CN107301295B - 适用于具有功能梯度及拉胀属性的超材料的拓扑优化方法 - Google Patents

Abstract

本发明属于超材料设计相关技术领域，其公开了一种适用于具有功能梯度及拉胀属性的超材料的拓扑优化方法，其包括以下步骤：(1)采用加权法建立每层的、同时考虑微观结构拉胀属性及宏观结构刚度属性的多目标优化模型；(2)控制所述超材料结构整体在一个方向上的拉胀属性及刚度属性呈梯度形式分布；(3)计算每层设计域上的微观位移、宏观位移、以及每层微结构的等效弹性属性；(4)基于计算获得的敏度，采用优化准则法更新设计变量，进而判断所述目标函数是否收敛。上述拓扑优化方法采用加权法建立同时考虑微观结构拉胀属性及宏观结构刚度属性的多目标优化模型继而进行优化，使得优化后的超材料同时具备拉胀属性及足够的刚度。

Description

适用于具有功能梯度及拉胀属性的超材料的拓扑优化方法

技术领域

本发明属于超材料设计相关技术领域，更具体地，涉及一种适用于具有功能梯度及拉胀属性的超材料的拓扑优化方法。

背景技术

超材料是指具有人工设计的微结构且呈现出天然材料不具备或者较少具备的超常物理属性的复合材料。拉胀材料是一类具有负泊松比的新型力学超材料，它具有受拉时垂直方向膨胀(受压时垂直方向收缩)的非常规力学特性，以此增强材料的剪切模量、吸能能力、抗裂性和断裂韧性，拥有正泊松比材料所不具备的功能特点。

基于拉胀超材料的工程产品应具备多功能性，例如舰艇的防护结构和车辆防撞结构，更加强调特殊功能性和承载性的综合：一方面，产品在受冲击时，拉胀效应(负泊松比效应)使得材料瞬间朝受冲击处聚集，从而吸收更多能量，防止结构被破坏；另一方面，产品必须具备足够的刚度以保障结构的稳定性及静、动态性能。通常来讲，拉胀超材料的细观多孔微结构必须满足疏松，以实现其中铰链机构的收缩与伸展，进而呈现出拉胀特性，然而这也导致基于拉胀超材料的工程结构在承载时缺乏刚度。相应地，本领域存在着发展一种能够同时考虑拉胀属性及足够刚度的超材料拓扑优化方法的技术需求。

发明内容

针对现有技术的以上缺陷或改进需求，本发明提供了一种适用于具有功能梯度及拉胀属性的超材料的拓扑优化方法，其同时考虑微结构构型在空间上的变化、不同性能指标的综合以及宏观载荷与边界条件对为微结构的影响等多个关键因素，解决了基于仿真、试验或者实验的设计方法无法实现或者实现成本过高的问题，使得经拓扑优化后的超材材料结构同时具有拉胀属性及足够的刚度。

为实现上述目的，本发明提供了一种适用于具有功能梯度及拉胀属性的超材料的拓扑优化方法，其特征在于，该拓扑优化方法包括以下步骤：

(1)将待优化的超材料结构沿着所述超材料结构的梯度方向进行分层，并采用加权法建立每层的、同时考虑微观结构拉胀属性及宏观结构刚度属性的多目标优化模型；

(2)通过每层的微结构的体积比来控制所述超材料结构整体在一个方向上的拉胀属性及刚度属性呈梯度形式分布；

(3)计算每层设计域上的微观位移、宏观位移、以及每层微结构的等效弹性属性，进而计算所述多目标优化模型的目标函数及体积约束函数的敏度；

(4)基于计算获得的敏度，采用优化准则法更新设计变量，进而判断所述目标函数是否收敛，若收敛，则输出最优宏微观结构构型及分布，否则转至步骤(3)。

进一步地，采用加权法建立每层的、同时考虑微观结构拉胀属性及宏观结构刚度属性的多目标优化模型包括以下子步骤：

(a)分别建立柔度优化模型及拉胀属性优化模型，其中所述柔度优化模型的宏观目标函数由每层微结构的柔度值之和来表示，所述拉胀属性优化模型的微观目标函数由弹性材料矩阵中分量的线性组合来表示；

