CN109256772B - 一种电力系统输电网最优开断的凸优化求解方法 - Google Patents

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CN109256772B CN201811203783.8A CN201811203783A CN109256772B CN 109256772 B CN109256772 B CN 109256772B CN 201811203783 A CN201811203783 A CN 201811203783A CN 109256772 B CN109256772 B CN 109256772B
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Abstract

本发明涉及一种电力系统输电网最优开断的凸优化求解方法，属于电力系统运行和控制技术领域。该方法包括：建立电力系统输电网最优开断优化模型；将包含线路开断整数变量的非凸潮流方程转换为凸方程；将其余的非凸潮流方程转换为凸函数相减的形式；电力系统输电网最优开断优化模型的等价转化；电力系统输电网最优开断优化模型的的凸优化迭代求解。本方法将输电网最优开断问题中的包含0‑1整数变量的非凸约束转化为凸函数以及凸函数相减的形式，通过对非凸约束中凸函数的线性化和引入松弛变量，将非凸的最优潮流问题转化为凸优化问题求解。

Description

一种电力系统输电网最优开断的凸优化求解方法
技术领域
本发明涉及一种电力系统输电网最优开断的凸优化求解方法，包含0-1整数变量的潮流方程中的非凸约束转化为凸约束及凸函数相减的形式，通过对非凸约束中凸函数的线性化和引入松弛变量，将非凸的输电网最优开断问题转化为凸优化问题求解，属于电力系统运行和控制技术领域。
背景技术
电力系统输电网最优开断是将传统被认为固定的、静态的输电线路作为可调度的资源，研究在不同的电网运行状态和负荷水平下,如何通过开断若干输电线路,并结合与发电机组的联合调度优化,得到最适合当前运行状态和负荷水平的输电网拓扑结构,从而实现电网在安全性和经济性方面的提升。输电网最优开断在电力系统的缓解传输阻塞，提高电压安全水平，经济调度等方面具有广泛的应用价值。
在电力系统输电网最优开断问题中，由于线路开断状态引入的0-1整数变量和潮流方程中的二次项引入的非凸约束，导致电力系统输电网最优开断问题非凸，难以求解。对于含有环路的输电网，采用二阶锥松弛的方法，将电力系统输电网最优开断问题转化为凸优化问题求解，凸优化问题的解不是非凸的电力系统输电网最优开断问题的可行解，没有物理意义，不能应用于实际电力系统的调度决策中。因此现有的电力系统输电网最优开断问题的求解方法均为近似求解方法，如采用线性潮流模型，或采用启发式方法及专家法。这些近似优化方法的计算效率及计算结果的可行性和最优性无法保证，其结果可能会导致电力系统经济性受损，甚至引发安全事故。截至目前，尚缺乏一种电力系统输电网最优开断问题中的凸优化方法。
本申请人曾经提出专利申请号为201710696169.9、发明名称为《一种电力系统最优潮流的凸优化求解方法》的专利申请。该发明的目的为求解电力系统最优潮流，没有考虑电力系统输电网中输电线路的开断状态，在最优潮流问题的优化模型中不包含0-1整数变量及由0-1整数变量引入的非凸约束，因此该发明无法用于求解力系统输电网最优开断问题。
发明内容
本发明的目的是提出一种电力系统输电网最优开断的凸优化求解方法，以克服已有技术的不足之处，在电力系统输电网最优开断的非凸模型的基础上，将非凸约束转化为凸约束和凸函数相减的形式，通过对非凸约束中凸函数的线性化和引入松弛变量，将非凸的最优潮流问题转化为凸优化问题，实现电力系统输电网最优开断问题的高效求解。
本发明提出的电力系统输电网最优开断的凸优化求解方法，包括以下步骤：
(1)建立电力系统输电网最优开断的优化模型，优化模型的目标函数为：
Figure BDA0001830687660000021
其中，
Figure BDA0001830687660000022
表示电力系统中与节点i连接的发电机的有功功率，
Figure BDA0001830687660000023
为一个以
