CN107332244A - 三相四线制npc型三电平sapf的非线性控制方法 - Google Patents

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Abstract

本发明涉及一种三相四线制NPC型三电平SAPF的非线性控制方法，通过基于Lyapunov函数的非线性控制内环，使被控量补偿电流完全解耦，能够改善系统的动静态特性；通过比例积分PI的外环电压控制，能有效的使直流侧总电压维持在设定值；通过引入调节因子f使直流侧电压保持平衡。与现有技术相比，本发明具有理论先进、动静态性能良好等优点。

Description

三相四线制NPC型三电平SAPF的非线性控制方法
技术领域
本发明涉及一种微电网技术，特别涉及一种三相四线制NPC型三电平SAPF基于Lyapunov函数的非线性控制方法。
背景技术
近年来，随着整流、变频装置的广泛使用和半导体非线性负荷的快速增加，使得电力系统面临着越来越严重的谐波污染问题。采用并联型有源滤波器(Shunt Active PowerFilter,SAPF)对电网的谐波进行动态实时补偿，已成为最有效、最具前景的途径之一。
三电平SAPF相比于传统的两电平SAPF有许多优点，例如具有较低的开关频率和损耗、高系统耐压、在较高电压系统中获得了应用等。三电平SAPF的拓扑结构主要有二极管钳位(Neutral-Point Clamped,NPC)型、飞跨电容型和级联H桥型，其中NPC型所需的直流侧电容数量和所需解决的直流侧电压不平衡问题最少、鲁棒性最好。目前，国内外的研究大多是基于三相三线制以及单相半桥系统，而对于三相四线制系统的研究则较为有限。但三相四线制系统增加了对零序分量的处理，不仅能对三相平衡系统的谐波和无功进行补偿，而且能对电网不平衡时非线性负荷产生的零序谐波分量进行补偿，因此本发明选择三相四线制NPC型三电平SAPF作为研究对象。
NPC型三电平拓扑结构虽具有许多突出的优点，但中点电压不平衡也是其固有的缺陷。中点电压波动会降低系统的稳定性，严重时甚至会使系统无法正常工作，因此必须对其进行控制。通过调节SVPWM调制算法中的正负小矢量的作用时间即可实现中点电压平衡控制。由于一对冗余小矢量对直流侧中点电位的影响是互补的，因此，本文采用基于电荷平衡原理的控制方法，通过引入平衡因子f调节一对冗余小矢量的作用时间来实现对中点电位的实时控制。
稳定有效的控制器设计是SAPF理论研究的关键所在。传统的控制策略主要依据局部线性化方法，当系统参数或负载发生变化时，控制性能不稳定，且由于SAPF的动态方程是非线性的，因此对SAPF的控制效果不佳。近20年来迅速发展的非线性控制系统的微分几何理论为这一问题提供了可行性的解决方案。例如，有文献提出利用状态反馈精确线性化方法建立其线性化模型，可实现对SAPF三相进行解耦控制，但该方法需建立精确的系统模型；有文献提出滑模控制方法，该控制策略虽能取得较好的补偿效果，但其存在高频抖动的问题；有文献提出基于无源理论的自适应滑模控制，能实现谐波电流和直流侧电压的快速跟踪控制，但只能实现平衡负荷下的控制。有文献将基于李雅普诺夫(Lyapunov)函数的非线性控制方法引入到SAPF中，可实现负载变化时的实时控制，但控制对象为小功率的单相SAPF。本发明针对该缺陷，将基于李雅普诺夫函数的非线性控制方法引入到中、高功率的三相四线制SAPF中。
发明内容
本发明是针对上述现有技术存在的缺陷的问题，提出了一种三相四线制NPC型三电平SAPF的非线性控制方法，能实现对电网平衡/不平衡下三相四线制SAPF的控制，减小谐波电流且维持直流侧电压的平衡与稳定，解决了目前常用方法存在控制精度不高、谐波较大、算法复杂，且一些方法仅能用于平衡状态、小功率、单相的SAPF上的问题。
本发明的技术方案为：一种三相四线制NPC型三电平SAPF的非线性控制方法，三相四线制NPC型三电平并联型有源滤波器SAPF并联在逆变器与电网之间，基于李雅普诺夫Lyapunov函数的非线性控制内环，通过比例积分PI的外环电压控制，引入调节因子f，调节SVPWM调制算法中的正负小矢量的作用时间；具体包括如下步骤：
步骤S1：运用基尔霍夫定律和状态空间平均法，选取SAPF输出三相补偿电流ifi和直流侧电容Cf1两端的电压Vdc1、直流侧电容Cf2两端的电压Vdc2为状态变量，下标i＝a,b,c，可得三相四线制NPC型三电平SAPF在三相静止abc坐标系下的数学模型为：
式中：VLi为网侧公共连接点(PCC)处的电压；Lf是SAPF输出侧滤波电感；Rf是SAPF输出侧串联电阻；Cf是直流侧电容；Vdc1、Vdc2分别为SAPF直流侧电容Cf1、Cf2两端电压；ifi为SAPF输出三相补偿电流；Sij为三相四线制三电平SAPF的开关函数，下标i＝a,b,c；j＝1,2,3,4，其定义如下：
当Si1＝Si2＝1，Si3＝Si4＝0时，SAPF输出侧相电压Vin＝Vdc1；当Si1＝Si2＝0，Si3＝Si4＝1时，Vin＝-Vdc2；当Si2/Si3＝1,Si1＝Si4＝0时，Vin＝0；
步骤S2：根据坐标变换理论，采用等功率变换将步骤S1所获得的SAPF在三相静止abc坐标系下的数学模型转换至同步旋转dq0坐标系中，即：
