CN117725803B - 基于混合有限元空间求解板弯曲问题的方法 - Google Patents
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Abstract
本申请公开了一种基于混合有限元空间求解板弯曲问题的方法。包括：按照预设的处理方式对不同类型的边界条件进行处理，得到载荷向量；将用于求解二维线弹性问题的内蕴混合有限元空间基函数在积分点处的值按照拉格朗日插值点的类型进行分类并组合，得到用于求解板弯曲问题的内蕴混合有限元空间基函数在积分点处的值；基于用于求解板弯曲问题的内蕴混合有限元空间基函数在各个积分点处的值构造系数矩阵；基于系数矩阵和载荷向量构造线性代数方程组并求解，直接得到弯矩与位移结果。本申请解决了相关技术在分析薄板弯曲问题时，采用传统有限元法求解对应的偏微分方程无法在网格数量较少的情况下提升计算精度的技术问题。
Description
技术领域
本申请涉及弹性力学技术领域，具体而言，涉及一种基于混合有限元空间求解板弯曲问题的方法。
背景技术
薄板弯曲是工程中常见的力学现象，其通常会涉及到结构设计、制造工艺、材料性能等多个方面，例如飞机机翼、汽车车身钣金件、建筑的金属屋顶等都是典型的薄板结构。在设计这些结构时，需要考虑薄板件的弯曲性能，确保其在外载作用下不会过度变形或破坏。同时，制造薄板结构通常需要通过折弯、冲压成型等工艺获所需形状。因此，了解薄板的弯曲行为对于选择合适的制造工艺、决定加工参数以及预测成品质量具有重要意义。
通常，薄板弯曲可以简化成关于挠度和荷载的薄板弯曲方程，同时由于实际工程结构中的工程部件或者机械部件的几何形状不规则，相应地受力情况也会变得复杂，若采用传统有限元方法进行分析，若网格不够细致，则可能无法准确捕捉局部应力集中和变形情况，但过于细致的网格又会增加计算成本。
针对上述的问题，目前尚未提出有效的解决方案。
发明内容
本申请实施例提供了一种基于混合有限元空间求解板弯曲问题的方法，以至少解决相关技术中在分析薄板弯曲过程中，采用传统有限元法求解对应的偏微分方程无法在网格数量较少的情况下提升计算精度的技术问题。
根据本申请实施例的一个方面，提供了一种基于混合有限元空间求解板弯曲问题的方法，包括如下求解步骤：
步骤S1，获取单元数据、材料参数、边界条件，其中，单元数据包括：单元形状、节点坐标、单元数量、单元维度，边界条件包括：应力约束、弯矩约束、位移约束、转角约束，材料参数包括：板的厚度、杨氏模量、泊松比、密度；
步骤S2，确定边界条件的类型，并按照预设的处理方式对不同类型的边界条件进行处理，得到载荷向量b；
步骤S3，获取当前单元的积分点、积分权重、单元面积，依据积分点计算k阶拉格朗日基函数在积分点处的值和k-2阶拉格朗日基函数在积分点处的值，其中，k为大于等于3的整数；
步骤S4，获取当前单元的二维对称矩阵空间的张量基，并结合步骤S3得到的k阶拉格朗日基函数在积分点处的值，得到用于求解二维线弹性问题的内蕴混合有限元空间基函数在积分点处的值；
步骤S5，将步骤S4得到的用于求解二维线弹性问题的内蕴混合有限元空间基函数在积分点处的值按照拉格朗日插值点的类型进行分类，将分类后的用于求解二维线弹性问题的内蕴混合有限元空间基函数在积分点处的值按照一定条件进行组合，得到用于求解板弯曲问题的内蕴混合有限元空间基函数在积分点处的值；
步骤S6，确定当前单元的用于求解板弯曲问题的内蕴混合有限元空间基函数的整体自由度和k-2阶拉格朗日基函数的整体自由度；
步骤S7，利用步骤S5所得的用于求解板弯曲问题的内蕴混合有限元空间基函数在各个积分点处的值计算单元能量矩阵，并结合步骤S6所得的用于求解板弯曲问题的内蕴混合有限元空间基函数的整体自由度，构造系数矩阵A；
步骤S8，计算当前单元的k阶拉格朗日基函数在积分点处的二阶导数，并与步骤S4所得的当前单元的二维对称矩阵空间的张量基相乘，得到用于求解二维线弹性问题的内蕴混合有限元空间基函数在积分点处的divDiv值；
步骤S9，将步骤S8得到的用于求解二维线弹性问题的内蕴混合有限元空间基函数在积分点处的divDiv值按照一定条件进行组合，得到用于求解板弯曲问题的内蕴混合有限元空间基函数在积分点处的divDiv值；
步骤S10，利用步骤S3得到的k-2阶拉格朗日基函数在积分点处的值与步骤S9得到的用于求解板弯曲问题的内蕴混合有限元空间基函数在积分点处的divDiv值计算单元divDiv算子矩阵，并将其追加至系数矩阵A中；
步骤S11，对循环步骤S3至步骤S10所得的系数矩阵A和步骤S2所得的载荷向量b进行处理，得到最终的线性代数方程组Ax=b；
步骤S12，求解线性代数方程组Ax=b，直接得到弯矩与位移结果。
可选地，上述步骤S2包括如下步骤：
步骤S21，确定边界条件的类型；
步骤S22，在边界条件的类型为体力时，调用位移的测试函数空间，并将位移的测试函数空间与体力的积分结果加载到载荷向量b中；
步骤S23，在边界条件的类型为应力和/或弯矩时，调用最小二乘法对应力约束和/或弯矩约束进行处理；
步骤S24，在边界条件的类型为位移约束和/或转角约束时，调用弯矩的测试函数空间，并将弯矩的测试空间与位移约束和/或转角约束的积分结果加载至载荷向量b中。
可选地，上述步骤S4包括如下步骤：
步骤S41，确定当前单元上各个拉格朗日插值点的类型，其中，拉格朗日插值点的类型包括：单元顶点、单元内部点、边内部点；
步骤S42，根据拉格朗日插值点的类型确定二维对称矩阵空间的张量基，其中，在拉格朗日插值点的类型为单元顶点和单元内部点时，获取二阶对称张量空间的标准基；在拉格朗日插值点的类型为边内部点时，获取当前单元的三条单元边各自的一个单位切向向量和一个单位法向向量，并利用每条边的一个单位切向向量和一个单位法向向量计算该单元边的边基；
步骤S43，将二维对称矩阵空间的张量基与步骤S3所得的k阶拉格朗日基函数在积分点处的值结合，得到用于求解二维线弹性问题的内蕴混合有限元空间基函数在积分点处的值。
可选地，上述步骤S5包括如下步骤：
步骤S51，在拉格朗日插值点的类型为边内部点时，判断用于求解二维线弹性问题的内蕴混合有限元空间基函数是否由纯切向向量组成，若是则确定该用于求解二维线弹性问题的内蕴混合有限元空间基函数属于第一类基函数，否则属于第二类基函数；
步骤S52，在拉格朗日插值点的类型为单元内部点时，确定用于求解二维线弹性问题的内蕴混合有限元空间基函数属于第一类基函数；
步骤S53，在拉格朗日插值点的类型为单元顶点时，确定用于求解二维线弹性问题的内蕴混合有限元空间基函数属于第三类基函数；
步骤S54，将上述步骤S51至步骤S53所得的各类基函数按照一定条件进行组合，得到用于求解板弯曲问题的内蕴混合有限元空间基函数在积分点处的值。
可选地，所述步骤S54包括如下步骤：