Figure BDA0001830687660000024
为变量组成的凸函数，该凸函数代表电力系统中与节点i连接的发电机的发电成本，上标g代表发电机；
上述电力系统输电网最优开断优化模型的约束条件包括：
(1-1)电力系统支路潮流方程的约束条件：
电力系统中节点i与相邻节点j之间的支路ij的潮流方程为：
Figure BDA00018306876600000210
Figure BDA00018306876600000211
θij＝θi-θj (4)
其中，节点i与节点j在电力系统中相邻，xij为0-1整数变量，表示电力系统中支路ij的开断状态，xij＝1表示支路ij闭合，xij＝0表示支路ij断开，pij和qij分别为电力系统中支路ij首端的三相有功功率和三相无功功率，Vi和Vj分别为电力系统中节点i和节点j的电压幅值，θi和θj分别为电力系统中节点i和节点j的电压相角，θij为电力系统中支路ij的首端和末端节点电压相角之间的差值，Gij和Bij分别为电力系统中支路ij的电导和电纳；
(1-2)电力系统节点注入功率的平衡约束条件：
Figure BDA0001830687660000025
Figure BDA0001830687660000026
其中，
Figure BDA0001830687660000027
表示电力系统中与节点i连接的发电机的无功功率，
Figure BDA0001830687660000028
和
Figure BDA0001830687660000029
分别为电力系统中与节点i连接的负荷的有功功率和无功功率，Gsh,i和Bsh,i分别为电力系统中节点i的接地电导和电纳，Φ(i)表示电力系统中与节点i相连的所有节点组成的节点集，上标d代表负荷，下标sh代表接地；
(1-3)电力系统发电机的功率约束条件：
Figure BDA0001830687660000031
Figure BDA0001830687660000032
其中，
Figure BDA0001830687660000033
和
Figure BDA0001830687660000034
分别为电力系统中节点i所连接的发电机发出的有功功率的下限和上限，
Figure BDA0001830687660000035
分别为电力系统中节点i所连接的发电机发出的无功功率的下限和上限，上标u代表上限，上标l代表下限；
(1-4)电力系统中支路ij的相角差值的约束条件：
-θu≤θij≤θu (9)
其中，θu为电力系统中各支路首端和末端节点电压的相角差值的上限，θu取值为10°；
(1-5)电力系统中支路ij的功率约束条件：
Figure BDA0001830687660000036
其中，Su为电力系统中各支路视在功率的上限；
(1-6)电力系统中节点i的电压幅值约束条件：
Vl≤Vi≤Vu (11)
其中，Vl和Vu分别为电力系统中各节点的电压幅值的下限和上限，Vu的取值范围为1.05～1.1p.u.，Vl的取值范围为0.9～0.95p.u.，其中p.u.表示电力系统的标么值；
(2)引入变量Kij代替ViVjcosθij，Lij代替ViVjsinθij，Ui代替
Figure BDA0001830687660000038
sij代替sinθij，cij代替cosθij，将上述步骤(1-1)的电力系统支路潮流方程的约束条件(2)和约束条件(3)等价转换为如下方程：
pij＝(GijUi-GijKij-BijLij)xij(12)
qij＝(-BijUi+BijKij-GijLij)xij(13)
Figure BDA0001830687660000037
sij＝sinθij(15)
cij＝cosθij(16)
Figure BDA0001830687660000041
sijKij＝cijLij(18)；
(3)引入支路变量Mij，将约束(12)和(13)等价转换为如下的方程：
Mij＝(1-xij)M(19)
pij≤Mij+GijUi-GijKij-BijLij(20)
pij≥-Mij+GijUi-GijKij-BijLij(21)
qij≤Mij-BijUi+BijKij-GijLij(22)
qij≥-Mij-BijUi+BijKij-GijLij(23)
