CN116629079B - 混合有限元空间构造及求解线弹性力学问题的方法及装置 - Google Patents

Abstract

本申请公开一种混合有限元空间构造及求解线弹性力学问题的方法及装置。混合有限元空间构造方法包括：确定对二维区域划分所得的有限个单元的k阶拉格朗日元插值点，并通过与k阶拉格朗日元插值点对应的k阶拉格朗日基函数和对称矩阵空间的基构造二维线弹性力学问题内蕴混合有限元空间。求解线弹性力学问题方法包括：将划分目标弹性体的二维区域所得的有限个单元的二维线弹性力学问题内蕴混合有限元空间和间断元空间分别作为应力空间和位移空间；基于应力空间和位移空间确定系数矩阵和载荷向量；依据系数矩阵和载荷向量构造线性代数方程组；求解线性代数方程组得到应力解和位移解。本申请解决了求解线弹性力学问题时应力解精度较低的技术问题。

Description

混合有限元空间构造及求解线弹性力学问题的方法及装置

技术领域

本申请涉及结构力学技术领域，具体而言，涉及一种混合有限元空间构造及求解线弹性力学问题的方法及装置。

背景技术

线弹性力学主要研究线弹性体在特定外界因素作用下产生的应力、应变和位移，从而解决产品或工程结构设计过程中的刚度、强度、稳定性等问题，一直是研究人员重点研究的方向。线弹性力学问题的经典解法存在局限性，在复杂几何域和复杂边界求解时，往往无法求得解析解，因此出现了各种数值解法。

有限元法作为一种应用最为广泛的数值解法，其求解线弹性力学问题的基本思路为变分原理，即将求解偏微分方程问题转换为求解泛函能量极小问题，在求解时与以往在整个区域上寻找近似函数不同，即有限元法是将区域分成有限个单元，并在每个单元上进行分析再进行组装。而若采用一般的线性元求解线弹性力学问题时，求解的应力结果的误差会较大。

针对上述的问题，目前尚未提出有效的解决方案。

发明内容

本申请实施例提供了一种混合有限元空间构造及求解线弹性力学问题的方法及装置，以至少解决相关技术在构造有限元单元求解线弹性力学问题时，求解结果精度较低的技术问题。

根据本申请实施例的一个方面，提供了一种混合有限元空间构造方法，包括：采用目标形状网格划分二维区域得到有限个单元；确定各个单元的k阶拉格朗日元插值点，并确定k阶拉格朗日元插值点对应的k阶拉格朗日基函数和对称矩阵空间的基，其中，对称矩阵空间是由所有二阶对称矩阵组成的向量空间，k为大于等于1的正整数；基于对称矩阵空间的基和k阶拉格朗日基函数构造二维线弹性力学问题内蕴混合有限元空间。

可选地，确定各个单元的k阶拉格朗日元插值点，包括：对于每个单元，确定单元的顶点、单元内部点、边以及边上的内部点，并基于单元的顶点、单元内部点、边以及边上的内部点确定单元的k阶拉格朗日元插值点。

可选地，确定k阶拉格朗日元插值点对应的k阶拉格朗日基函数，包括：对于单元的顶点，确定与顶点对应的第一类k阶拉格朗日基函数；对于单元的单元内部点，确定与单元内部点对应的第二类k阶拉格朗日基函数；对于单元的边上的内部点，确定与边上的内部点对应的第三类k阶拉格朗日基函数。

可选地，确定k阶拉格朗日元插值点对应的对称矩阵空间的基，包括：对于单元的顶点和单元内部点，获取对称矩阵空间的第一类基，其中，第一类基为标准基；对于单元的边和边上的内部点，确定单元的边的单位法向向量和单位切向向量，并基于单位法向向量和单位切向向量确定两类对称矩阵，将由单位切向向量张成的一类对称矩阵作为第一类对称矩阵，将由单位法向向量张成的一类对称矩阵以及由单位法向向量和单位切向向量共同张成的一类对称矩阵作为第二类对称矩阵，其中，对于单元的边，第一类对称矩阵和第二类对称矩阵共同组成对称矩阵空间的第二类基。

可选地，基于目标基和k阶拉格朗日基函数构造二维线弹性力学问题内蕴混合有限元空间，包括：基于第一类k阶拉格朗日基函数和第一类基，确定二维线弹性力学问题内蕴混合有限元空间内的第一类基函数；基于第二类k阶拉格朗日基函数和第一类基，确定二维线弹性力学问题内蕴混合有限元空间内的第二类基函数；基于第三类k阶拉格朗日基函数和第一类对称，确定二维线弹性力学问题内蕴混合有限元空间内的第三类基函数；基于第三类k阶拉格朗日基函数和第二类基，确定二维线弹性力学问题内蕴混合有限元空间内的第四类基函数。

根据本申请实施例的另一方面，还提供了一种求解线弹性力学问题方法，包括：采用目标形状网格对目标弹性体的二维区域进行划分得到有限个单元，其中，二维区域为目标弹性体所在区域；将各个单元对应的二维线弹性力学问题内蕴混合有限元空间作为应力空间，并将各个单元对应的间断元空间作为位移空间；基于应力空间和位移空间确定目标弹性体的整体系数矩阵和整体载荷向量；依据整体系数矩阵和整体载荷向量构造目标弹性体的线性代数方程组；求解线性代数方程组得到目标弹性体的应力解和位移解。

可选地，将各个单元对应的二维线弹性力学问题内蕴混合有限元空间作为应力空间，并将各个单元对应的间断元空间作为位移空间，包括：确定各个单元的k阶拉格朗日元插值点，并确定k阶拉格朗日元插值点对应的k阶拉格朗日基函数和对称矩阵空间的基，k为大于等于1的正整数；基于k阶拉格朗日基函数和对称矩阵空间的基构造二维线弹性力学问题内蕴混合有限元空间，并将二维线弹性力学问题内蕴混合有限元空间作为应力空间；确定各个单元的k-1阶拉格朗日元插值点，并确定k-1阶拉格朗日元插值点对应的k-1阶拉格朗日基函数；基于k-1阶拉格朗日基函数构造间断元空间，并将间断元空间作为位移空间。

可选地，基于应力空间和位移空间确定目标弹性体的整体系数矩阵和整体载荷向量，包括：确定各个单元的材料系数，并将属于应力空间的应力张量和属于位移空间的位移张量作为自变量，采用Hellinger-Reissner变分原理确定各个单元的单元系数矩阵；确定各个单元的受力状态，并基于受力状态确定各个单元的单元等效节点载荷向量；依据单元系数矩阵和单元等效节点载荷向量确定目标弹性体的整体系数矩阵和整体载荷向量。

可选地，依据整体系数矩阵和整体载荷向量构造目标弹性体的线性代数方程组，包括：获取目标弹性体的二维区域对应的位移约束条件，并基于位移约束条件确定位移边界条件；获取目标弹性体的二维区域对应的应力约束条件，并基于应力约束条件确定应力边界条件；依据位移边界条件和应力边界条件调整整体系数矩阵和整体载荷向量，并依据调整后的整体系数矩阵和整体载荷向量构造目标弹性体的线性代数方程组。

