CN107102255A

CN107102255A - 单一adc采集通道动态特性测试方法

Info

Publication number: CN107102255A
Application number: CN201710396322.6A
Authority: CN
Inventors: 刘鑫; 张光宇; 董增寿
Original assignee: Taiyuan University of Science and Technology
Current assignee: Taiyuan University of Science and Technology
Priority date: 2017-05-31
Filing date: 2017-05-31
Publication date: 2017-08-29
Anticipated expiration: 2037-05-31
Also published as: CN107102255B

Abstract

一种单一ADC采集通道动态特性测试方法，属于电子测量领域。测试流程为对激励信号进行采样，获得观测样本；确定频率搜索边界，频率选择点，计算频率选择点对应的最小二乘残差，确定基频信号的模型；估计信噪谐波比SINAD和有效位数ENOB；构建残差序列矩阵，计算其协方差矩阵，进行特征分解，在相应谱峰的邻域搜索计算谐波频率，估计谐波幅值；估计信号非谐波比SNHR、无杂散动态范围SFDR和总谐波失真THD。本发明首次采用时‑频域分析与空间谱分析相结合的方法，准确估计观测样本中包含的激励信号，噪声成分以及谐波失真成分，能有效改善频谱分析存在的频谱泄露和栅栏效应，算法估计精度高，运算量小，便于硬件实现。

Description

单一ADC采集通道动态特性测试方法

技术领域

本发明属于电子测量领域，具体涉及一种单一ADC采集通道动态特性测试方法。

背景技术

采集电路在动态工作过程中，由于采样时钟的不确定性，采集电路中存在的非线性元器件产生的误差、模数转换的量化误差以及谐波失真等因素，导致电路在模数转换过程中会产生各种误差。采集通道动态参数测试与评估就是对这些误差项定量的表征。采用正弦波信号对采集通道的动态特性测试算法主要有两类：一类为非参数法，典型算法是离散傅里叶变换(Discrete Fourier Transform，DFT)以及其快速实现算法快速傅里叶变换(Fast Fourier Transform，FFT)。另外，还包括有小波变换(Wavelet Transform，WT)，希尔伯特-黄变换(Hibert-Huang transform)以及Chirp Z变换也被用于分析正弦信号谐波参数。在信噪比条件较差或是小样本条件下，由于存在频谱泄露和栅栏效应，FFT频谱估计精度低。另一类为参数法，例如极大似然估计法(Maximum Likelihood Estimation,MLE)，非线性最小二乘估计(Nonlinear Least Square,NLS)方法，正弦拟合算法(Sine Fitting)，基于模型的功率谱估计方法，以及基于子空间特征分解的高分辨率谱估计。

已有文献表明，朱仕银等人在《北京理工大学学报》发表的“改进的数据采集系统性能测试的正弦拟合法”，提出了一种基于正弦拟合的采集电路性能测试算法，该方法最多只考虑信号中的三次谐波失真成分，设置拟合目标函数为基波的幅度A_v1、角频率ω、相位二次谐波和三次谐波的幅度A_v2，A_v3、相位共七个参数的函数。该算法的估计结果需要确保预置的基波幅度A_v1与角频率ω与真实值在非常接近的前提下，通过多次迭代过程，调整其他参数才能够获取较高的估计结果。对于激励正弦信号的频率参数未知的情况下，很难准确估计信号中包含的谐波成分。王慧等人在《电子学报》发表的“测试高分辨率ADC有效位数的HHT方法”拟合出激励信号的基波和谐波参数，得到待测ADC的有效位数ENOB。该算法与传统的四参数正弦拟合算法相比省去了需要对初始频率进行严格选择的限制，但是需要进行多次重复筛选，算法计算量和复杂度高。

现有技术的不足之处是，实际的采样过程大多为非相干采样，对正弦信号量化输出样本进行直接进行FFT频谱分析，会出现频谱泄露和栅栏效应，频率分辨率低。增加样本观测长度能在一定程度上提高频谱分辨率，但无法解决根本问题，并且导致算法计算量增加和硬件存储成本增加。并且在频率参数无法精确已知的情况下，传统的四参数正弦拟合算法为非线性迭代问题，若初始频率参数选取不当，迭代次数多，最终可能会导致算法局部收敛甚至发散。此外基于小波变换的参数估计，估计精度取决于母波的选择，并且无法直接估计谐波信号参数。

