CN109190313A - 一种基于曲面离散化的螺旋锥齿轮齿顶倒棱计算方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种螺旋锥齿轮齿顶倒棱加工计算方法，具体涉及一种基于曲面离散化的螺旋锥齿轮齿顶倒棱计算加工方法。该倒棱计算方法首先根据齿面数学模型创建齿轮实体模型，然后在齿轮实体模型上创建齿顶倒棱特征式，提取齿顶倒棱上下边缘线的离散点坐标，采用数值算法求解得到倒棱球头铣刀路径。而后根据球头铣刀轴线方向与球头铣刀表面接触位置之间的关系。随后将未倒棱齿轮安装到四轴机床上，通过寻边器完成齿轮的轴向和周向对刀后依据球头铣刀路径即可完成齿顶倒棱加工。该倒棱计算方法能够使齿顶倒棱的加工通过四轴机床完成，解决了人工倒棱时存有的生产效率低和加工误差大问题，满足了企业生产使用的需要。

Description

一种基于曲面离散化的螺旋锥齿轮齿顶倒棱计算方法

技术领域

本发明涉及一种螺旋锥齿轮齿顶倒棱计算加工方法，，具体涉及一种基于曲面离散化的螺旋锥齿轮齿顶倒棱计算方法。

背景技术

螺旋锥齿轮是用于传递相交轴或相错轴之间运动的传动部件，具有重合度大、传动平稳、承载力强等优点。螺旋锥齿轮齿面加工完成后，齿面和齿顶会形成尖角，在齿轮制造误差和安装误差的影响下，齿轮啮合传动时会产生噪声、冲击及齿面快速疲劳破坏等现象，因此需要进行齿顶倒棱加工，以去除齿顶尖角。目前螺旋锥齿轮齿顶倒棱主要靠人工完成，存有生产效率低的问题；而且倒棱的加工精度取决于工人的技术水平，存有加工误差大的问题。因此有必要研发一种能够使用四轴数控机床完成螺旋锥齿轮齿顶倒棱的方法，以解决人工倒棱时存有的上述问题。

发明内容

本发明的目的在于：提供一种基于曲面离散化，以解决人工倒棱时存有的生产效率低和加工误差大问题的采用四轴数控机床加工螺旋锥齿轮齿顶倒棱的方法。

本发明的技术方案是：

一种基于曲面离散化的螺旋锥齿轮齿顶倒棱计算方法，其特征在于：它包括以下步骤：

一、倒棱特征离散点坐标提取：

1、在待加工齿轮轴截面上将根锥和面锥分别平均分割得到多个离散点，将根锥和面锥上的离散点相连得到多条齿高线（参见说明书附图1）；

2、将共轭齿面与过渡曲面的分界线旋转得到的曲面与齿高线的交点设为分界点，分界点将齿高线分为两部分；将齿高线上靠近齿顶的部分平均分割得到多个共轭齿面点；将齿高线上靠近齿根的部分平均分割得到多个过渡曲面点（参见说明书附图1）；

3、以待加工齿轮轴截面上的共轭齿面点和过渡曲面点为基础，旋转投影得到待加工齿轮的凸面和凹面的齿面离散点；

4、将齿高线对应的凸面线、齿顶线、凹面线和齿根线依次相连，得到单齿轮廓线（参见说明书附图2）；

5、将单齿轮廓线数据输入到ABAQUS软件中，采用放样操作得到单齿实体模型，再将单齿实体模型经旋转阵列后得到齿轮实体模型，然后在齿轮实体模型的齿顶上通过chamfer命令创建倒棱特征；将倒棱特征与凸面齿顶的交界线设为凸面倒棱上边缘线；将倒棱特征与凹面齿顶的交界线设为凹面倒棱上边缘线；将倒棱特征与凸面齿面的交界线设为凸面倒棱下边缘线；将倒棱特征与凹面齿面的交界线设为凹面倒棱下边缘线（参见说明书附图3）；

6、在ABAQUS软件中建立齿轮实体模型后，模型中的所有节点（node）将会存储在初始节点集合中；然后采用Python语言对ABAQUS软件进行二次开发，使用模型(models)对象下的零件(parts)子对象的分割边(PartitionEdgeByParam)方法将凸面倒棱上边缘线、凹面倒棱上边缘线、凸面倒棱下边缘线和凹面倒棱下边缘线分割得到多个分割点，将分割点的坐标添加到零件(parts)子对象下面的节点集合(vertices)中，将节点集合中的节点坐标与初始节点集合中的节点坐标逐一比较，获得分割点的坐标；然后在0~1之间设置均匀变化的分割比例系数，从而在凸面倒棱上边缘线、凹面倒棱上边缘线、凸面倒棱下边缘线和凹面倒棱下边缘线上提取到均匀分布的离散点坐标；随后将齿轮实体模型在小端和大端沿齿宽方向各延伸一段距离，然后重复步骤6中的方法得到延伸段离散点坐标；设包含延伸段的凸面倒棱上边缘线任意离散点的坐标为，包含延伸段的凸面倒棱下边缘线的为，包含延伸段的凹面倒棱上边缘线的为，包含延伸段的凹面倒棱下边缘线的为，下标i为离散点序号，设离散点总数为m，；

二、倒棱球头铣刀路径计算：

以四轴数控机床上的球头铣刀球心为倒棱球头铣刀路径计算的参考点，设球头铣刀半径为，设齿轮轴线从小端指向大端的单位矢量为Z1轴；设最靠近小端的倒棱边缘线离散点坐标在Z1轴上的坐标为，最远离的为，在和之间均分出个点，将n记为轴向离散点数，从小端到大端第j个点对应的Z1轴坐标为

设穿过Z1轴上点且垂直于Z1轴的平面为；设球头铣刀球心在平面上移动，球头铣刀球心坐标在圆柱坐标系中表示为，其中为极轴长，为极角；球头铣刀球心到凸面倒棱上边缘线上的第i个离散点的距离为

设i取不同值计算得到的距离中的最小值为球头铣刀球心到凸面倒棱上边缘线的距离，即有：

距离是由离散点计算得到的近似值，离散点数越多，近似精度越高；设球头铣刀球心到凸面倒棱下边缘线距离为，到凹面倒棱上边缘线距离为，到凹面倒棱下边缘线距离为（参见说明书附图4）；

若凸面倒棱上边缘线上存在两个相邻离散点分布于平面两侧，则有：

为满足两侧分布的离散点序号，离散点在圆柱坐标系中极轴长为

当球头铣刀表面与凸面和凹面倒棱上边缘线相切时，满足和，球头铣刀球心坐标的求解转化为如下：

随后采用粒子群算法求解，粒子数为50，迭代数为10000，收敛条件为

；求解得到满足收敛条件的和后，计算得到球头铣刀球心坐标为；遍历所有值，每一个收敛解对应一个球头铣刀球心位置；将各球心依次相连得到双侧倒棱球头铣刀路径；由于倒棱边缘线存在延伸量，设双侧倒棱球头铣刀路径上实际进行凹面倒棱的部分为AB段；设双侧倒棱球头铣刀路径上实际进行双侧倒棱的部分为BC段；设双侧倒棱球头铣刀路径上实际进行凸面倒棱的部分为CD段（参见说明书附图5）；设双侧倒棱球头铣刀路径上第j个点的倒棱形状误差计算公式为：

