CN104036101A - 基于脉冲响应函数的弹性连接子结构综合方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种基于脉冲响应函数的弹性连接子结构综合方法，属于结构动力学技术领域。该方法包括如下步骤：首先获得各个子结构的脉冲响应函数矩阵；然后根据子结构间的连接关系建立子结构界面的相容条件(包括界面位移相容条件和界面力相容条件)以及连接件的运动方程；接下来利用界面力相容条件和脉冲响应函数矩阵建立子结构的运动方程；最后利用位移相容条件和连接件的运动方程将所有子结构的运动方程综合起来，解得各个子结构的响应。与经典时域子结构法相比，本发明以脉冲响应函数为基础，给出了子结构间弹性连接件的一种描述方法，克服了经典时域子结构法仅适于分析子结构间为刚性连接的缺陷，拓展了时域子结构方法的应用范围。

Description

基于脉冲响应函数的弹性连接子结构综合方法

技术领域

本发明涉及一种弹性连接子结构综合方法和算法，特别涉及一种基于脉冲响应函数的弹性连接子结构综合和算法，属于结构动力学技术领域。

背景技术

随着航天技术的发展和对工程结构动态设计要求的提高，航天器结构系统变得日益复杂和庞大。在动态分析和优化设计过程中，由于模型自由度较多，不得不耗费大量的时间进行计算。另一方面，许多航天器在研制过程中往往需要不同地域甚至不同国家之间的合作，考虑到技术保护问题，合作双方无法直接共享有限元模型。动态子结构方法就是为解决上述问题而发展起来的一种较为理想的方法。

自从1960年Hurty首次实现动态子结构(Dynamic Substituting，DS)技术以来，经过半个世纪的发展动态子结构技术已经广泛应用于工程领域，先后形成了三类方法：模态综合(Component Mode Synthesis，CMS)法、频域子结构(Frequency Based Substructuring，FBS)方法和基于脉冲的子结构(ImpulseBased Substituting，IBS)即经典时域子结构方法。前两种方法中，子结构的动力学特性分别由模态和频率响应函数描述。IBS方法是Rixen于2010年提出的新型时域子结构方法，子结构的动力学特性由脉冲响应函数描述。IBS相对于其它两种方法更适于瞬态冲击动力学问题，目前已在海上风力发电机的振动分析和月球探测器的软着陆动响应计算中得到了应用。

然而，Rixen的IBS方法中假设子结构之间的连接是刚性的，即两个子结构的连接自由度的位移始终是相等的。这是一种理想条件下的假设，因为实际的连接件都是包含弹性的。一个高精度的结构动力学分析过程不仅需要建立准确的子结构模型，也要如实地反映子结构间的连接。如果刚性连接不能充分描述真实的连接，那么仿真计算得到的动响应结果必然与试验结果相差甚远。因此如何在经典的IBS方法中考虑连接件的弹性特性成为IBS技术的发展进程中必须解决的问题。

发明内容

本发明的目的是为解决传统IBS方法不能真实反应子结构连接件的弹性特性从而导致整个系统的动力学响应分析失真的问题，提出一种时域子结构综合过程中对弹性连接的描述方法，该方法拓展了IBS方法的适用范围。

本发明方法的基本思路为：首先获得各个子结构的脉冲响应函数矩阵；然后根据子结构间的连接关系建立子结构界面的相容条件(包括界面位移相容条件和界面力相容条件)以及连接件的运动方程；接下来利用界面力相容条件和脉冲响应函数矩阵建立子结构的运动方程；最后利用位移相容条件和连接件的运动方程将所有子结构的运动方程综合起来，解得各个子结构的响应。

本发明的技术方案如下：

一种基于脉冲响应函数的弹性连接子结构综合方法，如图1所示，包括以下步骤：

步骤1：通过数值积分方法Newmark法或者试验方法获得每个子结构的脉冲响应函数矩阵H^(s)(t)，其中s表示子结构的序号，H^(s)(t)矩阵的元素表示系统第s个子结构的第j个自由度在脉冲激励下第i个自由度的位移响应；

步骤2：弹性连接件的动力学描述，包括以下步骤：

步骤2.1：系统位移向量的分块：

系统的位移向量用全体子结构的位移向量表示为：

$u={\left[\begin{array}{cccc}{u}^{{\left(1\right)}^T}& u^{{\left(2\right)}^T}& ...& u^{{\left(N_s\right)}^T}\end{array}\right]}^T;---\left(1\right)$

式中，N_s为系统中子结构的个数，T表示矩阵转置。根据子结构间的连接关系，将子结构的位移向量u^(s)分块为界面自由度和内部自由度

$u^{\left(s\right)}={\left[\begin{array}{cc}{u}_c^{{\left(s\right)}^T}& u_i^{{\left(s\right)}^T}\end{array}\right]}^T;---\left(2\right)$

并令：

$u_c={\left[\begin{array}{cccc}{u}_c^{{\left(1\right)}^T}& u_c^{{\left(2\right)}^T}& ...& u_c^{{\left(N_s\right)}^T}\end{array}\right]}^T;---\left(3\right)$

步骤2.2：确定界面位移相容条件：

子结构间所有弹性连接件的自由度u_e全部分布于各个连接件的边界上，位移相容条件要求u_e＝u_c；通过下式求得布尔矩阵B：

$\mathrm{Bu}=\underset{s=1}{\overset{N_s}{\mathrm{\Σ}}}{B}^{\left(s\right)}{u}^{\left(s\right)}=u_c;---\left(4\right)$

