CN106843144B - 五轴加工走刀轨迹奇异点避免方法 - Google Patents
五轴加工走刀轨迹奇异点避免方法 Download PDFInfo
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Abstract
本发明公开了一种五轴加工走刀轨迹奇异点避免方法，用于解决现有五轴加工走刀轨迹奇异点避免方法加工精度低的技术问题。技术方案是使用四元数表示刀轴方向与参考方向之间的变换关系，再将四元数投影到P平面，“奇异锥”在P平面内对应于一个圆心在原点的圆“奇异圆”；在二维平面中使用B样条对投影点进行插值；再次建立约束优化问题，目标函数定义为控制顶点增量的平方和，约束定义为B样条上的点到P平面原点的距离大于“奇异圆”半径，控制顶点的初值定义为插值得到的B样条控制顶点；将约束优化问题的约束用B样条控制顶点的增量线性表示，使用二次规划理论求解优化问题的最优解。本发明将一般约束优化问题转换为二次规划问题，保证了加工精度。
Description
技术领域
本发明属于数控加工领域，特别涉及一种五轴加工走刀轨迹奇异点避免方法。
背景技术
文献1“A.Affouard,E.Duc,C.Lartigue,J.M.Langeron,P.Bourdet,Avoiding 5-axis singularities using tool path deformation,International Journal ofMachine Tools and Manufacture 44(2004)415-425.”公开了一种适用于对偶B样条路径的五轴数控机床奇异点避免方法，提出使用“奇异锥”的概念来代替奇异点的概念，同时通过修改B样条的控制顶点避免刀轴方向进入“奇异锥”。但这种刀具路径变形无法保证刀具路径变形引起的加工误差最小。
文献2“J.X.Yang,Y.Altintas,Generalized kinematics of five-axis serialmachines with nonsingular tool path generation,International Journal ofMachine Tools and Manufacture 75(2013)119-132.”公开了一种使用四元数避免五轴数控机床奇异点的方法，该方法接受了“奇异锥”的概念，通过将刀轴方向样条进入“奇异锥”部分的控制顶点旋转一个“奇异锥”的锥角来避免刀轴方向进入“奇异锥”。但是该方法对刀轴方向样条的修改过大，会造成不必要的加工精度损失。
以上文献的典型特点是：均对奇异点附近的刀轴方向进行了修改且均不能保证由刀轴方向变形引起的加工误差最小，会造成加工精度不必要的损失。
发明内容
为了克服现有五轴加工走刀轨迹奇异点避免方法加工精度低的不足，本发明提供一种五轴加工走刀轨迹奇异点避免方法。该方法首先使用四元数表示刀轴方向与参考方向之间的变换关系，再将得到的四元数投影到一个二维平面(P平面)，“奇异锥”在P平面内对应于一个圆心在原点的圆“奇异圆”；其次，在二维平面中使用B样条对投影点进行插值；再次建立约束优化问题，目标函数定义为控制顶点增量的平方和，约束定义为B样条上的点到P平面原点的距离大于“奇异圆”半径，控制顶点的初值定义为插值得到的B样条控制顶点；最后，将约束优化问题的约束用B样条控制顶点的增量线性表示，使用二次规划理论求解优化问题的最优解。本发明将一般约束优化问题转换为正定的二次规划问题，保证了优化问题有且仅有一个全局最优解。故本发明能够保证避免奇异点后得到的路径的变形最小，路径变形导致的加工误差最小，解决了现有的奇异点避免方法带来的较大的加工精度损失的问题。
本发明解决其技术问题所采用的技术方案：一种五轴加工走刀轨迹奇异点避免方法，其特点是包括以下步骤：
(1)选择参考方向or为机床运动链中第一个转轴坐标轴的方向，刀轴方向oi相对于参考方向的关系用四元数qu,i表示为：i＝0,1,…,N，N表示刀位点的个数，*表示四元数的共轭。四元数qu,i计算如下：
(2)根据步骤(1)得到的四元数qu,i的特点，将其投影到P平面，四元数qu,i对应于P平面上的点pi，奇异锥对应于P平面上一个半径的奇异圆，α表示奇异锥的半锥角。
(3)使用B样条对点集{pi}，i＝0,1,…,N，进行插值，节点矢量U＝{u0,u1,...,uN+k,uN+k+1}计算如下：
B样条基函数计算如下：
k表示B样条的阶数。
控制顶点{Pi}，i＝0,1,…,N通过求解如下(N+1)×(N+1)的线性方程组得到：
(4)考虑几何约束奇异圆对步骤(3)得到的B样条进行优化。目标函数定义为B样条控制顶点增量的平方和，
约束条件定义为B样条上点到P平面原点的距离大于奇异圆半径R的c倍,c为一个大于1的常数。
