CN107480392A

CN107480392A - 一种基于椭圆非均匀变形的叶片造型方法

Info

Publication number: CN107480392A
Application number: CN201710739257.2A
Authority: CN
Inventors: 佀传瑞; 石竖鲲; 陈志同; 张云; 宁涛; 朱正清; 田野
Original assignee: Zaozhuang Research Institute Of Beijing University Of Aeronautics And Astronautics Machine Innovation Co Ltd; Beihang University
Current assignee: Zaozhuang Research Institute Of Beijing University Of Aeronautics And Astronautics Machine Innovation Co Ltd; Beihang University
Priority date: 2017-08-25
Filing date: 2017-08-25
Publication date: 2017-12-15
Anticipated expiration: 2037-08-25
Also published as: CN107480392B

Abstract

本发明提出了一种基于椭圆非均匀变形的叶片造型方法，通过对椭圆进行保光滑性变形获得复杂叶片月牙形截形线，其每次变形都针对整个封闭叶片二维截型线进行，避免了传统叶片造型中多段曲线在连接点处的曲率波动问题，且将叶片的典型结构特征参数与叶片模型中的几何参数建立简单的对应关系，控制参数较少，利于叶片的设计与优化。

Description

一种基于椭圆非均匀变形的叶片造型方法

技术领域

本发明涉及一种叶片解析造型方法，尤其涉及一种基于椭圆非均匀变形的叶片造型方法，属于叶片造型技术领域。

背景技术

叶片是叶轮机械内能量转换的基本部件，由于工作在高速、高温、高压环境之下，叶片曲面的设计对叶轮机械的气动性能有着决定性作用。以航空发动机叶片为例，其具有结构复杂、品种多、数量大、对发动机性能影响大、设计制造周期长等特点。近年来，叶片型面向宽弦、弯掠、超薄等方向发展，叶片进、排气边则向着椭圆或任意自由曲线方向发展。高的气动性能要求叶片曲面具有高的光滑性，如进、排气边要求曲率具有连续性。目前的叶片造型方法已经可以表达任意复杂的曲面结构，常用方法有直接曲面造型法、曲线堆叠造型法和反设计方法，但是这些方法在描述叶片这种特殊曲面时还存在一系列问题没有很好解决。1)曲面的光顺性问题。传统的二维型线构造往往将叶片二维截型线分为叶盆、叶背、进气边和排气边四段曲线，分别采用多项式、圆锥曲线或者其他解析式进行构造，由于表达式中的可变参数少，曲线不够灵活，渐渐被基于控制点的隐式曲线表达的Bézier曲线、NURBS曲线取代。直接曲面造型法是直接利用三维曲面进行叶片造型的方法，采用的曲面主要有直纹面、Bézier曲面和NURBS曲面。为了在一个表达式中同时描述包含进、排气边大曲率结构和叶身小曲率结构在一起的曲面，每个截面有上百个叶型数据点，如此之多的数据点直接影响曲面的光顺性。曲线堆叠法发展的相对成熟，主要有吸力面和压力面构造、叶片中弧线加厚度分布构造和给定标准叶型函数三种构造方式。但由于各个截面单独设计，导致叶片型面的控制参数过多。由于控制参数过多，难于分析各控制参数对叶片型面的影响，使得叶片型面的控制变得非常困难，在三维成型的时候，会出现前后缘扭曲不规则，中间截面凸出来或者凹进去、曲率波动等现象。这不仅降低了叶片的气动性能，还有可能造成数控加工中刀具轨迹生成算法的失败，给叶片加工带来极大的困难。反设计法是由给定的流场状态参数分布反求出叶型几何的方法，主要有二维反设计和三维反设计法。该方法先给出目标叶片表面速度或者压力载荷分布，再由给出的叶片载荷分布计算出叶片形状，但往往会得到非物理解，如得到的叶型在入口或出口处出现不封闭或者交叉现象。2)气动性能的优化问题。叶片曲面定义中含有的众多型值点都将影响叶形的气动性能，但是这些参数越多，优化的难度就越大。如果能将叶片的典型结构特征参数(弦长、最大厚度位置、最大厚度等)与叶片模型中的几何参数建立简单的对应关系，这样可以显著压缩叶片的形状参数的数量(从上百个到几个)，从而显著压缩优化的工作量。

