CN109186497B - 牛顿迭代的数字莫尔移相干涉法中频谱混叠噪声去除方法 - Google Patents

牛顿迭代的数字莫尔移相干涉法中频谱混叠噪声去除方法 Download PDF

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Abstract

本发明公开的基于牛顿迭代算法的数字莫尔移相干涉光学元件面形测量混叠噪声去除方法，属于光学测量领域。本发明利用数字莫尔移相解相方法求解面形误差，并构建新的虚拟波前相位；利用新虚拟波前相位构建新的虚拟干涉图，并与实际干涉图一起合成新的莫尔图；建立牛顿迭代数学模型，求解混叠噪声相位初解；对迭代求解初解结果进行连续性平滑处理得到解得的混叠噪声相位；在新的虚拟波前相位中去除混叠噪声相位即可得到消除混叠噪声相位的实际波前相位。本发明能够降低数字莫尔移相干涉测量中混叠噪声对测量精度的影响，从而实现减小误差扩展测量范围的目的。本发明使用牛顿迭代求解混叠噪声相位，而不是直接求解面形误差，因此，迭代过程无需考虑相位包裹问题。

Description

牛顿迭代的数字莫尔移相干涉法中频谱混叠噪声去除方法
技术领域
本发明涉及一种基于牛顿迭代算法的数字莫尔移相干涉光学元件面形测量混叠噪声去除方法，属于光学测量领域。
背景技术
高精度的光学元件在天文观测、目标探测、照明系统和投影显示等现代光学系统中决定系统的成像质量。其中非球面由于具有多面形自由度，一片非球面镜便可达到多片球面镜组成的透镜组的效果，可以极大地减小光学系统的尺寸和质量，提高系统的成像质量。但由于其高度自由的面形，高精度的非球面面形检测往往遇到一定困难。目前常用的非球面检测方法主要分为两类：接触式和非接触式测量方法。非接触测量的测量具有速度快、无损等优点，其中补偿法是一种常用的测量方法。补偿法分为零补偿和非零补偿，非零补偿的补偿器相较零补偿法的补偿器的设计更简单、加工难度小、成本低且有较高的通用性。公告号为CN 1587950的专利“一种用部分补偿透镜实现非球面面形的干涉测量方法”公开了一种用于非球面测量的数字莫尔移相干涉测量方法，该方法是一种基于部分补偿法的瞬时抗振的干涉测量方法，可以在无移相器件的条件下实现高精度测量。
数字莫尔移相方法中去除直流项的实际干涉图分布iR(x,y)和虚拟干涉图分布iV(x,y)如式(1)所示。
其中是b(x,y)调制量，p(x,y)为待测波前相位，f是x方向添加的空间载波，δk为附加的移相相位值，δk＝1，2,3,4＝0,π/2,π,3π/2。实际干涉图与虚拟干涉图进行莫尔合成，得到莫尔条纹分布iM(x,y)：
通过低通滤波，滤除bR(x,y)bV(x,y)cos[pR(x,y)+pV(x,y)+4πfx-δk]部分，只保留低频部分：
iLk(x,y)＝bR(x,y)bV(x,y)cos[pR(x,y)-pV(x,y)+δk] (3)
设Δ(x,y)＝pR(x,y)-pV(x,y)，为实际干涉波前与虚拟干涉波前的面形误差相位。使用传统四步移相方法可以求得Δ(x,y)的分布：
通过pR(x,y)＝Δ(x,y)+pV(x,y)即可求得实际相位分布，进而得到面形信息。
当面形误差较大或者干涉波前的波前斜率较大时很容易发生莫尔条纹图频谱滤波时高频频谱与面形误差的低频频谱的混叠，通过原本的低通滤波器无法分离两者，进而给求解结果带来了一定程度的混叠噪声。
