CN107255451A - 角度补偿式激光外差干涉位移测量装置及方法 - Google Patents
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Abstract
本发明公开了一种角度补偿式激光外差干涉位移测量装置及方法。本发明采用镀有半透半反膜的角锥棱镜作为位移和转角测量的测量镜，由激光外差干涉光路产生的干涉信号经光电探测器探测，数据采集处理得到位移测量初值；激光光斑检测转角测量光路产生的激光光斑位置信号，经数据采集处理得到被测对象的俯仰角误差值和偏摆角误差值，进而可得到位移补偿所需转角值；利用转角值对位移初值进行补偿，得到最终的位移测量值。本发明解决了传统激光干涉位移测量技术中角锥棱镜存在转角误差影响位移测量精度的技术问题，实现了高精度的位移测量，并可实现对被测对象偏摆角、俯仰角和线性位移三个自由度的同时检测。
Description
技术领域
本发明涉及一种激光外差干涉位移测量方法，尤其是涉及一种角度补偿式激光外差干涉位移测量装置及方法。
背景技术
激光干涉测量技术由于具有测量范围大、测量精度高以及长度基准的直接溯源性的特点，因此被广泛应用于精密机械加工与制造，精密仪器的测量与校准等领域中实现对位移的测量。传统的激光干涉位移测量技术按照干涉系统所采用的光源类型划分，大致可以分为单频激光干涉位移测量系统和激光外差干涉位移测量系统，这两种干涉系统中的位移测量光路结构基本相同，主要由一个参考角锥棱镜，一个测量角锥棱镜和一个分光镜组成。虽然目前这两种激光干涉位移测量技术均可实现大范围、较高精度的位移测量，但是他们存在着共性的问题，当测量角锥棱镜随着被测对象一起运动存在俯仰角或偏摆角误差时，会导致干涉光路中测量光束不能有效逆返，影响测量干涉信号的质量甚至导致干涉信号不能正常生成；并且俯仰角或偏摆角误差会使得角锥棱镜内部光程的影响附加到测得的位移结果中，影响最终的位移测量精度。
发明内容
为了解决传统激光干涉位移测量技术中当角锥棱镜存在转角误差影响位移测量精度的技术问题，本发明的目的在于提供一种角度补偿式激光外差干涉位移测量装置及方法，解决了上述问题。
本发明解决其技术问题所采用的技术方案是：
一、一种角度补偿式激光外差干涉位移测量装置：
包括激光外差干涉位移测量光路部分和角锥棱镜，激光外差干涉位移测量光路部分包括双频激光器、第一分光镜、第一偏振片、第一光电探测器、第一偏振分光镜、第一四分之一波片、第一平面镜、第二偏振片、第二光电探测器、法拉第旋光器、第二偏振分光镜、第二四分之一波片和第二平面反射镜；双频激光器输出的正交线偏振光，正交线偏振光入射到第一分光镜发生反射和透射分成两束光，第一分光镜的反射光经第一偏振片产生拍频干涉后被第一光电探测器接收获得参考信号。
第一分光镜的透射光入射到第一偏振分光镜经反射和透射分成两束光：第一偏振分光镜的反射光作为第一测量光束，第一测量光束经第一四分之一波片后入射到第一平面镜反射，第一平面镜反射光再经第一四分之一波片后返回到第一偏振分光镜发生透射，第一偏振分光镜透射光经第二偏振片透射后入射到第二光电探测器，并作为测量信号的一部分；第一偏振分光镜的透射光作为第二测量光束，第二测量光束经法拉第旋光器入射到第二偏振分光镜发生透射，经第二四分之一波片后入射到角锥棱镜，被角锥棱镜正常反射后再经第二四分之一波片回到第二偏振分光镜，再经第二偏振分光镜反射到第二平面镜，经第二平面镜反射后形成逆反光束，逆反光束按原光路逆反回到第一偏振分光镜处，逆反光束经第一偏振分光镜反射后再经第二偏振片透射，然后经第二偏振片入射到第二光电探测器，并作为测量信号的另一部分；逆反光束和第一测量光束在第二偏振片处透射光产生拍频干涉，被第二光电探测器接收获得测量信号。
所述的逆反光束按原光路逆反回到第一偏振分光镜处，具体是：逆反光束从第二平面镜反射出后，依次经第二偏振分光镜反射、第二四分之一波片透射、角锥棱镜反射、第二四分之一波片透射、第二偏振分光镜透射后，再经法拉第旋光器入射到第一偏振分光镜。
所述的角锥棱镜与被测对象固定在一起，并随着被测对象一起运动。
本发明通过法拉第旋光器、第二偏振分光镜、第二四分之一波片和第二平面反射镜在光路上的设置，能实现角锥棱镜大角度范围的光束逆反。
