CN106326570A - 球、锥混合双列轮毂轴承最佳预紧量的确定方法及装置 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种球、锥混合双列轮毂轴承最佳预紧量的确定方法及装置，属于轴承设计技术领域。本发明通过制定球、锥混合双列轮毂轴承单元载荷谱，根据球、锥混合双列轮毂轴承的力学模型计算径向位移δ_r、轴向位移δ_a和角位移θ，并以载荷谱为已知条件，以预紧量作为分析变量得到轮毂轴承单元相应的单列套圈寿命和综合寿命，建立预紧量与轮毂轴承单元寿命关系，以轮毂轴承单元单列套圈和或整个轮毂轴承单元寿命最长所对应的预紧量为最佳预紧量。本发明提供的基于载荷谱下对球、锥混合双列轮毂轴承最佳预紧量的确定方法，能够精确得出球、锥混合双列轮毂轴承单元装配中的最佳预紧量。

Description

球、锥混合双列轮毂轴承最佳预紧量的确定方法及装置

技术领域

本发明涉及一种球、锥混合双列轮毂轴承最佳预紧量的确定方法及装置，属于轴承设计技术领域。

背景技术

轮毂轴承单元是汽车中最为关键的零部件之一，是汽车车轴处用来承重和为轮毂转动提供精确引导的零部件，一般采用双列结构。当下主流车用轮毂轴承单元分为两种：双列角接触球轮毂轴承单元和双列圆锥滚子轮毂轴承单元。在如今家用汽车制造趋向提高舒适性、多功能性并力争扩大汽车内部空间而致使家用汽车重量随之增加，从而对轮毂轴承承载能力有更高要求的背景下，现今出现了一种新型轮毂轴承结构：球、锥混合双列轮毂轴承，即一列钢球，一列圆锥滚子。由于双列轮毂轴承单元中，多数情况下只有靠近汽车转向轴侧列轴承承受主要载荷，另一列轴承受载时间较短，主要承受次要载荷，所以将球、锥混合双列轮毂轴承的圆锥滚子列安装于靠近转向轴侧，承受主要载荷。球、锥混合双列轮毂轴承兼具了双列角接触球轴承结构紧凑、摩擦力矩小、制造成本低和双列圆锥滚子轴承承载性能较强、轴承刚度大等两者共同优点，更加适合应用于质量较重、对轮毂轴承承载性能要求较高的越野汽车上，很可能会成为未来轮毂轴承的主要发展趋势。

预紧量作为轮毂轴承单元装配过程中最重要的因素之一，直接影响轮毂轴承的使用寿命和振动噪声及旋转精度等工作性能。当预紧量过大时会使滚道接触应力急剧增大而产生早期疲劳，当预紧量过小时在轴承受载后容易造成松动而形成振动，所以确定出轮毂轴承单元的最佳装配过盈量，对于轮毂轴承单元延长使用寿命和发挥最佳工作性能都具有重要意义。而针对新型球、锥混合双列轮毂轴承单元，虽然提出了其设计结构，至今还没有具体的力学建模和承载性能精确计算方法，更没有能精确确定装配过程中其最佳预紧量的方法和装置。

发明内容

本发明的目的是提供一种球、锥混合双列轮毂轴承最佳预紧量的确定方法及装置，以解决难以精确确定球、锥混合双列轮毂轴装配过程中最佳预紧量的问题。

本发明为解决上述技术问题而提供一种球、锥混合双列轮毂轴承最佳预紧量的确定方法，该方法包括以下步骤：

1)根据轮胎受力公式计算不同行驶情况下球、锥混合双列轮毂轴承单元所受的径向载荷F_rn、轴向载荷F_an和倾覆力矩M_n，并根据各行驶情况所对应的时间分配率确定球、锥混合双列轮毂轴承单元相对应的载荷谱；

2)根据球、锥混合双列轮毂轴承的力学模型建立以其内圈中心径向位移δ_r、轴向位移δ_a和角位移θ三个未知量构成的内圈力学平衡方程，并以步骤1)中所确定的径向载荷F_rn、轴向载荷F_an和颠覆力矩M_n作为外部负载求解该平衡方程，以得到球、锥混合双列轮毂轴承单元内圈对应的径向位移量δ_r、轴向位移量δ_a和角位移量θ；

3)基于所建立的载荷谱计算平均当量动载荷，根据轴承额定寿命计算球、锥混合双列轮毂轴承单元钢球基本额定寿命L_{10_1}和或圆锥滚子基本额定寿命L_{10_2}；

4)以每个轴向预紧量值作为轴向游隙，建立预紧量与轮毂轴承单元寿命关系，以轮毂轴承单元单列套圈和或整个轮毂轴承单元寿命最长所对应的预紧量为最佳预紧量。

所述步骤4)中平均当量动载荷的计算公式为：

$Q_{\stackrel{\‾}{e}}={\left(\frac{{Q_{e1}}^2{n}_1{q}_1+{Q_{e2}}^3{n}_2{q}_2+...+{Q_{ei}}^2{n}_i{q}_i+...+{Q_{en}}^2{n}_n{q}_n}{n_1{q}_1+n_2{q}_2+...+n_i{q}_i+...+n_n{q}_n}\right)}^{1/3}$

其中Q_ei为第i种行驶情况下轴承的当量动载荷，n_i为第i种行驶情况下轮毂轴承转速，q_i为第i种行驶情况轮毂轴承单元所承受载荷的对应时间分配率，下标n为行驶情况的种类。

所述步骤4)中的综合寿命L₁₀为：

$L_{10}={({L_{10\_1}}^{-e1}+{L_{10\_2}}^{-e2})}^{-\frac{1}{e}}$

其中e1为点接触，e2为线接触，e为e1和e2中的较小者。

步骤2)所建立的平衡方程为：

$\left\{\begin{array}{c}{F}_r-Q_{1r}-Q_{2r}=0\\ F_a-Q_{1a}+Q_{2a}=0\\ M-M_1+M_2=0\end{array}\right.$

$Q_{1r}=\underset{i=1}{\overset{Z_1}{\Σ}}{Q}_{1i}{\mathrm{cos\α}}_{1\mathrm{\ψ}i}{\mathrm{cos\ψ}}_i$

$Q_{1a}=\underset{i=1}{\overset{Z_1}{\Σ}}{Q}_{1i}{\mathrm{sin\α}}_{1\mathrm{\ψ}i}$

