CN103970717B - 基于Associated Hermite 正交函数的无条件稳定FDTD方法 - Google Patents
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Abstract
本发明涉及一种无条件稳定的电磁场时域有限差分新方法。它通过Associated Hermite正交函数展开微分形式的Maxwell方程组，利用伽辽金原理消除时间变量，得到有限维Associated Hermite域的隐式方程进行求解。最后通过Associated Hermite域反变换得到电磁场时域结果。该发明通过时域到Associated Hermite域的转化，使得未知量求解个数大大减少，计算效率显著提高；整个计算过程与时间变量无关，不受传统时域有限差分稳定性条件的限制，计算结果无条件稳定。这些特点为高效快速计算具有多尺度特性的复杂电磁场问题，提供了新的解决方法。
Description
技术领域
本发明涉及一种无条件稳定的电磁场时域有限差分（FDTD）方法。
背景技术
随着计算机技术的发展和电磁理论的应用与推动，计算电磁学时域方法得到了长足的发展，与频域方法相辅相成。时域的方法的优点是可以给出丰富的瞬态信息，能更直观地模拟物理现象。通过对时域信息直接作傅里叶变换（Fourier），可以得到问题的频域信息。基于这些好的特性，时域方法在通信、雷达、电磁防护、电磁兼容、医疗诊断等方面得到了广泛地应用和深入地研究。此外，在一些特定的领域，如电磁脉冲、雷电和高能微波脉冲等瞬态脉冲现象、及非线性材料等领域，频域方法不能很好的解决或无法求解，而时域方法可以应用并得到满意的结果，这是频域方法无法替代的。
时域有限差分（ finite-difference time-domain,FDTD）方法是由Kane S.Yee在 1966 年提出，以有限差分方法为基础，使用 Yee 网格空间离散框架，对麦克斯韦旋度方程分量式的时间和空间坐标微分作数值离散，得到差分格式的电磁场数值计算方法。传统的 FDTD 方法是显式差分方法，受柯西稳定性条件约束，时间步长值取决于最小空间步长。为了准确地模拟含有精细结构的电磁模型，需要用足够小的空间步长对求解区域划分网格。为了保证计算的稳定性，时间步长的取值也非常小，需要的时间步进数目非常大，这使得传统的 FDTD 方法仿真所需时间非常长乃至难以接受。为了提高 FDTD 方法求解这类具有多尺度特性的电磁问题的效率，许多专家和学者在减弱或消除 FDTD 的柯西稳定性条件约束方面做了大量工作。其中，无条件稳定的FDTD方法为重要研究方向。例如：ADI-FDTD,CN-FDTD，LOD-FDTD和Laguerre-FDTD等。其中，Laguerre-FDTD方法以加权Laguerre多项式为基函数，通过求解展开系数实现高效快速的仿真计算。
Associated Hermite正交函数由Hermite多项式和高斯函数加权得到。其“最具时频紧支基函数”和“时频基同型”的特点使得它在信号处理、图像分析和生物工程等领域有广泛的研究和应用。本发明利用Associated Hermite正交函数的优良特点并结合FDTD基本原理推导出一种无条件稳定的新方法。
发明内容
本发明的目的：针对传统FDTD方法在稳定性方面的限制及多尺度电磁问题建模的不足，提出一种基于Associated Hermite 正交函数的无条件稳定FDTD方法，可以对多尺度特性电磁问题实现高效快速的时域仿真分析，并以此为进一步挖掘AH基函数优良特点在FDTD中其他方面的应用打下基础。
本发明需要解决的关键问题是：①如何将时域Maxwell方程变换成AH域线性方程组；②如何求解AH域线性方程组。
本发明利用Associated Hermite（AH）正交函数作为展开Maxwell方程组的基函数，利用伽辽金（Galerkin）原理消除时间变量，得到与基函数阶数相关的方程组，建立方程组从时域到AH域的转换，从而时域的求解转化为AH域展开系数的求解。由于AH基函数微分的固有“相邻阶”特点，使得AH域的Maxwell方程组也呈现“相邻阶”的特点。联立空间所有展开系数，引入初值条件，得到一个嵌套矩阵系数的五对角隐式方程，采用LU分解对系数矩阵进行分解，从而用追赶法求解磁场（电场）展开系数。基本计算单元是与基函数空间维数相等的低阶矩阵单元。电场（磁场）展开系数可以通过磁场（电场）单独求解。
所述的AH正交基函数是指由Hermite多项式H n(t)和高斯函数exp(-t 2/2)加权得到的具有时频紧支撑特点的正交基函数集。基函数可以通过平移和尺度因子调整时频域的支撑区间，满足不同的电磁场计算的需要。
所述的Maxwell方程组在本发明中以二维TEz模、均匀无耗媒介时域麦克斯韦方程组（1）-（3）为推导实例（但不限制发明在其他算例中的应用）：
（1）
（2）
（3）。
所述的Galerkin原理是指用有限维基函数对基函数展开的麦克斯韦方程组两边加权积分，消去时间变量，得到一组易于求解的线性代数方程（4）-（6）的方法。
（4）
（5）
（6）。
所述的“相邻阶”特点是指AH第n阶基函数的微分与前一阶（n-1阶）和后一阶（n+1阶）基函数有关：。推导电磁场微分的基函数展开表示：。得到AH域的方程组也满足“相邻阶”特点：
（7）
（8）
（9）。
所述的初值条件为基函数及所有待求电磁场量在初始时刻的值。
