CN106931905A - 一种基于非线性优化的数字莫尔条纹相位提取方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种基于非线性优化的数字莫尔条纹相位提取方法，属于光学测量和图像处理技术领域。本发明建立莫尔合成光强分布图数学模型，将条纹相位作为优化变量，以实际莫尔合成图光强分布作为优化目标，将相位连续作为边界条件，经过非线性优化计算使数学模型的光强分布等同于实际莫尔合成图的光强分布，这时的条纹相位即实际莫尔合成图莫尔条纹相位。该方法无需进行低通滤波即可求得莫尔条纹相位，可避免频谱混叠情况下的滤波误差，提高相位测量精度。

Description

一种基于非线性优化的数字莫尔条纹相位提取方法

技术领域

本发明涉及一种基于非线性优化的数字莫尔条纹相位提取方法，属于光学测量和图像处理技术领域。

背景技术

数字莫尔干涉术原理为利用计算机根据实际干涉仪光路和复杂的标准被测波面计算出虚拟干涉图，在实际检测时实时采集实际干涉仪的被测波面形成实际干涉图，将这两幅干涉图莫尔合成得到莫尔条纹，

虚拟干涉图中的光强分布满足

其中I₁(x,y)为干涉图背景直流分量，γ₁为条纹对比度，δ_R(x,y)为虚拟干涉仪中被测面和参考面之间的剩余波前，其大小和空间频率将决定虚拟干涉图的频谱带宽，f_R是空间载波，决定虚拟干涉图的高频中心位置，为进行移相干涉时对此干涉图附加的可变相位。

实际干涉图中的光强分布满足

I_o(x,y)＝I₂(x,y){1+γ₂cos[2πf_ox+δ_o(x,y)]} (2)

其中I₂(x,y)为干涉图背景直流分量，γ₂为条纹对比度，δ_o(x,y)为实际干涉仪中被测面和参考面之间的剩余波前，f_o是空间载波，其作用与虚拟干涉图相关参数类似。

上述两式去除直流背景项之后可得

I_o'(x,y)＝I_o(x,y)-I₂(x,y)＝I₂(x,y)γ₂cos[2πf_ox+δ_o(x,y)] (4)

利用乘法莫尔合成图

上述莫尔合成图包含两个频率项，其中第一项是和频项(高频项)，第二项是差频项(低频项)，其中差频项为莫尔条纹，其相位δ_O(x,y)-δ_R(x,y)即数字莫尔干涉术的待测量。从而实现复杂波面的直接相干，并能实时观察和采用数字移相法快速处理莫尔条纹。

数字莫尔干涉术要求对莫尔合成图进行低通滤波以获取莫尔条纹，方便后续移相和提取莫尔条纹相位。对莫尔合成图进行傅里叶变换，可得到莫尔合成图傅里叶频谱。在频域内低通滤波可滤除高频项保留低频项。对滤波后的频谱进行逆傅里叶变换可得到莫尔条纹光强分布，进而通过移相等方法求得莫尔条纹相位。但是低通滤波的方法受限于探测器的通频带宽，测量范围有限。当干涉图的频谱带宽增大时，低通滤波方法精度会下降，如果频谱会出现混叠，低通滤波方法无法正确解出相位。

发明内容

本发明为了解决由于干涉图剩余波前的频谱带宽太大，导致莫尔合成图的和频项与差频项无法通过常规低通滤波分离的问题，提供一种基于非线性优化的数字莫尔条纹相位提取方法，有效扩展数字莫尔干涉测量的测量范围。

本发明的目的是通过下述技术方案实现的。

首先建立莫尔合成图光强分布数学模型，其次处理实际和虚拟干涉图得到实际莫尔合成图光强分布，再次将莫尔条纹相位作为变量，以实际莫尔合成图光强分布作为优化目标，结合非线性方程的数值解法得到优化函数，最后选定合适初值经过迭代优化计算使数学模型的光强分布等同于实际莫尔合成图的光强分布，这时的条纹相位即实际莫尔合成图莫尔条纹相位。

莫尔条纹相位分布反映被测面相较于标准面的面形误差，被测面的面形、标准面形和面形误差都是平滑和连续的，故而莫尔条纹相位分布是平滑和连续的。基于这一平滑连续条件能够提取出正确的莫尔条纹相位。

一种基于非线性优化的数字莫尔条纹相位提取方法，具体步骤如下：

步骤一、建立莫尔合成图光强分布标准数学模型。

式(5)描述了莫尔合成图的光强分布，当虚拟干涉图和实际干涉图空间载波频率和条纹调制度相同时，即f_R＝f_o＝f，I₁(x,y)＝I₂(x,y)＝I。此时虚拟干涉图和实际干涉图的剩余波前差即莫尔条纹相位。这时可以得到数字莫尔干涉的莫尔合成图光强分布标准数学模型：

