CN106251315B - 一种基于全变分的图像去噪方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于全变分的图像去噪方法，包括步骤：获取由原始图像和α稳态噪声组成的含噪声图像；确定所述含噪声图像中的每一个像素点，且所述原始图像服从Gibbs先验；根据所述含噪声图像及其中的每一个像素点，求得原始图像等价于最小化的表达式；根据所得原始图像等价于最小化的表达式，获取α稳态噪声下的全变分去噪模型；将所获取的全变分去噪模型结合凸性惩罚项，获取凸全变分去噪模型；利用原始‑对偶算法对所获取的凸全变分去噪模型求解，根据所求得解复原得到原始图像。本发明可以很好地去除α稳态噪声，恢复的图像清晰，且较好地保留了图像的细节信息，恢复出的图像也和原始图像最接近。

Description

一种基于全变分的图像去噪方法

技术领域

本发明涉及一种图像去噪方法，尤其涉及一种基于全变分的图像去噪方法，属于图像处理的技术领域。

背景技术

在图像的采集、传输和存储的过程中，图像不可避免的会受到噪声的污染，噪声的种类和成因很多，很多情况下都需要对图像进行去噪处理，使经处理后的图像更适合分析和信息提取。图像去噪一直以来都是图像处理领域研究的重点，并且近年来受到越来越多的研究者的青睐。图像去噪的方法有很多，例如小波去噪、高斯滤波为代表的线性滤波、中值滤波为代表的非线性滤波以及基于偏微分方程的非线性去噪方法等等。其中基于偏微分方程的图像去噪是具有代表性的一类图像去噪方法，这类方法从全新角度(如能量扩散、曲面演化等)来诠释图像去噪过程，已形成完整的理论体系和数值方法，在该类方法中最具有代表性是基于全变分(Total Variation,TV)的图像去噪算法。

针对去除图像中的加性高斯噪声的TV算法已经被广泛的应用到图像去噪中，该算法可以追溯到Rudin等人于1992年提出的如下的ROF模型

其中，是TV正则项，为保真项，Ω为图像区域，BV(Ω)为边界变分的空间函数，λ＞0为正则化参数，u为原始图像，f为含有加性高斯噪声的含噪声图像。该模型在去噪的同时能很好地保持图像边缘，数值实验结果表明该TV模型对于传统的加性高斯噪声有很好的去噪效果。

但是，实际图像中的噪声多种多样，例如椒盐噪声、泊松噪声、Cauchy噪声、乘性Gamma噪声、Rician噪声等，另一种广泛存在于无线通信系统、SAR(synthetic apertureradar)图像、医学天文图像、生物医学图像中的α稳态噪声(当α值较小时)也可以看作是一种脉冲噪声。在过去的几年里，研究者针对噪声的统计特性以及TV正则项可以很好地保留图像的边缘的特性，通过最大后验(Maximum aPosteriori,MAP)估计，分别提出了针对椒盐噪声、泊松噪声、Cauchy噪声、乘性Gamma噪声、Rician噪声等的TV图像去噪算法，但目前为止，没有研究者提出针对α稳态噪声的TV去噪算法，这主要是因为α稳态分布除了Gaussian分布、Cauchy分布和Levy分布外，没有其他严格的闭式概率密度函数(ProbabilityDensity Function,PDF)。

发明内容

本发明所要解决的技术问题在于克服现有技术的不足，提供一种基于全变分的图像去噪方法，解决现有的图像去噪方法中，无法基于TV的α稳态噪声环境下的图像去噪，且克服图像去噪的模型的解可能陷入局部极小值，且该模型对初始值比较敏感的问题。

