CN107846019A - 基于分数阶高阶滑模模糊控制的有源电力滤波器控制方法 - Google Patents

基于分数阶高阶滑模模糊控制的有源电力滤波器控制方法 Download PDF

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Abstract

本发明公开了一种基于分数阶高阶滑模模糊控制的有源电力滤波器控制方法。首先，建立三相并联型有源电力滤波器的数学模型，在设计控制器时，先利用分数阶高阶滑模控制方法设计动态滑模面，再利用自适应模糊控制逼近，使系统保持稳定状态。该方法大大增强了系统的补偿性能和鲁棒性能，达到快速有效消除谐波的目的。

Description

基于分数阶高阶滑模模糊控制的有源电力滤波器控制方法
技术领域
本发明涉及有源电力滤波技术领域，具体涉及一种基于分数阶高阶滑模模糊控制的有源电力滤波器控制方法。
背景技术
采用电力滤波器装置吸收谐波源所产生的谐波电流，是一种抑制谐波污染的有效措施。有源电力滤波器具有快速响应性及高度可控性，不仅可以补偿各次谐波，还可以补偿无功功率、抑制闪变等。由于电力系统的非线性和不确定性，自适应控制和智能控制具有建模简单、控制精度高、非线性适应性强等优点，可以应用在有源滤波器中用于电能质量控制和谐波治理，具有重要的研究意义和市场价值。
本发明深入研究了三相并联有源电力滤波器的原理，在此基础上建立数学模型，利用三相并联型有源电力滤波器线性状态方程，加入了分数阶高阶滑模控制方法。研究有源电力滤波器模型参考自适应控制，提出了分数阶高阶滑模模糊自适应控制算法，应用于三相并联型有源电力滤波器的谐波补偿控制。通过MATLAB仿真，验证了增加分数阶高阶滑模模糊控制的自适应控制方法有效消除电路谐波，提高电源质量。
发明内容
为解决现有技术中的不足，本发明提供一种基于分数阶高阶滑模模糊控制的有源电力滤波器控制方法，有效消除电路谐波，提高电源质量，提高系统控制的可靠性、稳定性。
为了实现上述目标，本发明采用如下技术方案：一种基于分数阶高阶滑模模糊控制的有源电力滤波器控制方法，其特征在于：包括步骤：
一、建立有源电力滤波器的数学模型：
二、利用李雅谱诺夫函数，分数阶控制，模糊控制和高阶滑模控制设计控制器。
前述的一种基于分数阶高阶滑模模糊控制的有源电力滤波器控制方法，其特征是：所述步骤一具体包括以下步骤：
建立有源电力滤波器的数学模型为：
其中
x为指令电流信号，为x的导数，Lc为电感，Rc为电阻，ik为三相补偿电流，vk为三相有源电力滤波器端电压，vdc为直流侧电容电压，ck、cm为开关函数；m，k为大于0的常数；dk为开关状态函数。
前述的一种基于分数阶高阶滑模模糊控制的有源电力滤波器控制方法，其特征是：所述ck指示IGBT的工作状态，定义如下：
所述dk为开关状态函数，定义如下：
则dk依赖于第k相IGBT的通断状态，是系统的非线性项。
前述的一种基于分数阶高阶滑模模糊控制的有源电力滤波器控制方法，其特征是：所述步骤二中利用李雅谱诺夫函数，分数阶控制，模糊控制和高阶滑模控制设计控制器，包括步骤：
1)设计分数阶高阶滑模滑模面；
2)设计分数阶高阶滑模模糊自适应控制器的控制律。
前述的一种基于分数阶高阶滑模模糊控制的有源电力滤波器控制方法，其特征是：所述设计分数阶高阶滑模滑模面，包括步骤：
定义跟踪误差：
e＝xd-x (9)
其中，xd为参考电流信号，x为指令电流信号，将公式(9)求导得：
其中，为x的导数，为xd的导数；
定义分数阶一阶滑模面：
s＝-λ1e-λ2∫e-λ3Dα-1e (11)
其中，λ1,λ2,λ3为正数，Dα-1为分数阶模块，1＞α＞0，∫e为对误差的积分。
对公式(11)求导得：
其中，Dα为Dα-1的求导结果；
将公式(10)，代入公式(12)得到：
定义高阶滑模面：
其中为大于0的常数。
将公式(11)，(13)带入公式(14)得到：
将公式(15)求导得分数阶高阶滑模滑模面：
其中，为的导数，为f(x)的导数，为u的导数。
前述的一种基于分数阶高阶滑模模糊控制的有源电力滤波器控制方法，其特征是：所述设计分数阶高阶滑模模糊自适应控制器的控制律，具体步骤为：
设计系统控制律为：
将公式(8)，(10)带入公式(17)：
其中，令ρsgn(σ)＝dk，ρ为大于0的常数，且ρ≥|D|，sgn为符号函数，D为ρ的上界常数。
加入模糊控制，系统控制律设计为：：
其中，为的模糊逼近函数，为f(x)的模糊逼近函数，为ρsgn(σ)的模糊逼近函数，Dα+1为Dα的求导结果。
本发明所达到的有益效果：本发明深入研究了三相并联有源电力滤波器的原理，在此基础上建立数学模型，利用三相并联型有源电力滤波器线性状态方程，加入了分数阶高阶滑模控制方法；研究有源电力滤波器模型参考自适应控制，提出了分数阶高阶滑模模糊自适应控制算法，应用于三相并联型有源电力滤波器的谐波补偿控制；通过MATLAB仿真，验证了增加分数阶高阶滑模模糊控制的自适应控制方法有效消除电路谐波，提高电源质量，提高系统鲁棒性和稳定性，跟踪效果好。
附图说明
图1为并联型有源电力滤波器APF的主电路结构示意图；
图2为本发明方法控制器示意图；
图3为三相有源电力滤波器电源电流曲线图；
图4为分数阶高阶滑模模糊自适应控制系统误差曲线图；
图5为三相有源电力滤波器直流侧电压随时间变化的曲线图。
具体实施方式
下面结合附图对本发明作进一步描述。以下实施例仅用于更加清楚地说明本发明的技术方案，而不能以此来限制本发明的保护范围。
如图2所示，一种基于分数阶模糊高阶滑模控制的有源电力滤波器控制方法，包括以下步骤：
一、建立有源电力滤波器的数学模型；
三相有源电力滤波器的基本工作原理是，检测补偿对象的电压和电流，经指令电流运算电路计算得出补偿电流的指令信号i* c，该信号经补偿电流发生电路放大，得出补偿电流ic，补偿电流与负载电流中要补偿的谐波及无功等电流抵消，最终得到期望的电源电流。
根据电路理论和基尔霍夫定理可得到如下公式：
v1,v2,v3分别为三相有源电力滤波器端电压，i1,i2,i3分别为三相补偿电流，v1M,v2M,v3M,vMN分别表示图1中M点到a,b,c,N点电压，M点是电源的负极点，a,b,c,N是图1电路中的各个节点，Lc为电感，Rc为电阻，vk为三相有源电力滤波器端电压，ik为三相补偿电流；
假设交流侧电源电压稳定，可以得到
其中，vmM为M端分别到a,b,c端的电压，m＝1,2,3；
定义ck为开关函数，指示IGBT(绝缘栅双极型晶体管)的工作状态，定义如下：
其中，k＝1,2,3。
同时，定义vkM＝ckvdc，所以公式(1)可改写为
其中，vmM＝cmvdc，cm为开关函数；vdc为直流侧电容电压。
定义dk为开关状态函数，定义如下：
则dk依赖于第k相IGBT的通断状态，是系统的非线性项。
并有
那么公式(4)可改写为
定义指令电流信号为：x＝ik，为x的导数，那么可以将(7)改写成如下形式，即建立有源电力滤波器的数学模型为：
其中
二、利用李雅谱诺夫函数，分数阶控制，模糊控制和高阶滑模控制设计控制器，具体包括步骤：
1)设计分数阶高阶滑模滑模面；
2)设计分数阶高阶滑模滑模糊自适应控制器的控制律。
上述步骤1)设计分数阶高阶滑模滑模面，具体步骤如下所示：
定义跟踪误差：
e＝xd-x (9)
其中，xd为参考电流信号，x为指令电流信号，将公式(9)求导得：
其中，为x的导数，为xd的导数；
定义分数阶一阶滑模面：
s＝-λ1e-λ2∫e-λ3Dα-1e (11)
其中，λ1,λ2,λ3为正数，Dα-1为分数阶模块，1＞α＞0，∫e为对误差的积分。
对公式(11)求导得：
其中，Dα为Dα-1的求导结果；
将公式(10)，代入公式(12)得到：
定义高阶滑模面：
其中为大于0的常数。
将公式(11)，(13)带入公式(14)得到：
将公式(15)求导得：
其中，为的导数，为f(x)的导数，为u的导数。
上述步骤2)中，设计分数阶高阶滑模滑模糊自适应控制器的控制律，具体为：
设计系统控制律为：
将公式(8)，(10)带入公式(17)：
其中，令ρsgn(σ)＝dk，ρ为大于0的常数，且ρ≥|D|，sgn为符号函数，D为ρ的上界常数。
加入模糊控制，系统控制律设计为：：
其中，为的模糊逼近函数，为f(x)的模糊逼近函数，为ρsgn(σ)的模糊逼近函数，Dα+1为Dα的求导结果。
上述自适应分数阶高阶滑模模糊控制系统控制律设计依据为：
then y is Bi(i＝1,2,.......,N)
其中，为xj(j＝1,2,.......,n)的隶属度函数。
