CN107565566B - 一种电力系统最优潮流的凸优化求解方法 - Google Patents

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Abstract

本发明涉及一种电力系统最优潮流的凸优化求解方法，属于电力系统运行和控制技术领域，本发明方法包括：建立电力系统最优潮流优化模型；将非凸的潮流方程转换为凸函数相减的形式；电力系统最优潮流优化模型的等价转化；电力系统最优潮流优化模型的的凸优化迭代求解。本发明方法通过将电力系统潮流方程中的非凸约束转化为凸函数相减的形式，在电力系统最优潮流的非凸模型的基础上，将非凸约束转化为凸函数相减的形式，通过对非凸约束中凸函数的线性化和引入松弛变量，将非凸的最优潮流问题转化为凸优化问题，实现了电力系统最优潮流问题的高效求解。

Description

一种电力系统最优潮流的凸优化求解方法
技术领域
本发明涉及一种电力系统最优潮流的凸优化求解方法，将最优潮流问题中的非凸约束转化为凸函数相减的形式，通过对非凸约束中凸函数的线性化和引入松弛变量，将非凸的最优潮流问题转化为凸优化问题求解，属于电力系统运行和控制技术领域。
背景技术
最优潮流是指从电力系统优化运行的角度来调整系统中各种控制设备的参数，在满足节点正常功率平衡及各种安全指标的约束下，实现发电费用、网络损耗等目标的最小化。最优潮流在电力系统的安全运行、经济调度、电网规划、复杂电力系统的可靠性分析、传输阻塞的经济控制等方面具有广泛的应用价值。
在电力系统最优潮流问题中，由于潮流方程中的二次项引入的非凸约束，导致电力系统最优潮流问题非凸，难以求解。对于含有环路的配电网及输电网，采用二阶锥松弛的方法，将电力系统最优潮流问题转化为凸优化问题求解，凸优化问题的解不是非凸的电力系统最优潮流问题的可行解，没有物理意义，不能应用于实际电力系统的调度决策中。因此现有的含环网的电力系统最优潮流问题得求解方法均为非凸优化方法，如牛顿拉夫逊法及内点法。这些非凸优化方法的计算效率及计算结果的最优性无法保证，无法应用于电力系统的分布式优化及不确定性优化中。截至目前，尚缺乏一种能在含环网的电力系统最优潮流问题中求取可行解的凸优化方法。
发明内容
本发明的目的是提出一种电力系统最优潮流的凸优化求解方法，以克服已有技术的不足之处，在电力系统最优潮流的非凸模型的基础上，将非凸约束转化为凸函数相减的形式，通过对非凸约束中凸函数的线性化和引入松弛变量，将非凸的最优潮流问题转化为凸优化问题，实现电力系统最优潮流问题的高效求解。
本发明提出的电力系统最优潮流的凸优化求解方法，包括以下步骤：
(1)建立电力系统最优潮流的优化模型，优化模型的目标函数为：
其中，表示电力系统中与节点i连接的发电机的有功功率，为一个以为变量组成的凸函数，该凸函数代表电力系统中与节点i连接的发电机的发电成本，上标g代表发电机；
上述电力系统最优潮流优化模型的约束条件包括：
(1-1)电力系统支路潮流方程的约束条件：
电力系统中节点i与相邻节点j之间的支路ij的潮流方程为：
pij＝GijVi 2-GijViVjcosθij-BijViVjsinθij (2)
qij＝-BijVi 2+BijViVjcosθij-GijViVjsinθij (3)
θij＝θi-θj (4)
其中，节点i与节点j在电力系统中相邻，pij和qij分别为电力系统中支路ij首端的三相有功功率和三相无功功率，Vi和Vj分别为电力系统中节点i和节点j的电压幅值，θi和θj分别为电力系统中节点i和节点j的电压相角，θij为电力系统中支路ij的首端和末端节点电压相角之间的差值，Gij和Bij分别为电力系统中支路ij的电导和电纳；
(1-2)电力系统节点注入功率的平衡约束条件：