本发明具体采用以下技术方案解决上述技术问题：

一种基于全变分的图像去噪方法，包括步骤：

获取由原始图像和α稳态噪声组成的含噪声图像；

确定所述含噪声图像中的每一个像素点，且原始图像u服从Gibbs先验；

根据所述含噪声图像及其中的每一个像素点，求得原始图像等价于最小化的表达式；

根据所得原始图像等价于最小化的表达式，获取α稳态噪声下的全变分去噪模型；

将所获取的全变分去噪模型结合凸性惩罚项，获取凸全变分去噪模型；

利用原始-对偶算法对所获取的凸全变分去噪模型求解，根据所求得解复原得到原始图像。

进一步地，作为本发明的一种优选技术方案：所述含噪声图像中的原始图像表示为：

其中，u为原始图像，f为含噪声图像，且f＝u+η，其中η为α稳态噪声；P(·)表示概率密度函数，log(P(f))对于原始图像u是常数。

进一步地，作为本发明的一种优选技术方案：所述确定所述含噪声图像中的每一个像素点

x∈Ω，且满足：其中Ω为图像区域；γ＞0为尺度参数；

并且，u服从Gibbs先验，即：其中Z是归一化因子，参数β＞0。

进一步地，作为本发明的一种优选技术方案：所述求得原始图像等价于最小化如下的表达式：

其中，log2、logZ、logγ均为关于原始图像u的常数。

进一步地，作为本发明的一种优选技术方案：所述获取α稳态噪声下的全变分去噪模型为：

其中，f∈L^∞(Ω)为含有加性α稳态噪声的图像，γ＞0为尺度参数，为正则化参数。

进一步地，作为本发明的一种优选技术方案：所述获取凸全变分去噪模型为：

其中，g是含噪声图像f经过中值滤波后的图像，λ＞0，μ＞0为正则化参数。

进一步地，作为本发明的一种优选技术方案：所述原始-对偶算法对所获取的凸全变分去噪模型求解，具体包括以下步骤：

步骤1、初始化：设置初始参数σ＞0和τ＞0，初始化对偶变量p⁰＝0和原始变量u⁰＝f，初始迭代次数k＝0；.

步骤2、更新对偶变量p^k+1：

步骤3、更新辅助变量a^k：

步骤4、更新原始变量u^k+1：

步骤5、更新辅助变量

步骤6、若满足终止条件则算法终止，否则，令k＝k+1转步骤2。

本发明采用上述技术方案，能产生如下技术效果：

本发明的图像去噪方法关注的是基于TV的α稳态噪声环境下的图像去噪，因为meridian滤波可以很好地去除α稳态噪声，所以本发明根据meridian分布的统计特性，将ROF模型中的保真项修改成meridian范数。但是该模型的保真项非凸，模型的解可能陷入局部极小值，且该模型对初始值比较敏感。为了保证解的唯一性，对提出的全变分模型添加了一个二次惩罚项，得到了严格凸的全变分去噪模型。然后，使用原始-对偶算法对提出的全变分模型进行求解，复原得到原始图像。

因此，本发明提出的模型恢复的图像无论是从视觉效果，还是从PSNR和SSIM值都好于其他模型恢复的图像。

附图说明

图1为本发明基于全变分的图像去噪方法的流程示意图。

图2(a)为含噪声图像和恢复图像在不同α值下的PSNR值对比图。图2(b)为含噪声图像和恢复图像在不同α值下的SSIM值对比图。

图3(a)为原始图像；图3(b)为含噪声图像；图3(c)为本发明的去噪方法处理后的图像；图3(d)为现有的TVL1模型去噪处理后的图像；图3(e)为现有的Cauchy模型去噪处理后的图像；图3(f)为现有的Meridian滤波恢复出的图像。

具体实施方式

下面结合说明书附图对本发明的实施方式进行描述。

本发明的基于全变分的图像去噪方法，根据meridian分布的统计特性，将ROF模型中的保真项修改成meridian范数，并证明了该模型的解的存在性。但是该模型的保真项非凸，模型的解可能陷入局部极小值，且该模型对初始值比较敏感。为了保证解的唯一性，对提出的全变分模型添加了一个二次惩罚项，得到了严格凸的全变分去噪模型，并证明了该图模型的解的存在性和唯一性。然后，使用原始-对偶算法对提出的全变分模型进行求解，并证明了该算法的收敛性。

首先根据meridian分布，用最大后验(MAP)估计提出了α稳态噪声下的一种新的TV去噪模型，然后证明了该模型的解的存在性。但是该模型的保真项非凸，模型的解可能陷入局部极小值，且该模型对初始值比较敏感。为了保证了解的唯一性，对提出的全变分模型添加了一个二次惩罚项，得到了严格凸的全变分去噪模型，并证明了该凸全变分模型的解的存在性与唯一性。