设为下标j取不同值时中的最大值，简称倒棱误差最大值，试算不同球头铣刀半径对应的，取其中最小值对应的球头铣刀半径为实际加工的球头铣刀半径；

设球头铣刀球心处于AB段的A点，球头铣刀表面与凹面倒棱上边缘线接触于点，球头铣刀球心处于AB段的B点，球头铣刀表面分别与凹面和凸面倒棱上边缘线接触于和点（参见说明书附图7），球头铣刀球心处于CD段的C点，球头铣刀表面分别与凹面和凸面倒棱上边缘线接触于和点；球头铣刀球心处于CD段的D点，球头铣刀表面与凸面倒棱上边缘线接触于对应为点（参见说明书附图7）；上述多个点将倒棱区域划分为凹面倒棱区、双侧倒棱区和凸面倒棱区；

在凹面倒棱区段，球头铣刀表面与凹面倒棱上、下边缘线相切，满足和，凹面倒棱球头铣刀球心坐标的求解转化为：

随后采用粒子群算法求解，粒子数为50，迭代数为10000，收敛条件为

；从而得到凹面倒棱球头铣刀球心坐标；设凹面倒棱过程从点到点，凹面倒棱过程中有两种可能的情况：

第一种情况是：凹面倒棱过程中球头铣刀与凸面齿顶不发生切削，此时依照凹面倒棱球头铣刀球心坐标进行加工即可；

第二种情况是：加工位置接近点时，球头铣刀与凸面齿顶发生切削，造成凸面齿顶形状不正确；设点坐标为，若球头铣刀球心到点的距离大于球头铣刀半径，球头铣刀不与凸面发生切削，在求解凹面倒棱球头铣刀球心坐标时添加约束条件如下：

添加约束条件后凹面倒棱过程中球头铣刀无法加工点附近区域，为此截取AB段靠近B点的部分刀路完成点附近区域的加工；

在凸面倒棱区即段，使球头铣刀表面与凸面倒棱上、下边缘线相切，满足和，球头铣刀球心坐标的求解转化为：

随后采用粒子群算法求解，粒子数为50，迭代数为10000，收敛条件为

；从而得到凸面倒棱球头铣刀球心坐标；设凸面倒棱过程从点到点，凸面倒棱过程中有两种可能的情况：

第一种情况：凸面倒棱过程中球头铣刀与凹面齿顶不发生切削，此时依照球头铣刀球心坐标进行加工即可；

第二种情况：加工位置接近点时，球头铣刀与凹面齿顶发生切削，造成凹面齿顶形状不正确；设点坐标为，若球头铣刀球心到点的距离大于球头铣刀半径，球头铣刀不与凹面发生切削，在求解凸面倒棱球头铣刀球心坐标时添加约束条件：

添加约束条件后，凸面倒棱过程中球头铣刀无法加工点附近区域，为此截取CD段靠近C点的部分刀路完成点附近区域的加工；

计算完成后，即可得到倒棱刀具路径；

三、球头铣刀轴线方向确定：

设球头铣刀轴线与待加工齿轮轴线垂直；设球头铣刀球心为E，设球头铣刀刀尖点为H点，设刀轴方向角为（参见说明书附图9）；当E位置不变时，改变不影响倒棱加工形状，但会改变齿顶与球头铣刀表面的接触位置；

在双侧倒棱阶段，设凸面倒棱上边缘线与球头铣刀表面接触于点，点投影到球头铣刀轴线上的点为点；设凹面倒棱上边缘线与球头铣刀表面接触于点，点投影到球头铣刀轴线的点为点；以为设计变量，则的变化范围满足约束条件如下：

受到上述约束时即可保证当和点处于EH之间，从而保证了球头铣刀的正常切削；

在凹面倒棱阶段，接触点不存在，约束条件仅剩，凸面倒棱阶段，接触点不存在，约束条件仅剩；对于倒棱刀路上任意离散点，在值的约束条件作用下，存在上边界值和下边界值，计算倒棱刀路每个离散点的和并将其作为纵坐标，以倒棱刀路离散点序号为横坐标，如此得到满足约束条件的刀轴方向角的可行域；

设刀轴方向角上边界倒棱离散点序号最小的U点对应的数值为，刀轴方向角下边界倒棱离散点序号最大的L点对应的数值为（参见说明书附图10）；刀轴方向角在两者之间均匀变化使接触位置均匀分布于球头铣刀表面，从而延长球头铣刀使用寿命；

已知倒棱刀具路径和对应的刀轴方向角，算出在齿轮坐标系中球头铣刀轴线方向为；随后根据球头铣刀轴线方向，确定球头铣刀与待加工齿轮的位置关系，球头铣刀轴线方向逐渐变化，导致球头铣刀表面与齿顶接触位置逐渐变化，从而使接触位置均匀分布在球头铣刀表面；

四、齿轮轴向和周向对刀：

设四轴机床坐标系为，待加工齿轮坐标系为，四轴机床坐标系原点O与齿轮坐标系原点重合，四轴机床Z轴和待加工齿轮坐标轴同向，四轴机床X轴和待加工齿轮坐标轴反向；在ABAQUS软件中将齿轮实体模型和机床实体模型放置到装配模块中，将待加工齿轮绕四轴机床Y轴旋转（参见说明书附图13）；

轴向对刀时，将齿顶未倒棱齿轮安装于四轴数控机床A轴的卡盘上，用百分表找正，使齿轮轴线与A轴旋转轴线同轴；将寻边器安装在四轴机床的主轴上，设寻边器半径为；移动四轴机床轴滑台，使四轴机床主轴轴线与四轴机床的A轴旋转轴线相交，将数控系统中四轴机床Y轴数值设为0；移动四轴机床X和四轴机床Z轴滑台，使寻边器与齿轮的小端端面相切，在齿轮坐标系中小端端面与点距离为（参见说明书附图1），将数控系统中X轴数值设为；

周向对刀时，在ABAQUS软件中选定某个不发生球头铣刀刀杆干涉的凸面齿顶线作为对刀基准，保持四轴机床A轴转角不变，移动四轴机床的X、Y、Z轴滑台，使寻边器与选定的凸面齿顶接触，接触判定由ABAQUS软件中模型对象下装配子对象的布尔剪方法实现，以寻边器为剪切工具，以齿轮为被剪切对象，若布尔剪操作成功，表示寻边器与齿轮在空间中有交集，否则无交集；周向对刀的具体方法为：先移动四轴机床X、Y、Z轴滑台，使寻边器和凸面齿顶接近，然后Y轴滑台以步长0.01mm沿Y轴负方向运动，直至寻边器与齿轮有交集，记下四轴机床X、Y、Z轴的数值，将此位置称为周向对刀位置；

