CN105659834B - 一种航天器微振动稳态时域响应分析方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种航天器微振动稳态时域响应分析方法，首先计算复频域内的模态位移响应，然后将复频域内的模态位移响应转换为稳态时域响应。本发明对于谐波形式干扰源作用下的航天器微振动时域响应计算，无需增加模型的复杂度和计算量，消除刚体“漂移”的影响；从根本上消除弹性体瞬态响应效应对稳态响应的影响，直接获得稳态时域响应，计算效率高、应用非常简便。<pb pnum="1" />

Description

一种航天器微振动稳态时域响应分析方法

技术领域

本发明涉及航天器微振动稳态时域响应分析方法，可为光学载荷成像质量评估提供动响应分析手段。

背景技术

航天器结构的在轨微振动响应分析对于光学载荷成像质量评估、振动控制措施应用等都是非常重要的。这类分析原则上属于结构动力学的范畴，因此，经典的动力学分析理论和方法都适用。然而，航天器在轨的动力学分析有其自身的特殊性：航天器处于自由-自由状态，与发射段的边界条件差异很大；系统基频较低(小于1赫兹)；激励频率可以达到几百赫兹，有限元模型的精细程度超过星箭耦合分析的模型；要求进行时域响应分析。这些特点使得常规的直接积分方法应用并不方便。具体说来，以下两个问题影响最为突出。

首先，由于航天器结构处于自由-自由状态，其动响应必然包含刚体模态和弹性模态两部分的影响。其中，刚体部分的响应由于没有阻尼作用，受载荷作用时会产生整体姿态“漂移”，呈发散状态。在航天器实际在轨工作时，并不会出现这种姿态发散，主要是因为航天器有姿态控制系统的作用，始终维持姿态在小范围内振荡。如果动力学模型中未引入控制系统的闭环作用，采用直接积分方法进行开环计算，必然出现姿态“漂移”。

其次，弹性模态的位移由两部分组成，其中一部分是伴随自由振动项，其振动频率为弹性模态的阻尼自由振动频率，随着时间的增长呈指数衰减；另一部分是强迫振动项，其振动频率与外载荷频率相同。航天器在轨长期工作时，其响应应该为后一部分。然而采用直接积分方法进行数值计算时，伴随自由振动项会参与到总响应中。伴随自由振动项的衰减快慢取决于模态阻尼的频率值。对于航天器微振动响应来说，因为系统的频率(通常取决于大型柔性附件的频率)很低、在轨振动阻尼较小，其衰减时间尤其长，衰减90％可能需要20分钟以上。

发明内容

本发明要解决的技术问题是：针对航天器在谐波形式载荷作用下的微振动稳态时域响应计算，提供一种基于复频理论的分析方法，可以消除开环仿真计算中出现的姿态“漂移”，也可以从根本上消除瞬态冲击响应的影响。

本发明包括如下技术方案：一种航天器微振动稳态时域响应分析方法，包括如下步骤：

(1)计算复频域内的模态位移响应；

将航天器在谐波形式外载荷作用下的微振动方程表达为：

${\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{q}}_r^{\left(i\right)}\left(t\right)=\underset{m=1}{\overset{p}{\&Sigma;}}{A}_m^{\left(i\right)}\cos ({\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&omega;}}}_{m}t+{\mathrm{\&alpha;}}_m^{\left(i\right)}),(i=1,\mathrm{...},6)---\left(1\right)$

${\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{q}}_e^{\left(j\right)}\left(t\right)+2{\mathrm{\&omega;}}_j{\mathrm{\&xi;}}_j{\stackrel{\&CenterDot;}{q}}_e^{\left(j\right)}\left(t\right)+{\mathrm{\&omega;}}_j^2{q}_e^{\left(j\right)}\left(t\right)=\underset{m=1}{\overset{p}{\&Sigma;}}{B}_m^{\left(j\right)}\cos ({\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&omega;}}}_{m}t+{\mathrm{\&beta;}}_m^{\left(j\right)}),(j=1,\mathrm{...},n)---\left(2\right)$

