CN106842947B - 一种城市排水管网的安全运行控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种城市排水管网的安全运行控制方法。目前我国城市排水管网系统难以直接测量管道内水流水位、水压和流速等状态信息，而且从控制输入到水流状态变化需要经历较长的时延，给排水管道防止溢出的安全运行控制带来了很大困难，目前缺乏有效、及时的安全运行控制方法。本发明利用时延补偿比例积分观测器对排水管道的水流状态进行估计和重构，并进行基于观测器的反馈控制设计，利用分离原理和兰伯特(Lambert)W函数等方法，分别进行观测器和控制器增益求解。本发明解决了城市排水管道防止溢出的安全运行控制的困难，满足实际安全运行控制的准确性和实时性要求，有助于现代城市排水管网系统的安全可靠运行。

Description

一种城市排水管网的安全运行控制方法

技术领域

本发明属于自动控制技术领域，涉及一种利用时延补偿观测器进行排水管道水流状态估计、并基于该观测器实现排水管网防止溢出的安全运行控制方法，可用于城市排水行业。

背景技术

城市排水管网系统是现代城市重要的基础设施，被称为“城市的生命线”。城市排水系统的任务是收集、输送和排放城市生活污水、工业废水、大气降水径流和其它弃水，排水管网系统的安全运行是现代城市生产和生活的前提和保障。我国城市污水溢出严重、城市内涝频发，已成为城市排水管网系统安全运行的主要问题。

随着城市化的飞速发展，现代城市排水管网系统规模越来越大、结构越来越复杂。由于城市排水管渠通常运行在非满管状态，现有流量计难以准确测得水位和流量等数据，无法进行溢流的准确测量及定位，因而缺乏排水管道防止溢流的安全运行控制的有效方法，严重威胁着日常的安全健康和社会的可持续发展。

虽然，近年来各种监测技术在城市排水系统中大量使用，为解决我国城市排水管网的溢流问题提供了信息化手段，但是通常仅限于排水泵站的提升流量和蓄水池的液位等少数指标和少量点的检测。当前技术还不能利用监测数据获知排水管网的水流状况，无法为排水管网防止溢流的安全控制提供信息。另一方面，通常排水管道水流状态控制只能通过调节流进和流出管道的水流量之差来实现。而且，从泵站和蓄水池等阀门开启到排水管道水流状态变化之间的控制输入时延较大，给排水管道防止溢出的安全运行控制的及时性、有效性增加了困难，急需应用新方法来改善这一现状。

发明内容

本发明针对目前我国城市排水管网系统无法进行及时准确的防止管道溢流控制方法的缺失，提供一种城市排水管网安全运行控制的新方法。

本发明采用基于时延补偿观测器的控制方法，通过设计时延补偿比例积分(PI)观测器，进行排水管道水流状态的估计与重构，然后基于观测器和控制器设计的分离原理，分别利用极点配置和兰伯特(Lambert)W函数方法进行控制器和观测器的设计，从而为城市排水管网防止溢流的安全运行控制提供了及时有效的方法。

本发明方法的具体步骤是：

1.建立被控对象的线性状态空间模型。

首先，基于管道的结构信息和水力学原理，建立排水管道水流状态的圣维南(Saint-Venant)方程。

然后，根据实际排水管道的动态特性数据获得输入控制时延的估计，结合实际排水管道边界条件，将圣维南方程进行线性化，得到线性化的排水管道水流状态动态方程，

y(t)＝Cx(t)

其中x(t)＝[x₁(t),x₂(t),x₃(t)]^T表示t时刻排水管道内的水流状态向量，x₁(t)、x₂(t)、x₃(t)分别表示t时刻的水位高度值、水压值和水流速度值，当x(t)的值大于预设的允许值时表示排水管发生了溢出；u(t)表示t时刻的控制输入量，为排水管道上游进入管道的水流量与排水管道下游流出管道的水流量之差；正标量d为控制输入时延，表示由泵站和蓄水池等阀门开启到排水管道水流状态变化之间的控制输入时延；系统的初始条件由已知向量函数ν(t)∈R^3×1,t∈[-d,0]给定，其中R^n×m表示n×m维的实数空间，m,n为自然数；y(t)∈R^p×1为排水管道系统的测量输出向量，其中p为实际排水管网系统测量输出的维数；A、B和C为维数适当的已知定常矩阵。

