效果图。
图11为对主轴在4000rpm的补偿前后的数据图。
图12为对主轴在3500rpm的补偿前后的数据图。
图中：1主轴；2主轴箱；3左侧温度传感器；4右侧温度传感器；5检棒；
6位移传感器支架；7左侧位移传感器；8右侧位移传感器；9卡盘。
具体实施方式
为了使本发明的目的、技术方案和优点更加清晰明了，下面结合主轴径向热漂移误差的测试、建模及补偿的具体实施方式并参照附图，对本发明作详细说明。本实施例以本发明的技术方案为前提给出了详细的实施方式和具体的操作过程，但本发明的保护范围不限于下述的实施例。
卧式数控车床的X轴床鞍的倾斜角度为60°，机械式主轴1水平安装在床身上，通过皮带进行传动，最高转速为5000rpm。主轴箱2两侧面的距离为356mm，试验时主轴箱2右侧面到左侧位移传感器7的距离为251mm，左侧位移传感器 7和右侧位移传感器8间的距离为76.2mm。
实施的具体步骤如下：
第一步，数控车床主轴径向热漂移误差和关键点温度测试
在数控车床主轴1的径向热漂移误差和温度测试时，采用2个温度传感器分别测试主轴箱2左右两侧的温度T1和T2(图1)，采用2个位移传感器分别测试主轴1所夹持检棒5的两个位置点沿X向的误差(图2)。测试时先让主轴1 以4000rpm转动4小时，然后让主轴1停止转动3小时，并采集误差和温度数据。采用相同的方式，采集主轴在3000rpm和2000rpm的误差和温度数据。
这样，得到主轴1在不同转速下升降温过程中被测两点的X向热漂移误差 e1,x和e2,x，以及主轴箱2左右两侧的温度(T1和T2)，见图7。
第二步，主轴热倾角与温度差的相关性分析
根据式(3)计算主轴1的热倾角，并绘制主轴1在不同转速下的热倾角与温度差(ΔT＝T1-T2)之间的关系图(图8)。可以看出，在不同转速下两者的相关性都比较强。
进一步地，按照式(4)计算两者的相关性。在4000、3000和2000rpm转速下，热倾角与温度差ΔT的相关系数分别为：0.898、0.940和0.992。通过这些结果进一步可以看出，在不同转速下热倾角与温度差ΔT的相关性都比较强，这充分说明主要是由于主轴箱两侧的温度差导致了主轴的热倾斜。
第三步，不同热变形姿态下的主轴径向热漂移误差模型
对主轴1所有可能出现的热变形姿态进行分析。根据两个误差数据e1,x和e2,x的正负号及主轴箱2左右侧伸长或缩短的情况，将主轴1的热变形情况分为3 大类、10小种，如图5所示。以图5中的热变形姿态(1)为例，建立主轴1的径向热漂移误差与温度之间的关系。尽管主轴箱2左右两侧的温度都是不均匀的，但是它的温度场却是连续且近似线性变化的。因此，建立主轴箱2左右两侧的热膨胀量与温度的线性关系，通过温度表征主轴箱2两侧的热膨胀量的动态变化，其关系模型表示为式(5)和(6)。
对于图5(1)的热变形姿态，任意时刻t的dcrs(t)通过式(7)计算。
任意时刻t主轴1沿X方向的热漂移误差e1,x(t)和e2,x(t)通过式(8)和(9) 计算。
图5中热变形姿态(2)～(10)的热误差与温度之间的模型参考图5(1) 得到。
应用4000rpm的误差测试值e1,x,t和e2,x,t，反推得到主轴箱2左右两端面的热变化量δl和δr。这样，对于式(5)和(6)来说，其自变量T1和T2、因变量δl和δr均为已知，采用最小二乘法对其参数进行辨识。辨识得到的参数如表1所示。
表1.辨识得到的参数
第四步，机床结构尺寸对模型预测结果的影响分析
对于该卧式数控车床，dspl＝356mm，dss＝251mm，dsnr＝76.2mm。设dspl和dss的测量值在一定范围内波动，且分别满足均值和方差和由于dspl和dss的测量值的分布类型未知，采用渐近积分法分析预测残差的波动值小于1μm的可靠度。对于该问题，其功能函数Z的表达式定义为式(10)。
采用渐近积分法按照式(12)～(20)，计算得到预测残差的波动值小于1μm 的可靠度为
可以看出，pr近似等于1，这表示dspl和dss的波动对预测结果的影响很小。因此，尽管在试验现场测量的dspl和dss有误差，但是不影响模型的预测精度。
第五步，主轴热变形姿态的判定及模型选择
采用主轴箱2两侧面的热变形量δl、δr和dσ判定加工过程中主轴1无规律变化的热变形姿态。其中，dσ为变形后的主轴1与原初始状态主轴1的交点到主轴箱2右侧面的距离。在各种热变形姿态下，dσ的计算公式均通过式(22) 计算。
根据10种主轴1热变形姿态的判定准则，图9给出了主轴1在4000rpm时根据上述判定准则得到的热姿态切换图。可以看出，在0～0.57h的时间范围内，主轴处于姿态(1)；在0.58～0.71h的时间范围内，主轴处于姿态(5)；在0.72～4.93 h的时间范围内，主轴处于姿态(7)；在4.94～7h的时间范围内，主轴处于姿态 (8)。
由于主轴(1)产生了热倾斜误差，因此对于不同长度工件的补偿量是有差别的。设dwp为工件被加工位置到卡盘9端面的距离，ds为左侧位移传感器7到卡盘9端面的距离。在图5所示的10种热变形姿态下， dwp<ds,ds<dwp<ds+dsnranddwp>ds+dsnr时，工件被加工位置的热误差补偿量ewp均按式(23)计算。
图10给出了对主轴(1)在不同转速的仿真结果。其中，e1,x,t表示e1,x的测试值，e1,x,c表示e1,x的计算值，e1,x,r表示e1,x的仿真残差值，e2,x,t表示e2,x的测试值，e2,x,c表示e2,x的计算值，e2,x,r表示e2,x的仿真残差值。
在补偿和未补偿状态下，在卧式数控车床上分别以4000rpm和3500rpm再次执行试验，同时用两个温度传感器和两个位移传感器采集主轴1的温度和热误差。补偿前后的对比结果如图11和12所示。
应该说明的是，本发明的上述具体实施方式仅用于示例性阐述本发明的原理和流程，不构成对本发明的限制。因此，在不偏离本发明精神和范围的情况下所做的任何修改和等同替换，均应包含在本发明的保护范围内。

Claims (1)

1.一种卧式数控车床的主轴径向热漂移误差建模及补偿方法，其特征在于，步骤如下：
第一步，数控车床主轴径向热漂移误差和关键点温度测试
在数控车床主轴(1)的径向热漂移误差和温度测试时，采用2个温度传感器分别测试主轴箱(2)左右两侧的温度T1和T2，采用2个位移传感器分别测试主轴(1)夹持的检棒(5)的两个位置点沿X向的误差；测试时先让主轴(1)以某一转速转动升温，然后让主轴(1停止转动而降温；
主轴(1)沿竖直方向的热误差ei产生X向的热误差分量ei,x，主轴(1)沿X向的热误差e1,x和e2,x按如下公式计算：
e2,x＝sin(αxdir)×e2 (1)
e1,x＝sin(αxdir)×e1 (2)
式中，αxdir为车床X轴的倾斜角度；i＝1或2，1表示右侧，2表示左侧；
第二步，主轴热倾角与温度差的相关性分析
主轴(1)受热后的热倾角通过如下公式计算：