实际加工时，四轴机床X、Y、Z轴运动到周向对刀位置，转动A轴，当任意一个凸面齿顶与寻边器接触时，将数控系统中四轴机床A轴数值设为0，如此即完成周向对刀；

五、数控代码生成：

设待加工齿轮坐标系中倒棱刀路上任意一点P的坐标为，设球头铣刀轴线方向为；待加工齿轮坐标系中P坐标转化到四轴机床坐标系中变为；待加工齿轮坐标系中球头铣刀轴线方向转化到四轴机床坐标系中变为；

四轴机床A轴转动后P点的球头铣刀轴线方向为Z轴负方向，满足：

A轴转角由上式解出，A轴旋转后使P点到达Q点，移动四轴机床X、Y、Z轴滑台使Q点与球头铣刀球心重合，应有：

上式中、和为四轴机床X、Y、Z轴滑台移动的数值；如此即可得到倒棱刀路上每一个离散点对应的、、；规定机床零点为O点，和从零变为正值时，四轴机床X、Z轴滑台沿X、Z轴正向移动，从零变为正值时，Y轴滑台沿Y轴反向移动；得到倒棱刀路上每一个离散点对应的、、和后就可生成倒棱加工数控代码，即G代码，而后通过G代码即可在四轴机床上完成螺旋锥齿轮齿顶的倒棱加工。

本发明的优点在于：

该倒棱计算方法首先根据齿面数学模型创建齿轮实体模型，然后在齿面实体模型上创建齿顶倒棱特征。提取齿顶倒棱上下边缘线的离散点坐标，以球头铣刀球心与倒棱边缘线之间距离等于球头铣刀半径为约束条件，采用数值算法求解得到倒棱球头铣刀路径。根据球头铣刀轴线方向与球头铣刀表面接触位置之间的关系，使刀轴方向角在可行域内均匀变化，可使球头铣刀与齿顶的接触位置均匀分布于球头铣刀表面。将未倒棱齿轮安装到四轴数控机床上，通过寻边器完成齿轮的轴向和周向对刀后依据球头铣刀路径即可完成齿顶倒棱加工，由此解决了人工倒棱时存在的生产效率低和加工误差大的问题，满足了企业生产使用的需要。

附图说明

图1为本发明齿面离散点的轴截面规划示意图；

图2为本发明单齿轮廓线示意图；

图3为本发明齿轮倒棱特征示意图；

图4为本发明球头铣刀表面与边缘线的位置关系示意图；

图5为本发明双侧倒棱球头铣刀路径示意图；

图6为本发明倒棱误差最大值计算结果；

图7为本发明倒棱区域划分示意图；

图8为本发明倒棱球头铣刀路径示意图；

图9为本发明球头铣刀表面接触位置示意图；

图10为本发明球头铣刀轴线方向角示意图；

图11为本发明球头铣刀表面接触位置计算结果；

图12为本发明球头铣刀和齿轮的位置关系示意图；

图13为本发明机床坐标系示意图；

图14为本发明齿轮周向对刀示意图。

具体实施方式

该倒棱计算方法首先根据齿面数学模型创建齿轮实体模型，然后在齿轮实体模型上创建齿顶倒棱特征。提取齿顶倒棱上下边缘线的离散点坐标，以球头铣刀球心与倒棱边缘线之间距离等于球头铣刀半径为约束条件，采用数值算法求解得到倒棱球头铣刀路径。根据球头铣刀轴线方向与球头铣刀表面接触位置之间的关系，使刀轴方向角在可行域内均匀变化，可使球头铣刀与齿顶的接触位置均匀分布于球头铣刀表面。将未倒棱齿轮安装到四轴机床上，通过寻边器完成齿轮的轴向和周向对刀后依据球头铣刀路径即可完成齿顶倒棱加工。

该轮齿顶倒棱计算方法，它包括以下步骤：

一、倒棱特征离散点坐标提取

在待加工齿轮轴截面上将根锥和面锥分别平均分割得到多个离散点，将根锥和面锥上的离散点相连得到多条齿高线（参见说明书附图1）。

将共轭齿面与过渡曲面的分界线旋转得到的曲面与齿高线的交点设为分界点，分界点将齿高线分为两部分；将齿高线上靠近齿顶的部分平均分割得到多个共轭齿面点；将齿高线上靠近齿根的部分平均分割得到多个过渡曲面点（参见说明书附图1）

以待加工齿轮轴截面上的共轭齿面点和过渡曲面点为基础，旋转投影得到待加工齿轮的凸面和凹面的齿面离散点。将齿高线对应的凸面线、齿顶线、凹面线和齿根线依次相连，得到单齿轮廓线（参见说明书附图2）；

将单齿轮廓线数据输入到ABAQUS软件中，采用放样操作得到单齿实体模型，再将单齿实体模型经旋转阵列后得到齿轮实体模型，然后在齿轮实体模型的齿顶上通过chamfer命令创建倒棱特征；将倒棱特征与凸面齿顶的交界线设为凸面倒棱上边缘线；将倒棱特征与凹面齿顶的交界线设为凹面倒棱上边缘线；将倒棱特征与凸面齿面的交界线设为凸面倒棱下边缘线；将倒棱特征与凹面齿面的交界线设为凹面倒棱下边缘线（参见说明书附图3）。

在ABAQUS软件中建立齿轮实体模型后，模型中的所有节点（node）将会存储在初始节点集合中；然后采用Python语言对ABAQUS软件进行二次开发，使用模型(models)对象下的零件(parts)子对象的分割边(PartitionEdgeByParam)方法将凸面倒棱上边缘线、凹面倒棱上边缘线、凸面倒棱下边缘线和凹面倒棱下边缘线分割得到多个分割点，将分割点的坐标添加到零件(parts)子对象下面的节点集合(vertices)中，将节点集合中的节点坐标与初始节点集合中的节点坐标逐一比较，获得分割点的坐标；然后在0~1之间设置均匀变化的分割比例系数，从而在凸面倒棱上边缘线、凹面倒棱上边缘线、凸面倒棱下边缘线和凹面倒棱下边缘线上提取到均匀分布的离散点坐标；随后将齿轮实体模型在小端和大端沿齿宽方向各延伸一段距离，然后重复步骤6中的方法得到延伸段离散点坐标；设包含延伸段的凸面倒棱上边缘线任意离散点的坐标为，包含延伸段的凸面倒棱下边缘线的为，包含延伸段的凹面倒棱上边缘线的为，包含延伸段的凹面倒棱下边缘线的为，下标i为离散点序号，设离散点总数为m，；

二、倒棱球头铣刀路径计算

以四轴数控机床上的球头铣刀球心为倒棱球头铣刀路径计算的参考点，设球头铣刀半径为，设齿轮轴线从小端指向大端的单位矢量为Z1轴；设最靠近小端的倒棱边缘线离散点坐标在Z1轴上的坐标为，最远离的为，在和之间均分出个点，将将n记为轴向离散点数，从小端到大端第j个点对应的Z1轴坐标为

设穿过Z1轴上点且垂直于Z1轴的平面为；设球头铣刀球心在平面上移动，球头铣刀球心坐标在圆柱坐标系中表示为，其中为极轴长，为极角；球头铣刀球心到凸面倒棱上边缘线上的第i个离散点的距离为