可选地，求解线性代数方程组得到目标弹性体的应力解和位移解，包括：采用目标方法求解线性代数方程组，得到目标弹性体的应力解和位移解，其中，目标方法包括以下至少之一：直接求解法、迭代求解法。

根据本申请实施例的另一方面，还提供了一种混合有限元空间构造装置，包括：第一划分模块，用于采用目标形状网格划分二维区域得到有限个单元；第一确定模块，用于确定各个单元的k阶拉格朗日元插值点，并确定k阶拉格朗日元插值点对应的k阶拉格朗日基函数和对称矩阵空间的基，其中，对称矩阵空间是由所有二阶对称矩阵组成的向量空间，k为大于等于1的正整数；第一构造模块，用于基于对称矩阵空间的基和k阶拉格朗日基函数构造二维线弹性力学问题内蕴混合有限元空间。

根据本申请实施例的另一方面，还提供了一种求解线弹性力学问题装置，包括：第二划分模块，用于采用目标形状网格对目标弹性体的二维区域进行划分得到有限个单元，其中，二维区域为目标弹性体所在区域；第二确定模块，用于将各个单元对应的二维线弹性力学问题内蕴混合有限元空间作为应力空间，并将各个单元对应的间断元空间作为位移空间；第三确定模块，用于基于应力空间和位移空间确定目标弹性体的整体系数矩阵和整体载荷向量；第二构造模块，用于依据整体系数矩阵和整体载荷向量构造目标弹性体的线性代数方程组；求解模块，用于求解线性代数方程组得到目标弹性体的应力解和位移解。

根据本申请实施例的另一方面，还提供了一种非易失性存储介质，该非易失性存储介质包括存储的程序，其中，非易失性存储介质所在设备通过运行该程序执行上述的混合有限元空间构造方法或求解线弹性力学问题方法。

根据本申请实施例的另一方面，还提供了一种电子设备，电子设备包括：存储器和处理器，其中，存储器中存储有计算机程序，处理器被配置为通过计算机程序执行上述的混合有限元空间构造方法或求解线弹性力学问题方法。

在本申请实施例中，通过采用目标形状网格划分二维区域得到有限个单元；确定各个单元的k阶拉格朗日元插值点，并确定k阶拉格朗日元插值点对应的k阶拉格朗日基函数和对称矩阵空间的基，其中，对称矩阵空间是由所有二阶对称矩阵组成的向量空间，k为大于等于1的正整数；基于对称矩阵空间的基和k阶拉格朗日基函数构造二维线弹性力学问题内蕴混合有限元空间。

在上述过程中，通过构造协调有限元单元使得位移和应力的关系在有限单元上自然满足，从而解决求解线弹性力学问题时应力解精度较低的技术问题。

附图说明

此处所说明的附图用来提供对本申请的进一步理解，构成本申请的一部分，本申请的示意性实施例及其说明用于解释本申请，并不构成对本申请的不当限定。在附图中：

图1是根据本申请实施例的一种可选的混合有限元空间构造方法的流程图；

图2是根据本申请实施例的一种可选的三角形单元的示意图；

图3a是根据本申请实施例的一种可选的三角形网格上的法向量的示意图；

图3b是根据本申请实施例的一种可选的三角形网格上的切向量的示意图；

图4是根据本申请实施例的一种可选的求解线弹性力学问题方法的流程图；

图5是相关技术中一种可选的带方形通孔的长方形柱体的示意图；

图6是根据本申请实施例的一种可选的带方形通孔的长方形柱体横截面的工况示意图；

图7是根据本申请实施例的一种可选的带方形通孔的长方形柱体横截面1/4对称模型的工况示意图；

图8是根据本申请实施例的一种可选的拉格朗日元空间的网格模型示意图；

图9是根据本申请实施例的一种可选的胡张元空间的网格模型示意图；

图10是根据本申请实施例的一种可选的La-网格模型2和La-网格模型4计算S11_MAX的结果示意图；

图11是根据本申请实施例的一种可选的Hu-网格模型1和Hu-网格模型3计算S11_MAX的结果示意图；

图12a是根据本申请实施例的一种可选的不同单元数量下的拉格朗日网格模型和胡张元网格模型计算U1_MAX结果的对比示意图；

图12b是根据本申请实施例的一种可选的不同单元数量下的拉格朗日网格模型和胡张元网格模型计算U2_MIN结果的对比示意图；

图13a是根据本申请实施例的一种可选的不同单元数量下的拉格朗日网格模型和胡张元网格模型计算S11_MAX结果的对比示意图；

图13b是根据本申请实施例的一种可选的不同单元数量下的拉格朗日网格模型和胡张元网格模型计算S22_MAX结果的对比示意图；

图13c是根据本申请实施例的一种可选的不同单元数量下的拉格朗日网格模型和胡张元网格模型计算S12_MIN结果的对比示意图；

图14是根据本申请实施例的一种可选的混合有限元空间构造装置的结构示意图图；

图15是根据本申请实施例的一种可选的求解线弹性力学问题装置的结构示意图。

具体实施方式

为了使本技术领域的人员更好地理解本申请方案，下面将结合本申请实施例中的附图，对本申请实施例中的技术方案进行清楚、完整地描述，显然，所描述的实施例仅仅是本申请一部分的实施例，而不是全部的实施例。基于本申请中的实施例，本领域普通技术人员在没有做出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都应当属于本申请保护的范围。

需要说明的是，本申请的说明书和权利要求书及上述附图中的术语“第一类”、“第二类”等是用于区别类似的对象，而不必用于描述特定的顺序或先后次序。应该理解这样使用的数据在适当情况下可以互换，以便这里描述的本申请的实施例能够以除了在这里图示或描述的那些以外的顺序实施。此外，术语“包括”和“具有”以及它们的任何变形，意图在于覆盖不排他的包含，例如，包含了一系列步骤或单元的过程、方法、系统、产品或设备不必限于清楚地列出的那些步骤或单元，而是可包括没有清楚地列出的或对于这些过程、方法、产品或设备固有的其它步骤或单元。

另外，本申请所涉及的相关信息（包括但不限于用户设备信息、用户个人信息等）和数据（包括但不限于用于展示的数据、分析的数据等），均为经用户授权或者经过各方充分授权的信息和数据。例如，本系统和相关用户或机构间设置有接口，在获取相关信息之前，需要通过接口向前述的用户或机构发送获取请求，并在接收到前述的用户或机构反馈的同意信息后，获取相关信息。

实施例1

有限元法是伴随着电子计算机技术的进步而发展起来的一种数值分析方法，是力学、应用数学和现代计算技术相结合的产物。目前，在分析线弹性力学问题时，通常会采用有限元法进行求解，但如何选择合适的有限单元以获得较高的求解精度，且能适用于各类复杂区域的求解，是目前工程应用领域普遍存在的一个问题。