(b)采用归一化指数加权准则对所述柔度优化模型及所述拉胀属性优化模型进行加权处理；

(c)将所述宏观目标函数及所述微观目标函数进行线性加权，以得到所述多目标优化模型。

进一步地，所述宏观目标函数如以下公式所示：

式中，m＝1,2,…,M，表示M层微结构中的第m层；上标MA表示宏观量；上标MI表示微观量；函数f^MA为宏观目标函数；为每一层的微结构柔度值；表示第m层的宏观位移；表示第m层的微观位移；表示第m层的宏观应变的转置；表示微结构等效弹性矩阵；表示微观水平集函数；i,j,k,l＝1,2；为第m层宏观设计域。

进一步地，所述微观目标函数如以下公式所示：

式中，分别对应材料弹性矩阵中的分量，通过控制优化过程中出现铰链机构形式的负泊松比结构，通过增加结构的剪切性能。

进一步地，所述多目标优化模型J_m由以下公式表示：

式中， exp(·)表示指数函数；加权因子w_m,a和w_m,b分别表示宏观目标函数和微观目标函数在m层的权重，w_m,a和w_m,b之和等于1；分别代表宏观、微观目标函数的最小值、最大值；q＝2是归一化指数加权准则的指数常数。

进一步地，所述超材料结构的每层由多个单元设计域组成，每个单元设计域上设置有连接域，相邻两层的所述单元设计域通过对应的所述连接域相连接。

进一步地，相邻两个所述单元设计域的连接域的位置相对应，所有所述连接域沿所述超材料结构的梯度方向设置，且相邻两个单元设计域上的连接域的尺寸一致。

总体而言，通过本发明所构思的以上技术方案与现有技术相比，本发明提供的适用于具有功能梯度及拉胀属性的超材料的拓扑优化方法主要具有以下有益效果：

(1)所述拓扑优化方法将待优化的超材料结构沿着所述超材料结构的梯度方向进行分层，使得分层后的超材料结构优化问题被分解为层优化问题，且多个层优化并行进行，增加了宏观结构整体刚度；

(2)所述拓扑优化方法采用加权法建立同时考虑微观结构拉胀属性及宏观结构刚度属性的多目标优化模型继而进行优化，使得优化后的超材料同时具备拉胀属性及足够的刚度；

(3)所述超材料结构的每层由多个单元设计域组成，每个单元设计域上设置连接域，相邻两层的单元设计域通过对应的所述连接域相连接，保证了微结构之间的连续性；

(4)所有连接域沿超材料结构的梯度方向设置，且相邻两个单元设计域上的连接域的尺寸一致，保证了微结构的数值精度和周期性。

附图说明

图1是本发明较佳实施方式提供的适用于具有功能梯度及拉胀属性的超材料的拓扑优化方法的流程图；

图2是图1中的适用于具有功能梯度及拉胀属性的超材料的拓扑优化方法涉及的分层设计示意图；

图3是图1中的适用于具有功能梯度和拉胀属性的超材料的拓扑优化方法涉及的超材料的不同单元设计域的连接示意图；

图4是采用采用图1中的适用于具有功能梯度和拉胀属性的超材料的拓扑优化方法进行拓扑优化的矩形梁初始设计域的示意图；

图5是图4中的矩形梁经过优化后的超材料示意图；

图6是图4中的矩形梁在一个梯度方向的放大图。

具体实施方式

为了使本发明的目的、技术方案及优点更加清楚明白，以下结合附图及实施例，对本发明进行进一步详细说明。应当理解，此处所描述的具体实施例仅仅用以解释本发明，并不用于限定本发明。此外，下面所描述的本发明各个实施方式中所涉及到的技术特征只要彼此之间未构成冲突就可以相互组合。

