CN107526712B - 基于到达时间差的多目标定位外部逼近近似凸优化方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于到达时间差的多目标定位外部逼近近似凸优化方法，首先构造原始问题模型；然后使用松弛方法将原始问题模型松弛为一个凸问题得到第一外部逼近近似算法子模型；并针对半正定矩阵构建新的合适的约束，然后解第一外部逼近近似算法子模型，得到整数解；将已得到的整数解带入第二外部逼近近似算法子模型，求得待定位的各个目标的初略坐标值，将此坐标值作为起始点去计算各个目标的精确位置。然后判断是否已经得到最优解。本发明利用外部近似逼近算法，对基站的布局和待测目标所在区域没有已有方法如此复杂的要求，并且能够确保收敛到全域最优解，并且不需要初始估计点。

Description

基于到达时间差的多目标定位外部逼近近似凸优化方法

技术领域

本发明属于基于无线信号定位技术领域，特别涉及一种多目标定位问题的凸优化方法，适用于基于TDOA的多目标定位问题。

背景技术

无线定位技术，最早用于二战时期对舰艇和战斗机等军事目标的定位问题。随着科技的发展，无线定位技术越来越多的在工业、民用和国防等领域得到了广泛的应用。比如紧急救援响应，危险物品实时追踪，手机定位，过程控制。通过数学方法来改进无线定位算法的估计速度和精度一直是相关领域的研究热点。

得益于凸优化算法的发展，高效的凸优化松弛技术能应用于目标定位问题。随着大数据、移动互联网和物联网等的快速发展，多目标定位问题已成为一个无线定位领域新的研究热点。TDOA是一种利用时间差进行定位的方法，他通过目标发射的信号到达不同基站的时间差来实现对目标的定位。TDOA不存在相位模糊问题，可以解决信号耦合问题，并且有着很高的定位的精度，因此有着很好的应用前景。目前的主要研究关注于使用凸优化算法去完善TDOA-单目标定位问题，主要使用了半正定松弛，二次锥松弛、交替迭代等方法来解决单目标定位问题。其中为了提高计算效率，一阶加速算法，拟牛顿法和内点法等高收敛速度的算法也应用在计算以上的松弛后的问题中，但是由于问题本身是一个非凸问题，因此很难保证算法在实际应用中收敛到全局最优解。

特别地，对于多目标定位问题，因为基站不能识别信号源于哪一个目标，因此该问题是一个NP-hard问题，现有多目标定位算法只能在合理布置基站，然后待测目标分布在特定范围，选择合适的起始估计点的条件下得到一个全局最优解。否则，只能确保收敛到一个局部最优解。并且为了解决NP-hard问题，计算复杂度随着目标数量的增加而呈现出指数级的增加，并且容易陷于局部最优解。因此TDOA-MSL是一个值得去深入研究的问题。

发明内容

针对上述现有技术的不足，本发明的目的在于提出一种基于到达时间差(TDOA)的多目标定位外部逼近近似凸优化方法(OAA)，基于外部近似逼近凸优化算法最突出的优势在于，利用外部近似逼近算法，对基站的布局和待测目标所在区域没有已有方法如此复杂的要求，并且能够确保收敛到全域最优解，并且不需要初始估计点。

本发明是这样实现的：

首先构造原始问题模型；

然后使用松弛方法将原始问题模型松弛为一个凸问题得到第一外部逼近近似算法子模型；

并针对半正定矩阵构建新的合适的约束，然后解第一外部逼近近似算法子模型，得到整数解；

将已得到的整数解带入第二外部逼近近似算法子模型，求得待定位的各个目标的初略坐标值，将此坐标值作为起始点去计算各个目标的精确位置。

然后判断是否已经得到最优解。

本发明更具体的步骤如下：

一种基于到达时间差的多目标定位(time difference of arrival basedmultiple source localization problem TDOA-MSL)外部逼近近似(outer approximalapproach OAA)凸优化方法，包括通过半正定松弛，二次锥松弛、泰勒松弛和添加新的松弛后的半正定矩阵(SDP)约束条件，根据最大似然估计(MLE)模型得到一个混合整数凸优化原始问题模型，根据外部逼近近似算法得到精确的多目标坐标，包括以下步骤：