为了解决上述问题，本申请实施例中提供了一种混合有限元空间构造方法的实施例，通过网格剖分构造合适的有限单元，使得位移和应力的关系在有限单元上自然满足。下面将对混合有限元空间构造方法的具体实施步骤进行详细介绍。需要说明的是，在附图的流程图示出的步骤可以在诸如一组计算机可执行指令的计算机系统中执行，并且，虽然在流程图中示出了逻辑顺序，但是在某些情况下，可以以不同于此处的顺序执行所示出或描述的步骤。

图1是根据本申请实施例的一种可选的混合有限元空间构造方法的流程图，如图1所示，该方法至少包括步骤S102-S106，其中：

步骤S102，采用目标形状网格划分二维区域得到有限个单元。

在步骤S102提供的技术方案中，在对结构力学进行仿真分析时，网格类型、网格密度和网格形状对于仿真结果的精度起着至关重要的作用，为了能使结构简化为满足精度要求且能快速求解的仿真结果，可以选择根据实际情况，选择合适的网格对二维区域进行剖分，如规则三角形网格。另外，划分所得的单元数量具体根据目标形状网格和实际二维区域的大小决定。

步骤S104，确定各个单元的k阶拉格朗日元插值点，并确定k阶拉格朗日元插值点对应的k阶拉格朗日基函数和对称矩阵空间的基。

在步骤S104提供的技术方案中，上述对称矩阵空间是由所有二阶对称矩阵组成的向量空间，k为大于等于1的正整数。为了提升后续求解线弹性力学问题时的精度，可以使用高次元不断逼近真解的求解精度，因此本申请实施例中的k值可以尽量取大。需要注意的是，k越大说明构造的有限单元空间越逼近真实求解结果，但k太大的话，同时也会带来计算量的问题，因此，在实际应用中，可以根据实际问题的复杂度，选择合适的阶数。

为了通过剖分的单元可以准确地反映目标弹性体受力的真实情况，可选地，对于每个单元，确定单元的顶点、单元内部点、边以及边上的内部点，并基于单元的顶点、单元内部点、边以及边上的内部点确定单元的k阶拉格朗日元插值点。举例而言，图2是根据本申请实施例的一种可选的三角形单元的示意图，如图2所示，在确定目标形状网格为三角形网格后，采用给定的三角形网格划分目标弹性体的二维区域，则对于每个三角形单元，可以记作/>。

相应地，可以将三角形单元K的三条边分别记为、/>、/>，如/>边对应的顶点分别为/>、/>，而其每条边上的k-1个内部点可以表示为：

另外，单元K中的(k-1)(k-2)/2个内部点可以表示为：

因此，可以将三角形单元K的顶点、边上的内部点以及单元内部点可以用如下k阶拉格朗日元插值点集进行表示：

作为一种可选的实施方式，可以通过如下方式确定k阶拉格朗日元插值点对应的k阶拉格朗日基函数：

对于单元的顶点，确定与顶点对应的第一类k阶拉格朗日基函数；对于单元的内部点，确定与单元内部点对应的第二类k阶拉格朗日基函数；对于单元的边上的内部点，确定与边上的内部点对应的第三类k阶拉格朗日基函数。

例如，以图2所示的三角形单元，给定边上的点/>，其中，/>，令为k阶拉格朗日基函数，且/>在点/>取1，而在集/>中的其他点取0。

进一步地，在构造k阶拉格朗日基函数后，还可以构造二阶对称矩阵空间的基，且该对称矩阵空间的基包括标准基和基于单位法向向量和单位切向向量的对称矩阵基。

作为一种可选的实施方式，可以通过如下方式确定k阶拉格朗日元插值点对应的对称矩阵空间的基：对于单元的顶点和单元内部点，获取对称矩阵空间的第一类基，其中，第一类基为标准基；对于单元的边和边上的内部点，确定单元的边的单位法向向量和单位切向向量，并基于单位法向向量和单位切向向量确定两类对称矩阵，将由单位切向向量张成的一类对称矩阵作为第一类对称矩阵，将由单位法向向量张成的一类对称矩阵以及由单位法向向量和单位切向向量共同张成的一类对称矩阵作为第二类对称矩阵，其中，对于单元的边，第一类对称矩阵和第二类对称矩阵共同组成对称矩阵空间的第二类基。

其中，上述对称矩阵空间为二阶对称矩阵空间，即包括所有二阶对称矩阵组成的向量空间。而二阶对称矩阵空间的基是指由若干个线性无关的二阶对称矩阵所组成的集合，且这些二阶对称矩阵能够表示该空间中所有的二阶对称矩阵。任何一个二阶对称矩阵都可以表示为三个特定的对称矩阵：，/>和/>的线性组合。因此，这三个对称矩阵就是该空间中的一组基。

具体地，在图2的三角形网格上，对于单元的顶点和内部点，可以获取二阶对称空间内的标准基作为第一类基；而对于单元的边和边上的内部点，则可以先定义边

上的单位法向向量和单位切向向量，分别为和/>，如图3a中示出的边/>上的单位法向向量/>，图3b中示出的边/>上的单位切向向量/>；然后通过单位切向向量/>可以定义一个秩为1的第一类对称矩阵，并记作/>，其表达式可以写作：。

同时，将由单位法向向量张成的一类对称矩阵以及由单位法向向量/>和单位切向向量/>共同张成的一类对称矩阵作为第二类对称矩阵，且第二类对称矩阵与第一类对称矩阵/>为正交补关系，且属于二阶对称矩阵空间内，可以将第二类对称矩阵记作/>，其表达式可以写作：/>，/>。

因此，可以通过第一类对称矩阵和第二类对称矩阵/>共同组成对称矩阵空间的第二类基。在本申请实施例中为了简化计算，可以选择最简单的一组平凡基作为第二类基，其表达式如下：/>，/>和 />。

此时，将、/>和/>分别记为二维区域/>内所有三角形网格的单元顶点集合、单元边上的内部点集合及单元内部点集合，并令k阶拉格朗日有限元空间为：

步骤S106，基于对称矩阵空间的基和k阶拉格朗日基函数构造二维线弹性力学问题内蕴混合有限元空间。

在步骤S106提供的技术方案中，可以通过k阶拉格朗日基函数和对称矩阵空间的基构造对称应力张量的协调二维线弹性力学问题内蕴混合有限元空间。

作为一种可选的实施方式，若给定二维求解区域内的任意点，且该点相关的基函数可以通过如下方式确定：

基于单元的顶点对应的第一类k阶拉格朗日基函数和第一类基，确定二维线弹性力学问题内蕴混合有限元空间内的第一类基函数；基于单元的内部点对应的第二类k阶拉格朗日基函数和第一类基，确定二维线弹性力学问题内蕴混合有限元空间内的第二类基函数；基于单元的边上的内部点对相应的第三类k阶拉格朗日基函数和第一类对称矩阵，确定二维线弹性力学问题内蕴混合有限元空间内的第三类基函数；基于第三类k阶拉格朗日基函数和第二类基，确定二维线弹性力学问题内蕴混合有限元空间内的第四类基函数。