$M_1=\underset{i=1}{\overset{Z_1}{\Σ}}(M_{1ia}+M_{1ir})=0.5(d_{m1}{\mathrm{sin\α}}_{1\mathrm{\ψ}i}+d_{e1}{\mathrm{cos\α}}_{1\mathrm{\ψ}i})\underset{i=1}{\overset{Z_1}{\Σ}}{Q}_{1i}{\mathrm{cos\ψ}}_i$

$Q_{2r}=\underset{i=1}{\overset{Z_2}{\Σ}}{Q}_{2i}{\mathrm{cos\α}}_e{\mathrm{cos\φ}}_i$

$Q_{2a}=\underset{i=1}{\overset{Z_2}{\Σ}}{Q}_{2i}{\mathrm{sin\α}}_e$

$M_2=\underset{i=1}{\overset{Z_2}{\Σ}}(M_{2ia}+M_{2ir})=0.5(d_{m2}{\mathrm{sin\α}}_e+d_{e2}{\mathrm{cos\α}}_e)\underset{i=1}{\overset{Z_2}{\Σ}}{Q}_{2i}{\mathrm{cos\φ}}_i$

Q_1i为滚道对钢球的法向载荷，α_1ψi表示受载后任意位置钢球的接触角，ψ_i表示钢球的位置角，Z₁表示钢球数，d_m1为钢球节圆直径，d_e1为轴承内圈中心O与钢球节圆中心O₁’之间距离的2倍，Q_2i为滚子与外圈接触载荷，α_e为圆锥滚子与外圈接触角，φ_i为第i个圆锥滚子的位置角，Z₂表示滚子数，d_m2为滚子节圆直径，d_e2为轴承内圈中心O与滚子节圆中心O₂’之间距离的2倍。

所述滚道对钢球的法向载荷和滚子与外圈接触载荷的计算公式分别为：

Q_1i＝K_n1[max(δ_1i,0)]^3/2

Q_2i＝K_n2[max(δ_2i,0)]^10/9

${\mathrm{\δ}}_{1i}={\[{({\mathrm{Asina}}_0+{\mathrm{\δ}}_a+R_i{\mathrm{\θcos\ψ}}_i)}^2+{({\mathrm{Acosa}}_0+{\mathrm{\δ}}_r{\mathrm{cos\ψ}}_i)}^2\]}^{\frac{1}{2}}-A$

δ_2i＝(δ_r-R₂₂θ)cosφ_i cosα_e+(δ₀-0.5d_m2θcosφ_i-δ_a)sinα_e

其中K_n1为滚动体与内外圈之间的总负载-变形常数，α₀为原始接触角，R_i为钢球内滚道沟曲率中心所在圆的半径，A为内外圈原始沟曲率中心距，R₂₂为轴承轴承内圈中心O与钢球节圆中心O₂’之间的距离，δ₀为轴向游隙即轴向预紧量。

所述步骤1)中径向载荷F_rn、轴向载荷F_an和倾覆力矩M_n的计算公式分别为：

$F_{rn}=f_w\frac{W}{2}g(1+2a_g\frac{h}{tr})$

$F_{an}=-f_w\frac{W}{2}g(a_g+2{a_g}^2\frac{h}{tr})$

M_n＝F_ms_o+F_anR_s

其中f_w为载荷冲击系数，W为汽车重量，g为重力加速度，a_g为汽车侧向加速度率，h为汽车质心高度，l为前轴轮间距，s₀为径向受力偏心距，R_s为汽车轮胎半径，tr为汽车前轴轮间距。

步骤2)中的平衡方程采用Newton-Raphson迭代法进行求解。

本发明还提供了一种球、锥混合双列轮毂轴承最佳预紧量的确定装置，该装置包括载荷确定模块、位移量确定模块、寿命计算模块和最佳预紧量确定模块，

所述载荷确定模块用于根据轮胎受力公式计算不同行驶情况下球、锥混合双列轮毂轴承单元所受的径向载荷F_rn、轴向载荷F_an和倾覆力矩M_n，并根据各行驶情况所对应的时间分配率确定球、锥混合双列轮毂轴承单元相对应的载荷谱；

所述位移量确定模块用于根据球、锥混合双列轮毂轴承的力学模型建立以其内圈中心径向位移δ_r、轴向位移δ_a和角位移θ三个未知量构成的内圈力学平衡方程，并以所确定的径向载荷F_rn、轴向载荷F_an和颠覆力矩M_n作为外部负载求解该平衡方程，以得到球、锥混合双列轮毂轴承单元内圈对应的径向位移量δ_r、轴向位移量δ_a和角位移量θ；

所述的寿命计算模块用于根据于所建立的载荷谱计算平均当量动载荷，根据轴承额定寿命计算球、锥混合双列轮毂轴承单元钢球基本额定寿命L_{10_1}和或圆锥滚子基本额定寿命L_{10_2}；

所述最佳预紧量确定模块用于以每个轴向预紧量值作为轴向游隙，建立预紧量与轮毂轴承单元寿命关系，以轮毂轴承单元单列套圈和或整个轮毂轴承单元寿命最长所对应的预紧量为最佳预紧量。

所述寿命计算模块所采用的平均当量动载荷的计算公式为：

$Q_{\stackrel{\‾}{e}}={\left(\frac{{Q_{e1}}^3{n}_1{q}_1+{Q_{e2}}^3{n}_2{q}_2+...+{Q_{ei}}^3{n}_i{q}_i+...+{Q_{en}}^3{n}_n{q}_n}{n_1{q}_1+n_2{q}_2+...+n_i{q}_i+...+n_n{q}_n}\right)}^{1/3}$

其中Q_ei为第i种行驶情况下轴承的当量动载荷，n_i为第i种行驶情况下轮毂轴承转速，q_i为第i种行驶情况轮毂轴承单元所承受载荷的对应时间分配率，下标n为行驶情况的种类。

所述位移量确定模块中建立的平衡方程为：

$\left\{\begin{array}{c}{F}_r-Q_{1r}-Q_{2r}=0\\ F_a-Q_{1a}+Q_{2a}=0\\ M-M_1+M_2=0\end{array}\right.$

$Q_{1r}=\underset{i=1}{\overset{Z_1}{\Σ}}{Q}_{1i}{\mathrm{cos\α}}_{1\mathrm{\ψ}i}{\mathrm{cos\ψ}}_i$

$Q_{1a}=\underset{i=1}{\overset{Z_1}{\Σ}}{Q}_{1i}{\mathrm{sin\α}}_{1\mathrm{\ψ}i}$