a)通过TDOA定义，使用最大似然估计构造了一个混合整数、非凸的原始问题模型；

b)通过采用半正定松弛、泰勒松弛和二次锥松弛等松弛方法以及通过添加新的松弛后的半正定矩阵(SDP)约束条件，将原始问题松弛为一个混合整数凸优化问题模型；

c)通过解第一外部逼近近似算法子模型得到一个整数部分的解P,对应的最优函数值为下界(LB)；

d)固定整数解部分，b)对应的凸优化问题模型变为一个连续凸问题，通过解第二外部逼近近似算法子模型得到连续部分的最优解，及对应的最优函数值,迭代过程中获得的最优函数值中的最小值作为算法的上界(UB)；

e)判断第二外部逼近近似算法子模型得到的最优解是否是原问题的最优解：

ⅰ.If UB>LB+constant，d)中的最优解以及与它相对应的整数解不是原问题的最优解，迭代升级b)中，确保已经出现过的整数解不会再次出现，继续执行b)-d)直至得到最优解或者迭代次数超过预设的迭代次数上限。

ⅱ.If UB<＝LB+constant,d)中的最优解以及与它相对应的整数解为原问题的最优解，停止程序。

更进一步的方案是：

所述步骤a)包括：

ⅰ.TDOA定义,假设有K个目标其对应一个L×K矩阵，M个基站对应一个L×M矩阵，其中基站的位置矩阵s已知，到达时间差对应的K×(M-1)矩阵t已知，目标的位置矩阵x未知。根据TDOA定义可知：

ⅱ.第k个目标到第i个基站和第1个基站的到达时间差TDOA如下所示：

其中，第一个等式是TDOA的定义(含有噪声)，最后一项为噪音，不失一般性的，我们假设每个噪声都服从高斯分布，并且独立同分布；第二个等式是TOA的定义，常数c表示信号的传播速度。

多目标定位中，假设对于每一个基站不能识别它获得的信号来自于哪一个目标(表示为

)，为了识别每一个目标，我们引入了为每一个基站引入了一个对应的置换矩阵P(permutation matrix)以识别每一个目标，方法如下：

上式表示对第i个基站，可以通过其对应的置换矩阵的k行去识别所接收的数据中对应第k个目标的到达时间差数据。

ⅲ.通过最大似然估计，把最小化噪声的绝对值作为目标函数，基于此我们构造了如下多目标定位模型，也就是原始问题模型：

Z_k，i≥0，Pⁱ∈Π

其中，Pⁱ表示第i个基站对应的置换矩阵；

为第i个基站接受的TDOA数据；Z_k,i表示第k个目标与第i个基站的实际TDOA数据与估计数据的差异的平方；

为待计算的第k个目标与第i个基站和第1个基站的实际TDOA值；第二个约束是TDOA的物理定义。显而易见的，该原始问题模型是一个混合整数-非凸优化问题，现有的定位算法很难得到全局最优解。

更进一步的方案是：

所述步骤b)包括：

ⅰ.根据所述TDOA数据和基站的位置信息来计算多个目标的位置；

ⅱ.对原始问题进行包括但不限于半正定松弛、二次锥松弛、泰勒松弛和添加新的松弛后的半正定矩阵(SDP)约束条件，以使得原问题变为凸优化问题、缩小松弛后问题的可行域，以降低计算复杂度；

