CN107925446A

CN107925446A - 正交时间频率空间调制系统

Info

Publication number: CN107925446A
Application number: CN201680036789.3A
Authority: CN
Inventors: S·S·拉基布; R·哈达尼
Original assignee: Coacervation Technology Ltd By Share Ltd
Current assignee: Coacervation Technology Ltd By Share Ltd
Priority date: 2015-05-11
Filing date: 2016-05-11
Publication date: 2018-04-17
Anticipated expiration: 2036-05-11
Also published as: EP3295578A4; EP3751808B1; EP3295578B1; KR102543924B1; KR20180030782A; EP3751808A1; KR102507574B1; CN107925446B; WO2016183240A1; KR20220104156A; EP3295578A1

Abstract

一种用于正交时间频率空间通信和波形生成的系统和方法。该方法包括接收多个信息符号并且通过使用该多个信息符号中的每一个信息符号在时间‑频率平面上调制多个二维基函数中的一个二维基函数来创建多个调制符号。该多个二维基函数中的每一个二维基函数与该多个信息符号中的一个信息符号唯一地关联。该方法还包括生成包含多个脉冲波形的发射波形。该多个脉冲波形中的每一个脉冲波形对应于该多个调制符号中的一个调制符号与基本发射脉冲的多个经时间平移及频率调制的版本中的一个版本的组合。

Description

正交时间频率空间调制系统

对相关申请的交叉引用

本申请依据35U.S.C.§119(e)要求以下专利申请的权益：于2015年5月11日提交的标题为“ORTHOGONAL TIME FREQUENCY SPACE OTFS MODULATION”的美国临时申请No.62/159,853、与2015年5月12日提交的标题为“SYSTEMS AND METHODS FOR SYMPLECTICORTHOGONAL TIME FREQUENCY SHIFTING MODULATION AND TRANSMISSION OF DATA”的美国临时申请No.62/160,257、以及于2015年9月8日提交的标题为“ORTHOGONAL TIMEFREQUENCY SPACE COMMUNICATION SYSTEM AND METHOD”的美国临时申请No.62/215,663，这些申请中的每一个的内容都整体上通过引用结合于此，用于所有目的。本申请是于2015年5月11日提交的标题为“MODULATION AND EQUALIZATION IN AN ORTHONORMAL TIME-FREQUENCY SHIFTING COMMUNICATIONS SYSTEM”的美国申请序列No.14/709,377的部分继续申请，该申请是于2013年6月25日提交的标题为“MODULATION AND EQUALIZATION IN ANORTHONORMAL TIME-FREQUENCY SHIFTING COMMUNICATIONS SYSTEM”的美国专利申请序列No.13/927,086的的继续申请，该申请又依据35U.S.C.§119(e)要求以下专利申请的权益：于2012年6月25日提交的标题为“MODULATION AND EQUALIZATION IN AN ORTHONORMALTIME-FREQUENCY SHIFTING COMMUNICATIONS SYSTEM”的美国临时申请序列No.61/664,020、于2013年3月15日提交的标题为“MODULATION AND EQUALIZATION IN AN ORTHONORMALTIME-FREQUENCY SHIFTING COMMUNICATIONS SYSTEM”的美国临时申请序列No.61/801,398、于2013年3月15日提交的标题为“MODULATION AND EQUALIZATION IN AN ORTHONORMALTIME-FREQUENCY SHIFTING COMMUNICATIONS SYSTEM”的美国临时申请序列No.61/801,366、于2013年3月15日提交的标题为“MODULATION AND EQUALIZATION IN AN ORTHONORMALTIME-FREQUENCY SHIFTING COMMUNICATIONS SYSTEM”的美国临时申请序列No.61/801,435、于2013年3月15日提交的标题为“MODULATION AND EQUALIZATION IN AN ORTHONORMALTIME-FREQUENCY SHIFTING COMMUNICATIONS SYSTEM”的美国临时申请序列No.61/801,495、于2013年3月15日提交的标题为“MODULATION AND EQUALIZATION IN AN ORTHONORMALTIME-FREQUENCY SHIFTING COMMUNICATIONS SYSTEM”的美国临时申请序列No.61/801,994，以及于2013年3月15日提交的标题为“MODULATION AND QUALIZATION IN ANORTHONORMAL TIME-FREQUENCY SHIFTING COMMUNICATIONS SYSTEM”的美国临时申请序列No.61/801,968，这些申请中的每一个的内容都整体上通过引用结合于此，用于所有目的。

技术领域

本公开一般而言涉及通信协议和方法，并且更具体地涉及用于对用于无线和其它通信形式的信号进行调制和相关处理的方法。

背景技术

第四代(4G)无线网络已经很好地为公众服务，为互联网提供无处不在的接入，并使移动应用、智能电话和复杂的数据密集型应用(如移动视频)爆炸性增长。这使得蜂窝技术的发展继续，其中每个新一代都为公众带来实质的益处，从而实现了生产力、便利性和生活质量的显著提升。

展望不断增加和多样化的数据使用对现有网络施加的需求，业内人士越来越清楚，当前的4G网络将不能支持数据使用中的前瞻需求。这部分地是因为数据流量已经并继续以指数速率增长。而且，与正在进行的移动视频的扩展耦合的新应用(诸如沉浸式现实和远程机器人操作)预计将压倒当前网络系统的承载能力。5G系统设计的目标之一是能够在密集的城市环境中经济地扩展网络的能力(例如，达到每平方千米750Gbps)，在使用已被商业部署的技术的情况下这是不可能的。

除了能够处理更大量的数据之外，下一代系统将需要改进数据递送的质量，以便支持期望的未来应用。公众越来越期望无线网络为不受限制的(untethered)用户提供接近“有线”的体验。这可以转化为例如整个覆盖区域(即，甚至在小区边缘处)50+Mbps的要求，这将要求实现先进的干扰减轻技术。

用户体验的质量的另一方面是移动性。由于多普勒效应，当前无线网络的吞吐量随着移动速度的增加而趋于显著降低。未来的5G系统旨在不仅将所支持的速度增加到500Km/h以用于高速列车和航空，而且还支持用于车辆到车辆以及车辆到基础设施通信的一系列新的汽车应用。

虽然对于增加的和更高质量的数据流量的支持对于无线网络继续支持用户需求是必需的，但是运营商也在探索将使得有新的收入和创新用例的新应用。这些包括上面讨论的汽车和智能基础设施应用。其它期望的应用包括公共安全超可靠网络的部署、使用蜂窝网络来支持PSTN的衰落(sunset)等等。而且，预计5G网络将迎来大量互联网连接设备的部署(也称为物联网(IoT))。但是，现有的网络没有被设计为以每台设备非常低的流量来支持大量连接设备。

发明内容

在一方面，本公开涉及生成用于经通信信道传输的波形的方法。该方法包括接收多个信息符号并通过使用这多个信息符号中的每一个信息符号在时间-频率平面上调制多个二维基函数中的一个二维基函数来创建多个调制符号。多个二维基函数中的每一个二维基函数与多个信息符号中的一个信息符号唯一地相关联。该方法还包括生成包含多个脉冲波形的发射波形，这多个脉冲波形中的每一个脉冲波形对应于多个调制符号中的一个调制符号与基本发射脉冲的多个经时间平移及频率调制的版本中的一个版本的组合。

在一个实现方案中，基本发射脉冲的多个经时间平移及频率调制的版本中的每一个版本与按照T的N个倍数中的一个的时间平移以及按照Δf的M个倍数中的一个的频率调制相关联，其中发射波形的总持续时间为NT秒并且总带宽为MΔfHz。基本发射脉冲可以具有与按照时间T的倍数的平移以及按照Δf的倍数的调制正交的特性。

另一方面，本公开涉及一种通信设备，该通信设备包括无线发射器、处理器和包括处理器可执行的程序代码的存储器。程序代码包括用于使处理器接收多个信息符号的代码。程序代码还包括用于使处理器通过使用多个信息符号中的每一个信息符号在时间-频率平面上调制多个二维基函数中的一个二维基函数来创建多个调制符号的代码。多个二维基函数中的每一个二维基函数与多个信息符号中的一个信息符号唯一地相关联。程序代码还使处理器生成包含多个脉冲波形的发射波形，这多个脉冲波形中的每一个脉冲波形对应于多个调制符号中的一个调制符号与基本发射脉冲的多个经时间平移及频率调制的版本中的一个版本的组合。程序代码还包括用于使处理器向无线发射器提供发射波形的代码。

本公开还涉及用于在通信接收器处接收一个或多个调制波形的方法。该方法还包括相对于接收脉冲执行对一个或多个调制波形的样本的匹配滤波，以产生估计的时间-频率调制符号。估计的时间-频率调制符号中的每一个与多个信息符号中的一个信息符号对多个正交的二维基函数中的一个二维基函数的调制对应。该方法还包括将对时间-频率调制符号的估计投影在多个正交的二维基函数上，以便获得对多个信息符号的估计。

在一个实现方案中，该方法还可以包括针对估计的时间-频率调制符号执行加窗和周期化操作。此外，投影操作可以包括针对包含对时间-频率调制符号的估计的周期性序列执行辛傅立叶变换(symplectic Fourier transform)操作。

在又一方面，本公开涉及通信设备，该通信设备包括被配置为接收一个或多个调制波形的无线接收器、处理器和包括处理器可执行的程序代码的存储器。程序代码包括用于使处理器从无线接收器接收一个或多个调制波形的样本的代码。代码还包括用于使处理器相对于接收脉冲对一个或多个调制波形的样本进行匹配滤波以产生估计的时间-频率调制符号的代码。估计的时间-频率调制符号中的每一个与多个信息符号中的一个信息符号对多个正交的二维基函数中的一个二维基函数的调制对应。程序代码还包括用于使处理器将估计的时间-频率调制符号投影在多个正交的二维基函数上以便获得对多个信息符号的估计的代码。

在一个实现方案中，程序代码还可以包括用于针对估计的时间-频率调制符号执行加窗和周期化操作的代码。此外，代码可以包括用于使处理器针对包含估计的时间-频率调制符号的周期性序列执行辛傅立叶变换操作的代码。

附图说明

为了更好地理解本发明的各种实施例的性质和目的，应当结合附图参考以下详细描述，其中：

图1A示出了可以展现时间/频率选择性衰落的无线通信系统的示例。

图1B提供了可以在图1A的无线通信系统中使用的常规收发器的高级表示。

图2A示出了在(τ，t)坐标系中由一维信道模型表示的信道中的加速反射物的时变冲击响应。

图2B示出了在延迟-多普勒(τ，v)坐标系中使用时不变冲击响应表示的相同信道。

图3是示例性OTFS通信系统的部件的框图。

图4表示OTFS发射器中的Heisenberg(海森伯格)变换和OTFS接收器中的Wigner(维格纳)变换的概念实现方案。

图5示意性地表示OTFS调制的示例性实施例，包括时间-频率平面到多普勒-延迟平面的变换。

图6示出了OTFS域中用于信道估计目的的离散冲击。

图7示出了属于不同用户的两个不同基函数，其中每个基函数跨整个时间-频率帧。

图8和图9示出了通过以交错的方式向不同的用户分配不同的资源块或子帧来在时间-频率域中多路复用多个用户。

图10示出了示例性OTFS收发器的部件。

图11示出了由对TDMA系统和OTFS系统的仿真预测的误比特率(BER)的比较。

图12是表示由示例性OTFS收发器执行的操作的流程图。

图13示出了OTFS调制器作为被部署成将二维时间-频率矩阵变换成发射波形的正交映射的功能。

图14示出了OTFS解调器在根据正交映射将接收到的波形变换成二维时间-频率矩阵时的操作。

图15示意性地表示包括在由OTFS调制器产生的脉冲波形内的脉冲串(pulsetrain)。

图16绘出了被配置为执行最小均方(LMS)均衡过程的二维判定反馈均衡器。

图17A-图17D绘出了OTFS发射器和接收器以及各自相对于相关联的时间-频率网格的操作。

图18包括表示实现有限调制等效信道的二维冲击响应、所发射的信息向量x和接收到的信息向量y的一组条形图。

图19示出了在N个持续时间为Tμ的时间段期间在M个频带上由N×M结构表示的2D傅立叶变换信息流形(manifold)的传输。

图20示出了根据各个较小的时间切片Tμ同时被发射的M个经滤波的OTFS频带的示例。

图21提供了根据各种较小的时间切片Tμ被发射的OTFS波形的附加示例。

图22提供了OTFS发射和接收的示例性过程的框图表示。

图23示意性地表示有限OTFS调制映射的示例性结构。

图24A和图24B分别示出了标准通信点阵(lattice)和标准通信点阵的倒易。

图25示意性地表示标准通信环面(torus)。

图26示意性地表示标准通信有限环面。

图27示出了OTFS调制映射的示例性结构。

图28示出了OTFS调制块的频域解释。

具体实施方式

如下面所讨论的，正交时间频率空间(OTFS)调制的实施例涉及通过在时间-频率平面上调制二维(2D)基函数来发射每个信息符号。在示例性实施例中，调制基函数集被具体地导出为最佳地表示时变多径信道的动态。以这种方式，OTFS将时变多径信道变换成时不变的延迟-多普勒二维卷积信道。这有效地消除了跟踪(例如涉及高速车辆的)通信中的时变衰落的困难。

OTFS以数量级增加信道的相干时间。它使用在平均信道SNR上很好地研究的AWGN码来简化信道上的信令。更重要的是，由于对信道状态信息(CSI)的固有准确和高效估计，它使得在移动的车辆应用中能够利用天线的数量来线性缩放吞吐量。此外，由于延迟-多普勒信道表示非常紧凑，因此OTFS使得能够在移动的车辆应用中在发射器处对于四个、八个以及更多个天线用CSI实现大规模MIMO和波束成形。OTFS中需要的CSI信息是跟踪时变信道所需内容的一小部分。

如从下面的讨论中将认识到的，OTFS的一个特点是单个QAM符号可以扩展在多个时间点和/或频率点上。这是增加处理增益和构建用于IoT部署和PSTN替换应用的渗透能力的关键技术。OTFS域中的扩展允许在更宽的带宽和持续时间上扩展，同时维持不需要随时间被跟踪的平稳(stationary)信道。

一旦理解了OTFS背后的基本概念，OTFS的这些益处就将变得显然。存在导致若干变体的OTFS的丰富数学基础；例如，它可以与OFDM或与多载波滤波器簇(filter bank)组合。在进行OTFS的详细讨论之前，首先描述在一维信道模型上断言的通信系统的各种缺点。

图1A示出了可以展现时间/频率选择性衰落的无线通信系统100的示例。系统100包括发射器110(例如，蜂窝电话塔)和接收器120(例如，蜂窝电话)。图1中所示的场景包括从发射器100发射的信号在到达接收器100之前行进经过的多个通路(多路径)。第一通路130通过树132反射，第二通路140反射离开建筑物142并且第三通路150反射离开第二建筑物152。第四通路160反射离开移动的汽车162。因为通路130、140、150和160中的每一个行进不同的距离并且以不同的级别和以不同的频率衰减或衰落，所以，由于多路径信号的相消干涉，接收器120(当被常规地配置时)可能掉线或至少遭受低吞吐量。

现在转到图1B，提供了可以在图1A的无线通信系统100中使用的常规收发器200的高级表示。例如，收发器200可以根据用于时分多址(TDMA)、码分多址(CDMA)或正交频分多址(OFDM)系统的已建立的协议来操作。在诸如TDMA、CDMA和OFDM之类的常规无线通信系统中，发射器204和接收器208之间的多路径通信信道210由一维模型表示。在这些系统中，使用通信信道的冲击响应的一维表示来表征信道失真。收发器200可以包括一维均衡器220，该一维均衡器220被配置为至少部分地从由接收器208产生的一维输出数据流230中移除这个估计的信道失真。

