CN110158737B - 一种城市水务系统的雨水排放控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种城市水务系统的雨水排放控制方法。目前城市水务系统无法准确地预测降雨量，给城市排水系统带来了很大困难，易引发城市内涝。本发明方法包括建立被控对象的状态空间模型、静态输出反馈控制器结构、静态输出反馈控制器求解。本发明基于具有分段常数转移概率的马尔可夫跳变系统，建立城市排水管网雨水排放的数学模型。利用随机分析方法和矩阵奇异值分解方法，设计出相应的静态输出反馈控制器。本发明中使用的静态输出反馈控制器结构简单，只需要用到外部可测信号，易于实现，同时也能达到较好的控制要求。本发明为城市排水系统控制提供了有效的方法，有助于减少城市内涝的发生。

Description

一种城市水务系统的雨水排放控制方法

技术领域

本发明属于自动化控制技术领域，涉及一种城市水务系统的雨水排放控制方法，具体是一种分段常数转移概率的马尔可夫跳变系统，利用静态输出反馈控制实现对城市水务系统的雨水排放的控制方法，实现城市水务系统强降雨情况下雨水排放的有效调节。

背景技术

强降雨对现代化城市的排水系统来说是一个严峻挑战，尤其是经常受台风气象灾害影响的城市。例如位于我国东南沿海的福州和温州，常年受到台风天气带来的强降雨影响，市区易发生内涝。据统计，2017年部分沿海省份的主要城市，如广州、福州、杭州、上海及南京的降雨量都超过了1000mm，个别城市如广州甚至超过2000mm。大量雨水短时间内直接排入下水道以及河道排水系统中，给城市排水系统带来了很大困难，极易引发城市内涝，对人们的生活和安全产生了很大影响。

参考我国气象部门的标准，并根据降雨量对排水管网中水流量和水位的影响，可将降雨强度划分为四个不同的模态，即无降雨和降雨速率小于0.25mm/h的零星小雨，降雨速率在0.25mm/h和4.0mm/h之间的小雨和中雨，降雨速率在4.0mm/h和16.0mm/h之间的大雨，降雨速率大于16.0mm/h的暴雨。影响降雨量的因素有很多，如温度、季风、大气对流以及地形条件。在这些复杂因素的共同作用下，使得某一地区的降雨过程存在着显著的随机性和不确定性。某地的降雨过程及对排水管网水流状态的影响，可以认为在上述四个不同模态之间进行随机跳变，且模态之间随机跳变符合马尔可夫特性，由此可建立降雨过程的随机跳变模型。

此外，在不同季节和温度，降雨的概率会呈现较大的差异，可以将某地的气温进行分段，在同一温度区间内不同降雨模态之间随机跳变的概率保持不变，但是不同降雨模态之间随机跳变的概率随着温度区间改变而变化。因此，可以将某地的气温进行适当分区，利用不同的分段常数转移概率来表示不同温度区间的降雨概率。将某地一天中主要出现的温度段划分为四个温度区间，例如在夏天，分为低于25℃、25℃～30℃、30℃～35℃和高于35℃。在其他季节，也可进行相应的温度区间划分，如冬天，分为低于-5℃、-5℃～0℃、0℃～5℃和高于5℃。按上述方法，针对某地的降雨过程，建立了一个具有分段转移概率的马尔可夫跳变模型。根据四个降雨强度对应的马尔可夫跳变模态，结合四个不同温度区间的切换模态，设计出合适的静态输出反馈控制器以达到对城市排水系统雨水排放的有效控制。

发明内容

本发明的目的是针对我国目前城市水务系统无法准确地预测降雨量，从而强降雨天气下导致雨水排放难以有效控制，提供一种城市排水管网雨水排放控制的新方法。

本发明方法包括：

(1).建立被控对象的状态空间模型:

(1-1).通过数采仪、流量计、水压表采集城市水务系统中排水管道以及河道的水位值、管道排水量、水流速度数据信息，结合实测水务数据建立如下状态方程：

x(k)∈R³，表示k时刻排水系统的管道或者河道中水流的状态向量；y(k)∈R¹，表示k时刻排水管道系统的测量输出,符号

表示n₀维的列向量；

x(k)＝[x₁(k),x₂(k),x₃(k)]^T，x₁(k)、x₂(k)、x₃(k)分别表示k时刻排水管道或河道的水位值、水流速度、排水量，上标T表示矩阵的转置；当x₁(k)的值大于允许值时，表示排水管道或河道水位发生溢出；

u(k)∈R¹，是k时刻的排水系统控制输入量，表示排水系统中进入排水管道的水流量与流出管道的水流量之差；

马尔可夫过程{r(k),k≥0}在有限集合S＝{1,2,3,4}中取值，分别表示四个不同降雨量对应的系统模态之间的跳变；

A_r(k)∈R^3×3、B_r(k)∈R^3×1和C_r(k)∈R^1×3为已知定常矩阵，符号

表示n₁×n₂维的实矩阵；当r(k)＝i(i∈S)时，A_r(k)、B_r(k)、C_r(k)和f_r(k)(k,x(k))分别简记为A_i、B_i、C_i和f_i(k,x(k))；