α稳态噪声(当α值较小时)可以看作是一种脉冲噪声，基于meridian分布的估计对脉冲噪声具有鲁棒性，基于这些原因，本发明使用Bayes准则和MAP估计，提出了α稳态噪声下的一种新的全变分TV去噪模型。

基于meridian分布和全变分TV的统计特性，本发明提出的一种全变分模型来复原alpha稳态噪声环境下的含噪声图像，具体包括以下步骤：

给定含噪声图像f＝u+η，其中η为α稳态噪声，使用Bayes准则和MAP估计，原始图像u可以通过如下的表达式得到：

其中P(·)表示概率函数。最后一个等式成立是因为log(P(f))对于u是常数。

对于含α稳态噪声图像中的每一个像素x∈Ω,其中Ω为图像区域，则有：

其中γ＞0为尺度参数。

假设原始图像u服从Gibbs先验，于是有：

其中Z是归一化因子，参数β＞0。

又每一个像素x∈Ω都是相互独立同分布的，于是有P(u)＝∏_x∈ΩP(u(x))。因此，公式(1)的原始图像u的最小化问题等价于最小化如下的表达式：

其中，log2、logZ、logγ的三项关于u为常数，于是得到如下的α稳态噪声下的全变分TV去噪模型：

其中f∈L^∞(Ω)为含有加性α稳态噪声的图像，γ＞0为尺度参数，为正则化参数。

为了证明全变分TV去噪模型的解的存在性，本发明假设f∈L^∞(Ω)，则公式(5)的全变分TV去噪模型至少存在一个解u^*∈BV(Ω)，且满足：

证明过程为：设 于是有E(u)≥E₀(u)≥0。因此，E(u)有下界，可以选取一个最小化序列

对于每一个像素x∈Ω，设函数h∈⁺∪{0}为于是有因此，当t＜f(x)时有当t≥f(x)时有于是有，当t∈[0,f(x)]时h(t)为单调减函数，当t∈[f(x),+∞)时h(t)为单调增函数。故若M≥f(x)，则有h(min(t,M))≤h(t)。因此，如果M＝b，有又由于故有同理可得若则因此，假设0＜a≤u_n≤b，则u_n∈L¹(Ω)有界。

{u_n}为一最小化序列，于是E(u_n)有界。又有界，于是u_n∈BV(Ω)有界。利用BV空间函数的紧性得到：存在u^*∈BV(Ω)使得且在Ω上，且对任意的x∈Ω，有0＜a≤u^*≤b。利用BV空间函数的下半连续性和Fatous引理，得到u^*是凸全变分去噪模型的解，且满足

尽管证明了全变分TV去噪模型的解的存在性，但因为该模型非凸，导致模型的解可能陷入局部极小值，且该模型对初始值比较敏感，为了克服这个缺点，利用Sciacchitano等人的思想，通过增加二次惩罚项，提出了如下的凸全变分去噪模型：

其中g是含噪声图像f经过中值滤波后的图像，λ＞0，μ＞0为正则化参数。

为了证明公式(6)的凸全变分去噪模型的解的存在性和唯一性，本发明首先来证明该模型的凸性。本发明设定若μγ²≥1，则公式(6)的全变分去噪模型严格凸。

其证明过程如下：对于每一个固定的x∈Ω，设函数h∈⁺∪{0}为

则有 若μγ²≥1，则有故有于是有所以有μ(γ+|t-f(x)|)²≥1，即h″(t)≥0，也即是说此时h是一个凸函数。又因为h只有一个最小值，因此当μγ²≥1时，h是一个严格凸函数。又TV正则项是凸的，故有当μγ²≥1时，公式(6)的全变分去噪模型严格凸。

然后，本发明将证明公式(6)的凸全变分去噪模型的解的存在性和唯一性。本发明假设f∈L^∞(Ω)，则公式(6)的凸全变分去噪模型至少存在一个解u^*∈BV(Ω)，且满足：