其中，表示电力系统中与节点i连接的发电机的无功功率，和分别为电力系统中与节点i连接的负荷的有功功率和无功功率，Gsh,i和Bsh,i分别为电力系统中节点i的接地电导和电纳，Φ(i)表示电力系统中与节点i相连的所有节点组成的节点集，上标d代表负荷，下标sh代表接地；
(1-3)电力系统发电机的功率约束条件：
其中，和分别为电力系统中节点i所连接的发电机发出的有功功率的下限和上限，分别为电力系统中节点i所连接的发电机发出的无功功率的下限和上限，上标u代表上限，上标l代表下限；
(1-4)电力系统中支路ij的相角差值的约束条件：
-θu≤θij≤θu (9)
其中，θu为电力系统中各支路首端和末端节点电压的相角差值的上限，θu取值为10°；
(1-5)电力系统中支路ij的功率约束条件：
其中，Su为电力系统中各支路视在功率的上限；
(1-6)电力系统中节点i的电压幅值约束条件：
Vl≤Vi≤Vu (11)
其中，Vl和Vu分别为电力系统中各节点的电压幅值的下限和上限，Vu的取值范围为1.05～1.1p.u.，Vl的取值范围为0.9～0.95p.u.，其中p.u.表示电力系统的标么值；
(2)引入变量Kij代替ViVjcosθij，Lij代替ViVjsinθij，Ui代替Vi 2，sij代替sinθij，cij代替cosθij将上述步骤(1-1)的电力系统支路潮流方程的约束条件(2)和约束条件(3)等价转换为如下方程：
pij＝GijUi-GijKij-BijLij (12)
qij＝-BijUi+BijKij-GijLij (13)
sij＝sinθij (15)
cij＝cosθij (16)
sijKij＝cijLij (18)；
(3)定义如下凸函数fij,1(x)、fij,2(x)、fij,3(x)、gij,1(x)、gij,2(x)和gij,3(x)：
fij,1(x)＝(Ui+Uj)2 (19)
fij,2(x)＝1 (20)
fij,3(x)＝(sij+Kij)2+(cij-Lij)2 (21)
gij,1(x)＝(2Kij)2+(2Lij)2+(Ui-Uj)2 (22)
gij,3(x)＝(sij-Kij)2+(cij+Lij)2 (24)
其中，x表示由电力系统中所有节点的变量Ui以及所有支路的所有变量sij、cij、Kij、Lij组成的一个向量；
将上述步骤(2)的潮流方程(13)、潮流方程(15)和潮流方程(16)分别转换为如下凸函数相减的形式：
gij,n(x)-fij,n(x)≤0,n＝1,2 (25)
gij,3(x)-fij,3(x)≤0 (26)
fij,m(x)-gij,m(x)≤0,m＝1,2,3 (27)
将上述步骤(2)的约束条件sij＝sinθij等价为：
sij＝θij (28)；
(4)根据上述步骤(2)和上述步骤(3)的转换形式，将上述步骤(1)的电力系统最优潮流的优化模型等价为一个非凸优化模型如下：
目标函数：
约束条件包括：上述步骤(1)的约束条件(4)至约束条件(11)、上述步骤(2)的约束条件(12)和约束条件(13)以及上述步骤(3)的约束条件(25)至约束条件(28)；
根据上述步骤(2)和上述步骤(3)的转换形式，将上述步骤(1)的电力系统最优潮流的优化模型松弛为一个凸优化模型如下：
目标函数：
约束条件包括：上述步骤(1)的约束条件(4)至约束条件(11)、上述步骤(2)的约束条件(12)和约束条件(13)以及上述步骤(3)的约束条件(25)；
(5)对上述步骤(4)的电力系统最优潮流的非凸优化模型的的凸优化求解，包括以下步骤：
(5-1)初始化时，设定迭代次数k＝0，设定惩罚系数τ的初值τ(0)，设定惩罚系数τ的最大值τmax，设定惩罚系数τ的增长率μ，求解上述步骤(4)的电力系统最优潮流的凸优化模型，并将得到的凸优化模型的解赋值给上述步骤(3)中电力系统变量向量x的初值x(0)；
(5-2)在x(k)处，对上述步骤(3)中的凸函数进行线性化，得到如下线性化函数：