发明内容
为了解决数字莫尔移相干涉测量中，由于干涉图波前的高频频谱带宽较大导致莫尔条纹图频谱滤波时高频频谱与面形误差的低频频谱无法通过低通滤波分离的问题，本发明公开的基于牛顿迭代的混叠噪声去除方法要解决的技术问题是：降低数字莫尔移相干涉测量中混叠噪声对测量精度的影响，从而实现减小误差扩展测量范围的目的。
本发明目的是通过下述技术方案实现的。
本发明公开的基于牛顿迭代的混叠噪声去除方法，利用数字莫尔移相解相方法求解面形误差，并构建新的虚拟波前相位。利用新虚拟波前相位构建新的虚拟干涉图，并与实际干涉图一起合成新的莫尔图。建立牛顿迭代数学模型，求解混叠噪声相位初解。对迭代求解初解结果进行连续性平滑处理得到解得的混叠噪声相位。在新的虚拟波前相位中去除混叠噪声相位即可得到消除混叠噪声相位的实际波前相位。
上述方法使用牛顿迭代求解混叠噪声相位，而不是直接求解面形误差相位，混叠噪声相位峰谷值(PV)远远小于原始的面形误差PV，且小于π，因此，迭代过程无需考虑相位包裹问题。
本发明公开的基于牛顿迭代的混叠噪声去除方法，包括如下步骤：
步骤一：利用数字莫尔移相解相方法求解面形误差相位，并构建新的虚拟波前相位。
虚拟干涉波前相位为pV(x,y)，经数字莫尔移相解相方法求解得到含有混叠噪声的面形误差相位Δ'(x,y)，与面形误差相位真值Δ(x,y)之差为数字莫尔移相方法的求解中含有的混叠噪声相位ε(x,y)。将求解的面形误差重新构建新的虚拟波前相位p'V(x,y)：
p'V(x,y)＝pV(x,y)+Δ'(x,y) (1)
此时与待求的实际波前相位pR(x,y)相比，新的面形误差相位变为：
求出新的面形误差相位，即可得到所述混叠噪声相位ε(x,y)。求解方法即为接下来牛顿迭代求解方法。
步骤二：利用步骤一中新虚拟波前相位p'V(x,y)构建新的虚拟干涉图i'V(x,y)，进而合成新的莫尔图i'M(x,y)。
i'V(x,y)＝cos[p'V(x,y)+2πf] (3)
i'M(x,y)＝iR(x,y)·i'V(x,y) (4)
对公式(1)至公式(4)省略(x,y)表示，利用积化和差公式得如公式(5)所示的新的莫尔合成图i'M(x,y)：
式(5)即为后续构建牛顿迭代求解的数学运算模型。
步骤三：构建牛顿迭代求解过程并对混叠噪声相位ε(x,y)进行初解。
牛顿迭代的公式为：
其中设i'M＝G，构建的牛顿迭代方程组为：
选取合适的迭代初值，控制求解精度δ和迭代次数k即求得混叠噪声相位ε。但是由于三角函数特性：单周期内一个值对应两个解和多周期性多解，初次求解的波前相位很难做到连续平滑。而且迭代过程中可能存在某点处迭代不收敛导致的求解异常。因此需要利用波前相位分布连续性在步骤四中进行连续性和平滑处理。
步骤四：对步骤三的求解结果进行连续平滑处理。
实际干涉图与虚拟干涉图间的面形误差相位不大，数字莫尔移相解相方法的求解的面形误差相位中含有的混叠噪声相位ε相对更小，混叠噪声相位ε的PV远低于π。首先使用取余来完成将多周期性多解统一到单周期内的操作。其次利用波前相位梯度来判断相邻点是否连续，并进行多次迭代求解。先以x方向进行平滑处理。