证明过程如下：公式(6)的凸全变分去噪模型的解的存在性的证明与上述公式(5)的模型原理相同。需要注意的是当时，函数单调递减，当时，函数h(t)单调递增。

公式(6)的凸全变分去噪模型解的唯一性由该模型的严格凸性可以直接得到。

由于公式(6)的凸全变分去噪模型是严格凸的，因此本发明采用易于实现并且快速的原始对偶算法对该模型进行求解。

为了求解公式(6)的凸全变分去噪模型，本发明首先来介绍该模型的离散化模型：

其中为保真项。为图像的离散化全变分，为离散的梯度。G(u)中的第一项是一个鲁棒性的距离测度，称之为meridian范数。

根据TV的对偶性质，公式(7)的离散化模型的原始对偶形式为：

其中是对偶变量，是散度算子。

本发明采用原始对偶算法来求解上述公式(8)，首先更新变量p：

其中其次，更新u：

其中sgn(·)为符号函数。

综上所述，采用原始对偶算法来求解公式(7)的离散化模型的算法步骤为：

步骤1、初始化：设置初始参数σ＞0和τ＞0，初始化对偶变量p⁰＝0和原始变量u⁰＝f，初始迭代次数k＝0；.

步骤2、更新对偶变量p^k+1：

步骤3、更新辅助变量a^k：

步骤4、更新原始变量u^k+1：

步骤5、更新辅助变量

步骤6、若满足终止条件则算法终止，否则，令k＝k+1转步骤2。

注：该算法的终止条件为：其中ε为迭代终止的阈值，

为提出的去噪模型的目标函数。

当对给定的σ＞0和τ＞0和任意的初始值(u⁰,p⁰)，当时，由原始对偶算法产生的迭代序列(u^k,p^k)收敛到公式(7)的离散化模型的鞍点(u^*,p^*)。

此定理是Chambolle等人提出的一个定理的特例，故在这里省略其证明过程。因为本发明只需要满足本发明的算法即可收敛。

为了验证提出模型的有效性，本发明对实验对象加入α稳态噪声进行了仿真实验，并将本发明的模型与TVL1模型、Cauchy模型和Meridian滤波进行了比较。

实验对象为Cameraman图像(大小为256×256)，Peppers图像(大小为256×256)和Lena图像(大小为256×256)，对实验对象采用f＝u+η＝u+ξρ格式加入α稳态噪声(其中ρ服从α稳态分布，ξ表示噪声程度)。仿真实验中，设置ε＝10^-3，σ＝τ＝0.3，(其中f_(c)表示f的第c个分位数)，分别采用峰值信噪比PSNR(单位为dB)和SSIM作为重构性能的评价指标。

对实验对象Cameraman图像(大小为256×256)加入ρ服从α稳态分布S(α,0,0.2,0)，ξ＝0.04的α稳态噪声，并将提出的去噪模型和Cauchy模型以及Meridian滤波进行了比较，其PSNR和SSIM值如图2(a)和图2(b)所示。

由如图2(a)和图2(b)可以看出，随着α值的增大，各种模型恢复图像的PSNR和SSIM值都增大，而且α值越小，本发明的提出的模型的优越性越好。此外，相同的α值下，本发明提出的模型恢复图像的PSNR和SSIM值都大于Cauchy模型和Meridian滤波恢复图像的PSNR和SSIM值。特别地，当α≥1，各种模型恢复的图像的PSNR值均大于30dB，恢复的图像的质量已经相当好。所以，下文的仿真实验均取α＝1。

为了验证提出的模型的性能，对实验对象为Lena图像(大小为256×256)加入ρ服从α稳态分布S(1,0,0.2,0)，ξ＝0.04的α稳态噪声，实验结果分别如图3(a)至图3(f)所示。其中，图3(a)为原始图像；图3(b)为含噪声图像；图3(c)为本发明的去噪方法处理后的图像；图3(d)为现有的TVL1模型去噪处理后的图像；图3(e)为现有的Cauchy模型去噪处理后的图像；图3(f)为现有的Meridian滤波恢复出的图像。

由图3(a)至图3(f)可以看出，对于实验对象，本文提出的去噪模型恢复图像的效果最好，不但很好地去除了噪声，而且较好地保留了图像的细节信息，恢复出的图像也和原始图像最接近。而图3(d)的TVL1模型恢复出的图像局部有小的白斑点，图3(e)的Cauchy模型和图3(f)的Meridian滤波恢复出的图像存在一定程度上的模糊性。总之，上述TVL1模型、Cauchy模型和Meridian滤波恢复出的图像均没有本发明提出的去噪模型恢复的图像清晰。