还包括激光光斑检测转角测量光路部分，激光光斑检测转角测量光路部分包括角锥棱镜上的半透半反膜、汇聚透镜和位置敏感探测器，有第二测量光束入射的角锥棱镜一侧入射面上镀有半透半反膜，使得第二测量光束入射到角锥棱镜入射面上同时发生反射和透射，角锥棱镜入射面的透射光进入角锥棱镜内部进行正常反射，角锥棱镜入射面的反射光经第二偏振分光镜发生反射，第二偏振分光镜反射光经会聚透镜入射到位置敏感探测器。
本发明通过角锥棱镜上的半透半反膜、汇聚透镜和位置敏感探测器在光路上的设置，能实现角锥棱镜转角检测。
所述第一四分之一波片和第二四分之一波片的快轴方向均与线偏振光的偏振方向呈45°布置。
所述法拉第旋光器的旋光角度为45°，所述第二偏振分光镜绕光轴沿着第二测量光束正向传播方向角度看去顺时针旋转45°放置(即图1中从左到右看去顺时针旋转45°)。
还包含信号采集处理模块和计算机，第一光电探测器和第二光电探测器，位置敏感探测器均经信号采集处理模块与计算机连接，第一光电探测器和第二光电探测器分别探测到的参考信号和测量信号以及位置敏感探测器探测到的光斑位置信号经数据采集处理模块传输至计算机进行处理，最终由计算机给出补偿后的位移测量结果。
二、一种角度补偿式激光外差干涉位移测量方法，采用所述装置采用以下过程：
1)将角锥棱镜安装在被测对象上随被测对象一起运动，选择能够输出正交线偏振光的双频激光器，双频激光器输出的正交线偏振光经过激光外差干涉光路和激光光斑检测转角测量光路；由光路产生的信号经信号采集处理模块的信号采集和处理，得到被测对象的位移值。
2)根据第一光电探测器和第二光电探测器分别探测到的参考信号和测量信号输入处理得到被测对象的位移测量初值；
3)根据位置敏感探测器探测到的光斑位置信号，获得激光光斑位置变化输入处理得到被测对象的俯仰角误差值和偏摆角误差值，利用俯仰角误差值和偏摆角误差值计算得到补偿转角值，对位移测量初值进行补偿，实现角度补偿式的高精度位移测量。
所述步骤2)具体为：
2.1)参考信号和测量信号经电路整形处理均从正弦信号转变为矩形波信号，然后对两路矩形波信号进行信号上升沿计数，并对两计数值对减得到整周期计数值N，对两路矩形波信号的相位差区间进行填脉冲计数处理获得非整周期计数值ε；
2.2)采用以下公式计算获得被测对象的位移初值L0：
其中，λ为激光波长，4为光路的光学倍频系数，n为空气折射率。
所述步骤3)具体为：
3.1)由位置敏感探测器探测到的光斑位置信号获得激光光斑位置变化量，利用俯仰角误差值和偏摆角误差值计算得到补偿转角值，采用以下公式计算得到被测对象偏摆角误差值θyaw和俯仰角误差值θpitch：
其中，ΔyPSD为位置敏感探测器上光斑沿y向的位置变化量，ΔxPSD为位置敏感探测器光斑沿着x向的位置变化量，fCL为聚焦透镜的焦距；
3.2)由于被测对象的补偿转角值是由俯仰角θpitch和偏摆角θyaw共同作用的结果，因此采用以下公式计算得到补偿转角值θ：
3.3)利用测得补偿转角值θ对位移测量初值L0进行补偿，计算得到最终位移测量值L，计算公式为：
其中，H为角锥棱镜的高度，n′为角锥棱镜材料折射率。
所述测量方法，测量起始位置要调整镀有半透半反射膜的角锥棱镜入射面与测量光束垂直，并设置位置敏感探测器的探测到的光斑位置为零位。
所述测量方法，入射到位置敏感探测器上的光束首先经会聚透镜汇聚后入射到位置敏感探测器上，以消除线性位移对转角测量的影响。
本发明采用激光外差干涉法实现对线性位移初值的测量，采用激光光斑检测法实现对角锥棱镜转角值的测量，并且利用测得转角值对位移测量初值进行补偿，实现角度补偿式的高精度位移测量。
本发明利用激光外差干涉法和激光光斑检测法相结合的方法，实现了高精度的位移测量，并且实现了被测对象偏摆角、俯仰角和线性位移三个自由度的同时检测。
本发明具有的有益效果是：
(1)本测量方法利用测得的角锥棱镜转角误差对激光外差干涉位移测量初值进行补偿，解决角锥棱镜的转角误差影响线性位移测量精度的技术问题，可提高激光外差干涉线性位移测量的精度。
(2)该测量方法，激光外差干涉光路结构，可以确保当角锥棱镜运动过程中存在大的俯仰角或偏摆角误差时，只要测量光束能被其捕获，就能保证测量光束有效逆返，保证干涉信号的正常生成。
(3)该测量方法可以实现高精度的位移测量，并且可实现被测对象偏摆角、俯仰角和线性位移三个自由度的同时检测。
(4)光路结构简单，测量单元无线缆连接，易于实现测量装置的封装集成。
本发明主要适用于超精密加工技术、微光机电系统、集成电路芯片制造技术等领域，适用于其中各个领域所涉及的精密工作台的运动位移测量、精密导轨的位移检测以及其他多自由度参数的同时测量。
附图说明