$M_1=\underset{i=1}{\overset{Z_1}{\Σ}}(M_{1ia}+M_{1ir})=0.5(d_{m1}{\mathrm{sin\α}}_{1\mathrm{\ψ}i}+d_{e1}{\mathrm{cos\α}}_{1\mathrm{\ψ}i})\underset{i=1}{\overset{Z_1}{\Σ}}{Q}_{1i}{\mathrm{cos\ψ}}_i$

$Q_{2r}=\underset{i=1}{\overset{Z_2}{\Σ}}{Q}_{2i}{\mathrm{cos\α}}_e{\mathrm{cos\φ}}_i$

$Q_{2a}=\underset{i=1}{\overset{Z_2}{\Σ}}{Q}_{2i}{\mathrm{sin\α}}_e$

$M_2=\underset{i=1}{\overset{Z_2}{\Σ}}(M_{2ia}+M_{2ir})=0.5(d_{m2}{\mathrm{sin\α}}_e+d_{e2}{\mathrm{cos\α}}_e)\underset{i=1}{\overset{Z_2}{\Σ}}{Q}_{2i}{\mathrm{cos\φ}}_i$

Q_1i为滚道对钢球的法向载荷，α_1ψi表示受载后任意位置钢球的接触角，ψ_i表示钢球的位置角，Z₁表示钢球数，d_m1为钢球节圆直径，d_e1为轴承内圈中心O与钢球节圆中心O₁’之间距离的2倍，Q_2i为滚子与外圈接触载荷，α_e为圆锥滚子与外圈接触角，φ_i为第i个圆锥滚子的位置角，Z₂表示滚子数，d_m2为滚子节圆直径，d_e2为轴承内圈中心O与滚子节圆中心O₂’之间距离的2倍。

本发明的有益效果是：本发明通过制定球、锥混合双列轮毂轴承单元载荷谱，根据球、锥混合双列轮毂轴承的力学模型计算径向位移δ_r、轴向位移δ_a和角位移θ，并以载荷谱为已知条件，以预紧量作为分析变量得到轮毂轴承单元相应的单列套圈寿命和综合寿命，建立预紧量与轮毂轴承单元寿命关系，以轮毂轴承单元单列套圈和或整个轮毂轴承单元寿命最长所对应的预紧量为最佳预紧量。本发明提供的基于载荷谱下对球、锥混合双列轮毂轴承最佳预紧量的确定方法，能够精确得出球、锥混合双列轮毂轴承单元装配中的最佳预紧量，对此新型轮毂轴承单元使用寿命的延长和最佳工作性能的发挥具有重要意义，为球、锥混合双列轮毂轴承单元的装配制造和使用提供了有力的科学依据。

附图说明

图1是球、锥混合双列轮毂轴承结构及内圈受力示意图；

图2是转角θ对右列轴承产生的位移分量示意图；

图3是径向位移和轴向位移外滚道投影示意图；

图4是本发明实例中越野车行驶载荷谱示意图；

图5是本发明实例中左列钢球套圈寿命-预紧量关系图；

图6是本发明实例中右列圆锥滚子套圈寿命-预紧量关系图；

图7是本发明实例中轮毂轴承单元的综合寿命-预紧量关系图。

具体实施方式

下面结合附图对本发明的具体实施方式做进一步的说明。

本发明球、锥混合双列轮毂轴承最佳预紧量的确定方法的实施例

本发明通过制定球、锥混合双列轮毂轴承单元载荷谱，根据球、锥混合双列轮毂轴承的力学模型计算径向位移δ_r、轴向位移δ_a和角位移θ，并以载荷谱为已知条件，以预紧量作为分析变量得到轮毂轴承单元相应的单列套圈寿命和综合寿命，建立预紧量与轮毂轴承单元寿命关系，以轮毂轴承单元单列套圈和或整个轮毂轴承单元寿命最长所对应的预紧量为最佳预紧量。该方法的具体实施过程如下：

1.制定球、锥混合双列轮毂轴承单元载荷谱

载荷谱的制定便于更好地分析轮毂轴承的性能，为轮毂轴承的耐久性分析计算提供了更加科学合理的依据。由于汽车行驶环境的多样性和不确定性，对于球、锥混合双列轮毂轴承单元，本实施例中的载荷谱包含四种情况：良好路面直行、左转、颠簸路面直行、右转。

借鉴国外轮毂轴承耐久性试验标准周期，取一个实验周期为100s，基于中国路面基本情况，取其直线行驶时间占用率为94％，转弯时间占用率为6％。其中良好路面直行时间占用率和颠簸路面直行时间占用率分别为50％和44％；左转和右转时间占有率都为3％。

对汽车驾驶室侧(即汽车前轴左侧)轮毂轴承进行分析，其轮胎径向力Frn和轮胎轴向力Fan计算公式为：

$F_{rn}=f_w\frac{W}{2}g(1+2a_g\frac{h}{tr})---\left(1\right)$

$F_{an}=-f_w\frac{W}{2}g(a_g+2{a_g}^2\frac{h}{tr})---\left(2\right)$

其中f_w为载荷冲击系数，在良好路面行驶取值为1.0、颠簸路面行驶取值为1.3；W为汽车质量；g为重力加速度，取值为9.8m/s²；a_g为汽车侧向加速度率(即侧向加速度与重力加速的的比值)，直行时取值为0、左转时取值为0.55、右转时取值为-0.55；h为汽车质心高度，l为前轴轮间距。

倾覆力矩计算公式M_n为：

M_n＝F_rns_o+F_anR_s (3)

其中s_o为径向受力偏心距，R_s为汽车轮胎半径。

当已知汽车相关参数后，按照不同行驶路况下对应的载荷冲击系数f_w和侧向加速度率a_g，可分别计算出良好路面直行、左转、颠簸路面直行、右转等四种行驶情况下，球、锥混合双列轮毂轴承单元所受的径向载荷F_rn、轴向载荷F_an和倾覆力矩M_n，(n取1、2、3、4，对应于四种工况条件)。

以时间为横坐标，求取的力和力矩值为纵坐标，取一个实验周期为100s，按照汽车四种行驶情况下所对应的时间占用率，即可获得球、锥混合双列轮毂轴承单元相对应的载荷谱。

2.建立球、锥混合双列轮毂轴承单元力学模型

假设球、锥混合双列轮毂轴承单元其外圈固定，当内圈承受径向力F_r、轴向力F_a和颠覆力矩M联合作用时，其径向位移为δ_r、轴向位移为δ_a、角位移为θ，本文定义对于每列轴承使滚动体载荷增加的位移为正位移，反之则为负位移。球、锥混合双列轮毂轴承单元结构及受力示意图如图1所示。并规定左列钢球相关表达式所用下标为1，右列圆锥滚子相关表达式所用下标为2，用i表示滚动体(左列钢球、右列圆锥滚子)。

