CN103761715A - 一种用于图像去噪的分数阶原始对偶方法 - Google Patents

一种用于图像去噪的分数阶原始对偶方法 Download PDF

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CN103761715A CN201410032978.6A CN201410032978A CN103761715A CN 103761715 A CN103761715 A CN 103761715A CN 201410032978 A CN201410032978 A CN 201410032978A CN 103761715 A CN103761715 A CN 103761715A
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韩晓微
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一种用于图像去噪的分数阶原始对偶方法，涉及一种一种用于图像去噪的方法，包括分数阶原始对偶去噪模型和分数阶原始对偶数值算法。其特征在于，所述一种分数阶原始对偶去噪模型，即分数阶ROF去噪模型的原始对偶描述，表达式为：

Description

一种用于图像去噪的分数阶原始对偶方法
技术领域
本发明涉及一种改善图像视觉效果的分数阶原始对偶模型，特别是涉及一种用于图像去噪的分数阶原始对偶算法。
背景技术
图像去噪是数字图像处理领域的重要研究课题之一，其主要目的是改善图像质量，便于图像处理后续工作的进行。目前，该领域的研究热点和难点之一，是图像噪声和边缘均属于图像中的高频信息，如何寻找既能有效消除噪声，又能同时保留图像边缘等细节特征的去噪方法。为了解决这一问题，1992年Rudin等人提出了著名的全变分正则化模型，又称ROF模型。该模型通过引入能量函数，将图像去噪问题转化为泛函求极值问题。所采用的函数空间允许存在跳跃间断，因此可以较好地保持图像的边缘。ROF模型表示为:
Figure 115805DEST_PATH_IMAGE001
                                (1)
式中，X表示有限维向量空间，
Figure 217753DEST_PATH_IMAGE002
表示
Figure 397061DEST_PATH_IMAGE003
范数，
Figure 810201DEST_PATH_IMAGE004
表示梯度算子，表示去噪后图像，g表示观测图像，表示正则化调整参数。
模型中第一项称为正则项，在优化过程中起到抑制噪声的作用。第二项称为保真项，主要作用是保持去噪后图像与观测图像的相似性，从而保持图像的边缘特征。而参数
Figure 65230DEST_PATH_IMAGE006
用于平衡正则项与保真项的作用。
假定待处理图像的大小为M×N，则模型中梯度算子的离散形式为：
Figure 347306DEST_PATH_IMAGE007
                             (2)
式中
Figure 517388DEST_PATH_IMAGE008
   
Figure 226718DEST_PATH_IMAGE009
             (3)                    
则模型中正则项的离散形式可具体定义为：
                    (4)
ROF模型的缺陷在于其建立在有界变差空间，该空间的函数具有分段平滑特性，所以去噪后易产生“阶梯效应”，即分段平滑现象。近年来，综合考虑具有一阶正则项的ROF模型易产生“阶梯效应”，而具有高阶正则项的变分模型虽能抑制“阶梯效应”，但去噪能力不佳的缺点，一些学者将分数阶微分引入到变分模型中，解决该新衍生的问题。分数阶ROF模型可表示为：
Figure 869981DEST_PATH_IMAGE011
                                      (5)
利用分数阶微分的G-L定义，分数阶梯度算子的离散形式可定义为：
                                  (6)
式中，
Figure 40380DEST_PATH_IMAGE013
  
Figure 415997DEST_PATH_IMAGE014
                       (7)
Figure 39877DEST_PATH_IMAGE015
                                      (8)
则分数阶正则项的离散形式可具体定义为：
Figure 184550DEST_PATH_IMAGE016
                       (9)
