CN108955575B - 一种基于单幅干涉条纹高精度地恢复波面的方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于单幅干涉条纹高精度地恢复波面的方法，属于光学元件的面形测量领域。所述方法包括：对干涉区域内的峰值、谷值进行赋值进而转换为相位，进而对干涉条纹进行区域划分，使同一区域内干涉仪相机的像素具有相同的奇偶性，从而进行准确的相位提取实现高精度的波面恢复。本发明通过对干涉区域内的峰值、谷值进行赋值进而转换为相位，进而对干涉条纹进行区域划分，使同一区域内干涉仪相机的像素具有相同的奇偶性，从而进行准确的相位提取实现高精度的波面恢复，且该方法计算简单、有效，且不需要载频函数，不需要傅里叶变换或者希尔伯特变换。

Description

一种基于单幅干涉条纹高精度地恢复波面的方法

技术领域

本发明涉及一种基于单幅干涉条纹高精度地恢复波面的方法，属于光学元件的面形测量领域。

背景技术

目前，光学望远镜、空间相机、摄像机等等光学系统中，广泛使用了光学透镜、平面反射镜、球面反射镜、非球面反射镜以及自由曲面反射镜等光学元件。为了满足成像系统的分辨力等指标，这些光学元件的面形精度要求十分严格，因此，在加工过程中，必须要对这些光学元件进行面形检测；实际应用中，干涉测量方法是面形检测中最广泛应用的手段之一。干涉测量又分为分振幅和分波面两种测量方法，其中，分振幅的方法应用最广泛。根据算法原理不同，分振幅法又可以分为两种，一种是通过测量干涉场上指定点的干涉条纹移动数或光程差的变化量，从而求得样品的尺寸大小、位移量、材料微小形变和折射率等参数；另一种是通过测量被测波面与参考标准波面产生的干涉条纹，从而计算出光学元件面形、样品几何形状、流体密度分布或光学系统波像差等。由此可知，在光学元件的面形测量中，干涉条纹处理的好坏直接影响着测量精度。

干涉条纹恢复相位方法按算法一般分为两种：一种是通过相移法来恢复相位，即通过固定相移的多幅干涉条纹来恢复相位，干涉仪主要采用这种算法，如文献【Max Born,Emil Wolf,Principles of optics,7th edition,Cambridge University Press,1999,366-420】所述。它需要高精密的移相装置，一段时间内先后产生三幅或三幅以上存在固定相位差的干涉图，或着利用复杂的光路在CCD面板空间上不同区域产生固定有相位差的干涉图，从而可以得到很高的相位解调精度；但因其需要多幅干涉图，且对相移精度要求较高，所以只适用于静态或准静态的情况。为了克服该问题，人们开发了实时的移相干涉技术，如文献【Avner Safrani,and Ibrahim Abdulhalim,Real-time phase shiftinterference microscopy,OPTICSLETTERS,2014,39(17),5220-5223】所述。但这些系统比传统的干涉仪更复杂、成本更高，限制了它的应用。

另一种干涉条纹恢复相位方法，是通过单幅条纹恢复相位，例如，小波分析法、希尔伯特变换法、傅里叶变换法以及正则化相位追迹方法等等。与前述的相移法相比，它不需要精密的移相装置和多幅干涉条纹，只通过一幅干涉条纹就可以恢复出相位分布，并且有希望用于瞬态或动态问题的研究中，因此，引起了人们的广泛关注。这些方法中，研究和应用最广泛的是傅里叶变换法(Fourier-transform method，FT)，该方法是通过在待测干涉条纹中加入大的倾斜来实现对干涉条纹的调制，为了提高相位提取精度，需要优化载频数、窗口函数等，由此导致计算复杂、计算量大；另外应用于高低变化较快的波面时会造成采样不足，应用于闭合条纹时容易产生相位截断和频谱混叠，限制其应用范围。