式中，为主轴(1)的热倾角，Lsnr为两个误差测点之间的距离；
确定主轴(1)的热倾角与两个温度之差ΔT之间的关系图，ΔT＝T1-T2，分析两个曲线的相似程度；进一步地，按照如下公式计算两者的相关性：
式中，R为与ΔT的相关性矩阵，为和ΔT之间的协方差矩阵；
第三步，不同热变形姿态下的主轴径向热漂移误差模型
根据两个误差数据e1,x和e2,x的正负号及主轴箱(2)左右侧伸长或缩短的情况，将主轴(1)的热变形情况分为3大类、10小种；设δl为主轴箱(2)左侧面的热变化量，δr为主轴箱(2)右侧面的热变化量，δl和δr都是热膨胀时为正，收缩时为负；dcrs为变形后的主轴(1)与初始状态的主轴(1)的交点到主轴箱(2)右侧面的距离，dspl为主轴箱(2)的左右端面的距离，dss为主轴箱(2)右端面与左侧位移传感器(7)沿水平方向的距离，dsnr为左侧位移传感器(7)和右侧位移传感器(8)沿水平方向的距离；假设δl>δr≥0且检棒(5)靠近左侧位移传感器(7)和右侧位移传感器(8)的热变形姿态，建立主轴(1)的径向热漂移误差与温度之间的关系；通过式(5)和(6)表征主轴箱(2)左右两侧的热膨胀量与温度的线性关系：
δl(t)＝ζl1×(T1(t)-T1(0))+ζl2 (5)
δr(t)＝ζr1×(T2(t)-T2(0))+ζr2 (6)
其中，ζl1，ζl2，ζr1和ζr2为待辨识系数；
对于δl>δr≥0且检棒(5)靠近左侧位移传感器(7)和右侧位移传感器(8)的热变形姿态，任意时刻t的dcrs(t)通过式(7)计算：
<mrow> <msub> <mi>d</mi> <mrow> <mi>c</mi> <mi>r</mi> <mi>s</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>&amp;delta;</mi> <mi>r</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <msub> <mi>&amp;delta;</mi> <mi>l</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;delta;</mi> <mi>r</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo>&amp;times;</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mi>p</mi> <mi>l</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>7</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
任意时刻t主轴(1)沿X方向的热漂移误差e1,x(t)和e2,x(t)通过式(8)和(9)计算：
<mrow> <msub> <mi>e</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>&amp;delta;</mi> <mi>l</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>d</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mi>s</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;delta;</mi> <mi>r</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>d</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mi>s</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;delta;</mi> <mi>r</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>d</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mi>p</mi> <mi>l</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <mi>sin</mi> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mrow> <mi>x</mi> <mi>d</mi> <mi>i</mi> <mi>r</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <msub> <mi>d</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mi>p</mi> <mi>l</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>8</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
<mrow> <msub> <mi>e</mi> <mrow> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;delta;</mi> <mi>l</mi> </msub> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;delta;</mi> <mi>r</mi> </msub> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> <mo>)</mo> <mo>(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mi>s</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mi>n</mi> <mi>r</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;delta;</mi> <mi>r</mi> </msub> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mi>p</mi> <mi>l</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <mi>sin</mi> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mrow> <mi>x</mi> <mi>d</mi> <mi>i</mi> <mi>r</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <msub> <mi>d</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mi>p</mi> <mi>l</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>9</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