举例而言，对于给定，并且/>为与x点相关的拉格朗日基函数，就可以将二维线弹性力学问题内蕴混合有限元空间划分为如下四部分，具体表达式如下：

对于给定，可以将二维线弹性力学问题内蕴混合有限元空间的第一类基函数写作：

对于给定，可以将二维线弹性力学问题内蕴混合有限元空间的第二类基函数写作：

对于给定为边E上的内部点, 且E为单元/>和单元/>的公共边, 则可以将二维线弹性力学问题内蕴混合有限元空间的第三类基函数写作：

对于给定，可以将二维线弹性力学问题内蕴混合有限元空间的第四类基函数写作：

其中，上述二维线弹性力学问题内蕴混合有限元空间的第一类基函数、第二类基函数、第四类基函数均为连续基函数；而第三类基函数为不连续基函数。

需要说明的是，可以将本申请实施例所构造的这类二维线弹性力学问题内蕴混合有限元空间称为“胡张元空间”，相应地，将“胡张元空间”对应的基函数称为“胡张元基函数”。

在本申请实施例中，通过采用目标形状网格划分二维区域得到有限个单元；确定各个单元的k阶拉格朗日元插值点，并确定k阶拉格朗日元插值点对应的k阶拉格朗日基函数和对称矩阵空间的基，其中，对称矩阵空间是由所有二阶对称矩阵组成的向量空间；基于对称矩阵空间的基和k阶拉格朗日基函数构造二维线弹性力学问题内蕴混合有限元空间。在上述过程中，通过构造协调有限单元使得位移和应力的关系在有限单元上自然满足，从而解决求解线弹性力学问题时应力解精度较低的技术问题。

实施例2

目前，应力集中作为工程实践中较为复杂的一类问题，是引起结构失效的重要力学因素。一方面，由于某些特殊用途需要在部件上开孔、开槽、制作台阶等，当这些形状、尺寸急剧变化时刚性约束处会产生应力集中现象；另一方面，材料本身存在的夹杂、气孔、裂纹等非连续性缺陷也会产生应力集中。应力集中使得部件发生静载断裂或产生疲劳裂纹，从而导致结构失效。工程技术人员在分析此类问题时，很难选择合适的有限元方法进行求解；另外，采用最小势能原理的位移法在求解线弹性力学问题时，将位移看作待求解的变量，求出位移之后再根据几何方程和本构关系求出应力，此过程涉及对位移的求导，会导致应力的求解精度低。

为了解决上述问题，本申请实施例中提供了一种应用实施例1中的二维线弹性力学问题内蕴混合有限元空间的求解线弹性力学问题方法的实施例。其中，本申请实施例1提供的二维线弹性力学问题内蕴混合有限元空间可以逼近应力真解和位移真解，从而可以保证最终求解位移和应力的求解精度。

需要说明的是，在附图的流程图示出的步骤可以在诸如一组计算机可执行指令的计算机系统中执行，并且，虽然在流程图中示出了逻辑顺序，但是在某些情况下，可以以不同于此处的顺序执行所示出或描述的步骤。

图4是根据本申请实施例的一种可选的求解线弹性力学问题方法的流程图，如图4所示，该方法至少包括步骤S401-S405，其中：

步骤S401，采用目标形状网格对目标弹性体的二维区域进行划分得到有限个单元。

在步骤S401提供的技术方案中，上述二维区域可以为目标弹性体所在区域，也可以是目标弹性体的受力区域。

目前，平面应变问题是弹性力学研究的一类经典问题，平面应变假设作为三维问题的一种简化方法，被广泛地应用于土木、机械、材料加工等领域。由于工程上常见的大坝、隧道、挡土墙、压力管道、滚柱、金属塑性成型等模型的某一个方向的长度远大于另外两个方向，且长度方向上截面大小、形状不变，载荷的分布也不变，因此它们常常被简化为平面应变问题，在平面域内进行求解。本申请实施例中以求解带通孔的方形柱的平面应变问题为例进行详细说明。

具体地，图5是根据本申请实施例提供的一种可选的带方形通孔的长方形柱体的示意图。如图5所示，考虑到该长方形柱体的纵向长度远大于其横截面尺寸，且外载平行于横截面作用，外载和约束沿长度方向无变化，故可将其视为平面应变问题。此时，可以采用目标形状网格对简化后的长方形柱体的二维受力区域进行划分，从而最大程度的减少网格数量。

步骤S402，将各个单元对应的二维线弹性力学问题内蕴混合有限元空间作为应力空间，并将各个单元对应的间断元空间作为位移空间。

在步骤S402提供的技术方案中，采用一般的线性元求解线弹性力学问题时，求解的应力结果的误差会较大。因此，在本申请实施例中为了避免发生该问题，可以将各个单元对应的二维线弹性力学问题内蕴混合有限元空间作为应力空间，其中，二维线弹性力学问题内蕴混合有限元空间对应的各个基函数即为应力基函数；同时，将各个单元对应的间断元空间作为位移空间，其中，间断元空间对应的各个基函数即为位移基函数。

其中，应力基函数是用于描述固体物理问题中的应力场分布的一组数学函数。它们通常被用来在有限元分析等计算机模拟方法中近似表示实际结构的应力场。而位移基函数是一种用于描述结构变形的数学函数。在有限元分析中，可以使用位移基函数来近似表示结构内部的应力和应变场的分布。而这些函数通常是局部定义的，并且在单元边界处满足连续性条件。简单地说，位移基函数就是一组能够描述物体运动、形状变化等信息的数学表达式。

作为一种可选的实施方式，可以通过如下方式确定应力空间和位移空间：确定各个单元的k阶拉格朗日元插值点，并确定k阶拉格朗日元插值点对应的k阶拉格朗日基函数和对称矩阵空间的基，k为大于等于1的正整数；基于k阶拉格朗日基函数和对称矩阵空间的基构造二维线弹性力学问题内蕴混合有限元空间，并将二维线弹性力学问题内蕴混合有限元作为应力空间；确定各个单元的k-1阶拉格朗日元插值点，并确定k-1阶拉格朗日元插值点对应的k-1阶拉格朗日基函数；基于k-1阶拉格朗日基函数构造间断元空间，并将间断元空间作为位移空间。

具体地，构造二维线弹性力学问题内蕴混合有限元空间的具体方法方案可以参考实施例1中的具体流程，下面算例中均将二维线弹性力学问题内蕴混合有限元称为“胡张元空间”。而在确定位移空间时，可以根据阶数k，在各单元上确定k-1阶拉格朗日元插值点以及对应的拉格朗日基函数，并根据k-1阶拉格朗日基函数构造位移空间。

步骤S403，基于应力空间和位移空间确定目标弹性体的整体系数矩阵和整体载荷向量。

可选地，首先确定各个单元的材料系数，并将属于应力空间的和属于位移空间的u作为自变量，采用Hellinger-Reissner变分原理确定各个单元的单元系数矩阵；然后确定各个单元的受力状态，并基于受力状态确定各个单元的单元等效节点载荷向量；最后依据单元系数矩阵和单元等效节点载荷向量确定目标弹性体的整体系数矩阵和整体载荷向量。

