CN107292054A - 一种复杂船舶推进轴系扭转振动特性分析方法 - Google Patents

一种复杂船舶推进轴系扭转振动特性分析方法 Download PDF

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CN107292054A CN201710563535.3A CN201710563535A CN107292054A CN 107292054 A CN107292054 A CN 107292054A CN 201710563535 A CN201710563535 A CN 201710563535A CN 107292054 A CN107292054 A CN 107292054A
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Abstract

本发明提供一种复杂船舶推进轴系扭转振动特性分析方法，包括以下步骤：测定复杂船舶推进轴系基本参数；结合边界条件求解复杂船舶推进轴系扭转自由振动的固有频率以及固有频率所对应的复杂船舶推进轴系扭转自由振动的振型；复杂船舶推进轴系运转，在轴上施加扭矩；再计算F‑1(F(p,s))；结合边界条件，利用复杂船舶推进轴系在附属机构位置处的强迫振动振型和轴承处的强迫振动振型表示轴上位置x＝0处和x＝L处强迫振动角速度；求解复杂船舶推进轴系扭转在附属机构位置处的强迫振动振型和轴承处的强迫振动振型；求解复杂船舶推进轴系扭转强迫振动的振型；结合留数定理求解出复杂船舶推进轴系扭转强迫振动响应。本发明分析船舶推进轴系扭振特性结果可靠度高、计算速度快。

Description

一种复杂船舶推进轴系扭转振动特性分析方法
技术领域
本发明属于机械传动系统振动技术领域,涉及一种复杂船舶推进轴系扭转振动特性分析方法。
背景技术
船舶推进轴系是船舶动力装置的重要组成部分，包括从主机输出端推力轴承直到螺旋桨之间的传动轴以及轴上的附件。在船舶航行过程中，推进轴系受多种复杂载荷的作用，轴系扭转振动是影响舰船动力装置可靠性的重要因素之一。如果轴系长期工作于危险的临界转速区域内，则可能导致轴系动态性能的下降，产生变形及其疲劳失效，甚至发生扭断现象。这些都直接影响船舶航行性能和安全性，所以对轴系扭转振动计算的研究具有十分重要的意义。
在对复杂船舶推进轴系扭转特性分析的过程中，应从扭转自由振动和强迫振动两个方面入手，全面了解轴系扭转振动特性。传统的轴系扭转振动计算大多将轴系进行离散化，采用集中质量法来进行轴系建模，此种建模方法受模型离散化程度的影响，在进行轴系扭转振动固有特性分析过程中会产生误差，并且离散程度越高会导致计算速度显著降低。同样，在进行扭转强迫振动计算的过程中，普遍采用模态叠加法、纽马克法等数值解法，依然不能同时满足计算精度高、计算速度快的要求。因此，目前尚缺少一种高精度，快速求解复杂船舶推进轴系扭转振动特性的方法。
发明内容
本发明的目的在于提供一种精度更高、效率更优的复杂船舶推进轴系扭转振动特性分析方法。
本发明的目的是通过以下技术方案来实现的，包括以下步骤：
步骤一：测定复杂船舶推进轴系基本参数；
所述复杂船舶推进轴系基本参数包括：轴的半径和长度；附属机构相对轴的位置和质量；轴承相对轴的位置；
所述附属机构包括：齿轮箱、联轴器、曲柄连杆机构；
步骤二：结合边界条件求解复杂船舶推进轴系扭转自由振动的固有频率；
所涉及固有频率的计算表达式为
式中，s′为轴上附属机构个数，r为轴上轴承个数；Jj表示附属机构惯量的大小且j＝1,2,3,...,s；Ki代表轴承的刚度且i＝1,2,3,...,r；表示第j个附属机构的位置，表示第i个轴承的位置；Y(0)是轴上x＝0处的角位移,Y′(0)是轴上x＝0处的角速度；Y(L)是x＝L处的角位移,Y′(L)是轴上x＝L处的角速度；L为轴的长度；ρ为轴的密度，ω为固有频率，G为剪切模量，Ip为截面的极惯性矩；x为轴上位移；
步骤三：利用步骤二中求解得到的固有频率，求解复杂船舶推进轴系扭转自由振动附属机构所在位置的振型和轴承所在位置的振型
步骤四：利用步骤三中得到的和分别求解固有频率对应的复杂船舶推进轴系扭转自由振动的振型；
所述复杂船舶推进轴系扭转自由振动的振型表达式为
步骤五：复杂船舶推进轴系运转，在轴上位置x＝x′处施加扭矩M(x′,t)，式中t表示施加力矩的时间；再计算F-1(F(p,s))；
所涉及F-1(F(p,s))为F(p,s)的傅里叶逆变换，其中F(p,s)由M(x′,t)先进行拉氏变换再进行傅里叶变换得到；
步骤六：结合边界条件，利用复杂船舶推进轴系在附属机构位置处的强迫振动振型和轴承处的强迫振动振型表示轴上位置x＝0处和x＝L处强迫振动角速度U′(L,s)和U′(0,s)；
步骤七：求解复杂船舶推进轴系扭转在附属机构位置处的强迫振动振型和轴承处的强迫振动振型
步骤八：求解复杂船舶推进轴系扭转强迫振动的振型U(x,s)；
所涉及复杂船舶推进轴系扭转强迫振动的振型U(x,s)的表达式为
式中，e为指数常数；s为复变量；符号"*"代表卷积；
步骤九：结合留数定理求解出复杂船舶推进轴系扭转强迫振动响应θ(x,t)。
本发明与现有技术相比的有益效果是：
1)本发明提供了一种高精度、快速计算复杂船舶推进轴系扭转振动特性分析方法，克服了常规算法的计算精度和快速运算不能同时兼容的缺点，同时也避免了使用有限元软件进行大规模建模、网格划分等繁琐的过程，大大地缩短了计算的时间；