第四步，机床结构尺寸对模型预测结果的影响分析
分析主轴径向热漂移误差模型中dspl和dss的测量偏差对模型预测结果的影响，采用渐近积分法分析预测残差的波动值属于某允许的偏差范围的可靠度；针对该问题的功能函数Z的表达式描述为：
Z＝gx(X)＝δ-δa(dspl,dss) (10)
式中，X为dspl和dss组成的随机向量，δ为允许的偏差指标，δa为预测残差的波动值且定义为：
<mrow> <msub> <mi>&amp;delta;</mi> <mi>a</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mi>p</mi> <mi>l</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mi>s</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>N</mi> </munderover> <mo>|</mo> <mi>R</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>R</mi> <mi>n</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mi>N</mi> </mfrac> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>11</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
式中，R为dspl和dss作为随机变量时的预测残差，是dspl和dss的函数；Rn为dspl和dss为真实值时模型的预测残差；N为热误差测试时的采样点数；
设X的联合概率密度函数为fx(x)，预测残差的波动值不属于某允许偏差范围的概率按式(12)计算：
pf＝∫gx(x)≤0exp[h(x)]dx (12)
式中，h(x)＝lnfx(x)；
设为极限状态面上的一点，在该点将h(x)展开成Taylor级数并取至二次项：
<mrow> <mi>h</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mi>h</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mi>x</mi> <mo>*</mo> </msup> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msup> <mi>&amp;upsi;</mi> <mi>T</mi> </msup> <mi>B</mi> <mi>&amp;upsi;</mi> <mo>-</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>-</mo> <msup> <mi>x</mi> <mo>*</mo> </msup> <mo>-</mo> <mi>B</mi> <mi>&amp;upsi;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <msup> <mi>B</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>-</mo> <msup> <mi>x</mi> <mo>*</mo> </msup> <mo>-</mo> <mi>B</mi> <mi>&amp;upsi;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>13</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
式中，
υ＝▽h(x*) (14)
B＝-[▽2h(x*)]-1 (15)
将极限状态面Z＝gx(X)＝0以点x*处的超平面代替，以实现对预测残差波动值超出允许范围概率的渐近积分；采用一次二阶矩法按式(16)计算预测残差的波动值属于某允许偏差范围的可靠性指标：
<mrow> <msub> <mi>&amp;beta;</mi> <mi>L</mi> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <msub> <mi>&amp;mu;</mi> <msub> <mi>Z</mi> <mi>L</mi> </msub> </msub> <msub> <mi>&amp;sigma;</mi> <msub> <mi>Z</mi> <mi>L</mi> </msub> </msub> </mfrac> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <msup> <mrow> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mo>&amp;dtri;</mo> <mi>g</mi> <mi>x</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mi>x</mi> <mo>*</mo> </msup> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> <mi>T</mi> </msup> <mi>B</mi> <mi>&amp;upsi;</mi> </mrow> <msqrt> <mrow> <msup> <mrow> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mo>&amp;dtri;</mo> <mi>g</mi> <mi>x</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mi>x</mi> <mo>*</mo> </msup> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> <mi>T</mi> </msup> <mi>B</mi> <mo>&amp;dtri;</mo> <mi>g</mi> <mi>x</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mi>x</mi> <mo>*</mo> </msup> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </msqrt> </mfrac> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>16</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
