CN105631158A - 一种基于流线场理论的压气机叶片吸力面建模方法 - Google Patents

Abstract

本发明提供了一种基于流线场理论的压气机叶片吸力面建模方法，涉及动力系统、流线场技术和曲线曲面造型技术。本方法对压气机叶片吸力面数据集进行预处理后，选取NS方程近似简化得到的非线性截断系统，对吸力面的基元叶形进行拟合，得到基元曲线；构造吸力面表面流场，通过线性插值得到基元曲线的中间流场，由非线性同伦的方法得到叶片中间的非线性系统。本发明从流场出发，运用新的建模方式，考虑了曲面的动力学特性，减小了原有建模方法的参数数目，获得了更高的光滑性，对设计优化和加工都有一定的帮助和启发。

Description

一种基于流线场理论的压气机叶片吸力面建模方法

技术领域

本发明涉及动力系统、流线场技术和曲线曲面造型技术，属于计算机辅助几何设计领域，具体是基于流线场理论的压气机叶片吸力面建模方法。

背景技术

制造业一直是国民经济的基础，在国家经济发展中占有至关重要的地位。随着现代汽车、船舶、航空航天等先进制造业对复杂曲面类零部件形状、加工精度、表面质量和加工效率等要求的不断提升，复杂曲面类工件高效高精度的数控加工已成为国家战略性装备与高新技术产业的迫切需求和制造技术的制高点。

影响复杂曲面高精度数控加工的主要因素是：复杂曲面造型与曲面动力学特性分离，曲面设计、分析与加工制造环节分离，轨迹规划与运动规划环节分离，离散刀位表达与轨迹实时插补存在双重误差等。复杂曲面的造型，作为整套加工流程的基础，直接影响了加工部件的质量。复杂曲面造型技术是计算机辅助设计中最为关键的学科分支之一，它随CAD/CAM技术的发展而不断完善，渐趋成熟。

目前计算几何方法生成参数曲线曲面主要手段有：Bezier方法、Coons方法、非均匀有理B样条(NURBS)方法。Bezier方法要求具有插值和光滑拼接的苛刻条件，而NURBS方法计算复杂，若选取权因子不适当，导致很坏的参数化，破坏曲面结构。传统数控加工单纯基于几何形态的插值与逼近方法很难满足曲面的力学特性，同时对加工轨迹规划指导不足。具体而言，上述所提到的方法的处理对象都是数据散点，数据散点之上并没有考虑到曲面的动力学特性。例如，航空航天领域的压气机叶片和机翼等，部件处以复杂的空气流场中。这些流场对压气机叶片和机翼的设计起着至关重要的作用。

理想情况下，这些部件表明的流场跟部件没有分离。我们可以运用部件表面流场来表示部件的形状，这样在极大程度上考虑到了曲面的动力学特性。然而，这样的问题给我们带来了新的数据格式。每个散点处除了位置信息，还包含速度、压强、温度等。上面这些方法并不能处理一条流线的数学表达问题，这就为我们提出了新的挑战。从物理角度出发，流线是空气分子的运动轨迹，是由控制分子运动的一系列方程所决定的。这些方程描述了一些动态的过程，通常以微分方程的形式出现。这些微分方程的形式都比较复杂，例如描述粘性不可压缩流体动量守恒的NS方程，问题本身的复杂性也很高，不能很好地得到它的解曲线(即流线)。

发明内容

为了克服上述缺点，本发明提供了一种基于流线场理论的压气机叶片吸力面建模方法，基于对NS方程的近似简化，得到表征NS方程复杂程度的一组基，再运用这组基对压气机叶片形状进行高精度还原；考虑到压气机叶片上的流线场信息，进一步对还原方法进行优化，继而得到了压气机叶片的造型建模。

本发明提供的基于流线场理论的压气机叶片吸力面建模方法，实现步骤如下：

步骤一，获取压气机叶片吸力面数据集。

步骤二，对吸力面的N条基元叶形进行拟合，得到N个基元曲线。

选用非线性常微分方程进行拟合：其中：(x,y,z)是叶片在三维欧式空间中的坐标，A为系数矩阵；

采用一阶差分格式进行数值拟合，则有：

$\left(\begin{array}{c}{x}_{n+1}-x_n\\ y_{n+1}-y_n\\ z_{n+1}-z_n\end{array}\right)=\mathrm{\Δ}t\left(\begin{array}{cccccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}& a_{14}& a_{15}& a_{16}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}& a_{24}& a_{25}& a_{26}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}& a_{34}& a_{35}& a_{36}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_n\\ y_n\\ z_n\\ x_n{y}_n\\ x_n{z}_n\\ y_n{z}_n\end{array}\right)$