如果将叶片截形想象成为一条力学上的梁的曲线，我们观察到叶片的月牙形截形线可以通过椭圆经过顺序的塑性变形和弯曲变形获得，因此本发明提出一种通过对椭圆进行变形以获得复杂的月牙形叶片截形线的新方法。

发明内容

本发明的目的是提供一种可用于叶片曲面定义的椭圆非均匀变形造型方法，用于生成高阶光滑的叶片型面。

叶片通常由处于不同高度上的叶片截形线组成，在定义叶片各截面的截形线时如果缺乏统一的参数来协调不同截形线的变化规律，定义出来的曲面往往具有严重波动，同时每条截形线上曲率的变化非常大，因此需要数十乃至数百个离散点才能将叶片定义准确，而过多的点不仅增加了叶片设计优化的难度，也恶化了叶片曲面的光顺性。在气流以数倍马赫速度流过曲面时，曲面的不光滑性会导致气体发生高加速度运动，这种变化会导致气体压力的扰动，这些扰动将影响气动系统工作效率和增加叶片的振动，这对叶片的寿命极为不利。如何生成高度光滑的曲面是一个技术难题。椭圆本身将大小曲率结构统一在一起，本发明提出一种通过对椭圆进行保光滑性变形获得复杂叶片月牙形截形线的方法，该方法的重点在于每次变形都是针对整个封闭叶片二维截型线进行的，避免了传统叶片造型中多段曲线在连接点处的曲率波动问题，且将叶片的典型结构特征参数与叶片模型中的几何参数建立简单的对应关系，控制参数较少，利于叶片的设计与优化。

叶片二维截型线的几何参数如图1所示，包括叶片弦长b、中弧线前后缘角χ_le和χ_te、中弧线最大挠度f_max及其距离前缘点L的距离a、叶片最大厚度C_max及其距离前缘点L的距离e、叶片厚度分布等。本发明采用类似于中弧线加厚度分布的方式对叶片进行造型。根据叶片几何参数，以参数方程式表达的标准椭圆为原始的厚度分布模型，以标准椭圆的横轴为原始的中弧线模型。利用本发明设计的变形函数分别对原始的厚度分布模型和原始的中弧线模型进行变形后得到最终的厚度分布与中弧线模型，然后将得到的最终厚度分布模型沿中弧线法线方向叠加到最终中弧线模型中，得到真实叶片的二维截型线。再通过叶片二维截型线沿叶高方向的分布规律获得最终的高阶光滑的解析表达的三维叶片模型。本发明所述的流程图如图2所示，该方法的具体步骤如下：

步骤一：叶片二维截型线厚度分布模型构造

a)叶片二维截型线原始厚度分布模型

本发明中叶片二维截型线原始厚度分布模型定义为标准的椭圆参数方程：

式中：(x_b0,y_b0)为椭圆坐标；A为椭圆长半轴长，且A＝b/2，b为叶片弦长；B为椭圆短半轴长，且B＝C_max/2，C_max为叶片最大厚度，t为椭圆曲线本身的参数，t∈[0,2π]，在该模型中，t＝0或t＝2π附近定义为叶片后缘区域，t＝0或t＝2π处定义为叶片后缘点T，t＝π附近定义为叶片前缘区域，t＝π处定义为叶片前缘点L。

b)叶片最大厚度相对位置调节

在a)所述的叶片二维截型线原始厚度分布模型中，最大厚度的位置始终处于椭圆的对称轴上，为调节最大厚度的相对位置，对式(1)中的三角函数x_b0施加三角函数的相位变换得叶片最大厚度相对位置调节模型：