目前，已有一些成熟的分数阶图像去噪方法。例如，Zhang和Wei等人提出了一种分数阶多尺度图像去噪模型，并采用Chambolle的投影算法求解模型。Zhang和Pu等人提出了一种分数阶变分图像修复模型，并采用梯度下降算法求解模型。此外，Chen和Sun等人提出了一种分数阶TV-L2图像去噪模型，并采用Bioucas的MM算法求解模型。上述方法在本领域内均有一定的影响力，能在不同程度上有效改善图像的视觉效果，但采用的求解模型的数值计算方法均存在收敛速度较慢的问题。
发明内容
本发明的目的在于提供一种用于图像去噪的分数阶原始对偶方法，该方法通过基于预解式的自适应变步长迭代优化策略寻优求解分数阶去噪模型，能弥补传统数值算法对步长要求过高的缺陷，并且能有效快速收敛，最终有效改善图像的视觉效果。
本发明的目的是通过以下技术方案实现的：
一种用于图像去噪的分数阶原始对偶方法，包括分数阶原始对偶去噪模型和分数阶原始对偶数值算法，所述一种分数阶原始对偶去噪模型，表达式为： 
Figure 235683DEST_PATH_IMAGE017
式中，
Figure 33350DEST_PATH_IMAGE018
为有限维向量空间，
Figure 195341DEST_PATH_IMAGE005
为去噪后图像，g为观测图像，
Figure 460100DEST_PATH_IMAGE006
为调整参数，
Figure 416555DEST_PATH_IMAGE019
为对偶空间，
Figure 766765DEST_PATH_IMAGE020
为分数阶正则项的拓扑对偶，表达式为：
                               　
分数阶原始对偶去噪模型与式所示的鞍点结构优化模型形式相近，可建立对应关系，即令，
Figure 751328DEST_PATH_IMAGE024
，
Figure 255122DEST_PATH_IMAGE025
。
所述的一种用于图像去噪的分数阶原始对偶方法，两种模型的结构相似性，采用求解鞍点问题的数值算法求解所述的分数阶原始对偶去噪模型；所述分数阶原始对偶数值算法步骤如下：
步骤 1.初始化：给定初始步长
Figure 494473DEST_PATH_IMAGE026
，且满足
Figure 58310DEST_PATH_IMAGE027
。令
Figure 117533DEST_PATH_IMAGE028
，
Figure 359771DEST_PATH_IMAGE029
；
步骤 2. 计算
Figure 453628DEST_PATH_IMAGE030
                       　
式中，
Figure 188366DEST_PATH_IMAGE023
；
步骤 3.计算原始对偶间隔，定义如下：
Figure 734885DEST_PATH_IMAGE031
          　
当该指标满足给定的迭代终止条件时，迭代终止；否则，令
Figure 580482DEST_PATH_IMAGE032
，转步骤 2。
所述的一种用于图像去噪的分数阶原始对偶方法，一种分数阶原始对偶数值算法，当参数（，为分数阶算子的展开项数）时，算法收敛。
本发明的优点与效果是：
本发明提出一种与分数阶ROF模型等价的分数阶原始对偶模型，该模型在结构上与具有鞍点结构的优化模型形式相近，可建立对应关系，故可采用一种灵活的基于预解式的分数阶原始对偶算法实现。该算法的收敛速度明显优于一些经典数值算法。例如，梯度下降法，投影法，MM算法等。针对算法中的分数阶梯度算子，本发明确定了其范数的取值范围，以保证算法的收敛性。提出的分数阶原始对偶模型能有效改善图像的视觉效果，同时提出的分数阶原始对偶算法易于实现，能有效收敛。
附图说明
图1为本发明分数阶微分幅频特性响应曲线图；
图2为本发明不同微分阶次下心脏超声图像去噪效果比较图；
图3为本发明典型微分阶次下Lena图像去噪效果及其局部效果的比较图；
图4为本发明不同分数阶次时模型的收敛性比较图。
注1：本发明图2及图3为去噪效果的分析图片（仅供参考），图中影像不清晰并不影响对本发明技术方案的理解。
注2：本发明图4只能看到
Figure 52341DEST_PATH_IMAGE036
的曲线，其他三条曲线都重合在最下方。
具体实施方式
下面结合实施例，对本发明作进一步详述。
首先结合分数阶微积分理论和对偶理论，等价变换分数阶ROF模型，提出一种分数阶原始对偶去噪模型。
定义1：对于任意的
Figure 855212DEST_PATH_IMAGE037
，
Figure 931752DEST_PATH_IMAGE038
表示有限维向量空间，分数阶散度的离散形式可定义为：
Figure 452863DEST_PATH_IMAGE039
 
Figure 905841DEST_PATH_IMAGE040
，                   (10)
式中，
Figure 745414DEST_PATH_IMAGE042
               (11)
分数阶ROF模型中的分数阶正则项可作如下等价变换，