-Mxij≤pij≤Mxij(24)
-Mxij≤qij≤Mxij(25)
其中，M表示一个较大的正数，通常取值为100；
(4)定义如下凸函数fij,1(x)、fij,2(x)、fij,3(x)、gij,1(x)、gij,2(x)和gij,3(x)：
fij,1(x)＝(Ui+Uj)2(26)
fij,2(x)＝1(27)
fij,3(x)＝(sij+Kij)2+(cij-Lij)2(28)
gij,1(x)＝(2Kij)2+(2Lij)2+(Ui-Uj)2(29)
Figure BDA0001830687660000042
gij,3(x)＝(sij-Kij)2+(cij+Lij)2(31)
其中，x表示由电力系统中所有节点的变量Ui以及所有支路的所有变量sij、cij、Kij、Lij组成的一个向量；
将上述步骤(2)的潮流方程(14)、潮流方程(17)和潮流方程(18)分别转换为如下凸函数相减的形式：
gij,n(x)-fij,n(x)≤0,n＝1,2(32)
gij,3(x)-fij,3(x)≤0(33)
fij,m(x)-gij,m(x)≤0,m＝1,2,3(34)
将上述步骤(2)的约束条件sij＝sinθij等价为：
sij＝θij(35)；
(5)根据上述步骤(2)和上述步骤(3)的转换形式，将上述步骤(1)的电力系统输电网最优开断的优化模型等价为一个非凸优化模型如下：
目标函数：
Figure BDA0001830687660000051
约束条件包括：上述步骤(1)的约束条件(4)至约束条件(11)、上述步骤(2)的约束条件(12)和约束条件(13)、上述步骤(3)的约束条件(19)至约束条件(25)以及上述步骤(4)的约束条件(32)至约束条件(35)；
根据上述步骤(2)和上述步骤(3)的转换形式，将上述步骤(1)的电力系统输电网最优开断的优化模型松弛为一个凸优化模型如下：
目标函数：
Figure BDA0001830687660000052
约束条件包括：上述步骤(1)的约束条件(4)至约束条件(11)、上述步骤(2)的约束条件(12)和约束条件(13)、上述步骤(3)的约束条件(19)至约束条件(25)以及上述步骤(4)的约束条件(32)和约束条件(35)；
(6)对上述步骤(5)的电力系统输电网最优开断的非凸优化模型的凸优化求解，包括以下步骤：
(6-1)初始化时，设定迭代次数k＝0，设定惩罚系数τ的初值τ(0)，设定惩罚系数τ的最大值τmax，设定惩罚系数τ的增长率μ，求解上述步骤(5)的电力系统输电网最优开断的凸优化模型，并将得到的凸优化模型的解赋值给上述步骤(4)中电力系统变量向量x的初值x(0)；
(6-2)在x(k)处，对上述步骤(4)中的凸函数进行线性化，得到如下线性化函数：
Figure BDA0001830687660000061
Figure BDA0001830687660000062
其中，上标k代表第k次迭代；
(6-3)根据上述步骤(6-2)得到的线性化函数，重新建立一个电力系统输电网最优开断的凸优化模型如下：
目标函数：
Figure BDA0001830687660000063
约束条件包括：
Figure BDA0001830687660000064
Figure BDA0001830687660000065
Figure BDA0001830687660000066
Figure BDA0001830687660000067
以及上述步骤(1)的约束条件(4)至约束条件(11)、上述步骤(2)的约束条件(12)和约束条件(13)、上述步骤(3)的约束条件(19)至约束条件(25)以及上述步骤(4)的约束条件(32)和约束条件(35)；
其中，
Figure BDA0001830687660000068
和
Figure BDA0001830687660000069
分别表示第k次迭代中电力系统中支路ij的第1、2、3个松弛变量和第4个松弛变量，Φl表示电力系统中所有支路的集合；
求解该新建的电力系统输电网最优开断的凸优化模型，得到电力系统输电网最优开断的凸优化模型的解；
(6-4)根据上述步骤(6-3)得到的电力系统输电网最优开断的凸优化模型的解，计算松弛变量的和e：