不幸的是，使用一维信道模型带来多个基本问题。首先，在现有通信系统中采用的一维信道模型是非平稳的；即，通信信道的符号失真效应因符号而异。此外，当信道仅在一维中建模时，由于“信道衰落”，某些接收到的符号有可能在能量上将显著低于其它符号。最后，一维信道状态信息(CSI)随机出现，并且其大部分是通过在具体点处取得的信道测量之间进行插值来估计的，因此使信息固有地不准确。这些问题仅在多天线(MIMO)通信系统中恶化。如下面所讨论的，本文描述的OTFS方法的实施例可以被用来基本上克服由于使用一维信道模型引起的基本问题。

多路径衰落信道通常在基带中被一维地建模为具有时变冲击响应的卷积信道

其中s(t)和r(t)分别表示复基带信道输入和输出，并且其中是复基带时变信道响应。

这种表示虽然是一般化的，但不能让我们了解时变冲击响应的行为和变化。通常也用于多普勒多路径双衰落信道的更有用和更深刻的模型是

r(t)＝∫∫h(τ，ν)e^j2πv(t-τ)s(t-τ)dνdτ

(2)

在这个表示中，接收到的信号是所发射的信号的经反射副本的叠加，其中每个副本被延迟路径延迟τ、频率被偏移多普勒频移v、并且由用于该τ和v的时间无关的延迟-多普勒冲击响应h(τ，v)加权。除了这个表示的直观性之外，等式(2)维持等式(1)的一般性。换句话说，它可以表示复多普勒轨迹(trajectory)，如加速车辆、反射物等等。如果我们将时变冲击响应表达为针对时间变量t的傅立叶展开，那么将看到这一点

在(1)中代入(3)，我们在一些操纵之后获得等式(2)。作为示例，图2A示出了在(τ，t)坐标系中用于加速反射物的时变冲击响应，而图2B示出了在(τ，v)坐标系统中表示为时不变冲击响应的相同信道。

由这两个图揭示的重要特征是(τ，v)表示与(τ，t)表示相比是如何紧凑的。如将在后面讨论的，这对于信道估计、均衡和跟踪具有重要意义。

要注意的是，虽然h(τ，v)实际上是时间无关的，但是如通过等式(2)中时间的显式复指数函数的效应可见，对S(t)的操作仍然是时变的。在实现方案中，所公开的调制方案设想正交基函数的适当选择，其中这些正交基函数使得这个信道的效应在由这些基函数定义的域中变得真正的时间无关。提出的方案具有以下高级概要。

首先，让我们考虑通过τ，v索引的标准正交(orthonormal)基函数φ_τ，v(t)的集合，它们与平移和调制是正交的，即，

并且，让我们把所发射的信号看作是这些基函数的叠加

s(t)＝∫∫x(τ，v)φ_τ，v(t)dτdv

(5)

其中权重x(τ，ν)表示要发射的信息承载信号。在(5)的所发射信号经过等式(2)的时变信道之后，我们获得基函数的经延迟和调制的版本的叠加，这由于(4)而导致

r(t)＝∫∫h(τ，v)e^j2πν(t-τ)s(t-τ)dvdτ＝∫∫φ_τ，ν(t){h(τ，v)*x(τ，v)}dτdv (6)

其中＊表示二维卷积。等式(6)可以被认为是在使用一维指数作为基函数的情况下对于线性时不变系统的卷积关系的一般化。要注意的是，括号中的项可以通过对每个基函数φ_τ，ν(t)进行匹配滤波在接收器处恢复。以这种方式，在(τ，v)域中确立二维信道关系

y(τ，ν)＝h(τ，ν)*x(τ，ν) (7)

其中y(τ，v)是接收器二维匹配滤波器输出。还要注意的是，在这个域中，信道是由时不变的二维卷积描述的。

无线信道的最后不同解释在下面也将是有用的。让我们考虑s(t)和r(t)作为平方可积函数的Hilbert空间的元素。然后等式(2)可以被解释为上的作用于输入s(t)的线性算子(operator)，其被冲击响应h(τ，v)参数化并产生输出r(t)：

要注意的是，虽然该算子是线性的，但它不是时不变的。如果不存在多普勒，即，如果h(τ，v)＝h(0，τ)δ(v)，那么等式(2)约简到时不变的卷积。还要注意的是，虽然对于时不变系统冲击响应被一个维度参数化，但是在时变情况下，我们具有二维冲击响应。虽然在时不变的情况下卷积算子产生输入s(t)的延迟的叠加(因此参数化是沿着一维延迟轴的)，但是在时变情况下，我们具有如等式(2)中看到的延迟和调制运算的叠加(因此参数化是沿着两个二维的延迟轴和多普勒轴)。这是使时变表示不可交换(与可交换的卷积操作相反)并且使时变系统的处理复杂化的主要区别。

等式(8)的一个重要的点是算子∏_h(·)可以用二维函数h(τ，v)紧凑地参数化，从而提供对信道的高效的时间无关的描述。典型的信道延迟扩展和多普勒扩展是多载波系统的符号持续时间和子载波间隔的非常小的一部分。

由等式(2)和(8)定义的时变系统的表示可以被表征为Heisenberg表示。在这方面，可以示出，每个线性算子(等式(8))可以被等式(2)中的某个冲击响应参数化。

多普勒多路径信道上的OTFS调制

信道的时变性在无线通信中引入了与用于波束成形和MIMO处理的信道捕获、跟踪、均衡和信道状态信息(CSI)到发射侧的传输相关的显著困难。我们在本文基于标准正交基函数集合来推演调制域，在该调制域上我们可以发射信息符号，并且，对于分组(packet)或突发(burst)传输的持续时间，信息符号在该调制域上经历静态的、时不变的二维信道。在该调制域中，信道相干时间以数量级增加，并且与SISO或MIMO系统中时间或频率域中的信道衰落相关联的问题显著减少。

图3是示例性OTFS通信系统300的部件的框图。如图所示，系统300包括发射器310和接收器330。发射设备310和接收设备330分别包括第一OTFS收发器和第二OTFS收发器315-1和315-2。OTFS收发器315-1和315-2单向或双向地经由通信信道320以本文所述的方式进行通信。虽然在本文描述的示例性实施例中，系统300可以包括无线通信系统，但是在其它实施例中，通信信道可以包括有线通信信道，诸如光纤或同轴电缆内的通信信道。如上所述，通信信道320可以包括多个通路并且通过时间/频率选择性衰落来表征。

OTFS收发器的部件可以以硬件、软件或其组合中实现。对于硬件实现方案，处理单元可以在一个或多个专用集成电路(ASIC)、数字信号处理器(DSP)、数字信号处理设备(DSPD)、可编程逻辑设备(PLD)、现场可编程门阵列(FPGA)、处理器，控制器、微控制器、微处理器、被设计为执行上述功能的其它电子单元和/或其组合中实现。

现在参考图3B，提供了构成OTFS调制的示例性形式的两种变换的绘画视图。它在高级别处示出在发射器(诸如发射器310)和接收器(诸如接收器330)处所需的信号处理步骤。它还包括定义每个步骤的参数，当我们进一步暴露每个步骤时，这些参数将变得明显。另外，图3C示出了在发射器和接收器处的不同处理阶段的框图，并确立将被用于各个信号的记号(notation)。

我们首先描述将波形域关联到时间-频率域的变换。

Heisenberg变换

在这部分中我们的目的是构造适当的发射波形，该发射波形携带由时间-频率平面中的网格上的符号提供的信息。我们推演这种调制方案的意图是将信道操作变换为在时间-频率域上的具有以下两个重要特性的等效操作：(i)信道在时间-频率网格上是正交化的；和(ii)信道时变性在时间-频率网格上被简化并且可以用附加的变换来解决。幸运的是，如接下来解释的，这些目标可以用非常接近于众所周知的多载波调制技术的方案来实现。我们将从用于多载波调制的一般框架开始，然后给出OFDM的示例和多载波滤波器簇实现方案。

让我们考虑时间频率调制的以下组成部分：

●时间频率平面上的点阵或网格，即，以采样周期T对时间轴的采样和以采样周期Δf对频率轴的采样。

●总持续时间为NT秒且总带宽为MΔfHz的分组突发

●我们希望将在该突发上发射的调制符号X[n，m]的集合，

n＝0，...，N-1，m＝0，...，M-1

●发射脉冲g_tr(t)，其具有与按照T的平移以及按照Δf的调制正交的特性(如果接收器使用与发射器相同的脉冲，那么这一般是必需的)

给定上述组成部分，时间-频率调制器是点阵Λ上的Heisenberg算子，即，它经由对脉冲波形g_tr(t)的延迟和调制操作的叠加将二维符号X[n，m]映射到所发射的波形

更形式地

其中我们用Π(·)表示被离散值X[n，m]参数化的“离散”Heisenberg算子。

要注意的是(12)与信道等式(8)的相似性。这不是巧合，而是因为我们应用了对信道效应进行建模的调制效应，所以调制和信道的级联的最终效应在接收器处更易于处理(tractable)。这并不是罕见的实践，例如，(针对时不变信道的)最简单的形式的线性调制是发射脉冲g(t)与以波特率T采样的QAM信息符号的卷积。

在目前针对时变信道的情况下，我们对发射脉冲(参考信道等式(2))与二维增量串(delta train)进行卷积和调制，其中二维增量串以一定的波特率(braud rate)和子载波间隔对时间频率域进行采样。

时间-频率域中的采样率与脉冲g_tr(t)的带宽和持续时间(即，其时间-频率定位(localization))相关。为了保持(10)的正交性条件，对于频率间隔Δf，时间间隔必须是T≥1/△f。T≥1/△f的临界采样情况一般是不实际的，并且指的是极限情况，例如对于循环前缀长度等于零的OFDM系统或者对于g_tr(t)等于理想Nyquist(奈奎斯特)脉冲的滤波器簇。

一些示例说明了这些原理：

示例1：OFDM调制：让我们考虑具有M个子载波、符号长度T_OFDM、循环前缀长度T_CP和子载波间隔1/T_OFDM的OFDM系统。如果我们在等式(11)中代入符号持续时间T＝T_OFDM+T_CP，符号数N＝1，子载波间隔△f＝1/T_OFDM，并且g_tr(t)是将子载波的持续时间限制为符号长度T的方形窗，那么

然后我们获得OFDM公式

在技术上，等式(14)的脉冲不是标准正交的，而是正交于接收滤波器(其中CP样本被丢弃)。

示例2：单载波调制：如果我们代入M＝1子载波、T等于波特周期，并且g_tr(t)等于平方根升余弦Nyquist脉冲，那么等式(11)约简为单载波调制。

示例3：多载波滤波器簇(MCFB)：如果g_tr(t)是具有过量带宽α的平方根升余弦Nyquist脉冲、T等于波特周期并且△f＝(1+α)/T，那么等式(11)描述MCFB。

如等式(12)中所示将调制操作表达为Heisenberg变换可能是违反直觉的。即，调制通常被感知为将调制符号X[m，n]变换成发射波形s(t)。当应用于原型发射滤波器响应g_tr(t)时(参见等式(12))，Heisenberg变换代替地使用X[m，n]作为产生s(t)的算子的权重/参数。虽然违反直觉，但是这个公式在追求其中信道可以被描述为时不变的二维域中的调制-信道-解调级联效应的抽象中是有用的。

注意力转向接收器侧需要从波形域返回到时间-频率域的处理。由于接收到的信号经历了两次Heisenberg变换的级联(一次是通过调制效应，一次是通过信道效应)，因此很自然地想知道该级联的端到端效应是什么。这个问题的答案由以下结果给出：

命题1：让如等式(8)、(2)所定义的两个Heisenberg变换被冲击响应h₁(τ，ν)、h₂(τ，v)参数化并且被级联应用于波形那么

其中h(τ，v)＝h₂(τ，v)⊙h₁(τ，v)是由以下卷积和调制操作定义的h₁(τ，ν)、h₂(τ，ν)的“扭曲”卷积

h(τ，ν)＝∫∫h₂(τ′，v′)h₁(τ-τ′，v-v′)e^j2πν′(τ-τ′)^tdτ′dv′

(17)

将上述结果应用于(12)和(8)的调制和信道Heisenberg变换的级联，可以示出接收到的信号由Heisenberg变换给出

r(t)＝Π_f(g_tr(t))+v(t)＝∫∫f(τ，v)e^j2πv(t-τ)g_tr(t-τ)dvdτ+v(t)

(18)

其中v(t)是加性噪声，并且f(τ，ν)(组合变换的冲击响应)由X[n，m]和h(τ，ν）的扭曲卷积给出

这个结果可以被认为是单载波调制情况的拓展，其中通过时不变信道接收到的信号由QAM符号与复合脉冲的卷积给出，该脉冲是发射器脉冲与信道冲击响应的卷积。

通过确立这个结果，我们准备好检查示例性的接收器处理步骤。

接收器处理和Wigner变换

典型的通信系统设计一般要求接收器执行匹配滤波操作，从而取得接收到的波形与(适当地经信道延迟或以其它方式失真的)发射器脉冲的内积。在目前的情况下，我们已经使用了一组经延迟和调制的发射脉冲，并且通常针对它们中的每一个执行匹配滤波操作。

图4提供了这个处理的概念视图。在发射器上，我们调制M个子载波的集合以用于我们发射的每个符号，而在接收器上我们对这些子载波脉冲中的每一个执行匹配滤波。我们定义接收器脉冲g_r(t)，并取得与该接收器脉冲的一组经延迟和调制的版本的内积。接收器脉冲g_r(t)在许多情况下与发射器脉冲相同，但是我们保留单独的记号以涵盖一些接收器脉冲g_r(t)与发射器脉冲不相同的情况(最明显的是在必须丢弃CP样本的OFDM中)。

虽然这种做法在理想信道的情况下将产生用于数据检测的足够的统计量，但是在这里可能要提起对于非理想信道效应的情况的关注。在这种情况下，通过与经信道失真的携带信息的脉冲的匹配滤波来获得用于符号检测的足够的统计量(假设加性噪声是白色和高斯的)。但是，在许多设计良好的多载波系统(例如，OFDM和MCFB)中，每个子载波信号的经信道失真的版本只是所发射的信号的标量版本，从而允许与信道无关的并且使用原始发射的子载波脉冲的匹配滤波器设计。我们将简短地让这些陈述更精确，并检查使其为真所要求的条件。

在OTFS接收器的实际实施例中，对于OFDM和MCFB，这种匹配滤波可以分别使用FFT或多相变换在数字域中实现。但是，为了本讨论的目的，我们将通过针对任意时间和频率偏移量(τ，v)取接收到的波形与接收器脉冲的经延迟和调制的版本的内积<g_r(t-τ)e^j2πv(t-τ)，r(t)>来考虑这种匹配滤波的一般化。虽然有可能不一定是实际的实现方案，但是它允许我们将图4的操作看作对这个更一般的内积的二维采样。

让我们定义内积

函数被知晓为交叉模糊度函数(cross-ambiguity function)，并且如果在τ＝nT、v＝m△f处(在点阵Λ上)采样，那么函数产生匹配滤波器输出，即，

模糊度函数与Heisenberg变换的逆(即，Wigner变换)相关。图4提供了对其的直观感觉，因为接收器看起来颠倒了发射器的操作。更形式地说，如果我们取得交叉模糊度以及发射和接收脉冲并使用其作为Heisenberg算子的冲击响应，那么我们获得正交交叉投影算子

换句话说，如果在Heisenberg表示中使用，那么来自匹配滤波器的系数将在最小平方误差的意义上提供对原始y(t)的最佳近似。

要解决的一个关键问题是匹配滤波器输出Y[n，m](或者更一般地，Y(τ，v))与发射器输入X[n，m]之间的关系。我们已经在(18)中确立了到匹配滤波器r(t)的输入可以表达为具有冲击响应f(τ，ν)(加上噪声)的Heisenberg表示。于是匹配滤波器的输出具有两个贡献

最后一项是噪声的贡献，我们将其表示为右手侧的第一项是对(无噪声)输入的匹配滤波器输出，该输出包括发射脉冲的经延迟和调制的版本的叠加。我们接下来确立这个项可以被表达为二维冲击响应f(τ，ν)与发射和接收脉冲的交叉模糊度函数(或者说二维互相关)的扭曲卷积。