其中，分别代表第i阶刚体模态主坐标、第j阶弹性体模态主坐标；ω_j、ξ_j分别表示第j阶弹性体模态固有圆频率、模态阻尼；分别为第i阶刚体模态在频率处的激励幅值和相位；分别为第j阶弹性体模态在频率处的激励幅值和相位；n为弹性模态阶数；谐波形式外载荷包括p个谐波，第m个谐波的激振频率为

将公式(1)、(2)改写成复频域形式：

$-{\mathrm{\&omega;}}^2{\tilde{q}}_r^{\left(i\right)}\left(\mathrm{\&omega;}\right)={\tilde{f}}_r^{\left(i\right)}\left(\mathrm{\&omega;}\right),(i=1,\mathrm{...},6)---\left(3\right)$

$-{\mathrm{\&omega;}}^2{\tilde{q}}_e^{\left(j\right)}\left(\mathrm{\&omega;}\right)+2{\mathrm{i\&omega;\&omega;}}_j{\mathrm{\&xi;}}_j{\tilde{q}}_e^{\left(j\right)}\left(\mathrm{\&omega;}\right)+{\mathrm{\&omega;}}_j^2{\tilde{q}}_e^{\left(j\right)}\left(\mathrm{\&omega;}\right)={\tilde{f}}_e^{\left(j\right)}\left(\mathrm{\&omega;}\right),(j=1,\mathrm{...},n)---\left(4\right)$

其中，表示时域变量对应的复频域形式；

在离散频率点处，有

${\tilde{f}}_r^{\left(i\right)}\left({\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&omega;}}}_m\right)=A_m^{\left(i\right)}{e}^{{\mathrm{i\&alpha;}}_m^{\left(i\right)}},{\tilde{f}}_e^{\left(j\right)}\left({\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&omega;}}}_m\right)=B_m^{\left(j\right)}{e}^{{\mathrm{i\&beta;}}_m^{\left(j\right)}}$

得到复频域内的模态位移响应：

${\tilde{q}}_r^{\left(i\right)}\left({\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&omega;}}}_m\right)=-\frac{A_m^{\left(i\right)}{e}^{{\mathrm{i\&alpha;}}_m^{\left(i\right)}}}{{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&omega;}}}_m^2},(i=1,\mathrm{...},6)---\left(5\right)$

${\tilde{q}}_e^{\left(j\right)}\left({\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&omega;}}}_m\right)=D_m^{\left(j\right)}{e}^{i({\mathrm{\&beta;}}_m^{\left(j\right)}+{\mathrm{\&theta;}}_m^{\left(j\right)})},(j=1,\mathrm{...},n)---\left(6\right)$

其中，分别为第j阶弹性体模态在频率处的位移响应幅值、激励的相位差；

(2)将复频域内的模态位移响应转换为稳态时域响应；

首先提取对应各激振频率的模态位移响应幅值和相位，而后采用复频域响应的实部形式表达时域响应，最后将各频率成分进行代数累加，得到的模态位移时域响应为：

$q_r^{\left(i\right)}\left(t\right)=\underset{m=1}{\overset{p}{\&Sigma;}}\&lsqb;-\frac{A_m^{\left(i\right)}\cos ({\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&omega;}}}_{m}t+{\mathrm{\&alpha;}}_m^{\left(i\right)})}{{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&omega;}}}_m^2}\&rsqb;,(i=1,\mathrm{...},6)---\left(7\right)$

$q_e^{\left(j\right)}\left(t\right)=\underset{m=1}{\overset{p}{\&Sigma;}}\&lsqb;D_m^{\left(j\right)}\cos ({\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&omega;}}}_{m}t+{\mathrm{\&beta;}}_m^{\left(j\right)}+{\mathrm{\&theta;}}_m^{\left(j\right)})\&rsqb;,(j=1,\mathrm{...},n)---\left(8\right)$

