CN106874548B - 一种基于双重傅里叶变换分析逆变器的方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于双重傅里叶变换分析逆变器的方法，利用等效小参量法，将复杂的逆变器状态变量稳态周期解的求解转化为主振荡分量和各阶修正量幅度的求解，而主振荡分量和各阶修正量幅度的求解能够利用谐波平衡法，最后将主振荡分量和各阶修正量相加就能够得到逆变器的稳态周期解的解析表达式。本发明方法能快速获得逆变器状态变量稳态周期解析解。

Description

一种基于双重傅里叶变换分析逆变器的方法

技术领域

本发明涉及逆变器的建模与分析领域，尤其是指一种基于双重傅里叶变换分析逆变器的方法。

背景技术

过去针对逆变器常用的建模与分析方法有：基于状态空间平均法的模型、离散迭代映射模型、简化电路法的分段线性模型、开关网络平均法模型以及扩展描述函数分析法模型。

状态空间平均法通过利用开关占空比加权对时间进行平均，再经小信号扰动和线性化处理后得到统一的等效电路模型；参考文献1(Middlebrook,R.D,A general unifiedapproach to modelling switching-converter power stages[J],InternationalJournal of Electronics,1977,42(6):521-550)。离散迭代映射模型是借助计算对电路进行迭代求解的方法，参考文献2(P.C.K.ect,"State-Space Modeling of a Class E2Converter for Inductive Links,"in IEEE T o P E,pp.3242-3251,June 2015.)。简化电路法是利用等效电流源的方法，对电路进行等效建模，得出电路状态变量基于输入电流的等效值，参考文献3(陈文,丘水生.E类放大器的符号分析[J].华南理工大学学报(自然科学版),1997,08:89-93.)。开关网络平均法是通过直接对导致非线性因素的开关元件或开关网络进行分析，参考文献4(Vorperian V.Simplified analysis of PWM Converterusing the PWM switch,Part I:Continuous conduction mode[J].IEEETrans.Aerospace and Electronic Systems,1990,26(3):490-496)。扩展描述函数分析法同时采用了频域与时域分析方法，参考文献5(A.Witulski and R.Erickson,Small-Signalac equivalent circuit modeling of the series resonant converter[C],in IEEEPower Electronics Specialists,Conf.Rec.1987:639-704)。上述现有的逆变器建模与分析方法存在计算量大、计算过程复杂、无法得到电路稳态周期解的表达式、无法分析纹波等缺点。

发明内容

本发明的目的是在于克服现有人机交互方式的不足，提出了一种基于双重傅里叶变换分析逆变器的方法，能快速获得逆变器状态变量稳态周期解析解。

为实现上述目的，本发明所提供的技术方案为：一种基于双重傅里叶变换分析逆变器的方法，利用等效小参量法，将复杂的逆变器状态变量稳态周期解的求解转化为主振荡分量和各阶修正量幅度的求解，而主振荡分量和各阶修正量幅度的求解能够利用谐波平衡法，最后将主振荡分量和各阶修正量相加就能够得到逆变器的稳态周期解的解析表达式；其包括以下步骤：

S1、建立微分方程描述的逆变器的非线性数学模型；

S2、利用双重傅里叶变换将非线性开关函数展开

确立调制波和载波的数学表达式，将调制波和载波表达式代入双重傅里叶变换的方程中并求解，得到非线性开关函数的级数展开式；

S3、利用等效小参量法得到逆变器的等效数学模型

利用等效小参量法求解S1中的非线性数学模型，得到描述逆变器的等效数学方程组，即逆变器的等效数学模型；该等效数学方程组包含一个求解系统状态变量主振荡分量的主振荡微分方程，和一系列求系统状态变量修正量的微分方程；

S4、利用谐波平衡法求逆变器系统状态变量的稳态周期解

利用谐波平衡法逐步求解S3中等效数学方程组中的各个微分方程的稳态解，得到逆变器系统状态变量稳态周期解的解析表达式。得到的稳态解包含主振荡分量和各阶修正量，其中各阶修正量由基波和各次谐波组成。