以下定理总结了关键结果。

定理1：(基本时间-频率域信道等式)。如果接收到的信号可以表达为

Π_f(g_tr(t))＝∫∫f(τ，v)e^j2πv(t-τ)g_tr(t-τ)dvdτ (23)

那么该信号与接收脉冲g_tr(t)的交叉模糊度可以表达为

从(19)中回想到f(τ，ν)＝h(τ，ν)⊙X[n，m]，即，复合冲击响应本身是信道响应和调制符号的扭曲卷积。

将来自(19)的f(τ，ν)代入(22)，我们获得时间频率域中的端到端信道描述

其中V(τ，v)是加性噪声项。等式(25)提供在时间-频率平面上的对时变信道的抽象。它表明，在任何时间和频率点(τ，v)处的匹配滤波器输出是由信道的延迟-多普勒冲击响应与调制算子的冲击响应的扭曲卷积与发射和接收脉冲的交叉模糊度(或二维互相关)函数的扭曲卷积给出的。

在点阵Λ上评估等式(25)，我们获得匹配滤波器输出调制符号估计

为了在等式(25)、(26)上获得更多的直觉，让我们首先考虑理想信道的情况，即，h(τ，v)＝δ(τ)δ(v)。在这种情况下，通过直接代入，我们得到卷积关系

为了简化等式(27)，我们将使用模糊度函数的正交特性。由于我们使用不同的发射和接收脉冲，因此我们将在(10)中所述的发射脉冲设计的正交性条件修改为双正交性条件

在这个条件下，只有一项在(27)中幸存并且我们获得

Y[n，m]＝X[n，m]+V[n，m] (29)

其中V[n，m]是加性白噪声。等式(29)示出，在理想的信道条件下，匹配滤波器输出确实恢复了所发射的符号(加上噪声)。更令人感兴趣的当然是非理想时变信道效应的情况。我们接下来示出，即使在这种情况下，信道正交化也被维持(没有符号间或载波间干扰)，而信道复增益失真具有闭合形式的表达式。

下面的定理总结作为(29)的一般化的结果。

定理2：(端到端时间-频率域信道等式)：

如果h(τ，v)具有由(τ_max，v_max)界定的有限支集(finite support)，并且如果对于τ∈(nT-τ_max，nT+τ_max)、v∈(m△f-v_max，m△f+v_max)有即，(28)的模糊度函数双正交性特性在点阵Λ的每个网格点(m△f，nT)的和对信道响应h(τ，v)的支集一样大的邻域中为真，那么下面的等式成立

Y[n，m]＝H[n，m]X[n，m]H[n，m]＝∫∫h(τ，v)e^j2πvnTe^{-j2π(v+mΔf)τ}dvdτ (30)

如果模糊度函数在Λ的邻域中(通过连续性)只是近似双正交，那么(30)只是近似为真。等式(30)是描述时间-频率域中的信道行为的基本等式。它是理解信道的性质及其沿着时间和频率维度的变化的基础。

一些观察结果现在按照(in order on)等式(30)。如前面所提到的，在时间n或者频率m上不存在跨X[n，m]的干扰。

●调制域中的端到端信道失真是需要被均衡的(复数)标量。

●如果没有多普勒，即，h(τ，v)＝h(τ，0)δ(ν)，那么等式(30)变成

Y[n，m]＝X[n，m]∫h(τ，0)e^-j2πm△fτdτ＝X[n，m]H(0，m△f) (31)

这是众所周知的多载波结果，每个子载波符号乘以在该子载波的频率处评估的时不变信道的频率响应。

●如果没有多路径，即，h(τ，ν)＝h(0，ν)δ(τ)，那么等式(30)变成

Y[n，m]＝X[n，m]∫h(v，0)e^j2πvnTdτ (32)

要注意的是，每个子载波经历的作为时间nT的函数的衰落具有作为指数的加权叠加的复杂表达式。这是具有像LTE那样的移动性的无线系统的设计中的主要复杂性；它需要导频的传输以及对信道的持续跟踪，车速或多普勒带宽越高，这变得越困难。

下面提供这个一般框架的一些示例。

示例3：(OFDM调制)。在这种情况下，基本发射脉冲由(14)给出并且基本接收脉冲为

即，接收器将CP样本清零，并将方形窗应用于包括OFDM符号的符号。值得注意的是，在这种情况下，双正交性特性沿着时间维度确切地成立。

示例4：(MCFB调制)。在多载波滤波器簇g_tr(t)＝g_r(t)＝g(t)的情况下。对于基本脉冲g(t)存在若干设计。平方根升余弦脉冲提供沿频率维度的良好定位，代价是沿着时间维度定位较少。如果T比时间维度中对信道的支集大得多，那么每个子信道都看到平坦的信道并且双正交性特性近似地成立。

总之，现在已经描述了定义OTFS的两个变换之一。具体而言，已经提供了关于发射器和接收器如何在基本发射和接收脉冲上应用适当的算子并且根据等式(30)将信道正交化的解释。还已经提供了示例来说明对基本脉冲的选择如何影响所发射的调制符号的时间和频率定位以及所实现的信道正交化的质量。但是，等式(30)示出，在这个域中的信道虽然没有符号间干扰，但是经由线性相位因子的复杂叠加而在时间和频率维度二者上都承受衰落。

在下面我们从等式(30)开始并描述定义OTFS的第二个变换；我们将会示出该变换如何定义信息域，在该信息域中信道在任何一个维度上都不会衰落。

2D OTFS变换

要注意的是，(30)中的时间-频率响应H[n，m]通过类似于傅立叶变换的表达式而与信道延迟-多普勒响应h(τ，ν)相关。但是，有两个重要的区别：(i)变换是二维的(沿着延迟和多普勒)以及(ii)针对两个维度定义变换的指数具有相反的符号。尽管有这些困难，但等式(30)指向使用复指数作为在其上调制信息符号的基函数；以及只在时间-频率域上发射这些调制复指数基的叠加。如下面所讨论的，这种做法利用傅立叶变换特性并将一个傅立叶域中的乘性信道有效地转换到另一个傅立叶域中的卷积信道。

给定上面提到的等式(30)的困难，我们需要推演傅立叶变换的合适版本和相关联的采样理论结果。让我们从以下定义开始：

定义1：辛离散傅立叶变换：给定平方可求和二维序列我们定义

要注意的是，以上2D傅立叶变换(称为辛离散傅立叶变换)与更众所周知的笛卡尔傅立叶变换的不同在于，在两个维度中的每一维度上的指数函数具有相反的符号。在这种情况下这是必要的，因为它与信道等式的行为匹配。

进一步注意到的是，所得到的x(τ，ν)是周期性的，具有周期(1/△f，1/T)。这个变换定义新的二维平面，我们将称之为延迟-多普勒平面，并且该二维平面可以表示1/Δf的最大延迟和1/T的最大多普勒。一维周期函数也称为圆上的函数，而2D周期函数称为环面(或圆环(donut))上的函数。在这种情况下，x(τ，ν)被定义在环面Z上，其具有圆周(维度)(1/△f，1/T)。

x(τ，v)的周期性(或时间-频率平面的采样率)也定义了延迟-多普勒平面上的点阵，我们将其称为倒易点阵

倒易点阵上的点具有使(34)中的指数为2π的整数倍的特性。

逆变换由下式给出：

其中c＝T△f。

接下来我们定义x(τ，v)的采样版本。具体而言，我们希望在延迟维度上(以1/MΔf的间隔)取M个样本并在多普勒维度上(以1/NT的间隔)取N个样本。更形式地，定义导数点阵的更密集的版本，使得

我们在这个密集点阵上定义周期为(1/Δf，1/T)的离散周期函数，或者等价地在离散环面上定义具有这些维度的函数

这些函数经由傅立叶变换关系与点阵Λ上的离散周期函数相关，或等效地，与离散环面上的函数相关

Z₀＝{(nT，mΔf)，m＝0，...，M-1，n＝0，...N-1，} (39)

我们希望推演用于在(38)的点阵上对等式(34)进行采样的表达式。首先，我们从下面的定义开始。

定义2：辛有限傅立叶变换：如果X_p[k，l]是周期性的，具有周期(N，M)，那么我们定义

要注意的是，x_p[m，n]也是周期性的，具有周期[M，N]，或者等效地，它在离散环面上定义。形式上，SFFT(X[n，m])是的线性变换。

现在让我们考虑生成x_p[m，n]作为(34)的采样版本，即，于是我们可以示出(40)仍然成立，其中X_p[m，n]是X[n，m]的周期化，周期为(N，M)

这类似于在一个傅立叶域中采样在另一个域中产生混叠的结果。

逆离散(辛)傅立叶变换由下式给出

其中l＝0，...，M-1，k＝0，...，N-1。如果X[n，m]的支集被时间-频率限制到Z₀(在(41)中没有混叠)，那么对于n，m∈Z₀存在X_p[n，m]＝X[n，m]，并且逆变换(42)恢复原始信号。

SDFT被称为“离散”的，因为它表示使用离散指数集的信号，而SFFT被称为“有限”的，因为它表示使用有限指数集的信号。

在本上下文中，辛傅立叶变换的重要特性是它将一个域中的乘性信道效应变换为经变换的域中的循环卷积效应。这在以下命题中总结：

命题2：令为周期性2D序列。于是

SFFT(X₁[n，m]*X₂[n，m])＝SFFT(X₁[n，m])·SFFT(X₂[n，m]) (43)

其中*表示二维循环卷积。通过确立这个框架，我们准备好定义OTFS调制。

离散OTFS调制：考虑我们希望发射的布置在2D网格x[l，k]上的NM个QAM信息符号的集合(k＝0，...，N-1，l＝0，...，M-1)。我们将考虑x[l，k]是二维周期性的，周期为[N，M]。另外，假设由以下各项定义的多载波调制系统

●时间-频率平面上的点阵，即，采样周期为T的对时间轴的采样和采样周期为Δf的对频率轴的采样(参见等式(9))。

●总持续时间为NT秒并且总带宽为MΔf Hz的分组突发。

●满足(28)的双正交性特性的发射和接收脉冲g_tr(t)，

●在时间-频率域中乘以调制符号的发射加窗平方可求和函数

●通过基函数b_k，l[n，m]的集合与信息符号x[k，l]相关的调制符号X[n，m]的集合，n＝0，...，N-1，m＝0，...，M-1

其中基函数b_k，l[n，m]与逆辛傅立叶变换相关(参见等式(42))。

给定上述组成部分，我们经由以下两个步骤来定义离散OTFS调制

X[n，m]＝W_tr[n，m]SFFT^-1(x[k，l])s(t)＝Π_X(g_tr(t)) (45)

(45)中的第一个等式描述OTFS变换，其将逆辛变换与加窗操作组合。第二个等式描述调制符号X[n，m]经由由X[n，m]参数化的对g_tr(t)的Heisenberg变换的传输。用于调制步骤的更显式的公式由等式(42)和(11)给出。

虽然经由辛傅立叶变换的OTFS调制的表达式揭示了重要的特性，但更容易经由等式(44)来理解该调制，即，通过在时间-频率平面上调制2D基函数b_k，l[n，m]来发射每个信息符号x[k，l]。

离散OTFS解调：让我们假设所发射的信号s(t)经历根据(8)、(2)的信道失真，从而在接收器处产生r(t)。另外，令接收器采用接收加窗平方可求和函数W_r[n，m]。于是，解调操作包括以下步骤：

(i)用接收脉冲进行匹配滤波，或者更形式地，在Λ上评估模糊度函数(Wigner变换)，以获得对时间-频率调制符号的估计

(ii)对Y[n，m]加窗和周期化

Y_w[n，m]＝W_r[n，m]Y[n，m]

(iii)以及对周期序列Y_p[n，m]应用辛傅立叶变换

如我们前面所讨论的，解调操作的第一步可以被解释为在时间-频率域上的匹配滤波操作。那里的第二步是确保到SFFT的输入是周期序列。如果使用平凡窗(trivialwindow)，那么这一步可以跳过。第三步也可以被解释为时间-频率调制符号在正交基函数上的投影

以上定义的离散OTFS调制指向经由离散且周期性FFT类型处理的高效实现方案。但是，在二维傅立叶采样理论的上下文中，它可能不提供对这些操作的时间和带宽分辨率的深入了解。接下来我们介绍连续OTFS调制，并将更实用的离散OTFS作为连续调制的采样版本。

连续OTFS调制：考虑我们希望发射的周期为[1/Δf，1/T]的二维周期函数x(τ，ν)。周期的选择在这个时候看起来可能是任意的，但在下面的讨论之后，其选择的依据将会变得明显。另外，假设由以下各项定义的多载波调制系统

●时间频率平面上的点阵，即，采样周期为T的对时间轴的采样和采样周期为Δf的对频率轴的采样(参见等式(9))。

●满足(28)的双正交性特性的发射和接收脉冲g_tr(t)，

●在时间-频率域中乘以调制符号的发射加窗函数

给定以上组成部分，我们经由以下两个步骤来定义连续OTFS调制

X[n，m]＝W_tr[n，m]SDFT^-1(x(τ，ν))s(t)＝Π_X(g_tr(t)) (50)

第一个等式描述逆离散时间-频率辛傅立叶逆变换[参见等式(36)]和加窗函数，而第二个等式描述调制符号经由Heisenberg变换的传输[参见等式(11)]。

连续OTFS解调：假设所发射的信号s(t)经历根据(8)、(2)的信道失真，从而在接收器处产生r(t)。另外，让接收器采用接收加窗函数于是，解调操作包括两个步骤：

(i)在Λ上评估模糊度函数(Wigner变换)，以获得对时间-频率调制符号的估计

(ii)对调制符号加窗并应用辛傅立叶变换

要注意的是，在(51)、(52)中没有对Y[n，m]的周期化，因为SDFT是在非周期性的平方可求和序列上定义的。离散OTFS中所需的周期化步骤可以如下理解。假定我们希望通过执行连续OTFS解调然后在延迟-多普勒网格上进行采样来恢复所发射的信息符号

由于执行连续辛傅立叶变换一般是不实际的，因此我们考虑是否可以使用SFFT获得相同的结果。答案是，如果输入序列首先被周期化(混叠)，那么SFFT处理将确切地产生我们希望的样本。另见等式(40)和(41)。

现在我们已经描述了OTFS调制的示例性形式的每个步骤。我们还讨论了接收器处的Wigner变换如何逆变换发射器处的Heisenberg变换[参见等式(27)、(29)]，并且对于正向辛傅立叶变换和逆辛傅立叶变换进行了类似的讨论。

图5示意性地表示OTFS调制的示例性实施例，包括时间-频率平面到多普勒-延迟平面的变换。此外，图5指示采样率、延迟分辨率和时间分辨率之间的关系。参考图5，在第一操作中，Heisenberg变换将波形域中的时变卷积信道平移到时间频率域中正交但仍然时变的信道。对于总带宽BW和M个子载波，频率分辨率是Δf＝BW/M。对于总帧持续时间T_f和N个符号，时间分辨率是T＝T_f/N。

在第二操作中，SFFT变换将时间-频率域中的时变信道平移到延迟-多普勒域中的时不变信道。多普勒分辨率为1/T_f，并且延迟分辨率为1/BW。正如在经典频谱分析中那样，窗的选择可以提供主波瓣宽度(分辨率)和旁波瓣抑制之间的折衷。

OTFS域中的信道等式

现在将提供当非理想信道位于发射器和接收器之间时OTFS系统中端到端信号关系的数学表征。具体而言，这部分将证明如何将(2)、(8)中的时变信道变换为延迟多普勒域中的时不变卷积信道。