步骤S541，构造系数矩阵M，并利用系数矩阵M将步骤S51和步骤S52所得的第一类基函数进行组合，得到第一组用于求解板弯曲问题的内蕴混合有限元空间基函数在积分点处的值；
步骤S542，构造系数矩阵N，并利用系数矩阵N将步骤S51所得的第二类基函数和步骤S541所得的第一组用于求解板弯曲问题的内蕴混合有限元空间基函数进行组合，得到第二组用于求解板弯曲问题的内蕴混合有限元空间基函数在积分点处的值；
步骤S543，构造系数矩阵P，并利用系数矩阵P将步骤S53所得的第三类基函数和步骤S541所得的第一组用于求解板弯曲问题的内蕴混合有限元空间基函数进行组合，得到第三组用于求解板弯曲问题的内蕴混合有限元空间基函数在积分点处的值。
在本申请实施例中，通过对用于求解二维线弹性问题的内蕴混合有限元空间基函数进行分类并重新组合，以得到用于求解板弯曲问题的内蕴混合有限元空间基函数，利用该基函数在求解板弯曲问题时，其可以采用较少数量的网格上实现高精度的位移和弯矩结果，以解决了相关技术在分析薄板弯曲问题时，采用传统有限元法求解对应的偏微分方程无法在网格数量较少的情况下提升计算精度的技术问题。
附图说明
此处所说明的附图用来提供对本申请的进一步理解，构成本申请的一部分，本申请的示意性实施例及其说明用于解释本申请，并不构成对本申请的不当限定。在附图中：
图1是根据本申请实施例的一种用于实现基于混合有限元空间求解板弯曲问题的方法的计算机终端的硬件结构框图；
图2是根据本申请的一种可选的基于混合有限元空间求解板弯曲问题的方法的流程示意图；
图3是根据本申请实施例提供的一种可选的步骤S2的流程示意图；
图4是根据本申请实施例的一种可选的三角形单元的示意图；
图5是根据本申请实施例的一种可选的确定二维对称矩阵空间的张量基的流程示意图；
图6a是根据本申请实施例的一种可选的三角形单元的单元边的单位法向向量的示意图；
图6b是根据本申请实施例的一种可选的三角形单元的单元边的单位切向向量的示意图；
图7是根据本申请实施例的一种可选的步骤S5的流程示意图；
图8是根据本申请实施例的一种可选的步骤S54的流程示意图；
图9a是根据本申请实施例的一种可选的三角形单元的自由度的分布示意图；
图9b是根据本申请实施例的另一种可选的三角形单元的自由度的分布示意图；
图10是根据本申请实施例提供的一种可选的薄板的示意图；
图11是根据本申请实施例的一种可选的采用不同网格划分薄板的示意图；
图12是根据本申请实施例的一种可选的采用Abaqus/S3元计算网格模型1的结果云图；
图13是根据本申请实施例的一种可选的采用Abaqus/S3元计算网格模型4的结果云图；
图14是根据本申请实施例的一种可选的采用用于求解板弯曲问题的内蕴混合有限元计算网格模型1的计算结果云图。
具体实施方式
为了使本技术领域的人员更好地理解本申请方案，下面将结合本申请实施例中的附图，对本申请实施例中的技术方案进行清楚、完整地描述，显然，所描述的实施例仅仅是本申请一部分的实施例，而不是全部的实施例。基于本申请中的实施例，本领域普通技术人员在没有做出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都应当属于本申请保护的范围。
需要说明的是，本申请的说明书和权利要求书及上述附图中的术语“第一”、“第二”等是用于区别类似的对象，而不必用于描述特定的顺序或先后次序。应该理解这样使用的数据在适当情况下可以互换，以便这里描述的本申请的实施例能够以除了在这里图示或描述的那些以外的顺序实施。此外，术语“包括”和“具有”以及它们的任何变形，意图在于覆盖不排他的包含，例如，包含了一系列步骤或单元的过程、方法、系统、产品或设备不必限于清楚地列出的那些步骤或单元，而是可包括没有清楚地列出的或对于这些过程、方法、产品或设备固有的其它步骤或单元。
实施例1
本申请实施例提供了一种基于混合有限元空间求解板弯曲问题的方法的实施例，即通过有限元的方式去求解目标板弯曲模型方程，实现了简化板型工程结构受力分析过程的技术效果，进而解决了相关技术中在分析薄板弯曲过程中，采用传统有限元法求解对应的偏微分方程无法在网格数量较少的情况下提升计算精度的技术问题。
需要说明的是，在附图的流程图示出的步骤可以在诸如一组计算机可执行指令的计算机系统中执行，并且，虽然在流程图中示出了逻辑顺序，但是在某些情况下，可以以不同于此处的顺序执行所示出或描述的步骤。
本申请实施例所提供的方法实施例可以在移动终端、计算机终端或者类似的运算装置中执行。图1示出了一种用于实现基于混合有限元空间求解板弯曲问题的方法的计算机终端的硬件结构框图。如图1所示，计算机终端10可以包括一个或多个（图中采用102a、102b，……，102n来示出）处理器102（处理器102可以包括但不限于微处理器MCU或可编程逻辑器件FPGA等的处理装置）、用于存储数据的存储器104、以及用于通信功能的传输模块106。除此以外，还可以包括：显示器、获取/输出接口（I/O接口）、通用串行总线（USB）端口（可以作为BUS总线的端口中的一个端口被包括）、网络接口、电源和/或相机。本领域普通技术人员可以理解，图1所示的结构仅为示意，其并不对上述电子装置的结构造成限定。例如，计算机终端10还可包括比图1中所示更多或者更少的组件，或者具有与图1所示不同的配置。
应当注意到的是上述一个或多个处理器102和/或其他数据处理电路在本文中通常可以被称为“数据处理电路”。该数据处理电路可以全部或部分的体现为软件、硬件、固件或其他任意组合。此外，数据处理电路可为单个独立的处理模块，或全部或部分的结合到计算机终端10中的其他元件中的任意一个内。如本申请实施例中所涉及到的，该数据处理电路作为一种处理器控制（例如与接口连接的可变电阻终端路径的选择）。
存储器104可用于存储应用软件的软件程序以及模块，如本申请实施例中的基于混合有限元空间求解板弯曲问题的方法对应的程序指令/数据存储装置，处理器102通过运行存储在存储器104内的软件程序以及模块，从而执行各种功能应用以及数据处理，即实现上述的基于混合有限元空间求解板弯曲问题的方法。存储器104可包括高速随机存储器，还可包括非易失性存储器，如一个或者多个磁性存储装置、闪存、或者其他非易失性固态存储器。在一些实例中，存储器104可进一步包括相对于处理器102远程设置的存储器，这些远程存储器可以通过网络连接至计算机终端10。上述网络的实例包括但不限于互联网、企业内部网、局域网、移动通信网及其组合。
传输装置106用于经由一个网络接收或者发送数据。上述的网络具体实例可包括计算机终端10的通信供应商提供的无线网络。在一个实例中，传输装置106包括一个网络适配器（Network Interface Controller，NIC），其可通过基站与其他网络设备相连从而可与互联网进行通讯。在一个实例中，传输装置106可以为射频（Radio Frequency，RF）模块，其用于通过无线方式与互联网进行通讯。
