CN103218493B - 一种基于多重网格的快速等几何分析数值模拟方法 - Google Patents

Abstract

本发明基于多重网格的快速等几何分析数值模拟方法，特征是使用扩展的控制顶点将与当前几何表示对应的精确解变换到下一个几何表示的基函数展成的空间上，作为下一个几何表示对应的线性方程组的初始解，使用迭代算法在初始解的基础上进行迭代，从而大大加速了迭代算法的收敛速度，减少了求解线性方程组的耗时，提高了等几何分析数值模拟的效率；本发明方法由于充分利用了每次求解的结果，在自由度数目非常大（超过6万个）的情况下，也能够快速的将线性系统求解出来；实验结果表明，在面对大规模线性系统的时候，采用本发明基于多重网格的快速等几何分析数值模拟方法求解线性系统的时间可比现有基本的数值模拟方法减少90%以上。

Description

一种基于多重网格的快速等几何分析数值模拟方法

技术领域

本发明属于电数字数据处理技术领域，具体涉及基于多重网格的快速等几何分析数值模拟方法。

背景技术

数值模拟也称为计算机模拟，是一种采用数值计算和图像显示的方法来研究工程问题和物理问题的方法(http://baike.baidu.com/view/1196149.htm)。数值模拟的一个重要应用是用数值方法对使用计算机辅助设计出来的模型进行各种分析，包括受力分析、变形分析和热传导分析等。当前主要使用有限元分析来求解相应的偏微分方程。数值模拟的流程一般是一个循环，在一个网格上求解偏微分方程，对求解出来的结果进行分析，如果精度足够的话则停止求解，否则将网格加细，重新进行求解。等几何分析是一种新型的求解偏微分方程的数值解法，其求解步骤包括构建线性系统和求解线性系统两部分。使用等几何分析来做数值模拟可以省去使用有限元分析时非常耗时的网格生成过程。但是随着数值模拟精度的提升，需要求解的稀疏线性方程组的规模越来越大，所耗费的时间在整个模拟时间中占的比例越来越大。特别是由于稀疏线性方程组的求解主要是反复访问内存，其主要的瓶颈是计算机系统的内存和通信带宽。而计算机系统的内存和通信带宽往往是固定的，这就意味着使用更多的计算资源也无法提升求解线性系统的效率。因此，高精度的数值模拟往往非常耗时。

发明内容

本发明的目的是提出一种基于多重网格的快速等几何分析数值模拟方法，以解决高精度数值模拟中求解线性方程组效率低下、非常耗时的问题，实现快速的数值模拟。

本发明基于多重网格的快速等几何分析数值模拟方法，在等几何分析数值模拟中，输入待求解的偏微分方程、几何表示以及精度要求；所述几何表示采用非均匀有理样条(Non-UniformRationalB-Spline,NURBS)；非均匀有理样条由节点向量、多项式次数以及控制顶点网格构成；使用当前几何表示建立线性方程组；使用迭代算法迭代到收敛，得到当前几何表示下的数值解；经过误差分析之后，如果达到精度要求则停止模拟，否则使用标准的非均匀有理样条加细算法将几何表示加细，增加自由度，得到新的几何表示，具体包括新的节点向量、多项式次数以及控制定点；使用新的几何表示替换当前的几何表示，然后重新求解偏微分方程；通过不断加细几何表示来提高求解的精度，达到给定的精度要求后模拟结束；其特征在于：在所述经过误差分析之后确定需要加细几何表示之后，将当前网格上的解精确附加到控制顶点中，作为其额外的一维，形成扩展的控制顶点，使用标准的非均匀有理样条细化算法将扩展的控制顶点变换到新的几何表示，从新的几何表示的扩展控制顶点中额外的一维取出的值作为对应新的几何表示的线性系统的初始解，使用标准的迭代算法在初始解的基础上进行迭代；

具体操作步骤如下：

首先进行读入参数存储步骤：读入几何表示的参数，包括节点向量、多项式次数以及控制顶点网格，存储在内存中；

然后是循环的主体步骤，具体又分为：

初始化步骤A：将现行方程组的初始解初始化；

构建线性系统步骤B：按照标准的等几何分析的方法来构建线性系统；

求解线性系统步骤C：使用设定好的初始解作为稀疏线性方程组的迭代求解算法的迭代初始值，使用标准的稀疏线性方程组的迭代求解方法来求解构建线性系统步骤B所构建的线性系统，得到对应当前几何表示的数值解；

误差分析步骤D：对数值解进行误差分析；误差分析分成两种情况：对于有解析解的方程，求出数值解与解析解的差来分析当前网格上的数值解的精度；对于没有解析解的方程，使用后验误差来估计当前网格上的数值解的精度；如果精度达到模拟的要求，则结束循环的主体步骤；否则接着执行下面的步骤；

构建扩展控制顶点步骤E：构造非均匀有理样条的扩展控制顶点，将当前几何表示的控制顶点拷贝到扩展控制顶点中，将对应当前几何表示的数值解拷贝到扩展控制顶点中的额外一维中；