其中，上标k代表第k次迭代；
(5-3)根据上述步骤(5-2)得到的线性化函数，重新建立一个电力系统最优潮流的凸优化模型如下：
目标函数：
约束条件包括：
以及上述步骤(1)的约束条件(4)至约束条件(11)、上述步骤(2)的约束条件(12)和约束条件(13)以及上述步骤(3)的约束条件(25)和约束条件(28)；
其中，和表示分别表示第k次迭代中电力系统中支路ij的第1、2、3个松弛变量和第4个松弛变量，Φl表示电力系统中所有支路的集合；
求解该新建的电力系统最优潮流的凸优化模型，得到电力系统最优潮流的凸优化模型的解；
(5-4)根据上述步骤(5-3)得到的电力系统最优潮流的凸优化模型的解，计算松弛变量的和e：
设定一个迭代误差阈值ε，根据ε对松弛变量的和进行判断，若e＞ε，则将步骤上述(5-3)电力系统最优潮流的凸优化模型的解赋值给电力系统变量向量x(k+1)，并设定惩罚系数τ(k+1)为μτ(k)和τmax中的较小值，设定迭代次数k＝k+1，返回步骤(5-2)，其中μ为惩罚系数τ的增长率；若e≤ε，则结束计算，并将上述步骤(5-3)中电力系统最优潮流的凸优化模型的解作为上述步骤(1)的电力系统最优潮流的优化模型的可行解。
本发明提出的电力系统最优潮流的凸优化求解方法，其优点是：
1、本发明方法在电力系统非凸最优潮流模型的基础上，将电力系统潮流方程中的非凸约束转化为凸函数相减的形式，将非凸的最优潮流问题转化为凸优化问题的迭代求解，可实现电力系统最优潮流问题的高效求解。
2、本发明方法将非凸的潮流方程转化为凸函数相减的形式，可以与电力系统分布式优化及不确定性优化等要求模型约束必须为凸函数的问题相结合，具有广泛的应用空间。
3、本发明方法可以通过凸优化问题的迭代求解直接解得电力系统最优潮流问题的可行解，求解得到的各种控制设备的参数可以直接用于电力系统的运行调度，不需要再采用非线性的牛顿拉夫逊法或内点法求解，可以提高电力系统运行调度的效率。
附图说明
图1为本发明方法的流程框图。
具体实施方式
本发明提出的电力系统最优潮流的凸优化求解方法，其流程框图如图1所示，包括以下步骤：
(1)建立电力系统最优潮流的优化模型，优化模型的目标函数为：
其中，表示电力系统中与节点i连接的发电机的有功功率，为一个以为变量组成的凸函数，该凸函数代表电力系统中与节点i连接的发电机的发电成本，上标g代表发电机；
上述电力系统最优潮流优化模型的约束条件包括：
(1-1)电力系统支路潮流方程的约束条件：
电力系统中节点i与相邻节点j之间的支路ij的潮流方程为：
pij＝GijVi 2-GijViVjcosθij-BijViVjsinθij (2)
qij＝-BijVi 2+BijViVjcosθij-GijViVjsinθij (3)
θij＝θi-θj (4)
其中，节点i与节点j在电力系统中相邻，pij和qij分别为电力系统中支路ij首端的三相有功功率和三相无功功率，Vi和Vj分别为电力系统中节点i和节点j的电压幅值，θi和θj分别为电力系统中节点i和节点j的电压相角，θij为电力系统中支路ij的首端和末端节点电压相角之间的差值，Gij和Bij分别为电力系统中支路ij的电导和电纳；
(1-2)电力系统节点注入功率的平衡约束条件：
其中，表示电力系统中与节点i连接的发电机的无功功率，和分别为电力系统中与节点i连接的负荷的有功功率和无功功率，Gsh,i和Bsh,i分别为电力系统中节点i的接地电导和电纳，Φ(i)表示电力系统中与节点i相连的所有节点组成的节点集，上标d代表负荷，下标sh代表接地；
(1-3)电力系统发电机的功率约束条件：
其中，和分别为电力系统中节点i所连接的发电机发出的有功功率的下限和上限，分别为电力系统中节点i所连接的发电机发出的无功功率的下限和上限，上标u代表上限，上标l代表下限；
(1-4)电力系统中支路ij的相角差值的约束条件：
-θu≤θij≤θu (9)