Figure 753821DEST_PATH_IMAGE043
                  (12)
当且仅当
Figure 744911DEST_PATH_IMAGE044
。
据此本发明提出一种分数阶原始对偶去噪模型，表示为：
Figure 522374DEST_PATH_IMAGE017
                    (13)
式中，
Figure 940717DEST_PATH_IMAGE045
表示对偶空间。
Figure 436421DEST_PATH_IMAGE046
是对偶空间中的函数，即分数阶正则项的拓扑对偶，表示为：
　　　　　　                             (14)
　　下面分析提出的分数阶原始对偶去噪模型与具有鞍点结构的优化模型在形式上的相似性。具有鞍点结构的优化问题可描述为：
Figure 597592DEST_PATH_IMAGE048
                      (15)
式中，
Figure 472923DEST_PATH_IMAGE049
，
Figure 190343DEST_PATH_IMAGE050
表示有限维实向量空间，
Figure 460919DEST_PATH_IMAGE051
表示内积，
Figure 212974DEST_PATH_IMAGE052
表示任意线性算子，和表示任意函数，
Figure 314419DEST_PATH_IMAGE055
表示
Figure 918051DEST_PATH_IMAGE054
的拓扑对偶。
将优化模型中变量看成原始变量，变量
Figure 541111DEST_PATH_IMAGE057
看成对偶变量，则可将此鞍点问题看成是如下原始问题和对偶问题的原始对偶描述。其中，原始问题可表示为：
Figure 215806DEST_PATH_IMAGE058
                              (16)
对偶问题可表示为：
Figure 676874DEST_PATH_IMAGE059
                           (17)
如将原始问题与分数阶ROF模型建立对应关系，即令
Figure 982085DEST_PATH_IMAGE060
对应分数阶正则项，
Figure 161393DEST_PATH_IMAGE061
对应保真项。则提出的分数阶原始对偶去噪模型可与鞍点优化模型建立对应关系，即
Figure 371270DEST_PATH_IMAGE023
，
Figure 952424DEST_PATH_IMAGE024
，
Figure 225274DEST_PATH_IMAGE062
。
分数阶原始对偶数值算法：
    鞍点结构优化模型中，令原始变量
Figure 891878DEST_PATH_IMAGE063
固定，对对偶变量
Figure 846059DEST_PATH_IMAGE064
求导，可得到变量的预解式
                           (18)
同理，令对偶变量
Figure 876442DEST_PATH_IMAGE064
固定，对原始变量
Figure 696630DEST_PATH_IMAGE063
求导，可得到变量
Figure 924480DEST_PATH_IMAGE063
的预解式
Figure 804711DEST_PATH_IMAGE066
                           (19)
其中，
Figure 180329DEST_PATH_IMAGE067
和
Figure 538629DEST_PATH_IMAGE068
分别对应函数
Figure 948882DEST_PATH_IMAGE055
和的梯度。相关文献提出了一种基于预解式的求解该鞍点
问题的原始对偶数值算法，并给出了收敛性证明。首先定义参数
Figure 797682DEST_PATH_IMAGE069
，
则当函数
Figure 959673DEST_PATH_IMAGE055
和
Figure 958853DEST_PATH_IMAGE053
中至少有一个为凸函数时，算法可描述如下：
    步骤 1.初始化：给定步长参数
Figure 180887DEST_PATH_IMAGE070
，满足
Figure 531097DEST_PATH_IMAGE071
。令
Figure 496779DEST_PATH_IMAGE072
，。
    步骤 2. 计算
Figure 740471DEST_PATH_IMAGE074
                    (20)
    步骤 3.计算原始对偶间隔，定义如下：
           (21)
当该指标满足给定的迭代终止条件时，迭代终止；否则，令
Figure 19454DEST_PATH_IMAGE032
，转步骤 2. 