在步骤S1中，所建立的微分方程描述的逆变器的非线性数学模型为：

G₁(p)x+G₂(p)f＝u (1)

上式中x＝[i_L v_C]^T表示系统的状态变量向量，上标T表示求矩阵转置，i_L表示电感电流瞬时值，v_C表示电容电压瞬时值，u表示输入电压向量；p表示微分算子p＝d/dt，G₁(p)、G₂(p)为系数矩阵；f＝δe为非线性矢量函数，δ为一个表征逆变器中受控开关通断状态的开关函数，当该受控开关导通时δ＝1，当该受控开关断开时δ＝0，e为一个与输入电压有关的常向量；

在步骤S2中，具体步骤如下：

S21、描述正弦调制波u^*(t)和三角载波u_tri(t)的数学表达式分别为：

u^*(t)＝Mcos(ω₀t+θ₀)＝Mcosy

其中y＝ω₀t+θ₀，x＝ω_ct+θ_c；t为时间变量，M为调制比，ω₀为调制波的角频率，θ₀为调制波的相位；ω_c为载波的角频率，θ_c为载波的相位；由于ω_c＞＞ω₀，因此在一个载波周期内，将调制波视为没有变化的直流量；因此，认为调制波在开关导通和关断时刻的幅值是相同的；

S22、将调制波和载波的表达式代入双重傅里叶变换方程中，同时考虑调制波频率和载波频率，能够将非线性开关函数δ展开成如下式(3)所述级数形式：

其中：

式(3)中等号右侧第一项表示开关函数的直流分量，第二项表示调制波影响下得到的谐波分量，n为调制波的谐波阶数，n＝1时表示调制波的基频分量，第三项表示在载波影响下得到的谐波分量，m为载波的谐波阶数，第四项表示在调制波和载波共同影响下得到的边带谐波分量；

在步骤S3中，所述的等效小参量法的具体步骤如下：

S31、将双重傅里叶变换展开的开关函数δ表示成主振荡分量和修正量之和的级数形式：

其中δ₀表示开关函数的主振荡分量，δ_i表示开关函数的第i阶修正量，它们可根据具体开关函数的傅里叶级数来确定；

S32、将待求解的状态变量x也表示成级数形式：

其中x₀表示状态变量的主振荡分量，x_i表示状态变量的第i阶修正量，它们在具体的求解过程逐步确定；

S33、将δ的级数表达式代入非线性矢量函数f＝δe中，得到

其中f₀表示非线性矢量函数的主振荡分量，f_i表示非线性矢量函数的第i阶修正量；

S34、将f₀表示为f₀＝f_0m+εR₁，将f_i表示为f_i＝f_im+εR_i+1，其中f_0m为f₀的主项，包含f₀中所有与x₀具有相同频率成分的项，R₁为f₀的余项，包含f₀中所有与x₀具有不同频率成分的项；同理，f_im为f_i的主项，包含f_i中所有与x_i具有相同频率成分的项，R_i+1为f_i的余项，包含f_i中所有与x_i具有不同频率成分的项；

S35、将f₀＝f_0m+εR₁和f_i＝f_im+εR_i+1代入

中，从而能够将f表示为

在上述步骤S31～S35中，上标或下标i是一个整数，i＝1,2,……；ε是引入的一个小量标记，εⁱx_i表明x_i是状态变量x的第i阶小量，当在运算过程中需要具体数值时ε＝1；

S36、将

和

代入到公式(1)中，并令等式两边具有相同εⁱ项的项分别相等，得到描述逆变器的等效数学模型，如下式(5)：

上式(5)中的第1个分数阶微分方程用于求状态变量的主振荡分量x₀，称为主振荡方程；第2～n个分数阶微分方程用于求状态变量的各阶修正量x_i，i＝1,2,……n，称为修正量方程；