上述几种方法都具有算法复杂、应用条件受限，且不能正确判断波面凹凸方向的缺点。

发明内容

为了解决目前存在的算法复杂、应用条件受限，且不能正确判断波面凹凸方向的问题，本发明提供了一种基于单幅干涉条纹高精度地恢复波面的方法。该方法克服了干涉测量系统要求高精度的相移器硬件、算法复杂的问题，通过对干涉条纹进行区域划分，相同区域内干涉仪的相机的像素具有相同的奇偶性，从而进行准确的相位提取。基本思路是通过干涉现象的公式推导，构建正则化的干涉条纹数学模型；基于正则化的干涉条纹图，计算干涉条纹峰值线和谷值线，它们分别对应于干涉条纹的最大值(最亮部分)和最小值(最暗部分)；根据峰谷值线把干涉图划分成不同的区域，对干涉图逐行、逐列的像素进行赋值；相同的区域具有相同的奇偶性，根据该特点，对干涉图的相位进行提取；为了提高相位提取的精度，利用Zernike多项式对提取的相位进行拟合，得到待测元件的面形。

本发明提供的一种基于单幅干涉条纹高精度地恢复波面的方法，所述方法包括：

计算干涉条纹的峰谷值，根据峰谷值划分区域并对不同区域像素赋值，将光强转换成0到π的相位；

根据像素所赋的值的奇偶性将0到π的相位转换成0到2π的相位；

对0到2π的相位进行解包裹并对解包裹的相位进行拟合，得到待测元件的面形。

可选的，所述计算干涉条纹的峰谷值，根据峰谷值划分区域并对不同区域像素赋值，将光强转换成0到π的相位之前，还包括：

采集单幅干涉图，对干涉条纹进行正则化处理。

可选的，所述对干涉条纹进行正则化处理之后，所述计算干涉条纹的峰谷值，包括：

基于正则化的干涉条纹图，计算干涉条纹峰值线和谷值线，所述峰值线和谷值线分别对应于干涉条纹的最大值1和最小值0；其中，所述最大值为干涉条纹图中的最亮部分，所述最小值为干涉条纹图中的最暗部分。

可选的，所述对不同区域像素赋值，包括：

对干涉图逐行、逐列的像素进行赋值，每行像素的值依次为本行第一个像素的值加上本行中本像素前出现的峰谷值的次数；且每行的第一个像素的值是其前面各行第一个像素出现峰谷值的次数。

可选的，所述将光强转换成0到π的相位，包括：

根据相位与线性化后光强之间的关系曲线将光强0-255转换成0到π的相位。

可选的，所述根据像素所赋的值的奇偶性将0到π的相位转换成0到2π的相位，包括：

根据不同区域像素值的奇偶性，将0到π的相位分布图转换成-π到π的相位分布图，再通过位移π将-π到π转换成0到2π的相位。

可选的，所述对0到2π的相位进行解包裹并对解包裹的相位进行拟合得到待测元件的面形，包括：

利用Zernike多项式对解包裹的相位进行拟合；

对拟合后的结果减半得到最终的光学元件面形测量结果。

可选的，所述对0到2π的相位进行解包裹，包括：

计算相邻像素的相位差；

若相邻像素的相位差超过π，则对相位进行2π的平移。

本发明有益效果是：

通过对干涉区域内的峰值、谷值进行赋值进而转换为相位，进而对干涉条纹进行区域划分，使同一区域内干涉仪相机的像素具有相同的奇偶性，从而进行准确的相位提取实现高精度的波面恢复，且该方法计算简单、有效，且不需要载频函数，不需要傅里叶变换或者希尔伯特变换。

附图说明

为了更清楚地说明本发明实施例中的技术方案，下面将对实施例描述中所需要使用的附图作简单地介绍，显而易见地，下面描述中的附图仅仅是本发明的一些实施例，对于本领域普通技术人员来讲，在不付出创造性劳动的前提下，还可以根据这些附图获得其他的附图。

