CN109145258B - 基于非线性拟合的威布尔分布参数置信区间估计方法 - Google Patents

基于非线性拟合的威布尔分布参数置信区间估计方法 Download PDF

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Abstract

本发明属于可靠性统计技术领域，本发明公开了一种基于非线性拟合的威布尔分布参数置信区间估计方法，首先根据基于非线性拟合法求得的威布尔分布参数点估计，再利用特定威布尔分布下基于非线性拟合法求得的威布尔分布参数点估计，给出了威布尔分布参数置信区间的估计方法。本发明通过上述步骤很好地解决了非线性拟合下威布尔分布参数的置信区间估计问题。由于同时基于非线性拟合法求得威布尔分布参数的点估计和置信区间，因而保证了二者的一致性。且对于构建置信区间的关键公式，是基于枢轴量推导所提出的，可构建准确的威布尔分布参数置信区间。

Description

基于非线性拟合的威布尔分布参数置信区间估计方法
技术领域
本发明涉及可靠性统计领域，特指一种基于非线性拟合的威布尔分布参数置信区间估计方法。
背景技术
在可靠性统计领域，常常涉及到产品可靠性的评估问题，这其中的关键是利用产品寿命试验的样本数据估计产品寿命所服从分布中的参数，包括参数的点估计和置信区间估计。
威布尔分布被广泛用于描述产品的寿命
Figure 861816DEST_PATH_IMAGE001
，其分布函数为
Figure 375974DEST_PATH_IMAGE002
(1)
相应的概率密度函数为
Figure 240025DEST_PATH_IMAGE003
(2)
Figure 257659DEST_PATH_IMAGE004
、
Figure 63810DEST_PATH_IMAGE005
为威布尔分布的2个分布参数，其中
Figure 596423DEST_PATH_IMAGE006
为形状参数，
Figure 998585DEST_PATH_IMAGE007
为尺度参数。
当产品寿命服从威布尔分布时，对于威布尔分布参数的估计，当前常用的是极大似然估计法和分布曲线拟合法。记经寿命试验获得的n个样本产品的样本数据（即样本产品的失效时间）
Figure 870726DEST_PATH_IMAGE008
，极大似然估计法的基本思想是参数的估计令样本的似然函数
Figure 864090DEST_PATH_IMAGE009
最大，但形状参数
Figure 805370DEST_PATH_IMAGE010
的极大似然估计很容易出现“过估”现象，即估计值大于真值，造成分布参数估计的不准确性。
而分布曲线拟合法的基本思想是首先求得样本数据处的失效概率估计，然后通过曲线拟合得到一条分布曲线，继而给出威布尔分布参数的估计。由于对于式(1)中的威布尔分布函数，经过两次取对数变换，可得
Figure 276803DEST_PATH_IMAGE011
从而可将威布尔分布函数转化为线性函数。进一步记
Figure 65767DEST_PATH_IMAGE012
为样本数据
Figure 698874DEST_PATH_IMAGE013
处的失效概率估计，令
Figure 409341DEST_PATH_IMAGE014
，
Figure 671082DEST_PATH_IMAGE015
，继而可利用线性拟合的思想，通过拟合诸点
Figure 252237DEST_PATH_IMAGE016
Figure 321824DEST_PATH_IMAGE017
给出威布尔分布参数的估计为
Figure 254008DEST_PATH_IMAGE018
基于线性拟合的威布尔分布参数估计形式简单，计算方便，因而在可靠性统计中得到了广泛应用。但是该方法在计算过程中将威布尔分布函数两次取对数，造成分布函数形态的改变，特别是当样本数据比较小或比较大时尤为明显，从而使得参数估计结果极不准确。因而应当采用基于非线性拟合的威布尔分布参数估计方法，即利用非线性拟合的思想，直接拟合诸点
Figure 863981DEST_PATH_IMAGE019
Figure 80067DEST_PATH_IMAGE020
，通过令误差函数
Figure 54976DEST_PATH_IMAGE021
(3)
最小，得到拟合后的分布曲线并给出威布尔分布参数的点估计。通过上述非线性拟合法，可以给出威布尔分布参数的点估计，但不能给出威布尔分布参数的置信区间估计。
发明内容
由于现有技术中极大似然估计法和线性拟合法的不足，应当采用非线性拟合法估计威布尔分布参数。但现有研究成果只能给出威布尔分布参数的点估计，不能给出威布尔分布参数的置信区间估计。针对上述缺陷，为了完善非线性拟合法下威布尔分布参数的估计方法，本发明提出基于非线性拟合的威布尔分布参数置信区间估计方法。
为了解决上述技术问题，本发明采用的技术方案是：
基于非线性拟合的威布尔分布参数置信区间估计方法，包括以下步骤：
（1）基于非线性拟合法计算威布尔分布参数的点估计：
随机抽取n个样本产品进行寿命试验，在寿命试验中观测各样本产品的工作状态，若某一时刻开始某一样本不能继续工作，则该时刻即为该样本产品的失效时间。本发明中的通过寿命试验获得的样本产品的样本数据即样本产品的失效时间。
记经寿命试验获得的n（
Figure 740036DEST_PATH_IMAGE022
）个样本产品的样本数据为
Figure 825803DEST_PATH_IMAGE023
，设
Figure 896396DEST_PATH_IMAGE024
，称
Figure 42207DEST_PATH_IMAGE025
为样本数据
Figure 745721DEST_PATH_IMAGE026
的秩，根据公式（4）估计样本数据
Figure 635179DEST_PATH_IMAGE027
的失效概率：
Figure 311011DEST_PATH_IMAGE028
(4)
令误差函数为：
Figure 142570DEST_PATH_IMAGE029
(3)
将
Figure 333380DEST_PATH_IMAGE030
Figure 26529DEST_PATH_IMAGE031
代入式(3)中，利用信赖域反射法（Trust-regionreflective）求解式(3)最小时威布尔分布参数的数值，得到威布尔分布参数的点估计，记为
Figure 822447DEST_PATH_IMAGE032
和
Figure 310060DEST_PATH_IMAGE033
。
（2）基于非线性拟合法计算特定威布尔分布参数的点估计。
令威布尔分布函数即式(1)中的2个威布尔分布参数同时为1，即
Figure 195625DEST_PATH_IMAGE034
。基于该特定威布尔分布（特定威布尔分布即