则界面位移相容条件最终表示为：

$\underset{s=1}{\overset{N_s}{\mathrm{\Σ}}}{B}^{\left(s\right)}{u}^{\left(s\right)}=u_e;---\left(5\right)$

步骤2.3：确定界面力相容条件：

连接件自由度u_e对全体子结构边界的作用力向量用λ表示，则系统第s个子结构受到的来自连接件的作用力g^(s)为：

$g^{\left(s\right)}=B^{{\left(s\right)}^T}\mathrm{\λ};---\left(6\right)$

界面力相容条件(即牛顿第三定律)要求子结构边界对连接件自由度u_e的作用力向量为λ_e＝-λ；

步骤2.4：建立连接件的运动方程：

令所有连接件的总体质量、阻尼和刚度矩阵分别为Μ_e、C_e和Κ_e，则所有连接件的运动方程为：

$M_e{\stackrel{\·\·}{u}}_e+C_e{\stackrel{\·}{u}}_e+K_e{u}_e={\mathrm{\λ}}_e;---\left(7\right)$

式中：和u_e分别是连接件自由度的加速度、速度和位移向量；

步骤3：建立子结构的运动方程，包括以下步骤：

步骤3.1：建立时间连续形式的子结构运动方程：

由Duhamel积分可知，系统第s个子结构的运动方程为：

$u^{\left(s\right)}\left(t\right)={\∫}_0^t{H}^{\left(s\right)}(t-\mathrm{\τ})[f^{\left(s\right)}\left(\mathrm{\τ}\right)+g^{\left(s\right)}\left(\mathrm{\τ}\right)]\mathrm{d\τ};---\left(8\right)$

式中，f^(s)为子结构所受的外载荷；

步骤3.2：将步骤3.1中的子结构运动方程进行时间离散，得：

$u_n^{\left(s\right)}=\underset{i=0}{\overset{n-1}{\mathrm{\Σ}}}{H}_{n-i}^{\left(s\right)}({f_i}^{\left(s\right)}+f_{i+1}^{\left(s\right)}+B^{{\left(s\right)}^T}{\mathrm{\λ}}_i+B^{{\left(s\right)}^T}{\mathrm{\λ}}_{i+1})\frac{\mathrm{dt}}{2};---\left(9\right)$

式中，dt为积分步长，角标代表时刻(如u_n＝u(ndt))；

步骤3.3：利用Newmark方法表示子结构的速度和加速度

${\stackrel{\·\·}{u}}_n^{\left(s\right)}=\frac{1}{\mathrm{\β}{\mathrm{dt}}^2}(u_n^{\left(s\right)}-u_{n-1}^{\left(s\right)})-\frac{1}{\mathrm{\βdt}}{\stackrel{\·}{u}}_{n-1}^{\left(s\right)}-(\frac{1}{2\mathrm{\β}}-1){\stackrel{\·\·}{u}}_{n-1}^{\left(s\right)};---\left(10\right)$

${\stackrel{\·}{u}}_n^{\left(s\right)}=\frac{\mathrm{\γ}}{\mathrm{\βdt}}(u_n^{\left(s\right)}-u_{n-1}^{\left(s\right)})+(1-\frac{\mathrm{\γ}}{\mathrm{\β}}){\stackrel{\·}{u}}_{n-1}^{\left(s\right)}+(1-\frac{\mathrm{\γ}}{2\mathrm{\β}}){\stackrel{\·\·}{u}}_{n-1}^{\left(s\right)}\mathrm{dt};---\left(11\right)$

式中，γ和β是Newmark法的无量纲参数；

步骤4：综合求解式(5)、(7)、(9)、(10)和(11)得各个子结构位移响应和子结构间界面力的时间递推公式为：

$\left\{\begin{array}{c}{u}_n^{\left(s\right)}={\tilde{u}}_{n-1}^{\left(s\right)}+H_1^{\left(s\right)}{B}^{{\left(s\right)}^T}{\mathrm{\λ}}_n\frac{\mathrm{dt}}{2}\\ {\mathrm{\λ}}_n=G^{-1}({\tilde{p}}_{n-1}-\underset{s=1}{\overset{N_s}{\mathrm{\Σ}}}{\stackrel{\‾}{K}}_e{B}^{\left(s\right)}{\tilde{u}}_{n-1}^{\left(s\right)})\end{array}\right.;---\left(12\right)$

式中：

$\begin{array}{c}{\tilde{u}}_{n-1}^{\left(s\right)}=\underset{i=0}{\overset{n-2}{\mathrm{\Σ}}}{H}_{n-i}^{\left(s\right)}[{f_i}^{\left(s\right)}+f_{i+1}^{\left(s\right)}+B^{{\left(s\right)}^T}({\mathrm{\λ}}_i+{\mathrm{\λ}}_{i+1})]\frac{\mathrm{dt}}{2}\\ +H_1^{\left(s\right)}(f_{n-1}^{\left(s\right)}+f_n^{\left(s\right)}+B^{{\left(s\right)}^T}{\mathrm{\λ}}_{n-1})\frac{\mathrm{dt}}{2}\end{array};---\left(13\right)$