图1是本发明测量装置的光路图。
图中：1、双频激光器，2、第一分光镜，3、第一偏振片，4、第一光电探测器，5、第一偏振分光镜，6、第一四分之一波片，7、第一平面镜，8、第二偏振片，9、第二光电探测器，10、法拉第旋光器，11、第二偏振分光镜，12、第二四分之一波片，13、角锥棱镜，14、第二平面镜，15、会聚透镜，16、位置敏感探测器，17、被测对象。
图2是角锥棱镜存在大范围的转角误差时测量光束均能实现有效逆返原理示意图。
图3是激光光斑检测转角的原理示意图。
具体实施方式
下面结合附图和实施例对本发明作进一步说明。
本发明的光路结构如图1所示，包括激光外差干涉位移测量部分和激光光斑检测转角测量部分，具体实施过程如下：
A)激光外差干涉位移测量部分
包括激光外差干涉位移测量光路部分和角锥棱镜13，激光外差干涉位移测量光路部分包括能够输出正交线偏振光的双频激光器1、第一分光镜2、第一偏振片3、第一光电探测器4、第一偏振分光镜5、第一四分之一波片6、第一平面镜7、第二偏振片8、第二光电探测器9、法拉第旋光器10、第二偏振分光镜11、第二四分之一波片12和第二平面反射镜14。
双频激光器1输出的正交线偏振光，正交线偏振光是两束频率不同、频率分别为f1和f2的正交线偏振光，双频激光器1采用横向塞曼效应的He-Ne稳频激光器，具体选用美国Keysight公司的5517B双纵模He-Ne稳频激光器，其输出的正交线偏振光的频差为2.24MHz，中心波长为632.991372nm。
正交线偏振光入射到第一分光镜2发生反射和透射分成两束光，第一分光镜2的反射光经第一偏振片3产生拍频干涉后被第一光电探测器4接收获得参考信号。
第一分光镜2的透射光入射到第一偏振分光镜5经反射和透射分成频率不同的两束光，两束光分别为频率为f1的第一测量光束和频率为f2的第二测量光束；
第一偏振分光镜5的反射光作为第一测量光束，第一测量光束经第一四分之一波片6后入射到第一平面镜7反射，第一平面镜7反射光再经第一四分之一波片6后返回到第一偏振分光镜5发生透射，第一偏振分光镜5透射光经第二偏振片8透射后入射到第二光电探测器9，并作为测量信号的一部分。
第一偏振分光镜5的透射光作为第二测量光束，第二测量光束经法拉第旋光器10入射到第二偏振分光镜11发生透射，经第二四分之一波片12后入射到角锥棱镜13，被角锥棱镜13正常反射后再经第二四分之一波片12回到第二偏振分光镜11，再经第二偏振分光镜11反射到第二平面镜14，经第二平面镜14反射后形成逆反光束，逆反光束按原光路逆反回到第一偏振分光镜5处，逆反光束经第一偏振分光镜5反射后再经第二偏振片8透射，然后经第二偏振片8入射到第二光电探测器9，并作为测量信号的另一部分；逆反光束按原光路逆反回到第一偏振分光镜5处，具体是：逆反光束从第二平面镜14反射出后，依次经第二偏振分光镜11反射、第二四分之一波片12透射、角锥棱镜13反射、第二四分之一波片12透射、第二偏振分光镜11透射后，再经法拉第旋光器10入射到第一偏振分光镜5。
逆反光束和第一测量光束在第二偏振片8处透射光产生拍频干涉，被第二光电探测器9接收获得测量信号。
参考信号和测量信号由差分信号传输线传输至采用美国Altera公司的FPGA芯片EP2C20Q240C8设计实现的双模式信号采集处理板，经信号采集处理测得干涉信号的整周期计数值和非整周期计数值，并由计算公式得到被测对象17的位移初值。
图1中，光路中的点线和实线分别代表频率为f1和f2偏振方向正交的两个线偏振光，点画线代表频率为f1和f2光的混合光，虚线表示转角测量中被角锥棱镜上半透半反膜反射的部分频率为f2的光。
在图2中，当被测对象17存在正向或反向转角误差时，在第二平面镜14、第二偏振分光镜11、第二四分之一波片12和角锥棱镜13的共同作用下，测量光束可实现原路的有效逆返。
B)激光光斑检测转角测量部分
还包括激光光斑检测转角测量光路部分，激光光斑检测转角测量光路部分包括角锥棱镜13上的半透半反膜、汇聚透镜15和位置敏感探测器16，有第二测量光束入射的角锥棱镜13一侧入射面上镀有半透半反膜，使得第二测量光束入射到角锥棱镜13入射面上同时发生反射和透射，角锥棱镜13入射面的透射光进入角锥棱镜13内部进行正常反射，角锥棱镜13入射面的反射光经第二四分之一波片12后入射到第二偏振分光镜11发生反射，第二偏振分光镜11反射光经会聚透镜15入射到位置敏感探测器16。
角锥棱镜13只有一半面积镀有半透半反膜，具体实施中如图1所示的下半部分面积镀有半透半反膜。