请参阅图1至图3，本发明较佳实施方式提供的适用于具有功能梯度及拉胀属性的超材料的拓扑优化方法，所述拓扑优化方法是一系统的优化方法，其同时考虑微结构构型在空间上的变化、不同性能指标的综合以及宏观载荷与边界条件对为微结构的影响等多个关键因素，解决了基于仿真、试验或者实验的设计方法无法实现或者实现成本过高的问题，使得经拓扑优化后的超材料同时具有拉胀属性及足够的刚度。

本实施方式中，所述的适用于具有功能梯度及拉胀属性的超材料的拓扑优化方法主要具有以下有益效果：

步骤一，将待优化的超材料结构沿着所述超材料结构的梯度方向进行分层，使得分层后的超材料结构优化被分解为层优化，并采用加权法建立同时考虑微观结构拉胀属性及宏观结构刚度属性的多目标优化模型。

具体地，将待优化的超材料结构进行分层，将超材料结构优化问题分为多个子优化问题，对每一层建立一种同时考虑微观结构拉胀属性和宏观结构刚度属性的多目标优化模型。

对于一个被分为M层的超材料结构，宏观目标函数由每一层微结构的柔度值之和表示：

式中，m＝1,2,…,M，表示M层微结构中的第m层；上标MA表示宏观量；上标MI表示微观量；函数f^MA为宏观目标函数；为每一层的微结构柔度值；表示第m层的宏观位移；表示第m层的微观位移；表示第m层的宏观应变的转置；表示微结构等效弹性矩阵；表示微观水平集函数；i,j,k,l＝1,2；为第m层宏观设计域。

考虑各向同性和各向正交异性材料的微结构设计，第m层微结构的拉胀属性可表示为：

式中，分别对应材料弹性矩阵中的分量，通过控制优化过程中出现铰链机构形式的负泊松比结构，通过增加结构的剪切性能。

为建立多种性能属性的多目标优化模型，首先采用归一化指数加权准则对各单目标优化模型(柔度优化模型及拉胀属性优化模型)进行处理。

式中，exp(·)表示指数函数；加权因子w_m,a和w_m,b分别表示宏观目标函数和微观目标函数在m层的权重，w_m,a和w_m,b之和等于1； 分别代表宏观、微观目标函数的最小值、最大值；q＝2是归一化指数加权准则的指数常数。

同时考虑微观结构拉胀属性和宏观结构刚度属性的多目标优化模型通过对两种目标函数的线性加权得到，所述多目标优化模型由以下公式表示：

步骤二，通过每层的微结构的体积比来控制所述超材料整体结构在某一方向上的拉胀属性及刚度属性呈梯度形式分布。具体地，超材料结构的每层由周期性微结构组成，通过微结构的体积比控制拉胀材料整体在某一方向上的拉胀属性和刚度属性呈梯度形式分布；超材料结构的第m层微结构的最大体积分数定义如下：

式中，[V₁,V_M]表示体积约束范围，ξ＝1时体积分数呈线性变化，否则体积分数呈非线性变化。

步骤三，对每层微结构分别进行微观有限元分析及宏观有限分析以获得设计域上的宏观位移及微观位移，同时计算每层微结构的等效弹性属性，进而计算所述多目标优化模型的目标函数及体积约束函数的敏度。

具体地，首先，对每层微结构进行微观有限元分析，以获得设计域上的微观位移。微观有限元模型的双线性能量形式和线性载荷形式分别表示为：

式中，表示微观平衡方程的弱形式；和分别为定义在微观设计域内的周期性位移；D_pqrs为微观实体材料的弹性矩阵；和分别为微观扰动应变；为单位测试应变；H为Heaviside函数。