$G=\frac{\mathrm{dt}}{2}{\stackrel{\‾}{K}}_e\underset{s=1}{\overset{N_s}{\mathrm{\Σ}}}{B}^{\left(s\right)}{H}_1^{\left(s\right)}{B}^{{\left(s\right)}^T}+I;---\left(14\right)$

${\stackrel{\‾}{K}}_e=\frac{1}{\mathrm{\βd}{t}^2}{M}_e+\frac{\mathrm{\γ}}{\mathrm{\βdt}}{C}_e+K_e;---\left(15\right)$

${\tilde{p}}_{n-1}={\tilde{M}}_e\underset{s=1}{\overset{N_s}{\mathrm{\Σ}}}{B}^{\left(s\right)}{\stackrel{\·\·}{u}}_{n-1}^{\left(s\right)}+{\tilde{C}}_e\underset{s=1}{\overset{N_s}{\mathrm{\Σ}}}{B}^{\left(s\right)}{\stackrel{\·}{u}}_{n-1}^{\left(s\right)}+{\tilde{K}}_e\underset{s=1}{\overset{N_s}{\mathrm{\Σ}}}{B}^{\left(s\right)}{u}_{n-1}^{\left(s\right)};---\left(16\right)$

${\tilde{M}}_e=(\frac{1}{2\mathrm{\β}}-1)M_e+(\frac{\mathrm{\γ}}{2\mathrm{\β}}-1)C_e\mathrm{dt};---\left(17\right)$

${\tilde{C}}_e=\frac{1}{\mathrm{\βdt}}{M}_e+(\frac{\mathrm{\γ}}{\mathrm{\β}}-1)C_e;---\left(18\right)$

${\tilde{K}}_e=\frac{1}{\mathrm{\β}{\mathrm{dt}}^2}{M}_e+\frac{\mathrm{\γ}}{\mathrm{\βdt}}{C}_e;---\left(19\right)$

其中I是单位矩阵；

求出各子结构的位移后，各子结构的加速度及速度响应可以根据式(10)和式(11)分别求出。

一种基于脉冲响应函数的弹性连接子结构算法，包括以下步骤：

步骤1：定义基本未知量，分别是系统的第s个子结构的位移函数列向量u^(s)(t)、速度函数列向量加速度函数列向量以及连接件对系统的作用力函数列向量λ(t)；

步骤2：通过Newmark法或者试验方法获得每个子结构的脉冲响应函数矩阵H^(s)(t)，其中s表示子结构的序号；H^(s)(t)矩阵的元素表示系统第s个子结构的第j个自由度在脉冲激励下第i个自由度的位移响应；

步骤3：根据子结构之间的连接关系，求得布尔矩阵B^(s)，B^(s)的作用是从第s个子结构的自由度中筛选出第s个子结构的界面自由度，该界面自由度指该子结构与弹性连接件相连接的自由度；

步骤4：根据系统结构及参数计算得出系统弹性连接件的质量矩阵Μ_e、阻尼矩阵C_e和刚度矩阵Κ_e；

步骤5：初始化基本未知量，即t＝0的初始时刻系统不受外力作用，步骤1中的基本未知量全部为零向量；

步骤6：求解系统在外力f(t)作用下的响应，步骤1中四组基本未知量的时间递推公式如下：

$\left\{\begin{array}{c}{u}_n^{\left(s\right)}={\tilde{u}}_{n-1}^{\left(s\right)}+H_1^{\left(s\right)}{B}^{{\left(s\right)}^T}{\mathrm{\λ}}_n\frac{\mathrm{dt}}{2}\\ {\stackrel{\·}{u}}_n^{\left(s\right)}=\frac{\mathrm{\γ}}{\mathrm{\βdt}}(u_n^{\left(s\right)}-u_{n-1}^{\left(s\right)})+(1-\frac{\mathrm{\γ}}{\mathrm{\β}}){\stackrel{\·}{u}}_{n-1}^{\left(s\right)}+(1-\frac{\mathrm{\γ}}{2\mathrm{\β}}){\stackrel{\·\·}{u}}_{n-1}^{\left(s\right)}\mathrm{dt}\\ {\stackrel{\·\·}{u}}_n^{\left(s\right)}=\frac{1}{{\mathrm{\βdt}}^2}(u_n^{\left(s\right)}-u_{n-1}^{\left(s\right)})-\frac{1}{\mathrm{\βdt}}{\stackrel{\·}{u}}_{n-1}^{\left(s\right)}-(\frac{1}{2\mathrm{\β}}-1){\stackrel{\·\·}{u}}_{n-1}^{\left(s\right)}\\ {\mathrm{\λ}}_n=G^{-1}({\tilde{p}}_{n-1}-\underset{s=1}{\overset{N_s}{\mathrm{\Σ}}}{\stackrel{\‾}{K}}_e{B}^{\left(s\right)}{\tilde{u}}_{n-1}^{\left(s\right)})\end{array}\right.;$

