CN104714929A - 一种实现ah-fdtd算法按阶并行求解的方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种能实现无条件稳定AH-FDTD算法按阶并行求解的新方法。该发明通过引入Associated Hermite (AH)微分矩阵及其特征值变换，将传统AH-FDTD算法中嵌套矩阵方程变换为与各阶特征值相关的独立方程，实现按阶并行求解。相比传统方法，内存消耗大大减少且计算效率显著提高。这为进一步拓展该算法在具有多尺度特性的复杂电磁场问题中的应用提供了基础。

Description

一种实现AH-FDTD算法按阶并行求解的方法

技术领域

本发明涉及一种实现无条件稳定AH-FDTD算法按阶并行求解的新方法。

背景技术

时域有限差分（FDTD）算法在分析电磁散射特性问题中得到了广泛的应用，也越来越受到人们的关注。但对具有多尺度、精细结构等电磁模型进行建模分析的过程中，由于受到稳定性条件的限制，时间步长的取值变小，时间步数目变大，使得传统FDTD方法应用受到限制。以基于正交基函数为代表的无条件稳定FDTD方法提供了一种新的解决途径。如已广泛应用的以加权Laguerre多项式为基函数的WLP-FDTD算法，和新近提出来的以Associated Hermite多项式为基函数的AH-FDTD算法。

AH-FDTD算法是通过在时域利用AH正交基函数展开各场量，空域利用传统有限差分方法进行电磁场离散的无条件稳定数值算法。该算法将时域Maxwell方程组转换到AH域，建立以基函数展开系数为未知量的嵌套矩阵系数线性方程，求解得到得展开系数最终用来重构时域或者频域的结果。展开系数的求解过程消除了时间变量，因此实现了无条件稳定。

由于该无条件稳定的算法需要求解嵌套矩阵系数方程，常规的LU分解求解法需要存储临时的嵌套矩阵系数，因此需要占据一定的计算内存。内存的大小取决于基函数阶数和计算空间离散网格数目。两者的增大都会使得内存急剧增大，计算效率的降低，这不利于算法的广泛推广和应用。本发明通过引入AH微分矩阵及其特征值变换，将嵌套的系数矩阵方程“解耦”成独立的Q个线性方程，实现并行求解，大大降低了计算内存，同时也进一步提高了计算效率。

发明内容

本发明的目的：针对AH-FDTD方法在实现过程中计算内存随空间网格数目和阶数增长而急剧增大的不足，提出一种基于特征值变换的并行求解实现方法，从而减少计算内存和提高计算效率。为进一步拓展该方法在多尺度电磁散射模型建模分析中的应用打下基础。

本发明需要解决的关键问题是如何实现嵌套系数矩阵方程到Q个独立线性方程的变换。

本发明在传统AH-FDTD算法的推导中，通过引入AH微分矩阵，建立了更加精简的、以Q阶电磁场展开系数为未知量的AH域Maxwell方程。利用AH微分矩阵的特征向量矩阵，对AH域方程未知量进行特征值变换，得到能相互独立求解的Q个特征AH域线性方程组。这些方程可以实现并行求解，并只需要求解其中的Q/2组。最后对所求结果通过特征反变换得到AH域展开系数。电磁场时域或频域的结果可以进一步由这些展开系数直接重构得到。

所述的AH微分矩阵为 

                

其特征值变换表示为：, 其中：为特征值组成的对角矩阵，X为特征向量矩阵。

所述的AH域Maxwell方程在本发明中以二维TEz模、均匀无耗媒介时域Maxwell方程组推导得到（但不限制发明在其他算例中的应用）：

                 (2)

                 (3)

        (4)。

所述的特征值变换是指对(2)-(4)中的AH域展开系数进行特征值变换，如磁场：，进而得到Q组独立的特征AH域线性方程组：

                  (5)

                 (6)

          (7)

  所述的可以实现并行求解是指以上Q组线性方程(5)-(7)，可以先消去电场分量，得到五对角系数矩阵方程，后通过统一的LU分解程序同时求解。如第q个特征值变换后的磁场方程为：

         (8)

其中：

 ,，,

 。

 所述的只需要求解其中的Q/2组是指，由于(1)中的微分矩阵是实反对称矩阵，其特征值有共轭对称性，因此所求的方程(8)的结果也存在共轭对称性。所以只需求解其中Q/2组，剩下的结果即它们的共轭。

所述的对所求结果通过特征反变换，是指方程(8)求解的结果是特征AH域的结果，还不是最终的AH域展开系数，需要进行特征反变换得到。

所述的时域或频域的结果可以进一步由这些展开系数直接重构得到，是借助AH基函数时频同型的性质实现的。尤其是频域的结果不需要通过时域结果FFT得到。

本发明具有如下有益效果：

1、将AH 微分矩阵引入到AH-FDTD公式中，进一步精简了方程的结构

2、该方法继承传统AH-FDTD无条件稳定的所有优点，弥补了内存消耗方面存在的不足。若计算空间离散为N=n _x×n _y个网格，根据LU分解方法，传统方法内存消耗约为（如图1所示）：