最后，利用实测数据和计算机仿真技术进行模型校验和修正。

2.基于时延补偿观测器的反馈控制结构。

第一步：引入时延补偿PI观测器

根据实际被控对象的控制输入中存在时延d>0，引入时延补偿观测器，为了可以更加充分利用观测器信息，减小观测器的估计误差，且增加设计的自由度，引入比例积分(PI)类型的观测器。

观测器动态方程为

其中为观测器的状态向量，表示向量x(t)的估计值；向量γ(t)满足其中L₁、L₂为待求的观测器增益矩阵，具有适当的维数，向量α(t)和β(t)满足关系：

因此，可建立观测器的动态方程

定义观测器误差并定义向量则可得观测器误差的动态方程：

第二步：基于时延补偿PI观测器的反馈控制

利用前面设计的观测器可获得排水管道水流状态的重构值即水流状态向量x(t)的估计值，由此构造排水管网系统的反馈控制律其中K∈R^1×3为待求的控制器增益矩阵。在进行反馈控制器设计时，参考输入为零，即r(t)＝0。

选择增广向量ξ(t)＝[x(t)e(t)Φ(t)]^T，可得增广系统动态方程

其中

式中I表示维数适当的单位矩阵。

由此，将具有控制输入延时的原排水系统水流状态方程转化为上述具有状态时延的增广系统方程。

下面将通过积分变换、极点配置和泛函微分方程理论等方法对控制器和观测器进行求解。

3.控制器与观测器求解

对式进行拉普拉斯变换，可得其特征方程

即

式中s为拉普拉斯算子。

进一步利用对角矩阵特性，求解方程

det(Γ(s))＝det{sI-(A+BK)}·det{sI-A+(L₁+L₂)Ce^-sd}＝0

其中det(Γ(s))为矩阵Γ(s)的行列式，可得待设计矩阵K、L₁、L₂的相应值。

由于观测器和控制器设计遵循控制理论中著名的“分离原理”，即控制器增益矩阵K和观测器增益矩阵L₁、L₂可以分别设计，下面将进行分别求解。

第一步：求解控制器增益矩阵K。

由于控制器满足的特征方程det{sI-(A+BK)}＝0中只有一个未知矩阵K，所以利用现代控制理论中的极点配置标准方法，即可求解出满足要求的控制增益矩阵K，使闭环反馈控制系统的极点配置在给定值。

第二步：求解观测器增益矩阵L₁和L₂。

令det{sI-A+(L₁+L₂)Ce^-sd}＝0，针对这个包含e^-sd因子的无穷维方程，利用泛函微分方程理论中的兰伯特W函数(Lambert W function)方法，可求解观测器矩阵L＝L₁+L₂的值，具体步骤如下。

定义W_k(H_k)为矩阵兰伯特W函数的第k个分支，其中H_k＝LCdQ_k，k＝-∞，…，-1，0，1，…∞，且W_k(H_k)满足其中未知矩阵Q_k和S_k满足

通过设定S_k的极点确定对应的一个可行的S_k值，由上述第一式求得函数W_k(LCdQ_k)的值，代入上述第二式可计算出矩阵L＝L₁+L₂的值，再将求得的矩阵L分解为两个观测器增益矩阵L₁和L₂；对于实际城市排水管道，令k＝0，并按上述方法顺序求解出满足要求的观测器增益矩阵L₁和L₂的值，并使矩阵A-L₁C和A-L₂C均具有负实部。

本发明是针对现代城市排水管网无法进行及时准确估计和难以安全控制的问题，提出了时延补偿观测器和基于观测器的反馈控制方法。本发明采用时延补偿比例积分(PI)观测器将输入时延系统转化为状态时延系统，对水流状态进行准确估计和重构，并提出了基于观测器的控制结构，最后利用分离原理和微分方程理论分别对控制器和观测器增益进行求解。利用本发明的方法，可以对城市排水管道中的水流状态进行准确估计，从而重构出系统的状态信息，并基于该观测器对污水溢出进行及时可靠的安全控制，提高了估计和控制的快速性和准确性，满足城市排水系统防止溢出的安全运行控制的实际需求。