采用一次二阶矩法按式(17)计算预测残差的波动值属于某允许偏差范围的失效概率指标：
<mrow> <msub> <mi>p</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mi>L</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <mi>&amp;pi;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mi>n</mi> <mo>/</mo> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <msqrt> <mrow> <mi>det</mi> <mi> </mi> <mi>B</mi> </mrow> </msqrt> <msub> <mi>f</mi> <mi>x</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mi>x</mi> <mo>*</mo> </msup> <mo>)</mo> </mrow> <mi>exp</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mrow> <msup> <mi>&amp;upsi;</mi> <mi>T</mi> </msup> <mi>B</mi> <mi>&amp;upsi;</mi> </mrow> <mn>2</mn> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mi>&amp;Phi;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;beta;</mi> <mi>L</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>17</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
根据解最优化问题的Lagrange乘子法，引入乘子λ，由泛函L(x,λ)＝h(x)+λgx(x)的驻值条件之一得到
<mrow> <mo>&amp;dtri;</mo> <mi>g</mi> <mi>x</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mi>x</mi> <mo>*</mo> </msup> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>&amp;lambda;</mi> </mfrac> <mo>&amp;dtri;</mo> <mi>h</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mi>x</mi> <mo>*</mo> </msup> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <mfrac> <mi>&amp;upsi;</mi> <mi>&amp;lambda;</mi> </mfrac> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>18</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
将式(18)代入式(16)，得
<mrow> <msub> <mi>&amp;beta;</mi> <mi>L</mi> </msub> <mo>=</mo> <msqrt> <mrow> <msup> <mi>&amp;upsi;</mi> <mi>T</mi> </msup> <mi>B</mi> <mi>&amp;upsi;</mi> </mrow> </msqrt> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>19</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
将式(19)代入式(17)，得
<mrow> <msub> <mi>p</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mi>L</mi> </mrow> </msub> <mo>&amp;ap;</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <mi>&amp;pi;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mi>n</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> <mo>/</mo> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <msub> <mi>f</mi> <mi>x</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mi>x</mi> <mo>*</mo> </msup> <mo>)</mo> </mrow> <msqrt> <mfrac> <mrow> <mi>det</mi> <mi> </mi> <mi>B</mi> </mrow> <mrow> <msup> <mi>&amp;upsi;</mi> <mi>T</mi> </msup> <mi>B</mi> <mi>&amp;upsi;</mi> </mrow> </mfrac> </msqrt> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>20</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