式中：Skm、ifk、、VLk分别表示dq0坐标系下开关函数、SAPF补偿电流、PCC处的电压在d、q、0轴的分量，下标k＝d,q,0；m＝1,4；ω＝2πf为电源角频率，f＝50Hz为电网频率；
步骤S3：根据步骤S2所获得的SAPF在同步旋转dq0坐标系下的一般数学模型，获得SAPF在稳态时的数学模型，进一步获得稳态时开关函数的表达式；
选取NPC型三电平SAPF系统状态变量x＝[x1,x2,x3,x4,x5]T＝[ifd,ifq,if0,Vdc1,Vdc2]T，输入变量u＝[u1,u2,u3,u4,u5,u6]T＝[Sd1,Sd4,Sq1Sq4,S01,S04]T，系统状态变量期望值
当系统工作在稳态时，SAPF输出电流和直流侧电压均为对应的参考值，即稳态时x＝x*，则结合步骤S2所获得的SAPF在同步旋转dq0坐标系下的数学模型可得稳态时NPC型三电平SAPF的数学模型为：
式中：S04为稳态时dq0坐标系下的开关函数；
采用SPWM载波层叠调制，为保持开关函数的对称性，稳态开关函数选择为：
结合稳态时NPC型三电平SAPF的数学模型可得稳态时dq0坐标系下开关函数的关系式为：
步骤S4：根据步骤S2和步骤S3所获得的NPC型三电平SAPF在dq0坐标系下的数学模型和稳态时的数学模型，设计电流内环的基于Lyapunov函数的非线性控制器；
令误差e＝x-x*，结合步骤S2和步骤S3所获得的NPC型三电平SAPF在dq0坐标系下的数学模型和稳态时的数学模型，以系统全局渐进稳定为目标，结合Lyapunov理论，设计开关函数为：
式中：α1、α2、α3＜0分别为系统d、q、0轴上Lyapunov函数的控制增益；
步骤S5：为了进一步提高系统的鲁棒性，找到最优控制增益从而保证线路参数变化时也能确保谐波电流的准确跟踪和系统的稳定运行；
SAPF实际运行时，线路参数会发生变化，若t时刻系统的期望值与上设计开关函数中所取的期望值x'1～x'5不等，则可能会影响控制效果及系统的稳定性，为了研究不精确参考值的影响，假设：
其中，η1、η2、η3为常数，同时由于外环电压响应速度远远大于内环，因此可假设Vdc1＝Vdc2，即e5＝e4，z5＝z4，则不精确控制下的NPC型三电平SAPF系统的正定能量函数对时间的导数变为：
令μ1＝-2α1x'4 μ2＝-2α2x'4 μ3＝-2α3x'4 z4＝β1z1＝β2z2＝β3z3，则：
式中：λ1为β1的二次函数,当β1＝(1+η1)/(2η1)时，λ1取得最小值，即为：
只有当λ1min>0成立时，NPC型三电平SAPF系统的正定能量函数对时间的导数负定，为确保系统的渐进稳定性，设ηa<η1<ηb，ηa、ηb满足：
为确保线路参数变化时系统依然稳定，α1应尽可能小，μ1尽可能趋于0；
对于期望参数的不确定区间η1∈[1-ε1,1+ε1]，由上式可求得|α1|取值区间为：
其中，ε1为一任意正整数,同理可求得|α2|、|α3|的取值区间；
步骤S6：根据步骤S4中所得的开关函数作为SVPWM的输入，控制SAPF各相桥臂上的开关的开通和关断；
步骤S7：根据电荷平衡原理，引入调节因子f，调节SVPWM调制算法中的正负小矢量的作用时间，维持直流侧电压的平衡，其中，
Ts为采样周期。
本发明的有益效果在于：本发明三相四线制NPC型三电平SAPF的非线性控制方法，通过基于Lyapunov函数的非线性控制内环，使被控量补偿电流完全解耦，能够改善系统的动静态特性；通过比例积分PI的外环电压控制，能有效的使直流侧总电压维持在设定值；通过引入与ΔV(ΔV＝Vdc1-Vdc2)有关的调节因子f使直流侧电压保持平衡。与现有技术相比，本发明具有理论先进、动静态性能良好等优点。
附图说明
图1是三相四线制NPC型三电平SAPF的电路结构图；
图2是能使系统稳定的η1的取值范围图；
图3是三相四线制NPC型三电平SAPF的控制框图；
图4a为三相电网电压平衡时，补偿前三相非线性负载电流仿真结果图；
图4b为三相电网电压平衡时，SAPF补偿后三相电源电流仿真结果图；
图4c为三相电网电压平衡时，补偿后直流侧的总电压和上、下电容两端电压仿真结果图；
图5a为三相电网电压幅值不平衡时SAPF补偿前，三相电源电压；
图5b为三相电网电压幅值不平衡时SAPF补偿前，三相非线性负载电流仿真图；
图5c为三相电网电压幅值不平衡时SAPF补偿前，a相电源电流的THD值仿真图；
图6a为三相电压幅值不平衡时，本发明方法下SAPF补偿后三相电源电流波形仿真结果图；
图6b为三相电压幅值不平衡时，本发明方法下SAPF补偿后直流侧的总电压波形仿真结果图；
图6c为三相电压幅值不平衡时，本发明方法下SAPF补偿后，直流侧上、下电容两端电压波形仿真结果图；
图6d为三相电压幅值不平衡时，本发明方法下SAPF补偿后，SAPF侧相电压波形仿真结果图；
图6e为三相电压幅值不平衡时，本发明方法下SAPF补偿后a相电源电流的THD值；
图7a为三相电压幅值不平衡时，传统PI控制方法下SAPF补偿后三相电源电流波形仿真结果图；
图7b为三相电压幅值不平衡时，传统PI控制方法下SAPF补偿后直流侧的总电压波形仿真结果图；