ΔPi为控制顶点Pi的增量，(xj,yj)为B样条上一点,i＝0,1,…N。m为B样条上检查点的个数，所有检查点处的约束共同组成了优化问题的约束
优化后的B样条为
(5)忽略ΔPi的高阶小项，将步骤(4)得到的约束条件用控制顶点的增量线性表示为，
AΔP<B
其中，
和Nj＝[N0,k(uj),N1,k(uj),…,NN,k(uj)]N+1，j＝1,…,m表示步骤(3)插值得到的控制顶点向量和B样条基函数向量。
(6)对步骤(5)的优化过程进行迭代，优化函数及约束条件整理为，
AiterΔPiter<Biter
其中，
Piter-1表示上一次迭代得到的B样条控制顶点，ΔPiter表示当前迭代过程的控制顶点增量。迭代结束后得到最优的避免奇异点后的B样条控制顶点。
(7)根据步骤(6)得到的P平面上的B样条，四元数q(u)计算如下，
p＝(x,y)为P平面上一点，q为p对应的四元数，inf表示P平面上的无穷远点。根据公式o＝qorq*得到避免奇异点后的刀轴方向o。
本发明的有益效果是：该方法首先使用四元数表示刀轴方向与参考方向之间的变换关系，再将得到的四元数投影到一个二维平面(P平面)，“奇异锥”在P平面内对应于一个圆心在原点的圆“奇异圆”；其次，在二维平面中使用B样条对投影点进行插值；再次建立约束优化问题，目标函数定义为控制顶点增量的平方和，约束定义为B样条上的点到P平面原点的距离大于“奇异圆”半径，控制顶点的初值定义为插值得到的B样条控制顶点；最后，将约束优化问题的约束用B样条控制顶点的增量线性表示，使用二次规划理论求解优化问题的最优解。本发明将一般约束优化问题转换为正定的二次规划问题，保证了优化问题有且仅有一个全局最优解。因此，本发明能够保证避免奇异点后得到的路径的变形最小，路径变形导致的加工误差最小，解决了现有的奇异点避免方法带来的较大的加工精度损失的问题。
下面结合附图和具体实施方式对本发明作详细说明。
附图说明
图1是本发明五轴加工走刀轨迹奇异点避免方法与背景技术方法在避免奇异点后的结果对比图。
具体实施方式
参照图1。本发明五轴加工走刀轨迹奇异点避免方法具体步骤如下：
(1)选择数控机床结构为AC摇篮式五轴数控机床，下表给出的刀轴方向包含奇异点，用于验证本发明得到解的最优性及有效性。
| oi | oj | ok |
| -0.21257 | 0.517408 | 0.828918 |
| -0.10497 | 0.551995 | 0.827214 |
| 0.039348 | 0.552476 | 0.8326 |
| 0.174532 | 0.49917 | 0.848745 |
| 0.229676 | 0.450821 | 0.86256 |
| 0.241074 | 0.411043 | 0.879162 |
| 0.236042 | 0.368178 | 0.899294 |
| 0.220308 | 0.332003 | 0.917191 |
| 0.192137 | 0.298275 | 0.934941 |
| 0.113986 | 0.23168 | 0.966091 |
| 0.020798 | 0.128132 | 0.991539 |
| -0.00434 | 0.085168 | 0.996357 |
| -0.01357 | 0.047988 | 0.998756 |
| -0.01267 | 0.022178 | 0.999674 |
| 0 | 0 | 1 |
| 0.02313 | -0.01038 | 0.999679 |
| 0.061559 | -0.00976 | 0.998056 |
| 0.131944 | 0.017507 | 0.991103 |
| 0.30307 | 0.071738 | 0.950264 |
| 0.398634 | 0.082644 | 0.913379 |
| 0.485468 | 0.059077 | 0.872256 |
| 0.549128 | -0.02553 | 0.835348 |
| 0.572917 | -0.13254 | 0.808826 |
| 0.566545 | -0.24395 | 0.787094 |
| 0.527549 | -0.34991 | 0.774117 |
(2)选择参考方向or＝(0,0,1)。or变换到oi＝(oi,oj,ok)的四元数计算如下，i＝0,1,...,25。
(3)忽略步骤(2)得到的四元数qu,i表达式中的第一项和第四项，将四元数qu,i投影到P平面上的对应点根据五轴数控机床转动轴的定位精度和定位不确定度确定“奇异锥”半锥角α＝1×10-4，奇异锥对应于P平面上一个半径R＝5×10-5的圆。
(4)使用B样条对点集{pi}进行插值，i＝0,1,…,N。节点矢量U＝{u0,u1,...,uN+k,uN+k+1}计算如下：
