CN106596267A - 最大挠度受限制状态下圆形薄膜弹性能的确定方法 - Google Patents

Abstract

最大挠度受限制状态下圆形薄膜弹性能的确定方法：对厚度为h、半径为a、杨氏弹性模量为E、泊松比为ν的周边固定夹紧的圆形薄膜横向施加一个均布载荷q，使变形后的薄膜与一个光滑平板相接触，并让光滑平板与变形前的薄膜相平行，且保持二者之间的距离H不变，从而限制圆形薄膜在变形后的最大挠度，基于对这个轴对称变形问题的静力平衡分析，利用薄膜与光滑平板接触区域的半径b的测量值，则可确定出该圆形薄膜在接触光滑平板后的弹性能U。

Description

最大挠度受限制状态下圆形薄膜弹性能的确定方法

技术领域

本发明涉及均布载荷下周边固定夹紧的圆形薄膜在最大挠度受限制状态下弹性能的确定方法。

背景技术

圆形薄膜结构在机械、电子、生物工程等领域有着广泛的应用。电容式压力传感器的研制中，需要让圆形薄膜结构工作在两种模式下，非接触模式：薄膜与光滑电极板不产生接触；接触模式：薄膜与光滑电极板接触。在接触模式下，压力下(均布载荷下)周边固定夹紧的圆形薄膜的最大挠度，始终受到与变形前的薄膜相平行的光滑电极板的限制。而从文献查新的结果看，最大挠度受限后周边固定夹紧的圆形薄膜在均布载荷作用下的轴对称变形问题，还没有被解析求解，因而影响到电容式压力传感器的研制工作。

发明内容

本发明解析求解了最大挠度受限后周边固定夹紧的圆形薄膜在均布载荷作用下的轴对称变形问题，并在此基础上给出了均布载荷下周边固定夹紧的圆形薄膜在最大挠度受限制状态下弹性能的确定方法。

最大挠度受限制状态下圆形薄膜弹性能的确定方法：对厚度为h、半径为a、杨氏弹性模量为E、泊松比为ν的周边固定夹紧的圆形薄膜横向施加一个均布载荷q，使变形后的薄膜与一个光滑平板相接触，并让光滑平板与变形前的薄膜相平行，且保持光滑平板与变形前的薄膜之间的距离H不变，从而限制圆形薄膜在变形后的最大挠度，那么基于对这个轴对称变形问题的静力平衡分析，该圆形薄膜在接触光滑平板后的弹性能U与接触区域的半径b的解析关系可以表示为

其中，π为圆周率，

α＝(a²+2ab-3b²)/(4a²)，β＝(a+b)/(2a)，c₀和c₁的值由方程

和

确定，其中

而d₀的值由方程

确定，所有参量皆采用国际单位制。

这样，只要测得圆形薄膜与光滑平板接触区域的半径b的值，就可以确定出该圆形薄膜在接触光滑平板后的弹性能U。

附图说明

图1为最大挠度受限制的周边固定夹紧的圆形薄膜加载构造示意图，其中，1－变形后的圆形薄膜，2－光滑平板，3－夹紧装置，4－变形前的圆形薄膜，而a表示圆形薄膜的半径，b表示薄膜与光滑平板接触区域的半径，r表示径向坐标，w(r)表示点r处的横向坐标，q表示横向均布载荷，H表示圆形薄膜与光滑平板之间的距离。

具体实施方式

下面结合图1对本发明的技术方案作进一步的详细说明：

对周边固定夹紧的圆形橡胶薄膜横向施加一个均布载荷q，使变形后的薄膜与一个光滑平板相接触，并让光滑平板与变形前的薄膜相平行，且保持光滑平板与变形前的薄膜之间的距离H不变，从而限制圆形橡胶薄膜在变形后的最大挠度，其中，光滑平板与变形前的薄膜之间的距离H＝11mm，圆形橡胶薄膜的厚度h＝1mm、半径a＝50mm、杨氏弹性模量E＝7.84MPa、泊松比ν＝0.47。测得薄膜与光滑平板接触区域的半径b＝15mm。采用本发明所给出的方法，则α＝(a²+2ab-3b²)/(4a²)＝0.3325，β＝(a+b)/(2a)＝0.65，

