CN107748821B

CN107748821B - 一种三维耦合结构的振动分析方法

Info

Publication number: CN107748821B
Application number: CN201711032905.7A
Authority: CN
Inventors: 靳国永; 张春雨; 叶天贵; 杨传猛; 张艳涛; 王雪仁; 缪旭弘
Original assignee: Harbin Engineering University
Current assignee: Harbin Engineering University
Priority date: 2017-10-30
Filing date: 2017-10-30
Publication date: 2020-12-04
Anticipated expiration: 2037-10-30
Also published as: CN107748821A

Abstract

一种三维耦合结构的振动分析方法，包括以下步骤：将耦合板划分为子单元板结构；将耦合板结构的位移场函数分解，结合边界条件，计算面内、面外位移向量以及面内、面外力向量；计算边界上面内、面外边界位移和力的映射；计算面内、面外动力刚度矩阵；将动力刚度矩阵进行组合，计算面内、面外动力刚度矩阵；通过整合得到子单元板结构的动力刚度矩阵与运动学方程；选取其中一个子单元所在笛卡尔坐标系为全局坐标系，将动力刚度矩阵转换到全局坐标系下，然后进行矩阵组装得到结构整体的动力学控制方程；求解结构整体的动力学控制方程，得到三维耦合结构的强迫振动响应。本发明方法可以解决任意经典边界任意耦合角度三维耦合壳体的强迫振动问题。

Description

一种三维耦合结构的振动分析方法

技术领域

本发明涉及的是一种应用于工程力学和振动工程领域的三维耦合结构振动分析方法。

背景技术

三维耦合结构广泛应用于船舶与海洋工程和机械工程等工程设备中，通常其工作环境错综复杂容易受到各种随机激励冲击而诱发不良振动，进而影响设备的正常运行和安全生产。所以研究此类结构的强迫振动特性规律对设备早期的减振降噪设计具有十分重要的指导意义。

目前，有限元法作为一种成熟的数值计算方法被广泛应用于实际工程设备的声振特性预报。然而有限元在处理复杂耦合结构时需要划分大量网格，导致其在计算此类结构的中高频振动问题时无法保证计算精度和计算效率。与有限元等数值方法相比，解析方法在处理振动问题时具有计算效率高、计算结果精准和计算频带宽等优点。但是，只有几何形状规则的单一结构单元才能用解析的方法求解，解析法难以解决复杂的耦合结构的声振预报问题。并且，在处理耦合板壳的振动问题时需要分别求解相互解耦的面内、面外振动控制方程，进一步增加了求解难度。近年来，许多学者对于耦合板壳振动问题的求解提出了不同的求解方法，例如谱元法、基于波的方法、改进傅里叶级数法和微分求积法等，但是以上方法都很难同时满足计算精度高、速度快和任意边界条件等方面的要求。因此研究和建立一种任意耦合方式、任意边界条件的三维耦合结构振动分析方法具有十分重要的理论和工程意义。