式中参数L₁为叶片最大厚度相对位置调节参数，在式(2)中，对三角函数x_b0的相位变换采用的是正弦函数“L₁sint”而不是一般意义上的常数，这样三角函数x_b0的图形可进行非均匀移动，如图3(a)所示。其中，虚线为原始的x_b0图形，粗实线为L₁大于零时x_b1图形，细实线为L₁小于零时x_b1图形。以粗实线为例，x_b0在t＝π/2和t＝3/2π处的值从0下降到某一负数e'，在t＝0、t＝π和t＝2π处保持不变，而其他位置光滑移动。对于y_b1来说，最大厚度值在t＝π/2或t＝3/2π处取得，若叶片最大厚度处距离前缘点的距离为e，将t＝π/2或t＝3/2π带入x_b1，得：

由式(3)求得L₁的取值为：

其中e/b为叶片最大厚度的相位位置。叶片最大厚度相对位置调节的模型如图3(b)所示。其中虚线为L₁等于零，即原始的叶片厚度分布模型，实线为L₁大于零，即叶片最大厚度相对位置调节后的模型。从图中可看出，叶片最大厚度位置已由距离前缘点L距离为A变为距离前缘点L距离为e。

c)叶片整体厚度分布调节

对叶片整体厚度分布的调节主要通过添加式(2)中B值的调节系数函数的方式实现，使得B值在不同位置处的取值进行非均匀变化，从而获得叶片整体厚度分布。为了改变B值的调节系数函数的作用范围，本发明中设计了如式(5)所示的分割函数：

式中：e₁和e₂均为以e为底的指数函数；参数M₁、M₂为分割程度的调节参数；t为分割函数本身参数，t∈[0,2π]，其函数图形如图4所示。其中图4(a)中细实线和粗实线分别为M₁＝1和M₁＝90时函数e₁的图形，图4(b)中细实线和粗实线分别为M₂＝1和M₂＝90时函数e₂的图形。从图中可看出，函数e₁和e₂均以t＝π为对称轴，分别呈下凹和上凸的趋势，最大值均为1，且随着M₁、M₂取值的增加，最小值越来越趋于零，且趋于零的范围越来越大，从而实现调节系数函数作用范围目的。

基于式(5)的分割函数，本发明设计了用于调节整体厚度分布的B值调节系数函数：

式中：函数h₁主要调节后缘到叶片最大厚度处的厚度分布，函数h₂主要调节前缘到叶片最大厚度处的厚度分布，最大厚度值及其相对位置保持不变；d₁和d₂分别为厚度分布的调节参数；L₂和L₃分别修饰函数h₁和函数h₂的最值的大小及其取值位置；H₁为B值的调节系数函数，本发明命名为“整体厚度分布调节函数”；t为调节函数本身参数，t∈[0,2π]。以式(6)中以“sin²[2(t+L₂sin4t)]”为例，其函数图形如图5所示，其中虚线和实线分别为L₂＝0和L₂>0的函数图形。从图5中可看出，函数sin²(2t)经相位的非均匀变化后，在1/2周期内函数值趋于1的部分增多，函数图形由近似“三角形”变成近似“梯形”，相应的函数图形斜率先变陡，再变缓，最后变陡。函数h₁和h₂的函数图形如图6所示，其中图6(a)为函数h₁图像，虚线和实线分别为L₂＝0和L₂>0的函数图形。从图中可看出函数h₁的作用范围主要是t∈[0,π/2]∩[3/2π,2π]，即叶片后缘到叶片最大厚度处，参数L₂可调节函数h₁的最值大小及其位置，从而更加灵活的控制叶片的厚度分布。图6(b)为函数h₂图像，虚线和实线分别为L₃＝0和L₃>0的函数图形。从图中可看出函数h₂的作用范围主要是t∈[π/2,3/2π]，即叶片前缘到叶片最大厚度处，参数L₃可调节函数h₂的最值大小及其位置，从而更加灵活的控制叶片的厚度分布。函数H₁的图形如图7所示。从图中可看出该函数关于t＝π对称，可相对独立的调节叶片前缘点t＝π至叶片最大厚度处t＝1/2π或t＝3/2π及叶片后缘点t＝0或t＝2π至叶片最大厚度处t＝1/2π或t＝3/2π的厚度分布。