为了进一步定量的比较各种模型恢复不同实验对象的效果，实验对象为Cameraman图像(大小为256×256)、Peppers图像(大小为256×256)和Lena图像(大小为256×256)，对三种实验对象分别加入ρ服从α稳态分布S(1,0,0.2,0)，ξ＝0.04的α稳态噪声，并将本发明提出的去噪模型和TVL1模型、Cauchy模型以及Meridian滤波进行了比较，其PSNR和SSIM值分别如表1和2所示。

表1不同模型恢复图像的PSNR值(单位dB)

表2不同模型恢复图像的SSIM值

由表1和2可以看出，相同噪声程度下，对于不同的实验对象，本发明提出的模型恢复的图像无论是PSNR还是SSIM值都高于其他模型恢复图像的值。例如，对于Cameraman图像，提出算法恢复的图像的PSNR值比TVL1模型恢复的图像的PSNR值高2.836dB，比Meridian滤波恢复的图像的PSNR值高4.889dB。此结果与图3(a)至图3(f)的视觉效果保持一致。

综上，可以确定本发明提出的模型恢复的图像无论是从视觉效果，还是从PSNR和SSIM值都好于其他模型恢复的图像。

上面结合附图对本发明的实施方式作了详细说明，但是本发明并不限于上述实施方式，在本领域普通技术人员所具备的知识范围内，还可以在不脱离本发明宗旨的前提下做出各种变化。

Claims (6)

1.一种基于全变分的图像去噪方法，其特征在于，包括步骤：

获取由原始图像和α稳态噪声组成的含噪声图像；

确定所述含噪声图像中的每一个像素点，且所述原始图像u服从Gibbs先验；

根据所述含噪声图像及其中的每一个像素点，求得原始图像等价于最小化的表达式；

根据所得原始图像等价于最小化的表达式，获取α稳态噪声下的全变分去噪模型；

将所获取的全变分去噪模型结合凸性惩罚项，获取凸全变分去噪模型为：

其中，g是含噪声图像f经过中值滤波后的图像，λ＞0，μ＞0为正则化参数；u为原始图像；Ω为图像区域；γ＞0为尺度参数；是TV正则项；BV(Ω)为边界变分的空间函数；利用原始-对偶算法对所获取的凸全变分去噪模型求解，根据所求得解复原得到原始图像。

2.根据权利要求1所述基于全变分的图像去噪方法，其特征在于：所述含噪声图像中的原始图像表示为：

其中，u为原始图像，f为含噪声图像，且f＝u+η，其中η为α稳态噪声；P(·)表示概率函数，log(P(f))对于原始图像u是常数。

3.根据权利要求2所述基于全变分的图像去噪方法，其特征在于：所述确定所述含噪声图像中的每一个像素点x∈Ω，以及满足：

其中Ω为图像区域；γ＞0为尺度参数；

并且，u服从Gibbs先验，即：其中Z是归一化因子，参数β＞0。

4.根据权利要求3所述基于全变分的图像去噪方法，其特征在于：所述求得原始图像等价于最小化如下的表达式：

其中，log2、logZ、logγ均为关于原始图像u的常数。

5.根据权利要求4所述基于全变分的图像去噪方法，其特征在于：所述获取α稳态噪声下的全变分去噪模型为：

其中，f∈L^∞(Ω)为含有加性α稳态噪声的图像，γ＞0为尺度参数，为正则化参数。

6.根据权利要求1所述基于全变分的图像去噪方法，其特征在于：所述原始-对偶算法对所获取的凸全变分去噪模型求解，具体包括以下步骤：

步骤1、初始化：设置初始参数σ＞0和τ＞0，初始化对偶变量p⁰＝0和原始变量u⁰＝f，初始迭代次数k＝0；

步骤2、更新对偶变量p^k+1：其中为离散的梯度；

步骤3、更新辅助变量a^k：

步骤4、更新原始变量u^k+1：

其中参数τ＞0；

步骤5、更新辅助变量

步骤6、若满足终止条件则算法终止，否则，令k＝k+1转步骤2。