显示器可以例如触摸屏式的液晶显示器（LCD），该液晶显示器可使得用户能够与计算机终端10的用户界面进行交互。
在上述运行环境下，本申请实施例还提供了一种基于混合有限元空间求解板弯曲问题的方法，如图2所示，该方法包括步骤S1-S12，其中：
步骤S1，获取单元数据、材料参数、边界条件。
通常，在对结构力学进行仿真分析时，网格类型、网格密度和网格形状对于仿真结果的精度起着至关重要的作用，而为了能使结构简化为满足精度要求且能快速求解的仿真结果，可以根据实际情况选择合适形状的网格对薄板的受力区域进行剖分。因此，上述单元数据包括但不仅限于：单元形状、节点坐标、单元数量、单元维度，本申请实施例中针对待分析的二维区域，优选采用三角形网格进行划分，而具体划分所得的单元数量、单元维度则可以根据划分网格形状和实际受力区域的大小、维度决定，此外，在进行结构力学分析时，还需要结合薄板的受力区域的约束条件以及该弹性体受力区域的材料系数，其中，上述边界条件包括但不仅限于：应力约束、弯矩约束、位移约束、转角约束，上述材料参数包括但不仅限于：板的厚度、杨氏模量、泊松比、密度。
步骤S2，确定边界条件的类型，并按照预设的处理方式对不同类型的边界条件进行处理，得到载荷向量b。
具体地，可以通过如图3所示的流程示意图，实现上述步骤S2对边界条件的处理，包括：
步骤S21，确定边界条件的类型；
步骤S22，在边界条件的类型为体力时，调用位移的测试函数空间，并将位移的测试函数空间与体力的积分结果加载到载荷向量b中；
具体地，在循环边界条件类型为体力时，对当前三角形单元K，设体力为f，则可以通过如下公式对位移测试函数空间中的函数v计算积分：
进而，将上述所得的积分结果添加至载荷向量b中。
步骤S23，在边界条件的类型为应力和弯矩时，调用最小二乘法对应力约束和/或弯矩约束进行处理。
具体地，上述步骤S23可以理解为，循环边界条件类型为应力和/或弯矩，首先针对该三角形单元上给定应力或弯矩的各个边，基于边上的拉格朗日插值点可以得到弯矩约束方程组，其表达式为：
然后，利用最小二乘法对所得的弯矩约束方程组进行处理，其处理对应的表达式如下：
最后，收集上述所有边对应的全部最处理后的弯矩约束方程组，并将上述所得的处理结果添加到弯矩约束方程组，以得到如下方程组：
其中，表示需要求解的未知量，g表示未知量个数，m表示线性无关的约束方程的个数。
步骤S24，在边界条件的类型为位移约束和/或转角约束时，调用弯矩的测试函数空间，并将弯矩的测试函数空间与位移约束和/或转角约束的积分结果加载至载荷向量b中。
具体地，在循环边界条件类型为所有边上的位移约束时，对当前三角形单元K中满足条件的边E，设单位外向量为n、单位切向向量为t、位移约束为u，则通过如下公式对弯矩的测试函数空间中的函数计算位移约束的积分结果：
进而，将上述所得的积分结果添加至载荷向量b中。
而循环边界条件类型为所有边上的转角约束时，对当前三角形单元K中满足条件的边E，设单位外向量为n、转角约束为，则通过如下公式对弯矩的测试函数空间中的函数计算转角约束的积分结果，并将所得转角约束的积分结果添加至载荷向量b中：
通过循环执行上述步骤S21-S24，从而得到整个薄板的载荷向量b。
下面针对上述步骤S1所划分的每个三角形单元而言，可以循环执行如下步骤S3-S10：
步骤S3，获取当前单元的积分点、积分权重、单元面积，依据积分点计算k阶拉格朗日基函数在积分点处的值和k-2阶拉格朗日基函数在积分点处的值
具体地，在单元形状为三角形时，则可以获取当前三角形单元的积分点，可以记作记作，其中，对于给定三角形单元边上的点，且k为大于等于3的整数，可以依据积分点计算其对应的k阶拉格朗日基函数的值以及k-2阶拉格朗日基函数的值，其中，可以将k阶拉格朗日基函数的值记作，且在点取1，而在k阶拉格朗日插值点集中的其他点取0；而将k-2阶拉格朗日基函数的值记作，且在点取1，而在k-2阶拉格朗日插值点集中的其他点取0。另外，所获取的积分权重、单元面积均用于后续单元能量矩阵的计算。
步骤S4，获取当前单元的二维对称矩阵空间的张量基，并结合步骤S3得到的k阶拉格朗日基函数在积分点处的值，得到用于求解二维线弹性问题的内蕴混合有限元空间基函数在积分点处的值。
其中，上述二维对称矩阵空间是由所有二维对称矩阵组成的向量空间，故二维对称矩阵空间的张量基则可以理解为指由若干个线性无关的二维对称矩阵所组成的集合，且这些二维对称矩阵能够表示该空间中所有的二维对称矩阵。任何一个二阶对称矩阵都可以表示为三个特定的对称矩阵：，和的线性组合。因此，这三个对称矩阵就是该空间中的一组基。
具体地，图4是根据本申请实施例一种可选的三角形单元的示意图，如图4所示，该四面体包括：三个顶点，分别记作；三条边，分别记作。
因此，上述步骤S4还可以进一步划分为如下步骤：
步骤S41，确定当前单元上各个拉格朗日插值点的类型。
其中，上述拉格朗日插值点的类型包括：单元顶点、单元内部点或边内部点。
步骤S42，根据拉格朗日插值点的类型确定二维对称矩阵空间的张量基，其中，在拉格朗日插值点的类型为单元顶点和单元内部点时，获取二阶对称张量空间的标准基；在拉格朗日插值点的类型为边内部点时，获取当前单元的三条单元边各自的一个单位切向向量和一个单位法向向量，并利用每条边的一个单位切向向量和一个单位法向向量计算该单元边的边基。
可选地，上述步骤S42还可以通过如图5所示的流程图实现，具体包括如下步骤
第一步：获取当前三角形单元；
第二步：依次循环当前三角形单元上的各个拉格朗日插值点；
第三步：判断拉格朗日插值点的类型，其中，在拉格朗日插值点的类型为单元顶点和单元内部点时，执行第四步；在拉格朗日插值点的类型为边内部点时，执行第五步；
第四步：获取二维对称张量空间的标准基。
其中，上述标准基可以为，和的线性组合。
第五步：获取当前三角形单元的三条边的单位切向向量和单位法向向量；
第六步：利用每条边的单位切向向量和单位法向向量计算该单元边的边基。
其中，上述单元边的边基包括：由该单元边的单位切向向量张成的第一类对称矩阵，由该单元边的单位法向向量张成的一类对称矩阵与该单元边的单位法向向量和单位切向向量共同张成的一类对称矩阵作为第二类对称矩阵。
具体地以单元边为例，对该单元边的边基的确定过程进行如下说明：
首先，定义单元边上的单位法向向量和单位切向向量，如图6a中示出的边上的单位法向向量，图6b中示出的边上的单位切向向量。然后通过单位切向向量可以定义一个秩为1的第一类对称矩阵，并记作，其表达式可以写作：。同时，将由单位法向向量张成的一类对称矩阵以及由单位法向向量和单位切向向量共同张成的一类对称矩阵作为第二类对称矩阵。需说明的是，第二类对称矩阵与第一类对称矩阵为正交补关系，且属于二阶对称矩阵空间内，可以将第二类对称矩阵记作，其表达式可以写作：