附图说明

图1为时延补偿观测器。

具体实施方法

本发明的详细实施方法如下：

1.建立城市排水管道的状态空间建模。

1)基于管道、节点、蓄水池和泵站等拓扑结构和几何数据信息，利用质量、能量和动量方程等水力学原理，建立描述排水管道水流状态(包括水位、水压和流速)的圣维南(Saint-Venant)方程。

2)根据实际排水管道特性，利用时延数据获得从泵站和蓄水池阀门开启到排水管道水流状态变化之间的控制输入时延d。然后，结合实际的排水管道的入口、出口和结构等边界条件，利用泰勒级数展开方法将前面的圣维南方程进行线性化，得到排水管道水流状态的线性化动态方程，其状态空间模型如下

y(t)＝Cx(t)

其中x(t)＝[x₁(t),x₂(t),x₃(t)]^T为t时刻排水管道内的水流状态向量，x₁(t)为t时刻的水位高度值，x₂(t)为t时刻的水压值，x₃(t)为t时刻水流速度值，当x(t)的值大于预设的允许值x_allow时表示排水管发生了溢出，对不同的排水管网有不同的允许值x_allow；u(t)表示t时刻的控制输入量，为t时刻排水管道上游进入管道的水流量u_in与排水管道下游流出管道的水流量u_out之间的差值；正标量d为控制输入时延，表示上游实际排水管道中由泵站和蓄水池等阀门开启到下游排水管道水流状态变化之间的控制输入时延；向量函数ν(t)∈R^3×1,t∈[-d,0]的值已知，表示系统的初始条件，其中R^n×m表示n×m维的实数空间，m,n为自然数；y(t)∈R^p×1为p维的排水管道系统测量输出量，其中p为实际排水管网系统实际测量输出的维数，对于不同的排水管道，其测量输出y(t)的维数p不一样，例如：只能对水位高度、水压和水流速度中一个变量进行测量的排水系统p＝1，对于水位高度、水压和水流速度中两个变量可测量的排水系统p＝2，若水位高度、水压和水流速度均可测量的排水系统p＝3；A∈R^3×3、B∈R^3×1和C∈R^p×3为已知定常矩阵。

3)基于模型降阶和近似方法，利用实测数据和计算机仿真技术对第2)步得到的系统状态空间模型进行校验，并对其矩阵参数A、B和C及控制输入时延d进行修正，建立实际排水管网系统水流状态的动态方程。

2.基于时延补偿观测器的反馈控制结构。

第一步：引入时延补偿PI观测器

根据实际排水管道控制输入中存在的时延d>0，引入如图1所示的时延补偿观测器。而且为了更加充分利用观测器的信息，减小观测器的估计误差，引入了比例积分(PI)类型的观测器。与单纯的比例观测器(L₂＝0，即没有通道L₂)，比例积分(PI)观测器不但可以降低观测器误差，还可以多引入一个设计参数L₂，增加了设计自由度。

在进行反馈控制器设计时，图1中的参考输入为零，即r(t)＝0，因而观测器动态方程为

其中为观测器的状态向量，表示向量x(t)的估计值；由图1可知，向量γ(t)满足其中L₁∈R^3×p、L₂∈R^3×p为待求的观测器增益矩阵，向量α(t)和β(t)满足关系：

因此，可建立观测器的动态方程

定义观测器误差则可得观测器误差的动态方程：

定义向量则有

即观测器误差的动态方程可表示为

第二步：基于时延补偿PI观测器的反馈控制

由于实际排水管道中水流状态x(t)难以准确测量，因而无法设计状态反馈控制器。本发明中基于观测器重构原系统的状态，利用水流状态向量的估计值即水流状态向量x(t)的重构值，替换原系统的状态向量，可构成图1所示的反馈控制结构，即反馈控制律为其中K∈R^1×3为待求的控制器增益矩阵。