Figure BDA00018306876600000610
设定一个迭代误差阈值ε，根据ε对松弛变量的和进行判断，若e＞ε，则将步骤上述(6-3)电力系统输电网最优开断的凸优化模型的解赋值给电力系统变量向量x(k+1)，并设定惩罚系数τ(k+1)为μτ(k)和τmax中的较小值，设定迭代次数k＝k+1，返回步骤(6-2)，其中μ为惩罚系数τ的增长率；若e≤ε，则结束计算，并将上述步骤(6-3)中电力系统输电网最优开断的凸优化模型的解作为上述步骤(1)的电力系统输电网最优开断的优化模型的可行解。
本发明提出的电力系统输电网最优开断的凸优化求解方法，其优点是：
1、本发明方法在电力系统输电网非凸最优开断模型的基础上，将包含0-1整数变量的电力系统潮流方程中的非凸约束转化为凸约束及凸函数相减的形式，将非凸的最优开断问题转化为凸优化问题的迭代求解，可实现电力系统输电网最优开断问题的高效求解。
2、本发明方法可以通过凸优化问题的迭代求解直接解得电力系统输电网最优开断问题的可行解，求解得到的输电网拓扑结构和发电机出力参数可以直接用于电力系统的运行调度，不需要再采用近似方法求解，可以提高电力系统运行调度的效率。
3、与本申请人曾经提出专利申请号为201710696169.9、发明名称为《一种电力系统最优潮流的凸优化求解方法》的专利申请相比，本发明方法将电力系统输电网的输电线路开断状态作为决策变量，在问题中引入含0-1整数变量表示输电线路的开断状态，并将由0-1整数变量引入的非凸约束转换为凸约束进行有效求解，而之前的专利不考虑输电线路的开断状态，无法对输电网最优开断问题进行求解。通过开断输电线路,并结合发电机组的联合调度优化，本发明方法得到最适合当前运行状态和负荷水平的输电网拓扑结构,与之前专利中的最优潮流求解方法相比，可以实现电力系统在安全性和经济性方面的更大提升。
附图说明
图1为本发明方法的流程框图。
具体实施方式
本发明提出的电力系统输电网最优开断的凸优化求解方法，其流程框图如图1所示，包括以下步骤：
(1)建立电力系统输电网最优开断的优化模型，优化模型的目标函数为：
Figure BDA0001830687660000071
其中，
Figure BDA0001830687660000072
表示电力系统中与节点i连接的发电机的有功功率，
Figure BDA0001830687660000073
为一个以
Figure BDA0001830687660000074
为变量组成的凸函数，该凸函数代表电力系统中与节点i连接的发电机的发电成本，上标g代表发电机；
上述电力系统输电网最优开断优化模型的约束条件包括：
(1-1)电力系统支路潮流方程的约束条件：
电力系统中节点i与相邻节点j之间的支路ij的潮流方程为：
Figure BDA00018306876600000811
Figure BDA00018306876600000812
θij＝θi-θj (4)
其中，节点i与节点j在电力系统中相邻，xij为0-1整数变量，表示电力系统中支路ij的开断状态，xij＝1表示支路ij闭合，xij＝0表示支路ij断开，pij和qij分别为电力系统中支路ij首端的三相有功功率和三相无功功率，Vi和Vj分别为电力系统中节点i和节点j的电压幅值，θi和θj分别为电力系统中节点i和节点j的电压相角，θij为电力系统中支路ij的首端和末端节点电压相角之间的差值，Gij和Bij分别为电力系统中支路ij的电导和电纳；
(1-2)电力系统节点注入功率的平衡约束条件：
Figure BDA0001830687660000081
Figure BDA0001830687660000082
其中，
Figure BDA0001830687660000083
表示电力系统中与节点i连接的发电机的无功功率，
Figure BDA0001830687660000084
和
Figure BDA0001830687660000085
分别为电力系统中与节点i连接的负荷的有功功率和无功功率，Gsh,i和Bsh,i分别为电力系统中节点i的接地电导和电纳，Φ(i)表示电力系统中与节点i相连的所有节点组成的节点集，上标d代表负荷，下标sh代表接地；
(1-3)电力系统发电机的功率约束条件：