ⅲ.松弛后的问题是一个混合整数凸优化问题，可以使用包括但不限于分支定界算法、内点法、固定步长梯度下降法、变步长梯度下降法和牛顿法来得到最优解和最优函数值。

更进一步的方案是：

所述步骤c)包括：

ⅰ.保存通过第一外部逼近近似算法子模型计算得到的最优解的整数部分，以及相应的最优函数值被定义为原问题的下界LB；

ⅱ.进入步骤d)。

更进一步的方案是：

所述步骤d)包括：

ⅰ.固定整数部分后，原问题变为了一个连续的带有半正定约束和二次锥约束的连续可微分凸优化问题(第二外部逼近近似算法子模型)；

ⅱ.该问题可以使用包括但不限于内点法、梯度下降法(固定步长，变化步长)和牛顿法等成熟的凸优化算法来得到最优解和最优函数值；

ⅲ.最优函数值被记为原问题的上界(UB)。

更进一步的方案是：

所述步骤e)包括：

确保整数解不重复的方法包括但不限于：

ⅰ.计算c)中对偶问题，得到位置变量x的松弛变量X对应的对偶最优解X_dual和真实到达时间d对应的松弛变量D的对偶最优解D_dual,在b)中添加约束<X,X_dual>>＝0(克罗内克积)；<D,D_dual>>＝0；

ⅱ.直接在b)中添加约束<P,P><＝M×K-1.P为b)步中得到的整数解)。

更进一步的方案是：

构建最大似然估计(MLE)模型，包括：

ⅰ.建立噪声的概率密度函数(包括但不限于服从高斯分布

)：

ⅱ.计算实际到达时间表示为t⁰+ε；

ⅲ.目标函数为使得噪声的平方和最小化；

ⅳ.考虑的噪声信噪比(SNR)范围为0-40dB。

更进一步的方案是：

泰勒松弛步骤如下：

得到以下松弛后的最大似然估计问题(即凸优化问题模型)

Z_k，i≥0，Pⁱ∈Π

其中第一个约束条件是二次锥松弛，第二个约束条件是TDOA的物理定义，

第三、四、五个约束条件是对原问题中第三个约束条件的半正定松弛，通过半正定松弛和二次锥松弛后得到的问题模型(2)变为了一个混合整数-半正定-二次锥的凸优化问题。

更进一步的方案是：

对半正定松弛后的松弛变量添加了新的约束，具体为：

对半正定松弛后的半正定矩阵D，添加约束条件，以实现对角元元素Dⁱ _k,k数值尽可能接近(Dⁱ _k,L+1)²,使用的方法包括但不限于添加约束条件：

以实现对角元元素Tⁱ _k,k数值尽可能接近(Tⁱ _k,L+1)²,使用的方法包括但不限于添加约束条件：

第一外部逼近近似算法子模型如下：

该模型是一个混合整数-二次锥凸优化问题，可以使用凸优化算法得到最优解。

第二外部逼近近似算法子模型如下：

Z_k，i≥0

其中

该模型是一个连续-半正定-二次锥凸优化问题，可以使用凸优化算法得到最优解，其中第一个约束条件表示将得到的整数解带入我们的TDOA数据，从而消掉0-1整数变量。

通过本发明的算法，在有限次的迭代后就能得到一个全局最优解，仿真结果表明在大规模多目标定位问题中，该方法仍能在很短的时间内得到全局最优解，在信噪比高于30dB时，该方法能达到Cramér-Rao下界(CRLB)。该方法能够使用较少数量的基站，在较低的计算复杂度下完成多目标精确定位，较好的解决了TDOA-MSL问题，该方法可应用于手机定位，救援定位，雷达不明飞行物定位等领域中。