左列钢球与滚道之间为点接触，α₀为原始接触角，受载后在不同位置钢球的接触角会发生不同的变化，ψ_i表示钢球的位置角，用α_1ψi表示受载后任意位置钢球的接触角，则：

${\mathrm{sina}}_{1\mathrm{\ψ}i}=\frac{{\mathrm{Asina}}_0-{\mathrm{\δ}}_a-R_i{\mathrm{\θcos\ψ}}_i}{S_{1\mathrm{\ψ}i}}---\left(4\right)$

${\mathrm{cosa}}_{1\mathrm{\ψ}i}=\frac{{\mathrm{Acosa}}_0-{\mathrm{\δ}}_r{\mathrm{cos\ψ}}_i}{S_{1\mathrm{\ψ}i}}---\left(5\right)$

$S_{1\mathrm{\ψ}i}={\[{({\mathrm{Asina}}_0+{\mathrm{\δ}}_a+R_i{\mathrm{\θcos\ψ}}_i)}^2+{({\mathrm{Acosa}}_0+{\mathrm{\δ}}_r{\mathrm{cos\ψ}}_i)}^2\]}^{\frac{1}{2}}---\left(6\right)$

A＝(f_i+f_e-1)D_w1 (7)

$R_i=\frac{1}{2}{d}_{m1}+(f_i-0.5)D_{w1}{\mathrm{cosa}}_0---\left(8\right)$

其中，S_1ψi为受负载位移之后任意位置的内外圈沟曲率中心距，A为内外圈原始沟曲率中心距，R_i为钢球内滚道沟曲率中心所在圆的半径。

任意位置钢球的变形量δ_1i等于受负载之后内外圈沟曲率中心距与原始沟曲率中心距之差：

δ_1i＝S_1ψi-A (9)

钢球为点接触，所以滚道对钢球的法向载荷与钢球的接触变形的关系为：

Q_1i＝K_n1[max(δ_1i,0)]^3/2 (10)

其中K_n1为滚动体与内外圈之间的总负载-变形常数。左列钢球数为Z₁，则角接触钢球接触载荷径向分量总和为：

$Q_{1r}=\underset{i=1}{\overset{Z_1}{\Σ}}{Q}_{1i}{\mathrm{cos\α}}_{1\mathrm{\ψ}i}{\mathrm{cos\ψ}}_i---\left(11\right)$

角接触钢球接触载荷轴向分量总和为：

$Q_{1a}=\underset{i=1}{\overset{Z_1}{\Σ}}{Q}_{1i}{\mathrm{sin\α}}_{1\mathrm{\ψ}i}---\left(12\right)$

由于球-锥混合轴承为双列轴承，轴承内圈中心与钢球节圆中心不同心(如图1所示两中心距离为R₁₂)，故其接触载荷径向分量也会产生抵抗力矩M_1ir，所有钢球的接触载荷径向分量抵抗力矩M_1ir与接触载荷轴向分量抵抗力矩M_1ia相加构成左列钢球总抵抗力矩M₁。

M_1ir＝R₁₂Q_1icosα_1ψicosψ_i＝0.5d_e1Q_1icosα_1ψicosψ_i (13)

M_1ia＝0.5d_m1Q_1isinα_1ψicosψ_i (14)

$M_1=\underset{i=1}{\overset{Z_1}{\Σ}}(M_{1ia}+M_{1ir})=0.5(d_{m1}{\mathrm{sin\α}}_{1\mathrm{\ψ}i}+d_{e1}{\mathrm{cos\α}}_{1\mathrm{\ψ}i})\underset{i=1}{\overset{Z_1}{\Σ}}{Q}_{1i}{\mathrm{cos\ψ}}_i---\left(15\right)$

其中，d_m1为左列钢球节圆直径(d_m1＝2R₁₁)，为表述便捷引入d_e1(d_e1＝2R₁₂)，R₁₂为轴承内圈中心O与钢球节圆中心O₁’之间的距离。

右列圆锥滚子与滚道之间为线接触，对于右列使滚子载荷产生位移的方向与左列有所区别。在第i个滚子处，转角θ_i的分量为：

θ_i＝θcosφ_i (16)

其中，φ_i为第i个圆锥滚子的位置角。

由于力矩作用而使右列圆锥滚子产生的径向和轴向位移分量如图2所示。在第i个滚子处产生的径向位移分量δ_rθi与轴向位移分量δ_aθi为：

δ_rθi＝R₂₂θcosφ_i (17)

δ_aθi＝0.5d_m2θcosφ_i (18)

上式中R₂₂为轴承内圈中心O与钢球节圆中心O₂’之间的距离，d_m2为圆锥滚子节圆直径，则在第i个滚子处的径向总位移δ_2ri为：

δ_2ri＝δ_rcosφ_i-δ_rθi＝(δ_r-R₂₂θ)cosφ_i (19)

在第i个滚子处的轴向总位移δ_2ai为：

δ_2ai＝δ₀-δ_aθi-δ_a＝δ₀-0.5d_m2θcosφ_i-δ_a (20)

δ₀为轴向游隙(即轴向预紧量)；在第i个滚子处其外滚道法向接触总位移δ_2i为径向总位移δ_2ri和轴向总位移δ_2ai在外滚道投影之和，其中α_e为圆锥滚子与外圈接触角，α_i为圆锥滚子与内圈接触角，如图3所示。

δ_2i＝δ_2ricosα_e+δ_2aisinα_e (21)

即：

δ_2i＝(δ_r-R₂₂θ)cosφ_i cosα_e+(δ₀-0.5d_m2θcosφ_i-δ_a)sinα_e (22)

则第i个滚子与外圈接触载荷为：

Q_2i＝K_n2[max(δ_2i,0)]^10/9 (23)

对于圆锥滚子，其内、外接触角之差等于锥角，若其半锥角较小，则其内、外接触角之差也随之较小，则滚子与外滚道接触处的总刚度系数K_n2可按照圆柱滚子接触刚度公式计算：

K_n2＝2.89×10⁴×l^0.82×D_w2 ^0.11 (24)

式中：l为滚子有效接触长度，D_w2为圆锥滚子平均直径。

圆锥滚子接触载荷径向分量总和为：

$Q_{2r}=\underset{i=1}{\overset{Z_2}{\Σ}}{Q}_{2i}{\mathrm{cos\α}}_e{\mathrm{cos\φ}}_i---\left(25\right)$