叶片整体厚度分布调整后，叶片厚度模型由式(6)变为下式(7)：

其图形如图8所示。其中虚线表示步骤b)中最大厚度相对位置调节后模型，实线为整体厚度分布调节后模型。从图中可看出，整体厚度分布调节后，最大厚度的相对位置保持不变，其他位置的厚度分布均匀变换。

d)叶片前后缘大小的调节

步骤c)中所述的叶片整体厚度分布调节函数对前后缘区域t＝0、t＝π和t＝2π附近的调节作用不明显。为了调节叶片前后缘的大小，本发明基于式(5)的分割函数设计了关于B值的前后缘大小调节函数：

式中：函数h₃主要调节叶片后缘大小，函数h₄主要调节叶片前缘大小，d₃和d₄分别为前后缘大小的调节参数，函数H₂为B值的前后缘大小调节函数，t为调节函数本身参数，t∈[0，2π]。由于前后缘范围较小，所以分割函数e₁和e₂中的参数M₁和M₂均应取较大的值。函数h₃、h₄和H₂的图形如图9所示，其中图9(a)为函数h₁图形，从图中可看出该函数主要作用于t＝0和t＝2π附近，即后缘区域，其余区域近似为零；图9(b)为函数h₂图形，从图中可看出该函数主要作用于t＝π附近，即前缘区域，其余区域近似为零；图9(c)为前后缘大小调节函数H₂图形，该函数综合了函数h₁和函数h₂的作用范围，其余区域近似为1。当作为式(7)中B值的调节系数时，即可调节叶片前后缘大小。

经前后缘大小调节后，叶片最终的厚度分布模型为式(9)：

其图形如图10所示。以后缘大小调节为例，Ⅰ处的放大图显示了后缘大小调节函数的作用，其中实线为后缘大小调节后模型，虚线为后缘大小调节前模型。

步骤二：叶片二维截型线中弧线模型构造

a)叶片二维截型线原始中弧线模型

本发明提出的基于椭圆非均匀变形的叶片造型方法中，定义叶片原始中弧线模型为式(10)：

式中：(x_c0,y_c0)为中弧线坐标；F＝f_max/2；t为中弧线本身参数，t∈[0,2π]。事实上，当t∈[0,π]时，式(10)已可以完全表达中弧线。但为了与叶片厚度分布模型的参数对齐，这里仍取t∈[0,2π]，该中弧线实际上是以参数t＝π为参数分界线的两条完全相同的中弧线重叠在一起。

b)叶片中弧线最大挠度相对位置调节

一般情况下，中弧线最大挠度相对位置与叶片最大厚度相对位置不重合。中弧线最大挠度相对位置的调节与叶片最大厚度相对位置的调节方法类似，也是通过对叶片原始中弧线模型式(10)中坐标的相位进行非均匀变换实现的。不同的是，为保证最终厚度分布模型与最终中弧线模型在x向的参数对齐，对中弧线最大挠度相对位置的调节是在式(2)x_b1的基础上对式(10)中的y_c0的相位进行非均匀变换，如下式(11)所示：

式中L₄为中弧线最大挠度相对位置调节参数。若令中弧线最大挠度处距离前缘点的距离为a，将a值及根据式(4)所求的L₁的值带入式(11)中的x_c1，得：

Acos(t+L₁sint)＝a-A (12)

根据式(12)可求得最大挠度处对应的t值，令该处的t值为t₁，即当t＝t₁时，y_c1应取得最大值。y_c1的函数图形如图11所示，其中虚线为原始的y_c0图形，粗实线为L₄大于零时y_c1图形，细实线为L₄小于零时y_c1图形。以粗实线为例，若使y_c1在t＝t₁时取得最大值，则L₄的值应满足下式：

解得：

中弧线最大挠度相对位置调节的模型如图12所示。其中虚线为原始的中弧线模型，实线为最大挠度相对位置调节后的模型。从图中可看出，中弧线最大挠度位置已由距离前缘点L距离为A变为距离前缘点L距离为a。

c)叶片中弧线前后缘角大小调节

对叶片中弧线前后缘角大小的调节类似于叶片厚度分布中对叶片前后缘大小的调节，也是基于分割函数式(5)设计了类似于式(8)的调节函数，并作为式(11)中F的调节系数函数。不同的是，为调节中弧线最大挠度的相对位置式(11)中y_c1进行了相位的非均匀变换，为保证最大挠度的相对位置保持不变，基于式(8)设计了中弧线前后缘角大小调节函数：