m为求解的面形误差相位的x方向的梯度，o为前点的梯度差，q为后点的梯度差。当o或q大于设置的阈值时，进行多次判断和迭代，在上下相邻的2n个点处寻找合适的ε(x',y)作为新迭代初值，若|ε(x',y)|＜π且|ε(x',y)|＝|ε(x±j,y)|min，j＝±1,2…2n，则将ε(x',y)作为点(x,y)的迭代初值。如果无法找到适合的ε(x',y)，则将0作为迭代初值。x方向完成扫描后，在y方向上同样完成梯度判断和迭代，直到所有点达到连续，即实现对步骤三的求解结果进行连续平滑处理。
步骤五：对新虚拟波前相位p'V(x,y)去除混叠噪声相位ε(x,y)，得到去除混叠后的实际干涉波前相位。
根据下式还原去除混叠噪声的实际干涉波前相位。
pR(x,y)即为所求得的去除混叠后的实际干涉波前相位。
有益效果：
1、本发明公开的基于牛顿迭代的混叠噪声去除方法，利用数字莫尔移相解相方法求解面形误差，并构建新的虚拟波前相位、新的虚拟干涉图和新的莫尔合成图，建立牛顿迭代数学模型，求解混叠噪声相位，进而得到去除混叠噪声的结果，能够提高求解精度。
2、原本的数字莫尔移相解相方法在面形误差较大时低通滤波难以分离莫尔条纹的高频部分，出现混叠导致求解精度下降，本发明公开的基于牛顿迭代的混叠噪声去除方法，利用迭代算法求出混叠噪声的相位并去除，即能够达到频谱未混叠时低通滤波方法同样的精度，有效扩展莫尔测量的测量范围。
3、本发明公开的基于牛顿迭代的混叠噪声去除方法，使用牛顿迭代求解二次构建的虚拟波前与实际波前的面形误差，而不是直接求解面形误差有一项优势，新的面形误差峰谷值(PV)远远小于原始的面形误差PV，一般小于π，因此，所述迭代过程无需考虑相位包裹问题。
附图说明
图1为本发明公开的基于牛顿迭代的混叠噪声去除方法流程图。
图2为牛顿迭代与平滑连续操作流程图。
图3为无载波的实际干涉波前相位。
图4为加载波的实际干涉图。
图5为无载波的虚拟干涉波前相位。
图6为加载波的虚拟干涉图。
图7为面形误差真值。
图8为莫尔条纹图。
图9为数字莫尔移相解相求得的面形误差。
图10为数字莫尔移相解相的计算误差。
图11为新构建的莫尔条纹图。
图12为牛顿迭代初解。
图13为初次x方向平滑处理后的结果。
图14为初次y方向平滑处理后的结果。
图15为去除噪声后的面形误差。
图16为经牛顿迭代去除混叠噪声后的计算误差。
具体实施方式
下面结合附图与实施例对本发明作进一步说明。
实施例1
本实例是基于MATLAB仿真以验证方法的理论可行性。
如图1所示，本实施例公开的基于牛顿迭代的混叠噪声去除方法，具体实现步骤如下：
步骤一：利用数字莫尔移相解相方法求解面形误差相位，并构建新的虚拟波前相位。
虚拟干涉波前相位为pV(x,y)，经数字莫尔移相解相方法求解得到含有混叠噪声的面形误差相位Δ'(x,y)，与面形误差相位真值Δ(x,y)之差为数字莫尔移相方法的求解中含有的混叠噪声相位ε(x,y)。将求解的面形误差重新构建新的虚拟波前相位p'V(x,y)：
p'V(x,y)＝pV(x,y)+Δ'(x,y) (1)
此时与待求的实际波前pR(x,y)相比，面形误差变为：
ε(x,y)即为接下来牛顿迭代所需要求解的值。
仿真中实际干涉波前相位pR、实际干涉图iR、虚拟干涉波前相位pV和虚拟干涉图iV分别如图3、图4、图5和图6所示，其中实际干涉图和虚拟干涉图均为添加载波f后得到。pR与pV间的面形误差相位真值Δ(x,y)如图7所示。利用式(2)对实际干涉图(图4)和虚拟干涉图(图6)进行莫尔乘法合成，莫尔条纹如图8所示。利用低通滤波滤除高频项bR(x,y)bV(x,y)cos[pR(x,y)+pV(x,y)+4πfx-δk]。