圆锥滚子接触载荷轴向分量总和为：

$Q_{2a}=\underset{i=1}{\overset{Z_2}{\Σ}}{Q}_{2i}{\mathrm{sin\α}}_e---\left(26\right)$

由于球-锥混合轴承为双列轴承，轴承内圈中心与滚子节圆中心不同心(如图1所示两中心距离为R₂₂)，故其接触载荷径向分量也会产生抵抗力矩M_2ir，右列滚子的接触载荷径向分量总抵抗力矩M_2ir与接触载荷轴向分量总抵抗力矩M_2ia相加构成圆锥滚子总抵抗力矩M₂，如下式所示：

M_2ir＝R₂₂Q_2i cosα_ecosφ_i＝0.5d_e2Q_2i cosα_ecosφ_i (27)

M_2ia＝0.5d_m2Q_2i sinα_ecosφ_i (28)

$M_2=\underset{i=1}{\overset{Z_2}{\Σ}}(M_{2ia}+M_{2ir})=0.5(d_{m2}{\mathrm{sin\α}}_e+d_{e2}{\mathrm{cos\α}}_e)\underset{i=1}{\overset{Z_2}{\Σ}}{Q}_{2i}{\mathrm{cos\φ}}_i---\left(29\right)$

其中d_m2为右列滚子节圆直径(d_m2＝2R₂₁)，为表述便捷引入d_e2(d_e2＝2R₂₂)，R₂₂为轴承内圈中心O与滚子节圆中心O₂’之间的距离。

轴承内圈在外部载荷和所有滚动体反作用力的合力作用下处于平衡状态，平衡方程如下：

$\left\{\begin{array}{c}{F}_r-Q_{1r}-Q_{2r}=0\\ F_a-Q_{1a}+Q_{2a}=0\\ M-M_1+M_2=0\end{array}\right.---\left(30\right)$

平衡方程(30)构成了以δ_r、δ_a、θ为未知量的三个非线性方程组，可运用Newton迭代法进行运算求解。将汽车不同行驶状态下驾驶室侧轮胎所承受的径向力F_rn、轴向力F_an和颠覆力矩M_n分别作为外部负载(n＝1、2、3、4)，即可求取球、锥混合双列轮毂轴承单元内圈对应的径向位移量δ_r、轴向位移量δ_a和角位移量θ。

3.基于载荷谱下确定球、锥混合双列轮毂轴承单元最佳预紧量。

在一个试验周期内(周期为100s)轮毂轴承单元所受载荷要随着行驶情况(良好路面直行、左转、颠簸路面直行、右转)的不同而发生变化。假设在良好路面直行、左转、颠簸路面直行、右转四种行驶情况下，每种行驶情况下轮毂轴承单元所承受载荷的对应时间分配率分别为q₁、q₂、q₃、q₄，轮毂轴承转速分别为n₁、n₂、n₃、n₄(单位r/min)，此时轴承的当量动载荷分别为Q_e1、Q_e2、Q_e3、Q_e4，则基于载荷谱多工况下，轴承套圈的平均当量动载荷为：

$Q_{\stackrel{\‾}{e}}={\left(\frac{{Q_{e1}}^3{n}_1{q}_1+{Q_{e2}}^3{n}_2{q}_2+{Q_{e3}}^3{n}_3{q}_3+{Q_{e4}}^3{n}_4{q}_4}{n_1{q}_1+n_2{q}_2+n_3{q}_3+n_4{q}_4}\right)}^{1/3}---\left(31\right)$

其中：(下标n＝1、2、3、4)，n_n为良好路面直行、左转、颠簸路面直行、右转四种行驶情况下对应的轮毂轴承主轴转速(单位r/min)，u_n为四种行驶情况下对应的汽车行驶速度(单位km/h)。

求得基于载荷谱下轴承套圈的平均当量动载荷Q_e，根据轴承额定寿命计算方法，分别计算球、锥混合双列轮毂轴承单元左列钢球基本额定寿命L_{10_1}和右列圆锥滚子基本额定寿命L_{10_2}(L_{10_1}和L_{10_2}求取方法与L₁₀求取方法类似)，然后得到整个球、锥混合双列轮毂轴承单元的综合寿命L₁₀为：

$L_{10}={({L_{10\_1}}^{-e1}+{L_{10\_2}}^{-e2})}^{-\frac{1}{e}}---\left(32\right)$

对于点接触e1＝9/8，对于线接触e2＝10/9，e取两者较小值，故e＝e2。

由于轮毂轴承单元均采用过盈配合进行装配，所以其轴向预紧量δ₀不大于零。以0作为轴向预紧量的初始值，-0.0025作为增量，对球、锥混合双列轮毂轴承单元的轴向预紧量取一系列初值：0、-0.0025、-0.005、-0.0075、...。

分别以每个轴向预紧量值作为轴向游隙，利用上文平衡方程(式30)和综合寿命公式(式32)，求取每个轴向预紧量下相对应的轮毂轴承单元的单列套圈寿命和综合寿命，以一系列轴向预紧量初值作为横坐标，求取的相对应轮毂轴承单元套圈寿命作为纵坐标，可分别绘制出：左列钢球套圈寿命-预紧量关系图、右列圆锥滚子套圈寿命-预紧量关系图、轮毂轴承单元的综合寿命-预紧量关系图。从中可以确定出轮毂轴承单元单列套圈和整个轮毂轴承单元的最佳预紧量。

下面以某一具体的球、锥混合双列轮毂轴承为例对本发明进行说明。

步骤1：制定球、锥混合双列轮毂轴承单元载荷谱

载荷谱的制定便于更好地分析轮毂轴承的性能，为轮毂轴承的耐久性分析计算提供了更加科学合理的依据。由于汽车行驶环境的多样性和不确定性，对于球、锥混合双列轮毂轴承单元，其载荷谱包含四种行驶状态：良好路面直行、左转、颠簸路面直行、右转(见表1所示，)四种状态分别对应下标n＝1、2、3、4。

借鉴国外轮毂轴承耐久性试验标准周期，取一个实验周期为100s，基于中国路面基本情况，取其直线行驶时间分配率为94％，转弯时间占用率为6％。其中良好路面直行时间占用率和颠簸路面直行时间占用率分别为50％和44％；左转和右转时间占有率都为3％。对某型号越野车驾驶室侧(即汽车前轴左侧)轮毂轴承进行分析，采用公式(1)、(2)和(3)计算其轮胎径向力F_rn、轮胎轴向力F_an和倾覆力矩M_n。具体参数值见表1和表2所示。

表1

表2

根据汽车的相关参数，按照不同行驶路况下对应的载荷冲击系数f_w和侧向加速度a_g,计算出良好路面执行、左转、颠簸路面直行、右转四种行驶情况下，球、锥混合双列轮毂轴承单元所受的径向载荷F_rn、轴向载荷F_an和倾覆力矩M_n(n＝1、2、3、4)，具体结果见表3.