通过方程

和

即，方程

和

其中，

可以得到c₀＝0.3716298413，c₁＝-0.06128086936。然后，由方程

即，方程

其中，

d₁＝-0.6882365255，

d₂＝-0.8727563512，

d₃＝-0.03469002554，

d₄＝-0.3579126775，

d₅＝0.1209790741，

d₆＝-0.3619401459，

d₇＝0.2631063949，

可以得到d₀＝0.3545143556。最后，由公式

即，公式

则可以得到，当变形后的薄膜与光滑平板接触区域的半径b达到15mm时，该圆形橡胶薄膜的弹性能U＝775.75N·mm＝0.77575J。

Claims (1)

1.最大挠度受限制状态下圆形薄膜弹性能的确定方法，其特征在于：对厚度为h、半径为a、杨氏弹性模量为E、泊松比为ν的周边固定夹紧的圆形薄膜横向施加一个均布载荷q，使变形后的薄膜与一个光滑平板相接触，并让光滑平板与变形前的薄膜相平行，且保持光滑平板与变形前的薄膜之间的距离H不变，从而限制圆形薄膜在变形后的最大挠度，测得薄膜与光滑平板接触区域的半径b的值，该圆形薄膜在接触光滑平板后的弹性能U由以下公式确定，

$\begin{array}{c}U=\frac{\mathrm{\π}aH}{h}\{\underset{n=0}{\overset{7}{\Σ}}\[\frac{2{\mathrm{ad}}_n}{n+2}{\left(\frac{a-b}{2a}\right)}^{n+2}+\frac{(a+b)d_n}{n+1}{\left(\frac{a-b}{2a}\right)}^{n+1}-\frac{2{\mathrm{ad}}_n}{n+2}{\left(\frac{b-a}{2a}\right)}^{n+2}\\ -\frac{(a+b)d_n}{n+1}{\left(\frac{b-a}{2a}\right)}^{n+2}\]\}/\[\underset{n=0}{\overset{7}{\Σ}}{d}_7{\left(\frac{b-a}{2a}\right)}^n\]+\frac{{\mathrm{\πhb}}^2{\mathrm{EH}}^4}{a^4}/{\[\underset{n=0}{\overset{7}{\Σ}}{d}_n{\left(\frac{b-a}{2a}\right)}^n\]}^3\end{array},$

其中，π为圆周率，

$d_1=-\frac{1}{2}\frac{\mathrm{\α}}{{\mathrm{\βc}}_0},$

$d_2=-\frac{1}{4}\frac{1}{{\mathrm{\β}}^2{c}_0^2}(2{\mathrm{\β}}^2{c}_0-{\mathrm{\α\βc}}_1-{\mathrm{\αc}}_0),$

$d_3=\frac{1}{96}\frac{1}{{\mathrm{\β}}^5{c}_0^4}(32{\mathrm{\β}}^5{c}_0^2{c}_1-16{\mathrm{\α\β}}^4{c}_0{c}_1^2+16{\mathrm{\β}}^4{c}_0^3-40{\mathrm{\α\β}}^3{c}_0^2{c}_1-16{\mathrm{\α\β}}^2{c}_0^3-{\mathrm{\α}}^3),$

$\begin{array}{c}{d}_4=-\frac{1}{192}\frac{1}{{\mathrm{\β}}^6{c}_0^5}(48{\mathrm{\β}}^6{c}_0^2{c}_1^2-24{\mathrm{\α\β}}^5{c}_0{c}_1^3+96{\mathrm{\β}}^5{c}_0^3{c}_1-96{\mathrm{\α\β}}^4{c}_0^2{c}_1^2+24{\mathrm{\β}}^4{c}_0^4\\ -108{\mathrm{\α\β}}^3{c}_0^3{c}_1-24{\mathrm{\α\β}}^2{c}_0^4+5{\mathrm{\α}}^2{\mathrm{\β}}^2{c}_0-4{\mathrm{\α}}^3{\mathrm{\βc}}_1-5{\mathrm{\α}}^3{c}_0)\end{array},$