Figure BDA0001830687660000086
Figure BDA0001830687660000087
其中，
Figure BDA0001830687660000088
和
Figure BDA0001830687660000089
分别为电力系统中节点i所连接的发电机发出的有功功率的下限和上限，
Figure BDA00018306876600000810
分别为电力系统中节点i所连接的发电机发出的无功功率的下限和上限，上标u代表上限，上标l代表下限；
(1-4)电力系统中支路ij的相角差值的约束条件：
-θu≤θij≤θu(9)
其中，θu为电力系统中各支路首端和末端节点电压的相角差值的上限，θu取值为10°；
(1-5)电力系统中支路ij的功率约束条件：
Figure BDA0001830687660000091
其中，Su为电力系统中各支路视在功率的上限；
(1-6)电力系统中节点i的电压幅值约束条件：
Vl≤Vi≤Vu (11)
其中，Vl和Vu分别为电力系统中各节点的电压幅值的下限和上限，Vu的取值范围为1.05～1.1p.u.，Vl的取值范围为0.9～0.95p.u.，其中p.u.表示电力系统的标么值；
(2)引入变量Kij代替ViVjcosθij，Lij代替ViVjsinθij，Ui代替
Figure BDA0001830687660000094
sij代替sinθij，cij代替cosθij将上述步骤(1-1)的电力系统支路潮流方程的约束条件(2)和约束条件(3)等价转换为如下方程：
pij＝(GijUi-GijKij-BijLij)xij(12)
qij＝(-BijUi+BijKij-GijLij)xij(13)
Figure BDA0001830687660000092
sij＝sinθij(15)
cij＝cosθij(16)
Figure BDA0001830687660000093
sijKij＝cijLij(18)；
(3)引入支路变量Mij，将约束(12)和(13)等价转换为如下的方程：
Mij＝(1-xij)M(19)
pij≤Mij+GijUi-GijKij-BijLij(20)
pij≥-Mij+GijUi-GijKij-BijLij(21)
qij≤Mij-BijUi+BijKij-GijLij(22)
qij≥-Mij-BijUi+BijKij-GijLij(23)
-Mxij≤pij≤Mxij(24)
-Mxij≤qij≤Mxij(25)
其中，M表示一个较大的正数，通常取值为100；
(4)定义如下凸函数fij,1(x)、fij,2(x)、fij,3(x)、gij,1(x)、gij,2(x)和gij,3(x)：
fij,1(x)＝(Ui+Uj)2(26)
fij,2(x)＝1(27)
fij,3(x)＝(sij+Kij)2+(cij-Lij)2(28)
gij,1(x)＝(2Kij)2+(2Lij)2+(Ui-Uj)2(29)
Figure BDA0001830687660000101
gij,3(x)＝(sij-Kij)2+(cij+Lij)2(31)
其中，x表示由电力系统中所有节点的变量Ui以及所有支路的所有变量sij、cij、Kij、Lij组成的一个向量；
将上述步骤(2)的潮流方程(14)、潮流方程(17)和潮流方程(18)分别转换为如下凸函数相减的形式：
gij,n(x)-fij,n(x)≤0,n＝1,2(32)
gij,3(x)-fij,3(x)≤0(33)
fij,m(x)-gij,m(x)≤0,m＝1,2,3(34)
将上述步骤(2)的约束条件sij＝sinθij等价为：
sij＝θij(35)；
(5)根据上述步骤(2)和上述步骤(3)的转换形式，将上述步骤(1)的电力系统输电网最优开断的优化模型等价为一个非凸优化模型如下：
目标函数：
Figure BDA0001830687660000111
约束条件包括：上述步骤(1)的约束条件(4)至约束条件(11)、上述步骤(2)的约束条件(12)和约束条件(13)、上述步骤(3)的约束条件(19)至约束条件(25)以及上述步骤(4)的约束条件(32)至约束条件(35)；