因此，可以通过第一类对称矩阵和第二类对称矩阵共同组成二维对称矩阵空间的边基。其中，在本申请实施例中，为了简化计算，可以选择最简单的一组平凡基作为边基，其表达式如下：
第七步：判断是否循环至当前三角形单元上的最后一个拉格朗日插值点，若是则执行第七步，否则继续执行第三步：
第八步：输出与当前三角形单元上各个拉格朗日插值点的类型对应的二维对称矩阵空间的张量基。
步骤S43，将二维对称矩阵空间的张量基与步骤S3所得的k阶拉格朗日基函数在积分点处的值结合，得到用于求解二维线弹性问题的内蕴混合有限元空间基函数在积分点处的值。
可选地，上述步骤S43还可以根据拉格朗日插值点的类型分为如下几种情况：
当拉格朗日插值点的类型为单元顶点时，依据二维对称矩阵空间的标准基与当前顶点对应的k阶拉格朗日基函数在积分点处的值的乘积，得到用于求解二维线弹性问题的内蕴混合有限元基函数在积分点的值；
当拉格朗日插值点的类型为单元内部点时，依据二维对称矩阵空间的标准基与当前单元内部点对应的k阶拉格朗日基函数在积分点处的值的乘积，得到用于求解二维线弹性问题的内蕴混合有限元基函数在积分点的值；
当拉格朗日插值点的类型为单元边上点时，依据二维对称矩阵空间的第一类对称矩阵与当前单元内部点对应的k阶拉格朗日基函数在积分点处的值的乘积，得到用于求解二维线弹性问题的内蕴混合有限元基函数在积分点的值；
当拉格朗日插值点的类型为单元边上点时，依据二维对称矩阵空间的第二类对称矩阵与当前单元内部点对应的k阶拉格朗日基函数在积分点处的值的乘积，得到用于求解二维线弹性问题的内蕴混合有限元基函数在积分点的值。
具体地，将、和分别记为薄板的二维受力区域内所划分的全部三角形单元的单元顶点集合、单元边上的内部点集合以及单元内部点集合，且为拉格朗日基函数在某一积分点的值，其中，表示k阶拉格朗日有限元，则可以按照如下规则确定用于求解二维线弹性问题的内蕴混合有限元基函数在积分点的值：
对于给定，则用于求解二维线弹性问题的内蕴混合有限元基函数在积分点的值可以写作：
对于给定，则用于求解二维线弹性问题的内蕴混合有限元基函数在积分点的值可以写作：
对于给定为边E上的内部点, 且E为单元和单元的公共边, 则用于求解二维线弹性问题的内蕴混合有限元基函数在积分点的值可以写作：
对于给定，则用于求解二维线弹性问题的内蕴混合有限元基函数在积分点的值可以写作：
其中，上述用于求解二维线弹性问题的内蕴混合有限元基函数的、、均为连续的；而为不连续的。
步骤S5，将步骤S4得到的用于求解二维线弹性问题的内蕴混合有限元空间基函数在积分点处的值按照拉格朗日插值点的类型进行分类，将分类后的用于求解二维线弹性问题的内蕴混合有限元空间基函数在积分点处的值按照一定条件进行组合，得到用于求解板弯曲问题的内蕴混合有限元空间基函数在积分点处的值。
可选地，上述步骤S5可以如下步骤实现：
步骤S51，在拉格朗日插值点的类型为边内部点时，判断用于求解二维线弹性问题的内蕴混合有限元空间基函数是否由纯切向向量组成，若是则确定该用于求解二维线弹性问题的内蕴混合有限元空间基函数属于第一类基函数，否则属于第二类基函数；
步骤S52，在拉格朗日插值点的类型为单元内部点时，确定用于求解二维线弹性问题的内蕴混合有限元空间基函数属于第一类基函数；
步骤S53，在拉格朗日插值点的类型为单元顶点时，确定用于求解二维线弹性问题的内蕴混合有限元空间基函数属于第三类基函数；
步骤S54，将上述步骤S51至步骤S53所得的各类基函数按照一定条件进行组合，得到用于求解板弯曲问题的内蕴混合有限元空间基函数在积分点处的值。
具体地，上述步骤S5的各个实现步骤可以具体细化为如图7所示的流程图，其中：
第一步：输入多个用于求解二维线弹性问题的内蕴混合有限元空间基函数；
第二步：循环各个用于求解二维线弹性问题的内蕴混合有限元空间基函数；
第三步：判断各个积分点对应的拉格朗日插值点类型，其中，在拉格朗日插值点类型为边内部点时，执行第四步至第六步，在拉格朗日插值点类型为单元内部点时，执行第五步，在拉格朗日插值点类型为单元顶点时，执行第七步；
第四步：判断用于求解二维线弹性问题的内蕴混合有限元空间基函数是否由纯切向向量组成，若是则执行第五步，反之执行第六步：
第五步：确定用于求解二维线弹性问题的内蕴混合有限元空间基函数属于第一类基函数；
第六步：确定用于求解二维线弹性问题的内蕴混合有限元空间基函数属于第二类基函数；
第七步：确定用于求解二维线弹性问题的内蕴混合有限元空间基函数属于第三类基函数；
第八步：将上述第三步至第七步所得的第一类基函数、第二类基函数和第三类基函数按照一定条件进行组合，得到用于求解板弯曲问题的内蕴混合有限元空间基函数在积分点处的值。
可以理解为，将上述步骤S43中所确定、划分为第一类基函数，而将划分为第二类基函数、划分为第三类基函数。
进一步地，可以按照图8所示的流程图实现上述步骤S54，包括：
第一步：输入第一类基函数、第二类基函数、第三类基函数；
第二步：构造系数矩阵M，并利用系数矩阵M将步骤S51和步骤S52所得的第一类基函数进行组合，得到第一组用于求解板弯曲问题的内蕴混合有限元空间基函数在积分点处的值；
第三步：构造系数矩阵N，并利用系数矩阵N将步骤S51所得的第二类基函数和步骤S541所得的第一组用于求解板弯曲问题的内蕴混合有限元空间基函数进行组合，得到第二组用于求解板弯曲问题的内蕴混合有限元空间基函数在积分点处的值；
第四步：构造系数矩阵P，并利用系数矩阵P将步骤S53所得的第三类基函数和步骤S541所得的第一组用于求解板弯曲问题的内蕴混合有限元空间基函数进行组合，得到第三组用于求解板弯曲问题的内蕴混合有限元空间基函数在积分点处的值；
第五步：输出用于求解板弯曲问题的内蕴混合有限元空间基函数在积分点处的值。
下面以k=3为例，对上述用于求解板弯曲问题的内蕴混合有限元空间基函数构成进行说明，其中，三角形单元的三个顶点各有三个自由度，单元内部共有三个自由度，且三角形单元的三条边各有六个自由度，因此，可以设定每个三角形单元均包括30个自由度。
具体地，图9a是根据本申请实施例的一种可选的三角形单元的自由度的分布示意图，如图9a所示，根据上述用于求解二维线弹性问题的内蕴混合有限元空间基函数的各类基函数的定义，可以将三角形单元各边的边内部点的第一类基函数写作：
将三角形单元上的单元内部点对应的第一类基函数写作：
从而根据上述三角形单元上的单元内部点对应的第一类基函数和边内部点对应的第一类基函数进行线性组合，得到第一组用于求解板弯曲问题的内蕴混合有限元空间基函数，即对应图9b所示的节点自由度22至30，相应的第一组用于求解板弯曲问题的内蕴混合有限元空间基函数在积分点处的值的表达式可以写作：
其中，上述表示第一类基函数，表示系数矩阵，由于上述满足如下关系式：
且上述的定义式分别如下：
最终，可以系数矩阵令，则的表达式可以写作：