位置敏感探测器16探测到的光斑位置信号经数据采集处理模块传输至计算机进行处理，最终由计算机对位置敏感探测器16上探测到的激光光斑位置变化进行数据采集处理，得到激光光斑相对于初始零位的位置偏移量。具体实施中位置敏感探测器16采用美国Thorlabs公司的PDP90A位置敏感探测器，对应的信号处理采用Thorlabs公司的TQD001信号处理模块。
经计算机数据处理得到被测对象的偏摆角误差值θyaw和俯仰角误差值θpitch。由于被测对象17的补偿转角值是由俯仰角误差值θpitch和偏摆角误差值θyaw共同作用的结果，得到补偿转角值θ。
在计算机中，利用Visual Basic软件编程实现的上位机软件，利用测得转角值θ对位移测量初值L0进行补偿，得到最终位移测量值L。
测量完成后，可以得到被测对象17的俯仰角误差θpitch和偏摆角误差θyaw、位移初值L0，补偿转角值θ和最终位移测量值L。具体实施中采用德国PI精密转台作为转角运动驱动器进行转角补偿验证试验，精密PI转台的具体型号为M-038.DG1。具体实施中的测量结果显示，测量光路的通光孔径为21mm时，在500mm线性位移测量范围内，当角锥棱镜存在±0.13°的转角误差时，角锥棱镜13上半透半反射膜反射的光能被位置敏感探测器16探测到，可实现线性位移的角度补偿。当角锥棱镜在0.125°的转角影响下，会对线性位移测量产生6.33μm的误差影响，而经过补偿后的位移值可以将位移误差减小到11nm范围内，体现出该方法实现位移补偿的效果显著。
上述具体实施方式用来解释说明本发明，而不是对本发明进行限制，在本发明的精神和权利要求的保护范围内，对本发明做出的任何修改和改变，都落入本发明的保护范围。
Claims (10)
1.一种角度补偿式激光外差干涉位移测量装置，其特征在于：包括激光外差干涉位移测量光路部分和角锥棱镜(13)，激光外差干涉位移测量光路部分包括双频激光器(1)、第一分光镜(2)、第一偏振片(3)、第一光电探测器(4)、第一偏振分光镜(5)、第一四分之一波片(6)、第一平面镜(7)、第二偏振片(8)、第二光电探测器(9)、法拉第旋光器(10)、第二偏振分光镜(11)、第二四分之一波片(12)和第二平面反射镜(14)；
双频激光器(1)输出的正交线偏振光，正交线偏振光入射到第一分光镜(2)发生反射和透射分成两束光，第一分光镜(2)的反射光经第一偏振片(3)产生拍频干涉后被第一光电探测器(4)接收获得参考信号；
第一分光镜(2)的透射光入射到第一偏振分光镜(5)经反射和透射分成两束光：
第一偏振分光镜(5)的反射光作为第一测量光束，第一测量光束经第一四分之一波片(6)后入射到第一平面镜(7)反射，第一平面镜(7)反射光再经第一四分之一波片(6)后返回到第一偏振分光镜(5)发生透射，第一偏振分光镜(5)透射光经第二偏振片(8)透射后入射到第二光电探测器(9)，并作为测量信号的一部分；
第一偏振分光镜(5)的透射光作为第二测量光束，第二测量光束经法拉第旋光器(10)入射到第二偏振分光镜(11)发生透射，经第二四分之一波片(12)后入射到角锥棱镜(13)，被角锥棱镜(13)正常反射后再经第二四分之一波片(12)回到第二偏振分光镜(11)，再经第二偏振分光镜(11)反射到第二平面镜(14)，经第二平面镜(14)反射后形成逆反光束，逆反光束按原光路逆反回到第一偏振分光镜(5)处，逆反光束经第一偏振分光镜(5)反射后再经第二偏振片(8)透射，然后经第二偏振片(8)入射到第二光电探测器(9)，并作为测量信号的另一部分；
逆反光束和第一测量光束在第二偏振片(8)处透射光产生拍频干涉，被第二光电探测器(9)接收获得测量信号。
2.根据权利要求1所述的一种角度补偿式激光外差干涉位移测量装置，其特征在于：所述的逆反光束按原光路逆反回到第一偏振分光镜(5)处，具体是：逆反光束从第二平面镜(14)反射出后，依次经第二偏振分光镜(11)反射、第二四分之一波片(12)透射、角锥棱镜(13)反射、第二四分之一波片(12)透射、第二偏振分光镜(11)透射后，再经法拉第旋光器(10)入射到第一偏振分光镜(5)。
3.根据权利要求1所述的一种角度补偿式激光外差干涉位移测量装置，其特征在于：所述的角锥棱镜(13)与被测对象(17)固定在一起，并随着被测对象(17)一起运动。