根据上述步骤(2)和上述步骤(3)的转换形式，将上述步骤(1)的电力系统输电网最优开断的优化模型松弛为一个凸优化模型如下：
目标函数：
Figure BDA0001830687660000112
约束条件包括：上述步骤(1)的约束条件(4)至约束条件(11)、上述步骤(2)的约束条件(12)和约束条件(13)、上述步骤(3)的约束条件(19)至约束条件(25)以及上述步骤(4)的约束条件(32)和约束条件(35)；
(6)对上述步骤(5)的电力系统输电网最优开断的非凸优化模型的的凸优化求解，包括以下步骤：
(6-1)初始化时，设定迭代次数k＝0，设定惩罚系数τ的初值τ(0)，设定惩罚系数τ的最大值τmax，设定惩罚系数τ的增长率μ，求解上述步骤(5)的电力系统输电网最优开断的凸优化模型，并将得到的凸优化模型的解赋值给上述步骤(4)中电力系统变量向量x的初值x(0)；
(6-2)在x(k)处，对上述步骤(4)中的凸函数进行线性化，得到如下线性化函数：
Figure BDA0001830687660000113
Figure BDA0001830687660000114
其中，上标k代表第k次迭代；
(6-3)根据上述步骤(6-2)得到的线性化函数，重新建立一个电力系统输电网最优开断的凸优化模型如下：
目标函数：
Figure BDA0001830687660000115
约束条件包括：
Figure BDA0001830687660000121
Figure BDA0001830687660000122
Figure BDA0001830687660000123
Figure BDA0001830687660000124
以及上述步骤(1)的约束条件(4)至约束条件(11)、上述步骤(2)的约束条件(12)和约束条件(13)、上述步骤(3)的约束条件(19)至约束条件(25)以及上述步骤(4)的约束条件(32)和约束条件(35)；
其中，
Figure BDA0001830687660000125
和
Figure BDA0001830687660000126
表示分别表示第k次迭代中电力系统中支路ij的第1、2、3个松弛变量和第4个松弛变量，Φl表示电力系统中所有支路的集合；
求解该新建的电力系统输电网最优开断的凸优化模型，得到电力系统输电网最优开断的凸优化模型的解；
(6-4)根据上述步骤(6-3)得到的电力系统输电网最优开断的凸优化模型的解，计算松弛变量的和e：
Figure BDA0001830687660000127
设定一个迭代误差阈值ε，根据ε对松弛变量的和进行判断，若e＞ε，则将步骤上述(6-3)电力系统输电网最优开断的凸优化模型的解赋值给电力系统变量向量x(k+1)，并设定惩罚系数τ(k+1)为μτ(k)和τmax中的较小值，设定迭代次数k＝k+1，返回步骤(6-2)，其中μ为惩罚系数τ的增长率；若e≤ε，则结束计算，并将上述步骤(6-3)中电力系统输电网最优开断的凸优化模型的解作为上述步骤(1)的电力系统输电网最优开断的优化模型的可行解。

Claims (1)

1.一种电力系统输电网最优开断的凸优化求解方法，其特征在于该方法包括以下步骤：
(1)建立电力系统输电网最优开断的优化模型，优化模型的目标函数为：
Figure FDA0002543188370000011
其中，
Figure FDA0002543188370000012
表示电力系统中与节点i连接的发电机的有功功率，
Figure FDA0002543188370000013
为一个以
Figure FDA0002543188370000014
为变量组成的凸函数，该凸函数代表电力系统中与节点i连接的发电机的发电成本，上标g代表发电机；
上述电力系统输电网最优开断优化模型的约束条件包括：
(1-1)电力系统支路潮流方程的约束条件：
电力系统中节点i与相邻节点j之间的支路ij的潮流方程为：
pij＝(GijVi 2-GijViVjcosθij-BijViVjsinθij)xij (2)
qij＝(-BijVi 2+BijViVjcosθij-GijViVjsinθij)xij (3)
θij＝θi-θj (4)