其中，dt为确定的积分步长，下角标代表时刻，如β和γ是Newmark法的无量纲参数，G、以及分别由下式确定；

$\begin{array}{c}{\tilde{u}}_{n-1}^{\left(s\right)}=\underset{i=0}{\overset{n-2}{\mathrm{\Σ}}}{H}_{n-i}^{\left(s\right)}[{f_i}^{\left(s\right)}+f_{i+1}^{\left(s\right)}+B^{{\left(s\right)}^T}({\mathrm{\λ}}_i+{\mathrm{\λ}}_{i+1})]\frac{\mathrm{dt}}{2}\\ +H_1^{\left(s\right)}(f_{n-1}^{\left(s\right)}+f_n^{\left(s\right)}+B^{{\left(s\right)}^T}{\mathrm{\λ}}_{n-1})\frac{\mathrm{dt}}{2}\end{array};$

$G=\frac{\mathrm{dt}}{2}{\stackrel{\‾}{K}}_e\underset{s=1}{\overset{N_s}{\mathrm{\Σ}}}{B}^{\left(s\right)}{H}_1^{\left(s\right)}{B}^{{\left(s\right)}^T}+I;$

${\stackrel{\‾}{K}}_e=\frac{1}{\mathrm{\βd}{t}^2}{M}_e+\frac{\mathrm{\γ}}{\mathrm{\βdt}}{C}_e+K_e;$

${\tilde{p}}_{n-1}={\tilde{M}}_e\underset{s=1}{\overset{N_s}{\mathrm{\Σ}}}{B}^{\left(s\right)}{\stackrel{\·\·}{u}}_{n-1}^{\left(s\right)}+{\tilde{C}}_e\underset{s=1}{\overset{N_s}{\mathrm{\Σ}}}{B}^{\left(s\right)}{\stackrel{\·}{u}}_{n-1}^{\left(s\right)}+{\tilde{K}}_e\underset{s=1}{\overset{N_s}{\mathrm{\Σ}}}{B}^{\left(s\right)}{u}_{n-1}^{\left(s\right)};$

其中，

${\tilde{M}}_e=(\frac{1}{2\mathrm{\β}}-1)M_e+(\frac{\mathrm{\γ}}{2\mathrm{\β}}-1)C_e\mathrm{dt};$

${\tilde{C}}_e=\frac{1}{\mathrm{\βdt}}{M}_e+(\frac{\mathrm{\γ}}{\mathrm{\β}}-1)C_e;$

${\tilde{K}}_e=\frac{1}{\mathrm{\β}{\mathrm{dt}}^2}{M}_e+\frac{\mathrm{\γ}}{\mathrm{\βdt}}{C}_e.$

有益效果

本发明以脉冲响应函数为基础，给出了子结构间弹性连接件的一种描述方法，克服了经典时域子结构法仅适于分析子结构间为刚性连接的缺陷，拓展了时域子结构方法的应用范围。

附图说明

图1为本发明方法的流程示意图。

图2为本发明算法的流程示意图。

图3为具体实施方式中的11自由度弹簧-阻尼器-质量系统。

图4为具体实施方式中系统第9个自由度上的外载荷-时间曲线。

图5为具体实施方式中系统第8个自由度的加速度响应-时间曲线。

具体实施方式

为了更好的阐述本发明的目的和作用，下面通过对一个11自由度的弹簧-阻尼器-质量系统的动力学分析对本发明进行详细解释。分析步长取1ms，分析时间为1s。

本实例的系统分为两个子结构，子结构1包含7个自由度，子结构2包含4个自由度，子结构1的m₅、m₆和m₇通过弹性连接件与子结构2的m₈相连，如图3所示。子结构及连接件的动力学参数见表1。假定外力仅加载到m₉上，规定向右为正方向，外载荷的时间曲线如图4所示。

表1 子结构及连接件的动力学参数

本发明算法的流程如图2所示，具体如下：

步骤1：定义基本未知量，分别是系统的第s个子结构的位移函数列向量u^(s)(t)、速度函数列向量加速度函数列向量以及连接件对系统的作用力函数列向量λ(t)；

步骤2：通过Newmark法计算每个子结构的脉冲响应函数矩阵H^(s)(t)。以H^(s)(t)中某一个元素的计算为例，就是在m₇上施加迪拉克函数δ(t)，然后通过Newmark法计算得出的m₂的位移响应；

步骤3：根据子结构之间的连接关系，求得布尔矩阵B＝[B⁽¹⁾ B⁽²⁾]，B的作用是从系统全体自由度中筛选出系统中两个子结构的界面自由度，该“界面自由度”指子结构与弹性连接件相连接的自由度；矩阵B通过步骤3.1和步骤3.2求得：

步骤3.1：系统位移向量的分块。

系统的位移向量用全体子结构的位移向量表示为：

$u={\left[\begin{array}{cc}{u}^{{\left(1\right)}^T}& u^{{\left(2\right)}^T}\end{array}\right]}^T={\left[\begin{array}{cccc}{u}^1& u^2& ...& u^{11}\end{array}\right]}^T---\left(20\right)$

式中：u⁽¹⁾代表子结构1的所有自由度的位移向量，u¹代表质量块m₁的位移。

根据子结构间的连接关系，将子结构的位移向量u^(s)分块为界面自由度和内部自由度：

$u^{\left(s\right)}={\left[\begin{array}{cc}{u}_c^{{\left(s\right)}^T}& u_i^{{\left(s\right)}^T}\end{array}\right]}^T---\left(21\right)$