发明内容

发明目的是提供一种单一ADC采集通道动态特性测试方法，可以有效克服现有技术中存在的缺点。

本发明是这样实现的，其特征是包括如下步骤：

(1).对激励信号进行采样，获得观测样本y(n)：

(1.1).设对待测的单一ADC采集通道施加具有一定幅值特征和频率特征的单音正弦激励波形为：

式中，A_vin，f_in，和C分别表示单音正弦信号的幅值、输入频率、相位以及直流分量；

(1.2).待测采集通道以固定采样频率f_s对激励单音正弦信号e(t)进行采样，得到N点观测样本：

y(n)＝e(n)+b(n)+h(n),0≤n≤N-1 (2)

其中，N为观测样本长度，e(n)为输入信号采集样本，即

其中f_s为采样频率，b(n)表示随机噪声成分，包括有量化噪声，抖动噪声。h(n)表示谐波失真成分，即

式中，P为谐波个数，f_i为第i个谐波成分对应的频率，为第i个谐波成分的初始相位；

(2).确定频率搜索边界，频率选择点，计算频率选择点对应的最小二乘残差，估计基频信号的模型参数：

(2.1).对N点观测样本做DFT，N点DFT频谱峰值X[k₀]对应索引值为k₀

求观测样本的N点DFT频谱确定基频信号初始频率粗略估计值设置基于优选法的四参数正弦拟合算法的停止条件p或算法迭代次数I；

(2.2).根据最大谱线索引值k₀，确定优选法搜索的左、右边界点F(l)和F(r)，分为两种情况：

a.若k₀≠0，则

b.若k₀＝0，则F(l)＝Δf·ξ，

其中Δf为频率分辨率，ξ为边界系数，使得F(l)<f₁；

(2.3).运用优选法系数，根据搜索边界确定优选法频率搜索点F(m)和F(t)；

构造矩阵D和样本矩阵Y

其中，f_c为设置的频率搜索点；

应用三参数正弦拟合算法，对设置的频率搜索点f_c借助构造矩阵D和样本矩阵Y得到正弦信号其他三参数的最小二乘解向量θ：

其中，A，B是满足的两个相位正交的幅值参量，C为单音正弦信号直流分量，将估计出的正弦信号三参数分别代入最小二乘残差函数，求出频率优选法搜索点F(m)和F(t)对应最小二乘残差ε(m)、ε(t)：

(2.4).判断迭代次数I或停止条件p是否成立，若条件成立，设置标志位flag＝1，则转至步骤(2.5)；若不成立，则判断ε(m)<ε(t)是否成立，若成立，修正边界F(l)＝F(t)；若不成立，修正边界F(r)＝F(m)，重复步骤(2.3)；

当ε(m)<ε(t)条件满足，修正F(r)＝F(m)，标志位flag＝1，

当ε(m)<ε(t)条件不满足，修正F(l)＝F(t)，标志位flag＝0，

(2.5).根据标志位“flag”取值，得到输出信号中基频信号频率幅值相位和直流分量估计值

其中，激励单音正弦信号模型中幅值参数

激励单音正弦信号模型中的初始相位

激励正弦信号模型为

(3).将步骤(2)估计出的激励单音正弦信号四个参数：幅值、频率、初始相位、直流分量，代入SINAD定义式(13)和ENOB定义式(14)，推导出待测单ADC采集通道的信噪谐波比SINAD和有效位数ENOB两个动态参数：

其中，V_in为输出基波信号rms幅度，

(4).构建残差序列矩阵ERR，计算协方差矩阵R_x，进行特征分解，在相应谱峰邻域搜索计算谐波频率，估计谐波幅值：

(4.1).将待测采集通道N点观测序列y(n)减去步骤(2)估计出的单音正弦模型s(n)，得到观测样本残差值序列err(n)：

err(n)＝y(n)-(Acos(2πf₀·t_n)-Bsin(2πf₀·t_n)-C),n＝0,1,...,N-1 (15)

则残差样本可以表示为：

其中，P表示残差模型的阶次，即残差信号中所包含谐波失真频谱成分的个数，每个频率谐波的相位角相互独立并且满足在(-π,π]范围内均匀分布，b(n)表示随机噪声，满足高斯白噪声模型，谐波信号h_k(n)与噪声b(n)相互独立；

(4.2).对N点残差观测序列err(n)进行FFT变换，找出最大的P个峰值谱线对应频率索引值k_p(p＝1,2,…P)，邻域范围[k_p-1,k_p+1]·Δf；