采用渐近积分法计算预测残差的波动值属于某允许的偏差范围的可靠度根据式(21)得到：
pr＝1-pfL (21)
第五步，主轴热变形姿态的判定及模型选择
采用主轴箱(2)两侧面的热变形量δl、δr和dσ判定加工过程中主轴(1)无规律变化的热变形姿态；其中，dσ为变形后的主轴(1)与原初始状态主轴(1)的交点到主轴箱(2)右侧面的距离；在各种热变形姿态下，dσ的计算公式均通过式(22)计算：
<mrow> <msub> <mi>d</mi> <mi>&amp;sigma;</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mi>p</mi> <mi>l</mi> </mrow> </msub> <mo>&amp;times;</mo> <mo>|</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>&amp;zeta;</mi> <mrow> <mi>r</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>T</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>T</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>(</mo> <mn>0</mn> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;zeta;</mi> <mrow> <mi>r</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <msub> <mi>&amp;zeta;</mi> <mrow> <mi>l</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>T</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>T</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>(</mo> <mn>0</mn> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;zeta;</mi> <mrow> <mi>r</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>T</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>T</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>(</mo> <mn>0</mn> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;zeta;</mi> <mrow> <mi>l</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;zeta;</mi> <mrow> <mi>r</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> <mo>|</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>22</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
对10种主轴热变形姿态的判定准则设定为：
姿态(1)：δl>δr≥0,dσ≤dss
姿态(2)：δr<0<δl
姿态(3)：δr≤δl<0
姿态(4)：δl<δr<0,dss+dsnr<dσ
姿态(5)：δl>δr≥0,dss<dσ≤dss+dsnr
姿态(6)：δl<δr<0,dss<dσ≤dss+dsnr
姿态(7)：δl>δr≥0,dss+dsnr<dσ
姿态(8)：δr≥δl≥0
姿态(9)：δl<0<δr
姿态(10)：δl<δr<0,dσ≤dss；
最后，考虑到主轴(1)的热倾斜，对不同长度的工件补偿不同的误差；设dwp为工件被加工点到卡盘(9)端面的距离，ds为左侧位移传感器(7)到卡盘(9)端面的距离；在各种热变形姿态下，无论dwp<ds、ds<dwp<ds+dsnr还是dwp>ds+dsnr，工件被加工点的热误差补偿量ewp均按照式(23)计算：
<mrow> <msub> <mi>e</mi> <mrow> <mi>w</mi> <mi>p</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>e</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mi>s</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mi>n</mi> <mi>r</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow> <mi>w</mi> <mi>p</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>e</mi> <mrow> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mi>s</mi> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow> <mi>w</mi> <mi>p</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <msub> <mi>d</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mi>n</mi> <mi>r</mi> </mrow> </msub> </mfrac> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>23</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
将热误差的预测值ewp实时输入到机床的数控系统中，实现对数控车床主轴在任意位置和时间的热误差补偿。
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