Figure 489203DEST_PATH_IMAGE035
），生成一组样本量为
Figure 139627DEST_PATH_IMAGE036
的样本数据
Figure 798141DEST_PATH_IMAGE037
，设
Figure 166806DEST_PATH_IMAGE038
。按照步骤（1）中相同的方法，基于该样本数据
Figure 451025DEST_PATH_IMAGE039
计算特定威布尔分布参数的估计，记为
Figure 752694DEST_PATH_IMAGE040
和
Figure 847689DEST_PATH_IMAGE041
。然后重复该过程
Figure 438070DEST_PATH_IMAGE042
次，即基于
Figure 11134DEST_PATH_IMAGE043
该特定威布尔分布，生成
Figure 432888DEST_PATH_IMAGE044
组样本量为n的样本数据并基于生成的各组样本量为n的样本数据计算对应的特定威布尔分布参数的估计，如此可得
Figure 948052DEST_PATH_IMAGE045
组特定威布尔分布参数的估计
Figure 760150DEST_PATH_IMAGE046
和
Figure 402484DEST_PATH_IMAGE047
，其中
Figure 616428DEST_PATH_IMAGE048
。
（3）构建威布尔分布参数的置信区间估计：
根据步骤（1）得到的威布尔分布参数的点估计
Figure 302493DEST_PATH_IMAGE049
和
Figure 664204DEST_PATH_IMAGE050
以及步骤（2）得到的
Figure 844650DEST_PATH_IMAGE051
组特定威布尔分布参数的点估计
Figure 178679DEST_PATH_IMAGE052
和
Figure 786378DEST_PATH_IMAGE053
，其中
Figure 369806DEST_PATH_IMAGE054
，利用
Figure 606140DEST_PATH_IMAGE055
(5)
计算威布尔分布参数的一组样本值
Figure 60255DEST_PATH_IMAGE056
和
Figure 573276DEST_PATH_IMAGE057
，其中
Figure 847262DEST_PATH_IMAGE058
。
将得到的上述一组样本值
Figure 166248DEST_PATH_IMAGE059
和
Figure 724137DEST_PATH_IMAGE060
均按升序排列为
Figure 408059DEST_PATH_IMAGE061
和
Figure 434921DEST_PATH_IMAGE062
，在给定的置信水平
Figure 495281DEST_PATH_IMAGE063
下，可得威布尔分布参数的置信区间为
Figure 720726DEST_PATH_IMAGE064
(6)
如上所述，本发明根据基于非线性拟合法求得的威布尔分布参数点估计，再利用特定威布尔分布下基于非线性拟合法求得的威布尔分布参数点估计，给出了威布尔分布参数置信区间的估计方法。本发明通过上述步骤很好地解决了非线性拟合下威布尔分布参数的置信区间估计方法。由于同时基于非线性拟合法求得威布尔分布参数的点估计和置信区间，因而保证了二者的一致性，且对于构建置信区间的关键公式(5)，是基于点估计
Figure 824817DEST_PATH_IMAGE065
和
Figure 73396DEST_PATH_IMAGE066
的枢轴量给出的，因而本发明在式(6)中提出的威布尔分布参数置信区间是准确的。
附图说明
图1是实例中针对双参数同时为1时威布尔分布参数
Figure 937447DEST_PATH_IMAGE067
的点估计
图2是实例中针对双参数同时为1时威布尔分布参数
Figure 220661DEST_PATH_IMAGE068
的点估计
具体实施方式
以下将结合实例对本发明做进一步详细说明。
本实例利用一组9个样品产品的失效时间数据，这9个样本产品的失效时间分别是96.9，100.3，100.8，122.6，103.3，103.4，105.4，151.3和162.4（小时），本发明的具体方法如下：
第一步，将9个失效时间数据按照升序排列为96.9，100.3，100.8，103.3，103.4，105.4，122.6，151.3和162.4。接着，根据
Figure 308702DEST_PATH_IMAGE069
即公式(4)估计得到各失效时间数据相应的失效概率估计值为0.0745，0.1809，0.2872,，0.3936，0.5，0.6064，0.7128，0.8191和0.9255，再利用误差函数即公式(3)，基于信赖域反射法求得威布尔分布参数的点估计为
Figure 293845DEST_PATH_IMAGE070
和
Figure 961586DEST_PATH_IMAGE071
。
第二步，令威布尔分布函数即
Figure 833728DEST_PATH_IMAGE072
中的2个威布尔分布参数同时为1，即
Figure 295933DEST_PATH_IMAGE073
，基于该特定威布尔分布，生成5000组样本量为9的样本。再按照第一步中计算威布尔分布参数的点估计相同的方法，利用这5000组样本中的每一组样本计算对应的威布尔分布参数的点估计，可共得到5000组点估计结果，分别如图1和图2所示。
最后，根据公式(5)计算威布尔分布参数的一组样本值
Figure 765442DEST_PATH_IMAGE074
和
Figure 33612DEST_PATH_IMAGE075
，其中
Figure 25839DEST_PATH_IMAGE076
，再利用式(6)求得威布尔分布参数
Figure 658945DEST_PATH_IMAGE077
和
Figure 103833DEST_PATH_IMAGE078
在给定的置信水平0.9下的置信区间分别为
Figure 362645DEST_PATH_IMAGE079
和
Figure 130750DEST_PATH_IMAGE080
。
通过以上本发明所提出的基于非线性拟合的威布尔分布参数置信区间估计方法，能够在基于非线性拟合的威布尔分布参数点估计基础上，借助于仿真样本构建威布尔分布参数的置信区间，且该置信区间是准确的。综上所述，本发明所提出的基于非线性拟合的威布尔分布参数置信区间估计方法具有良好的准确性。
以上所述仅为本发明的优选的实施例而已，并不用于限制本发明，对于本领域的技术人员来说，本发明可以有各种更改和变化。凡在本发明的精神和原则之内，所作的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (2)