图7c为三相电压幅值不平衡时，传统PI控制方法下SAPF补偿后直流侧差压的对比波形仿真结果图；
图7d为三相电压幅值不平衡时，传统PI控制方法下SAPF补偿后a相电源电流的THD值；
图8a为三相电压相角不平衡时，三相电源电压仿真结果图；
图8b为三相电压相角不平衡时，三相非线性负载电流仿真结果图；
图8c为三相电压相角不平衡时，三相电源电流仿真结果图；
图8d为三相电压相角不平衡时，SAPF侧线电压仿真结果图；
图9是电网平衡时实验结果图；其中：(a)为a相电源电流；(b)为a相负载电流；(c)为a相补偿电流；(d)为上、下直流侧电容电压；
图10是三相电压幅值不平衡时的实验结果图；其中：(a)为三相电网电压实验波形图；(b)为a相负载电流实验波形图；(c)为本发明方法下a相电源电流实验波形图；(d)为传统PI控制方法下SAPF侧a相电压实验波形图；
图11是三相电压相角不平衡时的实验结果图。其中：(a)为三相电网电压实验波形图；(b)为a相负载电流实验波形图；(c)为a相电源电流实验波形图；(d)为SAPF侧线电压实验波形图。
具体实施方式
一种三相四线制NPC型三电平SAPF基于Lyapunov函数的非线性控制方法。从SAPF的动态方程是非线性的角度出发，通过步骤S4的方法，采用非线性无源控制器对其进行控制，能使被控量—补偿电流完全解耦；不仅能够对三相平衡系统的谐波和无功进行补偿，而且能够对电网不平衡时非线性负荷产生的谐波分量进行补偿；通过步骤S7的方法，引入调节因子f能维持直流侧电容电压平衡。具体步骤如下：
步骤S1：根据图1所示的三相四线制NPC型三电平SAPF的电路结构图，三相四线制NPC型三电平并联型有源滤波器SAPF并联在逆变器与电网之间，运用基尔霍夫定律和状态空间平均法，选取SAPF输出三相补偿电流ifi(下标i＝a,b,c)和直流侧电容Cf1两端的电压Vdc1、直流侧电容Cf2两端的电压Vdc2为状态变量，可得三相四线制NPC型三电平SAPF在三相静止abc坐标系下的一般数学模型为：
式中：VLi为网侧公共连接点(PCC)处的电压；Lf是SAPF输出侧滤波电感；Rf是SAPF输出侧串联电阻；Cf是直流侧电容(Cf1与Cf2的等效值)；Vdc1、Vdc2分别为SAPF直流侧电容Cf1、Cf2两端电压；ifi为SAPF输出三相补偿电流；Sij(下标i＝a,b,c；j＝1,2,3,4)为三相四线制三电平SAPF的开关函数，其定义如下：
由此可见，当Si1＝Si2＝1，Si3＝Si4＝0时，SAPF输出侧相电压Vin＝Vdc1；当Si1＝Si2＝0，Si3＝Si4＝1时，Vin＝-Vdc2；当Si2/Si3＝1,Si1＝Si4＝0时，Vin＝0。
步骤S2：根据坐标变换理论，采用等功率变换将步骤S1所获得的SAPF在三相静止abc坐标系下的一般数学模型转换至同步旋转dq0坐标系中，即：
式中：Skm(下标k＝d,q,0；m＝1,4)、ifk、、VLk分别表示dq0坐标系下开关函数、SAPF补偿电流、PCC处的电压在d、q、0轴的分量；ω＝2πf(f＝50Hz为电网频率)为电源角频率。
步骤S3：根据步骤S2所获得的SAPF在同步旋转dq0坐标系下的一般数学模型，获得SAPF在稳态时的数学模型，进一步获得稳态时开关函数的表达式；
选取NPC型三电平SAPF系统状态变量x＝[x1,x2,x3,x4,x5]T＝[ifd,ifq,if0,Vdc1,Vdc2]T，输入变量u＝[u1,u2,u3,u4,u5,u6]T＝[Sd1,Sd4,Sq1Sq4,S01,S04]T，系统状态变量期望值当系统工作在稳态时，SAPF输出电流和直流侧电压均为对应的参考值，即稳态时x＝x*，则结合步骤S2所获得的SAPF在同步旋转dq0坐标系下的一般数学模型可得稳态时NPC型三电平SAPF的数学模型为：
式中：S04为稳态时dq0坐标系下的开关函数。
本发明采用SPWM载波层叠调制，为保持开关函数的对称性，稳态开关函数选择为：
结合稳态时NPC型三电平SAPF的数学模型可得稳态时dq0坐标系下开关函数的关系式为：
步骤S4：根据步骤S2和步骤S3所获得的NPC型三电平SAPF在dq0坐标系下的一般数学模型和稳态时的数学模型，设计电流内环的基于Lyapunov函数的非线性控制器；
令误差e＝x-x*，结合步骤S2和步骤S3所获得的NPC型三电平SAPF在dq0坐标系下的一般数学模型和稳态时的数学模型可得系统的误差动态特性方程为：
以系统全局渐进稳定为目标，结合Lyapunov理论，设计NPC型三电平SAPF系统的正定能量函数为：
该式满足初始条件的要求，即e＝0时，H(e)＝0；e≠0时，H(e)>0。
结合系统的误差动态特性方程，可得NPC型三电平SAPF系统的正定能量函数对时间的导数为：
对于NPC型三电平SAPF系统，要满足e≠0时，H(e)>0，需满足该式小于0，才可实现H(e)收敛于0时，‖e‖也收敛至0。该式中第1项显然为负，因此，为使该式恒定为负，设计开关函数为：
式中：α1、α2、α3＜0分别为系统d、q、0轴上Lyapunov函数的控制增益。
步骤S5：，为了进一步提高系统的鲁棒性，需要找到最优控制增益从而保证线路参数变化时也能确保谐波电流的准确跟踪和系统的稳定运行；