则模糊系统的输出为：
其中，δ＝[δ1(x) δ2(x) ... δN(x)]T，
针对f(x,y)的模糊逼近，采用分别逼近f(1)和f(2)的形式，相应的模糊系统设计为：
定义模糊函数为如下形式：
其中，
定义最优逼近常量，
式中Ω是的集合。
则：
ω是模糊系统的逼近误差，δ(x)为针对f(x)的与隶属度相关的模糊函数，为的最优逼近常量，为的转置，为的转置,对于给定的任意小常量ε(ε＞0)，如下不等式成立：令并且使得η为常数。
最终，模糊函数为f(x)的模糊逼近函数，模糊函数为的模糊逼近函数，模糊函数为ρsgn(σ)的模糊逼近函数。
因此，系统控制律设计为：
系统稳定性证明：
设李亚普诺夫函数：
为函数的模糊参数，为函数的模糊参数，为的转置，为的转置。
因为
δ(x)为针对f(x)的与隶属度相关的模糊函数，φ(h)为针对h(σ)的与隶属度相关的模糊函数，δT(x)为δ(x)的转置，φT(h)为φ(h)的转置。
所以，李亚普诺夫函数
其中，为模糊逼近误差，γ1，γ2为常数。为ω的导数。为的导数，为的导数。为δT(x)的导数
设计系统的自适应律为：
其中，为的导数，为的导数。
因为：
其中，η,ρ为常数。
将(29)，(30)，(31)带入(28)得到：
当η≥|ωmax|，成立，所以，自适应分数阶高阶滑模模糊控制系统是稳定的；ωmax为ω的最大值，|ωmax|为ωmax的绝对值，B为大于0的常数，
仿真验证：
为了验证上述理论的可行性，在Matlab下进行了仿真实验。仿真结果验证了所设计控制器的效果。
仿真参数选取如下：
图3,图4分别表示了三相有源电力滤波器电源电流和系统误差。从图3可以看出，在0.04秒电路中加入了负载开始工作之后，电源电流有小幅度的波动，但是很快就能恢复并且保持正弦波。从图4可以看出，分数阶的误差较小也较稳定，没有太大的波动和起伏，较为平稳。分数阶的跟踪速度较快，在0.05秒之前三相有源电力滤波器的电源电流和负载电流就可以跟踪上。
图5表示为分数阶高阶滑模模糊控制的直流侧电压图。由图5可知，电压可以在0.05秒之前就直线上升并稳定在1000伏特，在0.1和0.2,秒加入负载之后，也可以很快恢复并且一直保持在1000伏特左右，效果较好。
本发明在0.06s、0.16s、0.26s时总谐波失真(THD)分别为：3.80％、2.89％、2.64％；在APF跟踪上到仿真结束这一时间段里面的均方差值是1.0096(α＝0.999)。
本发明设计的基于分数阶高阶滑模模糊控制自适应控制的有源电力滤波器控制方法，可以有效克服非线性因素，外界扰动等影响，对改善有源滤波器系统的稳定性和动态性能，提高输配电、电网安全保障和电能质量是可行的，跟踪效果更加精确，系统鲁棒性和稳定性都比较好。
以上所述仅是本发明的优选实施方式，应当指出，对于本技术领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明技术原理的前提下，还可以做出若干改进和变形，这些改进和变形也应视为本发明的保护范围。

Claims (6)

1.一种基于分数阶高阶滑模模糊控制的有源电力滤波器控制方法，其特征在于：包括步骤：
一、建立有源电力滤波器的数学模型：
二、利用李雅谱诺夫函数，分数阶控制，模糊控制和高阶滑模控制设计控制器。
2.根据权利要求1所述的一种基于分数阶高阶滑模模糊控制的有源电力滤波器控制方法，其特征是：所述步骤一具体包括以下步骤：
建立有源电力滤波器的数学模型为：
<mrow> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>=</mo> <mi>f</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mi>b</mi> <mi>u</mi> <mo>+</mo> <msub> <mi>d</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>8</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中
x为指令电流信号，为x的导数，Lc为电感，Rc为电阻，ik为三相补偿电流，vk为三相有源电力滤波器端电压，vdc为直流侧电容电压，ck、cm为开关函数；m，k为大于0的常数；dk为开关状态函数。
3.根据权利要求2所述的一种基于分数阶高阶滑模模糊控制的有源电力滤波器控制方法，其特征是：所述ck指示IGBT的工作状态，定义如下：
所述dk为开关状态函数，定义如下：
<mrow> <msub> <mi>d</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>c</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>-</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>3</mn> </mfrac> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>m</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mn>3</mn> </munderover> <msub> <mi>c</mi> <mi>m</mi> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>5</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
则dk依赖于第k相IGBT的通断状态，是系统的非线性项。
4.根据权利要求1所述的一种基于分数阶高阶滑模模糊控制的有源电力滤波器控制方法，其特征是：所述步骤二中利用李雅谱诺夫函数，分数阶控制，模糊控制和高阶滑模控制设计控制器，包括步骤：
1)设计分数阶高阶滑模滑模面；
2)设计分数阶高阶滑模模糊自适应控制器的控制律。
5.根据权利要求4所述的一种基于分数阶高阶滑模模糊控制的有源电力滤波器控制方法，其特征是：所述设计分数阶高阶滑模滑模面，包括步骤：
定义跟踪误差：
e＝xd-x (9)
其中，xd为参考电流信号，x为指令电流信号，将公式(9)求导得：
<mrow> <mover> <mi>e</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>=</mo> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>d</mi> </msub> <mo>-</mo> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>10</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中，为x的导数，为xd的导数；
定义分数阶一阶滑模面：
s＝-λ1e-λ2∫e-λ3Dα-1e (11)
其中，λ1,λ2,λ3为正数，Dα-1为分数阶模块，1＞α＞0，∫e为对误差的积分。
对公式(11)求导得：
<mrow> <mover> <mi>s</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;lambda;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mover> <mi>e</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;lambda;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mi>e</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;lambda;</mi> <mn>3</mn> </msub> <msup> <mi>D</mi> <mi>&amp;alpha;</mi> </msup> <mi>e</mi> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>12</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中，Dα为Dα-1的求导结果；
将公式(10)，代入公式(12)得到：