附图说明

图1为本发明方法流程示意图；

图2为本发明实施例1计算的目标位置均方根估计误差图；

图3为本发明实施例2计算的目标位置示意图。

具体实施方式

下面结合具体实施方式对本发明作进一步的说明。

如附图1所示，一种基于到达时间差(TDOA)的多目标定位外部逼近近似凸优化方法(OAA)，包括通过半正定松弛，二次锥松弛、泰勒松弛和添加新的松弛后的半正定矩阵(SDP)约束条件，根据最大似然估计(MLE)模型得到一个混合整数凸优化原始问题模型，根据外部逼近近似算法得到精确的多目标坐标，包括以下步骤：

a)通过TDOA定义，使用最大似然估计构造了一个混合整数、非凸的原始问题模型；

b)通过采用半正定松弛、泰勒松弛和二次锥松弛等松弛方法以及通过添加新的松弛后的半正定矩阵(SDP)约束条件，将原始问题松弛为一个混合整数凸优化问题模型；

c)通过解第一外部逼近近似算法子模型得到一个整数部分的解P,对应的最优函数值为下界(LB)；

d)固定整数解部分，b)对应的凸优化问题模型变为一个连续凸问题，通过解第二外部逼近近似算法子模型得到连续部分的最优解，及对应的最优函数值,迭代过程中获得的最优函数值中的最小值作为算法的上界(UB)；

e)判断第二外部逼近近似算法子模型得到的最优解是否是原问题的最优解：

ⅰ.If UB>LB+constant，d)中的最优解以及与它相对应的整数解不是原问题的最优解，迭代升级b)中，确保已经出现过的整数解不会再次出现，继续执行b)-d)直至得到最优解或者迭代次数超过预设的迭代次数上限。

ⅱ.If UB<＝LB+constant,d)中的最优解以及与它相对应的整数解为原问题的最优解，停止程序。

更进一步的方案是：

所述步骤a)包括：

ⅰ.TDOA定义,假设有K个目标其对应一个L×K矩阵，M个基站对应一个L×M矩阵，其中基站的位置矩阵s已知，到达时间差对应的K×(M-1)矩阵t已知，目标的位置矩阵x未知。根据TDOA定义可知：

ⅱ.第k个目标到第i个基站和第1个基站的到达时间差TDOA如下所示：

其中，第一个等式是TDOA的定义(含有噪声)，最后一项为噪音，不失一般性的，我们假设每个噪声都服从高斯分布，并且独立同分布；第二个等式是TOA的定义，常数c表示信号的传播速度。

多目标定位中，假设对于每一个基站不能识别他获得的信号来自于哪一个目标(表示为

)，为了识别每一个目标，我们引入了为每一个基站引入了一个对应的置换矩阵P(permutation matrix)以识别每一个目标，方法如下：

上式表示对第i个基站，可以通过其对应的置换矩阵的k行去识别所接收的数据中对应第k个目标的到达时间差数据。

ⅲ.通过最大似然估计，把最小化噪声的绝对值作为目标函数，基于此我们构造了如下多目标定位模型，也就是原始问题模型：

Z_k，i≥0，Pⁱ∈Π

其中，Pⁱ表示第i个基站对应的置换矩阵；

为第i个基站接受的TDOA数据；Z_k,i表示第k个目标与第i个基站的实际TDOA数据与估计数据的差异的平方；

为待计算的第k个目标与第i个基站和第1个基站的实际TDOA值；第二个约束是TDOA的物理定义。显而易见的，该原始问题模型是一个混合整数-非凸优化问题，现有的定位算法很难得到全局最优解。

更进一步的方案是：

所述步骤b)包括：

ⅰ.根据所述TDOA数据和基站的位置信息来计算多个目标的位置；

ⅱ.对原始问题进行包括但不限于半正定松弛、二次锥松弛、泰勒松弛和添加新的松弛后的半正定矩阵(SDP)约束条件，以使得原问题变为凸优化问题、缩小松弛后问题的可行域，以降低计算复杂度；