在步骤S4中，以指数函数表示状态变量的稳态周期解的近似数学表达式如下：

其中，A₁为基波的幅度向量，

为其共轭；A_i为对应次谐波的幅度向量，i＝2，3，……，n，

为其共轭；m为载波的谐波阶数；n为调制波的谐波阶数；ω₀为调制波的角频率，ω_c为载波的角频率，t表示时间变量，j为虚数单位；公式(6)中的状态变量的稳态周期解的数学表达式也能够用三角函数的形式表示如下式(7)：

公式(7)中的Re(A₁)、Re(A₂)、Re(A₃)、Re(A₄)、Re(A_i)分别表示复数向量A₁、A₂、A₃、A₄、A_i的实部，Im(A₁)、Im(A₂)、Im(A₃)、Im(A₄)、Im(A_i)分别表示复数向量A₁、A₂、A₃、A₄、A_i的虚部。

本发明与现有技术相比，具有如下优点与有益效果：

由本发明所提方法的求解公式可知，本方法关键在于引入双重傅里叶级数对非线性开关函数进行级数展开。采用本方法求逆变器状态变量的稳态周期解析解，根据矩阵运算和求线性方程(组)可以得出电路所有状态变量稳态周期解的解析表达式。相比较过去增加阶次或迭代运算的求解方法，本发明所提方法的求解过程结合了扰动法和谐波平衡法的优点。根据采用本发明所获得的稳态解的表达式包含直流分量、基波分量和各次谐波分量，可以直观表明各分量对系统稳态周期解的影响，有利于对逆变器特性展开更深入的分析。

附图说明

图1是一种SPWM单相逆变器电路模型。

图2是开关导通关断示意图。

图3是一种开环SPWM单相逆变器仿真模型输出电容电压的波形。

图4是一种开环SPWM单相逆变器仿真模型输出电感电流的波形。

图5a为本发明方法与Matlab/Simulink仿真软件中电容电压v_c的对比图。其中，横坐标为仿真的时间，纵坐标表示电压幅值。

图5b为本发明方法与Matlab/Simulink仿真软件中电容电压v_c纹波的对比图。其中，横坐标为仿真的时间，纵坐标表示电压幅值。

图5c为本发明方法与Matlab/Simulink仿真软件中电感电流i_L的对比图。其中，横坐标为仿真的时间，纵坐标表示电流幅值。

图5d为本发明方法与Matlab/Simulink仿真软件中电感电流i_L纹波的对比图。其中，横坐标为仿真的时间，纵坐标表示电流幅值。

具体实施方式

下面结合具体实施例对本发明作进一步说明。

本实施例所提供的基于双重傅里叶变换分析逆变器的方法，具体包括以下步骤：

S1、建立微分方程描述的逆变器的非线性数学模型

G₁(p)x+G₂(p)f＝u (1)

上式中x＝[i_L v_C]^T表示系统的状态变量向量，上标T表示求矩阵转置，i_L表示电感电流瞬时值，v_C表示电容电压瞬时值，u表示输入电压向量；p表示微分算子p＝d/dt，G₁(p)、G₂(p)为系数矩阵；f＝δe为非线性矢量函数，δ为一个表征逆变器中受控开关通断状态的开关函数，当该受控开关导通时δ＝1，当该受控开关断开时δ＝0，e为一个与输入电压有关的常向量。

S2、利用双重傅里叶变换将非线性开关函数展开成级数形式

确立调制波和载波的数学表达式，将调制波和载波表达式代入双重傅里叶变换的方程中并求解，得到非线性开关函数的级数展开式。具体步骤为：

S21、描述正弦调制波u^*(t)和三角载波u_tri(t)的数学表达式分别为：

其中y＝ω₀t+θ₀，x＝ω_ct+θ_c；t为时间变量，M为调制比，ω₀为调制波的角频率，θ₀为调制波的相位；ω_c为载波的角频率，θ_c为载波的相位。由于ω_c＞＞ω₀，因此在一个载波周期内，可以将调制波视为没有变化的直流量。因此，认为调制波在开关导通和关断时刻的幅值是相同的。