设i取不同值计算得到的距离中的最小值为球头铣刀球心到凸面倒棱上边缘线的距离，即有：

距离是由离散点计算得到的近似值，离散点数越多，近似精度越高；设球头铣刀球心到凸面倒棱下边缘线距离为，到凹面倒棱上边缘线距离为，到凹面倒棱下边缘线距离为（参见说明书附图4）；

若凸面倒棱上边缘线上存在两个相邻离散点分布于平面两侧，则有：

为满足两侧分布的离散点序号，离散点在圆柱坐标系中极轴长为

当球头铣刀表面与凸面和凹面倒棱上边缘线相切时，满足和，球头铣刀球心坐标的求解转化为如下：

随后采用粒子群算法求解，粒子数为50，迭代数为10000，收敛条件为

；求解得到满足收敛条件的和后，计算得到球头铣刀球心坐标为；遍历所有值，每一个收敛解对应一个球头铣刀球心位置；将各球心依次相连得到双侧倒棱球头铣刀路径；由于倒棱边缘线存在延伸量，设双侧倒棱球头铣刀路径上实际进行凹面倒棱的部分为AB段；设双侧倒棱球头铣刀路径上实际进行双侧倒棱的部分为BC段；设双侧倒棱球头铣刀路径上实际进行凸面倒棱的部分为CD段（参见说明书附图5）；设双侧倒棱球头铣刀路径上第j个点的倒棱形状误差计算公式为：

设为下标j取不同值时中的最大值，简称倒棱误差最大值，试算不同球头铣刀半径对应的，取其中最小值对应的球头铣刀半径为实际加工的球头铣刀半径；

设球头铣刀球心处于AB段的A点，球头铣刀表面与凹面倒棱上边缘线接触于点，球头铣刀球心处于AB段的B点，球头铣刀表面分别与凹面和凸面倒棱上边缘线接触于和点（参见说明书附图7），球头铣刀球心处于CD段的C点，球头铣刀表面分别与凹面和凸面倒棱上边缘线接触于和点；球头铣刀球心处于CD段的D点，球头铣刀表面与凸面倒棱上边缘线接触于对应为点（参见说明书附图7）；上述多个点将倒棱区域划分为凹面倒棱区、双侧倒棱区和凸面倒棱区；

在凹面倒棱区段，球头铣刀表面与凹面倒棱上、下边缘线相切，满足和，凹面倒棱球头铣刀球心坐标的求解转化为：

随后采用粒子群算法求解，粒子数为50，迭代数为10000，收敛条件为

；从而得到凹面倒棱球头铣刀球心坐标；设凹面倒棱过程从点到点，凹面倒棱过程中有两种可能的情况：

第一种情况是：凹面倒棱过程中球头铣刀与凸面齿顶不发生切削，此时依照凹面倒棱球头铣刀球心坐标进行加工即可；

第二种情况是：加工位置接近点时，球头铣刀与凸面齿顶发生切削，造成凸面齿顶形状不正确；设点坐标为，若球头铣刀球心到点的距离大于球头铣刀半径，球头铣刀不与凸面发生切削，在求解凹面倒棱球头铣刀球心坐标时添加约束条件如下：

添加约束条件后凹面倒棱过程中球头铣刀无法加工点附近区域，为此截取AB段靠近B点的部分刀路完成点附近区域的加工；

在凸面倒棱区即段，使球头铣刀表面与凸面倒棱上、下边缘线相切，满足和，球头铣刀球心坐标的求解转化为：

随后采用粒子群算法求解，粒子数为50，迭代数为10000，收敛条件为

；从而得到凸面倒棱球头铣刀球心坐标；设凸面倒棱过程从点到点，凸面倒棱过程中有两种可能的情况：

第一种情况：凸面倒棱过程中球头铣刀与凹面齿顶不发生切削，此时依照球头铣刀球心坐标进行加工即可；

第二种情况：加工位置接近点时，球头铣刀与凹面齿顶发生切削，造成凹面齿顶形状不正确；设点坐标为，若球头铣刀球心到点的距离大于球头铣刀半径，球头铣刀不与凹面发生切削，在求解凸面倒棱球头铣刀球心坐标时添加约束条件：

添加约束条件后，凸面倒棱过程中球头铣刀无法加工点附近区域，为此截取CD段靠近C点的部分刀路完成点附近区域的加工；

计算完成后，即可得到倒棱刀具路径；

三、球头铣刀轴线方向确定

设球头铣刀轴线与待加工齿轮轴线垂直；设球头铣刀球心为E，设球头铣刀刀尖点为H点，设刀轴方向角为（参见说明书附图9）；当E位置不变时，改变不影响倒棱加工形状，但会改变齿顶与球头铣刀表面的接触位置；

在双侧倒棱阶段，设凸面倒棱上边缘线与球头铣刀表面接触于点，点投影到球头铣刀轴线上的点为点；设凹面倒棱上边缘线与球头铣刀表面接触于点，点投影到球头铣刀轴线的点为点；以为设计变量，则的变化范围满足约束条件如下：

受到上述约束时即可保证当和点处于EH之间，从而保证了球头铣刀的正常切削；

在凹面倒棱阶段，接触点不存在，约束条件仅剩，凸面倒棱阶段，接触点不存在，约束条件仅剩；对于倒棱刀路上任意离散点，在值的约束条件作用下，存在上边界值和下边界值，计算倒棱刀路每个离散点的和并将其作为纵坐标，以倒棱刀路离散点序号为横坐标，如此得到满足约束条件的刀轴方向角的可行域；

设刀轴方向角上边界倒棱离散点序号最小的U点对应的数值为，刀轴方向角下边界倒棱离散点序号最大的L点对应的数值为（参见说明书附图10）；刀轴方向角在两者之间均匀变化使接触位置均匀分布于球头铣刀表面，从而延长球头铣刀使用寿命；

已知倒棱刀具路径和对应的刀轴方向角，算出在齿轮坐标系中球头铣刀轴线方向为；随后根据球头铣刀轴线方向，确定球头铣刀与待加工齿轮的位置关系，球头铣刀轴线方向逐渐变化，导致球头铣刀表面与齿顶接触位置逐渐变化，从而使接触位置均匀分布在球头铣刀表面；

四、齿轮轴向和周向对刀

设四轴机床坐标系为，待加工齿轮坐标系为，四轴机床坐标系原点O与齿轮坐标系原点重合，四轴机床Z轴和待加工齿轮坐标轴同向，四轴机床X轴和待加工齿轮坐标轴反向；在ABAQUS软件中将齿轮实体模型和机床实体模型放置到装配模块中，将待加工齿轮绕四轴机床Y轴旋转（参见说明书附图13）；

轴向对刀时，将齿顶未倒棱齿轮安装于四轴数控机床A轴的卡盘上，用百分表找正，使齿轮轴线与A轴旋转轴线同轴；将寻边器安装在四轴机床的主轴上，设寻边器半径为；移动四轴机床轴滑台，使四轴机床主轴轴线与四轴机床的A轴旋转轴线相交，将数控系统中四轴机床Y轴数值设为0；移动四轴机床X和四轴机床Z轴滑台，使寻边器与齿轮的小端端面相切，在齿轮坐标系中小端端面与点距离为（参见说明书附图1），将数控系统中X轴数值设为；