式中：函数h₅主要调节叶片后缘角大小，函数h₆主要调节叶片前缘角大小，d₅和d₆分别为前后缘角大小的调节参数；函数H₃为F值的前后缘角大小调节函数，t为调节函数本身参数，t∈[0,2π]。函数H₃的图形如图13所示，从图中可看出当t＝t₁时调节函数值为1，保证了最大挠度值不变，且该函数对前后缘区域的调节作用最为显著。如图14所示，其中虚线表示前后缘角大小调节之前的模型，实线代表前后缘角大小调节之后的模型。从图中可看出，前后缘角大小调节后，最大挠度值及其相对位置保持不变，其它位置发生了均匀变形，从而改变了前后缘角大小。当作为式(11)中F值的调节系数时，即可调节叶片前后缘角大小。

经前后缘角大小调节后，叶片最终中弧线模型为：

此时叶片最终中弧线模型在t＝0和t＝π的导数为：

式(16)中，当选定参数M₁、M₂后，可求得前后缘角调节参数d₅和d₆的值。改变M₁、M₂值，可获得在满足叶片弦长b、中弧线前后缘角χ_le和χ_te、中弧线最大挠度f_max及相对位置a/b要求下不同的中弧线形状。

步骤三：叶片二维截型线模型

步骤二中生成的最终中弧线模型式(15)的外法线相对y轴的夹角α为：

根据α可将步骤一中生成的叶片最终厚度分布模型式(9)旋转同样的角度后叠加到式(15)上，如图15(a)所示，得叶片二维截型线模型：

步骤四：叶片三维模型的生成

根据叶片二维截型线沿叶高方向Z的分布规律，将叶片二维截型线模型式(18)在叶高方向沿Z轴逆时针旋转角度θ(Z)，沿X轴、Y轴分别平移ΔX(Z)、ΔY(Z),并将式(18)中包含的参数沿叶高方向进行插值并拟合成以高度方向Z为自变量的方程，得叶片某一Z值处叶片二维截型线模型：

如图15(b)所示。整个叶片三维模型可表示为：

如图16所示。

附图说明

图1叶片二维截型线几何参数。

图2本发明所述方法流程图。

图3最大厚度相对位置调节模型。

图4分割函数图形：图4(a)M₁取不同值时函数e₁图形，图4(b)M₂取不同值时函数e₂图形

图5sin²[2(t+L₂sin4t)]函数图形。

图6函数h₁和函数h₂图形：图6(a)h₁函数图形，图6(b)h₂函数图形。

图7整体厚度分布调节函数H₁图形。

图8整体厚度分布调节模型。

图9前后缘大小调节函数：图9(a)后缘大小调节函数h₃图形，图9(b)前缘大小调节函数h₄图形，图9(c)前后缘大小调节函数H₄图形。

图10叶片最终厚度分布模型。

图11y_c1函数图形。

图12中弧线最大挠度相位位置调节模型。

图13前后缘角大小调节函数H₃。

图14前后缘角大小调节模型。

图15叶片二维截型线模型：图15(a)叶片二维截型线，图15(b)某一Z值处叶片二维截型线。

图16叶片三维模型。

具体实施方式：

以某型航空发动机涡轮叶片为例，已知其某一叶片二维截型线几何参数如下：叶片弦长b＝38.296mm；中弧线前后缘角χ_le＝0.225π、χ_te＝0.132π；中弧线最大挠度f_max＝5.808mm及相对位置a/b＝0.4；叶片最大厚度C_max＝5.7mm及相对位置e/b＝0.3；叶片前后缘大小R₁＝0.8mm、R₂＝0.5mm。基于以上几何参数，本发明提出的一种基于椭圆非均匀变形的叶片造型方法步骤如下：