其中，节点i与节点j在电力系统中相邻，xij为0-1整数变量，表示电力系统中支路ij的开断状态，xij＝1表示支路ij闭合，xij＝0表示支路ij断开，pij和qij分别为电力系统中支路ij首端的三相有功功率和三相无功功率，Vi和Vj分别为电力系统中节点i和节点j的电压幅值，θi和θj分别为电力系统中节点i和节点j的电压相角，θij为电力系统中支路ij的首端和末端节点电压相角之间的差值，Gij和Bij分别为电力系统中支路ij的电导和电纳；
(1-2)电力系统节点注入功率的平衡约束条件：
Figure FDA0002543188370000015
Figure FDA0002543188370000016
其中，
Figure FDA0002543188370000017
表示电力系统中与节点i连接的发电机的无功功率，
Figure FDA0002543188370000018
和
Figure FDA0002543188370000019
分别为电力系统中与节点i连接的负荷的有功功率和无功功率，Gsh,i和Bsh,i分别为电力系统中节点i的接地电导和电纳，Φ(i)表示电力系统中与节点i相连的所有节点组成的节点集，上标d代表负荷，下标sh代表接地；
(1-3)电力系统发电机的功率约束条件：
Figure FDA0002543188370000021
Figure FDA0002543188370000022
其中，
Figure FDA0002543188370000023
和
Figure FDA0002543188370000024
分别为电力系统中节点i所连接的发电机发出的有功功率的下限和上限，
Figure FDA0002543188370000025
分别为电力系统中节点i所连接的发电机发出的无功功率的下限和上限，上标u代表上限，上标l代表下限；
(1-4)电力系统中支路ij的相角差值的约束条件：
-θu≤θij≤θu (9)
其中，θu为电力系统中各支路首端和末端节点电压的相角差值的上限，θu取值为10°；
(1-5)电力系统中支路ij的功率约束条件：
Figure FDA0002543188370000026
其中，Su为电力系统中各支路视在功率的上限；
(1-6)电力系统中节点i的电压幅值约束条件：
Vl≤Vi≤Vu (11)
其中，Vl和Vu分别为电力系统中各节点的电压幅值的下限和上限，Vu的取值范围为1.05～1.1p.u.，Vl的取值范围为0.9～0.95p.u.，其中p.u.表示电力系统的标么值；
(2)引入变量Kij代替ViVjcosθij，Lij代替ViVjsinθij，Ui代替Vi 2，sij代替sinθij，cij代替cosθij，将上述步骤(1-1)的电力系统支路潮流方程的约束条件(2)和约束条件(3)等价转换为如下方程：
pij＝(GijUi-GijKij-BijLij)xij (12)
qij＝(-BijUi+BijKij-GijLij)xij (13)
Figure FDA0002543188370000027
sij＝sinθij (15)
cij＝cosθij (16)
Figure FDA0002543188370000031
sijKij＝cijLij (18)；
(3)引入支路变量Mij，将约束(12)和(13)等价转换为如下的方程：
Mij＝(1-xij)M (19)
pij≤Mij+GijUi-GijKij-BijLij (20)
pij≥-Mij+GijUi-GijKij-BijLij (21)
qij≤Mij-BijUi+BijKij-GijLij (22)
qij≥-Mij-BijUi+BijKij-GijLij (23)
-Mxij≤pij≤Mxij (24)
-Mxij≤qij≤Mxij (25)
其中，M为100；
(4)定义如下凸函数fij,1(x)、fij,2(x)、fij,3(x)、gij,1(x)、gij,2(x)和gij,3(x)：
fij,1(x)＝(Ui+Uj)2 (26)
fij,2(x)＝1 (27)
fij,3(x)＝(sij+Kij)2+(cij-Lij)2 (28)
gij,1(x)＝(2Kij)2+(2Lij)2+(Ui-Uj)2 (29)
Figure FDA0002543188370000032
gij,3(x)＝(sij-Kij)2+(cij+Lij)2 (31)