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mover> <mi>s</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;lambda;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>d</mi> </msub> <mo>-</mo> <mi>f</mi> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> <mo>-</mo> <mi>b</mi> <mi>u</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>d</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;lambda;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mi>e</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;lambda;</mi> <mn>3</mn> </msub> <msup> <mi>D</mi> <mi>&amp;alpha;</mi> </msup> <mi>e</mi> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;lambda;</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>d</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;lambda;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mi>f</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;lambda;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mi>b</mi> <mi>u</mi> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;lambda;</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>d</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;lambda;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mi>e</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;lambda;</mi> <mn>3</mn> </msub> <msup> <mi>D</mi> <mi>&amp;alpha;</mi> </msup> <mi>e</mi> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>13</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
定义高阶滑模面：
<mrow> <mi>&amp;sigma;</mi> <mo>=</mo> <mover> <mi>s</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>+</mo> <mo>&amp;part;</mo> <mi>s</mi> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>14</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中为大于0的常数；
将公式(11)，(13)带入公式(14)得到：
<mrow> <mi>&amp;sigma;</mi> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;lambda;</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>d</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;lambda;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mi>f</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;lambda;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mi>b</mi> <mi>u</mi> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;lambda;</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>d</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;lambda;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mi>e</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;lambda;</mi> <mn>3</mn> </msub> <msup> <mi>D</mi> <mi>&amp;alpha;</mi> </msup> <mi>e</mi> <mo>-</mo> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>&amp;lambda;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mi>e</mi> <mo>-</mo> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>&amp;lambda;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>&amp;Integral;</mo> <mi>e</mi> <mo>-</mo> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>&amp;lambda;</mi> <mn>3</mn> </msub> <msup> <mi>D</mi> <mrow> <mi>&amp;alpha;</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mi>e</mi> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>15</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
将公式(15)求导得分数阶高阶滑模滑模面导数：