目前没有检索到基于动力刚度法的三维耦合结构振动分析方法计算耦合结构振动问题的相关文献报道。

发明内容

本发明的目的是这样实现的，一种三维耦合结构的振动分析方法，包括以下步骤：

步骤一：对耦合板结构的边界进行编号，将耦合板划分为子单元板结构。

步骤二：将耦合板结构的位移场函数分解；

所述耦合板结构的面内和面外位移场函数分解表达式分别为：

其中向量

表示频域内面内方向的位移，

表示频域内面内和面外方向的位移，下标in和out分别代表面内和面外方向，u，v,w分别表示笛卡尔坐标系下x,y,z轴方向的位移，φ为转角；

和

分别是频域内面内方向位移分量的对称-对称、对称-反对称、反对称-对称和反对称-反对称部分；

和

分别是频域内面外方向位移分量的对称-对称、对称-反对称、反对称-对称和反对称-反对称部分；ω为圆频率，x,y为笛卡尔坐标系的坐标。

步骤三：将步骤二中耦合板结构的位移场函数分解结果，分解为无限傅里叶级数形式，其表达式为：

其中

是待定系数，

和

分别是面内位移在x和y坐标轴方向的基函数，

和

分别是面外位移在x和y坐标轴方向的基函数，且有i,j＝S,A；

步骤四：依据矩形薄板内力和位移的关系，得到频域内的力的无限傅里叶级数形式，其表达式为：

其中，

分别是力在x和y坐标轴方向的三角基函数,分别由

根据力与位移的关系推导得到。

步骤五：结合边界条件，计算面内、面外位移向量以及面内、面外力向量；

所述面内位移向量

和面外位移向量

的计算表达式为

所述面内力向量

和面外力向量

的计算表达式为：

式中，a和b分别为边界在x和y坐标轴方向的值。

步骤六：计算边界上面内、面外边界位移的映射以及面内、面外力的映射；

所述面内边界位移的映射

和面外边界位移的映射

的表达式为：

所述面内力的映射

和面外力的映射

的表达式为：

其中L为边界长度，

为映射函数向量，s为积分变量，

和

为中间变量矩阵。

步骤七：计算面内、面外动力刚度矩阵；

所涉及的面内动力刚度矩阵

和面外动力刚度矩阵

表达式为：

步骤八：将动力刚度矩阵进行组合，计算面内、面外动力刚度矩阵

和

其表达式为：

将

与

重新排列得到面内面外运动方程如下：

其中

和

的分别表示子单元板结构第i′条边界上所对应面内的位移和力的映射向量，

和

的分别表示子单元板结构第i′条边界上所对应面外的位移和力的映射向量；

表示第i′,j′条边界所对应面内的动力刚度子矩阵，

表示第i′,j′条边界所对应面内/面外的动力刚度子矩阵，其中i′,j′＝1,2,...,4。

步骤九：将面内、面外动力刚度矩阵

和

进行整合得到子单元板结构的动力刚度矩阵与运动学方程，其表达式为：

步骤十：根据子单元板结构的空间分布，选取其中一个子单元所在笛卡尔坐标系为全局坐标系，引入空间转化矩阵T将其在局部坐标系下的动力刚度矩阵转换到全局坐标系下，然后进行矩阵组装得到结构整体的动力学控制方程。

步骤十一：引入边界条件，施加外部激励，求解结构整体的动力学控制方程，得到三维耦合结构的强迫振动响应。

本发明具有如下有益效果：相比于现有解析方法只是用于单一板单元振动分析，本发明的方法可解决任意经典边界任意耦合角度的三维耦合结构的强迫振动分析问题。本发明中的方法从控制方程出发推导出精确的形函数，使其具有计算效率高、收敛速度快和占用计算机资源少的特点，可以有效提高计算频率范围。在理论推导中同时考虑了面内和面为振动，在子单元板结构耦合时将面内面外位移通过坐标转换后可直接耦合，此过程物理意义明确并可有效的避免计算误差。通过本发明提出的基于动力刚度法，可以解决复杂三维耦合壳体的强迫振动问题，并且具有适用任意边界、精度高、收敛快、占用计算机资源少等特点。