步骤二、采集干涉图并处理，获取符合式(6)的实际莫尔合成图；

通过实际干涉仪采集一幅实际干涉图，对实际干涉图进行归一化后，再去除实际干涉图中的直流背景项，此时I₂(x,y)＝1，f_O＝f。

根据实际干涉图调整虚拟干涉仪，使虚拟干涉图和实际干涉图空间载波频率相同，此时f_R＝f_O＝f。通过虚拟干涉仪获得此实际干涉图对应的虚拟干涉图，去除虚拟干涉图的直流背景项。通过虚拟干涉仪获取的虚拟干涉图为理想干涉图，无需进行归一化操作即有I₁(x,y)＝1。

通过上述操作后对实际干涉图和虚拟干涉图进行乘法莫尔合成得到实际莫尔合成图光强分布I_mr(x,y)，I_mr(x,y)符合式(6)。

步骤三、建立非线性优化问题。

优化目标：莫尔合成图数学模型光强分布和实际莫尔合成图光强分布相等，即

优化变量：剩余波前相位差

边界条件：莫尔条纹相位连续，即剩余波前相位差连续。

步骤四：求解步骤三的非线性优化问题。

上述式(7)为非线性优化问题，通过非线性方程的数值求解法来求解。

选用牛顿迭代法作为求解方法。

根据牛顿迭代法公式：

构造的迭代优化函数：

为迭代方程选择初值牛顿迭代法收敛性较好可随意选取初值。初值选取不合适导致算法不收敛的情况时，扫描求解过程中根据平滑连续条件也能改选正确初值求解相位。

将选定的初值代入迭代优化函数式(9)，并结合莫尔条纹相位光滑连续条件逐一对所有点对应的莫尔条纹相位进行迭代求解。通过行(列)扫描的方式逐一迭代求解，对整幅莫尔合成图完成扫描求解后即可提取出莫尔条纹的相位分布

逐行(列)扫描迭代求解具体过程如下：

(1)先迭代求出行扫描路径上的第一、二点的莫尔条纹相位并求出第二点相位的一阶差分

(2)一般的，对于扫描路径上第i(i≥3)点，先迭代求解其相位求一阶差分和二阶差分判断和成立则正确，令i＝i+1，重复(2)扫描下一点。否则将作为的迭代求解初值代入公式再次进行迭代计算令i＝i+1，重复(2)扫描下一点。σ₁、σ₂的值与所求莫尔条纹分布的疏密程度有关系，当莫尔条纹较为稀疏时，σ₁、σ₂取值相应较小；当莫尔条纹较密时，σ₁、σ₂取值相应较大。

(3)扫描完单行之后，换行并重复(1)、(2)直到整幅莫尔合成图的条纹相位被求解完。

有益效果

本发明扩展了莫尔测量方法的测量范围。在出现频谱混叠时，频域滤波方法无法正确解相，本发明通过非线性优化的方法依然能够较好的提取莫尔条纹相位，有效扩展了莫尔测量的测量范围。

附图说明

图1为本发明方法基本流程图；

图2为实际干涉图波前；

图3为实际干涉图；

图4为虚拟干涉图波前；

图5为虚拟干涉图；

图6为莫尔合成图；

图7为莫尔条纹波前；

图8为实际莫尔合成图频谱；

图9为低通滤波结果；

图10为低通滤波误差；

图11为本发明约束条件说明；

图12为扫描流程图；

图13为本发明方法解相结果；

图14为本发明方法误差。

具体实施方式

下面结合附图与实施例对本发明作进一步说明。

实施例1

本实例基于MATLAB仿真以验证方法的理论可行性。

一种基于非线性优化的数字莫尔条纹相位提取方法的流程如图1所示，具体步骤如下：

步骤一、建立莫尔合成图光强分布标准数学模型。

虚拟干涉图中的光强分布满足

实际干涉图中的光强分布满足

I_o(x,y)＝I₂(x,y){1+γ₂cos[2πf_ox+δ_o(x,y)]}

上述两式去除直流背景项后做乘法莫尔合成可得

当上式中f_R＝f_o＝f，I₁(x,y)＝I₂(x,y)＝I时，并令可得

上式描述了数字莫尔干涉的莫尔图光强分布，为数字莫尔干涉的莫尔合成图光强分布标准数学模型。

根据上式得数字莫尔干涉的莫尔图光强分布

步骤二、采集干涉图并处理，获取符合式(6)的实际莫尔合成图

通过MATLAB分别仿真得到两幅干涉图。实际测量时，实际干涉图由干涉仪相机拍摄得到。

预设两幅干涉图空间载波f_R＝f_O＝f＝0，背景直流分布均匀即I₁(x,y)＝I₂(x,y)＝I＝1，直流背景项为0可省去去除直流背景项操作，无需移相故虚拟干涉图中这样得到的实际干涉图和虚拟干涉图做乘法莫尔合成生成的莫尔合成图满足步骤一中的数学模型。

