CN113946919B - 一种含组合角不对中的深沟球轴承准静态解析模型分析方法 - Google Patents

Abstract

本发明提出了一种考虑组合角不对中的深沟球轴承的准静态解析模型分析方法，属于接触力学技术领域。针对含有不对中轴线方位角时变的角不对中形式的深沟球轴承的研究较少的情况下，通过对深沟球轴承中组合不对中引起的非正常预紧载荷计算，得到组合角不对中引起的异常预紧力，然后基于双层牛顿拉普斯迭代法建立深沟球轴承在外部载荷作用下的拟静力学模型，给出了一种基于解析雅克比矩阵的牛顿拉普斯方法，该求解算法对初值条件的敏感度相对较低。可得到组合角不对中的深沟球轴承在多因素影响下的接触及摩擦特性，而不仅仅是单一角不对中的影响，为轴承的后续研究提供了技术支持。

Description

一种含组合角不对中的深沟球轴承准静态解析模型分析方法

背景技术

本发明针对目前对于含有组合角不对中形式，尤其是含有不对中轴线方位角时变的角不对中形式的深沟球轴承的研究较少的情况下，提出了一种考虑组合角不对中的深沟球轴承的准静态解析模型分析方法，属于接触力学技术领域。

深沟球轴承被广泛应用于转子系统中。由于轴承座歪斜，主轴变形，轴套加工误差，以及暴力装配等原因，导致轴承存在角不对中误差，这使得轴承在运转之前便受到了由于角不对中引起的非正常预紧载荷。此外，当轴承在运转过程中时还会承受一定的外载荷，例如质量偏心引起的不平衡载荷，齿轮啮合引起的轴承支撑载荷等。角不对中引起的非正常预紧载荷，系统的外载荷，以及转速三者共同影响了深沟球轴承的接触及摩擦特性。

有一些学者在球轴承角不对中方面进行了相关的研究，但是研究对象多为角接触球轴承并且仅研究了单一角不对中的影响，对于含有组合角不对中形式，尤其是含有不对中轴线方位角时变的角不对中形式的深沟球轴承的研究较少。此外，研究多聚焦在接触及刚度特性方面，对摩擦特性的研究相对较少。

发明内容

本发明通过建立组合角不对中深沟球轴承模型，进而求解得到组合角不对中产生的非正常预紧载荷，进而研究其接触与摩擦特性，为轴承的后续研究提供技术支持。

建模条件：滚珠均匀分布，不考虑保持架的影响；忽略润滑与温度的影响；假设滚珠与内滚道和外滚道之间的摩擦系数相等；忽满足赫兹点接触条件。

含组合角不对中的深沟球轴承准静态解析模型，考虑到外圈与内圈角不对中可能同时存在，给出两种组合角不对中类型，分别为外圈不对中与不对中轴线方位角固定的内圈角不对中的组合不对中类型，和外圈不对中与不对中轴线方位角时变的内圈角不对中的组合不对中类型，弥补了当前对深沟球轴承组合角不对中的深沟球轴承的接触及摩擦特性研究的空缺。当滚珠脱离滚道时应依据非承载区滚珠的条件进行计算。非承载区滚珠与外滚道之间的接触角为0，载荷变形系数为K_oj(α_oj＝0)。非承载区滚珠与内滚道之间不接触，因此可以假设载荷变形系数K_ij＝0。模型的求解流程主要分为两个部分，分别为组合不对中引起的非正常预紧载荷计算和不对中与外载荷作用下的深沟球轴承拟静力学模型求解。针对球轴承拟静力学模型的求解问题，采用了基于解析雅克比矩阵的牛顿拉普斯方法，对初值条件的敏感度相对较低。

一种含组合角不对中的深沟球轴承准静态解析模型分析方法，包括如下：

步骤1.建立含组合角不对中的深沟球轴承准静态解析模型

步骤1-1，建立滚珠的变形协调关系，为了计算轴承套圈组合角不对中引起的非正常预紧力，需要建立滚珠的平衡方程组。正常深沟球轴承存在径向游隙 S_r，根据轴承的几何参数可以计算得到轴承的初始接触角α⁰和轴向游隙S_a。滚珠的初始接触状态如图1所示。