4.根据权利要求1所述的一种角度补偿式激光外差干涉位移测量装置，其特征在于：还包括激光光斑检测转角测量光路部分，激光光斑检测转角测量光路部分包括角锥棱镜(13)上的半透半反膜、汇聚透镜(15)和位置敏感探测器(16)，有第二测量光束入射的角锥棱镜(13)一侧入射面上镀有半透半反膜，使得第二测量光束入射到角锥棱镜(13)入射面上同时发生反射和透射，角锥棱镜(13)入射面的透射光进入角锥棱镜(13)内部进行正常反射，角锥棱镜(13)入射面的反射光经第二偏振分光镜(11)发生反射，第二偏振分光镜(11)反射光经会聚透镜(15)入射到位置敏感探测器(16)。
5.根据权利要求1所述的一种角度补偿式激光外差干涉位移测量装置，其特征在于：所述第一四分之一波片(6)和第二四分之一波片(12)的快轴方向均与线偏振光的偏振方向呈45°布置。
6.根据权利要求1所述的一种角度补偿式激光外差干涉位移测量装置，其特征在于：所述法拉第旋光器(10)的旋光角度为45°，所述第二偏振分光镜(11)绕光轴沿着第二测量光束正向传播方向角度看去顺时针旋转45°放置。
7.根据权利要求1所述的一种角度补偿式激光外差干涉位移测量装置，其特征在于：还包含信号采集处理模块和计算机，第一光电探测器(4)和第二光电探测器(9)，位置敏感探测器(16)均经信号采集处理模块与计算机连接，第一光电探测器(4)和第二光电探测器(9)分别探测到的参考信号和测量信号以及位置敏感探测器(16)探测到的光斑位置信号经数据采集处理模块传输至计算机进行处理，最终由计算机给出补偿后的位移测量结果。
8.应用于权利要求1-7任一所述的一种角度补偿式激光外差干涉位移测量方法，其特征在于采用权利要求1-7任一所述装置，采用以下过程：
1)将角锥棱镜(13)安装在被测对象(17)上随被测对象(17)一起运动，选择能够输出正交线偏振光的双频激光器(1)，双频激光器(1)输出的正交线偏振光经过激光外差干涉光路和激光光斑检测转角测量光路；
2)根据第一光电探测器(4)和第二光电探测器(9)分别探测到的参考信号和测量信号输入处理得到被测对象(17)的位移测量初值；
3)根据位置敏感探测器(16)探测到的光斑位置信号处理得到被测对象(17)的俯仰角误差值和偏摆角误差值，利用俯仰角误差值和偏摆角误差值计算得到补偿转角值，对位移测量初值进行补偿，实现角度补偿式的高精度位移测量。
9.根据权利要求8所述的一种角度补偿式激光外差干涉位移测量方法，其特征在于：所述步骤2)具体为：
2.1)参考信号和测量信号经电路整形处理均从正弦信号转变为矩形波信号，然后对两路矩形波信号进行信号上升沿计数，并对两计数值对减得到整周期计数值N，对两路矩形波信号的相位差区间进行填脉冲计数处理获得非整周期计数值ε；
2.2)采用以下公式计算获得被测对象(13)的位移初值L0：
<mrow>
<msub>
<mi>L</mi>
<mn>0</mn>
</msub>
<mo>=</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>N</mi>
<mo>+</mo>
<mi>&epsiv;</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mfrac>
<mrow>
<mi>n</mi>
<mi>&lambda;</mi>
</mrow>
<mn>4</mn>
</mfrac>
</mrow>
其中，λ为激光波长，4为光路的光学倍频系数，n为空气折射率。
10.根据权利要求8所述的一种角度补偿式激光外差干涉位移测量方法，其特征在于：所述步骤3)具体为：
3.1)由位置敏感探测器(16)探测到的光斑位置信号获得激光光斑位置变化量，利用俯仰角误差值和偏摆角误差值计算得到补偿转角值，采用以下公式计算得到被测对象(17)偏摆角误差值θyaw和俯仰角误差值θpitch：
<mrow>
<msub>
<mi>&theta;</mi>
<mrow>
<mi>y</mi>
<mi>a</mi>
<mi>w</mi>
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<mo>=</mo>
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<mn>1</mn>
<mn>2</mn>
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<mi>arctan</mi>