其中，x表示由电力系统中所有节点的变量Ui以及所有支路的所有变量sij、cij、Kij、Lij组成的一个向量；
将上述步骤(2)的潮流方程(14)、潮流方程(17)和潮流方程(18)分别转换为如下凸函数相减的形式：
gij,n(x)-fij,n(x)≤0,n＝1,2 (32)
gij,3(x)-fij,3(x)≤0 (33)
fij,m(x)-gij,m(x)≤0,m＝1,2,3 (34)
将上述步骤(2)的约束条件sij＝sinθij等价为：
sij＝θij (35)；
(5)根据上述步骤(2)和上述步骤(3)的转换形式，将上述步骤(1)的电力系统输电网最优开断的优化模型等价为一个非凸优化模型如下：
目标函数：
Figure FDA0002543188370000041
约束条件包括：上述步骤(1)的约束条件(4)至约束条件(11)、上述步骤(2)的约束条件(12)和约束条件(13)、上述步骤(3)的约束条件(19)至约束条件(25)以及上述步骤(4)的约束条件(32)至约束条件(35)；
根据上述步骤(2)和上述步骤(3)的转换形式，将上述步骤(1)的电力系统输电网最优开断的优化模型松弛为一个凸优化模型如下：
目标函数：
Figure FDA0002543188370000042
约束条件包括：上述步骤(1)的约束条件(4)至约束条件(11)、上述步骤(2)的约束条件(12)和约束条件(13)、上述步骤(3)的约束条件(19)至约束条件(25)以及上述步骤(4)的约束条件(32)和约束条件(35)；
(6)对上述步骤(5)的电力系统输电网最优开断的非凸优化模型的凸优化求解，包括以下步骤：
(6-1)初始化时，设定迭代次数k＝0，设定惩罚系数τ的初值τ(0)，设定惩罚系数τ的最大值τmax，设定惩罚系数τ的增长率μ，求解上述步骤(5)的电力系统输电网最优开断的凸优化模型，并将得到的凸优化模型的解赋值给上述步骤(4)中电力系统变量向量x的初值x(0)；
(6-2)在x(k)处，对上述步骤(4)中的凸函数进行线性化，得到如下线性化函数：
Figure FDA0002543188370000043
Figure FDA0002543188370000044
其中，上标k代表第k次迭代；
(6-3)根据上述步骤(6-2)得到的线性化函数，重新建立一个电力系统输电网最优开断的凸优化模型如下：
目标函数：
Figure FDA0002543188370000051
约束条件包括：
Figure FDA0002543188370000052
Figure FDA0002543188370000053
Figure FDA0002543188370000054
Figure FDA0002543188370000055
以及上述步骤(1)的约束条件(4)至约束条件(11)、上述步骤(2)的约束条件(12)和约束条件(13)、上述步骤(3)的约束条件(19)至约束条件(25)以及上述步骤(4)的约束条件(32)和约束条件(35)；
其中，
Figure FDA0002543188370000056
和
Figure FDA0002543188370000057
分别表示第k次迭代中电力系统中支路ij的第1、2、3个松弛变量和第4个松弛变量，Φl表示电力系统中所有支路的集合；
求解该新建的电力系统输电网最优开断的凸优化模型，得到电力系统输电网最优开断的凸优化模型的解；
(6-4)根据上述步骤(6-3)得到的电力系统输电网最优开断的凸优化模型的解，计算松弛变量的和e：
Figure FDA0002543188370000058
设定一个迭代误差阈值ε，根据ε对松弛变量的和进行判断，若e＞ε，则将步骤上述(6-3)电力系统输电网最优开断的凸优化模型的解赋值给电力系统变量向量x(k+1)，并设定惩罚系数τ(k+1)为μτ(k)和τmax中的较小值，设定迭代次数k＝k+1，返回步骤(6-2)，其中μ为惩罚系数τ的增长率；若e≤ε，则结束计算，并将上述步骤(6-3)中电力系统输电网最优开断的凸优化模型的解作为上述步骤(1)的电力系统输电网最优开断的优化模型的可行解。
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