则：

$u_c={\left[\begin{array}{cc}{u}_c^{{\left(1\right)}^T}& u_c^{{\left(2\right)}^T}\end{array}\right]}^T={\left[\begin{array}{cccc}{u}^5& u^6& u^7& u^8\end{array}\right]}^T---\left(22\right)$

步骤3.2：确定界面位移相容条件。

弹性连接件的自由度u_e全部分布于各个连接件的边界上，由于弹性连接件与子结构之间是刚性连接的，因此位移相容条件要求弹性连接件的自由度等于子结构的边界自由度，即u_e＝u_c。通过下式求得布尔矩阵B：

$\mathrm{Bu}=\underset{s=1}{\overset{2}{\mathrm{\Σ}}}{B}^{\left(s\right)}{u}^{\left(s\right)}=u_c---\left(23\right)$

此布尔矩阵为：

$B=\left[\begin{array}{ccccccccccc}0& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0\end{array}\right]---\left(24\right)$

则界面位移相容条件最终表示为：

$\underset{s=1}{\overset{2}{\mathrm{\Σ}}}{B}^{\left(s\right)}{u}^{\left(s\right)}=u_e---\left(25\right)$

步骤4：根据系统结构及参数计算得出系统弹性连接件的质量矩阵Μ_e、阻尼矩阵C_e和刚度矩阵Κ_e。本实例中使用的具体计算方法为结构动力学中的“影响系数法”；

$M_e=\left[\begin{array}{cccc}2& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 5\end{array}\right]\mathrm{kg}---\left(26\right)$

$C_e=\left[\begin{array}{cccc}{c}_{e1}& 0& 0& -c_{e1}\\ 0& c_{e2}& 0& -c_{e2}\\ 0& 0& c_{e3}& -c_{e3}\\ -c_{e1}& -c_{e2}& -c_{e3}& c_{e1}+c_{e2}+c_{e3}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}100& 0& 0& -100\\ 0& 50& 0& -50\\ 0& 0& 50& -50\\ -100& -50& -50& 200\end{array}\right]N\·s/m---\left(27\right)$

$K_e=\left[\begin{array}{cccc}{k}_{e1}& 0& 0& -k_{e1}\\ 0& k_{e2}& 0& -k_{e2}\\ 0& 0& k_{e3}& -k_{e3}\\ -k_{e1}& -k_{e2}& -k_{e3}& k_{e1}+k_{e2}+k_{e3}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}4& 0& 0& -4\\ 0& 2& 0& -2\\ 0& 0& 2& -2\\ -4& -2& -2& 8\end{array}\right]\×1000N/m---\left(28\right)$

步骤5：初始化基本未知量，即t＝0的初始时刻系统不受外力作用，步骤1中的基本未知量全部为零向量；

步骤6：求解系统在外力f(t)作用下的响应，本实例中f(t)仅第9个元素非零，第9个元素如图4所示。取Newmark法的无量纲参数β＝0.25，γ＝0.5，步骤1中四组基本未知量的时间递推公式如下：

$\left\{\begin{array}{c}{u}_n^{\left(s\right)}={\tilde{u}}_{n-1}^{\left(s\right)}+H_1^{\left(s\right)}{B}^{{\left(s\right)}^T}{\mathrm{\λ}}_n\frac{\mathrm{dt}}{2}\\ {\stackrel{\·}{u}}_n^{\left(s\right)}=\frac{2}{\mathrm{dt}}(u_n^{\left(s\right)}-u_{n-1}^{\left(s\right)})-{\stackrel{\·}{u}}_{n-1}^{\left(s\right)}\\ {\stackrel{\·\·}{u}}_n^{\left(s\right)}=\frac{4}{{\mathrm{dt}}^2}(u_n^{\left(s\right)}-u_{n-1}^{\left(s\right)})-\frac{4}{\mathrm{dt}}{\stackrel{\·}{u}}_{n-1}^{\left(s\right)}-{\stackrel{\·\·}{u}}_{n-1}^{\left(s\right)}\\ {\mathrm{\λ}}_n=G^{-1}({\tilde{p}}_{n-1}-\underset{s=1}{\overset{N_s}{\mathrm{\Σ}}}{\stackrel{\‾}{K}}_e{B}^{\left(s\right)}{\tilde{u}}_{n-1}^{\left(s\right)})\end{array}\right.;---\left(30\right)$

其中，dt为0.001s。下角标代表时刻，如 G、以及分别由下式确定；

$\begin{array}{c}{\tilde{u}}_{n-1}^{\left(s\right)}=\underset{i=0}{\overset{n-2}{\mathrm{\Σ}}}{H}_{n-i}^{\left(s\right)}[{f_i}^{\left(s\right)}+f_{i+1}^{\left(s\right)}+B^{{\left(s\right)}^T}({\mathrm{\λ}}_i+{\mathrm{\λ}}_{i+1})]\frac{\mathrm{dt}}{2}\\ +H_1^{\left(s\right)}(f_{n-1}^{\left(s\right)}+f_n^{\left(s\right)}+B^{{\left(s\right)}^T}{\mathrm{\λ}}_{n-1})\frac{\mathrm{dt}}{2}\end{array};$

$G=\frac{\mathrm{dt}}{2}{\stackrel{\‾}{K}}_e\underset{s=1}{\overset{N_s}{\mathrm{\Σ}}}{B}^{\left(s\right)}{H}_1^{\left(s\right)}{B}^{{\left(s\right)}^T}+I;$