原始对偶间隔是对偶问题和原始问题的目标函数差值。该差值在鞍点处可达到最小，故以该指标设定阈值，可保证算法收敛到最优解。
考虑到提出的分数阶原始对偶去噪模型与具有鞍点结构的优化模型在形式上的相似性，并且去噪模型中保真项
Figure 258805DEST_PATH_IMAGE076
为凸函数，满足算法的前提条件，故可采用上述数值算法实现图像去噪的优化过程。该算法实现了自适应变步长迭代，可有效提高寻优效率，弥补一些传统数值算法对步长要求过高的缺陷。
在数值算法实现中，需要确定预解算子
Figure 557062DEST_PATH_IMAGE077
，
Figure 881864DEST_PATH_IMAGE078
和线性算子
Figure 186419DEST_PATH_IMAGE052
。因为
Figure 14698DEST_PATH_IMAGE062
，
Figure 749436DEST_PATH_IMAGE024
，所以
   
Figure 295955DEST_PATH_IMAGE079
                       (22)
Figure 344813DEST_PATH_IMAGE080
                       (23)
式中，
Figure 293178DEST_PATH_IMAGE081
，
Figure 198817DEST_PATH_IMAGE082
，
Figure 229702DEST_PATH_IMAGE023
。
下面具体给出本发明提出的分数阶原始对偶去噪算法的流程：
步骤 1.初始化：给定初始步长，且满足
Figure 681860DEST_PATH_IMAGE027
。令，
Figure 217195DEST_PATH_IMAGE029
。
步骤 2. 计算
                     　(24)
式中，。
步骤 3.计算原始对偶间隔，定义如下：
Figure 595500DEST_PATH_IMAGE031
          　(25)
当该指标满足给定的迭代终止条件时，迭代终止；否则，令
Figure 603907DEST_PATH_IMAGE032
，转步骤 2.
下面考虑算法的收敛性问题，相关文献中已给出了算法的收敛性证明，但需满足参数
Figure 594997DEST_PATH_IMAGE083
的定义，故这里求取参数L的取值范围。因为
Figure 372460DEST_PATH_IMAGE084
故
Figure 790803DEST_PATH_IMAGE085
，式中
Figure 20927DEST_PATH_IMAGE086
，表示分数阶散度定义中展开项的项数。 
数值实验与分析：
提出的分数阶原始对偶算法中，需要计算分数阶算子
Figure 447678DEST_PATH_IMAGE087
的伴随算子
Figure 33992DEST_PATH_IMAGE088
，如将图像视为向量，根据线性代数理论，可得出作用于向量时的伴随矩阵等于的转置。为了方便算法的实现，实验中首先对图像进行向量化处理。通过逐行扫描的方式，将图像矩阵转换为列向量，这样对于
Figure 711727DEST_PATH_IMAGE089
的图像，图像矩阵的位置
Figure 737451DEST_PATH_IMAGE090
对应列向量中的位置
Figure 942168DEST_PATH_IMAGE091
。
算法参数设定如下：分数阶散度算子中
Figure 75821DEST_PATH_IMAGE092
，算法初始步长
Figure 416804DEST_PATH_IMAGE093
。为保证数据项
Figure 613430DEST_PATH_IMAGE094
的一致凸特性，应满足
Figure 305443DEST_PATH_IMAGE095
，
Figure 980138DEST_PATH_IMAGE096
，这里令。调整参数
Figure 808733DEST_PATH_IMAGE098
受噪声强度，图像内容，灰度值范围等因素的影响，但只有设定在某个值的邻域内去噪效果才会较好。