β(k)是伯努利随机序列，表示系统的非线性扰动是随机发生的，其数学期望和方差分别为

和β^*，即

E{}为数学期望的符号；

f_i(k,x(k))∈R³是随机发生的无污染工业废水和居民生活废水排入河道对水流状态产生的非线性干扰，其满足如下假设：对于任意向量u,v∈R³，非线性函数f_i(k,x(k))满足f_i(k,0)＝0以及||f_i(k,u)-f_i(k,v)||≤||F_i(u-v)||；其中，F_i∈R^3×3是已知矩阵，||·||表示矩阵或向量的欧几里得范数；

(1-2).切换信号σ_k在有限集合M＝{1,2,3,4}中取值，分别对应四个不同的温度区间；不同降雨条件下，降雨过程的转移概率矩阵

表示为：

其中转移概率

是一个由切换信号σ_k决定的分段常数函数，即当σ_k＝m(m∈{1,2,3,4})时，对所有的i,j∈S，

都有

成立；

表示在第m个温度区间的转移概率，Prob(·)表示随机事件的概率；

(1-3).利用实测数据和计算机仿真技术，进行模型校验和修正。

(2).静态输出反馈控制器结构：

利用实际被控对象的测量输出y(k)，构造排水管网系统的静态输出反馈控制律u(k)＝K_i,my(k)，i∈S,m∈M，其中K_i,m为待求的控制器增益矩阵，记

将排水系统状态方程转化为闭环系统：

(3).静态输出反馈控制器求解：

(3-1).构造Lyapunov函数V(r(k),σ_k)＝x^T(k)P_i,mx(k)，P_i,m＞0(i∈S,m∈M)，为正定对称矩阵；根据构造的Lyapunov函数得到：

其中，

根据非线性假设条件，对于任意正标量ε_i，得到：ε_if_i ^T(k,x(k))f_i(k,x(k))≤ε_ix^T(k)F_i ^TF_ix(k)，等价为：

其中I表示维数匹配的单位矩阵，由此得到：

其中ζ₁ ^T(k)＝[x^T(k)f_i ^T(k,x(k))]，

式中*表示矩阵中的对称项。

(3-2).控制器增益矩阵的求解：

在闭环系统稳定的基础上，利用线性矩阵不等式和矩阵奇异值分解方法求解控制器增益矩阵K_i,m：

首先，根据Schur补引理及矩阵合同变换方法，将Ψ_i＜0等价转变为：

其中，

式中diag{}表示对角矩阵；

对于列满秩矩阵B_i∈R^3×1，通过矩阵奇异值分解算法，可得两个正交矩阵U_i∈R^3×3和V_i∈R^1×1，使得B_i可以分解为

其中Λ_i为矩阵B_i的非零奇异值，上标-1表示矩阵的逆。因此，存在矩阵S_i∈R^3×1，使得

其中U_1i∈R^1×3,U_2i∈R^2×3，并且存在正定对称矩阵P_1i,m∈R^1×1,P_2i,m∈R^2×2满足：

那么就存在一个非奇异矩阵

使得

结合上述条件，得到

令

得到下述线性矩阵不等式：

利用Matlab软件的线性矩阵不等式工具箱，求解该线性矩阵不等式可以得到X_i,m的值，最后得到增益矩阵

本发明方法基于具有分段常数转移概率的马尔可夫跳变系统，对排水管道水流状态进行描述，建立城市排水管网雨水排放的数学模型。利用随机分析方法建立稳定性条件，结合矩阵奇异值分解以及矩阵变换方法，设计出相应的静态输出反馈控制器，进而通过控制泵站网络和排水管道闸门来优化城市排水系统的调度和控制。相比于状态反馈控制器，本发明选择的静态输出反馈控制器结构简单，只需要用到外部可测信号，因而易于实现，同时也能达到较好的控制要求。本发明为城市排水系统控制提供了有效的方法，减少了城市内涝发生。

具体实施方式

一种城市水务系统的雨水排放控制方法，包括：

(1).建立被控对象的状态空间模型:

(1-1).通过数采仪、流量计、水压表采集城市水务系统中排水管道以及河道的水位值、管道排水量、水流速度数据信息；基于城市排水管道以及河道的空间分布信息和水力学原理，建立城市水务排水系统的圣维南(Saint-Venant)方程，再结合实测水务数据建立如下状态方程：