${\stackrel{\‾}{K}}_e=\frac{4}{d{t}^2}{M}_e+\frac{2\mathrm{\γ}}{\mathrm{dt}}{C}_e+K_e;$

${\tilde{p}}_{n-1}=\underset{s=1}{\overset{2}{\mathrm{\Σ}}}[M_e{B}^{\left(s\right)}{\stackrel{\·\·}{u}}_{n-1}^{\left(s\right)}+(\frac{4}{\mathrm{dt}}{M}_e+C_e)B^{\left(s\right)}{\stackrel{\·}{u}}_{n-1}^{\left(s\right)}+(\frac{4}{{\mathrm{dt}}^2}{M}_e+\frac{2}{\mathrm{dt}}{C}_e)B^{\left(s\right)}{u}_{n-1}^{\left(s\right)}]$

以m₈的响应为例，采用本发明仿真得到的m₈的加速度响应与使用Newmark法获得的理论值对比于图5，相对峰值误差为8.02×10^-10。由此可见，本发明不仅能够处理弹性连接的子结构问题，而且拥有极高的精度。

以上所述的具体描述，对发明的目的、技术方案和有益效果进行了进一步详细说明，所应理解的是，以上所述仅为本发明的具体实施例，用于解释本发明，并不用于限定本发明的保护范围，凡在本发明的精神和原则之内，所做的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (2)

1.一种基于脉冲响应函数的弹性连接子结构综合方法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤1：通过数值积分方法Newmark法或者试验方法获得每个子结构的脉冲响应函数矩阵H^(s)(t)，其中s表示子结构的序号，H^(s)(t)矩阵的元素表示系统第s个子结构的第j个自由度在脉冲激励下第i个自由度的位移响应；

步骤2：弹性连接件的动力学描述，包括以下步骤：

步骤2.1：系统位移向量的分块：

系统的位移向量用全体子结构的位移向量表示为：

$u={\left[\begin{array}{cccc}{u}^{{\left(1\right)}^T}& u^{{\left(2\right)}^T}& ...& u^{{\left(N_s\right)}^T}\end{array}\right]}^T;---\left(1\right)$

式中，N_s为系统中子结构的个数，T表示矩阵转置。根据子结构间的连接关系，将子结构的位移向量u^(s)分块为界面自由度和内部自由度

$u^{\left(s\right)}={\left[\begin{array}{cc}{u}_c^{{\left(s\right)}^T}& u_i^{{\left(s\right)}^T}\end{array}\right]}^T;---\left(2\right)$

并令：

$u_c={\left[\begin{array}{cccc}{u}_c^{{\left(1\right)}^T}& u_c^{{\left(2\right)}^T}& ...& u_c^{{\left(N_s\right)}^T}\end{array}\right]}^T;---\left(3\right)$

步骤2.2：确定界面位移相容条件：

子结构间所有弹性连接件的自由度u_e全部分布于各个连接件的边界上，位移相容条件要求u_e＝u_c；通过下式求得布尔矩阵B：

$\mathrm{Bu}=\underset{s=1}{\overset{N_s}{\mathrm{\Σ}}}{B}^{\left(s\right)}{u}^{\left(s\right)}=u_c;---\left(4\right)$

则界面位移相容条件最终表示为：

$\underset{s=1}{\overset{N_s}{\mathrm{\Σ}}}{B}^{\left(s\right)}{u}^{\left(s\right)}=u_e;---\left(5\right)$

步骤2.3：确定界面力相容条件：

连接件自由度u_e对全体子结构边界的作用力向量用λ表示，则系统第s个子结构受到的来自连接件的作用力g^(s)为：

$g^{\left(s\right)}=B^{{\left(s\right)}^T}\mathrm{\λ};---\left(6\right)$

界面力相容条件(即牛顿第三定律)要求子结构边界对连接件自由度u_e的作用力向量为λ_e＝-λ；

步骤2.4：建立连接件的运动方程：

令所有连接件的总体质量、阻尼和刚度矩阵分别为Μ_e、C_e和Κ_e，则所有连接件的运动方程为：

$M_e{\stackrel{\·\·}{u}}_e+C_e{\stackrel{\·}{u}}_e+K_e{u}_e={\mathrm{\λ}}_e;---\left(7\right)$

式中：和u_e分别是连接件自由度的加速度、速度和位移向量；

步骤3：建立子结构的运动方程，包括以下步骤：

步骤3.1：建立时间连续形式的子结构运动方程：

由Duhamel积分可知，系统第s个子结构的运动方程为：

$u^{\left(s\right)}\left(t\right)={\∫}_0^t{H}^{\left(s\right)}(t-\mathrm{\τ})[f^{\left(s\right)}\left(\mathrm{\τ}\right)+g^{\left(s\right)}\left(\mathrm{\τ}\right)]\mathrm{d\τ};---\left(8\right)$

式中，f^(s)为子结构所受的外载荷；

步骤3.2：将步骤3.1中的子结构运动方程进行时间离散，得：

$u_n^{\left(s\right)}=\underset{i=0}{\overset{n-1}{\mathrm{\Σ}}}{H}_{n-i}^{\left(s\right)}({f_i}^{\left(s\right)}+f_{i+1}^{\left(s\right)}+B^{{\left(s\right)}^T}{\mathrm{\λ}}_i+B^{{\left(s\right)}^T}{\mathrm{\λ}}_{i+1})\frac{\mathrm{dt}}{2};---\left(9\right)$