(4.3).将连续M点残差序列err(m)构建成阵元数为L,快拍数为q的L×q阶残差数据阵列ERR，其中M满足2P<M≤N

计算其残差样本协方差矩阵R_x：

由于噪声与信号相互独立，因此

其中，σ²为高斯白噪声的方差，噪声均值为0；

(4.4).对R_X进行特征分解，分离出大特征值对应的信号子空间和小特征值对应的噪声子空间

观测数据矢量的协方差矩阵左右两边同时左乘特征矢量矩阵U^H，右乘U可得

U^HR_xU＝U^H(AR_xA^H+σ²I)U (20)

根据矩阵理论，假设对输出数据阵列的协方差矩阵进行特征分解

R_xu_i＝λ_iu_i (21)

将特征值大小按照依次递减的顺序排列，特征矢量构成特征矩阵

U＝[u₁u₂…u_M] (22)

则

其中，Σ是协方差矩阵R_x的特征值按照特征值依次递减的方式构成的对角矩阵，把特征矢量矩阵分解为前2P个特征矢量矩阵U_S和剩余(M-2P)个特征矢量矩阵U_N，即

由对角阵特点，可知正弦信号谐波矢量与M-2P个小特征值对应的噪声矢量正交：

变形得

(4.5).设置评价函数P_MUSIC

对空间谱估计评价函数P_MUSIC在相应谱峰邻域内采取爬山法对角频率ω进行精密搜索，极大值点对应的频率值即为所求P个谐波成分频率值；

(4.6).将估计1～P次谐波频率值f_k(k＝1,2,…P)用线性最小二乘拟合算法可以估计出对应谐波分量幅值A_k；

(5).将步骤(4)估计出的输出信号中谐波失真成分的幅值参数A_k代入SNHR定义式(28)，SFDR定义式(29)和THD定义式(30)，推导出待测单ADC采集通道的信噪非谐波比SNHR,无杂散动态范围SFDR和总谐波失真THD三个动态参数：

其中，V_k表示第k次谐波的rms幅度，V_in表示输入单音正弦信号的rms幅度。

本发明优点及积极效果是：

(1)本发明对待测单一ADC采集通道输出信号样本中所包含的激励信号和谐波失真成分的频率分辨率高，极大程度改善了频率泄露和栅栏效应。提出算法对频率搜索范围进行优化，搜索策略简单，计算量小。并且在较低信噪比条件下也能准确估计出信号参数。

(2)本发明首次将基于时频分析法和空间谱分析法结合起来应用于采集通道动态特性测试领域，提出了基于优选法的四参数正弦拟合算法和基于邻域搜索的MUSIC算法。通过一次采样，应用两种算法对待测采集通道的多个动态参数进行测试。

(3)本发明对观测样本中的激励单音正弦信号采用最小二乘估计，相比小波分析，Hibert-Huang以及神经网络算法，计算效率更高，方法简单，计算量小，便于后续通过硬件系统实现。

附图说明：

图1为本发明单一ADC采集通道动态特性测试方法总流程图；

图2为采集样本波形及样本的FFT频谱；

图3为残差序列err(n)FFT频谱

具体实施方式：

下面结合附图对本发明作进一步的说明，如图1所示，一种单一ADC采集通道动态特性测试方法，包括如下步骤：

步骤1.

设激励正弦波频率f_in＝243Hz，幅值A_vin＝5V，直流分量C＝0V，相位参数在[0,2π)区间内满足均匀分布。信噪比为60dB。设观测样本中包含谐波分量的参数如表1所示。

表1谐波参数

k	1	2	3
				f_i(Hz)	291.6	486	729
A_vi(V)	5e-3	3e-3	1e-3

对激励信号以固定采样频率f_s＝10.24KHz进行采样，得到1024点样本y(n)：

式(2-1)中的b(n)为叠加到观测样本中的高斯白噪声，包括观测噪声，参数不准确性产生的误差，时钟信号抖动产生的杂波以及由于芯片内部工艺产生的干扰等。该高斯白噪声均值为0，方差为1.25e-5。由信号频率，采样率以及观测样本数可知，该采样模式为非相干采样。采样后信号如图2所示。

步骤2.确定频率搜索边界，频率选择点，计算频率选择点对应的最小二乘残差，估计基频信号的模型参数：

(2.1)对观测1024点样本进行傅里叶变换，得

确定谱峰对应索引值k₀＝24。设置算法迭代次数I＝15。

(2.2)确定优选法搜索的左右边界点F(l)和F(r)分别为235Hz，245Hz。

(2.3)确定初始频率选择点F(m)和F(t)。

F(m)＝F(l)+0.618[F(r)-F(l)]＝241.18Hz (2-3)