对得到的模态位移时域响应进行如下变换，得到用物理坐标描述的位移响应；

$x=\mathrm{\&Phi;}q=\left[\begin{array}{cc}{\mathrm{\&Phi;}}_r& {\mathrm{\&Phi;}}_e\end{array}\right]\left\{\begin{array}{c}{q}_r\\ q_e\end{array}\right\}---\left(9\right)$

其中，Φ_r和Φ_e分别为刚体模态集、弹性体模态集；q_r和q_e分别为刚体模态主坐标向量、弹性体模态主坐标向量，其中

本发明与现有技术相比具有如下优点：

A基于复频理论的航天器微振动稳态时域响应分析方法，同传统的直接积分方法比较，对于谐波形式干扰源作用下的航天器微振动时域响应计算，无需增加模型的复杂度和计算量，消除刚体“漂移”的影响。

B从根本上消除弹性体瞬态响应效应对稳态响应的影响，直接获得稳态时域响应，计算效率高、应用非常简便。

附图说明

图1为本发明的分析方法整个实施流程。

图2为利用传统直接积分方法计算的某卫星在谐波形式干扰源作用下相机安装界面的转角位移。

图3为采用本发明的方法计算得到的时域响应曲线。

具体实施方式

下面结合附图对本发明做进一步介绍。

如图1所示，本发明包括如下步骤：

(1)计算复频域内的结构模态响应。

航天器结构系统的动力学时域方程为

$M\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}\left(t\right)+C\stackrel{\&CenterDot;}{x}\left(t\right)+Kx\left(t\right)=F\left(t\right)---\left(1\right)$

其中，M是质量矩阵；C是阻尼矩阵；K是质量矩阵；F(t)为外载荷向量；x(t)为节点位移向量。采用有限元建模并施加载荷后，有限元软件会自动生成M、C、K矩阵和F(t)向量。

首先，进行模态求解，得到模态集Φ＝[Φ_rΦ_e]。其中，刚体模态集弹性体模态集 分别表示第i阶刚体模态振型向量，第j阶弹性体模态振型向量；弹性模态阶数n需要根据具体问题选取，一般弹性体模态的频率范围上限要超过所关心的响应频率上限的两倍。

而后，利用模态叠加法对方程(1)进行解耦处理，设

$x=\mathrm{\&Phi;}q=\left[\begin{array}{cc}{\mathrm{\&Phi;}}_r& {\mathrm{\&Phi;}}_e\end{array}\right]\left\{\begin{array}{c}{q}_r\\ q_e\end{array}\right\}---\left(2\right)$

其中，q_r和q_e分别为刚体模态主坐标向量、弹性体模态主坐标向量，分别代表第i阶刚体模态主坐标、第j阶弹性体模态主坐标。

考虑到模态的正交性，且刚体模态刚度阵和阻尼阵为0，可得：

${\mathrm{\&Phi;}}_r^T{\mathrm{M\&Phi;}}_r{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{q}}_r\left(t\right)={\mathrm{\&Phi;}}_r^{T}F\left(t\right)---\left(3\right)$

${\mathrm{\&Phi;}}_e^T{\mathrm{M\&Phi;}}_e{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{q}}_e\left(t\right)+{\mathrm{\&Phi;}}_e^T{\mathrm{C\&Phi;}}_e{\stackrel{\&CenterDot;}{q}}_e\left(t\right)+{\mathrm{\&Phi;}}_e^T{\mathrm{K\&Phi;}}_e{q}_e\left(t\right)={\mathrm{\&Phi;}}_e^{T}F\left(t\right)---\left(4\right)$

再采用质量归一，将上述方程解耦后得到：

${\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{q}}_r^{\left(i\right)}\left(t\right)={\mathrm{\&Phi;}}_r^{{\left(i\right)}^T}F\left(t\right),(i=1,\mathrm{...},6)---\left(5\right)$