{(x_n,y_n,z_n)}为压气机叶片吸力面数据点集，n为数据点的序列号，n为正整数；Δt表示差分步长；系数矩阵A为3行*6列的矩阵，其中第i行第j列的元素为a_ij，i＝1,2,3，j＝1,2,…,6。

将获取的压气机叶片吸力面数据集中数据进行如下排列：

$\left(\begin{array}{ccc}{x}_2-x_1& \mathrm{...}& x_{n+1}-x_n\\ y_2-y_1& \mathrm{...}& y_{n+1}-y_n\\ z_2-z_1& \mathrm{...}& z_{n+1}-z_n\end{array}\right)=\mathrm{\Δ}tA\left(\begin{array}{ccc}{x}_1& \mathrm{...}& x_{n-1}\\ y_1& \mathrm{...}& y_{n-1}\\ z_1& \mathrm{...}& z_{n-1}\\ x_1{y}_1& \mathrm{...}& x_{n-1}{y}_{n-1}\\ x_1{z}_1& \mathrm{...}& x_{n-1}{z}_{n-1}\\ y_1{z}_1& \mathrm{...}& y_{n-1}{z}_{n-1}\end{array}\right)$

令坐标矩阵 $M=\left(\begin{array}{ccc}{x}_1& \mathrm{...}& x_{n-1}\\ y_1& \mathrm{...}& y_{n-1}\\ z_1& \mathrm{...}& z_{n-1}\\ x_1{y}_1& \mathrm{...}& x_{n-1}{y}_{n-1}\\ x_1{z}_1& \mathrm{...}& x_{n-1}{z}_{n-1}\\ y_1{z}_1& \mathrm{...}& y_{n-1}{z}_{n-1}\end{array}\right),$ 坐标差矩阵 $D=\left(\begin{array}{ccc}{x}_2-x_1& \mathrm{...}& x_{n+1}-x_n\\ y_2-y_1& \mathrm{...}& y_{n+1}-y_n\\ z_2-z_1& \mathrm{...}& z_{n+1}-z_n\end{array}\right),$ 则进一步得到：

ΔtA＝DM^T(MM^T)^-1；

利用压气机叶片吸力面数据集求得ΔtA，结合曲线上的第一个点，通过欧拉折线法还原出整条基元曲线。

步骤三：构造吸力面的整体描述，吸力面的整体描述用S(u,t)表达，u为插值参数，t为流场方向时间参数。对于u，t参数确定的点所在的t-曲线，可用对应的参数矩阵代表。

确定u，t参数确定的点所在的t-曲线对应的非线性动力系统所对应的系数矩阵：

(1)每个基元曲线由相对应的参数矩阵代表；

(2)位于两条基元曲线之间的曲线利用非线性同伦方法获得对应的参数矩阵。

非线性同伦方法：由于表面的流场是光滑过渡的，可以先得到对应于插值参数u的位置的流场，也就是吸力面上t-曲线所对应的流场，该t-曲线所对应的流场通过反求上下两条基元曲线时构造的叶片表面流线场线性插值得到。设两条基元曲线对应的场分别是X1和X2，t是流场方向时间参数；参数u对应的流线所过的场X_u＝X1*(1-u)+X2*u,u∈(0,1)；通过X_u反算出t-曲线所对应的流场A_u。

所述的步骤三中，两条基元曲线之间的曲线利用非线性同伦方法得到对应的参数矩阵；对于u，t参数确定的点所在的t-曲线，设该t-曲线的上下两条基元曲线中坐标矩阵分别为M1、M2，坐标差矩阵分别为D1、D2，表示如下：

$M1=\left(\begin{array}{ccc}x{1}_1& \mathrm{...}& x{1}_{n-1}\\ y{1}_1& \mathrm{...}& y{1}_{n-1}\\ z{1}_1& \mathrm{...}& z{1}_{n-1}\\ x{1}_{1}y{1}_1& \mathrm{...}& x{1}_{n-1}y{1}_{n-1}\\ x{1}_{1}z{1}_1& \mathrm{...}& x{1}_{n-1}z{1}_{n-1}\\ y{1}_{1}z{1}_1& \mathrm{...}& y{1}_{n-1}z{1}_{n-1}\end{array}\right),M2=\left(\begin{array}{ccc}x{2}_1& \mathrm{...}& x{2}_{n-1}\\ y{2}_1& \mathrm{...}& y{2}_{n-1}\\ z{2}_1& \mathrm{...}& z{2}_{n-1}\\ x{2}_{1}y{2}_1& \mathrm{...}& x{2}_{n-1}y{2}_{n-1}\\ x{2}_{1}z{2}_1& \mathrm{...}& x{2}_{n-1}z{2}_{n-1}\\ y{2}_{1}z{2}_1& \mathrm{...}& y{2}_{n-1}z{2}_{n-1}\end{array}\right)$