其中，θu为电力系统中各支路首端和末端节点电压的相角差值的上限，θu取值为10°；
(1-5)电力系统中支路ij的功率约束条件：
其中，Su为电力系统中各支路视在功率的上限，支路视在功率的上限由电力系统根据安全运行的标准设定，一般与支路的型号有关；
(1-6)电力系统中节点i的电压幅值约束条件：
Vl≤Vi≤Vu (11)
其中，Vl和Vu分别为电力系统中各节点的电压幅值的下限和上限，电压幅值的下限和上限根据电力系统安全运行的标准设定，Vu的取值范围为1.05～1.1p.u.，Vl的取值范围为0.9～0.95p.u.，其中p.u.表示电力系统的标么值；
(2)引入变量Kij代替ViVjcosθij，Lij代替ViVjsinθij，Ui代替Vi 2，sij代替sinθij，cij代替cosθij将上述步骤(1-1)的电力系统支路潮流方程的约束条件(2)和约束条件(3)等价转换为如下方程：
pij＝GijUi-GijKij-BijLij (12)
qij＝-BijUi+BijKij-GijLij (13)
sij＝sinθij (15)
cij＝cosθij (16)
sijKij＝cijLij(18)；
(3)定义如下凸函数fij,1(x)、fij,2(x)、fij,3(x)、gij,1(x)、gij,2(x)和gij,3(x)：
fij,1(x)＝(Ui+Uj)2 (19)
fij,2(x)＝1 (20)
fij,3(x)＝(sij+Kij)2+(cij-Lij)2 (21)
gij,1(x)＝(2Kij)2+(2Lij)2+(Ui-Uj)2 (22)
gij,3(x)＝(sij-Kij)2+(cij+Lij)2 (24)
其中，x表示一个由电力系统中所有节点的变量Ui以及所有支路的所有变量sij、cij、Kij、Lij组成的向量；
将上述步骤(2)的潮流方程(13)、潮流方程(15)和潮流方程(16)分别转换为如下凸函数相减的形式：
gij,n(x)-fij,n(x)≤0,n＝1,2 (25)
gij,3(x)-fij,3(x)≤0 (26)
fij,m(x)-gij,m(x)≤0,m＝1,2,3 (27)
由于电力系统中支路ij首端和末端节点电压的相角差θij通常小于10°，所以可以将上述步骤(2)的约束条件sij＝sinθij等价为：
sij＝θij (28)；
(4)根据上述步骤(2)和上述步骤(3)的转换形式，将上述步骤(1)的电力系统最优潮流的优化模型等价为一个非凸优化模型如下：
目标函数：
约束条件包括：上述步骤(1)的约束条件(4)至约束条件(11)、上述步骤(2)的约束条件(12)和约束条件(13)以及上述步骤(3)的约束条件(25)至约束条件(28)；
上述最优潮流优化模型为非凸优化模型，其中非凸约束为上述步骤(3)的约束条件(26)和约束条件(27)，其余约束条件为凸约束。
根据上述步骤(2)和上述步骤(3)的转换形式，将上述步骤(1)的电力系统最优潮流的优化模型松弛为一个凸优化模型如下：
目标函数：
约束条件包括：上述步骤(1)的约束条件(4)至约束条件(11)、上述步骤(2)的约束条件(12)和约束条件(13)以及上述步骤(3)的约束条件(25)；
(5)对上述步骤(4)的电力系统最优潮流的非凸优化模型的的凸优化求解，包括以下步骤：
(5-1)初始化时，设定迭代次数k＝0，设定惩罚系数τ的初值τ(0)，设定惩罚系数τ的最大值τmax，设定惩罚系数τ的增长率μ，求解上述步骤(4)的电力系统最优潮流的凸优化模型，并将得到的凸优化模型的解赋值给上述步骤(3)中电力系统变量向量x的初值x(0)；
(5-2)在x(k)处，对上述步骤(3)中的凸函数进行线性化，得到如下线性化函数：
其中，上标k代表第k次迭代；
(5-3)根据上述步骤(5-2)得到的线性化函数，重新建立一个电力系统最优潮流的凸优化模型如下：
目标函数：