对其它三幅移相后的虚拟干涉图进行上述操作，由四步移相求解的面形误差相位如图9所示，可以看到在白框中含有波纹状的起伏，所述波纹状的起伏即是混叠噪声带来的误差。求解结果与面形误差相位真值间的计算误差如图10所示。
步骤二：利用步骤一中新虚拟波前相位p'V(x,y)构建新的虚拟干涉图i'V(x,y)，进而合成新的莫尔图i'M(x,y)。
i'V(x,y)＝cos[p'V(x,y)+2πf] (3)
i'M(x,y)＝iR(x,y)·i'V(x,y) (4)
构建新的莫尔条纹图，如图11所示。利用积化和差公式得到新的公式形式，省略(x,y)表示：
式(5)即为后续构建牛顿迭代求解的运算模型。
步骤三：构建牛顿迭代求解过程并对混叠噪声相位ε(x,y)进行初解。
牛顿迭代的公式为：
其中设i'M＝G，根据式(5)、(6)构建的牛顿迭代方程组为：
选取合适的迭代初值，控制求解精度δ和迭代次数k即可求得混叠噪声相位ε，结果取余后如图12所示，可以看到初解结果存在大量不连续的解。由于单周期内一个值对应两个解和多周期性多解的三角函数特性，初次求解的波前相位很难做到连续平滑，需要进行平滑处理。
步骤四：对步骤三的求解结果进行连续平滑处理。
一般实际干涉图与虚拟干涉图间的面形误差不大，数字莫尔移相解相方法的求解误差相位ε相对更小，ε的PV远低于π。首先使用取余操作来完成将多周期内多解统一到单周期内的操作。其次利用波前梯度来判断相邻点是否连续，并进行二次迭代求解。先以x方向进行平滑处理。
m为求解的面形误差相位的x方向的梯度，o为前点的梯度差，q为后点的梯度差。当o或q大于设置的阈值时，进行二次判断和迭代，在上下相邻的4个点处寻找合适的ε(x',y)作为新迭代初值，若|ε(x',y)|＜π且|ε(x',y)|＝|ε(x±j,y)|min，j＝±1,2，则将ε(x',y)作为点(x,y)的迭代初值。如果无法找到适合的ε(x',y)，则将0作为迭代初值。x方向完成扫描后，在y方向上同样完成梯度判断和迭代，直到所有位置处达到连续。平滑操作的流程如图2所示。
初次经过x方向的平滑处理后得到的噪声分布如图13所示。完成x方向平滑操作后，经过初次y方向的平滑处理后的噪声分布如图14所示。完全实现相位连续操作之后跳出操作的循环。利用式(9)去除混叠噪声，得到去噪的面形误差相位分布如图15所示。
Δ(x,y)-Δ'(x,y)＝-ε(x,y) (9)
步骤五：对新虚拟波前相位p'V(x,y)去除混叠噪声相位ε(x,y)，得到去除混叠后的实际干涉波前相位。
根据式(10)可以还原出去除混叠噪声的实际干涉波前相位。
pR(x,y)＝pV(x,y)+Δ'(x,y)-ε(x,y) (10)
pR(x,y)即为所求得的实际干涉波前相位。此时的求解误差如图16所示。可以看到经过去噪处理，求解的误差已经明显减小，由原来的最大误差值0.949rad经去除噪声后减小到0.126rad，而且只存在于个别边缘位置处，白框中原本的混叠噪声已被去除，说明牛顿迭代法去除混叠噪声的有效性。
以上所述的具体描述，对发明的目的、技术方案和有益效果进行了进一步详细说明，所应理解的是，以上所述仅为本发明的具体实施例而已，并不用于限定本发明的保护范围，凡在本发明的精神和原则之内，所做的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (2)