实际干涉图光强分布：I_o(x,y)＝cos[δ_o(x,y)]

实际干涉图波前δ_o(x,y)如2图所示，实际干涉图如图3所示。

虚拟干涉图光强分布：I_R(x,y)＝cos[δ_R(x,y)]

虚拟干涉图波前δ_R(x,y)如图4所示，虚拟干涉图如图5所示。

预设的实际干涉图和虚拟干涉图的剩余波前都较大PV>80λ(λ＝632.8nm)，两幅干涉图条纹都较为密集。

式(6)化简为：

对实际干涉图和虚拟干涉图进行乘法莫尔合成得到实际莫尔合成图光强分布I_mr(x,y)，I_mr(x,y)符合式(6)。

如图6所示为实际莫尔合成图。如图7所示为预设的实际干涉图波前和虚拟干涉图波前的差，即需要求解的莫尔条纹相位

由于此时剩余波前较大，剩余波前的频谱占满整个频谱面，莫尔合成图频谱出现混叠，此时实际莫尔合成图频谱如图8所示。

此时低通滤波无法分离高频项和低频项，这会导致低通滤波方法的求解结果出现错误。低通滤波结果如图9所示，低通滤波结果相较于图6的莫尔条纹波前有一个明显的波纹。此时低通滤波结果误差如图10所示，误差PV约为0.3λ。

步骤三、建立非线性优化问题。

确定优化目标：莫尔合成图数学模型光强分布和实际莫尔合成图光强分布相等，即得到

式中的剩余波前相位差为优化变量。

该问题的边界条件为：莫尔条纹相位连续。

由于上式中包含三角函数，由于三角函数具有对称性和周期性，故而求解结果必然会有周期内的对称解或周期外的相差2π整数倍的周期解，这会导致求解出的莫尔条纹相位错误。为解决这一问题，利用边界条件：所求的莫尔条纹相位分布是平滑和连续的。如图11所示为边界条件的说明，图中每一像素坐标对应都有周期性的多解，而当要求相位分布连续时会得到一条连续的曲线，这也会是某一确定点达到这一结果的惟一独立解。边界条件约束了优化过程中优化变量的取值，连续性条件要求相邻两点的剩余波前相位差的差值在一个区间内。根据这一条件在相位求解中出现不符合连续性条件的点时，将该点相位值赋为前一点相位值和前一点导数值的和，然后利用该点赋值后的相位值再次迭代计算就能求解出正确的莫尔条纹相位。通常利用相位连续条件或者相位导数连续条件就能够恢复出正确的相位分布，但是当相位导数超过π时会导致无法正确恢复相位，这时可以利用更高阶的导数连续条件，如二阶导数连续。

步骤四：求解步骤三的非线性优化问题。

步骤三中的非线性优化问题可通过非线性方程的数值求解法来求解。

选用牛顿迭代法作为求解方法。

根据牛顿迭代法公式(8)。

构造如式(9)所描述的迭代优化函数。

其中和详细表达如下式(10)和式(11)所示。

为迭代方程选择初值牛顿迭代法收敛性较好可随意选取初值。初值选取不合适导致算法不收敛的情况时，扫描求解过程中根据平滑连续条件也能改选正确初值求解相位。本实施例中选取传统低通滤波方法的解相结果作为迭代初值。

将选定的初值代入迭代优化函数式(9)

并结合莫尔条纹相位光滑连续条件逐一对所有点对应的莫尔条纹相位进行迭代求解。通过行(列)扫描的方式逐一迭代求解，对整幅莫尔合成图完成扫描求解后即可提取出莫尔条纹的相位分布

如图12所示为逐行(列)扫描流程图，逐行(列)扫描迭代求解具体过程如下：

(1)先迭代求出行扫描路径上的第一、二点的莫尔条纹相位并求出第二点相位的一阶差分

(2)一般的，对于扫描路径上第i(i≥3)点，先迭代求解其相位求一阶差分和二阶差分判断和成立则正确，令i＝i+1，重复(2)扫描下一点。否则将作为的迭代求解初值代入公式再次进行迭代计算令i＝i+1，重复(2)扫描下一点。σ₁、σ₂的值与所求莫尔条纹分布的疏密程度有关系，当莫尔条纹较为稀疏时，σ₁、σ₂取值相应较小；当莫尔条纹较密时，σ₁、σ₂取值相应较大。