图1为相位与线性化后光强之间的关系曲线；

图2理论模拟的倾斜波面的干涉条纹；

图3条纹最亮和最暗的部分追迹，白色线为干涉条纹的最亮部分，黑色线为干涉条纹的最暗部分；

图4为干涉仪法测量光学元件面形光路原理图；

图5为实验采集得到的干涉条纹；

图6为正则化处理后的干涉条纹；

图7为干涉条纹的峰值线和谷值线；

图8为计算得到的0到2π的相位分布图；

图9为解包裹和Zernike拟合后计算得到的待测光学元件面形的波面；

图10为与图2对应的模拟的原始波面；

图11为从图2的干涉条纹恢复的波面；

图12为恢复的波面相对于原始波面的误差。

具体实施方式

为使本发明的目的、技术方案和优点更加清楚，下面将结合附图对本发明实施方式作进一步地详细描述。

本发明通过光学干涉的数学公式推导，得到干涉条纹强度和0到π之间位相的对应关系；再由已知面形的待测波面测量出干涉条纹，对条纹进行正则化处理，再通过条纹区域划分、像素的奇偶赋值，从单幅干涉条纹恢复出相位分布，然后利用Zernike多项式对相位分布进行拟合，进一步提高波面恢复精度，所得到的波面与待测波面的已知面形进行比对，对算法的精度进行验证。进一步的，搭建分振幅的干涉光路得到单幅干涉条纹，对本方法进行实际验证。

本发明提供的基于单幅干涉条纹高精度地恢复波面的方法，包括：

(1)干涉条纹的正则化，去掉干涉条纹的背景光，将干涉条纹亮暗变化的振幅归一化；

(2)对正则化后的干涉条纹进行处理，寻找干涉条纹峰值和谷值的部分；

(3)根据所得到干涉条纹的峰值线、谷值线，将干涉图划分成不同的区域，逐行、逐列对每个像素进行奇偶赋值处理；

(4)利用干涉理论推导出的光强和相位模型，正则化后的干涉图转换成0到π的相位分布图；再根据(3)得到的每个像素的奇偶值，对干涉图分区域进行翻转处理，得到-π到π的相位分布图，进一步通过位移得到0到2π的相位分布图；

(5)对所得到的0到2π的相位分布图进行处理：光学元件的面形应该是连续的，因此，其相位分布也应该是连续的；根据该特点，如果相邻像素的相位差超过π，则对相位进行2π的平移，这一过程也叫相位的解包裹；

(6)利用Zernike多项式，对解包裹得到的相位分布进行拟合，得到拟合的面形；

(7)考虑到干涉仪的反射式的结构，反射会是位相差加倍，因此，对拟合得到的波面除以2，得到待测光学元件的面形。

经典的迈克尔逊干涉仪系统包括参考平面镜和待测镜面，待测光学元件表面的面形与参考面不同会使得这两个面上反射的光存在光程差，使在CCD相机上形成的干涉条纹形状、条纹疏密程度发生变化。相机采集的干涉光场分布I或干涉条纹可以用公式(1)描述：

其中，I₁和I₂分别是两束光的光强；Δφ为待测的光学元件表面的面形与参考平面的相位差，需要注意的是，考虑到干涉仪测量臂待测面的反射模式，因此cos函数中相位是实际待测面形的2倍。一般情况下，两束光的光强同为I₀，公式(1)可以简化为：

I＝2I₀[1+cos(Δφ)] (2)

因此，将相机采集得到的在位置(x,y)处的光场分布或者条纹表示为：

I(x,y)＝a(x,y)+b(x,y)·cos[Δφ(x,y)] (3)

其中，a(x,y)是实际采集得到的干涉条纹的背景光强，即直流项；b(x,y)是条纹的调制幅度。为了提取相位，一般通过滤波去直流项a(x,y)和归一化光强起伏去掉b(x,y)，因此，公式(3)中条纹可以进一步归一化为I_norm：

I_norm(x,y)＝cos[Δφ(x,y)] (4)

由上式得到的归一化光强I_norm，其值在-1到1之间，将归一化的光强线性化；以8位的、最大光强为255的相机为例，I_norm与8位的相机采集得到的光强对应的灰度级I_linear如下：

I_linear(x,y)＝255·[0.5·I_norm(x,y)+0.5] (5)