S22、将调制波和载波的表达式代入双重傅里叶变换方程中，同时考虑调制波频率和载波频率，可将非线性开关函数δ展开成如下式(3)所述级数形式：

其中：

式(3)中等号右侧第一项表示开关函数的直流分量，第二项表示调制波影响下得到的谐波分量(n为调制波的谐波阶数，n＝1时表示调制波的基频分量)，第三项表示在载波影响下得到的谐波分量(m为载波的谐波阶数)，第四项表示在调制波和载波共同影响下得到的边带谐波分量。

S3、利用等效小参量法得到逆变器的等效数学模型

利用等效小参量法求解S1中的非线性数学模型，得到描述逆变器的等效数学方程组，即逆变器的等效数学模型；该等效数学方程组包含一个求解系统状态变量主振荡分量的主振荡微分方程，和一系列求系统状态变量修正量的微分方程。

所述的等效小参量法的具体步骤为：

S31、将双重傅里叶变换展开的开关函数δ表示成主振荡分量和修正量之和的级数形式：

其中δ₀表示开关函数的主振荡分量，δ_i表示开关函数的第i阶修正量，它们可根据具体开关函数的傅里叶级数来确定；

S32、将待求解的状态变量x也表示成如下级数形式：

其中x₀表示状态变量的主振荡分量，x_i表示状态变量的第i阶修正量，它们在具体的求解过程逐步确定；

S33、将δ的级数表达式代入非线性矢量函数f＝δe中，得到

其中f₀表示非线性矢量函数的主振荡分量，f_i表示非线性矢量函数的第i阶修正量；

S34、将f₀表示为f₀＝f_0m+εR₁，将f_i表示为f_i＝f_im+εR_i+1,其中f_0m为f₀的主项，包含f₀中所有与x₀具有相同频率成分的项，R₁为f₀的余项，包含f₀中所有与x₀具有不同频率成分的项；类似的，f_im为f_i的主项，包含f_i中所有与x_i具有相同频率成分的项，R_i+1为f_i的余项，包含f_i中所有与x_i具有不同频率成分的项；

S35、将f₀＝f_0m+εR₁和f_i＝f_im+εR_i+1代入

中,从而可将f表示为

在上述步骤S31～S35中，上标或下标i是一个整数，i＝1,2,……；ε是本方法所引入的一个小量标记，例如εⁱx_i表明x_i是状态变量x的第i阶小量，当在运算过程中需要具体数值时ε＝1；

S36、将

和

代入到公式(1)中，并令等式两边具有相同εⁱ项的项分别相等，可得到描述逆变器的等效数学模型，如下式(5)：

上式(5)中的第1个分数阶微分方程用于求状态变量的主振荡分量x₀，称为主振荡方程；第2～n个分数阶微分方程用于求状态变量的各阶修正量x_i(i＝1,2,……n)，称为修正量方程。

S4、利用谐波平衡法求逆变器系统状态变量的稳态周期解

利用谐波平衡法逐步求解S3中等效数学方程组中的各个微分方程的稳态解，得到逆变器系统状态变量稳态周期解的解析表达式。得到的稳态解包含主振荡分量和各阶修正量，其中各阶修正量由基波和各次谐波组成。所得到的以指数函数表示状态变量的稳态周期解的近似数学表达式如下：

其中，A₁为基波的幅度向量，

为其共轭；A_i为对应次谐波的幅度向量，i＝2，3，……，n，

为其共轭；m为载波的谐波阶数；n为调制波的谐波阶数；ω₀为调制波的角频率，ω_c为载波的角频率，t表示时间变量，j为虚数单位；公式(6)中的状态变量的稳态周期解的数学表达式也能够用三角函数的形式表示如下式(7)：

公式(7)中的Re(A₁)、Re(A₂)、Re(A₃)、Re(A₄)、Re(A_i)分别表示复数向量A₁、A₂、A₃、A₄、A_i的实部，Im(A₁)、Im(A₂)、Im(A₃)、Im(A₄)、Im(A_i)分别表示复数向量A₁、A₂、A₃、A₄、A_i的虚部。