SAPF实际运行时，线路参数会发生变化。若t时刻系统的期望值与上式中设计的开关函数中所取的期望值x'1～x'5不等，则可能会影响控制效果及系统的稳定性。为了研究不精确参考值的影响，假设：
其中，η1、η2、η3为常数。同时由于外环电压响应速度远远大于内环，因此可假设Vdc1＝Vdc2，即e5＝e4，z5＝z4。则不精确控制下的NPC型三电平SAPF系统的正定能量函数对时间的导数变为：
令μ1＝-2α1x'4 μ2＝-2α2x'4 μ3＝-2α3x'4 z4＝β1z1＝β2z2＝β3z3，则：
式中：λ1为β1的二次函数。当β1＝(1+η1)/(2η1)时，λ1取得最小值，即为：
只有当λ1min>0成立时，NPC型三电平SAPF系统的正定能量函数对时间的导数负定。λ1min随η1的变化趋势如图2所示能使系统稳定的η1的取值范围图。为确保系统的渐进稳定性，设ηa<η1<ηb，ηa、ηb满足：
为确保线路参数变化时系统依然稳定，α1应尽可能小(μ1尽可能趋于0)。
对于期望参数的不确定区间η1∈[1-ε1,1+ε1]，由上式可求得|α1|取值区间为：
其中，ε1为一任意正整数(无论它多么小)。由此可知，若不确定范围ε1取0.05，且Rf＝0.4Ω、V*＝800V时，|α1|的取值区间为[0,0.0019]。同理可求得|α2|、|α3|的取值区间。
步骤S6：根据步骤S4中所得的开关函数作为SVPWM的输入，控制SAPF各相桥臂上的开关的开通和关断；
步骤S7：根据电荷平衡原理，引入调节因子f，调节SVPWM调制算法中的正负小矢量的作用时间，维持直流侧电压的平衡。其中，
Ts为采样周期。
如图3所示三相四线制NPC型三电平SAPF的控制框图，通过基于Lyapunov函数的非线性控制内环，使被控量补偿电流完全解耦，能够改善系统的动静态特性；通过比例积分PI的外环电压控制，能有效的使直流侧总电压维持在设定值；通过引入与ΔV有关的(ΔV＝Vdc1-Vdc2)调节因子f使直流侧电压保持平衡。
本发明实施例的方法通过三相四线制NPC型三电平SAPF系统，基于MATLAB/Simulink搭建仿真模型进行了仿真对比实验且在实验样机上进行了实验验证。三相电源和三相四线制NPC型三电平SAPF仿真主要参数设置如下：
三相电源为220V/50Hz；电网的阻抗Rs＝0.2Ω、感抗Ls＝0.5mH；负载的阻抗RL＝30Ω、感抗LL＝10mH；SAPF输出侧的滤波电感Lf＝4mH、滤波电阻Rf＝0.4Ω，直流侧电容Cf＝5.5mF，直流侧的总电压的期望值V*＝800V；Lyapunov函数的控制增益α1＝α2＝α3＝-1.5e-4；本文提出的方法下，电压外环KP＝0.17、KI＝0.02；传统PI控制方法下，电流内环KP＝0.17、KI＝0.02，电压外环KP＝0.2、KI＝0.5，仿真时间0～0.42s。电网平衡时，0.2s时，接入另一相同的负荷；0.3s时断开该负荷。三相电压幅值不平衡时，三相电源电压的有效值分别为220V、150V、192V。三相电压相角不平衡时，三相电源电压的有效值均为220V，但a、b、c三相的相角分别为0°、-90°、60°。
NPC型三电平三相四线制SAPF实验主要参数设置如下：NPC型三电平SAPF采用型号为12个IKW30N60T的绝缘栅双极晶体管和6个型号为VS-30EPF12的二极管，控制芯片采用DSPTMS320F28335。其余参数与仿真一致。
具体仿真效果为：
1)电网平衡时，图4a为补偿前三相电源电流波形图；可见，未补偿时(t＝0～0.2s)，a、b、c各相非线性负载电流非正弦且谐波含量较大，总谐波失真(Total HarmonicDistortion，THD)分别为22.46％、22.58％、22.29％；图4b为采用本发明提出的基于Lyapunov函数的非线性控制方法下，补偿后三相电源电流波形图；可见，经SAPF补偿后(t＝0～0.2s)，电源电流正弦化，谐波含量大大降低，THD分别下降至2.47％、2.46％、2.52％，在t＝0.2s加载时，负载电流突增一倍，约需0.03s达到新的稳态；在t＝0.3s卸载后，也能快速达到新的稳态，验证了该系统具有良好的动静态特性；由图4c可见，经电压外环控制后，直流侧的总电压能维持在800V，且纹波较小；上、下电容两端电压差也能近似为0。
2)电网不平衡时，分别对三相电网电压幅值不平衡、相角不平衡时进行仿真。图5a、5b、5c是三相电网电压幅值不平衡时SAPF补偿前的仿真图；对比图6a、6b、6c、6d、6e与7a、7b、7c、7d可见，本发明控制方法下与传统PI控制方法相比，三相四线制NPC型三电平SAPF经本发明所提出的基于Lyapunov函数的非线性控制方法后，补偿效果更好，谐波含量更低、响应速度更快。图8a、8b、8c、8d为三相相角不平衡时仿真结果图；由图6a、6b、6c、6d、6e与8a、8b、8c、8d可见，当电网不平衡时，本发明所提出的控制方法应用于三相四线制NPC型三电平SAPF是有效的。
具体实验效果为：