其中，0≤Ilinear≤255，同时，由公式(4)得到相位与归一化后光强的变化关系如下：

利用公式(4)和(5)，得到光强I_linear对应的灰度级与0到π之间相位的一一对应关系，如图1所示，以数据位为8位的相机为例，横坐标是8位的条纹的灰度值，即光强，最大为255，最小为0；且相位Δφ_π的取值范围在0到π之间。

利用图1的数据可以得到相位和光强之间的查找表(Look-up table,LUT)。

基于单位圆上的Zernike多项式，以反射后x和y方向倾斜分别是-1.4l的倾斜为例，其中λ＝635nm，PV值为6.23λ，rms为1.56λ，模拟得到其归一化后的256x256格点上的干涉条纹如图2所示，黑色对应灰度级0，白色对应灰度级255，因此，由该干涉图我们可以按图1得到的LUT得到相位图。但所得到的相位都是0到π之间的值。为了从该相位图得到0到2π的包裹相位，本发明提出奇偶法：

首先，找出条纹的最暗和最亮部分，分别赋值为-1和正1，其余赋值为0，得到的结果如图3所示。其次，以图2的左下角为起点，在单位圆内，从左到右、从下到上给每一个像素赋值n_i,j：

n_i,j＝n_row0+n_r (7)

其中，r为像素离单位圆中心的距离，它在单位圆内，单位圆外的像素不考虑；从第一行起，ni,j的值是本行的单位圆内的第一个像素的值nrow0加上本行中本像素前出现的峰谷值的次数nr，且nr＝n_row0，n_row0+1，n_row0+2，n_row0+3，......；每行的单位圆内的第一个像素的值n_row0是其前面各行第一个像素出现峰谷值的次数，n_row0＝0,1,2......。

利用(7)式，可知图3中同一个峰谷分隔线中间的像素具有相同的奇偶性，也即，在图3的同一个区间内，每个像素的n_i,j值或同为奇数、或同为偶数。

在获得每个像素的n_i,j值，将0到π之间的相位变换成0到2π之间的相位Δφ_2π：

利用公式(8)得到包裹的相位。对相位Δφ_2π进行解包裹时，由于任意两个相邻的格点，其相位是连续的，相位差小于π，因此，当相邻位置的相位差超过π时，则进行2π的相移，从而得到恢复的相位Δφ_unwrapped。解包裹后的相位Δφ_unwrapped在单位圆边缘或条纹峰谷值部分像素处可能出现误差，所以，利用Zernike多项式对相位Δφ_unwrapped进行拟合，提高相位恢复的精度。本申请采用Zernike多项式：

其中，径向级次n和角向级次m都为整数，满足m≤n且(n-m)为偶数。任意波面φ展开成(10)式所示的形式：

其中，C_i是第i项Zernike模式Z_i的系数；拟合的总的Zernike模式数为M；格点数总数是K；其中第0项是平移项，不考虑。

上式可以写成矩阵的形式如下：

因此，对上式进行变换，得到下式：

C＝φ·pinv(Z) (12)

其中，C和Z分别是(11)式中系数向量和Zernike模式矩阵。

从(11)可知，只要知道了待拟合的波面，就可以利用它求得拟合后的Zernike模式系数C，因此，由(10)(12)从而求得拟合后的波面：

Δφ_fitted＝[Δφ_wrapped·pinv(Z)]·Z (13)

考虑到干涉仪的反射式结构，待测的波面Δφmeas应该是上式结果的一半：

Δφ_meas＝0.5·[Δφ_wrapped·pinv(Z)]·Z (14)

实际上，在计算模拟干涉条纹时，以迈克尔逊干涉仪结构为例，考虑到干涉仪的反射模式，产生的反射的波面Δφ的幅度是待测面形的两倍，即Δφ＝2Δφ_origin，在计算干涉条纹时，用到的是Δφ。

实施例一：

一种从单幅干涉条纹高精度地恢复波面方法，包括：搭建光路，采集单幅干涉图，对干涉条纹进行正则化处理，计算干涉条纹的峰谷值，根据峰谷值划分区域和对不同区域像素赋值，将光强转换成0到π的相位，再根据像素所赋的值将0到π的相位转换成0到2π的相位，再对0到2π的相位进行解包裹，对解包裹的相位进行Zernike多项式拟合，最后对拟合后的结果减半得到最终的光学元件面形测量结果。