表3

以时间为横坐标，不同行驶状态载荷值为纵坐标，取一个实验周期为100s，按照表1所示越野车四种行驶情况下所对应的时间分配率，即可获得球、锥混合双列轮毂轴承单元相对应的载荷谱，如图4所示。

步骤2：建立球锥双列轮毂轴承单元静力学模型并求取其内圈中心位移量。

假设球、锥混合双列轮毂轴承单元其外圈固定，当内圈承受径向力F_r、轴向力F_a和颠覆力矩M联合作用时，其径向位移为δ_r、轴向位移为δ_a、角位移为θ，本文定义对于每列轴承使滚动体载荷增加的位移为正位移，反之则为负位移。球、锥混合双列轮毂轴承单元结构及受力示意图如图1所示。并规定左列钢球相关表达式所用下标为1，右列圆锥滚子相关表达式所用下标为2，用i表示滚动体(左列钢球、右列圆锥滚子)。

以某企业设计出的新型球、锥混合双列轮毂轴承单元为例，其轴承相关参数如下：左列钢球直径、钢球数和钢球节圆直径分别为：D_W1＝12.6mm、Z₁＝16、d_m1＝65mm、钢球原始接触角α₀＝45°，内、外沟曲率系数分别是f_i＝0.513、f_e＝0.523，轴承内圈中心O与钢球节圆中心O₁’之间的距离R₁₂＝10.5mm；右列圆锥滚子平均直径、滚子数、滚子母线接触长度和滚子节圆直径分别为：D_W2＝9.46mm、Z₂＝21、L＝12.3mm、d_m2＝63mm、圆锥滚子与外圈接触角α_e＝25.46°、圆锥滚子与内圈接触角α_i＝22.16°，轴承内圈中心O与滚子节圆中心O₂’之间的距离R₂₂＝10.5mm。

以步骤1中计算出的：良好路面直行、左转、颠簸路面直行、右转等四种行驶状态下，驾驶室侧轮胎所承受的径向力F_rn、轴向力F_an和颠覆力矩M_n分别作为外部负载(n＝1、2、3、4)，轴向预紧量δ₀设置为0，运用Newton迭代法进行运算求解，即可求取球、锥混合双列轮毂轴承单元内圈对应的径向位移量δ_r、轴向位移量δ_a和角位移量θ，如表4所示。

表4

步骤3：基于载荷谱下确定球、锥混合双列轮毂轴承单元最佳预紧量。

在一个试验周期内(周期为100s)轮毂轴承单元所受载荷随着行驶情况(良好路面直行、左转、颠簸路面直行、右转)的不同而发生变化。假设在良好路面直行、左转、颠簸路面执行、右转四种行驶情况下，每种行驶情况下轮毂轴承单元所承受载荷的对应时间分配率分别为q₁、q₂、q₃、q₄；轮毂轴承转速分别为n₁、n₂、n₃、n₄(单位r/min)，其中：(下标n＝1、2、3、4)，u_n为四种行驶情况下对应的汽车行驶速度(单位km/h)，数值见表1所示。

此时轴承的当量动载荷分别为Q_e1、Q_e2、Q_e3、Q_e4，则基于载荷谱多工况下，由公式(31)可计算出轴承套圈的平均当量动载荷求得基于载荷谱下轴承套圈的平均当量动载荷根据轴承额定寿命计算方法，可分别计算出球、锥混合双列轮毂轴承单元左列钢球基本额定寿命L10_1、右列圆锥滚子基本额定寿命L10_2和整个球、锥混合双列轮毂轴承单元的综合寿命L10(见式32)。

由于轮毂轴承单元均采用过盈配合进行装配，所以其轴向预紧量δ₀不大于零。以0作为轴向预紧量的初始值，-0.0025作为增量，对球、锥混合双列轮毂轴承单元的轴向预紧量取一系列初值：0、-0.0025、-0.005、-0.0075、...。

分别以每个轴向预紧量值作为轴向游隙，利用上文平衡方程(式30)和综合寿命公式(式32)，求取每个轴向预紧量下相对应的轮毂轴承单元的单列套圈寿命和综合寿命，从中可以精确确定出轮毂轴承单元单列套圈和整个轮毂轴承单元的最佳预紧量。

以一系列轴向预紧量初值作为横坐标，求取的相对应轮毂轴承单元套圈寿命作为纵坐标，可分别绘制出：左列钢球套圈寿命-预紧量关系图(如图5所示)、右列圆锥滚子套圈寿命-预紧量关系图(如图6所示)、轮毂轴承单元的综合寿命-预紧量关系图(如图7所示)。从套圈寿命-预紧量关系图中可以更方便快捷的看出轮毂轴承单元单列套圈和整个轮毂轴承单元的最佳预紧量。从图5中可以确定左列钢球套圈最佳预紧量δ₀为-0.025；从图6中可以确定右列圆锥滚子预紧量δ₀在0到-0.0125之间都比较好；从图7中可以确定整个球、锥混合轮毂轴承单元的最佳预紧量δ₀为-0.0175。

本发明获取球、锥混合双列轮毂轴承载荷分布的装置的实施例

本实施例中获取球、锥混合双列轮毂轴承载荷分布的装置包括载荷确定模块、位移量确定模块、寿命计算模块和最佳预紧量确定模块，载荷确定模块用于根据轮胎受力公式计算不同行驶情况下球、锥混合双列轮毂轴承单元所受的径向载荷F_rn、轴向载荷F_an和倾覆力矩M_n，并根据各行驶情况所对应的时间分配率确定球、锥混合双列轮毂轴承单元相对应的载荷谱；位移量确定模块用于根据球、锥混合双列轮毂轴承的力学模型建立以其内圈中心径向位移δ_r、轴向位移δ_a和角位移θ三个未知量构成的内圈力学平衡方程，并以所确定的径向载荷F_rn、轴向载荷F_an和颠覆力矩M_n作为外部负载求解该平衡方程，以得到球、锥混合双列轮毂轴承单元内圈对应的径向位移量δ_r、轴向位移量δ_a和角位移量θ；寿命计算模块用于根据于所建立的载荷谱计算平均当量动载荷，根据轴承额定寿命计算球、锥混合双列轮毂轴承单元钢球基本额定寿命L_{10_1}和或圆锥滚子基本额定寿命L_{10_2}；最佳预紧量确定模块用于以每个轴向预紧量值作为轴向游隙，求取每个轴向预紧量下相对应的轮毂轴承单元的单列套圈寿命和综合寿命，确定出轮毂轴承单元单列套圈和整个轮毂轴承单元的最佳预紧量。各模块的具体实现手段已在方法的实施例中进行了说明，这里不再赘述。