${\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{q}}_e^{\left(j\right)}\left(t\right)+2{\mathrm{\&omega;}}_j{\mathrm{\&xi;}}_j{\stackrel{\&CenterDot;}{q}}_e^{\left(j\right)}\left(t\right)+{\mathrm{\&omega;}}_j^2{q}_e^{\left(j\right)}\left(t\right)={\mathrm{\&Phi;}}_e^{{\left(j\right)}^T}F\left(t\right),(j=1,\mathrm{...},n)---\left(6\right)$

其中，ω_j、ξ_j分别表示第j阶弹性体模态固有圆频率、模态阻尼。

航天器微振动最主要的干扰源为动量轮等活动部件的不平衡力，这类外载荷F(t)近似呈正弦波(或余弦波)叠加的形式。不妨假定外载荷F(t)由p个余弦波(m＝1，...，p)叠加而成，其中每个余弦波其独立的幅值、相位和振动频率这样方程(5)、(6)可以分别表达成以下形式：

${\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{q}}_r^{\left(i\right)}\left(t\right)=\underset{m=1}{\overset{p}{\&Sigma;}}{A}_m^{\left(i\right)}\cos ({\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&omega;}}}_{m}t+{\mathrm{\&alpha;}}_m^{\left(i\right)}),(i=1,\mathrm{...},6)---\left(7\right)$

${\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{q}}_e^{\left(j\right)}\left(t\right)+2{\mathrm{\&omega;}}_j{\mathrm{\&xi;}}_j{\stackrel{\&CenterDot;}{q}}_e^{\left(j\right)}\left(t\right)+{\mathrm{\&omega;}}_j^2{q}_e^{\left(j\right)}\left(t\right)=\underset{m=1}{\overset{p}{\&Sigma;}}{B}_m^{\left(j\right)}\cos ({\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&omega;}}}_{m}t+{\mathrm{\&beta;}}_m^{\left(j\right)}),(j=1,\mathrm{...},n)---\left(8\right)$

其中，分别为第i阶刚体模态在频率处的激励幅值和相位，分别为第j阶弹性体模态在频率处的激励幅值和相位。

最后将上面两式改写成复频域形式：

$-{\mathrm{\&omega;}}^2{\tilde{q}}_r^{\left(i\right)}\left(\mathrm{\&omega;}\right)={\tilde{f}}_r^{\left(i\right)}\left(\mathrm{\&omega;}\right),(i=1,\mathrm{...},6)---\left(9\right)$

$-{\mathrm{\&omega;}}^2{\tilde{q}}_e^{\left(j\right)}\left(\mathrm{\&omega;}\right)+2{\mathrm{i\&omega;\&omega;}}_j{\mathrm{\&xi;}}_j{\tilde{q}}_e^{\left(j\right)}\left(\mathrm{\&omega;}\right)+{\mathrm{\&omega;}}_j^2{\tilde{q}}_e^{\left(j\right)}\left(\mathrm{\&omega;}\right)={\tilde{f}}_e^{\left(j\right)}\left(\mathrm{\&omega;}\right),(j=1,\mathrm{...},n)---\left(10\right)$

其中，表示时域变量对应的复域形式。

在离散频率点处，有

${\tilde{f}}_r^{\left(i\right)}\left({\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&omega;}}}_m\right)=A_m^{\left(i\right)}{e}^{{\mathrm{i\&alpha;}}_m^{\left(i\right)}},{\tilde{f}}_e^{\left(j\right)}\left({\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&omega;}}}_m\right)=B_m^{\left(j\right)}{e}^{{\mathrm{i\&beta;}}_m^{\left(j\right)}}$

求解可以得到复频域内的模态位移响应：

${\tilde{q}}_r^{\left(i\right)}\left({\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&omega;}}}_m\right)=-\frac{A_m^{\left(i\right)}{e}^{{\mathrm{i\&alpha;}}_m^{\left(i\right)}}}{{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&omega;}}}_m^2},(i=1,\mathrm{...},6)---\left(11\right)$