ⅲ.松弛后的问题是一个混合整数凸优化问题，可以使用包括但不限于分支定界算法、内点法、固定步长梯度下降法、变步长梯度下降法和牛顿法来得到最优解和最优函数值。

更进一步的方案是：

所述步骤c)包括：

ⅰ.保存通过第一外部逼近近似算法子模型计算得到的最优解的整数部分，以及相应的最优函数值被定义为原问题的下界LB；

ⅱ.进入步骤d)。

更进一步的方案是：

所述步骤d)包括：

ⅰ.固定整数部分后，原问题变为了一个连续的带有半正定约束和二次锥约束的连续可微分凸优化问题(第二外部逼近近似算法子模型)；

ⅱ.该问题可以使用包括但不限于内点法、梯度下降法(固定步长，变化步长)和牛顿法等成熟的凸优化算法来得到最优解和最优函数值；

ⅲ.最优函数值被记为原问题的上界(UB)。

更进一步的方案是：

所述步骤e)包括：

确保整数解不重复的方法包括但不限于：

ⅰ.计算c)中对偶问题，得到位置变量x的松弛变量X对应的对偶最优解X_dual和真实到达时间d对应的松弛变量D的对偶最优解D_dual,在b)中添加约<X,X_dual>>＝0(克罗内克积)；<D,D_dual>>＝0；

ⅱ.直接在b)中添加约束<P,P><＝M×K-1.(P为b)步中得到的整数解。

更进一步的方案是：

构建最大似然估计(MLE)模型，包括：

ⅰ.建立噪声的概率密度函数(包括但不限于服从高斯分布

)：

ⅱ.计算实际到达时间表示为t⁰+ε；

ⅲ.目标函数为使得噪声的平方和最小化；

ⅳ.考虑的噪声信噪比(SNR)范围为0-100dB。

更进一步的方案是：

泰勒松弛步骤如下：

得到以下松弛后的最大似然估计问题(即凸优化问题模型)

Z_k，i≥0，Pⁱ∈Π

其中第一个约束条件是二次锥松弛，第二个约束条件是TDOA的物理定义，第三、四、五个约束条件是对原问题中第三个约束条件的半正定松弛，通过半正定松弛和二次锥松弛后得到的问题模型(2)变为了一个混合整数-半正定-二次锥的凸优化问题。

更进一步的方案是：

对半正定松弛后的松弛变量添加了新的约束，具体为：

对半正定松弛后的半正定矩阵D，添加约束条件，以实现对角元元素Dⁱ _k,k数值尽可能接近(Dⁱ _k,L+1)²,使用的方法包括但不限于添加约束条件：

以实现对角元元素Tⁱ _k,k数值尽可能接近(Tⁱ _k,L+1)²,使用的方法包括但不限于添加约束条件：

第一外部逼近近似算法子模型如下：

该模型是一个混合整数-二次锥凸优化问题，可以使用凸优化算法得到最优解。

第二外部逼近近似算法子模型如下：

Z_k，i≥0

其中

该模型是一个连续-半正定-二次锥凸优化问题，可以使用凸优化算法得到最优解，其中第一个约束条件表示将得到的整数解带入我们的TDOA数据，从而消掉0-1整数变量。

下面根据实际情况举出两个更具体的实施例进行说明。

实施例1：

基站：

s＝

40	40	-40	-40
				40	-40	40	-40

待定位的目标：

x＝

10	-20	30
			-10	-25	20

信噪比

100次蒙特卡洛模拟后，计算的目标位置均方根估计误差如附图2所示。可以看到，3个目标4个基站的门特卡罗模拟结果在经过多次模拟后具有相当的准确性。

实施例2：

基站：

s＝

20	-10	-40	-40
				-25	0	40	-40

待定位的目标：

x＝

10	-20	-10
			-10	-25	20

100次蒙特卡洛模拟后，计算的目标位置示意图如附图3所示，可以看到，3个目标4个基站的门特卡罗模拟结果在经过多次模拟后具有相当的准确性。

上述所有数值实验都是由笔记本电脑完成，由Figure 1，Figure 2可知本专利所描述的算法能解决TDOA-多目标定位问题，在信噪比大于等于20dB时，能得到不错的数值结果，得到接近CRLB精度的估计值。