命题3：考虑布置在周期为[M，N]的2D周期序列x[l，k]中的NM个QAM信息符号的集合。序列x[l，k]经历以下变换：

●使用等式(45)的离散OTFS调制对它进行调制。

●由等式(2)、(8)的延迟-多普勒信道使它失真。

●由等式(46)、(48)的离散OTFS解调对它进行解调。

在解调之后获得的估计序列由输入QAM序列x[m，n]和经加窗的冲击响应h_w(·)的采样版本的二维周期卷积给出

其中hw(τ′，v′)表示信道响应与加窗函数的循环卷积

h_w(τ′，v′)＝∫∫e^-j2πvτh(τ，ν)w(τ′-τ，v′-v)dτdv (55)

准确地说，如等式中所见，窗w(τ，v)与信道脉冲响应(通过复指数的)略微修改版本e^-j2πvτh(τ，v)进行循环卷积。加窗函数w(τ，v)是时间-频率窗W[n，m]的辛傅立叶变换

并且其中W[n，m]是发射窗和接收窗的乘积。

W[n，m]＝W_tr[n，m]W_r[n，m] (57)

在许多情况下，发射器和接收器中的窗是匹配的，即，W_tr[n，m]＝W₀[n，m]并且因此W[n,m]＝|W₀[n,m]|²。

窗效应是以依赖于可用频率和时间样本的跨度的分辨率产生原始信道的模糊(blurred)版本。如果考虑矩形(或平凡)窗，即，在n＝0，...，N-1，m＝-M/2，...，M/2-1时W[n，m]＝1否则等于零，那么其在(56)中的SDFTw(τ，v)是带宽与N和M成反比的二维Dirichlet核。

窗函数还有其它若干用途。该系统可以被设计为具有旨在使所发射的符号的相位随机化的窗函数。与携带数据的符号相比，这种随机化对于导频符号可能更重要。例如，如果相邻小区使用不同的窗函数那么避免了导频污染的问题。

OTFS域中的信道估计

存在各种不同的方式可以为OTFS系统设计信道估计方案，并且有各种不同的实现方案选项和细节。

执行信道估计的直接方式需要在OTFS域中发射包含离散增量函数(deltafunction)的探测(sounding)OTFS帧，或等效地，在时间频率域中发射未调制载波的集合。从实际的观点来看，载波可以用在接收器处被移除的已知的(比如说，BPSK)符号进行调制，这在许多OFDM系统中是常见的。图6示出了OTFS域中的可以用于信道估计目的的离散冲击。

但是，由于信道响应的范围仅仅是OTFS帧的全部范围的一小部分(1/T，1/Δf)，因此这种做法可能是浪费的。例如，在LTE系统中1/T≈15KHz，而最大多普勒频移f_d，max通常要小一到两个数量级类似地1/Δf≈67usec(微秒)，而最大延迟扩展τ_max也小一到两个数量级。因此，我们可以将OTFS帧中小得多的区域用于信道估计，而帧的其余部分携带有用数据。更具体而言，对于具有支集(±f_d，max，±τ_max)的信道，我们需要长度为(2f_d，max/T，2τ_max/△f)的OTFS子帧。

在多用户传输的情况下，每个UE可以具有位于OTFS帧的不同部分中的该UE自己的信道估计子帧。但是，这种信道估计子帧的尺寸可以是相对有限的。例如，如果τ_max是延迟维度的范围的5％，并且f_d，max是多普勒维度的5％，那么信道估计子帧仅需要是OTFS帧的5％×5％＝0.25％。

重要的是，虽然信道估计符号被限制为OTFS帧的一小部分，但是它们实际上经由与这些符号相关联的对应二维时间-频率基函数来探测整个时间-频率域。

信道估计的不同做法是在时间-频率域中的子网格上投入导频符号。这种做法中的关键问题是确定足以用于信道估计而不引入混叠的导频密度。假设对于一些整数n₀、m₀，导频占据了子网格(n₀T，m₀△f)。回想一下，对于这个网格，SDFT将是周期性的，具有周期(1/n₀T，1/m₀△f)。然后，将前面讨论的混叠结果应用到这个网格，我们获得无混叠的Nyquist信道支集区域(±f_d，max，±τ_max)＝(±1/2n₀T，±1/2m₀△f)。给定信道的最大支集，可以从这个关系中确定导频的密度。导频子网格应当拓展到整个时间-频率帧，使得频道的分辨率不受损害。

OTFS访问：多路复用多于一个用户

存在在一个OTFS帧中多路复用若干上行链路传输或下行链路传输的各种方式。在这里我们简要回顾下面的多路复用方法：

●OTFS延迟-多普勒域中的多路复用

●时间-频率域中的多路复用

●码扩频域中的多路复用

●空间域中的多路复用

1.延迟-多普勒域中的多路复用：这可能是用于下行链路传输的最自然的多路复用方案。向不同的用户给予不同的OTFS基函数集合或者信息符号或资源块集合。考虑到基函数的正交性，可以在UE接收器处分离用户。UE只需要对OTFS帧中被指派给它的部分进行解调。

与常规通信系统相比，在OTFS系统中，甚至OTFS域中的小子帧或资源块也将经由二维基函数在整个时间-频率帧上发射，并将经历平均信道响应。图7通过示出属于不同用户的两个不同基函数来说明这一点。因此，不管资源块或子帧尺寸如何，对于每个用户都不存在对信道分辨率的损害。

在上行链路方向上，来自不同用户的传输经历不同的信道响应。因此，OTFS域中的不同子帧将经历不同的卷积信道。这会潜在地在两个用户子帧相邻的边缘处引入用户间干扰，并且将需要保护间隙来消除它。为了避免这种开销，可以在上行链路中使用如接下来解释的不同的多路复用方案。

2.时间-频率域中多路复用：在这种做法中，资源块或子帧在时间-频率域中被分配给不同的用户。图8针对三个用户的情况说明了这一点。如图8所示，第一用户(U1)占据整个帧长度，但仅占据可用子载波的一半。第二用户(U2)和第三用户(U3)占据另一半子载波，并在它们之间划分帧的总长度。

要注意的是，在这种情况下，每个用户采用所描述的OTFS调制的略微不同的版本。一个不同之处在于，每个用户i对子帧(N_i，M_i)执行SFFT，N_i≤N，M_i≤M。这降低了信道的分辨率，或者换句话说，减小了每个用户将在其中经历其信道变化的时间-频率平面的范围。另一方面，这也给予调度者将用户调度在时间-频率平面中其信道最佳的部分中的机会。

如果期望提取信道的最大分集(diversity)并且跨整个时间-频率帧分配用户，那么可以经由交织来对用户进行多路复用。在这种情况下，一个用户占据时间-频率帧的子采样网格(subsampled grid)，而另一个用户占据与其相邻的另一个子采样网格。图9示出了与图8中相同但是在子载波维度上交织的三个用户。当然，也有可能在时间维度上和/或在两个维度上进行交织。交织的程度或者每用户对网格子采样的程度只受必须适应的信道的扩展来限制。

3.时间-频率扩展码域中的多路复用：假设期望设计随机接入的PHY和MAC层，其中用户可以访问网络而不需要经过精心设计的RACH和其它同步过程。已经认识到让这种系统支持物联网(IoT)部署的需求。OTFS可以通过为每个用户指派不同的设计为随机数发生器(randomizer)的二维窗函数来支持这种系统。在这个实施例中，不同用户的窗被设计为彼此近似正交并且几乎与时间和频率偏移正交。然后每个用户只在一个或几个基函数上发射，并使用该窗作为使干扰随机化以及提供处理增益的手段。这会导致非常简化的系统，该系统对于低成本、短突发类型的IoT应用来说可能是有吸引力的。

4.空间域中的多路复用：最后，与其它OFDM多载波系统类似，多天线OTFS系统可以支持多个用户跨整个时间-频率帧在相同的基函数上发射。用户由适当的发射器和接收器波束成形操作分开。

OTFS通信系统的示例性实现方案

如上面所讨论的，正交时间频率空间(OTFS)调制的实施例包括两个变换的级联。第一变换将信息符号所驻留的(并且可以被称为延迟-多普勒平面的)二维平面映射到时间频率平面。第二变换将时间频率域变换到在其中实际构造发射信号的波形时间域。这种变换可以被认为是多载波调制方案的一般化。

图10示出了示例性OTFS收发器1000的部件。OTFS收发器1000可以被用作图3A的通信系统300中所示的示例性OTFS收发器315中的一个或两个。OTFS收发器1000包括发射器模块1005，发射器模块1005包括预均衡器1010、OTFS编码器1020和OTFS调制器1030。OTFS收发器1000还包括接收器模块1055，接收器模块1055包括后均衡器1080、OTFS解码器1070和OTFS解调器1060。OTFS收发器的部件可以在硬件、软件或其组合中实现。对于硬件实现方案，处理单元可以在一个或多个专用集成电路(ASIC)、数字信号处理器(DSP)、数字信号处理设备(DSPD)、可编程逻辑设备(PLD)、现场可编程门阵列(FPGA)、处理器、控制器、微控制器、微处理器、被设计为执行上述功能的其它电子单元和/或其组合内实现。将从收发器1000的各个部件的角度来描述所公开的OTFS方法。

再次参考图3A，在一方面，OTFS通信的方法涉及通过通信信道320从发射设备310向接收设备330发射至少一个数据帧([D])，这种数据帧包括多达N²个数据元素的矩阵，N大于1。该方法包括在OTFS收发器315-1内对数据帧的数据元素进行卷积，使得每个数据元素的值在被发射时被扩展在多个无线波形上，每个波形具有特征频率，并且每个波形携带来自数据帧[D]的多个所述数据元素的卷积结果。另外，在传输过程期间，多次循环地偏移这多个无线波形的频率，使得每个数据元素的值作为多次发送的多个经循环频率偏移的波形被发射。在接收设备330处，OTFS收发器315-2接收并对这些无线波形进行解卷积，由此重构所述至少一个数据帧[D]的复制品。在示例性实施例中，卷积过程使得直到基本上所有这些无线波形都已被发射和接收，任意数据帧([D])的任意数据元素才能被保证完全准确地重构。

图11示出了由对TDMA系统和OTFS系统的仿真预测的误比特率(BER)的比较。两个系统都使用16QAM星座。该仿真对100Hz的多普勒扩展和3毫秒的延迟扩展进行建模。如从图中可以看到的，对于相同的信噪比(SNR)，OTFS系统提供比TDMA系统低得多的BER。

现在关注图12，图12是表示由OTFS收发器1200执行的操作的流程图，其中OTFS收发器1200可以被实现为例如OTFS收发器1000(图10)。OTFS收发器1200包括发射器和接收器，其中发射器包括调制器1210，而接收器包括解调器1220和二维均衡器1230。在操作中，OTFS收发器1200的发射器接收符号的N×N矩阵形式的二维符号流，该矩阵在下文中可以被称为TF矩阵：

x∈C^N×N

如图13所示，在一个实施例中，调制器1210用作被部署成将二

φ_t＝M(x)＝∑x(i，j)φ_i，j φ_i，j⊥φ_k，l

维TF矩阵变换成以下被发射的波形的正交映射：

参考图14，解调器1220根据正交映射将接收到的波形变换成二维TF矩阵，以便生成输出流：

在一个实施例中，OTFS收发器1200可以由多个可变参数来表征，这些可变参数包括例如延迟分辨率(即，数字时间“滴答”或时钟增加量)、多普勒分辨率、处理增益因子(块尺寸)和标准正交基函数。这些可变参数中的每一个可以表示如下。

延迟分辨率(数字时间滴答)：

多普勒分辨率：

处理增益因子(块尺寸)：

N＞0

C^Nx1的标准正交基(谱形)：

U＝{u₁，u₂，..，u_N}

如图12所示，在操作期间，调制器1210取得TF矩阵并将其变换为脉冲波形。在一个实施例中，该脉冲波形包括依据Heisenberg表示和谱形定义的脉冲串：

其中b₁，b₂...b_N在图15中示出，并且，根据Heisenberg关系：

Π(h*x)＝Π(h)·Π(x)，特别地

Π(δ_(t，0)*x)＝L_t·Π(x)

Π(δ_(0，w)*x)＝M_w·Π(x)

Heisenberg表示提供：

由下式给出

其中L_t和M_w分别表示循环时间和频率偏移，并且可以表示为：

解调器1220取得接收到的波形并将其变换成依据Wigner变换和谱形定义的TF矩阵

M和D的主要特性(Stone von Neumann定理)：

D(h^aM(x))＝h*x，其中

h(τ，w)≈a(τ△T，w△F)

如图16所示，均衡器1230可以被实现为被配置为执行最小均方(LMS)均衡过程的二维判定反馈均衡器，使得：

发射器网格和接收器仓(Bin)结构

现在将注意力转向图17A-图17D，其绘出了在描述OTFS波形的发射和接收时将参考的OTFS发射器102和接收器104。更具体而言，图17B-图17D相对于时间-频率发射器网格或一系列仓以及对应的时间-频率接收器网格或一系列仓示出了OTFS波形的发射和接收。如下面将要讨论的，接收器104一般将相对于比与发射器102相关联的时间-频率发射网格更精细的时间-频率接收网格来操作。

现在转到图17A，发射器102和接收器104由包括一个或多个反射物106的受损无线数据信道100分开。如图所示，反射物106可以在波形(112、114a、114b)行进通过数据信道100时反射或以其它方式使波形受损。这些反射物可以固有地由信道100(参见例如图18的有限信道h_eqv,f)的二维(2D)信道状态表示。

在一个实施例中，发射器102包括发射器处理器102p，以将输入数据打包成数据符号的至少一个N×M阵列。然后根据本文描述的OTFS调制技术使用编码过程来发射这个数据符号的阵列。所发射的OTFS波形由包括接收器处理器104p的接收器104接收。在一个实施例中，接收器处理器104p利用与信道100的2D状态有关的信息来使得这些OTFS波形能够被解码并恢复所发射的数据符号。具体而言，接收器处理器104p可以使用OTFS编码过程的逆过程来解码和提取这多个数据符号。可替代地，可以在接收器已经解码并提取多个数据符号之后针对数据信道损害(impairment)进行信号的校正。

在一些实施例中，OTFS数据传输可以通过将输入的数据符号的N×M阵列变换成经滤波的OFDM符号的至少一个块或阵列来实现。这可以例如使用一维傅立叶变换和滤波过程或算法来完成。然后可以使用各种类型的二维傅立叶变换将经滤波的OFDM符号的这个块或阵列变换成OFTS符号的至少一个块或阵列。这些结果通常将被存储在发射器存储器102m中。所存储的结果然后可以通过各种方法经无线频率子频带传送。例如，在一个实施例中，可以利用采用一系列M个窄带滤波器簇的发射器102c。在这个实现方案中，发射器102c产生在至少N个时间间隔上被发射的一系列M个相互正交的波形。

在一个实施例中，可以在时间和频率两者中施加间隙或“保护带”，以在传输之前使各个窄带滤波器以及时间间隔之间的无意串扰的可能性最小化。取决于数据信道的特点，任何此类间隙或保护带都可以在情况允许时被增加或减少或者设置为零。

可替代地，OTFS编码过程可以将数据符号的N×M阵列编码到与辛分析兼容的流形上。这些符号可以分布在长度为T的列时间轴和长度为F的行频率轴上，由此产生至少一个信息流形以存储在发射器存储器102m中。

信息流形有效地将与输入数据符号对应的信息保持在使输入数据符号能够随后根据期望的OTFS变换操作(例如，辛2D傅立叶变换、离散辛2D傅立叶变换、有限辛傅立叶变换等)进行变换的形式中。在某些实施例中，数据符号也可以在被保持在信息流形内之前被扩展。

OTFS处理器102p然后可以根据2D辛傅立叶变换来变换信息流形。这种变换可以使用任何先前讨论的辛2D傅立叶变换、离散辛2D傅立叶变换和有限辛傅立叶变换来实现。这个操作产生至少一个经2D傅立叶变换的信息流形，其可以存储在发射器存储器102m中。