周向对刀时，在ABAQUS软件中选定某个不发生球头铣刀刀杆干涉的凸面齿顶线作为对刀基准，保持四轴机床A轴转角不变，移动四轴机床的X、Y、Z轴滑台，使寻边器与选定的凸面齿顶接触，接触判定由ABAQUS软件中模型对象下装配子对象的布尔剪方法实现，以寻边器为剪切工具，以齿轮为被剪切对象，若布尔剪操作成功，表示寻边器与齿轮在空间中有交集，否则无交集；周向对刀的具体方法为：先移动四轴机床X、Y、Z轴滑台，使寻边器和凸面齿顶接近，然后Y轴滑台以步长0.01mm沿Y轴负方向运动，直至寻边器与齿轮有交集，记下四轴机床X、Y、Z轴的数值，将此位置称为周向对刀位置；

实际加工时，四轴机床X、Y、Z轴运动到周向对刀位置，转动A轴，当任意一个凸面齿顶与寻边器接触时，将数控系统中四轴机床A轴数值设为0，如此即完成周向对刀；

五、数控代码生成

设待加工齿轮坐标系中倒棱刀路上任意一点P的坐标为，设球头铣刀轴线方向为；待加工齿轮坐标系中P坐标转化到四轴机床坐标系中变为；待加工齿轮坐标系中球头铣刀轴线方向转化到四轴机床坐标系中变为；

四轴机床A轴转动后P点的球头铣刀轴线方向为Z轴负方向，满足：

A轴转角由上式解出，A轴旋转后使P点到达Q点，移动四轴机床X、Y、Z轴滑台使Q点与球头铣刀球心重合，应有：

上式中、和为四轴机床X、Y、Z轴滑台移动的数值；如此即可得到倒棱刀路上每一个离散点对应的、、；规定机床零点为O点，和从零变为正值时，四轴机床X、Z轴滑台沿X、Z轴正向移动，从零变为正值时，Y轴滑台沿Y轴反向移动；得到倒棱刀路上每一个离散点对应的、、和后就可生成倒棱加工数控代码，即G代码，而后通过G代码即可在四轴机床上完成螺旋锥齿轮齿顶的倒棱加工。

典型案例：

以某个变性法小轮为例进行说明，轮坯几何参数如表1所示，机床调整参数如表2所示。

表1 轮坯几何参数

表2 机床调整参数

在待加工齿轮轴截面上将根锥和面锥分别平均分割得到9个离散点，将根锥和面锥上的离散点相连得到9条齿高线；将共轭齿面与过渡曲面的分界线旋转得到的曲面与齿高线的交点设为分界点，分界点将齿高线分为两部分；将齿高线上靠近齿顶的部分平均分割得到8个共轭齿面点；将齿高线上靠近齿根的部分平均分割得到3个过渡曲面点（参见说明书附图1）；以待加工齿轮轴截面上的共轭齿面点和过渡曲面点为基础，旋转投影得到待加工齿轮的凸面和凹面的齿面离散点；将齿高线对应的凸面线、齿顶线、凹面线和齿根线依次相连，得到单齿轮廓线（参见说明书附图2）；将单齿轮廓线数据输入到ABAQUS软件中，采用放样操作得到单齿实体模型，再将单齿实体模型经旋转阵列后得到齿轮实体模型，然后在齿轮实体模型的齿顶上通过chamfer命令创建倒棱特征，齿顶倒棱宽度设计值为1mm；将倒棱特征与凸面齿顶的交界线设为凸面倒棱上边缘线；将倒棱特征与凹面齿顶的交界线设为凹面倒棱上边缘线；将倒棱特征与凸面齿面的交界线设为凸面倒棱下边缘线；将倒棱特征与凹面齿面的交界线设为凹面倒棱下边缘线（参见说明书附图3）。

在ABAQUS软件中建立齿轮实体模型后，模型中的所有节点（node）将会存储在初始节点集合中；然后采用Python语言对ABAQUS软件进行二次开发， 使用模型(models)对象下的零件(parts)子对象的分割边(PartitionEdgeByParam)方法将凸面倒棱上边缘线、凹面倒棱上边缘线、凸面倒棱下边缘线和凹面倒棱下边缘线分割得到多个分割点，将分割点的坐标添加到零件(parts)子对象下面的节点集合(vertices)中，将节点集合中的节点坐标与初始节点集合中的节点坐标逐一比较，获得分割点的坐标；然后在0～1之间设置800个均匀变化的分割比例系数，从而分别在凸面倒棱上边缘线、凹面倒棱上边缘线、凸面倒棱下边缘线和凹面倒棱下边缘线上提取到均匀分布的800个离散点坐标；随后将齿轮实体模型在小端和大端沿齿宽方向各延伸15mm，然后采用相同的方法分别在凸面倒棱上边缘线、凹面倒棱上边缘线、凸面倒棱下边缘线和凹面倒棱下边缘线的延伸段上提取到均匀分布的800个离散点坐标；设包含延伸段的凸面倒棱上边缘线任意离散点的坐标为，包含延伸段的凸面倒棱下边缘线的为，包含延伸段的凹面倒棱上边缘线的为，包含延伸段的凹面倒棱下边缘线的为，下标i为离散点序号，。

以四轴数控机床上的球头铣刀球心为倒棱球头铣刀路径计算的参考点，设球头铣刀半径为，设齿轮轴线从小端指向大端的单位矢量为Z1轴；设最靠近小端的倒棱边缘线离散点坐标在Z1轴上的坐标为，最远离的为，在和之间均分出400个点，从小端到大端第j个点对应的Z ₁轴坐标为

设穿过Z1轴上点且垂直于Z1轴的平面为；设球头铣刀球心在平面上移动，球头铣刀球心坐标在圆柱坐标系中表示为，其中为极轴长，为极角；球头铣刀球心到凸面倒棱上边缘线上的第i个离散点的距离为

设i取不同值计算得到的距离中的最小值为球头铣刀球心到凸面倒棱上边缘线的距离，即有：

距离是由离散点计算得到的近似值；设球头铣刀球心到凸面倒棱下边缘线距离为，到凹面倒棱上边缘线距离为，到凹面倒棱下边缘线距离为（参见说明书附图4）。

若凸面倒棱上边缘线上存在两个相邻离散点分布于平面两侧，则有：

为满足两侧分布的离散点序号，离散点在圆柱坐标系中极轴长为

当球头铣刀表面与凸面和凹面倒棱上边缘线相切时，满足和，球头铣刀球心坐标的求解转化为如下：

随后采用粒子群算法求解，粒子数为50，迭代数为10000，收敛条件为

；求解得到满足收敛条件的和后，计算得到球头铣刀球心坐标为；遍历所有值，每一个收敛解对应一个球头铣刀球心位置；将各球心依次相连得到双侧倒棱球头铣刀路径（参见说明书附图5）；由于倒棱边缘线存在延伸量，设双侧倒棱球头铣刀路径上实际进行凹面倒棱的部分为AB段；设双侧倒棱球头铣刀路径上实际进行双侧倒棱的部分为BC段；设双侧倒棱球头铣刀路径上实际进行凸面倒棱的部分为CD段；设双侧倒棱球头铣刀路径上第j个点的倒棱形状误差计算公式为：