F(t)＝F(r)-0.618[F(r)-F(l)]＝238.82Hz (2-4)

构造矩阵D和样本矩阵Y：

其中f_c为频率选择点。

将频率搜索点代入三参数正弦拟合算法，计算出F(m)和F(t)对应正弦信号三参数向量θ

求出频率选择点F(m)和F(t)对应的最小二乘残差ε(m)和ε(t)分别为1.14197,2.39176。

(2.4)迭代次数小于15，比较得ε(m)<ε(t)成立，修正边界，则F(l)＝F(t)＝238.82Hz，置flag＝1。重复步骤(2.3)

(2.5)直至完成15次迭代，得到正弦信号模型参数如表2所示。

表2正弦信号参数估计

其中第1-15次迭代误差分析如表3所示。

表3 15次迭代频率估计误差分析

由迭代过程可以看出，基于优选法的四参数正弦拟合算法可以精确估计正弦信号所有参数，并且每次迭代过程都为线性拟合，计算过程简单，便于硬件实现。

则激励正弦信号模型为

s(n)＝5.000103cos(2π×243.0003×t_n+1.9921)-2.328e-5 (2-8)

步骤3.将步骤2得到的正弦信号参数代入公式(13)，(14)可得待测采集通道的SINAD以及ENOB参数。

步骤4.构建残差序列矩阵ERR，计算协方差矩阵Rx，进行特征分解，在相应谱峰邻域搜索计算谐波频率，估计谐波幅值。

(4.1)将1024点观测样本减去应用所述步骤(2)得到单音正弦信号模型s(n)，得到样本残差值观测序列err(n)。

err(n)＝y(n)-s(n),n＝0,1,...,1023 (2-9)

对残差序列err(n)作FFT频谱分析，如图3所示。

(4.2)对N点残差观测序列err(n)进行FFT变换，找出残差频谱中最大的3个峰值谱线对应频率索引值k_p(p＝1,2,3)分别为29,49,73，k₁谱线邻域搜索范围[280,300],k₂谱线邻域搜索范围[480,500],k₃谱线邻域搜索范围[720,740]。

(4.3)取连续的541个残差序列err(m)样本点构建成阵元数为L＝40,快拍数q＝500的L×q阶残差数据阵列ERR

计算其残差样本协方差矩阵R_x

(4.4)对R_X进行特征分解，分离出大特征值对应的信号子空间和小特征值对应的噪声子空间

(4.5)对空间谱估计评价函数P_MUSIC

在k₁,k₂,k₃三个谱峰对应邻域内采取爬山法对角频率ω进行精密搜索，设步进量为0.01Hz。三个搜索区间分别寻找极大值点对应的频率值即为所求3个谐波成分频率值，每个谐波频率分别用线性最小二乘拟合算法可以估计出对应谐波分量幅值A_k。如表4所示。

表4残差序列中3个频率分量对应参数估计值

f_k	f₁	f₂	f₃
				频率(Hz)	2.9075e2	4.8336e2	7.2896e2
幅值(V)	4.813e-3	2.705e-3	1.1005e-3

步骤5.将步骤(4)估计出的残差序列中谐波失真成分的幅值参数A_k代入SNHR定义式(28)，SFDR定义式(29)和THD定义式(30)，推导出待测采集通道的信噪非谐波比SNHR,无杂散动态范围SFDR和总谐波失真THD三个动态参数如表5所示。

表5待测采集通道动态参数估计值

动态参数	SNHR(dB)	SFDR(dB)	THD(dB)
				测试值	59.414	59.680	-55.362

由测试结果可以看出，本发明提出的单一ADC采集通道SNHR估计值为59.414dB，激励信号信噪比设置值为60dB，相对误差为0.977％。说明提出方法可以有效测试待测单一ADC采集通道的动态特性。

Claims

1.一种单一ADC采集通道动态特性测试方法，其特征在于，测试过程包括以下步骤：

(1).对激励信号进行采样，获得观测样本y(n)：

y(n)＝e(n)+b(n)+h(n),0≤n≤N-1 (2)