OTFS发射器102c通常将把这至少一个经2D傅立叶变换的信息流形作为一系列“M”个同时的窄带波形发射，每个系列在连续的时间间隔上，直到整个经2D傅立叶变换的信息流形已经被发射。例如，发射器处理器102p可以在这个经2D傅立叶变换的信息流形的所有频率和时间上(常常是以时间为基础在一列上)操作。发射器处理器102p可以选择在位置n(其中n可以从1变化到N)处的给定的列，并且根据与Tμ成比例的持续时间的时间切片发射一定宽度的列，其中μ＝1/N。然后，可以将这个经2D傅立叶变换的信息流形的列切片中的那些频率(例如，与这个发射时间切片对应的频率)传递通过一簇至少M个不同的、不重叠的窄带频率滤波器。这产生M个相互正交的波形。处理器102p然后可以使得这些所得到的经滤波的波形作为多个至少M个相互正交的波形在不同的发射时间间隔(例如，一次一列)上被发射，直到整个经2D傅立叶变换的信息流形已经被发射。

在一个实施例中，可以在时间和频率两者中施加间隙或“保护带”，以在传输之前使各个窄带滤波器以及时间间隔之间的无意串扰的可能性最小化。取决于数据信道的特点，任何此类间隙或保护带都可以在情况允许时被增加或减少或者被设置为零。

每个OTFS接收器104然后可以接收由发射器102发射的经2D傅立叶变换的信息流形的经信道卷积的版本。由于由信道100引入的失真，在M个原始频率处原始地发射的M个窄带波形现在可以包括在不同频率范围处的多于M个窄带波形。而且，由于所发射的OTFS波形撞击各个反射物106，所以原始地发射的信号及其反射可能在不同的时间被接收。因此，每个接收器104一般将在具有比与发射器102相关联的时间-频率网格更精细的网格的时间-频率网格上对各个接收到的波形进行超采样或过采样。这种过采样过程由图17B-图17D表示，这些图绘出了具有比发射器OTFS网格更小的时间和频率增加量的接收器时间-频率网格。

每个OTFS接收器104操作以时间切片上接收所发射的2D傅立叶变换的信息流形，其中该时间切片具有一般小于或等于发射器102所采用的传输时间间隔的持续时间。在一个实施例中，接收器104使用至少M个不同的、不重叠的窄带频率滤波器的接收组来分析接收到的波形。然后接收器一般将原始地发射的经2D傅立叶变换的信息流形的分解近似(经信道卷积的版本)存储在接收器存储器104m中。

一旦接收到由发射器102发射的波形，接收器104就校正信道100的卷积效应，以便便于恢复对原始地发射的数据符号的估计。接收器104可以以多种方式实现这些校正。

例如，接收器104可以使用由发射器102使用的2D辛傅立叶变换的逆变换来将接收到的波形变换成原始地发射的信息流形的初始近似。可替代地，接收器104可以首先使用与2D信道状态有关的信息来校正(存储在接收器存储器中的)所发射的经2D傅立叶变换的信息流形的经信道卷积的近似。在这种校正之后，接收器104然后可以使用在发射器102处采用的2D辛傅立叶变换的逆变换来生成接收到的信息流形并随后提取估计的数据符号。

虽然本文描述的OTFS方法固有地在与发射器相关联的整个时间-频率平面上扩展任何给定的数据符号，但是在一些实施例中，实现附加的扩展操作以确保所发射的数据符号均匀分布是有用的。这种扩展操作可以由发射器处理器102p在数据符号的输入N×M 2D阵列被编码到辛分析兼容流形上之前或之后执行。为此，可以使用多个扩展函数，诸如2D啁啾(chirp)操作。在这种扩展操作在发射器102处执行的情况下，接收器104将利用该扩频操作的逆，以便从各个接收到的信息流形中解码和提取数据符号。

图19示出了在N个持续时间为Tμ的时间段期间在M个频带上传输由N×M结构表示的经2D傅立叶变换的信息流形。在这个示例中，M个频带中的每个频带由给定的行表示，并且每个不同的时间段由给定的列表示。在图19的实施例中，假设OTFS发射器被配置为在没有保护间隔的情况下在包含M个频带的所分配带宽上发射OTFS信号。M个频带中的每个频带的带宽(ω₀)为1/Tμ。因而，如果期望在最小时间间隔N*Tμ内发射所有N列信息，那么M必须具有不大于1/Tμ的带宽，并且所有M个经滤波的OTFS频带使用的带宽不能超过M/T，其中T是用来发射经2D傅立叶变换的信息流形的所有N个列的总时间量。

在接收器104处，可以使用一般类似于发射器102所使用的滤波器簇的不同的不重叠的窄带频率滤波器簇来接收各个经2D傅立叶变换的信息流形。又一次地，接收器时间切片和接收滤波器簇一般将以更细的粒度来操作；即，接收器通常将在更小的频率带宽和更短的时间切片上但是在通常更宽的总的频率和时间范围上进行操作。因此，接收器仓结构将优选地对发射器先前使用的不同的、不重叠的窄带频率滤波器的发射组以及对应的发射时间切片进行过采样。

如参考图19可以认识到的那样，OTFS发射器通常(在这个示例中，在所有行上和相继的列上)发射所得到的经滤波的波形，直到整个经2D傅立叶变换的信息流形都已经被发射。但是，发射器可以连续地并且持续地发射相继的列(时间切片)(即，之间没有任何时间间隙)更多地作为一系列连续的较长持续时间的波形，或者可替代地发射器可以在各个相继的列之间放置某个时间间隔，从而产生更明显的一系列波形突发。

换句话说，发射器可以将所得到的经滤波的波形作为以下任一者发射：1)在不同的连续发射时间间隔上的多个至少M个同时发射的相互正交的波形；或者2)多个OTFS数据或OTFS导频突发，包括在由至少一个隔离时间间隔分开的不同发射间隔上的至少M个同时发射的相互正交的波形突发。

图20示出了根据各种较小的时间切片Tμ同时发射的M个经滤波的OTFS频带的示例。重复的曲线形状根据示出用于每个经滤波的带的中心频率。更详细地示出所发射的频率带宽仓之一，其具有尺寸1/T和持续时间T*μ。又一次地，如前面所讨论的，在优选实施例中，OTFS接收器将使用过采样，并且因此使用更精细粒度的仓，其仍然可以在更宽的时间和频率范围上拓展，以便捕捉具有高度延迟或多普勒频移的信号。

换句话说，在一些实施例中，在发射器处使用的不重叠的窄带频率滤波器可以被配置为传递来自与滤波器函数成比例的各个经2D傅立叶变换的信息流形，其中j是-1的平方根，t与从经2D傅立叶变换的信息流形中选择的持续时间Tμ的给定时间切片对应，并且k与给定的经2D傅立叶变换的信息流形中的给定行位置对应，其中k在1和M之间变化。在这个示例中，频率单位为Hz的带宽ω₀可以与1/T成比例，并且T＝M/(允许的无线带宽)。

如可以从图19和图20中认识到的那样，各个经2D傅立叶变换的信息流形可以具有根据时间轴的总体维度NT_μ和根据频率轴的总体维度M/T，并且各个经2D傅立叶变换的信息流形中的每个“单元格”或“仓”可以具有根据时间轴与Tμ成比例以及根据频率轴与1/T成比例的总体维度。

图21提供了根据各个较小的时间切片Tμ发射的OTFS波形的另一个示例。在图21的图示中，还示出了作为时间的函数的各个波形的调制程度或振幅。

在一些实施例中，使用底层调制信号来调制所发射的无线OTFS波形可能是有用的，其中该底层调制信号允许接收器区分在原始2D时间和频率网格上给定的接收到的信号源自哪里。这可以例如帮助OTFS接收器区分各种类型的接收到的信号，以及区分直接信号与各种经时间延迟和/或频移的反射信号。在这些实施例中，可以通过确定接收到的波形的与时间和频率相关的参数来区分原始地发射的OTFS波形的网格、仓或点阵位置。例如，在当前讨论的“辛”实现方案中，其中经2D傅立叶变换的信息流形的每一“行”被传递通过根据诸如的参数进行操作的窄带滤波器，“kω₀”项可以使接收器能够通过其起源“列”位置“t”来区分任何给定的传入OTFS波形。在这种情况下，接收器还应当能够通过确定各个接收到的波形的t(时间相关)和k(频率相关)值二者来确定各个接收到的波形的仓(网格、点阵)位置。这些值然后可以在对接收到的信号的后续解卷积期间使用。

如果期望接收到的OTFS信号的起源时间和频率起源的仓(网格点阵)的进一步可区分性，那么还可以在传输之前在OTFS信号上施加附加的时间和/或频率变化调制方案，以允许OTFS接收器进一步区分各个接收到的信号的仓(网格、点阵)起源。

在替代实施例中，信息流形或者经2D傅立叶变换的信息流形可以使用Dirac梳方法被采样和调制。这些方法所使用的Dirac梳可以是例如从Dirac增量函数构造的周期性缓增广义函数(tempered distribution function)。

现在注意力指向图22，其提供了根据本公开的OTFS发射和接收的示例性过程2200的框图表示。过程2200开始于对用于传输的数据的打包以及其可选的用于校正已知的信道损害的预编码(阶段2210)。该素材然后被2D傅立叶变换(诸如辛傅立叶变换、离散辛傅立叶变换或有限辛傅立叶变换)处理(阶段2220)。在这个处理之后，结果然后被传递通过滤波器簇(FB)并在一系列时间间隔Tμ上被发射(阶段2230)。所发射的无线OTFS波形然后传递通过通信或数据信道(C)，在那里它们遭受各种失真和信号损害(阶段2240)。在接收器处，根据滤波器簇以不同的时间间隔接收被接收的波形(阶段2250)。接收器滤波器簇(FB*)可以是根据可能是原始时间间隔Tμ的一部分的过采样持续时间操作的过采样滤波器簇(FB*)。这种过采样使得可以以更高的分辨率针对信道造成的时间延迟和频移来更好地对接收到的信号进行分析。在阶段2260处，通过逆2D傅立叶变换(2D-FT)(又一次地，其可以是逆辛傅立叶变换、逆离散辛傅立叶变换或逆有限傅立叶变换)来分析接收到的素材。然后可以使用例如2D信道状态信息针对信道失真进一步对结果进行校正(阶段2270)。在其它实施例中，阶段2270可以在阶段2260之前。

OTFS调制的进一步数学表征及二维(2D)信道模型的推导

在下文中，我们进一步推演了OTFS通信范例，该OTFS通信范例聚焦于由Heisenberg表示和二维辛傅立叶变换所扮演的中心角色。这一推演的原理性技术成果是对OTFS二维信道模型的精确推导。

0.引言

正交时间频率空间是新型的调制方案，其能够由通信收发器实现，其中该通信收发器通过同等对待时间和频率维度将动态一维无线介质平移成静态二维本地ISI信道。OTFS收发器相对于常规收发器的主要优点如下：

1.衰落。消除时间选择性衰落和频率选择性衰落二者。

2.分集。提取信道中的所有分集分支。

3.平稳性。所有符号都经历相同的失真。

4.CSI。完美且高效的信道状态信息(CSI)。

在某种意义上，OTFS收发器通过通信介质建立虚拟线路，从而允许在无线域中应用常规的有线DSP技术。OTFS收发器的实施例基于来自表示理论的原理，从而根据经典傅立叶理论对构造一般化。在操作层面上，OTFS可以被粗略地表征为将二维傅立叶变换应用于经滤波的OFDM符号块。OTFS是真正的二维时间-频率调制，并且可以结合二维时间-频率滤波和二维均衡技术二者。下面我们提供OTFS收发器的形式数学推演，其聚焦于二维信道模型的严格推导。

OTFS和点阵

我们首先选择欠采样的时间-频率点阵，即，密度小于或等于1的二维点阵。欠采样条件对于完美重构是必要的，但是，它似乎限制了信道捕获的延迟-多普勒分辨率。相反，雷达理论相当于选择密度大于或等于1的过采样时间频率点阵，其中过采样条件对于使目标测量的延迟-多普勒分辨率最大化是必要的。事实证明，辛(二维)傅立叶变换在通信点阵和雷达点阵之间变换交织(intertwine)。OTFS通信范例是在过采样的高分辨率雷达点阵上对信息符号进行多路复用，并使用辛傅立叶变换和二维滤波来转换回通信坐标。这允许OTFS兼顾两个世界的益处——高分辨率延迟-多普勒信道状态测量而不牺牲频谱效率。具体而言，OTFS信道模型可以被认为是无线介质的高分辨率延迟-多普勒雷达映像。

无线信道

为了理解OTFS，将无线信道理解为数学对象是有益的。令H＝L²(R)表示在时间域上定义的“物理”波形的向量空间。无线介质的物理性质受多路径反射现象的支配，即，所发射的信号传播通过大气并从周围的各种物体反射。一些物体(有可能包括发射器和接收器)正在以非零速度运动。因此，(在一些温和的“窄带”假设下)，接收到的信号是所发射信号的时间延迟和多普勒频移的叠加，其中时间延迟是由经反射的波形横穿的多余距离造成的，并且多普勒频移由反射物与发射和/或接收天线之间的相对速度造成。在数学上，这相当于无线信道可以表达为线性变换的事实C：H→H，该线性变换对于每个发射波形被实现为多个时间延迟和多普勒频移的加权叠加，即：

从等式(0.1)可以看出，信道C是由依赖于被称为延迟和多普勒的两个变量τ和v的函数h确定的。对(τ，ν)可以被看作是平面V=R²，(称为延迟多普勒平面)中的点。因此，h是表征无线信道的一种二维(延迟多普勒)冲击响应。但是，应当记住的是，这个术语是误导性的，因为由(0.1)给出的h的动作不是卷积动作。

衰落

无线信道的一个基本物理现象特点是衰落。衰落现象与在具体维度上测得的接收到的信号的能量轮廓中的局部衰减对应。一般考虑两种衰落：时间选择性衰落和频率选择性衰落。第一种是由多普勒频移的相消叠加造成的，并且第二种是由时间延迟的相消叠加造成的。由于无线信道包括时间延迟和多普勒频移二者的组合，因此它展现出这两种类型的衰落。减轻衰落现象是研发OTFS收发器背后的重要动机。

Heisenberg表示

一个关键的观察是在等式(0.1)中给出的延迟多普勒信道表示是称为Heisenberg表示的基本数学变换的应用，该基本数学变换在延迟多普勒平面V上的函数和信号空间H上的线性算子之间进行变换。要看到这一点，对于每个让我们用L_τ和M_v来分别表示对时间延迟τ和多普勒频移v的运算，即：

使用这个术语，我们可以按以下形式重写信道等式(0.1)：

让我们将Heisenberg表示定义为将函数a：V→C取为线性算子Π(a)：H→H的变换，Π(a)：H→H由下式给出：

我们将函数a称为算子Π(a)的延迟多普勒冲击响应。从这个角度看，我们看到无线信道是Heisenberg表示对延迟多普勒平面上的具体函数h的应用。这个更高层次的抽象将映射Π确立为无线通信底层的基础对象。事实上，对应性将平稳线性系统与一维冲击响应之间的经典对应性一般化到任意时变系统的情况(也称为线性算子)。在这方面，Heisenberg表示的主要特性是它在线性算子的合成与对应冲击响应之间的扭曲卷积运算之间进行转变。更详细地说，如果：

A＝Π(a)，

B＝Π(b)，

那么我们有：

其中*_t是二维卷积的非可交换扭曲。等式(0.4)对于二维信道模型(OTFS收发器的特征特性)的推导是关键的。

OTFS收发器和2D信道模型

OTFS收发器提供了具有将衰落无线信道转换成平稳二维卷积信道的效果的数学变换。我们将这个特性称为二维信道模型。

形式上，OTFS收发器可以被表征为一对线性变换(M，D)，其中M被称为调制映射，而D被称为解调映射并且是M的逆。根据OTFS范例，信息位被编码为V上的复值函数，其相对于被称为倒易通信点阵的点阵是周期性的。要注意的是，术语“倒易”被用来暗示Λ^⊥和更常规的点阵Λ(称为原始通信点阵)之间的一种类型的二元关系。如果我们用表示Λ^⊥的向量空间(V上的周期函数)，那么OTFS调制是线性变换：