通常，在平衡条件下线弹性力学问题一般包含三个方程，分别为静力平衡方程、几何方程和本构方程，其中，静力平衡方程可以表示为：

几何方程可以表示为：

本构方程可以表示为：

其中，表示物体所受的应力张量，f表示物体所受到的体力，/>表示物体的应变张量，/>表示物体的位移，/>、/>均为拉梅系数，且二者与杨氏模量E和泊松比v的关系可以通过如下公式进行表示：

为了保证最终位移和应力的求解精度，从而避免了基于最小势能原理的方法求解出的应力解精度较低的问题，本申请实施例中优选采用Hellinger-Reissner变分原理得到上述方程组的混合变分形式，即将属于应力空间的和属于位移空间的u作为自变量进行求解，其表达式如下：

上述变分形式的第一个式子内的为一个线性算子，表示应力张量/>和其他参数之间的关系，其表达式为：

其中，表示测试函数/>的散度，这个方程可以用于描述弹性体在外部作用下产生的变形和应力状态。

而上述变分形式的第二个式子内表示在区域内，其应力张量/>需要满足该式子，并且对于所有满足边界条件的测试函数，其在整个区域/>内都成立，其中，/>是应力张量的散度，f是外部力场密度，该方程描述了平衡状态和运动行为之间的关系（即体现各个单元的受力状态）。因此，可以通过如下方式确定每个三角形网格单元对应的单元系数矩阵和单元等效节点载荷向量：

首先，计算每个三角形网格单元对应的二维线弹性力学问题内蕴混合有限元空间内的应力变量和位移变量/>；接着，依据应力变量/>和位移变量/>，并通过如下公式计算每个三角形网格单元的能量矩阵/>、散度算子矩阵/>和单元等效节点载荷向量/>：

需要说明的是，在实际计算过程中，一般采用数值积分方法求解上述积分，如取是/>上的积分点，/>是对应积分点的积分权重，则/>的积分公式可以写作：

另外两个公式可以做类似的数值积分进行计算。则单元系数矩阵可以写作可以写作：

接着，在确定每个三角形网格单元的单元系数矩阵和单元等效节点载荷向量/>之后，可以通过循环上述操作，遍历带通孔的方形柱结构中的n个三角形网格单元，得到如下整体能量矩阵、散度算子矩阵和整体载荷向量：

其中，表示/>上第/>个应力变量/>对应到整体结构上的应力变量；/>表示/>上第/>个位移变量/>对应到整体结构上的位移变量。

在分析实际问题时，具体是将实际问题的物理方程进行描述，再通过Hellinger-Reissner变分原理将实际问题转换为鞍点问题，以得到变分形式的方程；然后采用有限元法离散变分形式的方程，通过有限元基函数带入计算得到如下矩阵，即Ax=b的形式。

步骤S404，依据整体系数矩阵和整体载荷向量构造目标弹性体的线性代数方程组。

在步骤S404提供的技术方案中，在每个有限单元上进行单元力学分析后，可以通过对所得的整体系数矩阵和整体载荷向量施加边界条件，从而构造目标弹性体的线性代数方程组。

作为一种可选的实施方式，获取目标弹性体的二维区域对应的位移约束条件，基于位移约束条件确定位移边界条件；获取目标弹性体的二维区域对应的应力约束条件，并基于应力约束条件确定应力边界条件；依据位移边界条件和应力边界条件调整整体系数矩阵和整体载荷向量，并依据调整后的整体系数矩阵和整体载荷向量构造目标弹性体的线性代数方程组。具体地，可以基于应力边界条件和位移边界条件，以及系数矩阵和整体载荷向量，确定目标弹性体的线性代数方程组，其中，在有界闭区域Ω，目标弹性体的受体力和面力满足力的平衡方程和相应的边界条件；另外，均匀各向同性材料满足力的本构方程（也即胡克定律）。

需要说明的是，给定的边界条件不同，所构造的线性代数方程组也就不同，因此，不同边界条件会使构造的线性代数方程组求解得到不同的应力结果和位移结果。

步骤S405，求解线性代数方程组得到目标弹性体的应力解和位移解。

可选地，可以采用目标方法求解线性代数方程组，得到应力解和位移解，其中，目标方法包括以下至少之一：直接求解法、迭代求解法。

其中，上述迭代法可以为共轭梯度法，此处仅作实例进行说明，对迭代法的选择不做具体限制。

作为一种可选的实施方式，按照上述实施例给出的边界条件、静力平衡方程、几何方程和本构方程组成完整的线性代数方程组，并采用共轭梯度法等迭代法或者直接法求解线性代数方程组得到应力解和位移解。我们将对求解结果进行验证，以说明相比现有拉格朗日元空间而言，本申请实施例中应用二维线弹性力学问题内蕴混合有限元空间求解线弹性力学问题，可以使用更少的网格节点，以得到更高精度的应力计算结果，且位移计算结果准确。

图6是根据本申请实施例的一种可选的带方形通孔的长方形柱体横截面的工况示意图，如图6所示，该柱体横截面的长和宽均为20mm，柱体中央有边长为2mm的方形通孔，且柱体的纵向长度远大于其横截面尺寸，同时，该柱体在x方向承受均布载荷100MPa的力，该柱体的材料参数为杨氏模量取E=1000MPa、泊松比v=0.3。考虑到柱体的纵向长度远大于其横截面尺寸，且外载平行于横截面作用，外载和约束沿长度方向无变化，故可将其视为平面应变问题，同时，基于结构和载荷的对称性，只取模型的1/4进行分析，如图7所示。对于本申请实施例所提供的求解线弹性力学问题方法可以按照如下思路进行验证：

一、对于不同数量的网格模型，分别运用一阶拉格朗日空间和三阶胡张元空间对应的三角形平面应变单元求解；

二、对比拉格朗日元空间和胡张元空间的位移分量的最值（U1_MAX、U2_MIN）、应力分量的最值（S11_MAX、S22_MAX、S12_MIN） 以及在指定位置处的位移分量值、应力分量值，以说明胡张元空间在单元数量少的情况下应力计算结果精度高。

具体地，表1为拉格朗日元网格模型对应的单元数目，且各个网格模型的模型示意图如图8所示；表2为胡张元网格模型对应的单元数目，且各个网格模型的模型示意图如图9所示。

表1

表2

再分别采用拉格朗日空间和胡张元空间进行应力计算，得到如下表3和表4的计算结果。

表3

表4

另外，本申请实施例中仅以La-网格模型2（单元数1480）和La-网格模型4（单元数4717）的计算结果、Hu-网格模型1（单元数224）和Hu-网格模型3（单元数650）的计算S11_MAX结果为例，得到图10的拉格朗日网格模型的计算结果云图，以及图11的胡张元网格模型的计算结果云图。