根据勾股定理，初始接触角α⁰可以表示为：

其中d_b为球的直径。f_i和f_o分别为内外滚道的曲率系数，f_i＝r_i/d_b,f_o＝r_o/d_b.r_i和r_o分别为内滚道和外滚道的曲率半径。S_r表示轴承的径向游隙。

轴向游隙S_a可以表示为：

内圈和外圈的曲率中心到轴承中心的径向距离r_pi和r_po可以表示为：

式中d_m为轴承节径。

通常深沟球轴承的内圈与主轴连接，外圈安装在轴承座内。假设轴承外圈固定，内圈跟随主轴一起转动。当轴承内圈承受外载荷时，部分滚珠承担载荷，其余滚珠不承担载荷。因此轴承的载荷分布区域包括承载区和非承载区。承载区滚珠的受力状态与非承载区的滚珠有所不同，如图2所示。

当内圈受力并产生位移之后，内滚道曲率中心由初始接触位置O_i'移至O_i”。同样的，滚珠中心的位置由O_b'移至O_b”。由于轴承外圈固定，因此外滚道曲率中心O_o固定不变。承载区滚珠的变形协调关系如图2(a)所示，非承载区滚珠的变形协调条件如图2(b)所示。

对于承载区的滚珠，内圈的曲率中心O_i'和O_i”之间的轴向距离B_1j可以表示为：

其中为第j个球的方位角。δ_z为内圈沿z轴的位移。θ_x表示内层绕x轴的角位移。θ_y表示内圈绕y轴的角位移。

内圈的曲率中心O_i'和O_i”之间的径向距离B_2j可以表示为：

中δ_x表示内圈沿x轴的位移。δ_y表示内圈沿y轴的位移。

内滚道和外滚道曲率中心O_i”和O_o之间的轴向距离A_1j和径向距离A_2j分别可由:

根据勾股定理，当球处于承重区域时，其变形协调方程为:

其中X_1j表示从球的中心O_b”到外滚道的曲率中心O_o的轴向距离。X_2j是球的中心O_b”到外滚道曲率中心O_o的径向距离。δ_i为球与内滚道之间的接触变形。δ_oj表示球与外滚道之间的接触变形。

当球处于非承重区域时，其变形协调关系可表示为：

以上不等式可作为球状态的判别条件。若不等式条件满足，则球处于非承重区。如果不满足不等式条件，则球处于承重区。

步骤1-2，建立考虑挡边的滚珠力平衡方程，考虑到当套圈的不对中量过大时，滚珠与滚道之间的接触椭圆可能会被滚道的挡边截断，这会削弱滚珠与滚道之间的载荷变形系数，使得接触力同样被削弱。这里引入一种考虑接触椭圆超过挡边时的接触载荷变形系数的简单计算方法。

滚珠与滚道之间的接触椭圆被挡边截断时的状态如图3所示。

滚道挡边对应的角度φ_i/o可表示为:

下标i/o表示内滚道或外滚道。h_i/o表示滚道挡边高度。

接触椭圆半长轴对应的角可表示为：/>

下标ij/oj表示第j个球接触内滚道或外滚道。a_ij/oj为接触椭圆的半长轴。

球与内外滚道的接触角α_ij和α_oj分别可表示为:

接触椭圆的截断比可以用来确定接触椭圆是否超过滚道挡边。接触椭圆的截断比可表示为:

当滚珠未脱离滚道时载荷变形系数K_ij/oj可以写为：

式中E_e表示等效弹性模量.κ_ij/oj为椭圆偏心率参数.表示第一种完全椭圆积分。/>表示第二类完全椭圆积分。∑ρ_ij/oj是曲率的和。

当滚珠脱离滚道时应依据非承载区滚珠的条件进行计算。非承载区滚珠与外滚道之间的接触角为0，载荷变形系数为K_oj(α_oj＝0)。非承载区滚珠与内滚道之间不接触，因此可以假设载荷变形系数K_ij＝0。

接触载荷Q_ij/oj可表示为:

滚珠的姿态角β_j可表示为:

