CN107526856B - 可并行的显隐式混合不连续伽辽金时域有限元法 - Google Patents

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Abstract

本发明公开了一种可并行的显隐式混合不连续伽辽金时域有限元法。本发明利用因果区域分解方法实现可并行的显隐式混合不连续伽辽金时域有限元法，放大时间步长的同时又可高度并行计算。本发明可以有效地节省时域有限元法的仿真计算时间，编程简单具有很强的实际工程应用价值。

Description

可并行的显隐式混合不连续伽辽金时域有限元法
技术领域
本发明属于显隐式时域有限元算法数值计算技术，属于大规模并行计算领域，具体是一种针对多尺度电磁分析中的高效算法。
背景技术
多尺度问题出现在众多实际电子工程领域中，如复杂系统电磁干扰、电磁兼容及通信信道分析等。由于精细结构的存在，传统的时域有限元法需采用小尺寸剖分网格模拟物理模型，同时受稳定性条件的限制，时间迭代步长选取过小，导致系统仿真耗时严重。而无条件稳定的差分格式中时间步长的选取虽然不受剖分尺寸的限制，但在求解过程中需要对一个大型稀疏矩阵求逆，失去了高度并行的特性。显隐式混合差分格式能够很好地发挥各自的优势，互相弥补各自的不足。近年来，由于不连续伽辽金方法在非共形剖分网格处理及不同基函数选取上灵活性强，便于分析以上多尺度问题，因此，显隐式混合不连续伽辽金时域有限元法的研究具有重要意义。
传统的显式不连续伽辽金时域有限元法虽然满足天然的并行性，但受稳定性条件的限制，无法放大时间步长。无条件稳定不连续伽辽金时域有限元法如基于CN的隐式差分法，虽然不受稳定性条件的限制可以放大时间步长，但在求解过程中需对一个大型稀疏整体求逆，限制了算法的高度并行化，因而传统的显隐式结合方法虽然可以有效地解决多尺度问题，但是无法实现高度并行。
发明内容
本发明的目的在于提供一种可并行的显隐式混合不连续伽辽金时域有限元法。
实现本发明目的的技术解决方案为：一种可并行的显隐式混合不连续伽辽金时域有限元法，步骤如下：
第一步，建立求解模型，使用四面体网格对模型进行离散，得到模型的结构信息，包括四面体的节点信息以及单元信息；
第二步，消息传递接口MPI初始化，确定进程的总数目以及每个单元所属的进程，执行程序前处理，分别找出显隐式求解区域，设置仿真参数，在隐式求解区域通过时间步长大小确定隐式区域的缓冲区厚度，建立相邻子区域之间的通信索引；
第三步，从一阶麦克斯韦旋度方程出发，对等式两边采用伽辽金法测试，对电场和磁场用基函数展开，引入连续性条件，分别使用显式及隐式差分格式展开，得到最终的迭代公式，根据公式分别填充隐式求解区域的矩阵和显式求解区域的矩阵。
第四步，通过不连续伽辽金时域有限元的迭代公式进行时间迭代，一次时间步迭代里有两次通信，分别通信隐式求解区内正确的场值和显式求解区内正确的场值，该通信只发生在相邻区域之间；迭代结束得到空间中的电场和磁场值；
第五步，数据后处理，根据计算出的场值提取相关的物理参数；
第六步，MPI并行结束。
所述步骤二中，分别找出显式求解区域和隐式求解区域，即离散网格尺寸较小的区域使用隐式差分格式，离散网格尺寸较大的区域使用显式差分格式；确定时间迭代步数和步长，根据进程总数目将不连续伽辽金时域有限元计算区域划分为与进程数相同个数的子区域，对每个子区域的隐式求解和显式求解部分的电场和磁场分别进行整合编码，建立相邻子区域之间的通信索引。
所述步骤三中，根据一阶麦克斯韦旋度方程：
Figure GDA0003358049970000021
Figure GDA0003358049970000022
上式中ε、μ分别表示离散单元的介电常数和磁导率，
Figure GDA0003358049970000023
和
Figure GDA0003358049970000024
分别表示电场强度和磁场强度；对等式采用伽辽金法测试，并将
Figure GDA0003358049970000025
和
Figure GDA0003358049970000026
用基函数展开，引入连续性条件，最终得到
Figure GDA0003358049970000027
Figure GDA0003358049970000028
其中e-和h-分别代表本单元中的电场值和磁场值，e+和h+分别代表相邻单元的电场值和磁场值，T、P、S分别为形成的矩阵。
所述步骤四中，通过不连续伽辽金时域有限元的迭代公式进行时间迭代，本方法中使用三种差分格式：第一种是隐式求解区域使用CN差分展开，第二种是CN区域相邻的显式求解区域使用两次迭代的蛙跳展开，剩下的显式求解区域使用传统的蛙跳展开；将基函数展开公式分别按照上述的差分格式展开：
a、隐式差分CN格式，若每个子区域内的CN扩展区域边界仍为CN，则用理想电壁截断，若为蛙跳计算区域，则该扩展区域边界场值使用两次迭代的蛙跳格式计算获得或使用传统的蛙跳展开；
由n时刻的场量求出CN部分n+1时刻的场量：
Figure GDA0003358049970000031
Figure GDA0003358049970000032
其中e和h代表CN求解区域的电场值和磁场值，T、P、S分别为CN计算区域形成的矩阵；求出各个子区域的场值之后，各个子区域之间互相通信；
b、两次迭代的蛙跳，对基函数展开公式进行差分展开，求出蛙跳部分
Figure GDA0003358049970000033
时刻的场量：
Figure GDA0003358049970000034
Figure GDA0003358049970000035
其中e和h代表蛙跳求解区域的电场值和磁场值，T、P、S分别为蛙跳计算区域形成的矩阵；求出两次迭代的蛙跳部分n+1时刻的场量：
Figure GDA0003358049970000036
Figure GDA0003358049970000037
其中e和h代表蛙跳求解区域的电场值和磁场值，T、P、S分别为蛙跳计算区域形成的矩阵；求出各个子区域的场值之后，各个子区域之间互相通信；
c、传统的蛙跳迭代格式如下：
Figure GDA0003358049970000038
Figure GDA0003358049970000041
其中e和h代表蛙跳求解区域的电场值和磁场值，T、P、S分别为蛙跳计算区域形成的矩阵；整个计算区域内所有的单元在每个时间步长均根据所属的区域按照上述的方法进行场值更新，空间中每点均得到正确电场值，至此一个时间步长中电场的计算全部完成；重复上述步骤直至时间迭代结束。