在上述第一组用于求解板弯曲问题的内蕴混合有限元空间基函数的基础上，进一步地还可以确定三角形单元的边的内部点对应的第二组用于求解板弯曲问题的内蕴混合有限元空间基函数以及单元顶点对应的第三组用于求解板弯曲问题的内蕴混合有限元空间基函数。
上述第二组用于求解板弯曲问题的内蕴混合有限元空间基函数对应图9b所示的节点自由度10至21，因此，第二组用于求解板弯曲问题的内蕴混合有限元空间基函数在积分点处的值的表达式可以写作：
其中，上述表示第二类基函数，表示系数矩阵。
另外，第三组用于求解板弯曲问题的内蕴混合有限元空间基函数对应图9b所示的节点自由度1至9，因此，第三组用于求解板弯曲问题的内蕴混合有限元空间基函数在积分点处的值的表达式可以写作：
其中，上述表示第三类基函数，表示系数矩阵。
由于上述第二组用于求解板弯曲问题的内蕴混合有限元空间基函数和第三组用于求解板弯曲问题的内蕴混合有限元空间基函数的表达式均满足如下条件：
其中，上述表示限制在单元边上的二次函数。
因此，可以将第二组用于求解板弯曲问题的内蕴混合有限元空间基函数和第三组用于求解板弯曲问题的内蕴混合有限元空间基函数的表达式中的系数和记做，其可以由如下九个表达式组成：
从而可以通过上述确定系数矩阵N和P。
步骤S6，确定当前单元的用于求解板弯曲问题的内蕴混合有限元空间基函数的整体自由度和k-2阶拉格朗日基函数的整体自由度。
可选地，在上述步骤S6所提供的技术方案中，确定当前单元的用于求解板弯曲问题的内蕴混合有限元空间基函数的整体自由度按照连续自由度顺序排序，k-2阶拉格朗日基函数的整体自由度按照间断自由度顺序排序。
步骤S7，利用步骤S5所得的用于求解板弯曲问题的内蕴混合有限元空间基函数在各个积分点处的值计算单元能量矩阵，并结合步骤S6所得的用于求解板弯曲问题的内蕴混合有限元空间基函数的整体自由度，构造系数矩阵A。
具体地，将记作对应积分点的积分权重，W记做的单元面积，则用于求解板弯曲问题的内蕴混合有限元空间基函数在当前单元上各个积分点处的值以及积分权重、单元面积确定得到单元能量矩阵，其表达式可以写作：
其中，上述表示弯矩变量，而上述的表达式为：
其中，上述D表示抗弯刚度，其表达式可以写作：
另外，h表示板的厚度，E表示杨氏模量，表示泊松比，表示恒同矩阵，tr表示迹。
进而，再将所得单元能量矩阵与确定当前单元的用于求解板弯曲问题的内蕴混合有限元空间基函数的整体自由度结合，确定构造系数矩阵A。
步骤S8，计算当前单元的k阶拉格朗日基函数在积分点处的二阶导数，并与步骤S4所得的当前单元的二维对称矩阵空间的张量基相乘，得到用于求解二维线弹性问题的内蕴混合有限元空间基函数在积分点处的divDiv值。
步骤S9，将步骤S8得到的用于求解二维线弹性问题的内蕴混合有限元空间基函数在积分点处的divDiv值按照一定条件进行组合，得到用于求解板弯曲问题的内蕴混合有限元空间基函数在积分点处的divDiv值。
其中，上述用于求解二维线弹性问题的内蕴混合有限元空间基函数在积分点处的divDiv值的组合方式具体可以与步骤5中对分类后的用于求解二维线弹性问题的内蕴混合有限元空间基函数在积分点处的值的组合方式相同。
步骤S10，利用步骤S3得到的k-2阶拉格朗日基函数在积分点处的值与步骤S9得到的用于求解板弯曲问题的内蕴混合有限元空间基函数在积分点处的divDiv值计算单元divDiv算子矩阵，并将其追加至系数矩阵A中。
具体地，单元散度散度divDiv算子矩阵可以写作：
其中，上述表示弯矩变量，表示位移变量。而单元散度散度divDiv算子矩阵的计算通常是先计算第二个散度，即对矩阵按行求散度，再计算第一个散度，即对向量求散度。进而，再将所得的单元散度散度divDiv算子矩阵追加至上述步骤S7所得系数矩阵A上，得到整体系数矩阵A。
步骤S11，对循环步骤S3至步骤S10所得的系数矩阵A和步骤S2所得的载荷向量b进行处理，得到最终的线性代数方程组Ax=b。
可选地，上述步骤S11的实现方式可以包括如下步骤：
第一步，获取系数矩阵A、载荷向量b和弯矩约束方程组Gx=s；
第二步，采用化简弯矩约束方程组Gx=s，得到等价约束：
其中，表示m维的约束向量，表示n维的自由向量，是表示m维的常数向量，m和n分别表示约束变量和自由变量的个数；
第三步，调整x的排序，得到调整后的x为：
第四步，对上述所获取的系数矩阵A和载荷向量b进行分块处理，得到分块处理后的系数矩阵A为：
以及分块处理后的载荷向量b为：
第五步，对分块处理后的系数矩阵A进行重排，得到调整后的系数矩阵A为：
并将分块处理后的载荷向量b进行重排，得到调整后的载荷向量b为：
步骤S12，求解线性代数方程组Ax=b，直接得到弯矩与位移结果。
其中，上述求解线性代数方程组Ax=b，可以采用直接求解法，也可以采用迭代求解法，以得到弯矩与位移结果，此处对求解方法不做具体限制。
通过上述步骤S1至步骤S12所提供的技术方案中，按照不同的边界类型对应的边界处理方式对其进行处理，得到载荷向量b；将用于求解二维线弹性问题的内蕴混合有限元空间基函数在积分点处的值按照插值点类型进行分类，并重新进行组合得到用于求解板弯曲问题的内蕴混合有限元空间基函数在积分点处的值，再依据用于求解板弯曲问题的内蕴混合有限元空间基函数在积分点处的值确定系数矩阵A；进而依据载荷向量b和系数矩阵A构造板弯曲问题的线性代数方程组Ax=b，可以实现了简化板型工程结构受力分析过程的技术效果，解决了相关技术中在对板型的工程结构和机械部件进行受力分析的过程中，由于采用常规方法求解工程结构对应的偏微分方程导致分析过程复杂的技术问题。
举例而言，图10是根据本申请实施例提供的一种可选的薄板的结构示意图，如图10所示，该薄板为边长a=5m，厚度h=0.1m，且该薄板的杨氏模量E=2.1Pa，泊松比=0.3。并且通过图10可以看出，该薄板的四周完全固定，且受垂直于板面的横向载荷q=3000Pa作用。
下面将以图10所示的薄板为例，对本申请实施例所提供的基于内蕴混合有限元空间的板弯曲问题求解方法按照如下思路进行验证：
一、运用Abaqus/S3单元计算不同数量的网格模型的位移分量、应力分量，并将最密的网格模型4的结果视为基准值；
二、在最稀疏的网格模型1上，运用本申请的混合有限元求解方法计算位移分量、应力分量，并将位移、应力分量的最值与基准值作对比，以证明本申请的混合有限元方法能在单元数量较少的情况下求得高精度的位移和应力解。
具体地，图11示出了网格模型1、网格模型2、网格模型3和网格模型4的网格划分示意图，且表1示出了各个网格模型对应的单元数量。
表1
运用 Abaqus/S3元计算网格模型1-4，得到如表2所示的计算结果汇总，并采用本申请实施例的目标有限元计算网格模型1得到如表3所示的计算结果汇总。
表2
表3
进一步地，将Abaqus/S3元计算的网格模型1-3的结果以及本申请中用于求解板弯曲问题的内蕴混合有限元计算的网格模型1的结果分别与基准值（即表2中的网格模型4-S3元）进行对比，得到如表4所示的相对误差结果汇总。