下面以一种SPWM单相逆变器为实例，采用本发明上述提供的方法进行运算。

如图1所示，为一种SPWM单相逆变器电路模型，对于图1所述的SPWM单相逆变器，其电路参数为载波频率fc＝10kHz，调制波频率f₀＝50Hz，调制比M＝0.8，输入电压E＝60V，电感L＝14.2mH，电容C＝1.3μF，负载R＝100Ω。图2为开关导通关断示意图；图3为一种开环SPWM单相逆变器仿真模型输出电容电压的波形；图4为一种开环SPWM单相逆变器仿真模型输出电感电流的波形。

根据本发明方法的上述步骤求逆变器的主振荡分量和各阶修正量，可以得到逆变器的稳态周期解析解的表达式为：

将本发明方法与Matlab/Simulink软件在稳态时状态变量波形进行比较，结果如图5a、5b、5c、5d所示，仿真参数和符号分析法计算所采用的参数一致。图中实线所示为本发明所提出方法的计算结果，虚线所示为Matlab/Simulink仿真软件仿真结果。

从图中可见两条曲线拟合得很好，说明本发明所提出的方法是有效的。由解析解公式可以看出，采用本方法求逆变器状态变量的稳态周期解析解，相当于将求解微积分运算的复杂过程转化为矩阵运算和求线性方程(组)的过程，只要将系数表达式代入各阶修正量公式，通过简单的矩阵运算和消元就可以得到关于逆变器状态变量稳态解的表达式，通过该表达式可以清楚地看出状态变量中的谐波成分，通过谐波幅值系数的表达式，可以看出各元件对逆变器状态变量的影响。

以上所述实施例只为本发明之较佳实施例，并非以此限制本发明的实施范围，故凡依本发明之形状、原理所作的变化，均应涵盖在本发明的保护范围内。

Claims (1)

1.一种基于双重傅里叶变换分析逆变器的方法，其特征在于：利用等效小参量法，将复杂的逆变器状态变量稳态周期解的求解转化为主振荡分量和各阶修正量幅度的求解，而主振荡分量和各阶修正量幅度的求解能够利用谐波平衡法，最后将主振荡分量和各阶修正量相加就能够得到逆变器的稳态周期解的解析表达式；其包括以下步骤：

S1、建立微分方程描述的逆变器的非线性数学模型：

G₁(p)x+G₂(p)f＝u (1)

上式中x＝[i_L v_C]^T表示系统的状态变量向量，上标T表示求矩阵转置，i_L表示电感电流瞬时值，v_C表示电容电压瞬时值，u表示输入电压向量；p表示微分算子p＝d/dt，G₁(p)、G₂(p)为系数矩阵；f＝δe为非线性矢量函数，δ为一个表征逆变器中受控开关通断状态的开关函数，当该受控开关导通时δ＝1，当该受控开关断开时δ＝0，e为一个与输入电压有关的常向量；

S2、利用双重傅里叶变换将非线性开关函数展开

确立调制波和载波的数学表达式，将调制波和载波表达式代入双重傅里叶变换的方程中并求解，得到非线性开关函数的级数展开式，具体步骤如下：

S21、描述正弦调制波u^*(t)和三角载波u_tri(t)的数学表达式分别为：

u^*(t)＝Mcos(ω₀t+θ₀)＝Mcosy

其中y＝ω₀t+θ₀，x＝ω_ct+θ_c；t为时间变量，M为调制比，ω₀为调制波的角频率，θ₀为调制波的相位；ω_c为载波的角频率，θ_c为载波的相位；由于ω_c＞＞ω₀，因此在一个载波周期内，将调制波视为没有变化的直流量；因此，认为调制波在开关导通和关断时刻的幅值是相同的；