设为下标j取不同值时中的最大值，简称倒棱误差最大值，当球头铣刀半径在19～22mm之间以0.25mm为幅度变化时，计算对应的，经计算发现当为20.25mm时，的值最小（参见说明书附图6），因此将确定为20.25mm。

设球头铣刀球心处于AB段的A点，球头铣刀表面与凹面倒棱上边缘线接触于点，球头铣刀球心处于AB段的B点，球头铣刀表面分别与凹面和凸面倒棱上边缘线接触于和点，球头铣刀球心处于CD段的C点，球头铣刀表面分别与凹面和凸面倒棱上边缘线接触于和点；球头铣刀球心处于CD段的D点，球头铣刀表面与凸面倒棱上边缘线接触于对应为点；上述多个点将倒棱区域划分为凹面倒棱区、双侧倒棱区和凸面倒棱区（参见说明书附图7）。

在凹面倒棱区段，球头铣刀表面与凹面倒棱上、下边缘线相切，满足和，凹面倒棱球头铣刀球心坐标的求解转化为：

随后采用粒子群算法求解，粒子数为50，迭代数为10000，收敛条件为

；从而得到凹面倒棱球头铣刀球心坐标；设凹面倒棱过程从点到点，凹面倒棱过程中，加工位置接近点时，球头铣刀与凸面齿顶发生切削，造成凸面齿顶形状不正确；设点坐标为，若球头铣刀球心到点的距离大于球头铣刀半径，球头铣刀不与凸面发生切削，在求解凹面倒棱球头铣刀球心坐标时添加约束条件如下：

添加约束条件后凹面倒棱过程中球头铣刀无法加工点附近区域，为此截取AB段靠近B点的部分刀路完成点附近区域的加工。

在凸面倒棱区即段，使球头铣刀表面与凸面倒棱上、下边缘线相切，满足和，球头铣刀球心坐标的求解转化为：

随后采用粒子群算法求解，粒子数为50，迭代数为10000，收敛条件为

；从而得到凸面倒棱球头铣刀球心坐标；设凸面倒棱过程从点到点，凸面倒棱过程中，凸面倒棱过程中球头铣刀与凹面齿顶不发生切削，此时依照球头铣刀球心坐标进行凸面倒棱加工。

计算完成后，即可得到倒棱刀具路径（参见说明书附图8），倒棱刀具路径包含离散点共383个，其中第1～119点为凹面倒棱阶段，第120～231点为双侧倒棱阶段，第232～383点为凸面倒棱阶段；由于求解数学模型不同，凹面、双侧和凸面的倒棱刀路是不连续的；加工时在不连续处需进行提刀、移动、再下刀操作，以免破坏齿顶倒棱表面的形状，提刀量设为10mm。

设球头铣刀轴线与待加工齿轮轴线垂直；设球头铣刀球心为E，设球头铣刀刀尖点为H点，设刀轴方向角为；当E位置不变时，改变不影响倒棱加工形状，但会改变齿顶与球头铣刀表面的接触位置（参见说明书附图9）。

在双侧倒棱阶段，设凸面倒棱上边缘线与球头铣刀表面接触于点，点投影到球头铣刀轴线上的点为点；设凹面倒棱上边缘线与球头铣刀表面接触于点，点投影到球头铣刀轴线的点为点；以为设计变量，则的变化范围满足约束条件如下：

受到上述约束时即可保证当和点处于EH之间，从而保证了球头铣刀的正常切削；

在凹面倒棱阶段，接触点不存在，约束条件仅剩，凸面倒棱阶段，接触点不存在，约束条件仅剩；对于倒棱刀路上任意离散点，在值的约束条件作用下，存在上边界值和下边界值，计算倒棱刀路每个离散点的和并将其作为纵坐标，以倒棱刀路离散点序号为横坐标，如此得到满足约束条件的刀轴方向角的可行域。

设刀轴方向角上边界倒棱离散点序号最小的U点对应的数值为，刀轴方向角下边界倒棱离散点序号最大的L点对应的数值为；刀轴方向角在两者之间均匀变化使接触位置均匀分布于球头铣刀表面（参见说明书附图10）；计算和值，可得倒棱刀路离散点序号与刀具接触位置之间的关系（参见说明书附图11），接触位置比较均匀的分布在刀具表面，刀具表面磨损均匀；

已知倒棱刀具路径某个点的刀轴方向角，算出在齿轮坐标系中球头铣刀轴线方向为；根据单位法矢方向，可确定刀具与齿轮的位置关系（参见说明书附图12）。

设四轴机床坐标系为，待加工齿轮坐标系为，四轴机床坐标系原点O与齿轮坐标系原点重合，四轴机床Z轴和待加工齿轮坐标轴同向，四轴机床X轴和待加工齿轮坐标轴反向；在ABAQUS软件中将齿轮实体模型和机床实体模型放置到装配模块中，将待加工齿轮绕四轴机床Y轴旋转（参见说明书附图13）；

轴向对刀时，将齿顶未倒棱齿轮安装于四轴数控机床A轴的卡盘上，用百分表找正，使齿轮轴线与A轴旋转轴线同轴；将寻边器安装在四轴机床的主轴上，设寻边器半径为5mm。移动四轴机床轴滑台，使四轴机床主轴轴线与四轴机床的A轴旋转轴线相交，将数控系统中四轴机床Y轴数值设为0；移动四轴机床X和四轴机床Z轴滑台，使寻边器与齿轮的小端端面相切（参见说明书附图13），在齿轮坐标系中小端端面与点距离为61.63mm，将数控系统中X轴数值设为。

周向对刀时，在ABAQUS软件中选定齿2的凸面齿顶线作为对刀基准，保持四轴机床A轴转角不变，移动四轴机床的X、Y、Z轴滑台，使寻边器与选定的凸面齿顶接触（参见说明书附图14），接触判定由ABAQUS软件中模型对象下装配子对象的布尔剪方法实现，以寻边器为剪切工具，以齿轮为被剪切对象，若布尔剪操作成功，表示寻边器与齿轮在空间中有交集，否则无交集；周向对刀的具体方法为：先移动四轴机床X、Y、Z轴滑台，使寻边器和凸面齿顶接近，然后Y轴滑台以步长0.01mm沿Y轴负方向运动，直至寻边器与齿轮有交集，记下四轴机床X、Y、Z轴的数值，将此位置称为周向对刀位置。

实际加工时，四轴机床X、Y、Z轴运动到周向对刀位置，转动A轴，当任意一个凸面齿顶与寻边器接触时，将数控系统中四轴机床A轴数值设为0，如此即完成周向对刀。

设待加工齿轮坐标系中倒棱刀路上任意一点P的坐标为，设球头铣刀轴线方向为；待加工齿轮坐标系中P坐标转化到四轴机床坐标系中变为；待加工齿轮坐标系中球头铣刀轴线方向转化到四轴机床坐标系中变为；