式中，γ_ij/oj＝d_bcosα_ij/oj/d_m。

第j个滚珠绕轴承z轴的轨道角速度ω_cj可表示为:

第j个滚珠绕自身轴的角速度ω_bj可以表示为:

离心力F_cj和陀螺转矩M_gj可表示为:

式中m_b表示球的质量.J_b为球的转动惯量。

球的受力分析如图4所示。当滚珠存在非零接触角与转速时，存在陀螺力矩。进而使得滚珠与内外滚道接触面产生切向摩擦力与陀螺力矩相平衡。

球在承重区域的力平衡方程可表示为:

式中，F_ij和F_oj分别为滚珠与内外滚道之间的摩擦力，F_ij＝μ_jQ_ij，F_oj＝μ_jQ_oj。μ_j为球与内外滚道之间的摩擦系数。需要注意的是，为了简化计算，假设球与内外滚道之间的摩擦系数相等，即平均摩擦系数。

球在非承重区域的力平衡方程为:

步骤1-3，建立组合角不对中导致的预紧力异常方程，由于加工及装配过程中的不可控因素，时常会导致轴承的外圈和内圈产生一定程度的角度不对中，进一步使得轴承处于非正常预紧状态。这里给出内圈与外圈组合角不对中情况下的非正常预紧载荷的计算方法。

轴承内外圈的角度不对中状态如图5(a)和图5(b)所示，组合不对中下的滚珠变形协调关系如图5(c)所示。

角度不对中导致内外圈曲率中心产生的轴向位移C_tij和C_toj为：

式中，θ_ti和θ_to分别表示内圈和外圈的不对中角度。和/>分别表示内圈和外圈角度不对中轴线的方位角。

在球轴承角不对中分类方面，分别为轴承座不同轴，轴承座倾斜，内圈倾斜，和主轴变形。然而，对于外圈固定内圈旋转的独立轴承零件而言，角不对中类型可以进一步被归结为，外圈角不对中(见图6(a))，不对中轴线方位角固定的内圈角不对中(见图6(b))，和不对中轴线方位角时变的内圈角不对中(见图6(c))。需要注意的是，轴承内圈安装在主轴上之后，两者的轴线可能存在角度偏差，这导致主轴在运转过程中，轴承的不对中轴线的方位角具有了时变特性，其时变周期与主轴转动周期一致。此外，考虑到外圈与内圈角不对中可能同时存在，这里给出两种组合角不对中类型，分别为外圈不对中与不对中轴线方位角固定的内圈角不对中的组合不对中类型A(见图6(d))，和外圈不对中与不对中轴线方位角时变的内圈角不对中的组合不对中类型B(见图6(e))。

对于组合不对种形式A，为定常量。对于组合不对中形式B，内圈角不对中轴线随内圈一同转动，/>为时变量。

对于仅存在组合角不对中的情况，变形前后内滚道曲率中心的轴向位移B_1j可以被改写为:B_1j＝C_tij-C_toj-0.5S_a

组合不对中引起的非正常预紧载荷为：

式中，F_mistz,M_mistx,和M_misty分别表示组合角不对中产生的非正常预紧载荷。r_pj表示滚珠与内圈接触点到轴承中心的径向距离，r_pj＝0.5d_m-r_icosα_ij。

步骤1-4，建立组合角不对中和外载荷作用下内圈的力平衡方程，除了不对中引起的非正常预紧载荷之外，轴承在工作状态下还会承受一定的外载荷F_x,F_y, F_z,M_x,and M_y.深沟球轴承内圈在不对中引起的非正常预紧和外载荷共同作用下的力平衡方程可以表示为：

其中F_x和F_y是作用于内圈的径向力。F_z是作用在内圈上的轴向力。M_x和M_y是作用于内圈的翻转力矩。

步骤2.设计算法求解求解准静态解析模型

考虑组合角不对中及外载荷情况下的深沟球轴承解析模型的求解流程如图7 所示。模型的求解流程主要分为两个部分，分别为组合不对中引起的非正常预紧载荷计算和不对中与外载荷作用下的深沟球轴承拟静力学模型求解。