之后，通过数值均匀化方法计算每一层微结构的等效弹性属性。在水平集方法的框架下，用数值均匀化方法来近似计算每一层微结构的等效弹性属性，二维结构中的等效弹性量计算公式如下所示：

式中，i,j,k,l＝1,2；D_pqrs为微观实体材料的弹性矩阵；上标MI表示微观量；Ω^MI微观结构设计域；|Ω^MI|表示微观结构的面积；Φ^MI是微观水平集函数；是单位测试应变(对于二维问题，包括水平单位应变、竖直单位应变和剪切单位应变)。

接着，采用计算获得的等效弹性模量对每层微结构进行宏观有限元分析以获得设计域上的宏观位移及柔度值。宏观有限元模型的双线性能量形式和线性载荷形式分别表示为：

式中，a^MA(u^MA,v^MA,u^MI,Φ^MI)＝l^MA(v^MA)表示宏观平衡方程的弱形式；p表示体积力；τ是应用在边界Γ^MA上的牵引力；u^MA和v^MA分别是定义在Ω^MA域上的非周期性位移。

最后，基于计算获得的所述微观位移、宏观位移及等效弹性属性来计算所述多目标优化模型的目标函数及体积约束函数的敏度。所述目标函数的敏度计算公式如下所示：

式中，为参数化水平集方法中径向基插值函数的扩展系数。

所述体积约束函数的敏度计算公式如下所示：

步骤四，基于计算获得的敏度，采用优化准则法更新设计变量(水平基函数)以达到微结构优化的目的，进而判断所述目标函数是否收敛，若收敛，则输出最优宏微观结构构型及分布，否则转至步骤三。

为了增加宏观结构的整体刚度，所有层的优化都并行进行。每层由多个单元设计域组成，每个单元设计域上设置连接域D，相邻两层的单元设计域通过对应的所述连接域D相连接，以保证微结构之间的连续性。本实施方式中，相邻两个单元设计域的连接域D的位置相对应，所有连接域D沿超材料结构的梯度方向F设置，且相邻两个单元设计域上的连接域D的尺寸一致，以保证微结构的数值精度和周期性。预先设定的连接域D在优化过程中被设置为非设计域。

请参阅图4至图6，以下以一个具体实例来对本发明进行进一步的详细说明。以一个长L＝30cm宽H＝10cm的矩形梁为例，下边界中点处有一集中载荷F＝50N，上边界固定约束，结构分为10层，梯度方向为Y轴方向，体积分数沿Y轴负方向逐渐增大。本实例中仅考虑各向正交异性的微结构，宏观结构离散为30×10＝300个四节点单元。每一层上的微结构离散为40×40＝1600个四点节单元。

为实现功能梯度属性，每一层的微结构体积分数在梯度方向上从0.25到0.55呈非线性变化，取ξ＝2，10层微结构的体积分数约束分别为0.25、0.2537、0.2648、0.2833、0.3039、0.3406、0.3833、0.4315、0.4870、0.55。同时考虑微观结构拉胀属性和宏观结构刚度属性的多目标优化模型中取w_m,a＝0.4和w_m,b＝0.6

优化后得到的具有拉胀属性的超材料如图5所示，图6所示为一放大的矩形梁的超材料体积单元示意图，总柔度值f^MA＝157.9代表体积单元由一系列典型的具有拉胀属性的超材料组成；正交各向异性微结构的泊松比v₁₂＝-1.147，v₂₁＝-0.2608；每一层的微结构之间有较好的连接性，由于采用的基于参数化水平集的拓扑优化方法，微结构具有光滑的边界。

本发明提供的适用于具有功能梯度及拉胀属性的超材料的拓扑优化方法，其将待优化的超材料结构沿着所述超材料结构的梯度方向进行分层，使得分层后的超材料结构优化问题被分解为多个子优化问题，且多个子化问题并行优化，增加了宏观结构整体刚度。同时，所述拓扑优化方法采用加权法建立同时考虑微观结构拉胀属性及宏观结构刚度属性的多目标优化模型继而进行优化，使得优化后的超材料同时具备拉胀属性及足够的刚度。