本发明与现有技术相比，其显著优点：(1)可以实现显隐格式混合不连续伽辽金时域有限元法的大规模并行计算。(2)可以获得与传统显式不连续伽辽金时域有限元相比拟的并行效率。(3)在多尺度电磁分析中能够放大时间步长，减少计算所需的时间。
附图说明
图1是计算区域划分示意图。
图2是金属散射模型示意图。
图3是散射截面积比较图。
具体实施方式
下面结合附图对本发明作进一步详细描述。
本发明是一种可并行的显隐式混合不连续伽辽金时域有限元法，步骤如下：
第一步，建立求解模型，使用四面体网格对模型进行离散，得到模型的结构信息，包括四面体的节点信息以及单元信息。
第二步：MPI(消息传递接口)初始化，将四面体单元按照中心点坐标划分到不同的区域中，确定进程的总数目，对每个进程进行编号，执行程序前处理，分别找出显隐式求解区域，对离散网格尺寸较小的区域使用隐式差分格式求解，对离散网格尺寸较大的区域使用显式差分格式求解。每个进程的隐式求解区域向其他进程的相邻隐式求解区域扩展，附图1中的实线为步骤1中的计算区域划分的边界，每个隐式计算区域向外进行区域扩展使之与相邻的隐式计算区域有相交的计算区域形成缓冲区域，例如区域1`的实际计算区域为位于计算区域2`、3`中虚线所共同围成的计算区域。对每个区域实线与虚线所围成的缓冲区域进行编码，建立相邻计算区域之间的通信索引。对于显式求解区域，只需要找出各进程划分边界上的与本进程相邻的单元信息，建立通信索引；
第三步，用一阶麦克斯韦旋度方程，通过伽辽金测试之后，将电场
Figure GDA0003358049970000042
和磁场
Figure GDA0003358049970000043
用基函数展开，引入连续性条件，得到最终的求解公式。
Figure GDA0003358049970000051
Figure GDA0003358049970000052
上式中ε、μ分别表示离散单元的介电常数和磁导率，
Figure GDA0003358049970000053
和
Figure GDA0003358049970000054
分别表示电场强度和磁场强度。对等式采用伽辽金法测试，并将
Figure GDA0003358049970000055
和
Figure GDA0003358049970000056
用基函数展开，引入连续性条件，最终得到：
Figure GDA0003358049970000057
Figure GDA0003358049970000058
其中e-和h-分别代表本单元中的电场值和磁场值，e+和h+分别代表相邻单元的电场值和磁场值。式(3)、(4)中各矩阵块如下：
Figure GDA0003358049970000059
Figure GDA00033580499700000510
Figure GDA00033580499700000511
Figure GDA00033580499700000512
其中
Figure GDA00033580499700000513
为有限元四面体棱边基函数。
第四步：将基函数展开公式分别用显式(蛙跳)和隐式(CN)差分格式展开，为了保证算法的稳定性，与CN求解区域相邻的显式求解区域使用两次迭代的蛙跳，而与CN区域无关的显式求解区域仍旧采用传统的蛙跳。在隐式求解区域及其相邻的显式求解区域，迭代分为三步求解：
a、对基函数展开公式进行显式差分(蛙跳)展开，求出蛙跳部分
Figure GDA00033580499700000514
时刻的场量：
Figure GDA00033580499700000515
Figure GDA00033580499700000516
其中e2和h2代表两次蛙跳迭代的求解区域的电场值和磁场值，e1和h1代表CN求解区域的电场值和磁场值。求出各个子区域的场值之后，各个子区域之间的显式求解区域互相通信。
b、隐式差分(CN)格式，若每个子区域内的CN扩展区域边界仍为CN，则用理想电壁截断，若为蛙跳计算区域，则不做特殊处理。
对基函数展开公式进行CN差分展开，求出CN部分n+1时刻的场量：
Figure GDA0003358049970000061
Figure GDA0003358049970000062
求出各个子区域的场值之后，各个子区域之间互相通信。每个子区域的扩展区域为缓冲区，区域1`周围的黑色区域为区域1`的缓冲区域，缓冲区内正确的电场值分别由相邻子区域计算得到，区域1`将内部黑色虚线到缓冲区内边界的场值分别发送给相邻的子区域2`和3`，来更新这两个区域缓冲区内的场值。
c、求出蛙跳区域n+1时刻的场量：
Figure GDA0003358049970000063
Figure GDA0003358049970000064
求出各个子区域的场值之后，各个子区域之间互相通信。
在显式求解区域的两种蛙跳差分格式展开的公式如下：
Figure GDA0003358049970000065
Figure GDA0003358049970000066
Figure GDA0003358049970000067
Figure GDA0003358049970000068
Figure GDA0003358049970000069
Figure GDA0003358049970000071
其中e3和h3代表传统蛙跳迭代的求解区域的电场值和磁场值，将求解区域的未知量按照各自的迭代公式进行迭代之后，空间中每点均可得到正确电场值，至此一个时间步中电场的计算全部完成。每个时间步重复上述步骤，即可得到所需的结果。
为了验证本发明的正确性与有效性，下面分析了一个金属模型的电磁散射特性。
算例：一个如图所示的金属散射问题，上下金属块尺寸为0.2m*0.1m*0.2m，中间四根金属支柱尺寸为0.002m*0.2m*0.002m。坐标原点为其中心点。平面波以Y轴入射，Z极化，频率范围取10MHz到600MHz。用两种方法求解该问题，第一种方法是CST，第二种是分区域CN-蛙跳迭代的不连续伽辽金时域有限元方法,其中CN部分的未知量为6209，蛙跳部分的未知量为4293271，时间步长为0.0038/cs，为普通蛙跳的4.5倍。图3为两种方法计算出的单站RCS对比，验证了本方法的正确性。表1给出了本专利提出方法与传统的不连续伽辽金时域有限元方法的计算资源对比，从表中可以看出本发明放大了时间步长，大大减少了计算时间。从并行效率中可以看出本发明实现了显隐式混合不连续伽辽金时域有限元法的高度并行。
表1.计算资源对比
Figure GDA0003358049970000072

