CN107515955A - 基于eb连续‑不连续伽辽金混合的时域有限元方法 - Google Patents

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丁大志
陈如山
樊振宏
许浩
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Nanjing University of Science and Technology
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Abstract

本发明公开了一种基于EB连续‑不连续伽辽金混合的时域有限元方法。把计算区域任意分成N个子区域，每个子区域由几个相连的单元组成，N个子区域内采用连续有限元方法，子区域之间的数值信息传递由区域外表面上强加的不连续伽辽金的数值通量实现。本发明是以E、B为未知量，基于棱边的连续‑不连续伽辽金混合的时域有限元方法，该方法能够降低计算复杂度，增大时间步长，节省内存，使计算效率提高。本发明可以有效地节省仿真计算时间，节省内存，是一种快速高效的数值计算方法。

Description

基于EB连续-不连续伽辽金混合的时域有限元方法
技术领域
本发明属于基于EB连续-不连续伽辽金混合的时域有限元数值计算技术，是一种能够节省内存节省迭代时间的的高效快速算法。
背景技术
研究快速高效的计算方法将一直是计算电磁学的核心课题，特别是随着电磁学领域要研究的电磁波频段日渐提高，分析电大尺寸结构日显重要，于是对快速高效计算技术的需求就更为迫切。传统的时域有限元方法因质量矩阵不具有块对角特性无法直接求逆，但谱半径小，而不连续伽辽金时域有限元方法虽具有块对角特性的质量矩阵，可直接求逆，但谱半径比较大，时间步长较小，综合两者优点，提出一种既可以节省内存又可以节省计算时间的连续-不连续伽辽金混合的快速高效计算方法。2015年Luis Diaz Angulo、JesusAlvarez和M.Fernández Pantoja发表的《A Nodal Continuous-Discontinuous GalerkinTime-Domain Method for Maxwell′s Equations》中分析了基于EH节点的连续-不连续伽辽金时域有限元的二维电磁问题，并对不同的数值通量给出了误差分析及谱半径分析，由于目前分析的问题大多是三维问题，因此提出了以E、B为未知量，基于棱边的连续-不连续伽辽金混合的时域有限元方法分析三维电磁问题，这对以后快速求解三维电磁问题具有重要意义。
与不连续伽辽金时域有限元方法相比，传统的连续伽辽金时域有限元方法具有更小的计算复杂度，谱半径也比较小，因此可以选取较大的时间步长，但传统的连续伽辽金时域有限元的质量矩阵不具有块对角特性，因而要用求解器求解方程，而不连续伽辽金时域有限元虽具有块对角特性的质量矩阵，可直接求逆，但谱半径比较大，时间步长较小，而且因为考虑场的连续性，不同单元的相同物理位置的棱边(面)具有多个未知量，所以耗内存。
发明内容
本发明的目的在于提供一种基于EB连续-不连续伽辽金混合的时域有限元方法。
实现本发明目的的技术解决方案为：一种基于EB连续-不连续伽辽金混合的时域有限元方法，步骤如下：
第一步，建立求解模型，使用四面体网格对模型进行离散，得到模型的结构信息，包括四面体的节点信息以及单元信息；
第二步，执行程序前处理，将计算区域通过八叉树进行随机分组，确定每个子区域内单元信息，循环所有子区域(非空组)，对连续区域和不连续区域的棱边以及面进行整合编码。
第三步，从一阶麦克斯韦旋度方程出发，对等式两边采用伽辽金法测试，对电场和磁通量用基函数展开，引入连续性条件，使用蛙跳格式展开，得到最终的迭代公式。通过连续-不连续伽辽金时域有限元的迭代公式进行时间迭代，迭代结束得到空间中的电场和磁通量值；
第四步，数据后处理，根据计算出的场值提取相关的物理参数。
本发明与现有技术相比，其显著优点：(1)与不连续伽辽金时域有限元方法相比，能够节省迭代内存，节省迭代时间，放大时间步长。(2)与传统连续伽辽金时域有限元方法相比，不需要用求解器求逆，能够节省迭代时间。
附图说明
图1是计算区域划分示意图。
图2是金属谐振腔频谱示意图。
具体实施方式
下面结合附图对本发明作进一步详细描述。
本发明是基于EB连续-不连续伽辽金混合的时域有限元方法，步骤如下：
第一步，建立求解模型，使用四面体网格对模型进行离散，得到模型的结构信息，包括四面体的节点信息以及单元信息。
第二步，执行程序前处理，将计算区域通过八叉树进行随机分组，确定每个子区域内单元信息，循环所有子区域(非空组)，对连续区域和不连续区域的棱边以及面进行整合编码。如图1所示，1～4为四个子区域，每个子区域(1、2、3、4子区域)用连续有限元计算，子区域与子区域之间(比如1区域与2、3、4子区域，4区域与1、3子区域，2区域与1、3子区域)的交界面上用不连续有限元计算。
第三步，用一阶麦克斯韦旋度方程，通过伽辽金测试之后，将电场E和磁通量B用基函数展开，引入迎风通量连续性条件，得到最终的求解公式。
上式中ε、μ分别表示离散单元的介电常数和磁导率，E和B分别表示电场强度和磁感应强度。测试基函数Ni和Fi分别测试等式(1)、(2)，得到：
计算子区域内应用连续伽辽金技术，并将E和B分别用棱边基函数和面基函数展开，即(3)式、(4)式利用矢量恒等式化简得到的矩阵形式为：
计算子区域之间的外表面上应用不连续伽辽金技术，在交界面处强加迎风通量连续性条件，
其中-表示本单元，+表示相邻单元，波阻抗
将E和B用棱边基函数和面基函数展开，(3)式、(4)式伽辽金测试并利用矢量恒等式化简得到的矩阵形式为：
其中e-和b-分别代表本单元中的电场值和磁通量值，e+和b+分别代表相邻单元的电场值和磁通量值。式(5)、(6)和式(9)、(10)耦合在一起进行矩阵求解，最终得到：
(11)、(12)中各矩阵块如下：
其中N为有限元四面体棱边基函数，F为有限元四面体面基函数。
(9)、(10)式在时间上采用蛙跳格式展开，得到：
[Te]en+1＝Δt([Pe]+[Se]+[Sse])bn-1/2+([Te]+Δt([Se1]+[Sse1]))en
[Tb]bn+1/2＝Δt([Pb]+[Sb]+[Ssb])en+1+([Tb]+Δt([Sb1]+[Ssb1]))bn-1/2
为了验证本发明的正确性与有效性，下面分析了一个金属谐振腔。
算例：金属谐振腔尺寸为1×1×1米的矩形谐振腔，解析谐振频率是212MHz，加源面是z＝0.5m，观察点位置为(0.5m，0.5m，0.5m)，剖分尺寸是0.09m，剖分体个数是12911，采用1.5阶基函数，加带宽为80MHz，脉宽相关量是8的正弦调制高斯脉冲，用本专利提出的方法计算该金属谐振腔，图2是分512子区域时谐振腔的频谱图，程序数值计算的谐振频率是211.998MHz，与解析谐振频率的相对误差是0.0009％，验证了程序的正确性。表1给出了本发明提出的方法与传统有限元和不连续伽辽金时域有限元的计算资源比较。
表1CDGTD(不同子区域)与CGTD、DGTD计算资源比较