细化到下一层次网格步骤F：使用标准的非均匀有理样条细化算法，将扩展控制顶点变换得到新的几何表示；

取出初始解和控制顶点步骤G：从新的几何表示的扩展控制顶点中取出下一层次的控制顶点以及额外一维的信息，设定额外信息为下一层次上的线性方程组的初始解，使用新的几何表示替换当前的几何表示，然后返回到构建线性系统步骤B；

最后释放中间分配的内存，将结果保存到外存中去。

本发明基于多重网格的快速等几何分析数值模拟方法中所提出的求解过程，是使用扩展的控制顶点将与当前几何表示对应的精确解变换到下一个几何表示的基函数展成的空间上，作为下一个几何表示对应的线性方程组的初始解，使用迭代算法在初始解的基础上进行迭代，从而大大加速了迭代算法的收敛速度，减少了求解线性方程组的耗时，提高了等几何分析数值模拟的效率；由于本发明使用扩展的控制顶点来从当前几何表示变换到新的几何表示，扩展的控制顶点包含了非均匀有理样条原来的控制顶点以及当前几何表示对应的数值解，每个几何表示数值解的求解是在以前一个几何表示的精确解的基础上进行求解的；而现有的数值模拟方法是在每层网格上求解都是独立的，没有利用之前求解的结果。

与现有的数值模拟方法相比，本发明提出的快速数值模拟方法充分利用了每次求解的结果，在自由度数目非常大（超过6万个）的情况下，由于本发明方法中采用快速数值模拟算法，也能够快速的将线性系统求解出来；实验结果表明，在面对大规模线性系统的时候，采用本发明基于多重网格的快速等几何分析数值模拟方法求解线性系统的时间比现有基本的数值模拟方法减少了90%以上。

附图说明

图1为本发明快速等几何分析数值模拟方法的流程示意图。

具体实施方式

实施例1：

本实施例是对本发明提出的快速数值模拟方法的操作过程的一种具体举例说明。图1给出了本实施例快速等几何分析数值模拟方法的流程示意图。下面结合附图对本发明提出的快速等几何分析数值模拟方法的操作过程详细分析说明如下：

本实施例中具体使用二维泊松方程作为模拟的对象。二维泊松方程的定义为-ΔU＝f,其中定义域为，f是定义在Ω上面的函数，为了求解该偏微分方程，需要给定边界条件，这里使用同调边界条件，即U在边界上取值为0，同时需要给定定义域Ω的NURBS参数。定义域Ω的NURBS参数包括两个节点向量u_1,…,n+p+1和v_1,…,m+q+1，及每个方向上的次数p和q，以及控制顶点P_ij,其中1≤i≤n,1≤j≤m。定义扩展控制顶点为其中x_ij是每个控制顶点都对应一个分量，称为扩展控制顶点的额外一维，用来将信息传递从当前网格传递到下一层网格。在每层网格上分配一个初始解向量，包含对应网格上的线性方程组的初始解。在本实施例中，额外的一维是用来存储当前网格求解出来的精确解。

本实施例的具体操作步骤列举如下：

第一步、初始化，读取NURBS的参数

这一步骤只是将NURBS的参数读入内存中，NURBS的参数包括节点向量，控制顶点以及每个方向上的次数。

第二步、循环主体步骤

本实施例中采取的快速数值模块的实现流程又具体分为如下步骤：

初始化步骤A：将线性方程组的初始解向量初始化，本实施例中设置为0；

构建线性系统步骤B：按照标准的等几何分析求解过程，构建线性系统，主要包括刚度矩阵以及力量向量（线性方程组的未知量个数跟控制顶点的数目相同，每个控制顶点对应一个未知量）；

求解线性系统步骤C：从初始解向量取得线性系统的初始解，然后使用标准的迭代算法进行求解，本实施例中使用共轭梯度法来求解构陷线性系统步骤中得到的线性系统，得到当前网格上的精确数值解；

后处理步骤D：对当前网格上的精确数值解进行误差分析；误差分析分成两种，如果求解的方程有解析解的话，通过采样可以得到误差分布，通过误差分布可以判断是否达到需要的精度，如果求解的方程没有解析解的话，则需要通过求解后验误差，对后验误差进行采样，通过厚颜误差的分布来判断结果是否达到需要的精度；如果误差分析发现精度以及达到要求，则跳到结束模拟步骤H，否则跳到构建扩展控制顶点步骤E(本步骤主要是决定是否需要进一步细化网格来提高求解的精度)；

构建扩展控制顶点步骤E：将当前网格上线性方程组的解填充到扩展控制顶点的额外一维中；然后使用标准的细化算法将扩展控制顶点变换到下一层网格中；

细化到下一层次网格步骤F：使用标准的NURBS细化算法，将扩展控制顶点变换到下一层次网格中；由于等几何分析的细化操作是保持几何不变，当前网格的解随着当前网格的属性精确的变换到下一层网格中；