$D1=\left(\begin{array}{ccc}x{1}_2-x{1}_1& \mathrm{...}& x{1}_n-x{1}_{n-1}\\ y{1}_2-y{1}_1& \mathrm{...}& y{1}_n-y{1}_{n-1}\\ z{1}_2-z{1}_1& \mathrm{...}& z{1}_n-z{1}_{n-1}\end{array}\right),D2=\left(\begin{array}{ccc}x{2}_2-x{2}_1& \mathrm{...}& x{2}_n-x{2}_{n-1}\\ y{2}_2-y{2}_1& \mathrm{...}& y{2}_n-y{2}_{n-1}\\ z{2}_2-z{2}_1& \mathrm{...}& z{2}_n-z{2}_{n-1}\end{array}\right)$

则有：ΔtA_u＝D_m*M_m ^T*(M_m*M_m ^T)^-1

其中，矩阵D_m＝D1*(1-u)+D2*u,M_m＝M1*(1-u)+M2*u,u∈(0,1)；

A_u、D_m、M_m分别表示该t-曲线的参数矩阵、坐标矩阵、坐标差矩阵。

本发明的优点与积极效果在于：本发明方法从流场出发，运用新的建模方式，考虑了曲面的动力学特性，减小了原有建模方法的参数数量，获得了更高的光滑性，对设计优化和加工都有一定的帮助和启发。本发明方法不仅从几何上有更高的光顺性而且融入了物理模型，使设计更具科学性，便于之后的优化设计和进一步的加工过程。

附图说明

图1是本发明的压气机叶片吸力面建模方法的整体流程示意图；

图2是本发明实施例中叶片吸力面的基元曲线拟合效果示意图；

图3是本发明实施例中叶片吸力面的拟合效果示意图。

具体实施方式

下面将结合附图和实施例对本发明作进一步的详细说明。

本发明提供的一种基于流线场理论的压气机叶片吸力面建模方法，如图1所示，包括以下几个步骤：

步骤一：数据点的获得和预处理。

本发明对压气机叶片初步设计得到的数据进行处理，获取压气机叶片吸力面数据集导入。

压气机叶片是rotor67转子，是国外充分做了实验、几何公开、用来提供给各研究机构做研究的压气机转子叶片。在下面文献中提供了压气机叶片的详细的数据、几何特征描述和气动实验性能等。

StrazisarAJ,etal.LaserAnemometerMeasurementsinaTransonicAxial-FlowFanRotor[J].NASATP2879,1989。

对数据进行预处理，包括：将得到的公开数据集统一尺度；通过适当的坐标变换，置于合适的坐标系下；去掉冗余或噪声数据。由于本方法是坐标依赖的，所以恰当的坐标系可以得到更好的效果，可根据需要来进行坐标变换。

步骤二：对吸力面的N条基元叶形进行拟合。

本发明中所用的拟合方程选取的是对NS方程近似简化得到的非线性截断系统，选用非线性常微分方程进行拟合，表示如下：

${\left(\stackrel{\·}{x},\stackrel{\·}{y},\stackrel{\·}{z}\right)}^T=A{\left(x,y,z,xy,xz,yz\right)}^T---\left(1\right)$

其中：(x,y,z)是叶片在三维欧式空间中的坐标，A为系数矩阵。

数值拟合时，采用最简单的一阶差分格式，则原系统变成如下形式：

$\left(\begin{array}{c}{x}_{n+1}-x_n\\ y_{n+1}-y_n\\ z_{n+1}-z_n\end{array}\right)=\mathrm{\Δ}t\left(\begin{array}{cccccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}& a_{14}& a_{15}& a_{16}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}& a_{24}& a_{25}& a_{26}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}& a_{34}& a_{35}& a_{36}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_n\\ y_n\\ z_n\\ x_n{y}_n\\ x_n{z}_n\\ y_n{z}_n\end{array}\right)---\left(2\right)$

{(x_n,y_n,z_n)}为压气机叶片吸力面数据点集，n表示数据点的序列号，即数据点采样号，n为正整数；Δt表示差分步长；系数矩阵A为3行*6列的矩阵，其中第i行第j列的元素为a_ij。