图9、图10和图11为实验结果图。图9是三相电网平衡时实验结果图；其中：(a)为a相电源电流；(b)为a相负载电流；(c)为a相补偿电流；(d)为上、下直流侧电容电压。图10是三相电压幅值不平衡时的实验结果图；其中：(a)为三相电网电压实验波形图；(b)为a相负载电流实验波形图；(c)为本发明方法下a相电源电流实验波形图；(d)为传统PI控制方法下SAPF侧a相电压实验波形图。图11是三相电压相角不平衡时的实验结果图。其中：(a)为三相电网电压实验波形图；(b)为a相负载电流实验波形图；(c)为a相电源电流实验波形图；(d)为SAPF侧线电压实验波形图。由图可见非线性无源控制能达到理想的控制效果，实现电网电流正弦化和功率因素单位化。

Claims (1)

1.一种三相四线制NPC型三电平SAPF的非线性控制方法，三相四线制NPC型三电平并联型有源滤波器SAPF并联在逆变器与电网之间，其特征在于，基于李雅普诺夫Lyapunov函数的非线性控制内环，通过比例积分PI的外环电压控制，引入调节因子f，调节SVPWM调制算法中的正负小矢量的作用时间；具体包括如下步骤：
步骤S1：运用基尔霍夫定律和状态空间平均法，选取SAPF输出三相补偿电流ifi和直流侧电容Cf1两端的电压Vdc1、直流侧电容Cf2两端的电压Vdc2为状态变量，下标i＝a,b,c，可得三相四线制NPC型三电平SAPF在三相静止abc坐标系下的数学模型为：
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式中：VLi为网侧公共连接点(PCC)处的电压；Lf是SAPF输出侧滤波电感；Rf是SAPF输出侧串联电阻；Cf是直流侧电容；Vdc1、Vdc2分别为SAPF直流侧电容Cf1、Cf2两端电压；ifi为SAPF输出三相补偿电流；Sij为三相四线制三电平SAPF的开关函数，下标i＝a,b,c；j＝1,2,3,4，其定义如下：
当Si1＝Si2＝1，Si3＝Si4＝0时，SAPF输出侧相电压Vin＝Vdc1；当Si1＝Si2＝0，Si3＝Si4＝1时，Vin＝-Vdc2；当Si2/Si3＝1,Si1＝Si4＝0时，Vin＝0；
步骤S2：根据坐标变换理论，采用等功率变换将步骤S1所获得的SAPF在三相静止abc坐标系下的数学模型转换至同步旋转dq0坐标系中，即：
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式中：Skm、ifk、、VLk分别表示dq0坐标系下开关函数、SAPF补偿电流、PCC处的电压在d、q、0轴的分量，下标k＝d,q,0；m＝1,4；ω＝2πf为电源角频率，f＝50Hz为电网频率；
步骤S3：根据步骤S2所获得的SAPF在同步旋转dq0坐标系下的一般数学模型，获得SAPF在稳态时的数学模型，进一步获得稳态时开关函数的表达式；选取NPC型三电平SAPF系统状态变量x＝[x1,x2,x3,x4,x5]T＝[ifd,ifq,if0,Vdc1,Vdc2]T，输入变量u＝[u1,u2,u3,u4,u5,u6]T＝[Sd1,Sd4,Sq1Sq4,S01,S04]T，系统状态变量期望值
当系统工作在稳态时，SAPF输出电流和直流侧电压均为对应的参考值，即稳态时x＝x*，则结合步骤S2所获得的SAPF在同步旋转dq0坐标系下的数学模型可得稳态时NPC型三电平SAPF的数学模型为：
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式中：Sq4、S04为稳态时dq0坐标系下的开关函数；
采用SPWM载波层叠调制，为保持开关函数的对称性，稳态开关函数选择为：
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结合稳态时NPC型三电平SAPF的数学模型可得稳态时dq0坐标系下开关函数的关系式为：
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步骤S4：根据步骤S2和步骤S3所获得的NPC型三电平SAPF在dq0坐标系下的数学模型和稳态时的数学模型，设计电流内环的基于Lyapunov函数的非线性控制器；
令误差e＝x-x*，结合步骤S2和步骤S3所获得的NPC型三电平SAPF在dq0坐标系下的数学模型和稳态时的数学模型，以系统全局渐进稳定为目标，结合Lyapunov理论，设计开关函数为：
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式中：α1、α2、α3＜0分别为系统d、q、0轴上Lyapunov函数的控制增益；步骤S5：为了进一步提高系统的鲁棒性，找到最优控制增益从而保证线路参数变化时也能确保谐波电流的准确跟踪和系统的稳定运行；
SAPF实际运行时，线路参数会发生变化，若t时刻系统的期望值与上设计开关函数中所取的期望值x'1～x'5不等，则可能会影响控制效果及系统的稳定性，为了研究不精确参考值的影响，假设：
<mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mfrac> <msubsup> <mi>x</mi> <mn>1</mn> <mo>&amp;prime;</mo> </msubsup> <msubsup> <mi>x</mi> <mn>4</mn> <mo>&amp;prime;</mo> </msubsup> </mfrac> <mo>=</mo> <msub> <mi>&amp;eta;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mfrac> <msubsup> <mi>x</mi> <mn>1</mn> <mo>*</mo> </msubsup> <msubsup> <mi>x</mi> <mn>4</mn> <mo>*</mo> </msubsup> </mfrac> <mo>,</mo> <mfrac> <msubsup> <mi>x</mi> <mn>2</mn> <mo>&amp;prime;</mo> </msubsup> <msubsup> <mi>x</mi> <mn>4</mn> <mo>&amp;prime;</mo> </msubsup> </mfrac> <mo>=</mo> <msub> <mi>&amp;eta;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mfrac> <msubsup> <mi>x</mi> <mn>2</mn> <mo>*</mo> </msubsup> <msubsup> <mi>x</mi> <mn>4</mn> <mo>*</mo> </msubsup> </mfrac> <mo>,</mo> <mfrac> <msubsup> <mi>x</mi> <mn>3</mn> <mo>&amp;prime;</mo> </msubsup> <msubsup> <mi>x</mi> <mn>4</mn> <mo>&amp;prime;</mo> </msubsup> </mfrac> <mo>=</mo> <msub> <mi>&amp;eta;</mi> <mn>3</mn> </msub> <mfrac> <msubsup> <mi>x</mi> <mn>3</mn> <mo>*</mo> </msubsup> <msubsup> <mi>x</mi> <mn>4</mn> <mo>*</mo> </msubsup> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>z</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <msub> <mi>e</mi> <mn>1</mn> </msub> <msubsup> <mi>x</mi> <mn>1</mn> <mo>*</mo> </msubsup> </mfrac> <mo>,</mo> <msub> <mi>z</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <msub> <mi>e</mi> <mn>2</mn> </msub> <msubsup> <mi>x</mi> <mn>2</mn> <mo>*</mo> </msubsup> </mfrac> <mo>,</mo> <msub> <mi>z</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <msub> <mi>e</mi> <mn>3</mn> </msub> <msubsup> <mi>x</mi> <mn>3</mn> <mo>*</mo> </msubsup> </mfrac> <mo>,</mo> <msub> <mi>z</mi> <mn>4</mn> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <msub> <mi>e</mi> <mn>4</mn> </msub> <msubsup> <mi>x</mi> <mn>4</mn> <mo>*</mo> </msubsup> </mfrac> <mo>,</mo> <msub> <mi>z</mi> <mn>5</mn> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <msub> <mi>e</mi> <mn>5</mn> </msub> <msubsup> <mi>x</mi> <mn>5</mn> <mo>*</mo> </msubsup> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced>
其中，η1、η2、η3为常数，同时由于外环电压响应速度远远大于内环，因此可假设Vdc1＝Vdc2，即e5＝e4，z5＝z4，则不精确控制下的NPC型三电平SAPF系统的正定能量函数对时间的导数变为：
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令z4＝β1z1＝β2z2＝β3z3，则：