四轴机床A轴转动后P点的球头铣刀轴线方向为Z轴负方向，满足：

A轴转角由上式解出，A轴旋转后使P点到达Q点，移动四轴机床X、Y、Z轴滑台使Q点与球头铣刀球心重合，应有：

上式中、和为四轴机床X、Y、Z轴滑台移动的数值；如此即可得到倒棱刀路上每一个离散点对应的、、；规定机床零点为O点，和从零变为正值时，四轴机床X、Z轴滑台沿X、Z轴正向移动，从零变为正值时，Y轴滑台沿Y轴反向移动；得到倒棱刀路上每一个离散点对应的、、和，依据、、和生成倒棱加工数控代码，即G代码。

结果验证

倒棱前将某个齿顶涂红，方便倒棱完成后的尺寸测量。根据G代码完成倒棱加工。将齿轮从机床上卸下，采用游标卡尺测量倒棱宽度，分别在凸面和凹面，小端、中部和大端共6个位置进行测量。测量结果如表3所示，其中凸面小端的倒棱宽度误差最大，数值为0.08mm，倒棱设计值为1mm，相对误差为8%，相对误差在合理范围之内，说明本发明提出的齿顶倒棱计算方法是可行的。

表3 倒棱宽度测量结果（mm）

该倒棱计算方法能够使齿顶倒棱的加工通过四轴机床完成，解决了人工倒棱时存有的生产效率低和加工误差大问题，满足了企业生产使用的需要。

Claims (1)

1.一种基于曲面离散化的螺旋锥齿轮齿顶倒棱计算方法，其特征在于：它包括以下步骤：

一、倒棱特征离散点坐标提取：

1）、在待加工齿轮轴截面上将根锥和面锥分别平均分割得到多个离散点，将根锥和面锥上的离散点相连得到多条齿高线；

2）、将共轭齿面与过渡曲面的分界线旋转得到的曲面与齿高线的交点设为分界点，分界点将齿高线分为两部分；将齿高线上靠近齿顶的部分平均分割得到多个共轭齿面点；将齿高线上靠近齿根的部分平均分割得到多个过渡曲面点；

3）、以待加工齿轮轴截面上的共轭齿面点和过渡曲面点为基础，旋转投影得到待加工齿轮的凸面和凹面的齿面离散点；

4）、将齿高线对应的凸面线、齿顶线、凹面线和齿根线依次相连，得到单齿轮廓线；

5）、将单齿轮廓线数据输入到ABAQUS软件中，采用放样操作得到单齿实体模型，再将单齿实体模型经旋转阵列后得到齿轮实体模型，然后在齿轮实体模型的齿顶上通过chamfer命令创建倒棱特征；将倒棱特征与凸面齿顶的交界线设为凸面倒棱上边缘线；将倒棱特征与凹面齿顶的交界线设为凹面倒棱上边缘线；将倒棱特征与凸面齿面的交界线设为凸面倒棱下边缘线；将倒棱特征与凹面齿面的交界线设为凹面倒棱下边缘线；

6）、在ABAQUS软件中建立齿轮实体模型后，模型中的所有节点将会存储在初始节点集合中；然后采用Python语言对ABAQUS软件进行二次开发，使用模型对象下的零件子对象的分割边方法将凸面倒棱上边缘线、凹面倒棱上边缘线、凸面倒棱下边缘线和凹面倒棱下边缘线分割得到多个分割点，将分割点的坐标添加到零件子对象下面的节点集合中，将节点集合中的节点坐标与初始节点集合中的节点坐标逐一比较，获得分割点的坐标；然后在0~1之间设置均匀变化的分割比例系数，从而在凸面倒棱上边缘线、凹面倒棱上边缘线、凸面倒棱下边缘线和凹面倒棱下边缘线上提取到均匀分布的离散点坐标；随后将齿轮实体模型在小端和大端沿齿宽方向各延伸一段距离，然后重复步骤6）中的方法得到延伸段离散点坐标；

设包含延伸段的凸面倒棱上边缘线任意离散点的坐标为，包含延伸段的凸面倒棱下边缘线的为，包含延伸段的凹面倒棱上边缘线的为，包含延伸段的凹面倒棱下边缘线的为，下标i为离散点序号，设离散点总数为m，；

二、倒棱球头铣刀路径计算：

以四轴数控机床上的球头铣刀球心为倒棱球头铣刀路径计算的参考点，设球头铣刀半径为，设齿轮轴线从小端指向大端的单位矢量为Z1轴；设最靠近小端的倒棱边缘线离散点坐标在Z1轴上的坐标为，最远离的为，在和之间均分出个点，将n记为轴向离散点数，从小端到大端第j个点对应的Z1轴坐标为

设穿过Z1轴上点且垂直于Z1轴的平面为；设球头铣刀球心在平面上移动，球头铣刀球心坐标在圆柱坐标系中表示为，其中为极轴长，为极角；球头铣刀球心到凸面倒棱上边缘线上的第i个离散点的距离为

设i取不同值计算得到的距离中的最小值为球头铣刀球心到凸面倒棱上边缘线的距离，即有：

距离是由离散点计算得到的近似值，离散点数越多，近似精度越高；设球头铣刀球心到凸面倒棱下边缘线距离为，到凹面倒棱上边缘线距离为，到凹面倒棱下边缘线距离为；

若凸面倒棱上边缘线上存在两个相邻离散点分布于平面两侧，则有：

为满足两侧分布的离散点序号，离散点在圆柱坐标系中极轴长为

当球头铣刀表面与凸面和凹面倒棱上边缘线相切时，满足和，球头铣刀球心坐标的求解转化为如下：

随后采用粒子群算法求解，粒子数为50，迭代数为10000，收敛条件为

；求解得到满足收敛条件的和后，计算得到球头铣刀球心坐标为；遍历所有值，每一个收敛解对应一个球头铣刀球心位置；将各球心依次相连得到双侧倒棱球头铣刀路径；由于倒棱边缘线存在延伸量，设双侧倒棱球头铣刀路径上实际进行凹面倒棱的部分为AB段；设双侧倒棱球头铣刀路径上实际进行双侧倒棱的部分为BC段；设双侧倒棱球头铣刀路径上实际进行凸面倒棱的部分为CD段；

设双侧倒棱球头铣刀路径上第j个点的倒棱形状误差计算公式为：

设为下标j取不同值时中的最大值，简称倒棱误差最大值，试算不同球头铣刀半径对应的，取其中最小值对应的球头铣刀半径为实际加工的球头铣刀半径；

设球头铣刀球心处于AB段的A点，球头铣刀表面与凹面倒棱上边缘线接触于点，球头铣刀球心处于AB段的B点，球头铣刀表面分别与凹面和凸面倒棱上边缘线接触于和点，球头铣刀球心处于CD段的C点，球头铣刀表面分别与凹面和凸面倒棱上边缘线接触于和点；球头铣刀球心处于CD段的D点，球头铣刀表面与凸面倒棱上边缘线接触于对应为点；上述多个点将倒棱区域划分为凹面倒棱区、双侧倒棱区和凸面倒棱区；