对式(2)，只要求得ΔtA就可通过数据点中的第一个点还原出整条曲线了。为此，将原始数据集做如下排列：

$\left(\begin{array}{ccc}{x}_2-x_1& \mathrm{...}& x_{n+1}-x_n\\ y_2-y_1& \mathrm{...}& y_{n+1}-y_n\\ z_2-z_1& \mathrm{...}& z_{n+1}-z_n\end{array}\right)=\mathrm{\Δ}tA\left(\begin{array}{ccc}{x}_1& \mathrm{...}& x_{n-1}\\ y_1& \mathrm{...}& y_{n-1}\\ z_1& \mathrm{...}& z_{n-1}\\ x_1{y}_1& \mathrm{...}& x_{n-1}{y}_{n-1}\\ x_1{z}_1& \mathrm{...}& x_{n-1}{z}_{n-1}\\ y_1{z}_1& \mathrm{...}& y_{n-1}{z}_{n-1}\end{array}\right)---\left(3\right)$

令坐标矩阵 $M=\left(\begin{array}{ccc}{x}_1& \mathrm{...}& x_{n-1}\\ y_1& \mathrm{...}& y_{n-1}\\ z_1& \mathrm{...}& z_{n-1}\\ x_1{y}_1& \mathrm{...}& x_{n-1}{y}_{n-1}\\ x_1{z}_1& \mathrm{...}& x_{n-1}{z}_{n-1}\\ y_1{z}_1& \mathrm{...}& y_{n-1}{z}_{n-1}\end{array}\right),$ 坐标差矩阵 $D=\left(\begin{array}{ccc}{x}_2-x_1& \mathrm{...}& x_{n+1}-x_n\\ y_2-y_1& \mathrm{...}& y_{n+1}-y_n\\ z_2-z_1& \mathrm{...}& z_{n+1}-z_n\end{array}\right),$ 在式(3)左右两边同时乘以M^T,其中MM^T是实对称矩阵，若M是行满秩的，则MM^T是可逆的。等式两边同时乘以MM^T的逆，则可以得到：

ΔtA＝DM^T(MM^T)^-1(4)

这样即可求得ΔtA，知道曲线上的第一个点，便能通过欧拉折线法还原出整条曲线。

本实施例中对吸力面15条基元叶形数据进行拟合，即N＝15，实现过程如步骤2.1～步骤2.2。

步骤2.1，计算原始压气机叶片吸力面数据点的系数矩阵A：每一条基元叶形有71个点，将第1到第70个点的坐标按列排列，得到矩阵Mh，将第2到第71个点的坐标按列排列，得到矩阵Nh，令矩阵D＝Nh-Mh；然后扩展矩阵Mh，在坐标的下面添加上坐标分量乘积的交叉项，即x₁y₁、x₁z₁、y₁z₁、x₂y₂、x₂z₂、y₂z₂……x₇₀y₇₀、x₇₀z₇₀、y₇₀z₇₀，从而得到矩阵M，于是得到系数矩阵A＝D*M^T*(M*M^T)^-1。对上述过程进行循环，得到吸力面15条基元叶形曲线的15个3*6的系数矩阵，即A1,A2,...,A15。

步骤2.2，以第一个点为非线性常微系统的初始点(x₁,y₁,z₁)^T，利用欧拉折线法，有

$\left(\begin{array}{c}{x}_{n+1}\\ y_{n+1}\\ z_{n+1}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{x}_n\\ y_n\\ z_n\end{array}\right)+\mathrm{\Δ}t\left(\begin{array}{cccccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}& a_{14}& a_{15}& a_{16}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}& a_{24}& a_{25}& a_{26}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}& a_{34}& a_{35}& a_{36}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_n\\ y_n\\ z_n\\ x_n{y}_n\\ x_n{z}_n\\ y_n{z}_n\end{array}\right)---\left(5\right)$

依次获得拟合后的基元曲线上的点，重复上述工作得到15条吸力面拟合效果图，如图2所示。

步骤三：在步骤二的基础上，构造吸力面的整体描述。吸力面的整体描述用S(u,t)表达，u为插值参数，t为流场方向时间参数；对于u，t参数确定的点所在的t-曲线，用对应的参数矩阵代表。

进行步骤二的N个基元曲线拟合后，得到了N个常微分方程用来表述压气机叶片吸力面的基元曲线，每个基元曲线可由相对应的参数矩阵A代表，两条基元曲线之间的曲线的参数矩阵则由非线性同伦方法给出。