所述的联立空间所有展开系数，引入初值条件指“相邻阶”方程组改写成含矩阵嵌套系数的方程：
（10）
（11）
（12）
其中
所述嵌套矩阵系数的五对角隐式方程指本发明中以消除电场为例得到的仅与磁场相关的五对角方程：
(13)
其中，各系数均为方阵，待求量为磁场的AH域表示：
。
所述的基本计算单元指本发明在LU分解和AH域重构时域结果的过程中都是以矩阵进行计算。
所述的独立求解是指本方法可以单独先求出磁场，再求解电场。
本发明具有如下有益效果。
1、时域有限差分计算转化为有限维AH域空间计算。空间维数大小远远小于时间步进数目时将大大减少未知量求解个数，实现高效计算。
2、整个计算过程不涉及时间变量，不受传统FDTD稳定性条件的限制，基函数时域采样间隔可以在满足计算精度要求的范围内任意调整，实现稳定计算。
3、按空间联立求解及引入初始条件的方法推导得到的五对角隐式方程，仅与磁场和激励源有关，实现电场或者磁场的“独立求解”。这和以往的电磁场“耦合”同时求解大有不同。
4、为高效快速实现对具有多尺度特性的复杂电磁场问题的计算，提供了新的解决途径。
5、由于AH基函数“最具时频紧支基函数”的特点，使得其可以选择更少的阶数实现与其他基函数展开方法（如Lagurre-WLP）相同精度条件下的计算。
6、由于AH基函数“时频基同型”的特点，使得求解出的展开系数可以像域反变换求解时域结果一样求解频域结果，不再需要借助FFT等频域求解方法。
附图说明
图1为本方法实现的基本流程图。
图2为本发明二维平行板波导数值实验计算区域配置简图。
图3为本发明方法和传统FDTD方法在测量点p 1处瞬态磁场时域波形对比。
图4为本发明方法和传统FDTD方法在测量点p 2处瞬态磁场时域波形对比。
图5为本发明方法和传统FDTD方法在测量点p 3处瞬态磁场时域波形对比。
图6本发明方法和传统FDTD方法在图3-图5中相对误差图。
具体实施方式
本发明的具体实施过程可以分以下几步（如图1所示）。
①．根据实际问题需求，离散空间网格，选定基函平移和尺度因子，生产时域AH基函数。
②．由空间网格划分、媒介参数、初始条件和激励源组成隐式方程（13）左端五对角系数矩阵和右端非零项。
③．对系数矩阵进行LU分解，用追赶法求解AH域磁场系数。
④．将磁场系数代入（10）-（11）式，求解AH域电场系数。
⑤．用AH域系数和基函数重构时域电磁场结果。
现结合具体数值实验和说明书附图对本发明作进一步描述和验证。图2所示为TEz模电磁波在矩形平行波导中透过良导体细缝和部分填充均匀媒介的数值模拟。良导体细缝厚度1.2 µm，长为0.9 cm, 部分填充的导电介质厚度为0.04 m，相对介电常数为2。计算区域为1.2m×0.08m，划分为140×8的非均匀网格。由瞬态电磁场的时频支撑范围选取基函数阶数为32阶，尺度因子为5.12×10-10。激励源为中心频率f c=0.6GHz的正弦调制高斯脉冲：。其中，t d=0.5f c, t c=4t d。
图3-图5为本发明的方法和传统FDTD方法在三个测量点的时域磁场波形结果。结果十分吻合。图6为本文方法在三个测量点相对传统FDTD方法的相对误差（相对误差定义为：）。可以看出，相对误差均小于-40dB。另外，本发明的仿真时间仅为传统FDTD方法的5.9‰倍，实现了高效率的仿真计算。
Claims (6)
1.基于Associated Hermite 正交函数的无条件稳定FDTD方法,其特征在于,利用Associated Hermite基函数展开Maxwell方程组,用伽辽金原理对方程组加权积分，消除时间变量, 得到一组关于Associated Hermite域电磁场展开系数的线性代数方程：
，
联立空间所有展开系数,引入电磁场初值条件,得到仅关于磁场或电场分量的具有嵌套矩阵系数特点的五对角隐式方程：
，
磁场或电场展开系数可以单独求解出来。
2.根据权利要求1所述的基于Associated Hermite正交函数的无条件稳定FDTD方法,其特征在于运用Associated Hermite正交函数作为基函数展开Maxwell方程组,实现时域Maxwell微分方程组到Associated Hermite域Maxwell线性方程组的转化。
3.根据权利要求2所述的基于Associated Hermite正交函数的无条件稳定FDTD方法,其特征在于利用Associated Hermite基函数微分公式推导出来的电磁场微分表示形式,结合伽辽金原理,得到了Associated Hermite域Maxwell线性方程组。
4.根据权利要求2或3所述的基于Associated Hermite正交函数的无条件稳定FDTD方法,其特征在于通过引入电磁场初值条件,实现了Associated Hermite域Maxwell线性方程组的封闭求解。
5.根据权利要求4所述的基于Associated Hermite正交函数的无条件稳定FDTD方法,其特征在于权利4中得到的封闭方程组的求解是通过联立空间所有展开系数,消去电场或磁场分量,最后得到仅关于磁场或电场分量的具有嵌套矩阵系数特点的五对角隐式方程来实现求解。
6.根据权利要求1所述的基于Associated Hermite正交函数的无条件稳定FDTD方法,其特征在于磁场或电场展开系数可以分别单独求解。
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