表4
另外，图12和图13分别示出了采用Abaqus/S3元计算网格模型1和网格模型4的结果云图，图14示出了采用本申请中的用于求解板弯曲问题的内蕴混合有限元计算网格模型1的结果云图。
结合上述表4内的数据以及图12、13、14，不难看出，通过本申请实施例所提供的用于求解板弯曲问题的内蕴混合有限元分析薄板弯曲问题时，采用800个网格单元计算得到的位移、应力最值的精度均高于基于Abaqus/S3元采用5000个网格单元的计算结果，这也可以说明本申请实施例中方法能使用较少的网格单元在求解薄板弯曲时获得高精度的位移解和弯矩解。
实施例2
根据本申请实施例，还提供了一种非易失性存储介质，该非易失性存储介质中存储有程序，其中，在程序运行时控制非易失性存储介质所在设备执行实施例1中的基于混合有限元空间求解板弯曲问题的方法。
可选地，非易失性存储介质所在设备通过运行该程序执行实现以下步骤：
步骤S1，获取单元数据、材料参数、边界条件，其中，单元数据包括：单元形状、节点坐标、单元数量、单元维度，边界条件包括：应力约束、弯矩约束、位移约束、转角约束，材料参数包括：板的厚度、杨氏模量、泊松比、密度；
步骤S2，确定边界条件的类型，并按照预设的处理方式对不同类型的边界条件进行处理，得到载荷向量b；
步骤S3，获取当前单元的积分点、积分权重、单元面积，依据积分点计算k阶拉格朗日基函数在积分点处的值和k-2阶拉格朗日基函数在积分点处的值，其中，k为大于等于3的整数；
步骤S4，获取当前单元的二维对称矩阵空间的张量基，并结合步骤S3得到的k阶拉格朗日基函数在积分点处的值，得到用于求解二维线弹性问题的内蕴混合有限元空间基函数在积分点处的值；
步骤S5，将步骤S4得到的用于求解二维线弹性问题的内蕴混合有限元空间基函数在积分点处的值按照拉格朗日插值点的类型进行分类，将分类后的用于求解二维线弹性问题的内蕴混合有限元空间基函数在积分点处的值按照一定条件进行组合，得到用于求解板弯曲问题的内蕴混合有限元空间基函数在积分点处的值；
步骤S6，确定当前单元的用于求解板弯曲问题的内蕴混合有限元空间基函数的整体自由度和k-2阶拉格朗日基函数的整体自由度；
步骤S7，利用步骤S5所得的用于求解板弯曲问题的内蕴混合有限元空间基函数在各个积分点处的值计算单元能量矩阵，并结合步骤S6所得的用于求解板弯曲问题的内蕴混合有限元空间基函数的整体自由度，构造系数矩阵A；
步骤S8，计算当前单元的k阶拉格朗日基函数在积分点处的二阶导数，并与步骤S4所得的当前单元的二维对称矩阵空间的张量基相乘，得到用于求解二维线弹性问题的内蕴混合有限元空间基函数在积分点处的divDiv值；
步骤S9，将步骤S8得到的用于求解二维线弹性问题的内蕴混合有限元空间基函数在积分点处的divDiv值按照一定条件进行组合，得到用于求解板弯曲问题的内蕴混合有限元空间基函数在积分点处的divDiv值；
步骤S10，利用步骤S3得到的k-2阶拉格朗日基函数在积分点处的值与步骤S9得到的用于求解板弯曲问题的内蕴混合有限元空间基函数在积分点处的divDiv值计算单元divDiv算子矩阵，并将其追加至系数矩阵A中；
步骤S11，对循环步骤S3至步骤S10所得的系数矩阵A和步骤S2所得的载荷向量b进行处理，得到最终的线性代数方程组Ax=b；
步骤S12，求解线性代数方程组Ax=b，直接得到弯矩与位移结果。
根据本申请实施例，还提供了一种电子设备，其中，电子设备包括一个或多个处理器；存储器，用于存储一个或多个程序，当一个或多个程序被一个或多个处理器执行时，使得一个或多个处理器实现用于运行程序，其中，程序被设置为运行时执行上述实施例1中的基于混合有限元空间求解板弯曲问题的方法。
可选地，处理器被配置为通过计算机程序执行实现以下步骤：
步骤S1，获取单元数据、材料参数、边界条件，其中，单元数据包括：单元形状、节点坐标、单元数量、单元维度，边界条件包括：应力约束、弯矩约束、位移约束、转角约束，材料参数包括：板的厚度、杨氏模量、泊松比、密度；
步骤S2，确定边界条件的类型，并按照预设的处理方式对不同类型的边界条件进行处理，得到载荷向量b；
步骤S3，获取当前单元的积分点、积分权重、单元面积，依据积分点计算k阶拉格朗日基函数在积分点处的值和k-2阶拉格朗日基函数在积分点处的值，其中，k为大于等于3的整数；
步骤S4，获取当前单元的二维对称矩阵空间的张量基，并结合步骤S3得到的k阶拉格朗日基函数在积分点处的值，得到用于求解二维线弹性问题的内蕴混合有限元空间基函数在积分点处的值；
步骤S5，将步骤S4得到的用于求解二维线弹性问题的内蕴混合有限元空间基函数在积分点处的值按照拉格朗日插值点的类型进行分类，将分类后的用于求解二维线弹性问题的内蕴混合有限元空间基函数在积分点处的值按照一定条件进行组合，得到用于求解板弯曲问题的内蕴混合有限元空间基函数在积分点处的值；
步骤S6，确定当前单元的用于求解板弯曲问题的内蕴混合有限元空间基函数的整体自由度和k-2阶拉格朗日基函数的整体自由度；
步骤S7，利用步骤S5所得的用于求解板弯曲问题的内蕴混合有限元空间基函数在各个积分点处的值计算单元能量矩阵，并结合步骤S6所得的用于求解板弯曲问题的内蕴混合有限元空间基函数的整体自由度，构造系数矩阵A；
步骤S8，计算当前单元的k阶拉格朗日基函数在积分点处的二阶导数，并与步骤S4所得的当前单元的二维对称矩阵空间的张量基相乘，得到用于求解二维线弹性问题的内蕴混合有限元空间基函数在积分点处的divDiv值；
步骤S9，将步骤S8得到的用于求解二维线弹性问题的内蕴混合有限元空间基函数在积分点处的divDiv值按照一定条件进行组合，得到用于求解板弯曲问题的内蕴混合有限元空间基函数在积分点处的divDiv值；
步骤S10，利用步骤S3得到的k-2阶拉格朗日基函数在积分点处的值与步骤S9得到的用于求解板弯曲问题的内蕴混合有限元空间基函数在积分点处的divDiv值计算单元divDiv算子矩阵，并将其追加至系数矩阵A中；
步骤S11，对循环步骤S3至步骤S10所得的系数矩阵A和步骤S2所得的载荷向量b进行处理，得到最终的线性代数方程组Ax=b；
步骤S12，求解线性代数方程组Ax=b，直接得到弯矩与位移结果。
上述本申请实施例序号仅仅为了描述，不代表实施例的优劣。
在本申请的上述实施例中，对各个实施例的描述都各有侧重，某个实施例中没有详述的部分，可以参见其他实施例的相关描述。
在本申请所提供的几个实施例中，应该理解到，所揭露的技术内容，可通过其它的方式实现。其中，以上所描述的装置实施例仅仅是示意性的，例如单元的划分，可以为一种逻辑功能划分，实际实现时可以有另外的划分方式，例如多个单元或组件可以结合或者可以集成到另一个系统，或一些特征可以忽略，或不执行。另一点，所显示或讨论的相互之间的耦合或直接耦合或通信连接可以是通过一些接口，单元或模块的间接耦合或通信连接，可以是电性或其它的形式。