一、搭建光路：

图4为干涉仪法测量光学元件面形光路原理图，采用大恒公司的GCI-0601型直流调压光纤光源作为激光器(1)；准直透镜(2)；半反半透的分光器(3)；半反半透的分光器作为补偿器(4)；口径100mm的参考平面镜(5)；光学元件的待测面(6)；透镜(7)；透镜(8)；采用Thorlab公司的DCU223CCD作为干涉图像采集的相机(9)；采用工控机作为计算机(10)；

激光器(1)发出的光经过准直透镜(2)后变为平行光；到达分光器(3)后，一部分透射，一部分反射，反射的部分透过补偿器(4)到达参考平面镜(5)；而透过分光器(3)的部分到达待测面(6)；被参考平面镜(5)和待测面(6)反射的光分别沿原路返回相干涉，干涉图经过透镜(7)和透镜(8)组成的缩束系统成像在相机(9)上，得到干涉条纹的数据，从干涉条纹恢复波面最后都由计算机(10)来完成。

二、干涉条纹的处理：

①根据上述搭建光路的方法搭建如图4所示的光路，装调好光学元件和待测元件，使相机上得到干涉条纹；图5所示是得到的干涉条纹，对该干涉图进行正则化处理，滤波去掉干涉图的直流分量，然后对其强度调制归一化处理，然后利用公式(5)，得到图6所示的图像，横轴和纵轴分别是归一化的坐标，干涉图的灰度值在0到255之间；

②再根据公式(6)，和图1中的光强与相位的对应关系表，将图6的干涉图数据转换成0到π的Δφ_π相位分布图，如图7所示，横轴和纵轴分别是归一化的坐标，Δφ_π在0到π之间，单位是弧度；

③对步骤①得到的正则化干涉条纹数据进行处理，寻找干涉条纹的峰谷值，并根据峰线和谷线对干涉条纹进行区域划分，然后根据公式(7)计算每个像素处n_i,j的值。

④对步骤②得到的光强数据进行处理，根据步骤③得到的n_i,j，利用公式(8)计算Δφ_2π的值，得到Δφ_π的相位分布图，如图8所示，横轴和纵轴分别是归一化的坐标，Δφ_2π在0到2π之间，单位是弧度；

⑤对步骤④得到的Δφ_2π数据进行解包裹处理。对相位Δφ_2π进行解包裹时，由于任意两个相邻的格点，其相位是连续的，相位差小于π，因此，当相邻位置的相位差超过π时，则进行2π的相移，从而得到恢复的相位Δφ_unwrapped。

⑥解包裹后的相位Δφ_unwrapped在单位圆边缘或条纹峰谷值部分像素处可能出现误差，因此，我们需要利用Zernike多项式对相位Δφ_unwrapped进行拟合，提高相位恢复的精度；考虑到反射的影响，实际波面应该是拟合后的波面的一半，最终根据干涉条纹恢复出来的波面如图9所示，波面的PV＝4.47λ；rms＝1.15λ。

三、算法精度的评价：

利用模拟的干涉条纹排除了实际系统诸多因素的干扰，可以对算法的精度进行很好的评价。模拟的原始波面如图10所示，横轴和纵轴分别是归一化的坐标，波面的单位是弧度；它所对应的干涉图如图2所示。从图2的单幅干涉条纹恢复的波面如图11所示，横轴和纵轴分别是归一化的坐标，波面的单位是弧度。与原始波面相比，恢复的波面的误差如图12所示，误差的PV＝0.0015λ；rms＝0.000397λ，理论精度非常高。