2)本发明广泛适用于包含各类附属结构和支撑复杂工程实际轴系扭转振动计算；
3)本发明无需对大型轴系进行实际测试就能得到轴系的振动响应特征频谱，及多种影响因素对轴系振动响应的影响规律，大大节省了反复试验投入的人力和物力，并且本发明方法易于学习和操作。
附图说明
图1是带有多个集中惯量和弹性支承的轴系扭转强迫振动模型。
图2是本发明方法流程图。
图3是分布载荷作用下轴上不同位置点的轴系扭转强迫振动响应幅值图。
图4是分布载荷作用下确定位置的轴系扭转强迫振动响应的时间与幅值图。
图5为支撑刚度为107N/m条件下轴系扭转强迫振动响应图。
图6为支撑刚度为106N/m条件下轴系扭转强迫振动响应图。
图7为支撑刚度为105N/m条件下轴系扭转强迫振动响应图。
图8为支撑刚度为104N/m条件下轴系扭转强迫振动响应图。
具体实施方式
下面结合图1模型，对图2流程图的具体实施过程进行详细的说明。应该强调的是模型1仅为例子，而不是为了限制本发明的应用范围。
本发明的目的在于提出一种高精度、快速求解复杂船舶推进轴系扭转振动特性分析方法，弥补现有技术的不足。其具体实施过程包括以下步骤：
步骤一：复杂船舶推进轴系扭转振动特性分析前处理：
a)选择汽轮发电机组、燃气轮机推进轴系、内燃机轴系等大型复杂船舶推进轴系为计算对象，选定固有频率、振型、强迫振动计算或是影响因素分析计算。
b)计算复杂推进轴系附属结构的附加惯量。复杂推进轴系附属结构包括：齿轮箱、联轴器、曲柄连杆机构。
c)确定轴承刚度参数。
d)轴系所受到的外部扭矩如：内燃机汽缸压力产生的扭矩可以以简谐力的形式来表示。
e)确定轴系及轴承的参数：包括轴段的基本几何尺寸参数及材料属性参数、附加惯量大小及位置参数、不平衡质量大小及偏心距参数、轴承的刚度和位置参数以及不同形式扭矩的大小和作用位置参数。
步骤二：建立复杂船舶推进轴系扭转强迫振动微分方程：
基于哈密顿原理，建立了带有多个集中惯量和弹性支承的复杂推进轴系扭转振动微分方程。以图1模型为例，其中，ρ为轴的密度，R为轴的半径，G为剪切模量。θ＝θ(x,t)为角位移。轴由s个集中惯量和r个弹性支撑组成，其中Jj(j＝1,2,3···s)表示集中惯量的大小，Ki(i＝1,2,3···,r)代表弹性支承的刚度。M(x,t)代表施加在轴上的单位长度的扭矩。应用哈密顿原理建模有：其中，T为动能，U为势能，W为非保守力作的功。具体表达形式如下：
动能的变分方程为：
其中，Ip为截面的极转动惯量，l为轴的长度，为Dirac函数，代表在位置存在一个集中惯量，为θ(x,t)对时间的偏导数。
势能的变分方程为：
其中，为Dirac函数,代表在位置存在一个弹性支承，为θ(x,t)对位移的偏导数。
非保守力做的功的变分方程为：
将上述变分方程带入哈密顿方程中，得到图1模型的动力学方程为：
其中，和分别为对时间和位移的两阶偏导数。此外，当M(x,t)＝0时，即为该模型的扭转自由振动微分方程。
步骤三：求解复杂船舶推进轴系扭转自由振动微分方程：
a)轴系扭转自由振动微分方程的求解过程：首先基于变量分离的方法将
时间项和位移项进行分离，假设θ(x,t)＝Y(x)T(t)，其中Y(x)仅是x的函数,T(t)仅是时间t的函数。将其带入到扭转自由振动微分方程中可得：
将时间项和位移项进行分离可得：
T″(t)+T(t)ω2＝0
然后根据拉氏变换方法对单独的位移函数方程在拉氏域上进行求解可得：
其中，ω为固有频率，S是复变量；Y(0)是t＝0时刻的角位移，Y′(0)是t＝0时刻的角速度；
最后根据拉氏逆变换求解出振型函数
其中，H(·)为Heaviside函数。
b)结合边界条件求解复杂船舶推进轴系扭转自由振动的固有频率；
所述的边界条件决定了复杂船舶推进轴系扭转自由振动中轴两端位置处的角位移和角速度值；在复杂船舶推进轴系扭转自由振动条件下，当轴系只有x＝0受约束时，Y(0)＝0；Y′(0)＝1；Y(0)是轴上x＝0处的角位移,Y′(0)是轴上x＝0处的角速度；Y(L)是x＝L处的角位移,Y′(L)是轴上x＝L处的角速度。
所涉及固有频率的计算表达式为
式中，s′为轴上附属机构个数，r为轴上轴承个数；Jj表示附属机构惯量的大小且有j＝1,2,3,...,s；Ki代表轴承的刚度且有i＝1,2,3,...,r；表示第j个附属机构的位置，表示第i个轴承的位置；Y(0)是轴上x＝0处的角位移,Y′(0)是轴上x＝0处的角速度；Y(L)是x＝L处的角位移,Y′(L)是轴上x＝L处的角速度；ω为固有频率，G为剪切模量，Ip为截面的极惯性矩；x为轴上位移；
c)利用步骤二中求解得到的固有频率，求解复杂船舶推进轴系扭转自由振动附属机构所在位置的振型和轴承所在位置的振型
d)利用步骤三中得到的和分别求解固定频率对应的复杂船舶推进轴系扭转自由振动的振型；
所述复杂船舶推进轴系扭转自由振动的振型表达式为
从而可以精确地求出轴系扭转振动的各阶固有频率对应的振型。
步骤四：求解复杂船舶推进轴系扭转强迫振动微分方程：
a)轴系扭转强迫振动微分方程的求解过程：首先将微分方程中的时间t在拉氏域上进行求解得到：
其中，
假设初始条件为：θ(x,0)＝0,将初始条件带入上述方程进行简化，然后根据有界区间的傅氏变换原则将位移x转换到傅氏域上可得：
其中，F(L(x,s))＝F(p,s)，
将上述方程进行整理可以得到：
其中，
然后对上述方程进行傅里叶逆变换可以得到：
其中，F-1(F(p,s))代表F(p,s)的逆变换，符号"*"代表卷积。