作为分离部件说明的单元可以是或者也可以不是物理上分开的，作为单元显示的部件可以是或者也可以不是物理单元，即可以位于一个地方，或者也可以分布到多个单元上。可以根据实际的需要选择其中的部分或者全部单元来实现本实施例方案的目的。
另外，在本申请各个实施例中的各功能单元可以集成在一个处理单元中，也可以是各个单元单独物理存在，也可以两个或两个以上单元集成在一个单元中。上述集成的单元既可以采用硬件的形式实现，也可以采用软件功能单元的形式实现。
集成的单元如果以软件功能单元的形式实现并作为独立的产品销售或使用时，可以存储在一个计算机可读取存储介质中。基于这样的理解，本申请的技术方案本质上或者说对现有技术做出贡献的部分或者该技术方案的全部或部分可以以软件产品的形式体现出来，该计算机软件产品存储在一个存储介质中，包括若干指令用以使得一台计算机设备（可为个人计算机、服务器或者网络设备等）执行本申请各个实施例方法的全部或部分步骤。而前述的存储介质包括：U盘、只读存储器（ROM，Read-Only Memory）、随机存取存储器（RAM，Random Access Memory）、移动硬盘、磁碟或者光盘等各种可以存储程序代码的介质。
以上仅是本申请的优选实施方式，应当指出，对于本技术领域的普通技术人员来说，在不脱离本申请原理的前提下，还可以做出若干改进和润饰，这些改进和润饰也应视为本申请的保护范围。
Claims (3)
1.一种基于混合有限元空间求解板弯曲问题的方法，其特征在于，包括如下求解步骤：
步骤S1，获取单元数据、材料参数、边界条件，其中，单元数据包括：单元形状、节点坐标、单元数量、单元维度，边界条件包括：应力约束、弯矩约束、位移约束、转角约束，材料参数包括：板的厚度、杨氏模量、泊松比、密度；
步骤S2，确定边界条件的类型，并按照预设的处理方式对不同类型的边界条件进行处理，得到载荷向量b和弯矩约束方程组Gx=s；
步骤S3，获取当前单元的积分点、积分权重、单元面积，依据积分点计算k阶拉格朗日基函数在积分点处的值和k-2阶拉格朗日基函数在积分点处的值，其中，k为大于等于3的整数；
步骤S4，获取当前单元的二维对称矩阵空间的张量基，并结合步骤S3得到的k阶拉格朗日基函数在积分点处的值，得到用于求解二维线弹性问题的内蕴混合有限元空间基函数在积分点处的值；
步骤S5，将步骤S4得到的用于求解二维线弹性问题的内蕴混合有限元空间基函数在积分点处的值按照拉格朗日插值点的类型进行分类，将分类后的用于求解二维线弹性问题的内蕴混合有限元空间基函数在积分点处的值进行组合，得到用于求解板弯曲问题的内蕴混合有限元空间基函数在积分点处的值；
步骤S6，确定当前单元的用于求解板弯曲问题的内蕴混合有限元空间基函数的整体自由度和k-2阶拉格朗日基函数的整体自由度；
步骤S7，利用步骤S5所得的用于求解板弯曲问题的内蕴混合有限元空间基函数在各个积分点处的值计算单元能量矩阵，并结合步骤S6所得的用于求解板弯曲问题的内蕴混合有限元空间基函数的整体自由度，构造系数矩阵A；
步骤S8，计算当前单元的k阶拉格朗日基函数在积分点处的二阶导数，并与步骤S4所得的当前单元的二维对称矩阵空间的张量基相乘，得到用于求解二维线弹性问题的内蕴混合有限元空间基函数在积分点处的divDiv值；
步骤S9，将步骤S8得到的用于求解二维线弹性问题的内蕴混合有限元空间基函数在积分点处的divDiv值进行组合，得到用于求解板弯曲问题的内蕴混合有限元空间基函数在积分点处的divDiv值；
步骤S10，利用步骤S3得到的k-2阶拉格朗日基函数在积分点处的值与步骤S9得到的用于求解板弯曲问题的内蕴混合有限元空间基函数在积分点处的divDiv值计算单元divDiv算子矩阵，并将其追加至系数矩阵A中，其中，单元divDiv算子矩阵的表达式写作：
，
其中，l表示当前单元上的积分点个数，表示当前单元上的第i个积分点，表示弯矩变量，表示位移变量，表示积分点对应的积分权重，W表示当前单元的单元面积；
步骤S11，对循环步骤S3至步骤S10所得的系数矩阵A和步骤S2所得的载荷向量b进行处理，得到最终的线性代数方程组Ax=b；
步骤S12，求解线性代数方程组Ax=b，直接得到弯矩与位移结果；
其中，所述步骤S5包括如下步骤：
步骤S51，在拉格朗日插值点的类型为边内部点时，判断用于求解二维线弹性问题的内蕴混合有限元空间基函数是否由纯切向向量组成，若是则确定该用于求解二维线弹性问题的内蕴混合有限元空间基函数属于第一类基函数，否则属于第二类基函数；
步骤S52，在拉格朗日插值点的类型为单元内部点时，确定用于求解二维线弹性问题的内蕴混合有限元空间基函数属于第一类基函数；
步骤S53，在拉格朗日插值点的类型为单元顶点时，确定用于求解二维线弹性问题的内蕴混合有限元空间基函数属于第三类基函数；
步骤S54，构造系数矩阵M，并利用系数矩阵M将步骤S51和步骤S52所得的第一类基函数进行组合，得到第一组用于求解板弯曲问题的内蕴混合有限元空间基函数在积分点处的值；构造系数矩阵N，并利用系数矩阵N将步骤S51所得的第二类基函数和第一组用于求解板弯曲问题的内蕴混合有限元空间基函数进行组合，得到第二组用于求解板弯曲问题的内蕴混合有限元空间基函数在积分点处的值；构造系数矩阵P，并利用系数矩阵P将步骤S53所得的第三类基函数和第一组用于求解板弯曲问题的内蕴混合有限元空间基函数进行组合，得到第三组用于求解板弯曲问题的内蕴混合有限元空间基函数在积分点处的值；
其中，所述步骤S11包括如下步骤：
步骤S111，获取步骤S3至步骤S10所得的系数矩阵A以及步骤S2所得的载荷向量b和弯矩约束方程组Gx=s；
步骤S112，化简弯矩约束方程组Gx=s，得到等价约束：
，
其中，表示m维的约束向量，表示n维的自由向量，是表示m维的常数向量，m和n分别表示约束变量和自由变量的个数；
步骤S113，调整x的排序，得到调整后的x为：
；
步骤S114，对步骤S111所获取的系数矩阵A和载荷向量b进行分块处理，得到分块处理后的系数矩阵A为：
，
以及分块处理后的载荷向量b为：
；
步骤S115，对分块处理后的系数矩阵A进行重排，得到调整后的系数矩阵A为：
，
并将分块处理后的载荷向量b进行重排，得到调整后的载荷向量b为：
。
2.根据权利要求1所述的方法，其特征在于，所述步骤S2包括如下步骤：
步骤S21，确定边界条件的类型；
步骤S22，在边界条件的类型为体力时，调用位移的测试函数空间，并将位移的测试函数空间与体力的积分结果加载到载荷向量b中；
步骤S23，在边界条件的类型为应力时，调用最小二乘法对应力约束进行处理；和/或，在边界条件的类型为弯矩时，调用最小二乘法对弯矩约束进行处理；
步骤S24，在边界条件的类型为位移约束时，调用弯矩的测试函数空间，并将弯矩的测试函数空间与位移约束的积分结果加载至载荷向量b中；和/或，在边界条件的类型为转角约束时，调用弯矩的测试函数空间，并将弯矩的测试函数空间与转角约束的积分结果加载至载荷向量b中。