(3)扫描完单行之后，换行并重复(1)、(2)直到整幅莫尔合成图的条纹相位被求解完。

最终提取出的莫尔条纹相位如图13所示，其解相结果误差如图14所示，此时误差PV小于0.003λ。与低通滤波方法相比，本发明方法显著地提高了解相精度。

Claims (3)

1.一种基于非线性优化的数字莫尔条纹相位提取方法，其特征在于：首先建立莫尔合成图光强分布数学模型，其次处理实际和虚拟干涉图得到实际莫尔合成图光强分布，再次将莫尔条纹相位作为变量，以实际莫尔合成图光强分布作为优化目标，结合非线性方程的数值解法得到优化函数，最后选定合适初值经过迭代优化计算使数学模型的光强分布等同于实际莫尔合成图的光强分布，这时的条纹相位即实际莫尔合成图莫尔条纹相位。

2.一种基于非线性优化的数字莫尔条纹相位提取方法，其特征在于：具体步骤如下：

步骤一、建立莫尔合成图光强分布标准数学模型；

式(5)描述了莫尔合成图的光强分布，当虚拟干涉图和实际干涉图空间载波频率和条纹调制度相同时，即f_R＝f_o＝f，I₁(x,y)＝I₂(x,y)＝I；此时虚拟干涉图和实际干涉图的剩余波前差 即莫尔条纹相位；这时可以得到数字莫尔干涉的莫尔合成图光强分布标准数学模型：

步骤二、采集干涉图并处理，获取符合式(6)的实际莫尔合成图；

通过实际干涉仪采集一幅实际干涉图，对实际干涉图进行归一化后，再去除实际干涉图中的直流背景项，此时I₂(x,y)＝1，f_O＝f；

根据实际干涉图调整虚拟干涉仪，使虚拟干涉图和实际干涉图空间载波频率相同，此时f_R＝f_O＝f；通过虚拟干涉仪获得此实际干涉图对应的虚拟干涉图，去除虚拟干涉图的直流背景项；通过虚拟干涉仪获取的虚拟干涉图为理想干涉图，无需进行归一化操作即有I₁(x,y)＝1；

通过上述操作后对实际干涉图和虚拟干涉图进行乘法莫尔合成得到实际莫尔合成图光强分布I_mr(x,y)，I_mr(x,y)符合式(6)；

步骤三、建立非线性优化问题；

优化目标：莫尔合成图数学模型光强分布和实际莫尔合成图光强分布相等，即

优化变量：剩余波前相位差

边界条件：莫尔条纹相位连续，即剩余波前相位差连续；

步骤四：求解步骤三的非线性优化问题；

上述式(7)为非线性优化问题，通过非线性方程的数值求解法来求解；

选用牛顿迭代法作为求解方法；

根据牛顿迭代法公式：

$x_{n+1}=x_n-\frac{f\left(x_n\right)}{f^{\′}\left(x_n\right)}---\left(8\right)$

构造的迭代优化函数：

为迭代方程选择初值牛顿迭代法收敛性较好可随意选取初值；初值选取不合适导致算法不收敛的情况时，扫描求解过程中根据平滑连续条件也能改选正确初值求解相位；

将选定的初值代入迭代优化函数式(9)，并结合莫尔条纹相位光滑连续条件逐一对所有点对应的莫尔条纹相位进行迭代求解；通过行(列)扫描的方式逐一迭代求解，对整幅莫尔合成图完成扫描求解后即可提取出莫尔条纹的相位分布

3.如权利要求2所述的一种基于非线性优化的数字莫尔条纹相位提取方法，其特征在于：所述逐行(列)扫描迭代求解具体过程如下：

(1)先迭代求出行扫描路径上的第一、二点的莫尔条纹相位并求出第二点相位的一阶差分

(2)一般的，对于扫描路径上第i(i≥3)点，先迭代求解其相位求一阶差分和二阶差分判断和成立则正确，令i＝i+1，重复(2)扫描下一点；否则将作为的迭代求解初值代入公式再次进行迭代计算令i＝i+1，重复(2)扫描下一点；σ₁、σ₂的值与所求莫尔条纹分布的疏密程度有关系，当莫尔条纹较为稀疏时，σ₁、σ₂取值相应较小；当莫尔条纹较密时，σ₁、σ₂取值相应较大；

(3)扫描完单行之后，换行并重复(1)、(2)直到整幅莫尔合成图的条纹相位被求解完。