选择增广向量ξ(t)＝[x(t)e(t)Φ(t)]^T，则得增广系统的动态方程

其中I表示维数适当的单位矩阵。

引入矩阵

则增广系统的动态方程可表示为

由此，将具有控制输入延时的原系统方程转化为上述具有状态时延的增广系统方程。下面将通过积分变换、极点配置和泛函微分方程理论等方法对控制器和观测器进行设计。

3.控制器与观测器求解

对时延微分方程进行拉普拉斯变换，可得增广系统对应的特征方程

即

式中s为拉普拉斯算子。

上式对应的特征多项式就是Γ(s)的行列式，

det(Γ(s))＝det{sI-(A+BK)}·det{sI-A+(L₁+L₂)Ce^-sd}

求解特征方程det(Γ(s))＝0，可得待求矩阵K、L₁、L₂的相应值。

由于观测器和控制器设计遵循控制理论中著名的“分离原理”，即控制器增益矩阵K和观测器增益矩阵L₁、L₂可以分别设计，下面将利用分离原理进行分别求解。

第一步：求解控制器增益矩阵K。

令det{sI-(A+BK)}＝0，即为控制器设计的特征方程。

由于特征方程det{sI-(A+BK)}＝0中只有一个未知矩阵K，所以可以利用现代控制理论中的极点配置方法求解控制增益矩阵K：1)设闭环反馈控制系统的极点为λ₁＝-a₀,λ_2,3＝-a±bj，其中a₀＞0，a＞0，b＞0为给定的实数，即三个极点均配置在复平面的左半平面，保证闭环反馈控制系统的稳定。2)利用前一步给定的λ₁,λ₂,λ₃的值，求得对应的特征多项式f₁(s)＝(s-λ₁)(s-λ₂)(s-λ₃)。3)设待求的控制器增益矩阵为K＝[k₁,k₂,k₃]，其中k₁、k₂、k₃为实数，代入det{sI-(A+BK)}可得特征多项式f₂(s,k₁,k₂,k₃)＝det{sI-(A+B[k₁,k₂,k₃])}。4)令f₁(s)和f₂(s,k₁,k₂,k₃)对应多项式的系数相等，即可求得K＝[k₁,k₂,k₃]的具体值。若系统矩阵A不是可控标准型形式，还需利用现代控制理论中的矩阵相似变换方法，将其变换为可控标准型。

第二步：求解观测器增益矩阵L₁和L₂。

与第一步中控制器增益求解方法类似，令det{sI-A+LCe^-sd}＝0，L＝L₁+L₂，可得比例积分(PI)观测器增益矩阵满足的特征方程。由于该特征方程中包含系数e^-sd，这是一个超越方程，具有无穷维性质，其解析求解很困难，不能直接利用第一步的极点配置方法获得L₁和L₂的值。

本发明利用泛函微分方程理论中的兰伯特W函数(Lambert W function)方法,矩阵L＝L₁+L₂的值可以按下述步骤进行求解。

定义W_k(H_k)为矩阵兰伯特W函数的第k个分支，其中H_k＝LCdQ_k，k＝-∞，…，-1，0，1，…∞，且W_k(H_k)满足其中未知矩阵Q_k和S_k满足

对于实际城市排水系统，根据已知的A、B、C和d的值，可按下述步骤顺序进行求解：1)令k＝0，可以设定S₀的3个特征值λ_S01,λ_S02,λ_S03，并确定与这3个特征值对应的一个矩阵S₀的可行值。2)根据已知的矩阵A和时延d的值，利用前一步求得的S₀值和上述第一个方程(k＝0)，即W₀(LCdQ₀)＝dS₀-dA，可求得矩阵函数W₀(LCdQ₀)的一个可行解。3)将W₀(LCdQ₀)的值代入上述第二式(k＝0),可计算出矩阵LC的一个可行解。4)再根据已知矩阵C的值，利用迭代数值求解方法，求得满足等式约束的一个可行矩阵解L₀。若无法求得可行的矩阵解L₀，则需返回第1)步，再次设置S₀的3个不同的特征值λ_S01,λ_S02,λ_S03，并重复上述求解过程，直到获得矩阵L的一个可行解L₀。5)将求得的矩阵L₀分解为两个可行的观测器增益矩阵L₁和L₂满足L₀＝L₁+L₂，并使矩阵A-L₁C和A-L₂C均具有负实部。

Claims (1)

1.一种城市排水管网的安全运行控制方法，其特征在于，该方法具体包括以下步骤：

步骤一：建立被控对象的线性状态空间模型；

首先，基于管道的结构信息和水力学原理，建立排水管道水流状态的圣维南方程；

然后，根据实际排水管道的动态特性数据获得控制输入时延的估计，结合实际排水管道边界条件，将圣维南方程进行线性化，得到线性化的排水管道水流状态动态方程，

y(t)＝Cx(t)