${\tilde{q}}_e^{\left(j\right)}\left({\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&omega;}}}_m\right)=D_m^{\left(j\right)}{e}^{i({\mathrm{\&beta;}}_m^{\left(j\right)}+{\mathrm{\&theta;}}_m^{\left(j\right)})},(j=1,\mathrm{...},n)---\left(12\right)$

其中，分别为第j阶弹性体模态在频率处的位移响应幅值、激励的相位差。

(2)利用结构的模态复频响应，将复频响应转换为稳态时域响应。

为了得到稳态的系统时域动力学响应，进而用于成像质量评估，还需要在上述频域计算完成后，获得时域响应结果。这需要首先提取对应各激振频率的模态响应幅值和相位，而后采用复响应的实部形式表达时域响应，最后将各频率成分进行代数累加。转换后的时域响应可统一表达为：

$q_r^{\left(i\right)}\left(t\right)=\underset{m=1}{\overset{p}{\&Sigma;}}\&lsqb;-\frac{A_m^{\left(i\right)}\cos ({\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&omega;}}}_{m}t+{\mathrm{\&alpha;}}_m^{\left(i\right)})}{{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&omega;}}}_m^2}\&rsqb;,(i=1,\mathrm{...},6)---\left(13\right)$

$q_e^j\left(t\right)=\underset{m=1}{\overset{p}{\&Sigma;}}\&lsqb;D_m^{\left(j\right)}\cos ({\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&omega;}}}_{m}t+{\mathrm{\&beta;}}_m^{\left(j\right)}+{\mathrm{\&theta;}}_m^{\left(j\right)})\&rsqb;,(j=1,\mathrm{...},n)---\left(14\right)$

上面得到了模态位移响应，经(2)式转换，可以得到物理坐标对应的位移响应。

利用得到的时域响应可以进行响应数据的统计分析，用于成像质量的评估。根据成像质量评估的需要，需要不同的响应统计结果，比如均方根值、相机积分时间内的响应峰峰值，这些结果都可以从时域响应曲线进行统计计算。

图2为利用传统直接积分方法计算的某卫星在谐波形式干扰源作用下相机安装界面的转角位移(绕X轴转动的转角位移)随时间变化的曲线，图3为采用本发明的方法计算得到的时域响应曲线。从图2可以看出，直接积分方法计算得到的位移响应时域曲线是在一条直线(称为刚体“漂移”)上叠加若干个余弦波，因此，总位移是无限增加的，该计算结果并不符合航天器实际工作情况。从图3可以看出，本发明的方法可以一次性得到稳态时域响应结果，且消除了刚体“漂移”和瞬态响应效应的影响。

本发明未详细说明部分属本领域技术人员公知常识。

Claims (1)

1.一种航天器微振动稳态时域响应分析方法，包括如下步骤：

(1)计算复频域内的模态位移响应；

将航天器在谐波形式外载荷作用下的微振动方程表达为：

${\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{q}}_r^{\left(i\right)}\left(t\right)=\underset{m=1}{\overset{p}{\&Sigma;}}{A}_m^{\left(i\right)}\cos ({\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&omega;}}}_{m}t+{\mathrm{\&alpha;}}_m^{\left(i\right)}),(i=1,\mathrm{...},6)---\left(1\right)$

${\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{q}}_e^{\left(j\right)}\left(t\right)+2{\mathrm{\&omega;}}_j{\mathrm{\&xi;}}_j{\stackrel{\&CenterDot;}{q}}_e^{\left(j\right)}\left(t\right)+{\mathrm{\&omega;}}_j^2{q}_e^{\left(j\right)}\left(t\right)=\underset{m=1}{\overset{p}{\&Sigma;}}{B}_m^{\left(j\right)}\cos ({\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&omega;}}}_{m}t+{\mathrm{\&beta;}}_m^{\left(j\right)}),(j=1,\mathrm{...},n)---\left(2\right)$