S22、将调制波和载波的表达式代入双重傅里叶变换方程中，同时考虑调制波频率和载波频率，能够将非线性开关函数δ展开成如下式(3)所述级数形式：

其中：

式(3)中等号右侧第一项表示开关函数的直流分量，第二项表示调制波影响下得到的谐波分量，n为调制波的谐波阶数，n＝1时表示调制波的基频分量，第三项表示在载波影响下得到的谐波分量，m为载波的谐波阶数，第四项表示在调制波和载波共同影响下得到的边带谐波分量；

S3、利用等效小参量法得到逆变器的等效数学模型

利用等效小参量法求解S1中的非线性数学模型，得到描述逆变器的等效数学方程组，即逆变器的等效数学模型；该等效数学方程组包含一个求解系统状态变量主振荡分量的主振荡微分方程，和一系列求系统状态变量修正量的微分方程；所述的等效小参量法的具体步骤如下：

S31、将双重傅里叶变换展开的开关函数δ表示成主振荡分量和修正量之和的级数形式：

其中δ₀表示开关函数的主振荡分量，δ_i表示开关函数的第i阶修正量，它们根据具体开关函数的傅里叶级数来确定；

S32、将待求解的状态变量x也表示成级数形式：

其中x₀表示状态变量的主振荡分量，x_i表示状态变量的第i阶修正量，它们在具体的求解过程逐步确定；

S33、将δ的级数表达式代入非线性矢量函数f＝δe中，得到

其中f₀表示非线性矢量函数的主振荡分量，f_i表示非线性矢量函数的第i阶修正量；

S34、将f₀表示为f₀＝f_0m+εR₁，将f_i表示为f_i＝f_im+εR_i+1，其中f_0m为f₀的主项，包含f₀中所有与x₀具有相同频率成分的项，R₁为f₀的余项，包含f₀中所有与x₀具有不同频率成分的项；同理，f_im为f_i的主项，包含f_i中所有与x_i具有相同频率成分的项，R_i+1为f_i的余项，包含f_i中所有与x_i具有不同频率成分的项；

S35、将f₀＝f_0m+εR₁和f_i＝f_im+εR_i+1代入

中，从而能够将f表示为

在上述步骤S31～S35中，上标或下标i是一个整数，i＝1,2,……；ε是引入的一个小量标记，εⁱx_i表明x_i是状态变量x的第i阶小量，当在运算过程中需要具体数值时ε＝1；

S36、将

和

代入到公式(1)中，并令等式两边具有相同εⁱ项的项分别相等，得到描述逆变器的等效数学模型，如下式(5)：

上式(5)中的第1个分数阶微分方程用于求状态变量的主振荡分量x₀，称为主振荡方程；第2～n个分数阶微分方程用于求状态变量的各阶修正量x_i，i＝1,2,……n，称为修正量方程；

S4、利用谐波平衡法求逆变器系统状态变量的稳态周期解

利用谐波平衡法逐步求解S3中等效数学方程组中的各个微分方程的稳态解，得到逆变器系统状态变量稳态周期解的解析表达式，得到的稳态解包含主振荡分量和各阶修正量，其中各阶修正量由基波和各次谐波组成；其中，以指数函数表示状态变量的稳态周期解的近似数学表达式如下：

其中，A₁为基波的幅度向量，

为其共轭；A_i为对应次谐波的幅度向量，i＝2，3，……，n，

为其共轭；m为载波的谐波阶数；n为调制波的谐波阶数；ω₀为调制波的角频率，ω_c为载波的角频率，t表示时间变量，j为虚数单位；公式(6)中的状态变量的稳态周期解的数学表达式也能够用三角函数的形式表示如下式(7)：

公式(7)中的Re(A₁)、Re(A₂)、Re(A₃)、Re(A₄)、Re(A_i)分别表示复数向量A₁、A₂、A₃、A₄、A_i的实部，Im(A₁)、Im(A₂)、Im(A₃)、Im(A₄)、Im(A_i)分别表示复数向量A₁、A₂、A₃、A₄、A_i的虚部。

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