在几何学上，人们可以把信息想象成通过相对于点阵Λ^⊥折叠V而获得的二维周期域(圆环)上的函数。分别地，解调映射是在相反方向上作用的线性变换，即：

二维信道模型的精确数学意义是，给定信息函数我们有：

其中*表示环面上的周期性卷积，并且函数c关于无线信道的延迟多普勒脉冲响应h的倒易点阵Λ^⊥是周期性的，即：

等式(0.7)和(0.8)对OTFS收发器与无线信道之间的精确交互方式进行编码。

对OTFS方法和OTFS收发器的这个解释的其余部分组织如下：

部分1讨论了与延迟多普勒平面V相关联的若干基本数学结构。我们首先介绍V上的辛形式，它是在经典信号处理中使用的更为熟悉的欧几里德形式的反对称变体。我们然后讨论作为V的二维离散子域的点阵。我们把注意力集中在倒易点阵的构造上。倒易点阵在OTFS收发器的定义中扮演关键角色。然后我们继续讨论点阵的对偶对象(称为环面)，它是通过相对于点阵折叠平面所获得的二维周期域。

部分2讨论辛傅立叶变换，它是依据V上的辛形式定义的二维傅立叶变换的变体。我们讨论了辛傅立叶变换的三个变体：连续辛傅立叶变换、离散辛傅立叶变换和有限辛傅立叶变换。我们解释这些变体之间的关系。

部分3讨论Heisenberg表示及其逆——Wigner变换。简而言之，Heisenberg表示是对时间延迟和多普勒频移的运算之间的精确代数关系进行编码的结构。我们将Wigner变换与更为熟悉的模糊度函数和交叉模糊度函数的记号联系起来。我们用基本信道等式的公式化来结束。

部分4讨论OTFS收发器的连续变体。我们首先指定定义OTFS收发器的参数。然后我们继续定义调制和解调映射。我们以从第一原理推导出二维信道模型来结束这部分。

部分5讨论OTFS收发器的有限变体。简而言之，有限变体是通过沿着有限均匀分布的子环面对倒易环面进行采样而从连续变体获得的。我们定义有限OTFS调制和解调映射。然后我们用公式表达二维信道模型的有限版本，从而解释了有限二维冲击响应是针对有限子环面对连续二维冲击响应的限制。我们用依据经典DSP运算对调制公式的显式解释来结束这部分。

1.延迟-多普勒平面

1.1辛平面

延迟多普勒平面是实数上的二维向量空间。具体地说，我们取V＝R²，其中第一个坐标是延迟，由τ表示，并且第二个坐标是多普勒，由v表示。延迟多普勒平面配备有由辛形式(也称为辛内积或辛配对)编码的固有几何结构。辛形式是由确定性公式定义的配对ω：V×V→R：

其中v＝(τ，ν)和v′＝(τ′，v′)。要注意的是，与其欧几里得对应物相反，辛形式是反对称的，即，对于每个v，v′∈V，ω(v，v′)＝-ω(v′，v)。因此，向量与其自身的辛乘积总是等于零，即，对于每个v∈V，ω(v，v)＝0。事实证明，时间和频率的架构是由辛结构支配的。

1.1.1平面上的函数。我们用C(V)表示V上复值函数的向量空间。我们用＊表示V上函数的线性卷积运算。给定一对函数f，g∈C(V)，对于每个v∈V，它们的卷积被定义为：

1.2点阵

点阵是与Z²同构的交换子组，定义如下：

其中v₁，v₂∈V是线性无关的向量。换句话说，Λ包括向量v₁和v₂的所有整数倍的线性组合。参见图23。向量v₁和v₂被称为点阵的发生器。根据定义，Λ的体积是基本域的体积。可以示出：

vol(Λ)＝｜ω(v₁，v₂)|. (1.3)

当vol(Λ)≥1时，点阵被称为欠采样，并且当vol(Λ)≤1时，点阵被称为过采样。最后，如果vol(Λ)＝1，那么点阵被称为临界采样。

示例1.1(标准通信点阵)。固定参数T≥0和μ≥1。令：

我们有vol(Λ_T，μ)＝μ。我们将Λ_T，μ称为标准通信点阵。

1.2.1倒易点阵。给定点阵其正交互补点阵被定义为：

Λ^⊥＝{v∈V：ω(v，λ)∈Zforeveryλ∈Λ}. (1.5)

换句话说，Λ^⊥由V中的所有向量构成，以便它们与Λ中每个向量的辛配对是整数的。可以示出，Λ^⊥实际上是点阵。我们将Λ^⊥称为Λ的倒易点阵。可以示出：

vol(Λ^⊥)＝1/vol(Λ)， (1.6)

这暗示着当且仅当Λ^⊥过采样时，Λ才是欠采样的。这意味着粗略(欠采样)点阵与精细(过采样)点阵之间的互易性(reciprocity)互换。另一个属性涉及点阵包含关系(lattice inclusion)在互易性下如何表现。给定由点阵和子点阵组成的对，可以示出倒易之间的包含关系被颠倒，即：

示例1.2考虑标准通信点阵Λ_T，μ。它的倒易由下式给出：

参见图24A和24B，分别示出了标准通信点阵和标准通信点阵的倒易。实际上，我们有：

要注意的是vol(Λ_T，μ)^⊥＝1/μ，这意味着，当原始点阵变得更稀疏时，倒易点阵变得更密集。

1.2.2点阵上的函数。我们用C(Λ)表示点阵上复值函数的向量空间。我们用R^Λ：C(V)→C(Λ)表示典型约束映射，对于每一个f∈C(V)和λ∈Λ，R^Λ：C(V)→C(Λ)由下式给出：

R^Λ(f)(λ)＝f(λ)，

我们用＊表示Λ上的函数之间的卷积运算。给定f，g∈C(Λ)，对于每一个λ∈Λ，它们的卷积被定义为：

1.3环面环面Z是二维周期域，它构成点阵Λ的几何对偶。形式上，Z是作为向量空间V除以点阵Λ的商所获得的连续组，即：

Z＝W/Λ. (1.10)

具体而言，根据定义，点z∈Z是V中的Λ陪集(coset)，即，对于一些v∈V：

z＝v+Λ， (1.11)

构造Z的替代(虽然比较不规范)方法是粘合Λ的基本域的相对的面。在几何上，Z具有通过相对于点阵Λ折叠平面V所获得的“圆环”形状。我们将Z称为与Λ相关联的环面，或者有时也称为Λ的对偶。要注意的是，环面是圆的二维对应物，其中后者是通过相对于一维点阵折叠线R获得的。

示例1.3(标准通信环面)。如图25所示，与标准通信点阵Λ_T，μ相关联的环面由下式给出：

在几何上，Z_T，μ是两个圆的笛卡尔积；一个具有直径Tμ，另一个具有直径1/T。我们称Z_T，μ为标准通信环面。

1.3.1环面上的函数。我们用C(Z)表示环面Z＝V/Λ上复值函数的向量空间。Z上的函数自然等效于函数f：V→C，其相对于按照点阵Λ的元素的平移是周期性的，即，对于每一个v∈V和λ∈Λ：

f(v+λ)＝f(v)， (1.13)

因此，Z上的函数的向量空间与V上的Λ周期性函数的子空间重合，即，C(Z)＝C(V)_Λ。因此，我们有自然的周期性映射R_Λ：C(V)→C(Z)，对于每一个f∈C(V)和v∈V，R_Λ：C(V)→C(Z)由下式给出：

我们用*表示Z上的函数的循环卷积运算。给定一对函数f，g∈C(Z)，对于每一个v∈V，它们的卷积被定义为：

要注意的是，在环面Z上的积分相当于在点阵Λ的基本域上的积分。

1.4有限环面有限环面Z₀是与由点阵和子点阵组成的对相关联的域。形式上，Z₀是由点阵Λ除以子点阵Λ₀的商定义的有限组，即：

Z₀＝Λ/Λ₀. (1.16)

具体而言，点z∈Z₀是Λ中的Λ₀陪集，即，对于一些λ∈Λ：

z＝λ+Λ₀， (1.17)

在几何上，Z₀是对连续环面Z＝V/Λ₀的有限均匀采样，因为我们有自然的包含关系：

Λ/Λ₀°V/Λ₀. (1.18)

示例1.4(标准通信有限环面)。考虑标准通信点阵Λ_T，μ。固定正整数n，m∈N≥1。令是由下式定义的子点阵：

与相关联的有限环面由下式给出(参见图26)：

结论如下，有限环面与两个循环组的笛卡尔乘积同构；其中之一是n阶的并且另一个是m阶的。我们称为标准通信有限环面。

1.4.1有限环面上的函数。我们用C(Z₀)表示有限环面Z₀＝Λ/Λ₀上的复值函数的向量空间。Z₀上的函数自然等效于函数f：Λ→C，其相对于按照子点阵Λ₀的平移是周期性的，即，对于每一个λ∈Λ和λ₀∈Λ₀：

f(λ+λ₀)＝f(λ)， (1.21)

因此，向量空间C(Z₀)与Λ上的Λ₀周期函数的子空间一致，即，因此，对于每一个f∈C(Λ)和λ∈Λ，我们有由下式给出的自然的周期性映射

我们用*表示Z₀上函数的有限循环卷积运算。给定一对函数f，g∈C(Z₀)，对于每一个v∈V，它们的卷积被定义为：

要注意的是，在有限环面Z₀上求和相当于在超点阵Λ中的子点阵Λ₀的基本域上求和。

1.4.2有限环面之间的互易性。给定有限环面Z₀＝Λ/Λ₀，我们用Z^⊥表示与倒易对相关联的有限环面，即：

我们称为倒易有限环面。虽然是不同的集合，但是可以示出，实际上，Z₀和作为有限组是同构的。

示例1.5考虑由标准通信点阵Λ_T，μ和子点阵组成的对。如上所示，与相关联的有限环面与下式同构：

Z₀；Z/Zn×Z/Zm.。

倒易点阵由下式给出：

因此，倒易有限环面由下式给出：

我们看到Z₀和作为有限组是同构的，因为两个组与两个循环组的笛卡尔乘积是同构的(尽管以不同的次序)，其中一个是n阶的并且另一个是m阶的。

2.辛傅立叶变换

在这部分中，我们将介绍二维傅立叶变换的与辛形式相关联的变体，称为辛傅立叶变换。令ψ：R→C^×，对于每一个z∈R表示标准复指数函数：

ψ(z)＝e^2πiz， (2.1)

2.1辛傅立叶变换的特性

辛傅立叶变换是二维傅立叶变换的与辛形式ω相关联的变体。形式上，对于每一个f∈C(V)和u＝(t，f)，辛傅立叶变换是由以下规则定义的线性变换SF∶C(V)→C(V)：

我们称经变换的域的坐标(t，f)分别为时间和频率。

一般而言，(2.2)的逆变换由以下公式给出：

但是，由于ω是反对称的，因此我们有SF^-1＝SF。即，辛傅立叶变换等于其逆。

2.1.1互换特性。如以下命题中用公式表达的，辛傅立叶变换在函数乘法和函数卷积之间互换。

命题2.1(互换特性)。对于每一个f，g∈C(V)，以下条件成立：

SF(f·g)＝SF(f)*SF(g)，SF(f*g)＝SF(f)·SF(g)， (2.4)

实际上，互换特性是从涉及二维平移和辛调制运算的更基本的特性出发的。

●平移：给定向量v₀∈V，将按照v₀的平移定义为线性平移对于每一个f∈C(V)，由下式给出：

●调制：给定向量v₀∈V，将按照v₀的辛调制定义为线性调制对于每一个f∈C(V)，由下式给出：

也许辛傅立叶变换最基本的特性是它在平移和辛调制之间互换。在下面的命题中用公式表达这个特性。

命题2.2(互换平移与辛调制)。以下条件成立：

对于每一个v₀∈V：

2.2离散辛傅立叶变换

离散辛傅立叶变换在两个离散变量的函数和两个连续周期变量的函数之间进行关联。形式的定义假设有点阵的选择。令是倒易点阵并且令Z^⊥表示与Λ^⊥相关联的环面，即：

Z^⊥＝V/Λ^⊥.

我们称Z^⊥为倒易环面。对于每一个f∈C(Λ)和u∈V，离散辛傅立叶变换是由下式给出的线性变换SF_Λ：C(Λ)→C(Z^⊥)：

其中c是归一化系数，取作c＝vol(Λ)。要注意的是，固定λ∈Λ的值，函数ψ(-ω(u，λ))f(λ)相对于倒易点阵是周期性的，因此是倒易环面上的函数。对于每一个f∈C(Λ)，逆变换由下式给出：

要注意的是，在环面Z^⊥上进行积分等效于在点阵Λ^⊥的基本域上进行积分。

2.2.1离散互换特性。如以下命题中用公式表达的那样，离散辛傅立叶变换在函数乘法和函数卷积之间互换。

命题2.3(离散互换特性)。以下条件对于每一个f，g∈C(Λ)成立：

SF_Λ(f·g)＝SF_Λ(f)*SF_Λ(g)， (2.9)

其中*代表周期性卷积。

2.2.2与连续变换的兼容性(compatibility)。连续辛傅立叶变换和离散辛傅立叶变换是兼容的。在下面的定理中用公式表达该兼容性关系。

定理2.4(离散-连续兼容性关系)。我们有：

换句话说，等式(2.11)提供了：取函数f的连续傅立叶变换然后相对于按照倒易点阵Λ^⊥的平移进行周期化与首先将f限制到点阵Λ然后取离散傅立叶变换是相同的。

2.3有限辛傅立叶变换

有限辛傅立叶变换涉及两个有限周期变量的函数。形式的定义假设由点阵和子点阵组成的对。我们用Z₀表示与这个对相关联的有限环面，即：

Z₀＝Λ/Λ₀.