Claims (10)

1.一种球、锥混合双列轮毂轴承最佳预紧量的确定方法，其特征在于，该方法包括以下步骤：

1)根据轮胎受力公式计算不同行驶情况下球、锥混合双列轮毂轴承单元所受的径向载荷F_rn、轴向载荷F_an和倾覆力矩M_n，并根据各行驶情况所对应的时间分配率确定球、锥混合双列轮毂轴承单元相对应的载荷谱；

2)根据球、锥混合双列轮毂轴承的力学模型建立以其内圈中心径向位移δ_r、轴向位移δ_a和角位移θ三个未知量构成的内圈力学平衡方程，并以步骤1)中所确定的径向载荷F_rn、轴向载荷F_an和颠覆力矩M_n作为外部负载求解该平衡方程，以得到球、锥混合双列轮毂轴承单元内圈对应的径向位移量δ_r、轴向位移量δ_a和角位移量θ；

3)基于所建立的载荷谱计算平均当量动载荷，根据轴承额定寿命计算球、锥混合双列轮毂轴承单元钢球基本额定寿命L_{10_1}和或圆锥滚子基本额定寿命L_{10_2}；

4)以每个轴向预紧量值作为轴向游隙，建立预紧量与轮毂轴承单元寿命关系，以轮毂轴承单元单列套圈和或整个轮毂轴承单元寿命最长所对应的预紧量为最佳预紧量。

2.根据权利要求1所述的球、锥混合双列轮毂轴承最佳预紧量的确定方法，其特征在于，所述步骤4)中平均当量动载荷的计算公式为：

$Q_{\stackrel{\‾}{e}}={\left(\frac{{Q_{e1}}^3{n}_1{q}_1+{Q_{e2}}^3{n}_2{q}_2+\mathrm{...}+{Q_{ei}}^3{n}_i{q}_i+\mathrm{...}+{Q_{en}}^3{n}_n{q}_n}{n_1{q}_1+n_2{q}_2+\mathrm{...}+n_i{q}_i+\mathrm{...}+n_n{q}_n}\right)}^{1/3}$

其中Q_ei为第i种行驶情况下轴承的当量动载荷，n_i为第i种行驶情况下轮毂轴承转速，q_i为第i种行驶情况轮毂轴承单元所承受载荷的对应时间分配率，下标n为行驶情况的种类。

3.根据权利要求1所述的球、锥混合双列轮毂轴承最佳预紧量的确定方法，其特征在于，所述步骤4)中的综合寿命L₁₀为：

$L_{10}={({L_{10\_1}}^{-e1}+{L_{10\_2}}^{-e2})}^{-\frac{1}{e}}$

其中e1为点接触，e2为线接触，e为e1和e2中的较小者。

4.根据权利要求1所述的球、锥混合双列轮毂轴承最佳预紧量的确定方法，其特征在于，步骤2)所建立的平衡方程为：

$\left\{\begin{array}{c}{F}_r-Q_{1r}-Q_{2r}=0\\ F_a-Q_{1a}+Q_{2a}=0\\ M-M_1+M_2=0\end{array}\right.$

$Q_{1r}=\underset{i=1}{\overset{Z_1}{\Σ}}{Q}_{1i}{\mathrm{cos\α}}_{1\mathrm{\ψ}i}{\mathrm{cos\ψ}}_i$

$Q_{1a}=\underset{i=1}{\overset{Z_1}{\Σ}}{Q}_{1i}{\mathrm{sin\α}}_{1\mathrm{\ψ}i}$

$M_1=\underset{i=1}{\overset{Z_1}{\Σ}}(M_{1ia}+M_{1ir})=0.5(d_{m1}{\mathrm{sin\α}}_{1\mathrm{\ψ}i}+d_{e1}{\mathrm{cos\α}}_{1\mathrm{\ψ}i})\underset{i=1}{\overset{Z_1}{\Σ}}{Q}_{1i}{\mathrm{cos\ψ}}_i$

$Q_{2r}=\underset{i=1}{\overset{Z_2}{\Σ}}{Q}_{2i}{\mathrm{cos\α}}_e{\mathrm{cos\φ}}_i$

$Q_{2a}=\underset{i=1}{\overset{Z_2}{\Σ}}{Q}_{2i}{\mathrm{sin\α}}_e$

$M_2=\underset{i=1}{\overset{Z_2}{\Σ}}(M_{2ia}+M_{2ir})=0.5(d_{m2}{\mathrm{sin\α}}_e+d_{e2}{\mathrm{cos\α}}_e)\underset{i=1}{\overset{Z_2}{\Σ}}{Q}_{2i}{\mathrm{cos\φ}}_i$

Q_1i为滚道对钢球的法向载荷，α_1ψi表示受载后任意位置钢球的接触角，ψ_i表示钢球的位置角，Z₁表示钢球数，d_m1为钢球节圆直径，d_e1为轴承内圈中心O与钢球节圆中心O₁’之间距离的2倍，Q_2i为滚子与外圈接触载荷，α_e为圆锥滚子与外圈接触角，φ_i为第i个圆锥滚子的位置角，Z₂表示滚子数，d_m2为滚子节圆直径，d_e2为轴承内圈中心O与滚子节圆中心O₂’之间距离的2倍。

5.根据权利要求4所述的球、锥混合双列轮毂轴承最佳预紧量的确定方法，其特征在于，所述滚道对钢球的法向载荷和滚子与外圈接触载荷的计算公式分别为：

Q_1i＝K_n1[max(δ_1i,0)]^3/2

Q_2i＝K_n2[max(δ_2i,0)]^10/9

${\mathrm{\δ}}_{1i}={\[{({\mathrm{Asina}}_0+{\mathrm{\δ}}_a+R_i{\mathrm{\θcos\ψ}}_i)}^2+{({\mathrm{Acosa}}_0+{\mathrm{\δ}}_r{\mathrm{cos\ψ}}_i)}^2\]}^{\frac{1}{2}}-A$