<mfenced open = "" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>f</mi> <mn>1</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>z</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>z</mi> <mn>4</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <mn>2</mn> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mn>1</mn> </msub> <msubsup> <mi>x</mi> <mn>4</mn> <mo>&amp;prime;</mo> </msubsup> <msubsup> <mi>x</mi> <mn>4</mn> <mo>*</mo> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>z</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;eta;</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>z</mi> <mn>4</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>z</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>z</mi> <mn>4</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>R</mi> <mi>f</mi> </msub> <msubsup> <mi>z</mi> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </msubsup> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>=</mo> <msubsup> <mi>z</mi> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>{</mo> <msub> <mi>&amp;mu;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msub> <mi>&amp;eta;</mi> <mn>1</mn> </msub> <msubsup> <mi>&amp;beta;</mi> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;eta;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>&amp;beta;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;mu;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>R</mi> <mi>f</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>}</mo> <mo>=</mo> <msubsup> <mi>z</mi> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <msub> <mi>&amp;lambda;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;beta;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>&amp;eta;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>&amp;mu;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced>
式中：λ1为β1的二次函数,当β1＝(1+η1)/(2η1)时，λ1取得最小值，即为：
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只有当λ1min>0成立时，NPC型三电平SAPF系统的正定能量函数对时间的导数负定，为确保系统的渐进稳定性，设ηa<η1<ηb，ηa、ηb满足：
<mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>&amp;eta;</mi> <mi>a</mi> </msub> <mo>=</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mn>2</mn> <msub> <mi>R</mi> <mi>f</mi> </msub> </mrow> <msub> <mi>&amp;mu;</mi> <mn>1</mn> </msub> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <msqrt> <mrow> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mn>2</mn> <msub> <mi>R</mi> <mi>f</mi> </msub> </mrow> <msub> <mi>&amp;mu;</mi> <mn>1</mn> </msub> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msqrt> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>&amp;eta;</mi> <mi>b</mi> </msub> <mo>=</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mn>2</mn> <msub> <mi>R</mi> <mi>f</mi> </msub> </mrow> <msub> <mi>&amp;mu;</mi> <mn>1</mn> </msub> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msqrt> <mrow> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mn>2</mn> <msub> <mi>R</mi> <mi>f</mi> </msub> </mrow> <msub> <mi>&amp;mu;</mi> <mn>1</mn> </msub> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msqrt> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced>
为确保线路参数变化时系统依然稳定，α1应尽可能小，μ1尽可能趋于0；
对于期望参数的不确定区间η1∈[1-ε1,1+ε1]，由上式可求得|α1|取值区间为：
<mrow> <mn>0</mn> <mo>&lt;</mo> <mrow> <mo>|</mo> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>|</mo> </mrow> <mo>&lt;</mo> <mfrac> <msub> <mi>R</mi> <mi>f</mi> </msub> <mrow> <msup> <mi>V</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <msup> <mi>V</mi> <mo>*</mo> </msup> </mrow> </mfrac> <mfrac> <mrow> <mn>8</mn> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <msubsup> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </msubsup> </mfrac> </mrow>
其中，ε1为一任意正整数,同理可求得|α2|、|α3|的取值区间；
步骤S6：根据步骤S4中所得的开关函数作为SVPWM的输入，控制SAPF各相桥臂上的开关的开通和关断；
步骤S7：根据电荷平衡原理，引入调节因子f，调节SVPWM调制算法中的正负小矢量的作用时间，维持直流侧电压的平衡，其中，
<mrow> <mi>f</mi> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>C</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>V</mi> <mrow> <mi>d</mi> <mi>c</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>C</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>V</mi> <mrow> <mi>d</mi> <mi>c</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <msub> <mi>i</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mi>a</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>T</mi> <mi>s</mi> </msub> </mrow> </mfrac> <mo>,</mo> <mo>-</mo> <mn>1</mn> <mo>&amp;le;</mo> <mi>f</mi> <mo>&amp;le;</mo> <mn>1</mn> </mrow>
Ts为采样周期。
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