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<mi>C</mi>
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</mrow>
</msub>
</mfrac>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
其中，ΔyPSD为位置敏感探测器(16)上光斑沿y向的位置变化量，ΔxPSD为位置敏感探测器(16)光斑沿着x向的位置变化量，fCL为聚焦透镜的焦距；
3.2)因此采用以下公式计算得到补偿转角值θ：
<mrow>
<mi>&theta;</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mn>1</mn>
<mn>2</mn>
</mfrac>
<mi>a</mi>
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<mi>c</mi>
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<mi>D</mi>
</mrow>
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<mn>2</mn>
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<mo>+</mo>
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<mrow>
<mo>(</mo>
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<mrow>
<mi>P</mi>
<mi>S</mi>
<mi>D</mi>
</mrow>
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<mn>2</mn>
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</mrow>
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<msub>
<mi>f</mi>
<mrow>
<mi>C</mi>
<mi>L</mi>
</mrow>
</msub>
</mfrac>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
3.3)利用测得补偿转角值θ对位移测量初值L0进行补偿，计算得到最终位移测量值L，计算公式为：
<mrow>
<mi>L</mi>
<mo>=</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mrow>
<mi>N</mi>
<mo>+</mo>
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<mo>+</mo>
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<mrow>
<mo>(</mo>
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<mrow>
<mo>(</mo>
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<msup>
<mi>n</mi>
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<mi>&theta;</mi>
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<mn>2</mn>
</msup>
</mrow>
</msqrt>
</mfrac>
<mo>+</mo>
<msup>
<mi>Hn</mi>
<mo>&prime;</mo>
</msup>
</mrow>
其中，H为角锥棱镜的高度，n′为角锥棱镜材料折射率。
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