Claims (2)

1.一种可并行的显隐式混合不连续伽辽金时域有限元法，其特征在于步骤如下：
第一步，建立求解模型，使用四面体网格对模型进行离散，得到模型的结构信息，包括四面体的节点信息以及单元信息；
第二步，消息传递接口MPI初始化，确定进程的总数目以及每个单元所属的进程；执行程序前处理，分别找出显式求解区域和隐式求解区域，其中显式求解区域分为靠近隐式求解区域的部分与远离隐式求解区域的部分；设置仿真参数，通过时间步长大小确定隐式区域的缓冲区厚度，建立相邻子区域之间的通信索引；
第三步，从一阶麦克斯韦旋度方程出发，对等式采用伽辽金法测试，对电场和磁场用基函数展开，引入连续性条件，分别使用显式及隐式差分格式展开，得到最终的迭代公式，根据公式分别填充隐式求解区域的矩阵和显式求解区域的矩阵；
第四步，通过不连续伽辽金时域有限元的迭代公式进行时间迭代，一次时间步长迭代里有两次通信，分别通信隐式求解区内正确的场值和显式求解区内正确的场值，该通信只发生在相邻区域之间；迭代结束得到空间中的电场和磁场值；
第五步，数据后处理，根据计算出的场值提取相关的物理参数；
第六步，MPI并行结束。
2.根据权利要求1所述的可并行的显隐式混合不连续伽辽金时域有限元法，其特征在于：所述步骤二中，分别找出显式求解区域和隐式求解区域，即离散网格尺寸较小的区域使用隐式差分格式，离散网格尺寸较大的区域使用显式差分格式；确定时间迭代步数和步长，根据进程总数目将不连续伽辽金时域有限元计算区域划分为与进程数相同个数的子区域，对每个子区域的隐式求解和显式求解部分的电场和磁场分别进行整合编码，建立相邻子区域之间的通信索引。
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