非线性同伦方法：由于表面的流场是光滑过渡的，可以先得到对应于参数u的位置的流场，也就是曲面上t-曲线所对应的流场，该流场由步骤二中反求上下两条基元曲线时构造的叶片表面流线场线性插值得到。设A1,A2曲线对应的场分别是X1,X2，则参数u对应的流线所过的场X_u＝X1*(1-u)+X2*u,u∈(0,1)，通过该流场X_u可以反算出A_u。

对于u，t参数确定的点所在的t-曲线，设该t-曲线的上下两个基元曲线中，坐标矩阵分别为M1、M2，坐标差矩阵分别为D1、D2，表示如下：

$M1=\left(\begin{array}{ccc}x{1}_1& \mathrm{...}& x{1}_{n-1}\\ y{1}_1& \mathrm{...}& y{1}_{n-1}\\ z{1}_1& \mathrm{...}& z{1}_{n-1}\\ x{1}_{1}y{1}_1& \mathrm{...}& x{1}_{n-1}y{1}_{n-1}\\ x{1}_{1}z{1}_1& \mathrm{...}& x{1}_{n-1}z{1}_{n-1}\\ y{1}_{1}z{1}_1& \mathrm{...}& y{1}_{n-1}z{1}_{n-1}\end{array}\right),M2=\left(\begin{array}{ccc}x{2}_1& \mathrm{...}& x{2}_{n-1}\\ y{2}_1& \mathrm{...}& y{2}_{n-1}\\ z{2}_1& \mathrm{...}& z{2}_{n-1}\\ x{2}_{1}y{2}_1& \mathrm{...}& x{2}_{n-1}y{2}_{n-1}\\ x{2}_{1}z{2}_1& \mathrm{...}& x{2}_{n-1}z{2}_{n-1}\\ y{2}_{1}z{2}_1& \mathrm{...}& y{2}_{n-1}z{2}_{n-1}\end{array}\right);$

$D1=\left(\begin{array}{ccc}x{1}_2-x{1}_1& \mathrm{...}& x{1}_n-x{1}_{n-1}\\ y{1}_2-y{1}_1& \mathrm{...}& y{1}_n-y{1}_{n-1}\\ z{1}_2-z{1}_1& \mathrm{...}& z{1}_n-z{1}_{n-1}\end{array}\right),D2=\left(\begin{array}{ccc}x{2}_2-x{2}_1& \mathrm{...}& x{2}_n-x{2}_{n-1}\\ y{2}_2-y{2}_1& \mathrm{...}& y{2}_n-y{2}_{n-1}\\ z{2}_2-z{2}_1& \mathrm{...}& z{2}_n-z{2}_{n-1}\end{array}\right);$

则有：ΔtA_u＝D_m*M_m ^T*(M_m*M_m ^T)^-1；A_u、D_m、M_m分别表示该t-曲线的参数矩阵、坐标矩阵、坐标差矩阵；其中，D_m＝D1*(1-u)+D2*u,M_m＝M1*(1-u)+M2*u,u∈(0,1)。

至此曲线上任意一个点都由S(u,t)表出，从而完成了压气机叶片吸力面造型。

根据步骤二的工作，可知实际上将每一条基元曲线表达成了三维空间中的一条单参数曲线X(t)＝(x(t),y(t),z(t))^T。而对吸力面的整体描述则是一个形如S(u,t)的表达，当然解析形式是无法得到的，u表示插值参数，t是流场方向时间参数。下面给出的就是给定参数u和t如何得到其对应的S(u,t)的过程，如步骤3.1～步骤3.3所示。

步骤3.1，计算A_u，即计算u，t参数确定的点所在的t-曲线对应的非线性动力系统所对应的系数矩阵。本发明实施例中得到的S(u,t)，设置参数u的范围是(1,15)，t的取值范围是(0,70)。压气机叶片吸力面数据点集{(x_n,y_n,z_n)}有15条基元曲线，每条71个点，计算A_u时需确定，其对应的流线所在的流线究竟位于哪两条之间，确定方法是：首先对u向下取整，得到[u]，然后获得u的小数部分{u}，设第[u]条基元曲线中的数据点对应于矩阵M1，第[u]+1条基元曲线中的数据点对应于矩阵M2，利用第[u]条与第[u]+1条基元曲线用来确定流场A_u。第[u]条基元曲线中的数据点为{(x1_n,y1_n,z1_n)}，第[u]+1条基元曲线中的数据点为{(x2_n,y2_n,z2_n)}，n的取值从1到71，则可得到如下矩阵：