1.基于牛顿迭代的混叠噪声去除方法，其特征在于：包括如下步骤，
步骤一：利用数字莫尔移相解相方法求解面形误差相位，并构建新的虚拟波前相位；
虚拟干涉波前相位为pV(x,y)，经数字莫尔移相解相方法求解得到含有混叠噪声的面形误差相位Δ'(x,y)，与面形误差相位真值Δ(x,y)之差为数字莫尔移相方法的求解中含有的混叠噪声相位ε(x,y)；将求解的面形误差重新构建新的虚拟波前相位p'V(x,y)：
p'V(x,y)＝pV(x,y)+Δ'(x,y) (1)
此时与待求的实际波前相位pR(x,y)相比，新的面形误差相位变为：
求出新的面形误差相位，即可得到所述混叠噪声相位ε(x,y)；求解方法即为接下来牛顿迭代求解方法；
步骤二：利用步骤一中新虚拟波前相位p'V(x,y)构建新的虚拟干涉图i'V(x,y)，进而合成新的莫尔图i'M(x,y)；
利用步骤一中新虚拟波前相位p'V(x,y)构建新的虚拟干涉图i'V(x,y)：
i'V(x,y)＝cos[p'V(x,y)+2πf] (3)
i'M(x,y)＝iR(x,y)·i'V(x,y) (4)
对公式(1)至公式(4)省略(x,y)表示，利用积化和差公式得如公式(5)所示的新的莫尔合成图i'M(x,y)：
式(5)即为后续构建牛顿迭代求解的数学运算模型；
步骤三：构建牛顿迭代求解过程并对混叠噪声相位ε(x,y)进行初解；
牛顿迭代的公式为：
其中设i'M＝G，构建的牛顿迭代方程组为：
选取合适的迭代初值，控制求解精度δ和迭代次数k即求得混叠噪声相位ε；但是由于三角函数特性：单周期内一个值对应两个解和多周期性多解，初次求解的波前相位很难做到连续平滑；而且迭代过程中可能存在某点处迭代不收敛导致的求解异常；因此需要利用波前相位分布连续性在步骤四中进行连续性和平滑处理；
步骤四：对步骤三的求解结果进行连续平滑处理；
实际干涉图与虚拟干涉图间的面形误差相位不大，数字莫尔移相解相方法的求解的面形误差相位中含有的混叠噪声相位ε相对更小，混叠噪声相位ε的PV远低于π；首先使用取余来完成将多周期性多解统一到单周期内的操作；其次利用波前相位梯度来判断相邻点是否连续，并进行多次迭代求解；先以x方向进行平滑处理；
m为求解的面形误差相位的x方向的梯度，o为前点的梯度差，q为后点的梯度差；当o或q大于设置的阈值时，进行多次判断和迭代，在上下相邻的2n个点处寻找合适的ε(x',y)作为新迭代初值，若|ε(x',y)|＜π且|ε(x',y)|＝|ε(x±j,y)|min，j＝±1,2…2n，则将ε(x',y)作为点(x,y)的迭代初值；如果无法找到适合的ε(x',y)，则将0作为迭代初值；x方向完成扫描后，在y方向上同样完成梯度判断和迭代，直到所有点达到连续，即实现对步骤三的求解结果进行连续平滑处理；
步骤五：对新虚拟波前相位p'V(x,y)去除混叠噪声相位ε(x,y)，得到去除混叠后的实际干涉波前相位；
根据下式还原去除混叠噪声的实际干涉波前相位；
pR(x,y)即为所求得的去除混叠后的实际干涉波前相位。
2.如权利要求1所述的基于牛顿迭代的混叠噪声去除方法，其特征在于：利用迭代算法求出混叠噪声的相位并去除，能够达到频谱未混叠时低通滤波方法同样的精度，有效扩展莫尔测量的测量范围。
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