b)复杂船舶推进轴系运转，在轴上位置x＝x′处施加扭矩M(x′,t)，式中t表示施加力矩的时间；计算F-1(F(p,s))；
所涉及F-1(F(p,s))为F(p,s)的傅里叶逆变换，其中F(p,s)由M(x′,t)先进行拉氏变换再进行傅里叶变换得到；
c)结合边界条件，利用复杂船舶推进轴系在附属机构位置处的强迫振动振型和轴承处的强迫振动振型表示轴两端的强迫振动角速度U′(L,s)和U′(0,s)；
d)求解复杂船舶推进轴系扭转在附属机构位置处的强迫振动振型和轴承处的强迫振动振型
e)求解复杂船舶推进轴系扭转强迫振动的振型U(x,s)；
所涉及复杂船舶推进轴系扭转强迫振动的振型U(x,s)的表达式为
式中，e为指数常数；s为复变量；符号"*"代表卷积；
f)结合留数定理求解出复杂船舶推进轴系扭转强迫振动响应θ(x,t)。
步骤五：计算结果的后处理及输出：
a)固有频率和振型的计算结果输出：可输出任意阶数的固有频率及其相应的振型图；若输出多于两阶的固有频率，则固有频率将以列的形式来展示，振型图按照每行两个的排布原则，从上至下依次排布。此外，还可以输出集中惯量或弹性支承的大小或位置发生变化时，轴系固有频率和某阶振型的变化对比图，以集中惯量或弹性支承的大小或位置为横坐标，轴系固有频率或某阶振型为纵坐标。
b)强迫振动响应的计算结果输出：通过在不同的位置施加不同形式的激励力可以得到，轴系在受到分布载荷或是集中载荷作用下扭角随时间和位置变化的三维谱图，并且可以根据需要切换为扭角分别随时间和位置变化的平面图，便于直观的观察扭角随时间和位置的变化趋势，如图3和图4所示；并且可以输出随集中惯量、弹性支承以及激励力的大小或位置变换时的轴系扭角变化谱图；进一步的可以根据输出地扭角及轴段刚度得到轴系的应力分布图，图5～图8为不同支撑刚度条件下的轴系扭转强迫振动响应图。

Claims (4)

1.一种复杂船舶推进轴系扭转振动特性分析方法,其特征在于，包括以下步骤：
步骤一：测定复杂船舶推进轴系基本参数；
所述复杂船舶推进轴系基本参数包括：轴的半径和长度；附属机构相对轴的位置和质量；轴承相对轴的位置；
所述附属机构包括：齿轮箱、联轴器、曲柄连杆机构；
步骤二：结合边界条件求解复杂船舶推进轴系扭转自由振动的固有频率；
步骤三：利用步骤二中求解得到的固有频率，求解复杂船舶推进轴系扭转自由振动附属机构所在位置的振型和轴承所在位置的振型
步骤四：利用步骤三中得到的和分别求解步骤三中得到的固有频率所对应的复杂船舶推进轴系扭转自由振动的振型；
步骤五：复杂船舶推进轴系运转，在轴上位置x＝x′处施加扭矩M(x′,t)，式中t表示施加力矩的时间；再计算F-1(F(p,s))；s为复变量；
所涉及F-1(F(p,s))为F(p,s)的傅里叶逆变换，其中F(p,s)由M(x′,t)先进行拉氏变换再进行傅里叶变换得到；
步骤六：结合边界条件，利用复杂船舶推进轴系在附属机构位置处的强迫振动振型和轴承处的强迫振动振型表示轴上位置x＝0处和x＝L处强迫振动角速度U′(L,s)和U′(0,s)；
步骤七：求解复杂船舶推进轴系扭转在附属机构位置处的强迫振动振型和轴承处的强迫振动振型
步骤八：求解复杂船舶推进轴系扭转强迫振动的振型U(x,s)；
步骤九：结合留数定理求解出复杂船舶推进轴系扭转强迫振动响应θ(x,t)。
2.如权利要求1所述的一种复杂船舶推进轴系扭转振动特性分析方法,其特征在于，所述复杂船舶推进轴系扭转自由振动的固有频率的计算表达式为
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式中，s′为轴上附属机构个数，r为轴上轴承个数；Jj表示附属机构惯量的大小且j＝1,2,3,...,s′；Ki代表轴承的刚度且i＝1,2,3,...,r；表示第j个附属机构的位置，表示第i个轴承的位置；Y(0)是轴上x＝0处的角位移,Y′(0)是轴上x＝0处的角速度；Y(L)是x＝L处的角位移,L为轴的长度；ρ为轴的密度，ω为固有频率，G为剪切模量，Ip为截面的极惯性矩；x为轴上位移。
3.如权利要求1所述的一种复杂船舶推进轴系扭转振动特性分析方法，其特征在于，所述复杂船舶推进轴系扭转自由振动的振型表达式为
<mfenced open = "" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>Y</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mi>Y</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mn>0</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mi>cos</mi> <mi> </mi> <mi>a</mi> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <msup> <mi>Y</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mn>0</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mi>a</mi> </mfrac> <mi>sin</mi> <mi> </mi> <mi>a</mi> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <msub> <