进一步地，为了更加直观地对计算结果进行分析，将不同单元数量下的拉格朗日元空间和胡张元空间计算的 U1_MAX、U2_MIN值绘制成折线图，如图12a、12b所示。不难看出，随着网格数量的增加，位移结果且逐渐收敛于一个定值，虽然胡张元空间和拉格朗日元空间均能得到高精度的位移结果，但胡张元空间在单元数量较少时位移精度已经处于较高的水平。

同样地，将不同单元数量下拉格朗日元空间和胡张元空间计算的 S11_MAX、S22_MAX、S12_MIN绘制成折线图，如图13a、13b、13c所示。不难看出，图6中应力值最大的点都是处于方形孔右上角点附近，理论上该处的应力集中系数为无限大，而从图13a、13b、13c中可以看到随着网格数量的增加，S11_MAX、S22_MAX呈现出逐渐增大的趋势，S12_MIN呈现出逐渐减小的趋势，即网格越密，结果越接近理论值，且胡张元空间可以使用更少的单元数量得到更高精度的应力计算结果。

综上所述，相比传统的拉格朗日元，胡张元空间可以使用更少的网格节点得到更高精度的应力计算结果，且位移计算结果准确。

在本申请实施例中，采用目标形状网格对目标弹性体的二维区域进行划分得到有限个单元，其中，二维区域为目标弹性体所在区域；将各个单元对应的二维线弹性力学问题内蕴混合有限元空间作为应力空间，并将各个单元对应的间断元空间作为位移空间；基于应力空间和位移空间确定目标弹性体的整体系数矩阵和整体载荷向量；依据整体系数矩阵和整体载荷向量构造目标弹性体的线性代数方程组；求解线性代数方程组得到目标弹性体的应力解和位移解。其中，采用二维线弹性力学问题内蕴混合有限元空间作为应力空间，保证最终求解位移和应力的求解精度，进而解决了相关技术在求解线弹性力学问题时求解应力结果精度较低的技术问题。

实施例3

根据本申请实施例，还提供了一种用于实现上述混合有限元空间构造方法的混合有限元空间构造装置。其中，图14是根据本申请实施例的一种可选的二维线弹性力学问题混合有限元空间构造装置的结构示意图，如图14所示，该装置至少包括第一划分模块141，第一确定模块142和第一构造模块143，其中：

第一划分模块141，用于采用目标形状网格划分二维区域得到有限个单元；

第一确定模块142，用于确定各个单元的k阶拉格朗日元插值点，并确定k阶拉格朗日元插值点对应的k阶拉格朗日基函数和对称矩阵空间的基，其中，对称矩阵空间是由所有二阶对称矩阵组成的向量空间，k为大于等于1的正整数；

第一构造模块143，用于基于对称矩阵空间的基和k阶拉格朗日基函数构造二维线弹性力学问题内蕴混合有限元空间。

在本申请实施例中，通过采用目标形状网格划分二维区域得到有限个单元；确定各个单元的k阶拉格朗日元插值点，并确定k阶拉格朗日元插值点对应的k阶拉格朗日基函数和对称矩阵空间的基，其中，对称矩阵空间是由所有二阶对称矩阵组成的向量空间；基于对称矩阵空间的基和k阶拉格朗日基函数构造二维线弹性力学问题内蕴混合有限元空间。在上述过程中，通过构造协调有限单元使得位移和应力的关系在有限单元上自然满足，从而避免基于最小势能原理求解线弹性力学问题时，应力解精度较低的技术问题。

需要说明的是，本申请实施例中的混合有限元空间构造装置中的各模块与实施例1中的混合有限元空间构造方法的各实施步骤一一对应，由于实施例1中已经进行了详尽的描述，本实施例中部分未体现的细节可以参考实施例1，在此不再过多赘述。

实施例4

根据本申请实施例，还提供了一种应用于实施例2的求解线弹性力学问题方法的装置。其中，图15是根据本申请实施例的一种可选的求解线弹性力学问题装置的结构示意图，如图15所示，该装置至少包括第二划分模块151、第二确定模块152、第三确定模块153、第二构造模块154和求解模块155，其中：

第二划分模块151，用于采用目标形状网格对目标弹性体的二维区域进行划分得到有限个单元，其中，二维区域为目标弹性体所在区域；

第二确定模块152，用于将各个单元对应的二维线弹性力学问题内蕴混合有限元空间作为应力空间，并将各个单元对应的间断元空间作为位移空间；

第三确定模块153，用于基于应力空间和位移空间确定目标弹性体的整体系数矩阵和整体载荷向量；

第二构造模块154，用于依据整体系数矩阵和整体载荷向量构造目标弹性体的线性代数方程组；

求解模块155，用于求解线性代数方程组得到目标弹性体的应力解和位移解。

在本申请实施例中，采用目标形状网格对目标弹性体的二维区域进行划分得到有限个单元，其中，二维区域为目标弹性体所在区域；将各个单元对应的二维线弹性力学问题内蕴混合有限元空间作为应力空间，并将各个单元对应的间断元空间作为位移空间；基于应力空间和位移空间确定目标弹性体的系数矩阵和整体载荷向量；依据系数矩阵和整体载荷向量构造目标弹性体的线性代数方程组；求解线性代数方程组得到目标弹性体的应力解和位移解，进而解决了相关技术在求解线弹性力学问题时，求解应力结果精度较低的技术问题

需要说明的是，本申请实施例中的针对线弹性力学问题求解装置中的各模块与实施例2中的求解线弹性力学问题方法的各实施步骤一一对应，由于实施例2中已经进行了详尽的描述，本实施例中部分未体现的细节可以参考实施例2，在此不再过多赘述。

实施例5

根据本申请实施例，还提供了一种非易失性存储介质，该非易失性存储介质包括存储的程序，其中，非易失性存储介质所在设备通过运行该程序执行实施例中的混合有限元空间构造方法和实施例2中的求解线弹性力学问题方法。

可选地，非易失性存储介质所在设备通过运行该程序执行实现以下步骤：

采用目标形状网格划分二维区域得到有限个单元；确定各个单元的k阶拉格朗日元插值点，并确定k阶拉格朗日元插值点对应的k阶拉格朗日基函数和对称矩阵空间的基，其中，对称矩阵空间是由所有二阶对称矩阵组成的向量空间，k为大于等于1的正整数；基于对称矩阵空间的基和k阶拉格朗日基函数构造二维线弹性力学问题内蕴混合有限元空间。

可选地，非易失性存储介质所在设备通过运行该程序执行实现以下步骤：

采用目标形状网格对目标弹性体的二维区域进行划分得到有限个单元，其中，二维区域为目标弹性体所在区域；将各个单元对应的二维线弹性力学问题内蕴混合有限元空间作为应力空间，并将各个单元对应的间断元空间作为位移空间；基于应力空间和位移空间确定目标弹性体的整体系数矩阵和整体载荷向量；依据整体系数矩阵和整体载荷向量构造目标弹性体的线性代数方程组；求解线性代数方程组得到目标弹性体的应力解和位移解。