约束条件包括：
以及上述步骤(1)的约束条件(4)至约束条件(11)、上述步骤(2)的约束条件(12)和约束条件(13)以及上述步骤(3)的约束条件(25)和约束条件(28)；
其中，和表示分别表示第k次迭代中电力系统中支路ij的第1、2、3个松弛变量和第4个松弛变量，通过在约束条件(34)和约束条件(35)中增加松弛变量，保证上述电力系统最优潮流的凸优化模型可以求解。Φl表示电力系统中所有支路的集合；
求解该新建的电力系统最优潮流的凸优化模型，得到电力系统最优潮流的凸优化模型的解；
(5-4)根据上述步骤(5-3)得到的电力系统最优潮流的凸优化模型的解，计算松弛变量的和e：
设定一个迭代误差阈值ε，根据ε对松弛变量的和进行判断，若e＞ε，则将步骤上述(5-3)电力系统最优潮流的凸优化模型的解赋值给电力系统变量向量x(k+1)，并设定惩罚系数τ(k+1)为μτ(k)和τmax中的较小值，设定迭代次数k＝k+1，返回步骤(5-2)，其中μ为惩罚系数τ的增长率；若e≤ε，则结束计算，并将上述步骤(5-3)中电力系统最优潮流的凸优化模型的解作为上述步骤(1)的电力系统最优潮流的优化模型的可行解。

Claims (1)

1.一种电力系统最优潮流的凸优化求解方法，其特征在于该方法包括以下步骤：
(1)建立电力系统最优潮流的优化模型，优化模型的目标函数为：
其中，表示电力系统中与节点i连接的发电机的有功功率，为一个以为变量组成的凸函数，该凸函数代表电力系统中与节点i连接的发电机的发电成本，上标g代表发电机；
上述电力系统最优潮流优化模型的约束条件包括：
(1-1)电力系统支路潮流方程的约束条件：
电力系统中节点i与相邻节点j之间的支路ij的潮流方程为：
pij＝GijVi 2-GijViVjcosθij-BijViVjsinθij (2)
qij＝-BijVi 2+BijViVjcosθij-GijViVjsinθij (3)
θij＝θi-θj (4)
其中，节点i与节点j在电力系统中相邻，pij和qij分别为电力系统中支路ij首端的三相有功功率和三相无功功率，Vi和Vj分别为电力系统中节点i和节点j的电压幅值，θi和θj分别为电力系统中节点i和节点j的电压相角，θij为电力系统中支路ij的首端和末端节点电压相角之间的差值，Gij和Bij分别为电力系统中支路ij的电导和电纳；
(1-2)电力系统节点注入功率的平衡约束条件：
其中，表示电力系统中与节点i连接的发电机的无功功率，和分别为电力系统中与节点i连接的负荷的有功功率和无功功率，Gsh,i和Bsh,i分别为电力系统中节点i的接地电导和电纳，Φ(i)表示电力系统中与节点i相连的所有节点组成的节点集，上标d代表负荷，下标sh代表接地；
(1-3)电力系统发电机的功率约束条件：
其中，和分别为电力系统中节点i所连接的发电机发出的有功功率的下限和上限，分别为电力系统中节点i所连接的发电机发出的无功功率的下限和上限，上标u代表上限，上标l代表下限；
(1-4)电力系统中支路ij的相角差值的约束条件：
-θu≤θij≤θu (9)
其中，θu为电力系统中各支路首端和末端节点电压的相角差值的上限，θu取值为10°；
(1-5)电力系统中支路ij的功率约束条件：
其中，Su为电力系统中各支路视在功率的上限；
(1-6)电力系统中节点i的电压幅值约束条件：
Vl≤Vi≤Vu (11)
其中，Vl和Vu分别为电力系统中各节点的电压幅值的下限和上限，Vu的取值范围为1.05～1.1p.u.，Vl的取值范围为0.9～0.95p.u.，其中p.u.表示电力系统的标么值；
(2)引入变量Kij代替ViVjcosθij，Lij代替ViVjsinθij，Ui代替Vi 2，sij代替sinθij，cij代替cosθij将上述步骤(1-1)的电力系统支路潮流方程的约束条件(2)和约束条件(3)等价转换为如下方程：