尽管这里参照本发明的解释性实施例对本发明进行了描述，上述实施例仅为本发明较佳的实施方式，本发明的实施方式并不受上述实施例的限制，应该理解，本领域技术人员可以设计出很多其他的修改和实施方式，这些修改和实施方式将落在本申请公开的原则范围和精神之内。

Claims (10)

1.一种基于到达时间差的多目标定位外部逼近近似凸优化方法，包括通过半正定松弛，二次锥松弛、泰勒松弛和添加新的松弛后的半正定矩阵约束条件，根据最大似然估计模型得到一个混合整数凸优化原始问题模型，根据外部逼近近似算法得到精确的多目标坐标，其特征在于包括以下步骤：

a)通过TDOA定义，使用最大似然估计构造了一个混合整数、非凸的原始问题模型；

b)通过采用半正定松弛、泰勒松弛和二次锥松弛以及通过添加新的松弛后的半正定矩阵约束条件，将原始问题松弛为一个混合整数凸优化问题模型；

c)通过解第一外部逼近近似算法子模型得到一个整数部分的解P,对应的最优函数值为下界LB；

d)固定整数解部分，b)对应的凸优化问题模型变为一个连续凸问题，通过解第二外部逼近近似算法子模型得到连续部分的最优解，及对应的最优函数值,迭代过程中获得的最优函数值中的最小值作为算法的上界UB；

e)判断第二外部逼近近似算法子模型得到的最优解是否是原问题的最优解：

ⅰ.If UB>LB+constant，d)中的最优解以及与它相对应的整数解不是原问题的最优解，迭代升级b)中的子问题，确保已经出现过的整数解不会再次出现，继续执行b)-d)直至得到最优解或者迭代次数超过预设的迭代次数上限；

ⅱ.If UB<＝LB+constant,d)中的最优解以及与它相对应的整数解为原问题的最优解。

2.根据权利要求1所述基于到达时间差的多目标定位外部逼近近似凸优化方法，其特征在于：

所述步骤a)包括：

ⅰ.TDOA定义,假设有K个目标其对应一个L×K矩阵，M个基站对应一个L×M矩阵，其中基站的位置矩阵s已知，到达时间差对应的K×(M-1)矩阵t已知，目标的位置矩阵x未知；根据TDOA定义可知：