实施例6

根据本申请实施例，还提供了一种处理器，该处理器用于运行程序，其中，程序运行时执行实施例1中的混合有限元空间构造方法和实施例2中的求解线弹性力学问题方法。

可选地，程序运行时执行实现以下步骤：

采用目标形状网格划分二维区域得到有限个单元；确定各个单元的k阶拉格朗日元插值点，并确定k阶拉格朗日元插值点对应的k阶拉格朗日基函数和对称矩阵空间的基，其中，对称矩阵空间是由所有二阶对称矩阵组成的向量空间，k为大于等于1的正整数；基于对称矩阵空间的基和k阶拉格朗日基函数构造二维线弹性力学问题内蕴混合有限元空间。

可选地，程序运行时执行实现以下步骤：

采用目标形状网格对目标弹性体的二维区域进行划分得到有限个单元，其中，二维区域为目标弹性体所在区域；将各个单元对应的二维线弹性力学问题内蕴混合有限元空间作为应力空间，并将各个单元对应的间断元空间作为位移空间；基于应力空间和位移空间确定目标弹性体的整体系数矩阵和整体载荷向量；依据整体系数矩阵和整体载荷向量构造目标弹性体的线性代数方程组；求解线性代数方程组得到目标弹性体的应力解和位移解。

实施例7

根据本申请实施例，还提供了一种电子设备，该电子设备包括：存储器和处理器，其中，存储器中存储有计算机程序，处理器被配置为通过计算机程序执行实施例1中的混合有限元空间构造方法和实施例2中的求解线弹性力学问题方法。

可选地，在程序运行时控制非易失性存储介质所在设备执行实现以下步骤：

采用目标形状网格划分二维区域得到有限个单元；确定各个单元的k阶拉格朗日元插值点，并确定k阶拉格朗日元插值点对应的k阶拉格朗日基函数和对称矩阵空间的基，其中，对称矩阵空间是由所有二阶对称矩阵组成的向量空间，k为大于等于1的正整数；基于对称矩阵空间的基和k阶拉格朗日基函数构造二维线弹性力学问题内蕴混合有限元空间。

可选地，在程序运行时控制非易失性存储介质所在设备执行实现以下步骤：

采用目标形状网格对目标弹性体的二维区域进行划分得到有限个单元，其中，二维区域为目标弹性体所在区域；将各个单元对应的二维线弹性力学问题内蕴混合有限元空间作为应力空间，并将各个单元对应的间断元空间作为位移空间；基于应力空间和位移空间确定目标弹性体的整体系数矩阵和整体载荷向量；依据整体系数矩阵和整体载荷向量构造目标弹性体的线性代数方程组；求解线性代数方程组得到目标弹性体的应力解和位移解。

上述本申请实施例序号仅仅为了描述，不代表实施例的优劣。

在本申请的上述实施例中，对各个实施例的描述都各有侧重，某个实施例中没有详述的部分，可以参见其他实施例的相关描述。

在本申请所提供的几个实施例中，应该理解到，所揭露的技术内容，可通过其它的方式实现。其中，以上所描述的装置实施例仅仅是示意性的，例如单元的划分，可以为一种逻辑功能划分，实际实现时可以有另外的划分方式，例如多个单元或组件可以结合或者可以集成到另一个系统，或一些特征可以忽略，或不执行。另一点，所显示或讨论的相互之间的耦合或直接耦合或通信连接可以是通过一些接口，单元或模块的间接耦合或通信连接，可以是电性或其它的形式。

作为分离部件说明的单元可以是或者也可以不是物理上分开的，作为单元显示的部件可以是或者也可以不是物理单元，即可以位于一个地方，或者也可以分布到多个单元上。可以根据实际的需要选择其中的部分或者全部单元来实现本实施例方案的目的。

另外，在本申请各个实施例中的各功能单元可以集成在一个处理单元中，也可以是各个单元单独物理存在，也可以两个或两个以上单元集成在一个单元中。上述集成的单元既可以采用硬件的形式实现，也可以采用软件功能单元的形式实现。

集成的单元如果以软件功能单元的形式实现并作为独立的产品销售或使用时，可以存储在一个计算机可读取存储介质中。基于这样的理解，本申请的技术方案本质上或者说对现有技术做出贡献的部分或者该技术方案的全部或部分可以以软件产品的形式体现出来，该计算机软件产品存储在一个存储介质中，包括若干指令用以使得一台计算机设备（可为个人计算机、服务器或者网络设备等）执行本申请各个实施例方法的全部或部分步骤。而前述的存储介质包括：U盘、只读存储器（ROM，Read-Only Memory）、随机存取存储器（RAM，Random Access Memory）、移动硬盘、磁碟或者光盘等各种可以存储程序代码的介质。

以上仅是本申请的优选实施方式，应当指出，对于本技术领域的普通技术人员来说，在不脱离本申请原理的前提下，还可以做出若干改进和润饰，这些改进和润饰也应视为本申请的保护范围。

Claims (12)

1.一种混合有限元空间构造方法，其特征在于，包括：

采用目标形状网格划分二维区域得到有限个单元；

确定各个所述单元的k阶拉格朗日元插值点，并确定所述k阶拉格朗日元插值点对应的k阶拉格朗日基函数和对称矩阵空间的基，其中，所述对称矩阵空间是由所有二阶对称矩阵组成的向量空间，k为大于等于1的正整数；

基于所述对称矩阵空间的基和所述k阶拉格朗日基函数构造二维线弹性力学问题内蕴混合有限元空间；

其中，确定所述k阶拉格朗日元插值点对应的对称矩阵空间的基，包括：对于每个所述单元，确定所述单元的顶点、单元内部点、边以及边上的内部点，并基于所述单元的顶点、单元内部点、边以及边上的内部点确定所述单元的k阶拉格朗日元插值点；对于所述单元的顶点和单元内部点，获取所述对称矩阵空间的第一类基，其中，所述第一类基为标准基；对于所述单元的边和边上的内部点，确定所述单元的边的单位法向向量和单位切向向量，并基于所述单位法向向量和所述单位切向向量确定两类对称矩阵，将由所述单位切向向量张成的一类对称矩阵作为第一类对称矩阵，将由所述单位法向向量张成的一类对称矩阵以及由所述单位法向向量和单位切向向量共同张成的一类对称矩阵作为第二类对称矩阵，其中，对于所述单元的边，所述第一类对称矩阵和所述第二类对称矩阵共同组成所述对称矩阵空间的第二类基。