pij＝GijUi-GijKij-BijLij (12)
qij＝-BijUi+BijKij-GijLij (13)
sij＝sinθij (15)
cij＝cosθij (16)
sijKij＝cijLij (18)；
(3)定义如下凸函数fij,1(x)、fij,2(x)、fij,3(x)、gij,1(x)、gij,2(x)和gij,3(x)：
fij,1(x)＝(Ui+Uj)2 (19)
fij,2(x)＝1 (20)
fij,3(x)＝(sij+Kij)2+(cij-Lij)2 (21)
gij,1(x)＝(2Kij)2+(2Lij)2+(Ui-Uj)2 (22)
gij,3(x)＝(sij-Kij)2+(cij+Lij)2 (24)
其中，x表示由电力系统中所有节点的变量Ui以及所有支路的所有变量sij、cij、Kij、Lij组成的一个向量；
将上述步骤(2)的潮流方程(13)、潮流方程(15)和潮流方程(16)分别转换为如下凸函数相减的形式：
gij,n(x)-fij,n(x)≤0,n＝1,2 (25)
gij,3(x)-fij,3(x)≤0 (26)
fij,m(x)-gij,m(x)≤0,m＝1,2,3 (27)
将上述步骤(2)的约束条件sij＝sinθij等价为：
sij＝θij (28)；
(4)根据上述步骤(2)和上述步骤(3)的转换形式，将上述步骤(1)的电力系统最优潮流的优化模型等价为一个非凸优化模型如下：
目标函数：
约束条件包括：上述步骤(1)的约束条件(4)至约束条件(11)、上述步骤(2)的约束条件(12)和约束条件(13)以及上述步骤(3)的约束条件(25)至约束条件(28)；
根据上述步骤(2)和上述步骤(3)的转换形式，将上述步骤(1)的电力系统最优潮流的优化模型松弛为一个凸优化模型如下：
目标函数：
约束条件包括：上述步骤(1)的约束条件(4)至约束条件(11)、上述步骤(2)的约束条件(12)和约束条件(13)以及上述步骤(3)的约束条件(25)；
(5)对上述步骤(4)的电力系统最优潮流的非凸优化模型的的凸优化求解，包括以下步骤：
(5-1)初始化时，设定迭代次数k＝0，设定惩罚系数τ的初值τ(0)，设定惩罚系数τ的最大值τmax，设定惩罚系数τ的增长率μ，求解上述步骤(4)的电力系统最优潮流的凸优化模型，并将得到的凸优化模型的解赋值给上述步骤(3)中电力系统变量向量x的初值x(0)；
(5-2)在x(k)处，对上述步骤(3)中的凸函数进行线性化，得到如下线性化函数：
其中，上标k代表第k次迭代；
(5-3)根据上述步骤(5-2)得到的线性化函数，重新建立一个电力系统最优潮流的凸优化模型如下：
目标函数：
约束条件包括：
以及上述步骤(1)的约束条件(4)至约束条件(11)、上述步骤(2)的约束条件(12)和约束条件(13)以及上述步骤(3)的约束条件(25)和约束条件(28)；
其中，和表示分别表示第k次迭代中电力系统中支路ij的第1、2、3个松弛变量和第4个松弛变量，Φl表示电力系统中所有支路的集合；
求解该新建的电力系统最优潮流的凸优化模型，得到电力系统最优潮流的凸优化模型的解；
(5-4)根据上述步骤(5-3)得到的电力系统最优潮流的凸优化模型的解，计算松弛变量的和e：
设定一个迭代误差阈值ε，根据ε对松弛变量的和进行判断，若e＞ε，则将步骤上述(5-3)电力系统最优潮流的凸优化模型的解赋值给电力系统变量向量x(k+1)，并设定惩罚系数τ(k+1)为μτ(k)和τmax中的较小值，设定迭代次数k＝k+1，返回步骤(5-2)，其中μ为惩罚系数τ的增长率；若e≤ε，则结束计算，并将上述步骤(5-3)中电力系统最优潮流的凸优化模型的解作为上述步骤(1)的电力系统最优潮流的优化模型的可行解。
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