式中，dt为积分步长，角标代表时刻(如u_n＝u(ndt))；

步骤3.3：利用Newmark方法表示子结构的速度和加速度

${\stackrel{\·\·}{u}}_n^{\left(s\right)}=\frac{1}{\mathrm{\β}{\mathrm{dt}}^2}(u_n^{\left(s\right)}-u_{n-1}^{\left(s\right)})-\frac{1}{\mathrm{\βdt}}{\stackrel{\·}{u}}_{n-1}^{\left(s\right)}-(\frac{1}{2\mathrm{\β}}-1){\stackrel{\·\·}{u}}_{n-1}^{\left(s\right)};---\left(10\right)$

${\stackrel{\·}{u}}_n^{\left(s\right)}=\frac{\mathrm{\γ}}{\mathrm{\βdt}}(u_n^{\left(s\right)}-u_{n-1}^{\left(s\right)})+(1-\frac{\mathrm{\γ}}{\mathrm{\β}}){\stackrel{\·}{u}}_{n-1}^{\left(s\right)}+(1-\frac{\mathrm{\γ}}{2\mathrm{\β}}){\stackrel{\·\·}{u}}_{n-1}^{\left(s\right)}\mathrm{dt};---\left(11\right)$

式中，γ和β是Newmark法的无量纲参数；

步骤4：综合求解式(5)、(7)、(9)、(10)和(11)得各个子结构位移响应和子结构间界面力的时间递推公式为：

$\left\{\begin{array}{c}{u}_n^{\left(s\right)}={\tilde{u}}_{n-1}^{\left(s\right)}+H_1^{\left(s\right)}{B}^{{\left(s\right)}^T}{\mathrm{\λ}}_n\frac{\mathrm{dt}}{2}\\ {\mathrm{\λ}}_n=G^{-1}({\tilde{p}}_{n-1}-\underset{s=1}{\overset{N_s}{\mathrm{\Σ}}}{\stackrel{\‾}{K}}_e{B}^{\left(s\right)}{\tilde{u}}_{n-1}^{\left(s\right)})\end{array}\right.;---\left(12\right)$

式中：

$\begin{array}{c}{\tilde{u}}_{n-1}^{\left(s\right)}=\underset{i=0}{\overset{n-2}{\mathrm{\Σ}}}{H}_{n-i}^{\left(s\right)}[{f_i}^{\left(s\right)}+f_{i+1}^{\left(s\right)}+B^{{\left(s\right)}^T}({\mathrm{\λ}}_i+{\mathrm{\λ}}_{i+1})]\frac{\mathrm{dt}}{2}\\ +H_1^{\left(s\right)}(f_{n-1}^{\left(s\right)}+f_n^{\left(s\right)}+B^{{\left(s\right)}^T}{\mathrm{\λ}}_{n-1})\frac{\mathrm{dt}}{2}\end{array};---\left(13\right)$

$G=\frac{\mathrm{dt}}{2}{\stackrel{\‾}{K}}_e\underset{s=1}{\overset{N_s}{\mathrm{\Σ}}}{B}^{\left(s\right)}{H}_1^{\left(s\right)}{B}^{{\left(s\right)}^T}+I;---\left(14\right)$

${\stackrel{\‾}{K}}_e=\frac{1}{\mathrm{\βd}{t}^2}{M}_e+\frac{\mathrm{\γ}}{\mathrm{\βdt}}{C}_e+K_e;---\left(15\right)$

${\tilde{p}}_{n-1}={\tilde{M}}_e\underset{s=1}{\overset{N_s}{\mathrm{\Σ}}}{B}^{\left(s\right)}{\stackrel{\·\·}{u}}_{n-1}^{\left(s\right)}+{\tilde{C}}_e\underset{s=1}{\overset{N_s}{\mathrm{\Σ}}}{B}^{\left(s\right)}{\stackrel{\·}{u}}_{n-1}^{\left(s\right)}+{\tilde{K}}_e\underset{s=1}{\overset{N_s}{\mathrm{\Σ}}}{B}^{\left(s\right)}{u}_{n-1}^{\left(s\right)};---\left(16\right)$

${\tilde{M}}_e=(\frac{1}{2\mathrm{\β}}-1)M_e+(\frac{\mathrm{\γ}}{2\mathrm{\β}}-1)C_e\mathrm{dt};---\left(17\right)$

${\tilde{C}}_e=\frac{1}{\mathrm{\βdt}}{M}_e+(\frac{\mathrm{\γ}}{\mathrm{\β}}-1)C_e;---\left(18\right)$

${\tilde{K}}_e=\frac{1}{\mathrm{\β}{\mathrm{dt}}^2}{M}_e+\frac{\mathrm{\γ}}{\mathrm{\βdt}}{C}_e;---\left(19\right)$

其中I是单位矩阵；

求出各子结构的位移后，各子结构的加速度及速度响应可以根据式(10)和式(11)分别求出。

2.一种基于脉冲响应函数的弹性连接子结构算法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤1：定义基本未知量，分别是系统的第s个子结构的位移函数列向量u^(s)(t)、速度函数列向量加速度函数列向量以及连接件对系统的作用力函数列向量λ(t)；