其中，x(k)∈R³表示k时刻排水系统的管道或者河道中水流的状态向量，y(k)∈R¹表示k时刻排水管道系统的测量输出,符号

表示n₀维的列向量；

x(k)＝[x₁(k),x₂(k),x₃(k)]^T，x₁(k)、x₂(k)、x₃(k)分别表示k时刻排水管道或河道的水位值、水流速度、排水量，其中上标T表示矩阵的转置；当x₁(k)的值大于允许值时，表示排水管道或河道水位发生溢出；

u(k)∈R¹是k时刻的排水系统控制输入量，表示排水系统中进入排水管道的水流量与流出管道的水流量之差；

马尔可夫过程{r(k),k≥0}在有限集合S＝{1,2,3,4}中取值，分别表示四个不同降雨量对应的系统模态之间的跳变；

A_r(k)∈R^3×3、B_r(k)∈R^3×1和C_r(k)∈R^1×3为已知定常矩阵，符号

表示n₁×n₂维的实矩阵；当r(k)＝i(i∈S)时，A_r(k)、B_r(k)、C_r(k)和f_r(k)(k,x(k))分别简记为A_i、B_i、C_i和f_i(k,x(k))；

β(k)是伯努利随机序列，表示系统的非线性扰动是随机发生的，其数学期望和方差分别为

和β^*，即

E{}为数学期望的符号；

f_i(k,x(k))∈R³是随机发生的无污染工业废水和居民生活废水排入河道对水流状态产生的非线性干扰，其满足如下假设：对于任意向量u,v∈R³，非线性函数f_i(k,x(k))满足f_i(k,0)＝0以及||f_i(k,u)-f_i(k,v)||≤||F_i(u-v)||；其中，F_i∈R^3×3是已知矩阵，||·||表示矩阵或向量的欧几里得范数；

(1-2).切换信号σ_k在有限集合M＝{1,2,3,4}中取值，分别对应四个不同的温度区间；不同降雨条件下，降雨过程的转移概率矩阵

表示为：

其中转移概率

是一个由切换信号σ_k决定的分段常数函数，即当σ_k＝m(m∈{1,2,3,4})时，

表示在第m个温度区间的转移概率，Prob(·)表示随机事件的概率。对所有的i,j∈S，

都有

成立；

最后，利用实测数据和计算机仿真技术，进行模型校验和修正。

(2).静态输出反馈控制器结构：

利用实际被控对象的测量输出y(k)，构造排水管网系统的静态输出反馈控制律u(k)＝K_i,my(k)，i∈S,m∈M，其中K_i,m为待求的控制器增益矩阵，记

将排水系统状态方程转化为闭环系统:

其中

为β(k)的数学期望。

(3).静态输出反馈控制器求解：

(3-1).构造Lyapunov函数V(r(k),σ_k)＝x^T(k)P_i,mx(k)，其中P_i,m＞0(i∈S,m∈M)为正定对称矩阵；根据构造的Lyapunov函数得到：

其中β^*是随机变量β(k)的方差，

根据非线性假设条件，对于任意正标量ε_i，得到：

ε_if_i ^T(k,x(k))f_i(k,x(k))≤ε_ix^T(k)F_i ^TF_ix(k)，等价为：

其中I表示维数匹配的单位矩阵，由此得到：

其中ζ₁ ^T(k)＝[x^T(k) f_i ^T(k,x(k))]，

式中*表示矩阵中的对称项；

显然，当Ψ_i＜0时有E{V(r(k+1),σ_k+1)}＜E{V(r(k),σ_k)}。根据随机系统稳定性结论，前述闭环系统是随机稳定的，在此基础上可以进行静态输出反馈控制器的求解；

(3-2).控制器增益矩阵的求解：

在闭环系统稳定的基础上，利用线性矩阵不等式和矩阵奇异值分解方法求解控制器增益矩阵K_i,m：

首先，根据Schur补引理及矩阵合同变换方法，可将Ψ_i＜0等价转变为

其中，

式中diag{}表示对角矩阵；

然而，矩阵不等式Θ_i＜0是非线性的，接下来利用奇异值分解方法进行相应处理。

对于列满秩矩阵B_i∈R^3×1，通过矩阵奇异值分解算法，可得两个正交矩阵U_i∈R^3×3和V_i∈R^1×1，使得B_i可以分解为

其中Λ_i为矩阵B_i的非零奇异值，上标-1表示矩阵的逆；因此，存在矩阵S_i∈R^3×1使得

其中U_1i∈R^1×3,U_2i∈R^2×3，并且存在正定对称矩阵P_1i,m∈R^1×1,P_2i,m∈R^2×2满足：

那么就存在一个非奇异矩阵

使得

结合上述条件可以得到

令

可以得到下述线性矩阵不等式：

利用Matlab软件的线性矩阵不等式工具箱，求解该线性矩阵不等式可以得到X_i,m的值，最后得到增益矩阵

Claims (1)