本领域的技术人员容易理解，以上所述仅为本发明的较佳实施例而已，并不用以限制本发明，凡在本发明的精神和原则之内所作的任何修改、等同替换和改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (7)

1.一种适用于具有功能梯度及拉胀属性的超材料的拓扑优化方法，其特征在于，该拓扑优化方法包括以下步骤：

(1)将待优化的超材料结构沿着所述超材料结构的梯度方向进行分层，并采用加权法建立每层的、同时考虑微观结构拉胀属性及宏观结构刚度属性的多目标优化模型；

(2)通过每层的微结构的体积比来控制所述超材料结构整体在一个方向上的拉胀属性及刚度属性呈梯度形式分布；

(3)计算每层设计域上的微观位移、宏观位移、以及每层微结构的等效弹性属性，进而计算所述多目标优化模型的目标函数及体积约束函数的敏度；

(4)基于计算获得的敏度，采用优化准则法更新设计变量，进而判断所述目标函数是否收敛，若收敛，则输出最优宏微观结构构型及分布，否则转至步骤(3)。

2.如权利要求1所述的适用于具有功能梯度及拉胀属性的超材料的拓扑优化方法，其特征在于：采用加权法建立每层的、同时考虑微观结构拉胀属性及宏观结构刚度属性的多目标优化模型包括以下子步骤：

(a)分别建立柔度优化模型及拉胀属性优化模型，其中所述柔度优化模型的宏观目标函数由每层微结构的柔度值之和来表示，所述拉胀属性优化模型的微观目标函数由弹性材料矩阵中分量的线性组合来表示；

(b)采用归一化指数加权准则对所述柔度优化模型及所述拉胀属性优化模型进行加权处理；

(c)将所述宏观目标函数及所述微观目标函数进行线性加权，以得到所述多目标优化模型。

3.如权利要求2所述的适用于具有功能梯度及拉胀属性的超材料的拓扑优化方法，其特征在于：所述宏观目标函数如以下公式所示：

式中，m＝1,2,…,M，表示M层微结构中的第m层；上标MA表示宏观量；上标MI表示微观量；函数f^MA为宏观目标函数；为每一层的微结构柔度值；表示第m层的宏观位移；表示第m层的微观位移；表示第m层的宏观应变的转置；表示微结构等效弹性矩阵；表示微观水平集函数；i,j,k,l＝1,2；为第m层宏观设计域。

4.如权利要求3所述的适用于具有功能梯度及拉胀属性的超材料的拓扑优化方法，其特征在于：所述微观目标函数如以下公式所示：

式中，分别对应材料弹性矩阵中的分量，通过控制优化过程中出现铰链机构形式的负泊松比结构，通过增加结构的剪切性能。

5.如权利要求4所述的适用于具有功能梯度及拉胀属性的超材料的拓扑优化方法，其特征在于：所述多目标优化模型J_m由以下公式表示：

式中， exp(·)表示指数函数；加权因子w_m,a和w_m,b分别表示宏观目标函数和微观目标函数在m层的权重，w_m,a和w_m,b之和等于1；分别代表宏观、微观目标函数的最小值、最大值；q＝2是归一化指数加权准则的指数常数。

6.如权利要求1所述的适用于具有功能梯度及拉胀属性的超材料的拓扑优化方法，其特征在于：所述超材料结构的每层由多个单元设计域组成，每个单元设计域上设置有连接域，相邻两层的所述单元设计域通过对应的所述连接域相连接。

7.如权利要求6所述的适用于具有功能梯度及拉胀属性的超材料的拓扑优化方法，其特征在于：相邻两个所述单元设计域的连接域的位置相对应，所有所述连接域沿所述超材料结构的梯度方向设置，且相邻两个单元设计域上的连接域的尺寸一致。