令Λ^⊥和是对应的倒易点阵。我们用Z^⊥表示与该倒易点阵对相关联的有限环面，即：

对于每一个f∈C(Z₀)和有限辛傅立叶变换是由以下规则定义的线性变换

其中c是归一化系数，取作c＝vol(Λ)。对于每个和λ∈Λ，逆变换由下式给出：

其中c₀是归一化系数，取作c₀＝vol(Λ₀)。

2.3.1有限互换特性。如以下命题中用公式表达的，有限辛傅立叶变换在函数乘法和函数循环卷积之间互换。

命题2.5(离散互换特性)。以下条件对于每一个f，g∈C(Z₀)成立：

其中*代表有限循环卷积。

要注意的是，等式(2.15)中的归一化系数c/c₀等于有限环面Z₀中的点的数量。

2.3.2与离散变换的兼容性。离散辛傅立叶变换和有限辛傅立叶变换是兼容的。在下面的定理中用公式表达兼容性关系。

定理2.6.我们有：

用通俗易懂的语言来说，等式(2.17)陈述了取点阵Λ上的函数f的离散辛傅立叶变换并且然后限制到倒易点阵与首先相对于按照子点阵Λ₀的平移对f进行周期化并且然后取有限傅立叶变换是相同的。

示例2.7.考虑标准通信点阵Λ_T，μ和子点阵我们有以下同构：

Z₀；Z/nZ×Z/mZ，

关于这些实现，有限辛傅立叶变换及其逆具有以下具体形式：

其中，在第一个等式中k∈[0，m-1]，l∈[0，n-1]，而在第二个等式中K∈[0，n-1]，L∈[0，m-1]。要注意的是由于辛配对导致的傅立叶指数的负号。

3Heisenberg理论

令H表示实线R上平方可积复函数的Hilbert空间。我们用t表示行的参数，并把它称为时间。H上的内积由以下标准公式给出：

我们将H称为信号空间，并且将信号空间中的函数称为波形。Heisenberg理论涉及时间和频率维度之间错综复杂的相互作用背后的数学结构。简而言之，该理论研究了对函数的两个基本运算(时间延迟和多普勒频移)之间的代数关系。

3.1时间延迟和多普勒频移

时间延迟和多普勒频移的运算确立了H上的酉(unitary)变换的两个一参数系。

3.1.1时间延迟。给定实参数τ∈R，对于每一个f∈H和t∈R，时间延迟τ的运算是由下式给出的线性变换L_τ：H→H

L_τ(f)(t)＝f(t-τ)， (3.2)

可以示出，L_τ是酉变换，即，它对于每一个f，g∈H保留了内积：

<L_τf，L_τg>＝<f，g>，

而且，变换系{L_τ：τ∈R}对于每一个τ₁，τ₂∈R满足：

具体而言，时间延迟的运算彼此可交换，即，

3.1.2多普勒频移。给定实参数ν∈R，对于每一个f∈H和t∈R，多普勒频移v的运算是由下式给出的线性变换M_v：H→H：

M_v(f)(t)＝ψ(vt)f(t)， (3.3)

回想到ψ代表标准复指数函数ψ(z)＝e^2πiz。可以示出，M_v是酉变换，即，它对于每一个f，g∈H保留内积：

<M_vf，M_vg>＝<f，g>，

而且，变换系{M_v：v∈R}对于每一个v₁，v₂∈R满足：

具体而言，时间延迟的运算彼此可交换，即，

3.2Heisenberg表示

Heisenberg表示是统一时间延迟和多普勒频移两种运算的数学结构。主要困难在于这些运算彼此不交换，而是它们满足以下条件：

L_τM_v＝ψ(-τν)M_vL_τ. (3.4)

起点是对于每对实参数τ，ν∈R考虑经统一的延迟-多普勒线性变换：

π(τ，v)＝L_τM_v， (3.5)

在这个表示中，考虑有序对(τ，v)作为延迟多普勒平面V中的点。可以示出，由于这种合成，π(τ，ν)是酉变换。对于每一个f∈C(V)，二维变换系{π(v)：v∈V}定义由下式给出的线性变换Π：C(V)→Hom(H，H)：

Π(f)＝∫_v∈vf(v)π(v)dv， (3.6)

其中Π的范围是从H到其本身的线性变换的向量空间，我们用Hom(H，H)表示。换句话说，映射Π在延迟多普勒平面上取一个函数并将其发送到由延迟-多普勒变换的加权叠加给出的线性变换，其中权重由该函数的值指定。映射Π被称为Heisenberg表示。我们不能证明的一个基本事实是映射Π本质上是向量空间的同构。因此它承认被称为Wigner变换的逆Π^-1：Hom(H，H)→C(V)。对于每一个A∈Hom(H，H)和v∈V，Wigner变换由下式给出：

Π^-1(A)(v)＝Tr(π(v)^HA). (3.7)

Heisenberg表示和Wigner变换应当被认为是在延迟多普勒平面上的函数与信号空间上的线性变换之间进行转换的“坐标变换”(其可以用矩阵表示)。总之，线性变换A∈Hom(H，H)承认唯一展开为延迟-多普勒变换的叠加。这个展开中的系数由函数a＝Π^-1(A)给出。函数a被称为变换A的延迟-多普勒冲击响应。Heisenberg形式化(formalism)将时不变线性系统的经典框架一般化到时变线性系统。要注意的是，在前者中，时不变线性变换承认唯一展开为时间延迟的叠加，并且该展开中的系数构成经典的冲击响应。

3.2.1模糊度函数。一般线性变换的Wigner变换的公式(等式(3.7))是相当抽象的。幸运的是，对于具体类型的线性变换，Wigner变换采用更加显式的形式。比如我们被给予单位归一化||g||＝1的波形g∈H。令P_g表示在g所跨一维子空间上的正交投影，对于每一个P_g由下式给出：

命题。对于每一个v∈V，P_g的Wigner变换承认以下公式：

П^-1(P_g)(v)＝<π(v)g，g>， (3.9)

表示A_g＝Π^-1(P_g)并将这个函数称为g的模糊度函数。我们有：

Π(A_g)＝P_g. (3.10)

上面的等式意味着A_g是延迟-多普勒展开中算子P_g的系数——这是对模糊度函数的Heisenberg解释。

3.2.2交叉模糊度函数。交叉模糊度函数是将模糊度函数一般化到两个波形g₁，g₂∈H的情况，其中g₁被假设为单位归一化的。对于每一个令表示H上以下秩一(rank one)线性变换：

命题。对于每一个v∈V，的Wigner变换承认以下公式：

表示并将这个函数称为g₁和g₂的交叉模糊度函数。我们有：

因此，根据Heisenberg解释，交叉模糊度函数是延迟-多普勒扩展中算子的系数。

3.3Heisenberg互换特性

Heisenberg表示的主要特性是它在H上的线性变换的合成的运算与V上的函数的卷积运算的扭曲版本之间互换。为了定义扭曲卷积运算，我们考虑由下式给出的形式β：V×V→V：

β(v，v′)＝vτ′， (3.14)

其中v＝(τ，v)并且v′＝(τ′，v′)。形式β对于每一个v，v′∈V满足“极化”条件：

β(v，v′)-β(v′，v)＝ω(v，v′)， (3.15)

给定一对函数f，g∈C(V)，它们的扭曲卷积由以下规则定义：

可以看到，扭曲卷积运算与通常的卷积运算(等式(1.2))不同，因为有乘性因子ψ(β(v₁，v₂))。由于这个因子，与常规卷积相比，扭曲卷积是不可交换的运算。这种不可交换性是时间和频率架构所固有的。Heisenberg互换特性在下面的定理中用公式表达。

定理3.1(Heisenberg互换特性)。对于每一个f，g∈C(V)，我们有：

下面的示例对于理解这部分给出的构造背后的动机至关重要。简而言之，它解释了为什么公式(3.16)中的扭曲导致(account for)时间延迟和多普勒频移之间的换相关系的相位，参见等式(3.4)。

示例3.2我们在具体的情况下验证等式(3.17)。令v＝(τ，ν)和ν′＝(τ′，ν′)。考虑增量函数δ_ν和δ_ν′。一方面，我们有：

Π(δ_v)＝L_τM_v，

Π(δ_v′)＝L_τ′M_v′，

并且因此：

另一方面：

δ_v*_tδ_v′＝ψ(β(v，v′))δ_v*δ_v′＝ψ(vτ′)δ_v+v′. (3.19)

因此：

Π(δ_v*_tδ_v′)＝ψ(vτ′)π(v+v′). (3.20)

因此我们验证了：

3.4基本信道等式

我们以用公式表达与以下结构相关的基本等式来结束这部分：

1.交叉模糊度函数。

2.模糊度函数。

3.信道变换。

4.扭曲卷积。

这个基本等式对于将在下一部分中讨论的二维信道模型是关键的。令g∈H是单位归一化的波形。令h∈C(V)。我们用H表示信道变换：

H＝Π(h). (3.21)

定理3.3(基本信道等式)。以下等式成立：

A_g，H(g)＝h*_tA_g. (3.22)

换句话说，基本等式(3.22)认为g与H(g)的交叉模糊度函数是h与g的模糊度函数的扭曲卷积。

4.连续OTFS收发器

在这部分中，我们描述OTFS收发器的连续变体。

4.1设置

连续OTFS收发器的定义假设以下数据：

1.通信点阵。欠采样的点阵：

其中对于一些μ≥1，vol(Λ)＝μ：

2.发生器波形。单位归一化的波形：

g∈H，

对于每个非零元素λ∈Λ^×，其满足正交性条件A_g(λ)＝0。

3.2D滤波器。窗函数：

W∈C(Λ).

我们注意到的是，通常，沿着延迟和多普勒维度的2D滤波器的支集分别受到通信分组的时延和带宽限制的界定。

示例4.1通信点阵的典型示例是标准通信点阵

2D滤波器的典型示例是：

其中，m，n∈N≥1并且T∈R。参数T被称为符号时间。实数nμT和m/T分别是通信分组的时延和带宽。要注意的是，更复杂的频谱窗设计将涉及以频谱效率为代价的在边界周围一定程度的锥度(tapering)。最后，在μ＝1(临界采样)的情况下，正交波形的简单示例是：

g＝1_[0，T].

4.1.1一般化的设置。可以通过假设由对于每一个λ∈Λ^×满足以下交叉正交性条件的发射波形g_t∈H和接收波形g_r∈H组成的对(而不是单个正交波形g)来略微地将设置一般化：

在使用其中g_r≠g_t的对时的折衷是以接收器处较低的有效SNR为代价在每个波形的形状的设计中获得更多的自由度。为了简明，下面我们将只考虑当g_r＝g_t时的情况，并且理解所有结果都可以容易地扩展到更一般的情况。

4.2连续OTFS调制映射。令Z^⊥表示与点阵Λ^⊥相关联的环面，其中点阵Λ^⊥为通信点阵的倒易。对于每一个x∈C(Z^⊥)，连续OTFS调制映射是由下式给出的线性变换：

粗略地说，连续OTFS调制是Heisenberg表示与(逆)离散辛傅立叶变换的合成。在这方面，它组合了延迟多普勒平面的两个固有结构。公式(4.2)可以更显式地写成：

其中

图27示出了OTFS调制映射的示例性结构。要注意的是，图27包括通过与专门设计的函数α∈C(Z^⊥)的卷积给出的附加扩展变换。这个卷积的效应是沿着环面Z^⊥均匀地分布每个信息符号的能量，从而实现仅取决于信息向量x的总能量的发射波形的平衡功率轮廓。

4.3连续OTFS解调映射

对于每一个连续OTFS解调映射是由下式给出的线性变换D：H→C(Z^⊥)：

粗略地说，连续OTFS解调映射是离散辛傅立叶变换与Wigner变换的合成。对于每一个和u∈Z^⊥，公式(4.4)可以更显式地写作：

4.4二维信道模型

在描述用于OTFS收发器的二维信道模型的技术细节之前，我们将以简要的术语提供概述。首先考虑在时间(或频率)的标准一维物理坐标中，无线信道是多路径移动反射物的组合，其引起所发射信号上的失真。这种失真是由于时间延迟和多普勒频移的叠加造成的。这种一般的失真在标准物理坐标中作为衰落的非平稳的符号间干扰图案出现。相反，当转换到OTFS调制环面的坐标时，该失真变成静态的二维局部ISI失真。这是OTFS收发器的新颖和特征属性。在下面我们提供这个特点的严格推导。为此，我们通过考虑已经是时间延迟和多普勒频移的组合的最简单的多路径信道H：H→H而开始。在我们的术语中，这个信道对于一些v₀＝(τ₀，v₀)∈V是由下式给出的：

此外，我们假设向量v₀满足||v₀||＝diam(Λ)，其中点阵的直径按照定义是其泰森多边形法(Voronoi)区域的半径。换句话说，我们假设向量比点阵的尺寸要小。要注意的是，这个假设对于无线应用中的大多数相关场景成立。我们继续推导调制等效信道的结构。令q：V→C是对于每一个v∈V由下式给出的二次指数函数：

q(v)＝ψ(-β(v，v))， (4.7)

命题4.2调制等效信道是周期性卷积y＝h_cqv*x，其中冲击响应h_eqv∈C(Z^⊥)由下式给出：

即，公式(4.8)陈述了调制等效信道是与的周期性模糊版本的周期性卷积，其中模糊脉冲由离散脉冲|W|²的辛傅立叶变换给出。这种模糊导致分辨率损失，这是由于由滤波器W施加的频谱截断引起的。因此，分辨率随着窗尺寸增加(相当于更长的时延和更宽的带宽)而提高。在承认(granting)等式(4.8)的有效性的情况下，对于任何函数h∈C(V)，可以直接推导出一般无线信道的调制等价性：

H＝Π(h)， (4.9)

其中我们假设h的支集比点阵Λ的直径小得多。在下面的定理中用公式表达一般的二维信道模型。

定理(二维信道模型)。调制等效信道是与由下式给出的冲击响应h_eqv∈C(Z^⊥)的周期性卷积y＝h_eqv*x：

换句话说，调制等效信道是与q·h的周期性模糊版本的周期性卷积，其中模糊脉冲由离散脉冲|W|²的离散辛傅立叶变换给出。

4.4.1二维信道模型的推导。我们继续推导等式(4.8)。令x∈C(Z^⊥)。令表示所发射的信号。我们有：

其中令表示接收到的信号。我们有：

其中第三个等式遵循映射Π的Heisenberg特性(定理3.1)。经解调的向量由下式给出：

我们现在逐项评估(4.13)的右手侧。应用基本信道等式(定理3.3)，我们得到：

考虑到限制我们有以下命题。

命题。我们有

其中对于每一个v∈V，

组合等式(4.13)和(4.15)，我们得到：

这结束了二维信道模型的推导。

4.5显式的解释

我们通过依据经典DSP运算解释连续OTFS调制映射来结束这部分。我们在计算中使用来自示例1.1的标准通信点阵Λ＝Λ_T，μ。回想对于每一个x∈C(Z^⊥)的连续调制映射的定义：

其中公式(4.17)可以更显式地写成：

其中：

波形φ_K被称为第K个调制块。

4.5.1频域解释。令G表示g的傅立叶变换。等式(4.19)可以被解释为将加权序列W_KX_K馈送到均匀的滤波器簇中，其中每个子载波由滤波器G整形。参见图28。

4.5.2时域解释。令w_K和x_K分别表示离散波形W_K和X_K的逆离散傅立叶变换。两个波形都是周期性的，周期为T。我们有：

φ_K∝(w_K*x_K)·g，

其中*代表周期性卷积。波形x_K可以依据信息向量x如下表达：

换句话说，x_K(t)沿着多普勒维度与x的逆离散傅立叶变换的第K个分量成比例。

5有限OTFS收发器

在这部分中，我们描述OTFS收发器的有限变体。这个变体是经由统一采样从先前描述的连续变体中获得的。

5.1设置

有限OTFS收发器的定义假设如下：

1.通信点阵。欠采样点阵：

其中，对于一些μ≥1，vol(Λ)＝μ。

2.通信子点阵。子点阵：

3.发生器波形。单位归一化的波形：

g∈H，

对于每一个λ∈Λ^×，其满足正交性条件A_g(λ)＝0。

4.2D滤波器。窗函数：

W∈C(Λ).

要注意的是，2D滤波器的支集通常与子点阵的配置兼容，如在以下示例中所证明的那样。

示例5.1通信点阵和子点阵的标准嵌套对(nested pair)是：

其中m，n∈N≥1和T∈R是称为符号时间的参数。实数nμT和m/T分别是通信分组的时延和带宽。典型的兼容2D滤波器是：

更复杂的频谱窗设计可以涉及例如以频谱效率为代价的在边界周围一定程度的锥度。最后，在μ＝1的情况下，正交波形的简单示例是：

g＝1_[0，T].

5.2有限OTFS调制映射

令是倒易嵌套对。令是有限倒易环面。有限OTFS调制映射是对于每一个信息向量由下式定义的线性变换

公式(5.1)可以更显式地写作：

其中

5.3有限OTFS解调映射

有限OTFS解调映射是对于每一个由下式给出的线性变换

公式(5.2)可以更显式地对于每一个和写作：

回想归一化系数c＝vol(Λ)。

5.4有限二维信道模型

令H＝Π(h)是信道变换，其中h∈C(V)被假设为与通信点阵的维度相比具有小的支集。回想二次指数：

q(v)＝ψ(-β(v，v)).