本发明根据不对中参数，基于牛顿拉普斯方法求解滚珠的平衡方程得到滚珠与滚道之间的接触角α_ij/oj，接触载荷Q_ij/oj，和平均摩擦系数μ_j。根据公式(23) 可以进一步计算得到组合角不对中产生的非正常预紧载荷F_mistz,M_mistx,and M_misty。其次，根据非正常预紧载荷和外载荷，基于双层牛顿拉普斯迭代法求解深沟球轴承的拟静力学模型。求解过程中使用到的牛顿拉普斯方法为基于解析雅克比矩阵的牛顿拉普斯方法。该求解算法对初值条件的敏感度相对较低。所有时刻计算完成之后结束计算并对结果进行后处理。

本发明通过对深沟球轴承中组合不对中引起的非正常预紧载荷计算，得到组合角不对中引起的异常预紧力，然后基于双层牛顿拉普斯迭代法建立深沟球轴承在外部载荷作用下的拟静力学模型，给出了一种基于解析雅克比矩阵的牛顿拉普斯方法，该求解算法对初值条件的敏感度相对较低。可得到组合角不对中的深沟球轴承在多因素影响下的接触及摩擦特性，而不仅仅是单一角不对中的影响，为轴承的后续研究提供了技术支持。

附图说明

图1(a)是深沟球轴承的初始接触状态示意图；

图1(b)是深沟球轴承的初始接触的几何关系示意图；

图2(a)承载区滚珠的变形协调关系；

图2(b)非承载区滚珠的变形协调关系；

图3是滚珠与滚道之间的接触椭圆被挡边截断时的状态；

图4(a)是承载区滚珠的受力状态；

图4(b)是非承载区滚珠的受力状态；

图5(a)是内圈不对中滚珠变形协调关系；

图5(b)是外圈不对中滚珠变形协调关系；

图5(c)是组合不对中下的滚珠变形协调关系；

图6是不对中的不同类型：图6(a)是外圈不对中,图6(b)是不对中轴线方位角固定的内圈不对中,图6(c)是不对中轴线方位角时变的内圈不对中,图6(d)是组合不对中类型A,图6(e)是组合不对中类型B；

图7是模型求解流程；

图8(a)是外圈接触力Q_o；

图8(b)是内圈接触力Q_i；

图9(a)是滚珠与滚道之间的外圈接触力Q_o；

图9(b)是滚珠与滚道之间的内圈接触力Qi。

具体实施方式

以SKF6011深沟球轴承为例，表1给出了该型轴承详细的几何与材料参数。

首先，建立SKF6011深沟球轴承的在含有组合角不对中情况下的准静态解析模型，分别得到其滚珠的平衡方程组、考虑挡边的滚珠力平衡方程、组合角不对中导致的预紧力异常方程组以及组合角不对中和外载荷作用下内圈的力平衡方程，根据给定的轴承不对中参数，径向力被设定为F_y＝1kN。内圈转速设置为n＝5krpm。外圈和内圈角不对中轴线的方位角均被设定为外圈角不对中量被设定为θ_to＝-1mrad，基于牛顿拉普斯方法求解滚珠的平衡方程组，可以得到滚珠与滚道之间的接触角α_ij/oj，接触载荷Q_ij/oj，和平均摩擦系数μ_j，以及非正常预紧载荷F_mistz,M_mistx,和M_misty。根据以上数据，基于双层牛顿拉普斯迭代法求解SKF6011深沟球轴承的准静态解析模型，结果如图8和图9所示。

当内圈角不对中量被设定为θ_ti＝4mrad。由于轴承具有变柔度特性，因此在每一组内圈角不对中工况下，取1000个时刻的结果进行后处理(内圈转动5圈，每圈被划分为200个时刻)。根据深沟球轴承零件之间的运动关系可以知道，内圈转动5圈对应滚珠围绕z轴公转2.14圈。在组合角不对中类型A中，可以看到每个球与内外滚道之间的接触力随内滚道的旋转而周期性变化，变化周期与球的公转周期一致。由于角不对中和径向力，球在一个旋转周期内通过两个不同的承重区域。在组合角不对中类型B中，方位角的时变特性导致了内圈几个旋转周期内看不到的接触力的周期性变化。在这种情况下，内圈旋转周期和球的转动周期共同决定了接触力的时变周期。针对组合角不对中类型A，滚珠与滚道之间的时变接触力如图8所示。针对组合角不对中类型B，滚珠与滚道之间的时变接触力如图9所示。