步骤2：通过Newmark法或者试验方法获得每个子结构的脉冲响应函数矩阵H^(s)(t)，其中s表示子结构的序号；H^(s)(t)矩阵的元素表示系统第s个子结构的第j个自由度在脉冲激励下第i个自由度的位移响应；

步骤3：根据子结构之间的连接关系，求得布尔矩阵B^(s)，B^(s)的作用是从第s个子结构的自由度中筛选出第s个子结构的界面自由度，该界面自由度指该子结构与弹性连接件相连接的自由度；

步骤4：根据系统结构及参数计算得出系统弹性连接件的质量矩阵Μ_e、阻尼矩阵C_e和刚度矩阵Κ_e；

步骤5：初始化基本未知量，即t＝0的初始时刻系统不受外力作用，步骤1中的基本未知量全部为零向量；

步骤6：求解系统在外力f(t)作用下的响应，步骤1中四组基本未知量的时间递推公式如下：

$\left\{\begin{array}{c}{u}_n^{\left(s\right)}={\tilde{u}}_{n-1}^{\left(s\right)}+H_1^{\left(s\right)}{B}^{{\left(s\right)}^T}{\mathrm{\λ}}_n\frac{\mathrm{dt}}{2}\\ {\stackrel{\·}{u}}_n^{\left(s\right)}=\frac{\mathrm{\γ}}{\mathrm{\βdt}}(u_n^{\left(s\right)}-u_{n-1}^{\left(s\right)})+(1-\frac{\mathrm{\γ}}{\mathrm{\β}}){\stackrel{\·}{u}}_{n-1}^{\left(s\right)}+(1-\frac{\mathrm{\γ}}{2\mathrm{\β}}){\stackrel{\·\·}{u}}_{n-1}^{\left(s\right)}\mathrm{dt}\\ {\stackrel{\·\·}{u}}_n^{\left(s\right)}=\frac{1}{{\mathrm{\βdt}}^2}(u_n^{\left(s\right)}-u_{n-1}^{\left(s\right)})-\frac{1}{\mathrm{\βdt}}{\stackrel{\·}{u}}_{n-1}^{\left(s\right)}-(\frac{1}{2\mathrm{\β}}-1){\stackrel{\·\·}{u}}_{n-1}^{\left(s\right)}\\ {\mathrm{\λ}}_n=G^{-1}({\tilde{p}}_{n-1}-\underset{s=1}{\overset{N_s}{\mathrm{\Σ}}}{\stackrel{\‾}{K}}_e{B}^{\left(s\right)}{\tilde{u}}_{n-1}^{\left(s\right)})\end{array}\right.;$

其中，dt为确定的积分步长，下角标代表时刻，如β和γ是Newmark法的无量纲参数，G、以及分别由下式确定；

$\begin{array}{c}{\tilde{u}}_{n-1}^{\left(s\right)}=\underset{i=0}{\overset{n-2}{\mathrm{\Σ}}}{H}_{n-i}^{\left(s\right)}[{f_i}^{\left(s\right)}+f_{i+1}^{\left(s\right)}+B^{{\left(s\right)}^T}({\mathrm{\λ}}_i+{\mathrm{\λ}}_{i+1})]\frac{\mathrm{dt}}{2}\\ +H_1^{\left(s\right)}(f_{n-1}^{\left(s\right)}+f_n^{\left(s\right)}+B^{{\left(s\right)}^T}{\mathrm{\λ}}_{n-1})\frac{\mathrm{dt}}{2}\end{array};$

$G=\frac{\mathrm{dt}}{2}{\stackrel{\‾}{K}}_e\underset{s=1}{\overset{N_s}{\mathrm{\Σ}}}{B}^{\left(s\right)}{H}_1^{\left(s\right)}{B}^{{\left(s\right)}^T}+I;$

${\stackrel{\‾}{K}}_e=\frac{1}{\mathrm{\βd}{t}^2}{M}_e+\frac{\mathrm{\γ}}{\mathrm{\βdt}}{C}_e+K_e;$

${\tilde{p}}_{n-1}={\tilde{M}}_e\underset{s=1}{\overset{N_s}{\mathrm{\Σ}}}{B}^{\left(s\right)}{\stackrel{\·\·}{u}}_{n-1}^{\left(s\right)}+{\tilde{C}}_e\underset{s=1}{\overset{N_s}{\mathrm{\Σ}}}{B}^{\left(s\right)}{\stackrel{\·}{u}}_{n-1}^{\left(s\right)}+{\tilde{K}}_e\underset{s=1}{\overset{N_s}{\mathrm{\Σ}}}{B}^{\left(s\right)}{u}_{n-1}^{\left(s\right)};$

其中，

${\tilde{M}}_e=(\frac{1}{2\mathrm{\β}}-1)M_e+(\frac{\mathrm{\γ}}{2\mathrm{\β}}-1)C_e\mathrm{dt};$

${\tilde{C}}_e=\frac{1}{\mathrm{\βdt}}{M}_e+(\frac{\mathrm{\γ}}{\mathrm{\β}}-1)C_e;$

${\tilde{K}}_e=\frac{1}{\mathrm{\β}{\mathrm{dt}}^2}{M}_e+\frac{\mathrm{\γ}}{\mathrm{\βdt}}{C}_e.$