步骤一：叶片二维截型线厚度分布模型构造

a)叶片二维截型线原始厚度分布模型

根据叶片弦长b＝38.296mm、叶片最大厚度C_max＝5.7mm，得叶片原始厚度分布模型为：

如图3(b)中虚线所示。

b)叶片最大厚度相对位置调节

根据e/b＝0.3，由式(4)得参数L₁＝0.411，得叶片最大厚度调整完毕后厚度分布模型：

如图3(b)中实线所示。

c)叶片整体厚度分布调节

根据该叶片的整体厚度分布规律，取分割函数式(5)中分割程度调节参数分别为M₁＝2.8、M₂＝2.2。B值整体厚度分布调节函数H₁中参数分别取d₁＝-0.64、d₂＝-0.41、L₂＝0.1、L₃＝0.1，得B值整体厚度分布调节函数：

函数h₁图形如图6(a)中实线所示，函数h₂图形如图6(b)中实线所示，整体厚度分布调节函数如图7所示.

叶片整体厚度分布调整后，叶片厚度模型为：

整体厚度分布模型如图8中实线所示。

d)叶片前后缘大小的调节

根据该叶片的前后缘大小可知，经分步骤c)的整体厚度分布调节后，叶片前缘大小已满足要求，仅需要调节叶片后缘大小。根据叶片后缘大小，得式(5)中分割程度调节参数为M₁＝90、叶片后缘大小调节函数h₃中参数取值为d₃＝0.8，得B值后缘大小调节函数：

函数h₃图形如图9(a)中实线所示，后缘大小调节如图10所示的局部放大图Ⅰ所示。

经上述四个分步骤后，得叶片最终的厚度分布模型：

步骤二：叶片二维截型线中弧线模型构造

a)叶片二维截型线原始中弧线模型

根据叶片弦长b＝38.296mm、中弧线最大挠度值为f_max＝5.808mm，得原始中弧线模型：

如图12中虚线所示。

b)叶片中弧线最大挠度相对位置调节

根据a/b＝0.4、b＝2A，由式(12)得最大挠度值对应的t₁＝0.43π，将t₁的值带入式(13)得L₄＝0.225，得中弧线最大挠度相对位置调节后模型：

c)叶片中弧线前后缘角大小调节

根据中弧线前后缘角χ_le＝0.225π、χ_te＝0.132π，取分割函数式(5)中分割程度调节参数分别为M₁＝3、M₂＝3，带入式(16)中求得前后缘角大小调节参数d₅＝-0.033、d₆＝-0.188，中弧线前后缘角大小调节函数：

经前后缘角大小调节后，叶片最终中弧线模型为：

如图14中实线所示。

步骤三：叶片二维截型线模型

根据式(17)可求得最终中弧线模型的外法线相对y轴的夹角α为：

根据α可将步骤一中生成的叶片最终厚度分布模型旋转同样的角度后叠加到式(15)最终中弧线上，得叶片基础二维截型线模型：

如图15(a)所示。

步骤四：叶片三维模型的生成

以θ(Z)＝0.005Z，ΔX(Z)＝0.1Z，ΔY(Z)＝0.1Z，Z∈[0,100],其他参数保持不变为例，叶片三维模型可表示为：

某一Z值处的叶片二维截型线如图15(b)所示，整个叶片三维模型如图16所示。

Claims

1.一种基于椭圆非均匀变形的叶片造型方法，其特征在于：该方法的具体步骤如下：

步骤1：叶片二维截型线厚度分布模型构造

a)叶片二维截型线原始厚度分布模型

将叶片二维截型线原始厚度分布模型定义为标准的椭圆参数方程：

式中：(x_b0,y_b0)为椭圆坐标，A为椭圆长半轴长，且A＝b/2，b为叶片弦长，B为椭圆短半轴长，且B＝C_max/2，C_max为叶片最大厚度，t为椭圆曲线本身的参数，t∈[0,2π]，在该模型中，t＝0或t＝2π附近定义为叶片后缘区域，t＝0或t＝2π处定义为叶片后缘点T，t＝π附近定义为叶片前缘区域，t＝π处定义为叶片前缘点L；

b)叶片最大厚度相对位置调节

调节最大厚度的相对位置，对式(1)中的三角函数x_b0施加三角函数的相位变换得叶片最大厚度相对位置调节模型：

式中参数L₁为叶片最大厚度相对位置调节参数，y_b1的最大厚度值在t＝π/2或t＝3/2π处取得，设叶片最大厚度处距离前缘点的距离为e，将t＝π/2或t＝3/2π带入x_b1，得：