Claims (6)

1.一种含组合角不对中的深沟球轴承准静态解析模型分析方法，其特征在于，包括如下步骤：

步骤1.建立含组合角不对中的深沟球轴承准静态解析模型

步骤1-1，建立滚珠的变形协调关系；正常深沟球轴承存在径向游隙S_r，根据轴承的几何参数计算得到轴承的初始接触角α⁰和轴向游隙S_a；

步骤1-2，建立考虑挡边的滚珠力平衡方程，考虑到当套圈的不对中量过大时，滚珠与滚道之间的接触椭圆可能会被滚道的挡边截断，这会削弱滚珠与滚道之间的载荷变形系数，使得接触力同样被削弱；

步骤1-3，建立组合角不对中导致的预紧力异常方程，给出内圈与外圈组合角不对中情况下的非正常预紧载荷的计算方法；

步骤1-4，建立组合角不对中和外载荷作用下内圈的力平衡方程，除了不对中引起的非正常预紧载荷之外，轴承在工作状态下还会承受一定的外载荷F_x,F_y,F_z,M_x,and M_y；其中F_x和F_y是作用于内圈的径向力；F_z是作用在内圈上的轴向力；M_x和M_y是作用于内圈的翻转力矩；

步骤2.设计算法求解准静态解析模型

模型的求解流程主要分为两个部分，分别为组合不对中引起的非正常预紧载荷计算和不对中与外载荷作用下的深沟球轴承拟静力学模型求解。

2.如权利要求1所述的一种含组合角不对中的深沟球轴承准静态解析模型分析方法，其特征在于，所述的步骤1-1，具体步骤如下：

根据勾股定理，初始接触角α⁰表示为：

其中d_b为球的直径；f_i和f_o分别为内外滚道的曲率系数，f_i＝r_i/d_b,f_o＝r_o/d_b.r_i和r_o分别为内滚道和外滚道的曲率半径；S_r表示轴承的径向游隙；

轴向游隙S_a表示为：

内圈和外圈的曲率中心到轴承中心的径向距离r_pi和r_po表示为：

式中d_m为轴承节径；

通常深沟球轴承的内圈与主轴连接，外圈安装在轴承座内；假设轴承外圈固定，内圈跟随主轴一起转动；当轴承内圈承受外载荷时，部分滚珠承担载荷，其余滚珠不承担载荷；因此轴承的载荷分布区域包括承载区和非承载区；

当内圈受力并产生位移之后，内滚道曲率中心由初始接触位置O_i'移至O_i”；同样的，滚珠中心的位置由O_b'移至O_b”；由于轴承外圈固定，因此外滚道曲率中心O_o固定不变；

对于承载区的滚珠，内圈的曲率中心O_i'和O_i”之间的轴向距离B_1j表示为：

其中为第j个球的方位角；δ_z为内圈沿z轴的位移；θ_x表示内层绕x轴的角位移；θ_y表示内圈绕y轴的角位移；

内圈的曲率中心O_i'和O_i”之间的径向距离B_2j表示为：

中δ_x表示内圈沿x轴的位移；δ_y表示内圈沿y轴的位移；

内滚道和外滚道曲率中心O_i”和O_o之间的轴向距离A_1j和径向距离A_2j分别由:

根据勾股定理，当球处于承重区域时，其变形协调方程为:

其中X_1j表示从球的中心O_b”到外滚道的曲率中心O_o的轴向距离；X_2j是球的中心O_b”到外滚道曲率中心O_o的径向距离；δ_ij为球与内滚道之间的接触变形；δ_oj表示球与外滚道之间的接触变形；