$M1=\left(\begin{array}{ccc}x{1}_1& \mathrm{...}& x{1}_{n-1}\\ y{1}_1& \mathrm{...}& y{1}_{n-1}\\ z{1}_1& \mathrm{...}& z{1}_{n-1}\\ x{1}_{1}y{1}_1& \mathrm{...}& x{1}_{n-1}y{1}_{n-1}\\ x{1}_{1}z{1}_1& \mathrm{...}& x{1}_{n-1}z{1}_{n-1}\\ y{1}_{1}z{1}_1& \mathrm{...}& y{1}_{n-1}z{1}_{n-1}\end{array}\right),M2=\left(\begin{array}{ccc}x{2}_1& \mathrm{...}& x{2}_{n-1}\\ y{2}_1& \mathrm{...}& y{2}_{n-1}\\ z{2}_1& \mathrm{...}& z{2}_{n-1}\\ x{2}_{1}y{2}_1& \mathrm{...}& x{2}_{n-1}y{2}_{n-1}\\ x{2}_{1}z{2}_1& \mathrm{...}& x{2}_{n-1}z{2}_{n-1}\\ y{2}_{1}z{2}_1& \mathrm{...}& y{2}_{n-1}z{2}_{n-1}\end{array}\right);$

$D1=\left(\begin{array}{ccc}x{1}_2-x{1}_1& \mathrm{...}& x{1}_n-x{1}_{n-1}\\ y{1}_2-y{1}_1& \mathrm{...}& y{1}_n-y{1}_{n-1}\\ z{1}_2-z{1}_1& \mathrm{...}& z{1}_n-z{1}_{n-1}\end{array}\right),D2=\left(\begin{array}{ccc}x{2}_2-x{2}_1& \mathrm{...}& x{2}_n-x{2}_{n-1}\\ y{2}_2-y{2}_1& \mathrm{...}& y{2}_n-y{2}_{n-1}\\ z{2}_2-z{2}_1& \mathrm{...}& z{2}_n-z{2}_{n-1}\end{array}\right);$

则有：A_u＝D_m*M_m ^T*(M_m*M_m ^T)^-1；此处Δt设置为1；

其中，D_m＝D1*(1-{u})+D2*{u},M_m＝M1*(1-{u})+M2*{u},{u}∈(0,1)。

步骤3.2，计算初始点X0_u，设第[u]条基元曲线中的第一个数据点是X0₁＝(x1₁,y1₁,z1₁)^T，第[u]+1条基元曲线中的第一个数据点是X0₂＝(x2₁,y2₁,z2₁)^T，则

X0_u＝X0₁*(1-{u})+X0₂*{u}；

步骤3.3，以X0_u为非线性常微系统的初始点(x₁,y₁,z₁)^T，利用欧拉折线法，即

$\left(\begin{array}{c}{x}_{n+1}\\ y_{n+1}\\ z_{n+1}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{x}_n\\ y_n\\ z_n\end{array}\right)+\mathrm{\Δ}t\left(\begin{array}{cccccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}& a_{14}& a_{15}& a_{16}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}& a_{24}& a_{25}& a_{26}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}& a_{34}& a_{35}& a_{36}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_n\\ y_n\\ z_n\\ x_n{y}_n\\ x_n{z}_n\\ y_n{z}_n\end{array}\right)$

控制好每一步的步长Δt_n，使得经过T步后，这样就得到了 $S\left(u,t\right)=\left(\begin{array}{c}{x}_T\\ y_T\\ z_T\end{array}\right).$ 本发明实施例中T取71。

在拟合得到基元曲线后，判断拟合效果是否达到要求，如果没有，则根据观察和计算拟合曲线与原基元曲线的误差，调整吸力面与压力面的待拟合点的数目，以得到更好的拟合效果。如果达到要求了，则进一步获得吸力面的整体描述S(u,t)，最后可将步骤三中获得的数据进行可视化，观察效果，见图3所示。

Claims (3)

1.一种基于流线场理论的压气机叶片吸力面建模方法，其特征在于，包括如下步骤：

步骤一，获取压气机叶片吸力面数据集；

步骤二，对吸力面的N条基元叶形进行拟合，获得N个基元曲线；

选用非线性常微分方程进行拟合：其中：(x,y,z)是叶片在三维欧式空间中的坐标，A为系数矩阵；

采用一阶差分格式进行数值拟合，则有：

$\left(\begin{array}{c}{x}_{n+1}-x_n\\ y_{n+1}-y_n\\ z_{n+1}-z_n\end{array}\right)=\mathrm{\Δ}t\left(\begin{array}{cccccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}& a_{14}& a_{15}& a_{16}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}& a_{24}& a_{25}& a_{26}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}& a_{34}& a_{35}& a_{36}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_n\\ y_n\\ z_n\\ x_n{y}_n\\ x_n{z}_n\\ y_n{z}_n\end{array}\right)$