$\begin{array}{c}{d}_5=\frac{1}{1920}\frac{1}{{\mathrm{\β}}^9{c}_0^7}(384{\mathrm{\β}}^9{c}_0^3{c}_1^3-192{\mathrm{\α\β}}^8{c}_0^2{c}_1^4+1344{\mathrm{\β}}^8{c}_0^4{c}_1^2-1056{\mathrm{\α\β}}^7{c}_0^3{c}_1^3+1248{\mathrm{\β}}^7{c}_0^5{c}_1\\ -1968{\mathrm{\α\β}}^6{c}_0^4{c}_1^2+192{\mathrm{\β}}^6{c}_0^6-1344{\mathrm{\α\β}}^5{c}_0^5{c}_1-192{\mathrm{\α\β}}^4{c}_0^6-40{\mathrm{\α\β}}^6{c}_0^3+112{\mathrm{\α}}^2{\mathrm{\β}}^5{c}_0^2{c}_1\\ -58{\mathrm{\α}}^3{\mathrm{\β}}^4{c}_0{c}_1^2+124{\mathrm{\α}}^2{\mathrm{\β}}^4{c}_0^3-152{\mathrm{\α}}^3{\mathrm{\β}}^3{c}_0^2{c}_1-87{\mathrm{\α}}^3{\mathrm{\β}}^2{c}_0^3-{\mathrm{\α}}^5)\end{array},$

$\begin{array}{c}{d}_6=-\frac{1}{23040}\frac{1}{{\mathrm{\β}}^{10}{c}_0^8}(3840{\mathrm{\β}}^{10}{c}_0^3{c}_1^4-1920{\mathrm{\α\β}}^9{c}_0^2{c}_1^5+19200{\mathrm{\β}}^9{c}_0^4{c}_1^3-13440{\mathrm{\α\β}}^8{c}_0^3{c}_1^4\\ +31680{\mathrm{\β}}^8{c}_0^5{c}_1^2-35040{\mathrm{\α\β}}^7{c}_0^4{c}_1^3+18240{\mathrm{\β}}^7{c}_0^6{c}_1-40800{\mathrm{\α\β}}^6{c}_0^5{c}_1^2+1920{\mathrm{\β}}^6{c}_0^7\\ -19200{\mathrm{\α\β}}^5{c}_0^6{c}_1+160{\mathrm{\β}}^8{c}_0^4-1216{\mathrm{\α\β}}^7{c}_0^3{c}_1+2104{\mathrm{\α}}^2{\mathrm{\β}}^6{c}_0^2{c}_1^2-888{\mathrm{\α}}^3{\mathrm{\β}}^5{c}_0{c}_1^3\\ -1920{\mathrm{\α\β}}^4{c}_0^7-1232{\mathrm{\α\β}}^6{c}_0^4+5056{\mathrm{\α}}^2{\mathrm{\β}}^5{c}_0^3{c}_1-3588{\mathrm{\α}}^3{\mathrm{\β}}^4{c}_0^2{c}_1^2+2596{\mathrm{\α}}^2{\mathrm{\β}}^4{c}_0^4\\ -4416{\mathrm{\α}}^3{\mathrm{\β}}^3{c}_0^3{c}_1-1554{\mathrm{\α}}^3{\mathrm{\β}}^2{c}_0^4+48{\mathrm{\α}}^4{\mathrm{\β}}^2{c}_0-43{\mathrm{\α}}^5{\mathrm{\βc}}_1-56{\mathrm{\α}}^5{c}_0)\end{array},$