Claims (2)

1.一种基于EB连续-不连续伽辽金混合的时域有限元方法，其特征在于包含如下步骤：
第一步，建立求解模型，使用四面体网格对模型进行离散，得到模型的结构信息，包括四面体的节点信息以及单元信息；
第二步，执行程序前处理，将模型通过八叉树进行分组，确定每个子区域内单元信息，循环所有子区域，对连续区域和不连续区域的棱边以及面进行整合编码；把模型任意分成N个子区域，每个子区域由几个相连的单元组成，N个子区域内采用连续有限元方法，子区域之间的数值信息传递由区域外表面上强加的不连续伽辽金的数值通量实现；
第三步，从一阶麦克斯韦旋度方程出发，对等式两边采用伽辽金法测试，对电场和磁通量用基函数展开，引入电场和磁通量的连续性条件，化简之后的方程使用蛙跳格式展开，得到最终的迭代公式；通过连续-不连续伽辽金时域有限元的迭代公式进行时间迭代，迭代结束得到空间中的电场和磁通量值；
第四步，数据后处理，根据计算出的场值提取相关的物理参数。
2.根据权利要求1所述的基于EB连续-不连续伽辽金混合的时域有限元方法，其特征在于：所述步骤三中，根据一阶麦克斯韦旋度方程：
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上式中ε、μ分别表示离散单元的介电常数和磁导率，E和B分别表示电场强度和磁感应强度；
计算子区域应用连续伽辽金技术，并将E和B用基函数展开，最终得到
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计算子区域之间的外表面上应用不连续伽辽金技术，在交界面处强加迎风通量连续性条件，并将E和B用基函数展开，最终得到
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(3)、(4)和(5)、(6)耦合在一起矩阵求解，得到的最终矩阵形式与(5)、(6)式一样；其中e和b分别代表本单元中的电场值和磁通量值，e+和b+分别代表相邻单元的电场值和磁通量值；[Te]、[Tb]、[Pe]、[Pb]、[Se]、[Sb]、[Sse]、[Ssb]、[Se1]、[Sb1]、[Sse1]、[Ssb1]分别为形成的矩阵。
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