mi>aGI</mi> <mi>p</mi> </msub> </mrow> </mfrac> <mo>&amp;lsqb;</mo> <munderover> <mi>&amp;Sigma;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>r</mi> </munderover> <msub> <mi>K</mi> <mi>i</mi> </msub> <mi>Y</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>x</mi> <msub> <mi>K</mi> <mi>i</mi> </msub> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mi>sin</mi> <mi> </mi> <mi>a</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>x</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>x</mi> <msub> <mi>K</mi> <mi>i</mi> </msub> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mi>H</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>x</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>x</mi> <msub> <mi>K</mi> <mi>i</mi> </msub> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <msup> <mi>&amp;omega;</mi> <mn>2</mn> </msup> <munderover> <mi>&amp;Sigma;</mi> <mrow> <mi>j</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <msup> <mi>s</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> </munderover> <msub> <mi>J</mi> <mi>j</mi> </msub> <mi>Y</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>x</mi> <msub> <mi>J</mi> <mi>j</mi> </msub> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mi>sin</mi> <mi> </mi> <mi>a</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>x</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>x</mi> <msub> <mi>J</mi> <mi>j</mi> </msub> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mi>H</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>x</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>x</mi> <msub> <mi>J</mi> <mi>j</mi> </msub> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced>
式中，s′为轴上附属机构个数，r为轴上轴承个数；Jj表示附属机构惯量的大小且j＝1,2,3,...,s′；Ki代表轴承的刚度且i＝1,2,3,...,r；表示第j个附属机构的位置，表示第i个轴承的位置；Y(0)是轴上x＝0处的角位移,Y′(0)是轴上x＝0处的角速度；ρ为轴的密度，ω为固有频率，G为剪切模量，Ip为截面的极惯性矩；x为轴上位移。
4.如权利要求1所述的一种复杂船舶推进轴系扭转振动特性分析方法,其特征在于，所涉及复杂船舶推进轴系扭转强迫振动的振型U(x,s)的表达式为
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>U</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>s</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <msup> <mi>U</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>L</mi> <mo>,</mo> <mi>s</mi> <mo>)</mo> </mrow> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mi>a</mi> <mi>s</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