分数阶原始对偶模型去噪能力的分析：
图1中给出了几个典型分数阶微分的幅频特性响应曲线。从频域角度分析，随着微分阶次的增加，信号的中频和高频成分能有效增强。针对图像，中频成分对应图像的纹理部分，高频成分对应图像的边缘和噪声部分。综合考虑模型对噪声的抑制能力和对图像细节特征的保护能力选取
Figure 657216DEST_PATH_IMAGE099
。
首先选取临床心脏超声图像作为测试图像，定性分析不同分数阶次下模型的去噪能力。设定迭代次数
Figure 135602DEST_PATH_IMAGE100
，调整参数
Figure 716756DEST_PATH_IMAGE101
。
图2(a)噪声图像；图2(b)
Figure 989606DEST_PATH_IMAGE102
的去噪效果；图2(c)
Figure 656210DEST_PATH_IMAGE103
的去噪效果；图2(d)的去噪效果；图2(e)的去噪效果；图2(f)
Figure 552119DEST_PATH_IMAGE106
的去噪效果；图2(g)
Figure 640773DEST_PATH_IMAGE107
的去噪效果。
可见分数阶模型较一阶模型能有效抑制“阶梯效应”，即分段平滑现象。而与二阶模型相比，能更有效的去除噪声。随着分数阶次的增加图像的细节保护能力能有效增强，但也残留更多的噪声成分。这一结果符合前面关于分数阶微分频率特性的分析。
下面将采用峰值信噪比（
Figure 460962DEST_PATH_IMAGE108
）作为量化指标定量分析模型的去噪性能。定义如下：
Figure 751129DEST_PATH_IMAGE109
                         (26)
式中，
Figure 631360DEST_PATH_IMAGE110
表示无噪声的原始图像，
Figure 6978DEST_PATH_IMAGE005
表示去噪后图像。
该指标适用于原始图像已知情况下，去噪性能的测试。选取标准“Lena”图像作为测试图像，加入均值为0，标准差分别为10，20和30的高斯白噪声。设定迭代次数
Figure 365278DEST_PATH_IMAGE100
。
图3(a)原始图像；图3(b)标准差为20的噪声图像；图3(c) 
Figure 775531DEST_PATH_IMAGE102
的去噪效果；图3(d) 
Figure 558154DEST_PATH_IMAGE102
的去噪局部效果；图3(e) 的去噪效果；图3(f) 
Figure 583059DEST_PATH_IMAGE103
的去噪局部效果；图3(g) 
Figure 847819DEST_PATH_IMAGE106
的去噪效果；图3(h) 的去噪局部效果。
表1中比较了不同分数阶次下去噪图像的峰值信噪比。
表1 不同阶次下去噪图像峰值信噪比的比较
Figure 357745DEST_PATH_IMAGE111
 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0
Figure 57848DEST_PATH_IMAGE112
 32.2758 32.3101 32.3905 32.4565 32.5637 32.5506
30.3843 30.3931 30.4510 30.4831 30.6022 30.5692
Figure 567119DEST_PATH_IMAGE114
 28.3753 28.5355 28.5908 28.7381 28.8283 28.7441
峰值信噪比呈现先增大后减小的变化规律。这验证了选取范围的合理性。 
分数阶原始对偶算法的性能分析和比较：
首先跟踪模型原始对偶间隔的变化情况。从理论上讲，原始对偶间隔为零时，模型的解为最优解。选取含有均值为0，标准差为30高斯白噪声的“Lena”图像作为测试图像，设置参数。
图4中给出了几个典型分数阶次作用下原始对偶间隔的变化曲线。结果表明，当
Figure 882191DEST_PATH_IMAGE117
时，算法快速收敛；而当时，算法收敛速度明显减慢。可见当分数阶次增加时，模型能保护更多图像细节特征的同时，也残留了更多的噪声，去噪能力减弱。