$\begin{array}{c}{d}_7=\frac{1}{1290240}\frac{1}{{\mathrm{\β}}^{13}{c}_0^{10}}(184320{\mathrm{\β}}^{13}{c}_0^4{c}_1^5-92160{\mathrm{\α\β}}^{12}{c}_0^3{c}_1^6+1198080{\mathrm{\β}}^{12}{c}_0^5{c}_1^4\\ -783360{\mathrm{\α\β}}^{11}{c}_0^4{c}_1^5+2856960{\mathrm{\β}}^{11}{c}_0^6{c}_1^3-2626560{\mathrm{\α\β}}^{10}{c}_0^5{c}_1^4+2972160{\mathrm{\α\β}}^{10}{c}_0^7{c}_1^2\\ -4343040{\mathrm{\α\β}}^9{c}_0^6{c}_1^3+1198080{\mathrm{\β}}^9{c}_0^8{c}_1-3571200{\mathrm{\α\β}}^8{c}_0^7{c}_1^2+24576{\mathrm{\β}}^{11}{c}_0^5{c}_1\\ -115968{\mathrm{\α\β}}^{10}{c}_0^4{c}_1^2+158976{\mathrm{\α}}^2{\mathrm{\β}}^9{c}_0^3{c}_1^3-59328{\mathrm{\α}}^3{\mathrm{\β}}^8{c}_0^2{c}_1^4+92160{\mathrm{\β}}^8{c}_0^9\\ -1244160{\mathrm{\α\β}}^7{c}_0^8{c}_1+22272{\mathrm{\β}}^{10}{c}_0^6-259584{\mathrm{\α\β}}^9{c}_0^5{c}_1+600384{\mathrm{\α}}^2{\mathrm{\β}}^8{c}_0^4{c}_1^2\\ -325440{\mathrm{\α}}^3{\mathrm{\β}}^7{c}_0^3{c}_1^3-92160{\mathrm{\α\β}}^6{c}_0^9-122496{\mathrm{\α\β}}^8{c}_0^6+681984{\mathrm{\α}}^2{\mathrm{\β}}^7{c}_0^5{c}_1\\ -626208{\mathrm{\α}}^3{\mathrm{\β}}^6{c}_0^4{c}_1^2+217440{\mathrm{\α}}^2{\mathrm{\β}}^6{c}_0^6-484608{\mathrm{\α}}^3{\mathrm{\β}}^5{c}_0^5{c}_1-118656{\mathrm{\α}}^3{\mathrm{\β}}^4{c}_0^6\\ -4288{\mathrm{\α}}^3{\mathrm{\β}}^6{c}_0^3+10336{\mathrm{\α}}^4{\mathrm{\β}}^5{c}_0^2{c}_1-5416{\mathrm{\α}}^5{\mathrm{\β}}^4{c}_0{c}_1^2+12608{\mathrm{\α}}^4{\mathrm{\β}}^4{c}_0^3\\ -14440{\mathrm{\α}}^5{\mathrm{\β}}^3{c}_0^2{c}_1-8896{\mathrm{\α}}^5{\mathrm{\β}}^2{c}_0^3-43{\mathrm{\α}}^7)\end{array},$

α＝(a²+2ab-3b²)/(4a²)，β＝(a+b)/(2a)，c₀和c₁的值由方程

$(1-v)\underset{n=0}{\overset{6}{\Σ}}{c}_n{(1-\mathrm{\β})}^n+\underset{n=1}{\overset{6}{\Σ}}{\mathrm{nc}}_n{(1-\mathrm{\β})}^{n-1}=0$

和

$\underset{n=1}{\overset{6}{\Σ}}{\mathrm{nc}}_n{(\frac{b}{a}-\mathrm{\β})}^{n-1}=0$

确定，其中，

$c_2=-\frac{1}{16}\frac{1}{{\mathrm{\β}}^4{c}_0^2}(24{\mathrm{\β}}^3{c}_0^2{c}_1+{\mathrm{\α}}^2),$

$c_3=\frac{1}{48}\frac{1}{{\mathrm{\β}}^5{c}_0^3}(96{\mathrm{\β}}^3{c}_0^3{c}_1-4{\mathrm{\α\β}}^2{c}_0+2{\mathrm{\α}}^2{\mathrm{\βc}}_1+7{\mathrm{\α}}^2{c}_0),$