1.一种城市水务系统的雨水排放控制方法，其特征在于该方法包括：

(1).建立被控对象的状态空间模型:

(1-1).通过数采仪、流量计、水压表采集城市水务系统中排水管道以及河道的水位值、管道排水量、水流速度数据信息，结合实测水务数据建立如下状态方程：

x(k)∈R³，表示k时刻排水系统的管道或者河道中水流的状态向量；y(k)∈R¹，表示k时刻排水管道系统的测量输出,符号

表示n₀维的列向量；

x(k)＝[x₁(k),x₂(k),x₃(k)]^T，x₁(k)、x₂(k)、x₃(k)分别表示k时刻排水管道或河道的水位值、水流速度、排水量，上标T表示矩阵的转置；当x₁(k)的值大于允许值时，表示排水管道或河道水位发生溢出；

u(k)∈R¹，表示k时刻的排水系统控制输入量，表示排水系统中进入排水管道的水流量与流出管道的水流量之差；

马尔可夫过程{r(k),k≥0}在有限集合S＝{1,2,3,4}中取值，分别表示四个不同降雨量对应的系统模态之间的跳变；

A_r(k)∈R^3×3、B_r(k)∈R^3×1和C_r(k)∈R^1×3为已知定常矩阵，符号

表示n₁×n₂维的实矩阵；当r(k)＝i，i∈S时，A_r(k)、B_r(k)、C_r(k)和f_r(k)(k,x(k))分别简记为A_i、B_i、C_i和f_i(k,x(k))；

β(k)是伯努利随机序列，表示系统的非线性扰动是随机发生的，其数学期望和方差分别为

和β^*，即

E{}为数学期望的符号；

f_i(k,x(k))∈R³是随机发生的无污染工业废水和居民生活废水排入河道对水流状态产生的非线性干扰，其满足如下假设：对于任意向量u,v∈R³，非线性函数f_i(k,x(k))满足f_i(k,0)＝0以及||f_i(k,u)-f_i(k,v)||≤||F_i(u-v)||；其中，F_i∈R^3×3是已知矩阵，||·||表示矩阵或向量的欧几里得范数；

(1-2).切换信号σ_k在有限集合M＝{1,2,3,4}中取值，分别对应四个不同的温度区间；不同降雨条件下，降雨过程的转移概率矩阵

表示为：

其中转移概率

是一个由切换信号σ_k决定的分段常数函数，即当σ_k＝m(m∈{1,2,3,4})时，对所有的i,j∈S，

都有

成立；

表示在第m个温度区间的转移概率，Prob(·)表示随机事件的概率；

(1-3).利用实测数据和计算机仿真技术，进行模型校验和修正；

(2).静态输出反馈控制器结构：

利用实际被控对象的测量输出y(k)，构造排水管网系统的静态输出反馈控制律u(k)＝K_i,my(k)，i∈S,m∈M，其中K_i,m为待求的控制器增益矩阵，记

将排水系统状态方程转化为闭环系统：

(3).静态输出反馈控制器求解：

(3-1).构造Lyapunov函数V(r(k),σ_k)＝x^T(k)P_i,mx(k)，P_i,m＞0(i∈S,m∈M)，为正定对称矩阵；根据构造的Lyapunov函数得到：

其中，

根据非线性假设条件，对于任意正标量ε_i，得到：

ε_if_i ^T(k,x(k))f_i(k,x(k))≤ε_ix^T(k)F_i ^TF_ix(k)，等价为：

其中I表示维数匹配的单位矩阵，由此得到：

其中

式中*表示矩阵中的对称项；

(3-2).控制器增益矩阵的求解：

在闭环系统稳定的基础上，利用线性矩阵不等式和矩阵奇异值分解方法求解控制器增益矩阵K_i,m：

首先，根据Schur补引理及矩阵合同变换方法，将Ψ_i＜0等价转变为：

其中，

式中diag{}表示对角矩阵；

对于列满秩矩阵B_i∈R^3×1，通过矩阵奇异值分解算法，得到两个正交矩阵U_i∈R^3×3和V_i∈R^1×1，使得B_i分解为

其中Λ_i为矩阵B_i的非零奇异值，上标-1表示矩阵的逆；

存在矩阵S_i∈R^3×1，使得

其中U_1i∈R^1×3,U_2i∈R^2×3；

并且存在正定对称矩阵P_1i,m∈R^1×1,P_2i,m∈R^2×2满足：

那么就存在一个非奇异矩阵

使得

结合上述条件，得到

令

得到线性矩阵不等式：

求解该线性矩阵不等式可以得到X_i,m的值，最后得到增益矩阵