其中，N为观测样本长度，e(n)为输入信号采集样本，即

其中f_s为采样频率，b(n)表示随机噪声成分，包括有量化噪声，抖动噪声，h(n)表示谐波失真成分，即

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a.若k₀≠0，则

b.若k₀＝0，则F(l)＝Δf·ξ，

其中Δf为频率分辨率，ξ为边界系数，使得F(l)<f₁；

构造矩阵D和样本矩阵Y

其中，f_c为设置的频率搜索点，

<mrow> <mi>&theta;</mi> <mo>=</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mi>A</mi> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>B</mi> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>C</mi> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>=</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mi>D</mi> <mi>T</mi> </msup> <mi>D</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mi>D</mi> <mi>T</mi> </msup> <mi>Y</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>8</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

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(2.4).判断迭代次数I或停止条件p是否成立，若条件成立，设置标志位flag＝1，则转至步骤(2.5)；若不成立，则判断ε(m)<ε(t)是否成立，若成立，修正边界F(l)＝F(t)；若不成立，修正边界F(r)＝F(m)，重复步骤(2.3)，

当ε(m)<ε(t)条件满足，修正F(r)＝F(m)，标志位flag＝1，

当ε(m)<ε(t)条件不满足，修正F(l)＝F(t)，标志位flag＝0；

其中，激励单音正弦信号模型中幅值参数

激励单音正弦信号模型中的初始相位

激励正弦信号模型为

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其中，V_in为输出基波信号rms幅度，

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err(n)＝y(n)-(Acos(2πf₀·t_n)-Bsin(2πf₀·t_n)-C),n＝0,1,...,N-1 (15)

则残差样本可以表示为：

<mrow> <msub> <mi>ERR</mi> <mrow> <mi>L</mi> <mo>&times;</mo> <mi>q</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>e</mi> <mi>r</mi> <mi>r</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mn>0</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mi>e</mi> <mi>r</mi> <mi>r</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> <mtd> <mo>...</mo> </mtd> <mtd> <mrow> <mi>e</mi> <mi>r</mi> <mi>r</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>q</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>e</mi> <mi>r</mi> <mi>r</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mi>e</mi> <mi>r</mi> <mi>r</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> <mtd> <mo>...</mo> </mtd> <mtd> <mrow> <mi>e</mi> <mi>r</mi> <mi>r</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>q</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mtable> <mtr> <mtd> <mo>.</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>.</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>.</mo> </mtd> </mtr> </mtable> </mtd> <mtd> <mtable> <mtr> <mtd> <mo>.</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>.</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>.</mo> </mtd> </mtr> </mtable> </mtd> <mtd> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mtd> <mtd> <mtable> <mtr> <mtd> <mo>.</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>.</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>.</mo> </mtd> </mtr> </mtable> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>e</mi> <mi>r</mi> <mi>r</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>L</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mi>e</mi> <mi>r</mi> <mi>r</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>L</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mi>e</mi> <mi>r</mi> <mi>r</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>L</mi> <mo>+</mo> <mi>q</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>17</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

计算其残差样本协方差矩阵R_x：

由于噪声与信号相互独立，因此

<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>R</mi> <mi>x</mi> </msub> <mo>=</mo> <mi>E</mi> <mo>&lsqb;</mo> <mi>A</mi> <mi>S</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>m</mi> <mo>)</mo> </mrow> <msup> <mi>S</mi> <mi>H</mi> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>m</mi> <mo>)</mo> </mrow> <msup> <mi>A</mi> <mi>H</mi> </msup> <mo>&rsqb;</mo> <mo>+</mo> <mi>E</mi> <mo>&lsqb;</mo> <mi>b</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>m</mi> <mo>)</mo> </mrow> <msup> <mi>b</mi> <mi>H</mi> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>m</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&rsqb;</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>=</mo> <mi>A</mi> <mi>E</mi> <mrow> <mo>&lsqb;</mo> <mrow> <mi>S</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>m</mi> <mo>)</mo> </mrow> <msup> <mi>S</mi> <mi>H</mi> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>m</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>&rsqb;</mo> </mrow> <msup> <mi>A</mi> <mi>H</mi> </msup> <mo>+</mo> <mi>E</mi> <mrow> <mo>&lsqb;</mo> <mrow> <mi>b</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>m</mi> <mo>)</mo> </mrow> <msup> <mi>b</mi> <mi>H</mi> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>m</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>&rsqb;</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>=</mo> <msub> <mi>AR</mi> <mi>S</mi> </msub> <msup> <mi>A</mi> <mi>H</mi> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mi>&sigma;</mi> <mn>2</mn> </msup> <mi>I</mi> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>19</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

其中，σ²为高斯白噪声的方差，噪声均值为0；

U^HR_xU＝U^H(AR_xA^H+σ²I)U (20)