其中，分别代表第i阶刚体模态主坐标、第j阶弹性体模态主坐标；ω_j、ξ_j分别表示第j阶弹性体模态固有圆频率、模态阻尼；分别为第i阶刚体模态在频率处的激励幅值和相位；分别为第j阶弹性体模态在频率处的激励幅值和相位；n为弹性模态阶数；谐波形式外载荷包括p个谐波，第m个谐波的激振频率为其中m＝1，...，p；

将公式(1)、(2)改写成复频域形式：

$-{\mathrm{\&omega;}}^2{\tilde{q}}_r^{\left(i\right)}\left(\mathrm{\&omega;}\right)={\tilde{f}}_r^{\left(i\right)}\left(\mathrm{\&omega;}\right),(i=1,\mathrm{...},6)---\left(3\right)$

$-{\mathrm{\&omega;}}^2{\tilde{q}}_e^{\left(j\right)}\left(\mathrm{\&omega;}\right)+2{\mathrm{i\&omega;\&omega;}}_j{\mathrm{\&xi;}}_j{\tilde{q}}_e^{\left(j\right)}\left(\mathrm{\&omega;}\right)+{\mathrm{\&omega;}}_j^2{\tilde{q}}_e^{\left(j\right)}\left(\mathrm{\&omega;}\right)={\tilde{f}}_e^{\left(j\right)}\left(\mathrm{\&omega;}\right),(j=1,\mathrm{...},n)---\left(4\right)$

其中，表示时域变量对应的复频域形式；

在离散频率点处，有

${\tilde{f}}_r^{\left(i\right)}\left({\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&omega;}}}_m\right)=A_m^{\left(i\right)}{e}^{{\mathrm{i\&alpha;}}_m^{\left(i\right)}},{\tilde{f}}_e^{\left(j\right)}\left({\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&omega;}}}_m\right)=B_m^{\left(j\right)}{e}^{{\mathrm{i\&beta;}}_m^{\left(j\right)}}$

得到复频域内的模态位移响应：

${\tilde{q}}_r^{\left(i\right)}\left({\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&omega;}}}_m\right)=-\frac{A_m^{\left(i\right)}{e}^{{\mathrm{i\&alpha;}}_m^{\left(i\right)}}}{{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&omega;}}}_m^2},(i=1,\mathrm{...},6)---\left(5\right)$

${\tilde{q}}_e^{\left(j\right)}\left({\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&omega;}}}_m\right)=D_m^{\left(j\right)}{e}^{i({\mathrm{\&beta;}}_m^{\left(j\right)}+{\mathrm{\&theta;}}_m^{\left(j\right)})},(j=1,\mathrm{...},n)---\left(6\right)$

其中，分别为第j阶弹性体模态在频率处的位移响应幅值、激励的相位差；

(2)将复频域内的模态位移响应转换为稳态时域响应；

首先提取对应各激振频率的模态位移响应幅值和相位，而后采用复频域响应的实部形式表达时域响应，最后将各频率成分进行代数累加，得到的模态位移时域响应为：

$q_r^{\left(i\right)}\left(t\right)=\underset{m=1}{\overset{p}{\&Sigma;}}\&lsqb;-\frac{A_m^{\left(i\right)}\cos ({\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&omega;}}}_{m}t+{\mathrm{\&alpha;}}_m^{\left(i\right)})}{{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&omega;}}}_m^2}\&rsqb;,(i=1,\mathrm{...},6)---\left(7\right)$

$q_e^{\left(j\right)}\left(t\right)=\underset{m=1}{\overset{p}{\&Sigma;}}\&lsqb;D_m^{\left(j\right)}cos({\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&omega;}}}_{m}t+{\mathrm{\&beta;}}_m^{\left(j\right)}+{\mathrm{\&theta;}}_m^{\left(j\right)})\&rsqb;,(j=1,\mathrm{...},n)---\left(8\right)$

对得到的模态位移时域响应进行如下变换，得到用物理坐标描述的位移响应；

其中，Φ_r和Φ_e分别为刚体模态集、弹性体模态集；q_r和q_e分别为刚体模态主坐标向量、弹性体模态主坐标向量，其中