{(x_n,y_n,z_n)}为压气机叶片吸力面数据点集，n为数据点的序列号，n为正整数；Δt表示差分步长；系数矩阵A为3行*6列的矩阵，其中第i行第j列的元素为a_ij，i＝1,2,3，j＝1,2,…,6；

将获取的压气机叶片吸力面数据集中数据进行如下排列：

$\left(\begin{array}{ccc}{x}_2-x_1& \mathrm{...}& x_{n+1}-x_n\\ y_2-y_1& \mathrm{...}& y_{n+1}-y_n\\ z_2-z_1& \mathrm{...}& z_{n+1}-z_n\end{array}\right)=\mathrm{\Δ}tA\left(\begin{array}{ccc}{x}_1& ...& x_{n-1}\\ y_1& ...& y_{n-1}\\ z_1& ...& z_{n-1}\\ x_1{y}_1& ...& x_{n-1}{y}_{n-1}\\ x_1{z}_1& ...& x_{n-1}{z}_{n-1}\\ y_1{z}_1& ...& y_{n-1}{z}_{n-1}\end{array}\right)$

令坐标矩阵 $M=\left(\begin{array}{ccc}{x}_1& \mathrm{...}& x_{n-1}\\ y_1& \mathrm{...}& y_{n-1}\\ z_1& \mathrm{...}& z_{n-1}\\ x_1{y}_1& \mathrm{...}& x_{n-1}{y}_{n-1}\\ x_1{z}_1& \mathrm{...}& x_{n-1}{z}_{n-1}\\ y_1{y}_1& \mathrm{...}& y_{n-1}{z}_{n-1}\end{array}\right),$ 坐标差矩阵 $D=\left(\begin{array}{ccc}{x}_2-x_1& \mathrm{...}& x_{n+1}-x_n\\ y_2-y_1& \mathrm{...}& y_{n+1}-y_n\\ z_2-z_1& \mathrm{...}& z_{n+1}-z_n\end{array}\right),$ 则进一步得到：ΔtA＝DM^T(MM^T)^-1；

利用压气机叶片吸力面数据集求得ΔtA，结合曲线上的第一个点，通过欧拉折线法还原出整条基元曲线；

步骤三：构造吸力面的整体描述，吸力面的整体描述用S(u,t)表达，u为插值参数，t为流场方向时间参数；对于u，t参数确定的点所在的t-曲线，用对应的参数矩阵代表；

位于两条基元曲线之间的曲线利用非线性同伦方法得到对应的参数矩阵；对于u，t参数确定的点所在的t-曲线，设该t-曲线的上下两条基元曲线中坐标矩阵分别为M1、M2，坐标差矩阵分别为D1、D2，表示如下：

$M1=\left(\begin{array}{ccc}x{1}_1& \mathrm{...}& x{1}_{n-1}\\ y{1}_1& \mathrm{...}& y{1}_{n-1}\\ z{1}_1& \mathrm{...}& z{1}_{n-1}\\ x{1}_{1}y{1}_1& \mathrm{...}& x{1}_{n-1}y{1}_{n-1}\\ x{1}_{1}z{1}_1& \mathrm{...}& x{1}_{n-1}z{1}_{n-1}\\ y{1}_{1}y{1}_1& \mathrm{...}& y{1}_{n-1}z{1}_{n-1}\end{array}\right),M2=\left(\begin{array}{ccc}x{2}_1& \mathrm{...}& x{2}_{n-1}\\ y{2}_1& \mathrm{...}& y{2}_{n-1}\\ z{2}_1& \mathrm{...}& z{2}_{n-1}\\ x{2}_{1}y{2}_1& \mathrm{...}& x{2}_{n-1}y{2}_{n-1}\\ x{2}_{1}z{2}_1& \mathrm{...}& x{2}_{n-1}z{2}_{n-1}\\ y{2}_{1}y{2}_1& \mathrm{...}& y{2}_{n-1}z{2}_{n-1}\end{array}\right)$

$D1=\left(\begin{array}{ccc}x{1}_2-x{1}_1& ...& x{1}_n-x{1}_{n-1}\\ y{1}_2-y{1}_1& ...& y{1}_n-y{1}_{n-1}\\ z{1}_2-z{1}_1& ...& z{1}_n-z{1}_{n-1}\end{array}\right),D2=\left(\begin{array}{ccc}x{2}_2-x{2}_1& ...& x{2}_n-x{2}_{n-1}\\ y{2}_2-y{2}_1& ...& y{2}_n-y{2}_{n-1}\\ z{2}_2-z{2}_1& ...& z{2}_n-z{2}_{n-1}\end{array}\right)$