3.根据权利要求1所述的方法，其特征在于，所述步骤S4包括如下步骤：
步骤S41，确定当前单元上各个拉格朗日插值点的类型，其中，拉格朗日插值点的类型包括：单元顶点、单元内部点、边内部点；
步骤S42，根据拉格朗日插值点的类型确定二维对称矩阵空间的张量基，其中，在拉格朗日插值点的类型为单元顶点和单元内部点时，获取二阶对称张量空间的标准基；在拉格朗日插值点的类型为边内部点时，获取当前单元的三条单元边各自的一个单位切向向量和一个单位法向向量，并利用每条边的一个单位切向向量和一个单位法向向量计算该单元边的边基；
步骤S43，将二维对称矩阵空间的张量基与步骤S3所得的k阶拉格朗日基函数在积分点处的值结合，得到用于求解二维线弹性问题的内蕴混合有限元空间基函数在积分点处的值。
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Citations (7)
| Publication number | Priority date | Publication date | Assignee | Title |
|---|---|---|---|---|
| EP0969396A2 (en) * | 1998-07-01 | 2000-01-05 | Tadahiko Kawai | Numerical analyzing method, element analyzing blocks, and processing apparatus for numerical analysis |
| JP2003316833A (ja) * | 2002-04-25 | 2003-11-07 | Sekisui Chem Co Ltd | 有限要素法の構造解析方法、および、この構造解析方法を実行するプログラム、ならびに、このプログラムを記録した記録媒体 |
| US6876956B1 (en) * | 1999-08-31 | 2005-04-05 | California Institute Of Technology | Method and system for thin-shell finite-element analysis |
| CN116629079A (zh) * | 2023-07-21 | 2023-08-22 | 北京大学 | 混合有限元空间构造及求解线弹性力学问题的方法及装置 |
| CN116805110A (zh) * | 2023-05-04 | 2023-09-26 | 西北工业大学 | 基于二维结构全域变刚度的新型离散能量数值求解方法 |
| CN117094114A (zh) * | 2022-12-22 | 2023-11-21 | 北京强度环境研究所 | 一种理想弹塑性薄板塑性安定上下限载荷的数值计算方法 |
| CN117390778A (zh) * | 2022-12-22 | 2024-01-12 | 北京强度环境研究所 | 一种考虑薄板应变强化效应的塑性安定上限载荷计算方法 |
Family Cites Families (1)
| Publication number | Priority date | Publication date | Assignee | Title |
|---|---|---|---|---|
| US20040194051A1 (en) * | 2004-05-13 | 2004-09-30 | Croft Bryan L. | Finite element modeling system and method for modeling large-deformations using self-adaptive rezoning indicators derived from eigenvalue testing |
-
2024
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Patent Citations (7)
| Publication number | Priority date | Publication date | Assignee | Title |
|---|---|---|---|---|
| EP0969396A2 (en) * | 1998-07-01 | 2000-01-05 | Tadahiko Kawai | Numerical analyzing method, element analyzing blocks, and processing apparatus for numerical analysis |
| US6876956B1 (en) * | 1999-08-31 | 2005-04-05 | California Institute Of Technology | Method and system for thin-shell finite-element analysis |
| JP2003316833A (ja) * | 2002-04-25 | 2003-11-07 | Sekisui Chem Co Ltd | 有限要素法の構造解析方法、および、この構造解析方法を実行するプログラム、ならびに、このプログラムを記録した記録媒体 |
| CN117094114A (zh) * | 2022-12-22 | 2023-11-21 | 北京强度环境研究所 | 一种理想弹塑性薄板塑性安定上下限载荷的数值计算方法 |
| CN117390778A (zh) * | 2022-12-22 | 2024-01-12 | 北京强度环境研究所 | 一种考虑薄板应变强化效应的塑性安定上限载荷计算方法 |
| CN116805110A (zh) * | 2023-05-04 | 2023-09-26 | 西北工业大学 | 基于二维结构全域变刚度的新型离散能量数值求解方法 |
| CN116629079A (zh) * | 2023-07-21 | 2023-08-22 | 北京大学 | 混合有限元空间构造及求解线弹性力学问题的方法及装置 |
Non-Patent Citations (2)
| Title |
|---|
| 弹性薄板弯曲问题的双互易杂交边界点法;谭飞;张友良;张东明;王元汉;;应用力学学报;20111215(06);全文 * |
| 用无网格径向点插值法分析中厚板的弯曲问题;夏平;龙述尧;胡玮军;;湖南大学学报(自然科学版);20081225(12);全文 * |
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