本发明通过对正则化后的光强进行处理，以干涉仪的相机数据位为8位为例，利用0到255的灰度级和0到π的一一对应关系，将正则化后的干涉条纹分布转换成0到π的相位分布；再根据正则化条纹的峰谷值分布，将条纹划分成不同的区域，逐行、逐列对不同区域的像素进行赋值，相同区域内像素的奇偶性相同；根据像素的奇偶性，将0到π的相位分布图转换成0到2π的相位分布图；然后，通过相位解包裹和Zernike多项式拟合，再取拟合波面的一半，最终得到待测的光学元件的面形。所提出的方法的有益效果为：对硬件要求低：不需要相移法中高成本、高精度移相器；对软件要求也低：也不需要傅里叶变换、希尔伯特变换等复杂的计算，傅里叶变换法需要载频，测量不了实际面形中的倾斜，而希尔伯特变换法需要特殊处理才能用于闭合干涉条纹，所以应用范围更广。

本发明实施例中的部分步骤，可以利用软件实现，相应的软件程序可以存储在可读取的存储介质中，如光盘或硬盘等。

以上所述仅为本发明的较佳实施例，并不用以限制本发明，凡在本发明的精神和原则之内，所作的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (7)

1.一种基于单幅干涉条纹高精度地恢复波面的方法，其特征在于，所述方法包括：

计算干涉条纹的峰谷值，根据峰谷值划分区域并对不同区域像素赋值，将光强转换成0到π的相位；

根据像素所赋的值的奇偶性将0到π的相位转换成0到2π的相位；

对0到2π的相位进行解包裹并对解包裹的相位进行拟合，得到待测元件的面形；

所述根据峰谷值划分区域并对不同区域像素赋值为采用奇偶法进行赋值，包括：

首先，找出条纹的最暗和最亮部分，分别赋值为-1和正1，其余赋值为0；

其次，在单位圆内，从左到右、从下到上给每一个像素赋值n_i,j：

n_i,j＝n_row0+n_r (7)

其中，r为像素离单位圆中心的距离，它在单位圆内，单位圆外的像素不考虑；从第一行起，n_i,j的值是本行的单位圆内的第一个像素的值n_row0加上本行中本像素前出现的峰谷值的次数n_r，且n_i,j＝n_row0，n_row0+1，n_row0+2，n_row0+3，......；每行的单位圆内的第一个像素的值n_row0是该像素与其前面各行第一个像素沿单位圆的圆周连接而成的圆弧段上出现峰谷值的次数，n_row0＝0,1,2......；

所述根据像素所赋的值的奇偶性将0到π的相位转换成0到2π的相位，包括：在获得每个像素的n_i,j值，将0到π之间的相位变换成0到2π之间的相位Δφ_2π：

2.根据权利要求1所述的方法，其特征在于，所述计算干涉条纹的峰谷值，根据峰谷值划分区域并对不同区域像素赋值，将光强转换成0到π的相位之前，还包括：

采集单幅干涉图，对干涉条纹进行正则化处理。

3.根据权利要求2所述的方法，其特征在于，所述对干涉条纹进行正则化处理之后，所述计算干涉条纹的峰谷值，包括：

基于正则化的干涉条纹图，计算干涉条纹峰值线和谷值线，所述峰值线和谷值线分别对应于干涉条纹的最大值1和最小值0；其中，所述最大值为干涉条纹图中的最亮部分，所述最小值为干涉条纹图中的最暗部分。

4.根据权利要求3所述的方法，其特征在于，所述将光强转换成0到π的相位，包括：

根据相位与线性化后光强之间的关系曲线将光强0-255转换成0到π的相位。

5.根据权利要求4所述的方法，其特征在于，所述根据像素所赋的值的奇偶性将0到π的相位转换成0到2π的相位，包括：

根据不同区域像素值的奇偶性，将0到π的相位分布图转换成-π到π的相位分布图，再通过位移π将-π到π转换成0到2π的相位。

6.根据权利要求5所述的方法，其特征在于，所述对0到2π的相位进行解包裹并对解包裹的相位进行拟合得到待测元件的面形，包括：

利用Zernike多项式对解包裹的相位进行拟合；

对拟合后的结果减半得到最终的光学元件面形测量结果。

7.根据权利要求6所述的方法，其特征在于，所述对0到2π的相位进行解包裹，包括：

计算相邻像素的相位差；

若相邻像素的相位差超过π，则对相位进行2π的平移。