>-</mo> <mi>L</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </msup> <mo>-</mo> <msup> <mi>U</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mi>s</mi> <mo>)</mo> </mrow> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mi>a</mi> <mi>s</mi> <mi>x</mi> </mrow> </msup> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> <mi>a</mi> <mi>s</mi> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mi>a</mi> <mi>s</mi> <mo>|</mo> <mi>x</mi> <mo>|</mo> </mrow> </msup> <mrow> <mn>2</mn> <msub> <mi>asGI</mi> <mi>p</mi> </msub> </mrow> </mfrac> <mo>*</mo> <msup> <mi>F</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>F</mi> <mo>(</mo> <mrow> <mi>p</mi> <mo>,</mo> <mi>s</mi> </mrow> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <munderover> <mi>&amp;Sigma;</mi> <mrow> <mi>j</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <msup> <mi>s</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> </munderover> <msub> <mi>J</mi> <mi>j</mi> </msub> <mi>U</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>x</mi> <msub> <mi>J</mi> <mi>j</mi> </msub> </msub> <mo>,</mo> <mi>s</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <msup> <mi>s</mi> <mn>2</mn> </msup> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mi>a</mi> <mi>s</mi> <mo>|</mo> <mi>x</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>x</mi> <msub> <mi>J</mi> <mi>j</mi> </msub> </msub> <mo>|</mo> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <munderover> <mi>&amp;Sigma;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>r</mi> </munderover> <msub> <mi>K</mi> <mi>i</mi> </msub> <mi>U</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>x</mi> <msub> <mi>K</mi> <mi>i</mi> </msub> </msub> <mo>,</mo> <mi>s</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mi>a</mi> <mi>s</mi> <mo>|</mo> <mi>x</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>x</mi> <msub> <mi>K</mi> <mi>i</mi> </msub> </msub> <mo>|</mo> </mrow> </msup> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> <msub> <mi>asGI</mi> <mi>p</mi> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>;</mo> </mrow>
式中，e为指数常数；s为复变量；符号"*"代表卷积；s′为轴上附属机构个数，r为轴上轴承个数；Jj表示附属机构惯量的大小且j＝1,2,3,...,s′；Ki代表轴承的刚度且i＝1,2,3,...,r；表示第j个附属机构的位置，表示第i个轴承的位置；ρ为轴的密度，ω为固有频率，G为剪切模量，Ip为截面的极惯性矩；x为轴上位移。
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