R_xu_i＝λ_iu_i (21)

U＝[u₁u₂…u_M] (22)

则

<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>R</mi> <mi>x</mi> </msub> <mi>U</mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>R</mi> <mi>x</mi> </msub> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>u</mi> <mn>1</mn> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>u</mi> <mn>2</mn> </msub> </mtd> <mtd> <mn>...</mn> </mtd> <mtd> <msub> <mi>u</mi> <mi>M</mi> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>=</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>&lambda;</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>u</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <msub> <mi>&lambda;</mi> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mi>u</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> </mtd> <mtd> <mn>...</mn> </mtd> <mtd> <mrow> <msub> <mi>&lambda;</mi> <mi>M</mi> </msub> <msub> <mi>u</mi> <mi>M</mi> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>=</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>u</mi> <mn>1</mn> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>u</mi> <mn>2</mn> </msub> </mtd> <mtd> <mn>...</mn> </mtd> <mtd> <msub> <mi>u</mi> <mi>M</mi> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>&CenterDot;</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>&lambda;</mi> <mn>1</mn> </msub> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mo>...</mo> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <msub> <mi>&lambda;</mi> <mn>2</mn> </msub> </mtd> <mtd> <mo>...</mo> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mtable> <mtr> <mtd> <mo>.</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>.</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>.</mo> </mtd> </mtr> </mtable> </mtd> <mtd> <mtable> <mtr> <mtd> <mo>.</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>.</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>.</mo> </mtd> </mtr> </mtable> </mtd> <mtd> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mtd> <mtd> <mtable> <mtr> <mtd> <mo>.</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>.</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>.</mo> </mtd> </mtr> </mtable> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mo>...</mo> </mtd> <mtd> <msub> <mi>&lambda;</mi> <mi>M</mi> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>=</mo> <mi>U</mi> <mi>&Sigma;</mi> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>23</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

U_M×M＝[U_S(M×2P) U_N(M×(M-2P))] (24)

<mrow> <msubsup> <mi>A</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <mi>P</mi> <mo>&times;</mo> <mi>M</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mi>H</mi> </msubsup> <msub> <mi>U</mi> <mmultiscripts> <mrow> <mo>(</mo> <mi>M</mi> <mo>&times;</mo> <mo>(</mo> <mrow> <mi>M</mi> <mo>-</mo> <mn>2</mn> <mi>P</mi> </mrow> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> <mi>N</mi> </mmultiscripts> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mn>0</mn> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <mi>P</mi> <mo>&times;</mo> <mo>(</mo> <mrow> <mi>m</mi> <mo>-</mo> <mn>2</mn> <mi>P</mi> </mrow> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>25</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

变形得

(4.5).设置评价函数P_MUSIC

<mrow> <msub> <mi>P</mi> <mrow> <mi>M</mi> <mi>U</mi> <mi>S</mi> <mi>I</mi> <mi>C</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <msup> <mi>a</mi> <mi>H</mi> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&omega;</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>U</mi> <mi>n</mi> </msub> <msubsup> <mi>U</mi> <mi>n</mi> <mi>H</mi> </msubsup> <mi>a</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&omega;</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>27</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

<mrow> <mi>S</mi> <mi>N</mi> <mi>H</mi> <mi>R</mi> <mo>&lsqb;</mo> <mi>d</mi> <mi>B</mi> <mo>&rsqb;</mo> <mo>=</mo> <mn>10</mn> <mi>l</mi> <mi>o</mi> <mi>g</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mrow> <msup> <msub> <mi>NV</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mn>2</mn> </msup> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> <munderover> <mo>&Sigma;</mo> <mrow> <mi>n</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> <mrow> <mi>N</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </munderover> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>y</mi> <mi>n</mi> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>e</mi> <mi>n</mi> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>h</mi> <mi>n</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>28</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

<mrow> <mi>T</mi> <mi>H</mi> <mi>D</mi> <mo>=</mo> <mn>10</mn> <mi>log</mi> <mfrac> <mrow> <munderover> <mo>&Sigma;</mo> <mrow> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>P</mi> </munderover> <msubsup> <mi>V</mi> <mi>k</mi> <mn>2</mn> </msubsup> </mrow> <msubsup> <mi>V</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>n</mi> </mrow> <mn>2</mn> </msubsup> </mfrac> <mo>&lsqb;</mo> <mi>d</mi> <mi>B</mi> <mo>&rsqb;</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>30</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>