当球处于非承重区域时，其变形协调关系表示为：

以上不等式可作为球状态的判别条件；若不等式条件满足，则球处于非承重区；如果不满足不等式条件，则球处于承重区。

3.如权利要求2所述的一种含组合角不对中的深沟球轴承准静态解析模型分析方法，其特征在于，所述的步骤1-2具体步骤如下：

引入一种考虑接触椭圆超过挡边时的接触载荷变形系数的简单计算方法；

滚道挡边对应的角度φ_i/o表示为:

下标i/o表示内滚道或外滚道；h_i/o表示滚道挡边高度；

接触椭圆半长轴对应的角表示为：/>

下标ij/oj表示第j个球接触内滚道或外滚道；a_ij/oj为接触椭圆的半长轴；

球与内外滚道的接触角α_ij和α_oj分别可表示为:

接触椭圆的截断比用来确定接触椭圆是否超过滚道挡边；接触椭圆的截断比可表示为:

当滚珠未脱离滚道时，载荷变形系数K_ij/oj写为：

式中E_e表示等效弹性模量.κ_ij/oj为椭圆偏心率参数.表示第一种完全椭圆积分；表示第二类完全椭圆积分；∑ρ_ij/oj是曲率的和；

当滚珠脱离滚道时，应依据非承载区滚珠的条件进行计算；非承载区滚珠与外滚道之间的接触角为0，载荷变形系数为K_oj，α_oj＝0；非承载区滚珠与内滚道之间不接触，假设载荷变形系数K_ij＝0；

接触载荷Q_ij/oj表示为:

滚珠的姿态角β_j表示为:

式中，γ_ij/oj＝d_bcosα_ij/oj/d_m；

第j个滚珠绕轴承z轴的轨道角速度ω_cj表示为:

第j个滚珠绕自身轴的角速度ω_bj表示为:

离心力F_cj和陀螺转矩M_gj表示为:

式中m_b表示球的质量.J_b为球的转动惯量；

当滚珠存在非零接触角与转速时，存在陀螺力矩；进而使得滚珠与内外滚道接触面产生切向摩擦力与陀螺力矩相平衡；

球在承重区域的力平衡方程表示为:

式中，F_ij和F_oj分别为滚珠与内外滚道之间的摩擦力，F_ij＝μ_jQ_ij，F_oj＝μ_jQ_oj；μ_j为球与内外滚道之间的摩擦系数；假设球与内外滚道之间的摩擦系数相等，即平均摩擦系数；

球在非承重区域的力平衡方程为:

4.如权利要求2或3所述的一种含组合角不对中的深沟球轴承准静态解析模型分析方法，其特征在于，所述的步骤1-3具体步骤如下：

角度不对中导致内外圈曲率中心产生的轴向位移C_tij和C_toj为：

式中，θ_ti和θ_to分别表示内圈和外圈的不对中角度；和/>分别表示内圈和外圈角度不对中轴线的方位角；

对于仅存在组合角不对中的情况，变形前后内滚道曲率中心的轴向位移B_1j被改写为:B_1j＝C_tij-C_toj-0.5S_a

组合不对中引起的非正常预紧载荷为：

式中，F_mistz,M_mistx,和M_misty分别表示组合角不对中产生的非正常预紧载荷；r_pj表示滚珠与内圈接触点到轴承中心的径向距离，r_pj＝0.5d_m-r_icosα_ij。

5.如权利要求2或3所述的一种含组合角不对中的深沟球轴承准静态解析模型分析方法，其特征在于，所述的步骤1-4具体步骤如下：

深沟球轴承内圈在不对中引起的非正常预紧和外载荷共同作用下的力平衡方程表示为：

其中F_x和F_y是作用于内圈的径向力；F_z是作用在内圈上的轴向力；M_x和M_y是作用于内圈的翻转力矩。

6.如权利要求4所述的一种含组合角不对中的深沟球轴承准静态解析模型分析方法，其特征在于，所述的步骤1-4具体步骤如下：

深沟球轴承内圈在不对中引起的非正常预紧和外载荷共同作用下的力平衡方程表示为：

其中F_x和F_y是作用于内圈的径向力；F_z是作用在内圈上的轴向力；M_x和M_y是作用于内圈的翻转力矩。