其中x(t)＝[x₁(t),x₂(t),x₃(t)]^T表示t时刻排水管道内的水流状态向量，x₁(t)、x₂(t)、x₃(t)分别表示t时刻的水位高度值、水压值和水流速度值，当x(t)的值大于预设的允许值时表示排水管发生了溢出；u(t)表示t时刻的控制输入量，为排水管道上游进入管道的水流量与排水管道下游流出管道的水流量之差；正标量d为控制输入时延，表示由泵站和蓄水池的阀门开启到排水管道水流状态变化之间的控制输入时延；系统的初始条件由已知向量函数ν(t)∈R^3×1,t∈[-d,0]给定，其中R^n×m表示n×m维的实数空间，m,n为自然数；y(t)∈R^p×1为排水管道系统的测量输出向量，其中p为实际排水管网系统测量输出的维数；A、B和C为维数适当的已知定常矩阵；

利用实测数据和计算机仿真技术进行模型校验和修正；

步骤二：基于时延补偿观测器的反馈控制结构；

第一步：引入时延补偿PI观测器

根据实际被控对象的控制输入中存在时延d>0，引入时延补偿观测器；为了可以更加充分利用观测器信息，减小观测器的估计误差，且增加设计的自由度，引入比例积分类型的观测器；

观测器动态方程为

其中为观测器的状态向量，表示向量x(t)的估计值；向量γ(t)满足其中L₁、L₂为待求的观测器增益矩阵，具有适当的维数，向量α(t)和β(t)满足关系：

因此，可建立观测器的动态方程

定义观测器误差并定义向量则可得观测器误差的动态方程：

第二步：基于时延补偿PI观测器的反馈控制

利用观测器获得排水管道水流状态的重构值即水流状态向量x(t)的估计值，由此构造排水管网系统的反馈控制律其中K∈R^1×3为待求的控制器增益矩阵；在进行反馈控制器设计时,参考输入为零，即r(t)＝0；

选择增广向量ξ(t)＝[x(t) e(t) Φ(t)]^T，可得增广系统动态方程

其中

式中I表示维数适当的单位矩阵；

由此，将具有控制输入延时的原排水系统水流状态方程转化为上述具有状态时延的增广系统方程；

步骤三：控制器与观测器求解

对式进行拉普拉斯变换，可得其特征方程

即

式中s为拉普拉斯算子；

进一步利用对角矩阵特性，求解方程

det(Γ(s))＝det{sI-(A+BK)}·det{sI-A+(L₁+L₂)Ce^-sd}＝0

其中det(Γ(s))为矩阵Γ(s)的行列式，可得待设计矩阵K、L₁、L₂的相应值；

由于观测器和控制器设计遵循控制理论中著名的“分离原理”，即控制器增益矩阵K和观测器增益矩阵L₁、L₂可以分别设计，下面将进行分别求解；

第一步：求解控制器增益矩阵K；

由于控制器满足的特征方程det{sI-(A+BK)}＝0中只有一个未知矩阵K，所以利用现代控制理论中的极点配置标准方法，即可求解出满足要求的控制增益矩阵K，使闭环反馈控制系统的极点配置在给定值；

第二步：求解观测器增益矩阵L₁和L₂；

令det{sI-A+(L₁+L₂)Ce^-sd}＝0，针对这个包含e^-sd因子的无穷维方程，利用泛函微分方程理论中的兰伯特W函数方法，可求解观测器矩阵L＝L₁+L₂的值，具体步骤如下；

定义W_k(H_k)为矩阵兰伯特W函数的第k个分支，其中H_k＝LCdQ_k，k＝-∞，…，-1，0，1，…∞，且W_k(H_k)满足其中未知矩阵Q_k和S_k满足

通过设定S_k的极点可确定对应的一个可行的S_k值，由上述第一式求得函数W_k(LCdQ_k)的值，代入上述第二式可计算出矩阵L＝L₁+L₂的值，再将求得的矩阵L分解为两个观测器增益矩阵L₁和L₂；对于实际城市排水管道，可令k＝0，并按上述方法顺序求解出，直到获得矩阵L的一个可行解L₀，并使矩阵A-L₁C和A-L₂C均具有负实部。