定理5.2(有限二维信道模型)。有限调制等效信道是与由下式给出的冲击响应的循环卷积y＝h_eqv，f*x：

图18证明了这个定理的陈述。条形图1810表示所发射的信息向量x。条形图1820表示接收到的信息向量y。条形图1830表示实现有限调制等效信道的2D冲击响应。接收到的向量通过与2D冲击响应的2D循环卷积与发射向量相关。最后，我们从等式(5.3)看到有限冲击响应h_eqv，f是在有限子环面上对连续冲击响应h_eqv的采样。

5.5显式的解释

我们通过依据经典DSP操作解释有限OTFS调制映射来结束这部分。我们在计算中使用来自示例5.1的嵌套对回想对于每一个有限调制映射的定义：

其中公式(5.4)可以更显式地写为：

其中：

波形φ_K被称为第K个调制块。

5.5.1频域解释。令G表示g的傅立叶变换。等式(5.6)可以被解释为将序列W_KX_K馈送到均匀的滤波器簇中，其中每个子载波由滤波器G整形。

5.5.2时域解释。令w_K和x_K分别表示离散波形W_K和X_K的逆离散傅立叶变换。两个波形都是周期性的，周期为T。我们有：

其中*代表周期性卷积。波形x_K可以依据信息向量x被表达为：

换句话说，x_K与沿着多普勒维度的x的逆有限傅立叶变换成比例。

虽然上面已经描述了各种实施例，但是应当理解的是，它们仅以示例的方式给出而不是限制。它们并不旨在是详尽的或者将权利要求限制到所公开的确切形式。事实上，鉴于上述教导，许多修改和变化是可能的。实施例的选择和描述是为了最好地解释所描述的系统和方法的原理以及它们的实际应用，由此使得本领域的其他技术人员能够最好地利用所描述的系统和方法以及具有适于预期的特定用途的各种修改的各种实施例。

在上述方法指示以某个次序发生的某些事件的情况下，可以修改某些事件的排序。此外，如果可能的话，某些事件可以在并行过程中同时执行，以及如上所述顺序执行。虽然不同设备中的各种模块被示为位于设备的处理器中，但是它们也可以位于/存储在设备的存储器中(例如，软件模块)，并且可以由处理器访问和执行。因而，说明书旨在涵盖落入所附权利要求书的精神和范围内的所公开的实施例的所有此类修改和变化。

为了解释的目的，前面的描述使用具体的术语来提供对要求保护的系统和方法的透彻理解。但是，对于本领域技术人员来说将明显的是，这些具体细节不是为了实践本文描述的系统和方法所必需的。因此，对所描述的系统和方法的具体实施例的前面描述是为了说明和描述的目的而给出的。它们不旨在是详尽的或将权利要求限制到所公开的精确形式；显然，鉴于上述教导，许多修改和变化是可能的。实施例的选择和描述是为了最好地解释所描述的系统和方法的原理以及它们的实际应用，由此使得本领域的其他技术人员能够最好地利用所描述的系统和方法以及具有适于预期的特定用途的各种修改的各种实施例。意图是以下权利要求及其等同物定义本文描述的系统和方法的范围。

本文概述的各种方法或过程可以被编码为可在采用各种操作系统或平台中的任何一种的一个或多个处理器上执行的软件。此外，这种软件可以使用多种合适的编程语言和/或编程或脚本工具中的任何一种来编写，并且还可以被编译为在框架或虚拟机上执行的可执行的机器语言代码或中间代码。

计算机代码的示例包括但不限于微代码或微指令，诸如由编译器产生的机器指令、用来产生web服务的代码，以及包含由计算机使用解释器执行的更高级指令的文件。例如，实施例可以使用命令式编程语言(例如，C、Fortran，等等)、函数式编程语言(Haskell、Erlang，等等)、逻辑编程语言(例如，Prolog)、面向对象的编程语言(例如，Java、C++，等等)或其它合适的编程语言和/或开发工具来实现。计算机代码的附加示例包括但不限于控制信号、加密代码和压缩代码。

在这方面，各种发明构思可以体现为用一个或多个程序编码的计算机可读存储介质(或多个计算机可读存储介质)(例如，计算机存储器、一个或多个软盘、压缩盘、光学盘、磁带、闪存存储器、在现场可编程门阵列或其它半导体器件中的电路配置，或其它非暂态介质或有形计算机存储介质)，这一个或多个程序当在一个或多个计算机或其它处理器上执行时，执行实现上面讨论的本发明的各种实施例的方法。一个或多个计算机可读介质可以是可移动的，使得其上存储的一个或多个程序可以被加载到一个或多个不同的计算机或其它处理器中，以实现如上讨论的本发明的各个方面。

术语“程序”或“软件”在本文中一般意义上被用来指可以用来对计算机或其它处理器编程以实现如上面所讨论的实施例的各个方面的任何类型的计算机代码或计算机可执行指令集。此外，应当认识到的是，根据一方面，当被执行时执行本发明的方法的一个或多个计算机程序不需要驻留在单个计算机或处理器上，而是可以以模块化的方式分布在多个不同的计算机或处理器之间，以实现本发明的各个方面。

计算机可执行指令可以是以由一个或多个计算机或其他设备执行的许多形式，诸如程序模块。一般而言，程序模块包括执行特定任务或实现特定抽象数据类型的例程、程序、对象、部件、数据结构，等等。通常，程序模块的功能可以根据期望在各种实施例中组合或分布。

而且，数据结构可以以任何合适的形式存储在计算机可读介质中。为了简化说明，数据结构可以被示为具有通过数据结构中的位置相关的字段。这种关系同样可以通过为字段在计算机可读介质中指派具有传达字段之间的关系的位置的存储来实现。但是，可以使用任何合适的机制来建立数据结构的字段中的信息之间的关系，包括通过使用建立数据元素之间的关系的指针、标签或其它机制。

而且，各种发明构思可以体现为已经提供了其示例的一个或多个方法。作为方法的一部分执行的动作可以以任何合适的方式排序。因而，可以构造实施例，其中以与所示次序不同的次序执行动作，这可以包括同时执行一些动作，尽管在说明性实施例中示出为顺序动作。

如本文所定义和使用的，所有定义都应当被理解为控制字典定义、通过引用结合的文档中的定义和/或所定义的术语的普通含义。

如本文中在说明书和权利要求书中所使用的不定冠词“一”和“一个”，除非明确地相反指示，否则应当被理解为意指“至少一个”。

如本文在说明书和权利要求书中所使用的，短语“和/或”应当被理解为意指如此连接的元素中的“任一个或两者”，即，在一些情况下联合存在以及在其它情况下分离地存在的元素。用“和/或”列出的多个元素应当以相同的方式解释，即，如此连接的元素中的“一个或多个”。除了由“和/或”子句具体识别的元素，其它元素也可以可选地存在，而不管与具体识别出的那些元素相关还是不相关。因此，作为非限制性示例，当与诸如“包括”的开放式语言结合使用时，对“A和/或B”的引用在一个实施例中可以仅指A(可选地包括除B以外的元素)；在另一个实施例中，仅指B(可选地包括除A以外的元素)；在又一个实施例中，指A和B(可选地包括其它元素)；等等。

如在本说明书和权利要求书中所使用的，“或”应当被被理解为具有与以上定义的“和/或”相同的含义。例如，当在列表中分离项时，“或”或者“和/或”应当被解释为包含性的，即，包括至少一个元素，但也包括多个元素或元素列表中的多于一个元素，以及可选的其它未列出的项。只有明确指示为相反的项，诸如“仅…中的一个”或“…中的恰好一个”，或者，当在权利要求中使用时，“由...组成”将指多个元素或元素列表中的恰好一个元素。一般而言，本文使用的术语“或”仅当前面有排他性术语(诸如“任一个”、“…中的一个”、“仅…中的一个”或“…中的恰好一个”)时才将被解释为指示排他性的替代方案。当在权利要求中使用时，“基本上由...组成”将具有其在专利法领域中使用的普通含义。

如本文在说明书和权利要求书中所使用的，引用一个或多个元素的列表的短语“至少一个”应当被理解为意指选自元素列表中的任意一个或多个元素中的至少一个元素，但不一定包括元素列表内具体列出的每个元素中的至少一个，并且不排除元素列表中的元素的任意组合。这个定义还允许，可以可选地存在除在短语“至少一个”所指的元素列表内具体识别的元素之外的元素，而不管与具体识别出的那些元素相关还是不相关。因此，作为非限制性示例，“A和B中的至少一个”(或者等效地，“A或B中的至少一个”，或者等效地，“A和/或B中的至少一个”)可以在一个实施例中指至少一个(可选地包括多于一个)A而不存在B(并且可选地包括除B以外的元素)；在另一个实施例中指至少一个(可选地包括多于一个)B而不存在A(并且可选地包括除A以外的元素)；在又一个实施例中，指至少一个(可选地包括多于一个)A和至少一个(可选地包括多于一个)B(并且可选地包括其它元素)；等等。

在权利要求书以及以上说明书中，所有过渡性短语，诸如“包括”、“包含”、“携带”、“具有”、“含有”、“涉及”、“保持”、“组分有”等等都被理解为是开放式的，即，意指包括但不限于。只有过渡性短语“由...组成”和“基本上由...组成”将分别是闭合或半闭合式过渡性短语，如在美国专利局专利审查程序手册第2111.03节中所阐述的那样。

Claims

1.一种生成用于经由通信信道传输的波形的方法，所述方法包括：

接收多个信息符号；

通过使用所述多个信息符号中的每一个信息符号在时间-频率平面上调制多个二维基函数中的一个二维基函数来创建多个调制符号，其中所述多个二维基函数中的每一个二维基函数与所述多个信息符号中的一个信息符号唯一地关联；以及

生成包含多个脉冲波形的发射波形，所述多个脉冲波形中的每一个脉冲波形对应于所述多个调制符号中的一个调制符号与基本发射脉冲的多个经时间平移及频率调制的版本中的一个版本的组合。

2.如权利要求1所述的方法，其中所述基本发射脉冲的多个经时间平移及频率调制的版本中的每一个版本与按照T的N个倍数中的一个的时间平移以及按照Δf的M个倍数中的一个的频率调制相关联。

3.如权利要求2所述的方法，其中所述基本发射脉冲具有与按照时间T的倍数的平移以及按照Δf的倍数的调制正交的特性。

4.如权利要求2所述的方法，其中所述发射波形的总持续时间为NT秒并且总带宽为MΔf Hz。

5.如权利要求1所述的方法，还包括通过调制OFDM子载波的集合来生成所述多个脉冲波形。

6.如权利要求2所述的方法，还包括将所述多个信息符号布置在二维网格上，所述二维网格具有第一维度以及第二维度，所述第一维度具有N个元素，所述第二维度具有M个元素。

7.一种通信设备，包括：

无线发射器；

处理器；以及

存储器，包括能够由所述处理器执行的程序代码，所述程序代码包括：

用于使所述处理器接收多个信息符号的代码；

用于使所述处理器通过使用所述多个信息符号中的每一个信息符号在时间-频率平面上调制多个二维基函数中的一个二维基函数来创建多个调制符号的代码，其中所述多个二维基函数中的每一个二维基函数与所述多个信息符号中的一个信息符号唯一地关联；

用于使所述处理器生成包含多个脉冲波形的发射波形的代码，所述多个脉冲波形中的每一个脉冲波形对应于所述多个调制符号中的一个调制符号与基本发射脉冲的多个经时间平移及频率调制的版本中的一个版本的组合；以及

用于使所述处理器将所述发射波形提供给所述无线发射器的代码。

8.如权利要求7所述的通信设备，其中所述基本发射脉冲的多个经时间平移及频率调制的版本中的每一个版本与按照T的N个倍数中的一个的时间平移以及按照Δf的M个倍数中的一个的频率调制相关联。

9.如权利要求7所述的通信设备，其中所述基本发射脉冲具有与按照时间T的倍数的平移以及按照Δf的倍数的调制正交的特性。

10.如权利要求8所述的通信设备，其中所述发射波形的总持续时间为NT秒并且总带宽为MΔf Hz。

11.如权利要求7所述的通信设备，其中所述程序代码还包括用于通过调制OFDM子载波的集合来生成所述多个脉冲波形的代码。

12.如权利要求7所述的通信设备，其中所述程序代码还包括用于将所述多个信息符号布置在二维网格上的代码，其中所述二维网格具有第一维度以及第二维度，所述第一维度具有N个元素，所述第二维度具有M个元素。

13.一种方法，包括：

在通信接收器处接收一个或多个调制波形；

相对于接收脉冲对所述一个或多个调制波形的样本进行匹配滤波，以产生估计的时间-频率调制符号，其中所述估计的时间-频率调制符号中的每一个估计的时间-频率调制符号对应于多个信息符号中的一个信息符号对多个正交的二维基函数中的一个二维基函数的调制；以及

将对时间-频率调制符号的估计投影在所述多个正交的二维基函数上，以便获得对所述多个信息符号的估计。

14.如权利要求13所述的方法，还包括针对所述估计的时间-频率调制符号执行加窗和周期化操作。

15.如权利要求13所述的方法，其中所述投影包括针对包含所述对时间-频率调制符号的估计的周期性序列执行辛傅立叶变换操作。

16.一种通信设备，包括：

无线接收器，被配置为接收一个或多个调制波形；

处理器；以及

用于使所述处理器从所述无线接收器接收一个或多个调制波形的样本的代码；

用于使所述处理器相对于接收脉冲对所述一个或多个调制波形的样本进行匹配滤波以产生估计的时间-频率调制符号的代码，其中所述估计的时间-频率调制符号中的每一个估计的时间-频率调制符号对应于多个信息符号中的一个信息符号对多个正交的二维基函数中的一个二维基函数的调制；以及

用于使所述处理器将所述估计的时间-频率调制符号投影在所述多个正交的二维基函数上以便获得对所述多个信息符号的估计的代码。

17.如权利要求16所述的通信设备，其中所述程序代码还包括用于针对所述估计的时间-频率调制符号执行加窗和周期化操作的代码。

18.如权利要求16所述的通信设备，其中用于使所述处理器进行投影的代码还包括用于使所述处理器针对包含所述估计的时间-频率调制符号的周期性序列执行辛傅立叶变换操作的代码。

19.如权利要求13所述的方法，其中所述投影根据以下等式：

<mrow> <mover> <mi>x</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>&lsqb;</mo> <mi>l</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>&rsqb;</mo> <mo>=</mo> <munderover> <mo>&Sigma;</mo> <mrow> <mi>m</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> <mrow> <mi>M</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </munderover> <munderover> <mo>&Sigma;</mo> <mrow> <mi>n</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> <mrow> <mi>N</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </munderover> <mover> <mi>X</mi> <mo>^</mo> </mover> <mrow> <mo>(</mo> <mi>n</mi> <mo>,</mo> <mi>m</mi> <mo>)</mo> </mrow> <msubsup> <mi>b</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>l</mi> </mrow> <mo>*</mo> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>n</mi> <mo>,</mo> <mi>m</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

其中表示对所述多个信息符号的估计，其中表示所述估计的时间-频率调制符号，并且其中对应于所述多个正交的二维基函数。

20.如权利要求16所述的通信设备，其中用于使所述处理器进行投影的代码根据以下等式：

21.如权利要求1所述的方法，其中所述多个调制符号是根据以下等式创建的：

<mrow> <mi>X</mi> <mo>&lsqb;</mo> <mi>n</mi> <mo>,</mo> <mi>m</mi> <mo>&rsqb;</mo> <mo>=</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mi>M</mi> <mi>N</mi> </mrow> </mfrac> <msub> <mi>W</mi> <mrow> <mi>t</mi> <mi>r</mi> </mrow> </msub> <mo>&lsqb;</mo> <mi>n</mi> <mo>,</mo> <mi>m</mi> <mo>&rsqb;</mo> <munderover> <mo>&Sigma;</mo> <mrow> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> <mrow> <mi>N</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </munderover> <munderover> <mo>&Sigma;</mo> <mrow> <mi>l</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> <mrow> <mi>M</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </munderover> <mi>x</mi> <mo>&lsqb;</mo> <mi>l</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>&rsqb;</mo> <msub> <mi>b</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>l</mi> </mrow> </msub> <mo>&lsqb;</mo> <mi>n</mi> <mo>,</mo> <mi>m</mi> <mo>&rsqb;</mo> </mrow>

其中表示所述多个调制符号，x[k，l]表示所述多个信息符号，并且b_k，l[n，m]表示所述多个二维基函数。