$\begin{array}{c}{c}_4=\frac{1}{768}\frac{1}{{\mathrm{\β}}^8{c}_0^5}(1920{\mathrm{\β}}^5{c}_0^5{c}_1+32{\mathrm{\β}}^6{c}_0^3-64{\mathrm{\α\β}}^5{c}_0^2{c}_1+24{\mathrm{\α}}^2{\mathrm{\β}}^4{c}_0{c}_1^2-160{\mathrm{\α\β}}^4{c}_0^3\\ +112{\mathrm{\α}}^2{\mathrm{\β}}^3{c}_0^2{c}_1+188{\mathrm{\α}}^2{\mathrm{\β}}^2{c}_0^3+{\mathrm{\α}}^4)\end{array},$

$\begin{array}{c}{c}_5=\frac{1}{3840}\frac{1}{{\mathrm{\β}}^9{c}_0^6}(11520{\mathrm{\β}}^5{c}_0^6{c}_1+192{\mathrm{\β}}^7{c}_0^3{c}_1-288{\mathrm{\α\β}}^6{c}_0^2{c}_1^2+96{\mathrm{\α}}^2{\mathrm{\β}}^5{c}_0{c}_1^3+384{\mathrm{\β}}^6{c}_0^4\\ -1152{\mathrm{\α\β}}^5{c}_0^3{c}_1+576{\mathrm{\α}}^2{\mathrm{\β}}^4{c}_0^2{c}_1^2-1392{\mathrm{\α\β}}^4{c}_0^4+1272{\mathrm{\α}}^2{\mathrm{\β}}^3{c}_0^3{c}_1+1368{\mathrm{\α}}^2{\mathrm{\β}}^2{c}_0^4\\ -16{\mathrm{\α}}^3{\mathrm{\β}}^2{c}_0+11{\mathrm{\α}}^4{\mathrm{\βc}}_1+22{\mathrm{\α}}^4{c}_0)\end{array},$

$\begin{array}{c}{c}_6=-\frac{1}{184320}\frac{1}{{\mathrm{\β}}^{12}{c}_0^8}(9216{\mathrm{\β}}^{10}{c}_0^4{c}_1^2-12288{\mathrm{\α\β}}^9{c}_0^3{c}_1^3+3840{\mathrm{\α}}^2{\mathrm{\β}}^8{c}_0^2{c}_1^4+645120{\mathrm{\β}}^7{c}_0^8{c}_1\\ +32256{\mathrm{\β}}^9{c}_0^5{c}_1-66816{\mathrm{\α\β}}^8{c}_0^4{c}_1^2+28416{\mathrm{\α}}^2{\mathrm{\β}}^7{c}_0^3{c}_1^3+31488{\mathrm{\β}}^8{c}_0^6-127488{\mathrm{\α\β}}^7{c}_0^5{c}_1\\ +81216{\mathrm{\α}}^2{\mathrm{\β}}^6{c}_0^4{c}_1^2-99456{\mathrm{\α\β}}^6{c}_0^6+113472{\mathrm{\α}}^2{\mathrm{\β}}^5{c}_0^5{c}_1+88128{\mathrm{\α}}^2{\mathrm{\β}}^4{c}_0^6+960{\mathrm{\α}}^2{\mathrm{\β}}^6{c}_0^3\\ -1920{\mathrm{\α}}^3{\mathrm{\β}}^5{c}_0^2{c}_1+816{\mathrm{\α}}^4{\mathrm{\β}}^4{c}_0{c}_1^2-3456{\mathrm{\α}}^3{\mathrm{\β}}^4{c}_0^3+3000{\mathrm{\α}}^4{\mathrm{\β}}^3{c}_0^2{c}_1+2856{\mathrm{\α}}^4{\mathrm{\β}}^2{c}_0^3+11{\mathrm{\α}}^6)\end{array},$

而d₀的值由方程

$\underset{n=0}{\overset{7}{\Σ}}{d}_n{(1-\mathrm{\β})}^n=0$

确定，所有参量皆采用国际单位制。