由式(3)求得L₁的取值为：

<mrow> <msub> <mi>L</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>=</mo> <mi>arccos</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <mfrac> <mi>e</mi> <mi>b</mi> </mfrac> <mo>-</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mfrac> <mi>&pi;</mi> <mn>2</mn> </mfrac> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>4</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

其中e/b为叶片最大厚度的相位位置；

c)叶片整体厚度分布调节

通过添加式(2)中B值的调节系数函数的方式实现，使得B值在不同位置处的取值进行非均匀变化，从而获得叶片整体厚度分布；首先设计如式(5)所示的分割函数：

式中：e₁和e₂均为以e为底的指数函数，参数M₁、M₂为分割程度的调节参数，t为分割函数本身参数，t∈[0,2π]；

基于式(5)的分割函数，设计用于调节整体厚度分布的B值调节系数函数：

式中：函数h₁主要调节后缘到叶片最大厚度处的厚度分布，函数h₂主要调节前缘到叶片最大厚度处的厚度分布，最大厚度值及其相对位置保持不变；d₁和d₂分别为厚度分布的调节参数，L₂和L₃分别修饰函数h₁和函数h₂的最值的大小及其取值位置，H₁为B值的调节系数函数，即整体厚度分布调节函数，t为调节函数本身参数，t∈[0,2π]；

d)叶片前后缘大小的调节

基于式(5)的分割函数设计关于B值的前后缘大小调节函数：

式中：函数h₃主要调节叶片后缘大小，函数h₄主要调节叶片前缘大小，d₃和d₄分别为前后缘大小的调节参数，函数H₂为B值的前后缘大小调节函数，t为调节函数本身参数，t∈[0,2π]

经前后缘大小调节后，叶片最终的厚度分布模型为式(9)：

步骤2：叶片二维截型线中弧线模型构造

a)叶片二维截型线原始中弧线模型

基于椭圆非均匀变形的叶片造型方法，定义叶片原始中弧线模型为式(10)：

式中：(x_c0,y_c0)为中弧线坐标，F＝f_max/2，f_max为中弧线最大挠度，t为中弧线本身参数，t∈[0,2π]；

b)叶片中弧线最大挠度相对位置调节

在式(2)x_b1的基础上对式(10)中的y_c0的相位进行非均匀变换，如下式(11)所示：

式中：L₄为中弧线最大挠度相对位置调节参数，设中弧线最大挠度处距离前缘点的距离为a，将a值及根据式(4)所求的L₁的值带入式(11)中的x_c1，得：

Acos(t+L₁sint)＝a-A(12)

根据式(12)求得最大挠度处对应的t值，令该处的t值为t₁，即当t＝t₁时，y_c1应取得最大值，此时L₄的值应满足下式：

解得：

c)叶片中弧线前后缘角大小调节

基于式(8)设计中弧线前后缘角大小调节函数：

式中：函数h₅主要调节叶片后缘角大小，函数h₆主要调节叶片前缘角大小，d₅和d₆分别为前后缘角大小的调节参数，函数H₃为F值的前后缘角大小调节函数，F＝f_max/2，f_max为中弧线最大挠度，t为调节函数本身参数，t∈[0,2π]，

经前后缘角大小调节后，叶片最终中弧线模型为：

此时叶片最终中弧线模型在t＝0和t＝π的导数为：

式(16)中，当选定参数M₁、M₂后，可求得前后缘角调节参数d₅和d₆的值，改变M₁、M₂值，可获得在满足叶片弦长b、中弧线前后缘角χ_le和χ_te、中弧线最大挠度f_max及相对位置a/b要求下不同的中弧线形状；

步骤3：叶片二维截型线模型

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根据α将步骤一中生成的叶片最终厚度分布模型式(9)旋转同样的角度后叠加到式(15)上，得叶片二维截型线模型：

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步骤4：叶片三维模型的生成

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整个叶片三维模型可表示为：

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