CN107025209A - 一种不等间隔采样的离散数据一阶导数解算方法 - Google Patents

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Abstract

一种不等间隔采样的离散数据一阶导数解算方法，属于应用数学领域，涉及测量数据的一阶导数解算。本发明的目的是：提供一种离散数据的一阶导数解算方法，使其能够对不等间隔采样数据进行一阶导数解算，并且对于端点附近的数据也能够获得较好的一阶导数解算结果。本发明的技术方案是：设测量数据的真值函数为f(t)，则测量点的一阶导数估计值为式中，a1、a2、A3各由相应的计算方法得到，且点不能为拟合区间的端点。本发明主要用于离散数据的一阶导数解算。

Description

一种不等间隔采样的离散数据一阶导数解算方法
技术领域
本发明属于应用数学领域，涉及测量数据的一阶导数解算，尤其是不等间隔采样的离散数据的一阶导数解算。
背景技术
离散数据一阶导数的解算方法在工程实践中有着广泛的应用，比如，气象、化学、地质学、航空航天、机械制造等众多领域都经常涉及，其基本解算步骤通常是：用近似函数对离散数据进行拟合，然后进行微分，必要时通过一定的算法对微分结果进行优化，最终获得一阶导数。离散数据往往通过测量得到，其数值中通常含有测量误差。由于测量数据变化规律的复杂性、拟合模型的近似性、算法的局限性以及测量误差的影响，要获得准确的计算结果具有相当的难度，因此，离散数据的一阶导数解算在某些领域一直是工程计算中的难点。
为了能够对测量数据进行尽可能准确的微分，人们尝试了许多方法以提高解算精度，但由于拟合模型有时不能对数据进行准确描述，因此导致解算结果存在较大误差；有的算法虽然结果较好，但计算过程较为复杂，有时难以满足快速处理要求；也有的算法虽然采用了一些特殊的处理技术，获得了较为准确的结果，但却不能够对端点附近的数据进行有效解算；而且，现有算法大多是在等间隔采样的条件下使用的，对于不等间隔采样，有的算法就无能为力了。
发明内容
本发明的目的是：提供一种离散数据的一阶导数解算方法，使其能够对不等间隔采样数据进行一阶导数解算，并且对于端点附近的数据也能够获得较好的一阶导数解算结果。
本发明的技术方案是：设测量数据的真值函数为f(t)，则测量占的一阶导数估计值为式中，
A3为对包含点的拟合区间采用最小二乘三次多项式拟合后所得的三次项系数，且点不能为拟合区间的端点，是与ti对应的测量值，表示点的后面某点的测量值，表示点的前面某点的测量值，且点均在计算A3的拟合区间内。
该方案的一种具体解算步骤是：
第1步，计算各参量的值：设需要解算一阶导数的点的坐标为选取N(N≥5)点拟合区间，使该区间包含点且点不是该拟合区间的端点，对该区间进行最小二乘三次多项式拟合，获得拟合多项式A0+A1ti+A2ti 2+A3ti 3的三次项系数A3，式中，A0是常数项，A1是一次项系数，A2是二次项系数；根据式计算a1的值，根据式计算a2的值。
第2步，计算一阶导数的估计值：将a1、a2、A3和ti的值代入式中，计算点的一阶导数估计值
本发明的效果和益处是：①能够对拟合区间内不包括端点的需要解算一阶导数的数据进行一阶导数解算。②能够显著改善端点附近数据的一阶导数解算精度差的状况；③当测量数据出现间断情况时，仍可较为准确的计算出间断点处的一阶导数；④既能够对等间隔采样数据进行一阶导数解算，也能够对不等间隔采样数据进行解算；⑤解算过程不需知道测量数据的精确拟合模型。
本发明的发明要点是：根据式计算测量数据下标为i的点的一阶导数，其中，表示点的后面某点的测量值，表示点的前面某点的测量值，A3为对包含点的拟合区间采用最小二乘三次多项式拟合后所得的三次项系数。
附图说明
附图是测量数据较多时对其非端点数据进行一阶导数解算的流程图。
具体实施方式
下面以函数为例，取不同的采样间隔，构造一组仿真数据，如表1所示，采用本发明进行一阶导数解算，对其解算步骤做详细说明。
表1仿真数据
第1步：对表1中区间t＝44.3～47.0的数据进行最小二乘三次拟合，得其三次项系数为1.7825381909745646，然后把A3＝1.7825381909745646、ti＝44.5、ti-1＝44.3、ti+1＝44.9、代入式和中，得a1＝8086.416320、a2＝-205.713127，再将ti、a1、a2、A3的值代入式中，得再把A3＝1.7825381909745646、ti＝44.9、ti-1＝44.5、ti+1＝45.7、代入a1、a2的表达式中，计算出a1＝8101.709152、a2＝-205.884188，然后把A3的值、ti＝44.9和a1、a2新的计算结果代入式中，得再用类似的方法计算的值。至此，完成了第1个拟合区间中不包括端点的数据的一阶导数解算。
第2步，将拟合区间向后滑动，用与第1步类似的方法，完成对表1中区间t＝45.7～48.6的数据进行一阶导数解算。
将上述的一阶导数的相关计算结果列入表2，并与表1中的标准值做差，结果一并列入表2。
表2不等间隔采样的一阶导数解算结果
至此，获得了表1中的仿真数据不包括t＝44.3和t＝48.6的2个端点在内的所有数据的一阶导数解算结果。从表2中的解算误差可看出，采用本发明能够获得比较准确的一阶导数解算结果。
实际应用时，应注意两点：一是一般来说，当测量数据的精确拟合模型不是三次时，A3的准确度和拟合区间的长短有关，拟合时应选用尽可能短的拟合区间；二是如果测量数据在某点发生二阶导数突变的情况，则宜在突变点处对数据进行分段处理。

Claims (4)

1.一种不等间隔采样的离散数据一阶导数解算方法，其特征是包含以下步骤：
第1步，计算各参量的值：设需要解算一阶导数的点的坐标为选取N(N≥5)点拟合区间，使该区间包含点且点不是该拟合区间的端点，对该区间进行最小二乘三次多项式拟合，获得拟合多项式A0+A1ti+A2ti 2+A3ti 3的三次项系数A3，式中，A0是常数项，A1是一次项系数，A2是二次项系数，根据式计算a1的值，根据式计算a2的值，式中，是与ti对应的测量值，表示点的后面某点的测量值，表示点的前面某点的测量值；
第2步，计算一阶导数的估计值：将a1、a2、A3和ti的值代入式中，计算点的一阶导数估计值
2.根据权利要求1所述的不等间隔采样的离散数据一阶导数解算方法，其特征在于第1步中A3的计算方法为：选取N(N≥5)点拟合区间，使该区间包含点且点不是该拟合区间的端点，对该区间进行最小二乘三次多项式拟合，获得拟合多项式A0+A1ti+A2ti 2+A3ti 3的三次项系数A3。
3.根据权利要求1所述的不等间隔采样的离散数据一阶导数解算方法，其特征在于第1步中a1的计算方法为根据式11计算a1的值。
4.根据权利要求1所述的不等间隔采样的离散数据一阶导数解算方法，其特征在于第1步中a2的计算方法为根据式22计算a2的值。
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