{(x1_n,y1_n,z1_n)}和{(x2_n,y2_n,z2_n)}分别为上下两条基元曲线中的数据点；

则有：ΔtA_u＝D_m*M_m ^T*(M_m*M_m ^T)^-1；

其中，矩阵D_m＝D1*(1-u)+D2*u,M_m＝M1*(1-u)+M2*u,u∈(0,1)；

A_u、D_m、M_m分别表示该t-曲线的参数矩阵、坐标矩阵、坐标差矩阵。

2.根据权利要求1所述的一种基于流线场理论的压气机叶片吸力面建模方法，其特征在于，所述的步骤二中，对吸力面15条基元叶形进行拟合，步骤如下：

步骤2.1，计算原始压气机叶片吸力面数据点的系数矩阵A方法为：每一条基元叶形有71个点，将第1到第70个点的坐标按列排列，得到矩阵Mh，将第2到第71个点的坐标按列排列，得到矩阵Nh，令矩阵D＝Nh-Mh；然后扩展矩阵Mh，添加坐标分量乘积的交叉项，得到矩阵M，进而得到系数矩阵A＝D*M^T*(M*M^T)^-1；

根据计算系数矩阵的方法得到各基元曲线的3*6的系数矩阵；

步骤2.2，以第一个点为非线性常微系统的初始点(x₁,y₁,z₁)^T，利用欧拉折线法，有

$\left(\begin{array}{c}{x}_{n+1}\\ y_{n+1}\\ z_{n+1}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{x}_n\\ y_n\\ z_n\end{array}\right)+\mathrm{\Δ}t\left(\begin{array}{cccccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}& a_{14}& a_{15}& a_{16}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}& a_{24}& a_{25}& a_{26}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}& a_{34}& a_{35}& a_{36}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_n\\ y_n\\ z_n\\ x_n{y}_n\\ x_n{z}_n\\ y_n{z}_n\end{array}\right)$

依次获得拟合后的基元曲线上的点，重复上述工作得到15条吸力面基元曲线的常微分方程拟合。

3.根据权利要求1或2所述的一种基于流线场理论的压气机叶片吸力面建模方法，其特征在于，所述的步骤三中，拟合得到吸力面15条基元叶形后，获取u，t参数确定的点所在的t-曲线的步骤如下：

步骤3.1，计算u，t参数确定的点所在的t-曲线对应的非线性动力系统所对应的系数矩阵A_u；设置参数u的范围是(1,15)，t的取值范围是是(0,70)；

首先对u向下取整，得到[u]，然后获得u的小数部分{u}，设第[u]条基元曲线中的数据点对应于矩阵M1，第[u]1+条基元曲线中的数据点对应于矩阵M2，利用第[u]条与第[u]+1条基元曲线用来确定参数矩阵A_u；

设置Δt为1，则A_u＝D_m*M_m ^T*(M_m*M_m ^T)^-1；

其中，D_m＝D1*(1-{u})+D2*{u},M_m＝M1*(1-{u})+M2*{u},{u}∈(0,1)；

步骤3.2，计算初始点X0_u，设第[u]条基元曲线中的第一个数据点是X0₁＝(x1₁,y1₁,z1₁)^T，第[u]+1条基元曲线中的第一个数据点是X0₂＝(x2₁,y2₁,z2₁)^T，则

X0_u＝X0₁*(1-{u})+X0₂*{u}；

步骤3.3，以X0_u为非线性常微系统的初始点(x₁,y₁,z₁)^T，利用欧拉折线法，即

$\left(\begin{array}{c}{x}_{n+1}\\ y_{n+1}\\ z_{n+1}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{x}_n\\ y_n\\ z_n\end{array}\right)+{\mathrm{\Δt}}_n\left(\begin{array}{cccccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}& a_{14}& a_{15}& a_{16}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}& a_{24}& a_{25}& a_{26}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}& a_{34}& a_{35}& a_{36}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_n\\ y_n\\ z_n\\ x_n{y}_n\\ x_n{z}_n\\ y_n{z}_n\end{array}\right)$

控制步长Δt_n，使得经过T步后，则得到 $S(u,t)=\left(\begin{array}{c}{x}_T\\ y_T\\ z_T\end{array}\right),$ 其中T取71。