附图说明

图1为本发明的流程图。

图2为耦合板示意图。

图3矩形板几何示意图。

图4为坐标空间转化示意图。·

图5本发明方法与有限元法法向位移比较图。

图6本发明方法与有限元法法向位移比较图。

具体实施方式

下面结合附图举例对本发明做更详细的描述：

结合图1，本发明具体步骤如下：

步骤一：如图2所示，考虑一个有三个子单元结构组成的耦合板结构，首先对耦合板结构的所有边界进行编号

i为子结构的编号，j为子结构边界的编号，然后根据耦合边界情况将耦合板划分为若干子单元板结构。

步骤二：所有面内/面外振动位移场函数都可以表示成以下四部分位移的叠加：对称-对称(SS)、对称-反对称(SA)、反对称-对称(AS)和反对称-反对称(AA)。

其中向量

和

表示频域内方向的位移，下标in和out分别代表面内和面外方向，u，v,w分别表示笛卡尔坐标系下x,y,z方向的位移，φ为转角，

和

和

分别是频域内面外方向位移分量的对称-对称、对称-反对称、反对称-对称和反对称-反对称部分；ω为圆频率，x,y为笛卡尔坐标系的坐标轴。

对于面外位移，上标中的第一个字母表示位移关于y轴的分布情况，第二个字母表示位移关于x轴的分布情况。

对于面内位移，上标中的第一个字母表示位移v关于y轴的分布情况，第二个字母表示位移u关于x轴的分布情况。

步骤三：将步骤二中面内/面外位移场函数的四部分分量为别分解为无限傅里叶级数形式，其表达式为：

其中

是待定系数，

和

分别是位移在x和y坐标轴方向的三角基函数，同时i,j＝S,A。

步骤四：根据内力与位移的关系推导可得到力的表达式：

其中，

分别是力在x和y坐标轴方向的三角基函数。

矩形薄板内力与位移的关系表达式如下：

其中，

E为杨氏模量，h为薄板厚度，μ为泊松比。

步骤五：将矩形板的1/4作为研究对象，如图3中阴影部分。定义在边界x＝a和y＝b上面内/面外位移和力向量。

所述位移向量的计算表达式为

所述力向量的计算表达式为：

式中，a和b分别为边界在x和y坐标轴方向的值。

步骤六：计算边界上面内/面外各分量位移与力的映射：

利用映射方法，得到边界位移与力的映射表达式：

其中L为边界长度，

为映射函数向量，s为积分变量，

和

中间变量矩阵。

步骤七：计算动力刚度矩阵：

根据步骤六中两组公式，可得面内/面外运动方程为：

其中

为面内动力刚度矩阵和

为面外动力刚度矩阵。将动力刚度矩阵的四部分进行组合得到面内、面运动学方程：

如3中指出，以上动力刚度矩阵是基于1/4矩形板推导所得。根据位移分布的对称/反对称性，以整体矩形板四条边界为基准，将

与

重新排列得到面内/面外运动方程如下：

其中

和

和

表示第i′,j′条边界所对应面内的动力刚度子矩阵，

步骤八：将面内、面外动力刚度矩阵

和

进行整合得到子单元板结构的整体动力刚度矩阵与运动学方程：

步骤九：如图2所示，选取板①所在笛卡尔坐标系为全局坐标系，引入空间转化矩阵T，将其他子单元结构所处坐标系按照与全局坐标系的耦合角度转化到全局坐标系下。力与位移向量在两个坐标系下的转换关系如下：

转换后的动力刚度矩阵为

结合坐标转换示意图图3，空间转化过程如下：

其中(x,y,z,φ)为局部坐标系，(x^g,y^g,z^g,φ^g)为全局坐标系，θ为局部坐标系与全局坐标系之间的夹角。

然后按照类似于有限元法中的耦合方法，对所有子单元结构动力刚度矩阵进行耦合，得到整体结构的动力学控制方程：

其中

和

的分别表示第i(i＝1～4)个子单元板结构的第j(j＝1～4)条边界上所对应的位移和力映射向量，

表示第i(i＝1～3)各子单元板结构中第i,j(i,j＝1～4)条边界所对应动力刚度子矩阵。步骤十：引入边界条件，如存在某边界某方向位移为零时，将该边界所对应动力刚度矩阵的行和列进行划行划列。外部激励F(ξ,ω)通过映射法施加在力的映射向量

中,其关系表达式如下：

其中，H为映射函数。最后，求解动力学方程：

得到耦合结构的强迫振动响应。

步骤三中，以薄板面外振动位移w的对称-对称(ss)分量为例，介绍基函数的定义：

为满足位移的对称-对称特性，将w_ss定义为：

其中

和

为偶函数。将w_ss的表达式带入薄板面外振动控制方程：

求得：

其中

和

为特征方程的根。

步骤四中，以

为例，介绍动力刚度矩阵的转换过程：

首先给出面外位移在矩形板四条边界上的位移表达式：

其中

和

分别是各边界位移的映射，用向量的形式可表示为：

沿边界x＝a与y＝b的面外位移的SS分量表达式：

可将其所对应位移的映射写成矩阵的形式如下：

另外三组位移的映射也可以写成同样的形式，将四部分写成矩阵形式如下：

沿着边界y＝±b的位移

可写成四部分位移的叠加形式，如下：

根据面外位移的对称/反对称特性，可得：

结合以上两式，可得：

同理可得：

将面外位移在矩形板四条边界上的位移表达式和沿边界x＝a与y＝b的面外位移的SS分量表达式带入以上四个等式可得：

将其用写成矩阵的形式如下：

其中

为转换矩阵：

根据相同原理可以得到力映射向量的转换公式：

结合其余三组位移与力的映射分量可得：

其中：

从边界位移映射向量

可以看出，其中以子向量

为单位依次排列。

中包含了四条边界上的位移映射，这种排列方式不利于下一步的面内面外动力刚度矩阵的整合。方便起见，对其进行进一步新排列，排列方式如下：

其中i＝1,3时

i＝2,4时

其所对应的力的映射向量

做相应的重新排列，对应的动力刚度矩阵

做对应的初等变化。

根据以上步骤，对图2中复杂耦合结构进行了验算。这一耦合结构虽然只有三个单一子结构，但是其板单元之间的耦合角度可以是任意值，因而具有代表性。根据此耦合结构的空间几何特性，可将其划分为三个单一板单元结构，如图3所示对其边界进行编号。假设三个板几何尺寸相同，2a＝2b＝0.4m，h＝0.003m，杨氏模量E＝2.06e11Gpa，密度ρ＝7850kg/cm³。板①和板板②之间的夹角θ＝45°，板③与板①相互平行。边界

和

固支，在边界

上施加z方向的单位分布力。截断级数取M＝5。图5、图6分别给出了边界

中点的z方向振动响应与有限元计算结果对比图，从图中可以看出两种方法计算结果吻合较好。通过本发明在以上例子中的实施结果可以看出，本发明可以用于计算复杂耦合壳体的强迫振动响应，有能力对该结构动力学响应特性进行分析。