<mrow> <mover> <mi>&amp;sigma;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;lambda;</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>d</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;lambda;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mover> <mi>f</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;lambda;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mi>b</mi> <mover> <mi>u</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;lambda;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mover> <mi>e</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;lambda;</mi> <mn>3</mn> </msub> <msup> <mi>D</mi> <mrow> <mi>&amp;alpha;</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mi>e</mi> <mo>-</mo> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>&amp;lambda;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mover> <mi>e</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>-</mo> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>&amp;lambda;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mi>e</mi> <mo>-</mo> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>&amp;lambda;</mi> <mn>3</mn> </msub> <msup> <mi>D</mi> <mi>&amp;alpha;</mi> </msup> <mi>e</mi> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>16</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中，为的导数，为f(x)的导数，为u的导数。
6.根据权利要求5所述的一种基于分数阶高阶滑模模糊控制的有源电力滤波器控制方法，其特征是：所述步骤2)中，设计分数阶高阶滑模模糊自适应控制器的控制律，具体步骤为：
设计系统控制律为：
<mrow> <mover> <mi>u</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>=</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <msub> <mi>b&amp;lambda;</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;lambda;</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>d</mi> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;lambda;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mover> <mi>f</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;lambda;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mover> <mi>e</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;lambda;</mi> <mn>3</mn> </msub> <msup> <mi>D</mi> <mrow> <mi>&amp;alpha;</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mi>e</mi> <mo>+</mo> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>&amp;lambda;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mover> <mi>e</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>+</mo> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>&amp;lambda;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mi>e</mi> <mo>+</mo> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>&amp;lambda;</mi> <mn>3</mn> </msub> <msup> <mi>D</mi> <mi>&amp;alpha;</mi> </msup> <mi>e</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>17</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
将公式(8)，(10)带入公式(17)：
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mover> <mi>u</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>=</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <msub> <mi>b&amp;lambda;</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;lambda;</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>d</mi> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;lambda;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mover> <mi>f</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> <mo>+</mo> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>&amp;lambda;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>+</mo> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>&amp;lambda;</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> <mo>)</mo> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>d</mi> </msub> <mo>-</mo> <mi>f</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mi>b</mi> <mi>u</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>d</mi> <mi>k</mi> </msub> </mrow> <mo>)</mo> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;lambda;</mi> <mn>3</mn> </msub> <msup> <mi>D</mi> <mrow> <mi>&amp;alpha;</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mi>e</mi> <mo>+</mo> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>&amp;lambda;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mi>e</mi> <mo>+</mo> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>&amp;lambda;</mi> <mn>3</mn> </msub> <msup> <mi>D</mi> <mi>&amp;alpha;</mi> </msup> <mi>e</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>=</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <msub> <mi>b&amp;lambda;</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;lambda;</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>d</mi> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;lambda;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mover> <mi>f</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> <mo>+</mo> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>&amp;lambda;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>+</mo> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>&amp;lambda;</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> <mo>)</mo> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>d</mi> </msub> <mo>-</mo> <mi>f</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mi>b</mi> <mi>u</mi> <mo>-</mo> <mi>&amp;rho;</mi> <mi>sgn</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>n</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;lambda;</mi> <mn>3</mn> </msub> <msup> <mi>D</mi> <mrow> <mi>&amp;alpha;</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mi>e</mi> <mo>+</mo> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>&amp;lambda;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mi>e</mi> <mo>+</mo> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>&amp;lambda;</mi> <mn>3</mn> </msub> <msup> <mi>D</mi> <mi>&amp;alpha;</mi> </msup> <mi>e</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>18</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中，令ρsgn(σ)＝dk，ρ为大于0的常数，且ρ≥|D|，sgn为符号函数，D为ρ的上界常数；
加入模糊控制，系统控制律设计为：：
<mrow> <mover> <mi>u</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>=</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <msub> <mi>b&amp;lambda;</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </mfrac> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msub> <mi>&amp;lambda;</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>d</mi> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;lambda;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mover> <mover> <mi>f</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>^</mo> </mover> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;lambda;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>+</mo> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>&amp;lambda;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>d</mi> </msub> <mo>-</mo> <mover> <mi>f</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> <mo>-</mo> <mi>b</mi> <mi>u</mi> <mo>-</mo> <mover> <mi>h</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>(</mo> <mi>&amp;sigma;</mi> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;lambda;</mi> <mn>3</mn> </msub> <msup> <mi>D</mi> <mrow> <mi>&amp;alpha;</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mi>e</mi> <mo>+</mo> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>&amp;lambda;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mi>e</mi> <mo>+</mo> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>&amp;lambda;</mi> <mn>3</mn> </msub> <msup> <mi>D</mi> <mi>&amp;alpha;</mi> </msup> <mi>e</mi> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>19</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中，为的模糊逼近函数，为f(x)的模糊逼近函数，为ρsgn(σ)的模糊逼近函数，Dα+1为Dα的求导结果。
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