1.基于非线性拟合的威布尔分布参数置信区间估计方法，其特征在于，包括如下步骤：
(1)基于非线性拟合法计算威布尔分布参数的点估计；
记经寿命试验获得的n个样本产品的样本数据即样本产品的失效时间为t1,…,tn，设t1≤…≤tn，称i为样本数据ti的秩，根据公式(4)估计样本数据ti的失效概率：
Figure FDA0001992225530000011
令误差函数为：
Figure FDA0001992225530000012
将
Figure FDA0001992225530000013
代入误差函数中，利用信赖域反射法求解误差函数最小时威布尔分布参数的数值，得到威布尔分布参数的点估计，记为
Figure FDA0001992225530000014
和
Figure FDA0001992225530000015
(2)基于非线性拟合法计算特定威布尔分布参数的点估计；
令威布尔分布函数即
Figure FDA0001992225530000016
中的2个威布尔分布参数同时为1，即m＝η＝1，基于该特定威布尔分布，生成一组样本量为n的样本数据
Figure FDA0001992225530000017
设
Figure FDA0001992225530000018
按照步骤(1)中相同的方法，基于该样本数据
Figure FDA0001992225530000019
计算特定威布尔分布参数的估计，记为
Figure FDA00019922255300000110
和
Figure FDA00019922255300000111
然后重复该过程N次，即基于m＝η＝1该特定威布尔分布，生成N组样本量为n的样本数据并基于生成的各组样本量为n的样本数据计算对应的特定威布尔分布参数的估计，如此可得N组特定威布尔分布参数的估计
Figure FDA00019922255300000112
和
Figure FDA00019922255300000113
其中j＝1,…,N；
(3)根据步骤(1)得到的威布尔分布参数的点估计和步骤(2)得到的特定威布尔分布参数的点估计构建威布尔分布参数的置信区间估计；
根据步骤(1)得到的威布尔分布参数的点估计
Figure FDA0001992225530000021
和
Figure FDA0001992225530000022
以及步骤(2)得到的N组特定威布尔分布参数的点估计
Figure FDA0001992225530000023
和
Figure FDA0001992225530000024
其中j＝1,…,N，利用公式(5)计算威布尔分布参数的一组样本值
Figure FDA0001992225530000025
和
Figure FDA0001992225530000026
其中j＝1,…,N：
Figure FDA0001992225530000027
将得到的一组样本值
Figure FDA0001992225530000028
和
Figure FDA0001992225530000029
均按升序排列为
Figure FDA00019922255300000210
和
Figure FDA00019922255300000211
在给定的置信水平(1-α)下，可得威布尔分布参数的置信区间为：
Figure FDA00019922255300000212
2.根据权利要求1所述的基于非线性拟合的威布尔分布参数置信区间估计方法，其特征在于，步骤(1)中，样本产品数据量n≥2。
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