2.根据权利要求1所述的方法，其特征在于，确定所述k阶拉格朗日元插值点对应的k阶拉格朗日基函数，包括：

对于所述单元的顶点，确定与所述顶点对应的第一类k阶拉格朗日基函数；

对于所述单元的单元内部点，确定与所述单元内部点对应的第二类k阶拉格朗日基函数；

对于所述单元的边上的内部点，确定与所述边上的内部点对应的第三类k阶拉格朗日基函数。

3.根据权利要求2所述的方法，其特征在于，基于所述对称矩阵空间的基和所述k阶拉格朗日基函数构造二维线弹性力学问题内蕴混合有限元空间，包括：

基于所述第一类k阶拉格朗日基函数和所述第一类基，确定所述二维线弹性力学问题内蕴混合有限元空间内的第一类基函数；

基于所述第二类k阶拉格朗日基函数和所述第一类基，确定所述二维线弹性力学问题内蕴混合有限元空间内的第二类基函数；

基于所述第三类k阶拉格朗日基函数和所述第一类对称矩阵，确定所述二维线弹性力学问题内蕴混合有限元空间内的第三类基函数；

基于所述第三类k阶拉格朗日基函数和所述第二类对称矩阵，确定所述二维线弹性力学问题内蕴混合有限元空间内的第四类基函数。

4.一种求解线弹性力学问题方法，其特征在于，包括：

采用目标形状网格对目标弹性体的二维区域进行划分得到有限个单元，其中，所述二维区域为所述目标弹性体所在区域；

将各个所述单元对应的二维线弹性力学问题内蕴混合有限元空间作为应力空间，并将各个所述单元对应的间断元空间作为位移空间，其中，所述二维线弹性力学问题内蕴混合有限元空间是通过权利要求1至3中任意一项所述的混合有限元空间构造方法构造所得；

基于所述应力空间和所述位移空间确定所述目标弹性体的整体系数矩阵和整体载荷向量；

依据所述整体系数矩阵和所述整体载荷向量构造所述目标弹性体的线性代数方程组；

求解所述线性代数方程组得到所述目标弹性体的应力解和位移解。

5.根据权利要求4所述的方法，其特征在于，将各个所述单元对应的二维线弹性力学问题内蕴混合有限元空间作为应力空间，并将各个所述单元对应的间断元空间作为位移空间，包括：

确定各个所述单元的k阶拉格朗日元插值点，并确定所述k阶拉格朗日元插值点对应的k阶拉格朗日基函数和对称矩阵空间的基，其中，k为大于等于1的正整数；

基于所述k阶拉格朗日基函数和所述对称矩阵空间的基构造所述二维线弹性力学问题内蕴混合有限元空间，并将所述二维线弹性力学问题内蕴混合有限元空间作为所述应力空间；

确定各个所述单元的k-1阶拉格朗日元插值点，并确定所述k-1阶拉格朗日元插值点对应的k-1阶拉格朗日基函数；

基于所述k-1阶拉格朗日基函数构造所述间断元空间，并将所述间断元空间作为所述位移空间。

6.根据权利要求4所述的方法，其特征在于，基于所述应力空间和所述位移空间确定所述目标弹性体的整体系数矩阵和整体载荷向量，包括：

确定各个所述单元的材料系数，并将属于所述应力空间的应力张量和属于所述位移空间的位移张量作为自变量，采用Hellinger-Reissner变分原理确定各个所述单元的单元系数矩阵；

确定各个所述单元的受力状态，并基于所述受力状态确定各个所述单元的单元等效节点载荷向量；

依据所述单元系数矩阵和所述单元等效节点载荷向量确定所述目标弹性体的所述整体系数矩阵和所述整体载荷向量。

7.根据权利要求4所述的方法，其特征在于，依据所述整体系数矩阵和所述整体载荷向量构造所述目标弹性体的线性代数方程组，包括：

获取所述目标弹性体的二维区域对应的位移约束条件，并基于所述位移约束条件确定位移边界条件；

获取所述目标弹性体的二维区域对应的应力约束条件，并基于所述应力约束条件确定应力边界条件；

依据所述位移边界条件和所述应力边界条件调整所述整体系数矩阵和所述整体载荷向量，并依据调整后的所述整体系数矩阵和所述整体载荷向量构造所述目标弹性体的线性代数方程组。

8.根据权利要求4所述的方法，其特征在于，求解所述线性代数方程组得到所述目标弹性体的应力解和位移解，包括：

采用目标方法求解所述线性代数方程组，得到所述目标弹性体的应力解和位移解，其中，所述目标方法包括以下至少之一：直接求解法、迭代求解法。

9.一种混合有限元空间构造装置，其特征在于，包括：

第一划分模块，用于采用目标形状网格划分二维区域得到有限个单元；

第一确定模块，用于确定各个所述单元的k阶拉格朗日元插值点，并确定所述k阶拉格朗日元插值点对应的k阶拉格朗日基函数和对称矩阵空间的基，其中，所述对称矩阵空间是由所有二阶对称矩阵组成的向量空间，k为大于等于1的正整数；

第一构造模块，用于基于所述对称矩阵空间的基和所述k阶拉格朗日基函数构造二维线弹性力学问题内蕴混合有限元空间；

其中，确定所述k阶拉格朗日元插值点对应的对称矩阵空间的基，包括：对于每个所述单元，确定所述单元的顶点、单元内部点、边以及边上的内部点，并基于所述单元的顶点、单元内部点、边以及边上的内部点确定所述单元的k阶拉格朗日元插值点；对于所述单元的顶点和单元内部点，获取所述对称矩阵空间的第一类基，其中，所述第一类基为标准基；对于所述单元的边和边上的内部点，确定所述单元的边的单位法向向量和单位切向向量，并基于所述单位法向向量和所述单位切向向量确定两类对称矩阵，将由所述单位切向向量张成的一类对称矩阵作为第一类对称矩阵，将由所述单位法向向量张成的一类对称矩阵以及由所述单位法向向量和单位切向向量共同张成的一类对称矩阵作为第二类对称矩阵，其中，对于所述单元的边，所述第一类对称矩阵和所述第二类对称矩阵共同组成所述对称矩阵空间的第二类基。

10.一种求解线弹性力学问题装置，其特征在于，包括：

第二划分模块，用于采用目标形状网格对目标弹性体的二维区域进行划分得到有限个单元，其中，所述二维区域为所述目标弹性体所在区域；

第二确定模块，用于将各个所述单元对应的二维线弹性力学问题内蕴混合有限元空间作为应力空间，并将各个所述单元对应的间断元空间作为位移空间，其中，所述二维线弹性力学问题内蕴混合有限元空间是通过权利要求1至3中任意一项所述的混合有限元空间构造方法构造所得；

第三确定模块，用于基于所述应力空间和所述位移空间确定所述目标弹性体的整体系数矩阵和整体载荷向量；

第二构造模块，用于依据所述整体系数矩阵和所述整体载荷向量构造所述目标弹性体的线性代数方程组；

求解模块，用于求解所述线性代数方程组得到所述目标弹性体的应力解和位移解。

11.一种非易失性存储介质，其特征在于，所述非易失性存储介质包括存储的程序，其中，所述非易失性存储介质所在设备通过运行所述程序执行权利要求1至3中任意一项所述的混合有限元空间构造方法或者权利要求4至8中任意一项所述的求解线弹性力学问题方法。

12.一种电子设备，其特征在于，包括：存储器和处理器，其中，所述存储器中存储有计算机程序，所述处理器被配置为通过所述计算机程序执行权利要求1至3中任意一项所述的混合有限元空间构造方法或者权利要求4至8中任意一项所述的求解线弹性力学问题方法。