ⅱ.第k个目标到第i个基站和第1个基站的到达时间差TDOA如下所示：

其中，第一个等式是TDOA的定义，最后一项为噪音，我们假设每个噪声都服从高斯分布，并且独立同分布；第二个等式是TOA的定义，常数c表示信号的传播速度；

多目标定位中，假设对于每一个基站不能识别它获得的信号来自于哪一个目标，表示为

为了识别每一个目标，为每一个基站引入了一个对应的置换矩阵P以识别每一个目标，方法如下：

上式表示对第i个基站，可以通过其对应的置换矩阵的k行去识别所接收的数据中对应第k个目标的到达时间差数据；

ⅲ.通过最大似然估计，把最小化噪声的绝对值作为目标函数，基于此我们构造了如下多目标定位模型，也就是原始问题模型：

Z_k，i≥0，Pⁱ∈Π

其中，Pⁱ表示第i个基站对应的置换矩阵；

为第i个基站接受的TDOA数据；Z_k,i表示第k个目标与第i个基站的实际TDOA数据与估计数据的差异的平方；

为待计算的第k个目标与第i个基站和第1个基站的实际TDOA值；第二个约束是TDOA的物理定义。

3.根据权利要求1所述基于到达时间差的多目标定位外部逼近近似凸优化方法，其特征在于：

所述步骤b)包括：

ⅰ.根据所述TDOA数据和基站的位置信息来计算多个目标的位置；

ⅱ.对原始问题进行半正定松弛、二次锥松弛、泰勒松弛和添加新的松弛后的半正定矩阵约束条件，以使得原问题变为凸优化问题、缩小松弛后问题的可行域，以降低计算复杂度；

ⅲ.松弛后的问题是一个混合整数凸优化问题，可以使用包括但不限于分支定界算法、内点法、固定步长梯度下降法、变步长梯度下降法和牛顿法来得到最优解和最优函数值。

4.根据权利要求1所述基于到达时间差的多目标定位外部逼近近似凸优化方法，其特征在于：

所述步骤c)包括：

ⅰ.保存通过第一外部逼近近似算法子模型计算得到的最优解的整数部分，以及相应的最优函数值被定义为原问题的下界LB；

ⅱ.进入步骤d)。

5.根据权利要求1所述基于到达时间差的多目标定位外部逼近近似凸优化方法，其特征在于：

所述步骤d)包括：

ⅰ.固定整数部分后，原问题变为了一个连续的带有半正定约束和二次锥约束的连续可微分凸优化问题，即第二外部逼近近似算法子模型；

ⅱ.该问题可以使用包括内点法、固定步长或变化步长的梯度下降法和牛顿法的成熟的凸优化算法来得到最优解和最优函数值；

ⅲ.最优函数值被记为原问题的上界UB。

6.根据权利要求1所述基于到达时间差的多目标定位外部逼近近似凸优化方法，其特征在于：

所述步骤e)包括：

确保整数解不重复的方法包括：

ⅰ.计算c)中的对偶问题，得到位置变量x的松弛变量X对应的对偶最优解X_dual和真实到达时间d对应的松弛变量D的对偶最优解D_dual,在b)中添加约束<X,X_dual>>＝0，即克罗内克积；<D,D_dual>>＝0；

ⅱ.直接在b)中添加约束<P,P><＝M×K-1.P为b)步中得到的整数解。

7.根据权利要求1所述基于到达时间差的多目标定位外部逼近近似凸优化方法，其特征在于：

构建最大似然估计模型，包括以下随机模型：

ⅰ.建立噪声的概率密度函数，服从高斯分布

ⅱ.计算实际到达时间表示为t⁰+ε；

ⅲ.目标函数为使得噪声的平方和最小化；

ⅳ.考虑的噪声信噪比SNR范围为0-100dB。

8.根据权利要求1所述基于到达时间差的多目标定位外部逼近近似凸优化方法，其特征在于：

泰勒松弛步骤如下：

得到以下松弛后的最大似然估计问题，即混合整数-凸优化问题模型

Dⁱⁱ≥0，X^k≥0，Z_k，i≥0，Pⁱ∈Π

其中第一个约束条件是二次锥松弛，第二个约束条件是TDOA的物理定义；

第三、四、五个约束条件是对原问题中第三个约束条件的半正定松弛，通过半正定松弛和二次锥松弛后得到的凸优化问题模型变为了一个混合整数-半正定-二次锥的凸优化问题。

9.根据权利要求1所述基于到达时间差的多目标定位外部逼近近似凸优化方法，其特征在于：

对半正定松弛后的松弛变量添加了新的约束，具体为：

对半正定松弛后的半正定矩阵D，添加约束条件，以实现对角元元素Dⁱ _k,k数值尽可能接近(Dⁱ _k,L+1)²,使用的方法包括添加约束条件：

以实现对角元元素Tⁱ _k,k数值尽可能接近(Tⁱ _k,L+1)²,使用的方法包括但不限于添加约束条件：

10.根据权利要求1所述基于到达时间差的多目标定位外部逼近近似凸优化方法，其特征在于：

第一外部逼近近似算法子模型如下：

该模型是一个混合整数-二次锥凸优化问题，可以使用凸优化算法得到最优解；

第二外部逼近近似算法子模型如下：

Dⁱ≥0，X^k≥0，Z_k，i≥0

其中

该模型是一个连续-半正定-二次锥凸优化问题，可以使用凸优化算法得到最优解，其中第一个约束条件表示将得到的整数解带入我们的TDOA数据，从而消掉0-1整数变量。

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