在凹面倒棱区段，球头铣刀表面与凹面倒棱上、下边缘线相切，满足和，凹面倒棱球头铣刀球心坐标的求解转化为：

随后采用粒子群算法求解，粒子数为50，迭代数为10000，收敛条件为

；从而得到凹面倒棱球头铣刀球心坐标；设凹面倒棱过程从点到点，凹面倒棱过程中有两种可能的情况：

第一种情况是：凹面倒棱过程中球头铣刀与凸面齿顶不发生切削，此时依照凹面倒棱球头铣刀球心坐标进行加工即可；

第二种情况是：加工位置接近点时，球头铣刀与凸面齿顶发生切削，造成凸面齿顶形状不正确；设点坐标为，若球头铣刀球心到点的距离大于球头铣刀半径，球头铣刀不与凸面发生切削，在求解凹面倒棱球头铣刀球心坐标时添加约束条件如下：

添加约束条件后凹面倒棱过程中球头铣刀无法加工点附近区域，为此截取AB段靠近B点的部分刀路完成点附近区域的加工；

在凸面倒棱区即段，使球头铣刀表面与凸面倒棱上、下边缘线相切，满足和，球头铣刀球心坐标的求解转化为：

随后采用粒子群算法求解，粒子数为50，迭代数为10000，收敛条件为

；从而得到凸面倒棱球头铣刀球心坐标；设凸面倒棱过程从点到点，凸面倒棱过程中有两种可能的情况：

第一种情况：凸面倒棱过程中球头铣刀与凹面齿顶不发生切削，此时依照球头铣刀球心坐标进行加工即可；

第二种情况：加工位置接近点时，球头铣刀与凹面齿顶发生切削，造成凹面齿顶形状不正确；设点坐标为，若球头铣刀球心到点的距离大于球头铣刀半径，球头铣刀不与凹面发生切削，在求解凸面倒棱球头铣刀球心坐标时添加约束条件：

添加约束条件后，凸面倒棱过程中球头铣刀无法加工点附近区域，为此截取CD段靠近C点的部分刀路完成点附近区域的加工；

计算完成后，即可得到倒棱刀具路径；

三、球头铣刀轴线方向确定：

设球头铣刀轴线与待加工齿轮轴线垂直；设球头铣刀球心为E，设球头铣刀刀尖点为H点，设刀轴方向角为；当E位置不变时，改变不影响倒棱加工形状，但会改变齿顶与球头铣刀表面的接触位置；

在双侧倒棱阶段，设凸面倒棱上边缘线与球头铣刀表面接触于点，点投影到球头铣刀轴线上的点为点；设凹面倒棱上边缘线与球头铣刀表面接触于点，点投影到球头铣刀轴线的点为点；以为设计变量，则的变化范围满足约束条件如下：

受到上述约束时即可保证当和点处于EH之间，从而保证了球头铣刀的正常切削；

在凹面倒棱阶段，接触点不存在，约束条件仅剩，凸面倒棱阶段，接触点不存在，约束条件仅剩；对于倒棱刀路上任意离散点，在值的约束条件作用下，存在上边界值和下边界值，计算倒棱刀路每个离散点的和并将其作为纵坐标，以倒棱刀路离散点序号为横坐标，如此得到满足约束条件的刀轴方向角的可行域；

设刀轴方向角上边界倒棱离散点序号最小的U点对应的数值为，刀轴方向角下边界倒棱离散点序号最大的L点对应的数值为；刀轴方向角在两者之间均匀变化使接触位置均匀分布于球头铣刀表面，从而延长球头铣刀使用寿命；

已知倒棱刀具路径和对应的刀轴方向角，算出在齿轮坐标系中球头铣刀轴线方向为；随后根据球头铣刀轴线方向，确定球头铣刀与待加工齿轮的位置关系，球头铣刀轴线方向逐渐变化，导致球头铣刀表面与齿顶接触位置逐渐变化，从而使接触位置均匀分布在球头铣刀表面；

四、齿轮轴向和周向对刀：

设四轴机床坐标系为，待加工齿轮坐标系为，四轴机床坐标系原点O与齿轮坐标系原点重合，四轴机床Z轴和待加工齿轮坐标轴同向，四轴机床X轴和待加工齿轮坐标轴反向；在ABAQUS软件中将齿轮实体模型和机床实体模型放置到装配模块中，将待加工齿轮绕四轴机床Y轴旋转；

轴向对刀时，将齿顶未倒棱齿轮安装于四轴数控机床A轴的卡盘上，用百分表找正，使齿轮轴线与A轴旋转轴线同轴；将寻边器安装在四轴机床的主轴上，设寻边器半径为；移动四轴机床轴滑台，使四轴机床主轴轴线与四轴机床的A轴旋转轴线相交，将数控系统中四轴机床Y轴数值设为0；移动四轴机床X和四轴机床Z轴滑台，使寻边器与齿轮的小端端面相切，在齿轮坐标系中小端端面与点距离为，将数控系统中X轴数值设为；

周向对刀时，在ABAQUS软件中选定某个不发生球头铣刀刀杆干涉的凸面齿顶线作为对刀基准，保持四轴机床A轴转角不变，移动四轴机床的X、Y、Z轴滑台，使寻边器与选定的凸面齿顶接触，接触判定由ABAQUS软件中模型对象下装配子对象的布尔剪方法实现，以寻边器为剪切工具，以齿轮为被剪切对象，若布尔剪操作成功，表示寻边器与齿轮在空间中有交集，否则无交集；周向对刀的具体方法为：先移动四轴机床X、Y、Z轴滑台，使寻边器和凸面齿顶接近，然后Y轴滑台以步长0.01mm沿Y轴负方向运动，直至寻边器与齿轮有交集，记下四轴机床X、Y、Z轴的数值，将此位置称为周向对刀位置；

实际加工时，四轴机床X、Y、Z轴运动到周向对刀位置，转动A轴，当任意一个凸面齿顶与寻边器接触时，将数控系统中四轴机床A轴数值设为0，如此即完成周向对刀；

五、数控代码生成：

设待加工齿轮坐标系中倒棱刀路上任意一点P的坐标为，设球头铣刀轴线方向为；待加工齿轮坐标系中P坐标转化到四轴机床坐标系中变为；待加工齿轮坐标系中球头铣刀轴线方向转化到四轴机床坐标系中变为；

四轴机床A轴转动后P点的球头铣刀轴线方向为Z轴负方向，满足：

A轴转角由上式解出，A轴旋转后使P点到达Q点，移动四轴机床X、Y、Z轴滑台使Q点与球头铣刀球心重合，应有：

上式中、和为四轴机床X、Y、Z轴滑台移动的数值；如此即可得到倒棱刀路上每一个离散点对应的、、；规定机床零点为O点，和从零变为正值时，四轴机床X、Z轴滑台沿X、Z轴正向移动，从零变为正值时，Y轴滑台沿Y轴反向移动；得到倒棱刀路上每一个离散点对应的、、和后就可生成倒棱加工数控代码，即G代码，而后通过G代码即可在四轴机床上完成螺旋锥齿轮齿顶的倒棱加工。