此外，为了说明本算法在变分数值算法中的快速性优势，将其与一些经典算法进行比较，包括Chambolle的投影算法，Bioucas的MM算法，和Beck的快速梯度算法。选取“Lena”图像作为测试图像，加入均值为0，标准差分别为10，20和30的高斯白噪声。
表2中给出了
Figure 708513DEST_PATH_IMAGE102
，
Figure 747489DEST_PATH_IMAGE116
，解的均方根误差时几种算法的迭代次数和CPU时间。
表2 几种变分算法迭代次数和CPU时间的比较
Figure 576084DEST_PATH_IMAGE121
本发明涉及的基于预解式的原始对偶算法收敛速度明显优于其它测试算法。
由于一阶梯度算子是由有限项组成的局域算子，而分数阶梯度算子是由无限项组成的全局算子，所以分数阶模型的实现在速度上要比一阶情况慢。
表3中给出了去噪“Lena”图像，当
Figure 122603DEST_PATH_IMAGE116
，解的均方根误差
Figure 233779DEST_PATH_IMAGE122
时，不同分数阶次下分数阶原始对偶算法的迭代次数和CPU时间。
表3　不同分数阶次下迭代次数和CPU时间的比较
结果表明，随着分数阶次的增加，算法的收敛速度变慢。这与前面关于原始对偶间隔变化情况的测试结论相一致。

Claims (3)

1.一种用于图像去噪的分数阶原始对偶方法，包括分数阶原始对偶去噪模型和分数阶原始对偶数值算法，其特征在于，所述一种分数阶原始对偶去噪模型，表达式为： 
Figure 320612DEST_PATH_IMAGE001
式中，
Figure 770660DEST_PATH_IMAGE002
为有限维向量空间，为去噪后图像，g为观测图像，
Figure 941058DEST_PATH_IMAGE004
为调整参数，
Figure 683886DEST_PATH_IMAGE005
为对偶空间，
Figure 674976DEST_PATH_IMAGE006
为分数阶正则项的拓扑对偶，表达式为：
Figure 390122DEST_PATH_IMAGE007
                               　
分数阶原始对偶去噪模型与
Figure 808465DEST_PATH_IMAGE008
式所示的鞍点结构优化模型形式相近，可建立对应关系，即令
Figure 324677DEST_PATH_IMAGE009
，
Figure 853878DEST_PATH_IMAGE010
，
Figure 751427DEST_PATH_IMAGE011
。
2.根据权利要求1所述的一种用于图像去噪的分数阶原始对偶方法，其特征在于，两种模型的结构相似性，采用求解鞍点问题的数值算法求解所述的分数阶原始对偶去噪模型；所述分数阶原始对偶数值算法步骤如下：
步骤 1.初始化：给定初始步长
Figure 340671DEST_PATH_IMAGE012
，且满足
Figure 58091DEST_PATH_IMAGE013
；
令
Figure 390984DEST_PATH_IMAGE014
，
Figure 80722DEST_PATH_IMAGE015
；
步骤 2. 计算
Figure 837938DEST_PATH_IMAGE016
                       　
式中，
Figure 42655DEST_PATH_IMAGE009
；
步骤 3.计算原始对偶间隔，定义如下：
          　
当该指标满足给定的迭代终止条件时，迭代终止；否则，令
Figure 785800DEST_PATH_IMAGE018
，转步骤 2。
3.根据权利要求2所述的一种用于图像去噪的分数阶原始对偶方法，其特征在于，一种分数阶原始对偶数值算法，当参数（
Figure 408859DEST_PATH_IMAGE020
，为分数阶算子的展开项数）时，算法收敛。
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