B样条基函数计算如下：
k表示B样条的阶数。控制顶点{Pi}，i＝0,1,…,N通过求解如下(N+1)×(N+1)的线性方程组得到：
(5)考虑几何约束“奇异圆”对步骤(4)得到的B样条进行优化。目标函数定义为B样条控制顶点增量的平方和，
约束条件定义为B样条上点到P平面原点的距离大于“奇异圆”半径R的1.01倍，
ΔPi为控制顶点Pi的增量，(xj,yj)为B样条上一点,i＝0,1,…N。m为B样条上检查点的个数，所有检查点处的约束共同组成了优化问题的约束
优化后的B样条为
(6)将步骤(5)得到的约束条件用控制顶点的增量线性表示，
AΔP<B
其中，
和Nj＝[N0,k(uj),N1,k(uj),…,NN,k(uj)]N+1，j＝1,…,m表示步骤(4)插值得到的控制顶点向量和B样条基函数向量。
(7)对步骤(5)的优化过程进行迭代，优化函数及约束条件整理为，
AiterΔPiter<Biter
其中
Piter-1表示上一次迭代得到的B样条控制顶点，ΔPiter表示当前迭代过程的控制顶点增量。迭代结束后得到最优的避免奇异点后的B样条控制顶点。
(8)根据步骤(6)得到的B样条，反算四元数q(u)，计算如下，
p＝(x,y)为P平面上一点，q为p对应的四元数，inf表示P平面上的无穷远点。根据公式o＝qorq*得到避免奇异点后的刀轴方向o。从图1可以看出：本发明所提出的刀轴方向变形可以完全解决五轴数控机床的奇异问题，且与文献2相比，加工误差小了
Claims (1)
1.一种五轴加工走刀轨迹奇异点避免方法，其特征在于包括以下步骤：
(1)选择参考方向or为机床运动链中第一个转轴坐标轴的方向，刀轴方向oi相对于参考方向的关系用四元数qu,i表示为：N表示刀位点的个数，*表示四元数的共轭；四元数qu,i计算如下：
<mfenced open = "{" close = "">
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(2)根据步骤(1)得到的四元数qu,i，将其投影到P平面，四元数qu,i对应于P平面上的点pi，奇异锥对应于P平面上一个半径的奇异圆，α表示奇异锥的半锥角；
(3)使用B样条对点集{pi}，i＝0,1,…,N，进行插值，节点矢量U＝{u0,u1,...,uN+k,uN+k+1}计算如下：
<mfenced open = "" close = "">
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</mfenced>
B样条基函数计算如下：
k表示B样条的阶数；
控制顶点{Pi}，i＝0,1,…,N通过求解如下(N+1)×(N+1)的线性方程组得到：
<mrow>
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<mi>p</mi>
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(4)考虑几何约束奇异圆对步骤(3)得到的B样条进行优化；目标函数定义为B样条控制顶点增量的平方和，
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约束条件定义为B样条上点到P平面原点的距离大于奇异圆半径R的c倍,c为一个大于1的常数；
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ΔPi为控制顶点Pi的增量，(xj,yj)为B样条上一点,i＝0,1,...N；m为B样条上检查点的个数，所有检查点处的约束共同组成了优化问题的约束
优化后的B样条为
(5)忽略ΔPi的高阶小项，将步骤(4)得到的约束条件用控制顶点的增量线性表示为，
AΔP＜B
其中，
和Nj＝[N0,k(uj),N1,k(uj),…,NN,k(uj)]N+1，j＝1,...,m表示步骤(3)插值得到的控制顶点向量和B样条基函数向量；
(6)对步骤(5)的优化过程进行迭代，优化函数及约束条件整理为，
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AiterΔPiter＜Biter
其中，
Piter-1表示上一次迭代得到的B样条控制顶点，ΔPiter表示当前迭代过程的控制顶点增量；迭代结束后得到最优的避免奇异点后的B样条控制顶点；
(7)根据步骤(6)得到的P平面上的B样条，四元数q(u)计算如下，
其他点
p＝(x,y)为P平面上一点，q为p对应的四元数，inf表示P平面上的无穷远点；根据公式o＝qorq*得到避免奇异点后的刀轴方向o。
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