取出控制顶点以及初始解步骤G：从下一层网格的扩展顶点中取出额外一维的信息，存储到细网格上线性方程组的初始解向量中；忽略变换过程中带来的算术误差，下一层中的扩展控制顶点中额外一维信息是当前网格上的精确解在下一层网格上的精确表示，因而是下一层网格的线性方程组的一个好的近似解；同时取出网格的控制顶点，将要处理的网格切换到下一层网格，然后跳到构建线性系统步骤B；

结束模拟步骤H：输出结果，结束模拟过程。

性能及效果分析：

现有基本的数值模拟算法每次在一个新的网格上进行求解的时候，都是重新求解，之前求解的结果不会被利用上；随着规模的增加，需要求解的变量越来越多，矩阵规模越来越大，矩阵的谱条件数也越来越大，这意味着收敛的比例越来越小，需要越来越多的迭代次数才能收敛；而本发明利用多重网格的思想，使用从粗网格到细网格的变换算子将粗网格的解变换到细网格，虽然没有改变迭代矩阵的谱条件数，但是变换过来的初始解跟精确解的距离会非常近，这意味着可以用更少的步数就收敛到精确解上面；本质上，本发明的方法是将最终解投影到多层网格上面，然后逐次求解，在每层网格求解的值都会被充分利用起来；表1记录了一个模拟实例中每层网格上的迭代时间以及迭代次数：

表1圆盘模拟中每层网格上的迭代次数以及迭代时间对比

其中迭代求解的算法是共轭梯度法，误差使用1.0e-9。

从表1可以看出，随着自由度数目的增加，网格的加细，本发明的迭代次数是先增加再减少，每层网格上的迭代时间在缓慢的增加；形成鲜明对比的是，一般方法的迭代次数随着自由度数目的增加迅速增加，消耗的时间也急剧增加；当自由度数目超过66564的时候，本发明所需要的时间比一般方法的耗时要减少90%以上；并且随着自由度数目的进一步增大，本发明在每层网格迭代的时间所占的比例会更加小。

Claims (1)

1.一种基于多重网格的快速等几何分析数值模拟方法，在等几何分析数值模拟中，输入待求解的偏微分方程、几何表示以及精度要求；所述几何表示采用非均匀有理样条；非均匀有理样条由节点向量、多项式次数以及控制顶点网格构成；使用当前几何表示建立线性方程组；使用迭代算法迭代到收敛，得到当前几何表示下的数值解；经过误差分析之后，如果达到精度要求则停止模拟，否则使用标准的非均匀有理样条加细算法将几何表示加细，增加自由度，得到新的几何表示，具体包括新的节点向量、多项式次数以及控制顶点；使用新的几何表示替换当前的几何表示，然后重新求解偏微分方程；通过不断加细几何表示来提高求解的精度，达到给定的精度要求后模拟结束；其特征在于：在所述经过误差分析之后确定需要加细几何表示之后，将当前网格上的精确解作为额外的一维，附加到控制顶点中，形成扩展的控制顶点，使用标准的非均匀有理样条细化算法将扩展的控制顶点变换到新的几何表示，从新的几何表示的扩展控制顶点中额外的一维取出的值作为对应新的几何表示的线性系统的初始解，使用标准的迭代算法共轭梯度法在初始解的基础上进行迭代；

具体操作步骤如下：

首先进行读入参数存储步骤：读入几何表示的参数，包括节点向量、多项式次数以及控制顶点网格，存储在内存中；

然后是循环的主体步骤，具体又分为：

初始化步骤(A)：将现行方程组的初始解初始化；

构建线性系统步骤(B)：按照标准的等几何分析的方法来构建线性系统；

求解线性系统步骤(C)：使用设定好的初始解作为稀疏线性方程组的迭代求解算法的迭代初始值，使用标准的稀疏线性方程组的迭代求解方法共轭梯度法来求解构建线性系统步骤(B)所构建的线性系统，得到对应当前几何表示的数值解；

误差分析步骤(D)：对数值解进行误差分析；误差分析分成两种情况：对于有解析解的方程，求出数值解与解析解的差来分析当前网格上的数值解的精度；对于没有解析解的方程，使用后验误差来估计当前网格上的数值解的精度；如果精度达到模拟的要求，则结束循环的主体步骤；否则接着执行下面的步骤；

构建扩展控制顶点步骤(E)：构造非均匀有理样条的扩展控制顶点，将当前几何表示的控制顶点拷贝到扩展控制顶点中，将对应当前几何表示的数值解拷贝到扩展控制顶点中的额外一维中；

细化到下一层次网格步骤(F)：使用标准的非均匀有理样条细化算法，将扩展控制顶点变换得到新的几何表示；

取出初始解和控制顶点步骤(G)：从新的几何表示的扩展控制顶点中取出下一层次的控制顶点以及额外一维的信息，设定该扩展控制顶点中除去控制顶点以后的额外一维信息为下一层次上的线性方程组的初始解，使用新的几何表示替换当前的几何表示，然后返回到构建线性系统步骤(B)；

最后释放中间分配的内存，将结果保存到外存中去。