δ_2i＝(δ_r-R₂₂θ)cosφ_icosα_e+(δ₀-0.5d_m2θcosφ_i-δ_a)sinα_e

其中K_n1为滚动体与内外圈之间的总负载-变形常数，α₀为原始接触角，R_i为钢球内滚道沟曲率中心所在圆的半径，A为内外圈原始沟曲率中心距，R₂₂为轴承轴承内圈中心O与钢球节圆中心O₂’之间的距离，δ₀为轴向游隙即轴向预紧量。

6.根据权利要求1所述的球、锥混合双列轮毂轴承最佳预紧量的确定方法，其特征在于，所述步骤1)中径向载荷F_rn、轴向载荷F_an和倾覆力矩M_n的计算公式分别为：

$F_{rn}=f_w\frac{W}{2}g(1+2a_g\frac{h}{tr})$

$F_{an}=-f_w\frac{W}{2}g(a_g+2{a_g}^2\frac{h}{tr})$

M_n＝F_rns_o+F_anR_s

其中f_w为载荷冲击系数，W为汽车重量，g为重力加速度，a_g为汽车侧向加速度率，h为汽车质心高度，l为前轴轮间距，s₀为径向受力偏心距，R_s为汽车轮胎半径，tr为汽车前轴轮间距。

7.根据权利要求1-6中任一项所述的球、锥混合双列轮毂轴承最佳预紧量的确定方法，其特征在于，步骤2)中的平衡方程采用Newton-Raphson迭代法进行求解。

8.一种球、锥混合双列轮毂轴承最佳预紧量的确定装置，其特征在于，该装置包括载荷确定模块、位移量确定模块、寿命计算模块和最佳预紧量确定模块，

所述载荷确定模块用于根据轮胎受力公式计算不同行驶情况下球、锥混合双列轮毂轴承单元所受的径向载荷F_rn、轴向载荷F_an和倾覆力矩M_n，并根据各行驶情况所对应的时间分配率确定球、锥混合双列轮毂轴承单元相对应的载荷谱；

所述位移量确定模块用于根据球、锥混合双列轮毂轴承的力学模型建立以其内圈中心径向位移δ_r、轴向位移δ_a和角位移θ三个未知量构成的内圈力学平衡方程，并以所确定的径向载荷F_rn、轴向载荷F_an和颠覆力矩M_n作为外部负载求解该平衡方程，以得到球、锥混合双列轮毂轴承单元内圈对应的径向位移量δ_r、轴向位移量δ_a和角位移量θ；

所述的寿命计算模块用于根据于所建立的载荷谱计算平均当量动载荷，根据轴承额定寿命计算球、锥混合双列轮毂轴承单元钢球基本额定寿命L_{10_1}和或圆锥滚子基本额定寿命L_{10_2}；

所述最佳预紧量确定模块用于以每个轴向预紧量值作为轴向游隙，建立预紧量与轮毂轴承单元寿命关系，以轮毂轴承单元单列套圈和或整个轮毂轴承单元寿命最长所对应的预紧量为最佳预紧量。

9.根据权利要求8所述的球、锥混合双列轮毂轴承最佳预紧量的确定装置，其特征在于，所述寿命计算模块中采用的平均当量动载荷的计算公式为：

$Q_{\stackrel{\‾}{e}}={\left(\frac{{Q_{e1}}^3{n}_1{q}_1+{Q_{e2}}^3{n}_2{q}_2+\mathrm{...}+{Q_{ei}}^3{n}_i{q}_i+\mathrm{...}+{Q_{en}}^3{n}_n{q}_n}{n_1{q}_1+n_2{q}_2+\mathrm{...}+n_i{q}_i+\mathrm{...}+n_n{q}_n}\right)}^{1/3}$

其中Q_ei为第i种行驶情况下轴承的当量动载荷，n_i为第i种行驶情况下轮毂轴承转速，q_i为第i种行驶情况轮毂轴承单元所承受载荷的对应时间分配率，下标n为行驶情况的种类。

10.根据权利要求8所述的球、锥混合双列轮毂轴承最佳预紧量的确定装置，其特征在于，所述位移量确定模块中建立的平衡方程为：

$\left\{\begin{array}{c}{F}_r-Q_{1r}-Q_{2r}=0\\ F_a-Q_{1a}+Q_{2a}=0\\ M-M_1+M_2=0\end{array}\right.$

$Q_{1r}=\underset{i=1}{\overset{Z_1}{\Σ}}{Q}_{1i}{\mathrm{cos\α}}_{1\mathrm{\ψ}i}{\mathrm{cos\ψ}}_i$

$Q_{1a}=\underset{i=1}{\overset{Z_1}{\Σ}}{Q}_{1i}{\mathrm{sin\α}}_{1\mathrm{\ψ}i}$

$M_1=\underset{i=1}{\overset{Z_1}{\Σ}}(M_{1ia}+M_{1ir})=0.5(d_{m1}{\mathrm{sin\α}}_{1\mathrm{\ψ}i}+d_{e1}{\mathrm{cos\α}}_{1\mathrm{\ψ}i})\underset{i=1}{\overset{Z_1}{\Σ}}{Q}_{1i}{\mathrm{cos\ψ}}_i$

$Q_{2r}=\underset{i=1}{\overset{Z_2}{\Σ}}{Q}_{2i}{\mathrm{cos\α}}_e{\mathrm{cos\φ}}_i$

$Q_{2a}=\underset{i=1}{\overset{Z_2}{\Σ}}{Q}_{2i}{\mathrm{sin\α}}_e$

$M_2=\underset{i=1}{\overset{Z_2}{\Σ}}(M_{2ia}+M_{2ir})=0.5(d_{m2}{\mathrm{sin\α}}_e+d_{e2}{\mathrm{cos\α}}_e)\underset{i=1}{\overset{Z_2}{\Σ}}{Q}_{2i}{\mathrm{cos\φ}}_i$

Q_1i为滚道对钢球的法向载荷，α_1ψi表示受载后任意位置钢球的接触角，ψ_i表示钢球的位置角，Z₁表示钢球数，d_m1为钢球节圆直径，d_e1为轴承内圈中心O与钢球节圆中心O₁’之间距离的2倍，Q_2i为滚子与外圈接触载荷，α_e为圆锥滚子与外圈接触角，φ_i为第i个圆锥滚子的位置角，Z₂表示滚子数，d_m2为滚子节圆直径，d_e2为轴承内圈中心O与滚子节圆中心O₂’之间距离的2倍。