 (MB)                  (9)

而本专利方法约为：

  (MB)                 (10)

其中，m 为一个数字所占字节数。可见本专利方法所占内存降低到原来的倍

3、内存的大大降低也带来了计算效率的显著提高

4、并行求解各阶独立的方程可以共用同一个LU分解的程序，只需对不同的系数矩阵更改相应的特征值参变量。因此阶数对算法内存和效率的影响也大大降低

5、Q个独立的方程只需要求解其中Q/2个即可，这也进一步提高了算法的性能。

附图说明

图1为本发明分析LU求解方法占内存示意图。

图2为本发明实现的基本流程图。

图3为本发明二维平行板波导数值实验计算区域配置简图。

图4为本发明方法和传统AH-FDTD方法在测量点p ₂处磁场时域波形对传统FDTD方法相对误差对比。

具体实施方式

本发明的具体实施过程可以分以下几步（如图2所示）。

①．根据具体的问题需求，对空间进行离散，选定合适的基函数参数，得到AH基函数。建立AH微分矩阵，并求其特征值和特征向量。

②．由空间网格划分、媒质参数、初始条件和激励源建立五队角特征AH域方程系数矩阵和右端非零项。并对其用LU分解和追赶法并行求解。

③．对求解得到的特征AH域结果进行特征反变换，得到AH域磁场展开系数系数。

④．将磁场系数代入(5)-(6)式，求解AH域电场系数。 

⑤．用AH域系数和基函数重构时域和频域结果。

现结合一个数值算例及说明书附图对本发明作进一步描述和验证。图3所示为矩形波导中具有TEz模特性的电磁波透过良导体细缝和部分填充介质的模拟。整个计算区域大小为1.2m×0.08m，共划分为140×8个非均匀网格。良导体细缝厚度1.2 μm，长为0.9 cm, 部分填充的介质厚度为0.04 m。介质的相对介电常数为2。基函数阶数选取为32阶，尺度因子为5.12×10^-10。激励源为中心频率fc=0.6GHz的正弦调制高斯脉冲：。其中，t _d  =0.5f _c , tc=4t _d 。

图4为本发明的方法和AH-FDTD方法在测量点p ₂的时域磁场波形相对传统FDTD计算波形的相对误差。该图的结果表明两者结果十分吻合，因此本发明的方法正确。另外，从表1可以看出，本发明方法所占用的计算内存相对于AH-FDTD方法大大地下降了，计算效率也有所提高。更进一步，从表2的结果来看，本发明方法计算资源的消耗受不同的阶数影响比较小。说明本发明方法使得AH-FDTD算法性能得到进一步的提高。

表1 计算资源的对比

 

	Δt	内存 (MB)	CPU 时间 (s)
				FDTD	1.98 fs	0.98	412.31
AH-FDTD	8.0 ps	77.8	2.43
				本发明方法	8.0 ps	6.7	1.34

表2 不同阶数时计算资源的对比

Claims (6)

1.无条件稳定AH-FDTD算法的按阶并行求解方法，其特征在于，在传统AH-FDTD算法的基础上，利用AH微分矩阵及其特征值变换，将AH域的嵌套矩阵方程变换为与各阶特征值有关的独立方程，最终实现按阶并行求解各阶的电磁场展开系数，电场或者磁场的时域或者频域结果可以通过展开系数直接重构得到。

2.根据权利要求1所述的无条件稳定AH-FDTD算法的按阶并行求解方法，其特征在于首次将AH 微分矩阵引入到AH-FDTD算法中，替代传统AH-FDTD方法中包含初始条件的[α]矩阵，进一步精简了方程的结构和推导。

3.根据权利要求1所述的无条件稳定AH-FDTD算法的按阶并行求解方法，其特征在于通过求解权利要求2中AH微分矩阵的特征向量矩阵，实现对嵌套稀疏矩阵方程的特征值变换，得到与特征值相关的Q个独立线性方程，其中Q为AH基函数空间的维度。

4.根据权利要求1所述的无条件稳定AH-FDTD算法的按阶并行求解方法，其特征在于对权利要求3中得到的Q个独立的线性方程可以实现并行求解。

5.根据权利要求1所述的无条件稳定AH-FDTD算法的按阶并行求解方法，其特征在于利用权利要求2中得AH微分矩阵的反对称性，权利要求4中得到的Q个线性方程的解具有共轭对称性，因此只需要求解其中Q/2个线性方程（本发明选取Q为偶数）。

6.根据权利要求1所述的无条件稳定AH-FDTD算法的按阶并行求解方法，其特征在于对权利要求4或5中Q个线性方程求解得到的结果进行特征值反变换得到最终的电磁场展开系数。