CN106126876A - 一种基于纹波分析的电解电容寿命计算方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及电力电子技术领域，具体涉及一种基于纹波分析的电解电容寿命计算方法，包括利用二重傅里叶级数求解不同频率下的电解电容电流纹波，结合电解电容阻抗特性与基于内部温升的电解电容的模型，求解出电解电容寿命；步骤为A计算buck电路中各次谐波电流的有效值大小；B给出电解电容的模型，利用迭代算法通过谐波电流有效值与谐波频率处电解电容等效电阻ESR计算得到电解电容内部温升；C将电解电容内部温升代入电解电容寿命公式计算得到电解电容寿命。该方法将电解电容寿命模型与系统参数相结合，分析了主电路中电感对电解电容寿命的影响；将电解电容的寿命计算与电解电容阻抗特性紧密结合，可精确求解电解电容的寿命。

Description

一种基于纹波分析的电解电容寿命计算方法

技术领域

本发明属于电力电子技术领域，尤其涉及一种基于纹波分析的电解电容寿命计算方法。

背景技术

随着电力电子技术的发展，直流变换装置在可再生能源发电、智能电网、航天航海等应用中发挥越来越重要的作用。由于直流变换装置中开关器件的作用，其输出电压中含有开关频率及其整数倍谐波，因此直流变换装置的输出侧需安装滤波电路，如LC滤波电路，LCL滤波电路等。滤波电路不可缺少的为电容，而电解电容具有容值大，能量密度高，且成本较低等优点，使其被广泛应用于直流变换装置的输出侧滤波电路的设计中。

然而铝电解电容中工作电解液所引起的等效串联电阻比其他电容器的金属电极所引起的等效串联电阻更大，流过电解电容的光伏电池侧电流纹波在铝电解电容内部产生的发热比其他电容更严重，使得铝电解电容的寿命低于其他电容，而铝电解电容的寿命也成为制约直流变换装置寿命的最主要部分。

现有文献中的铝电解电容寿命模型多为基于环境温度与内部温升的模型，或是基于统计学的电解电容失效模型，没有与系统参数设计相联系，因此不能从系统设计上为延长电解电容寿命，提高直流变换系统稳定性提供参考。部分电解电容寿命模型将电解电容等效电阻ESR取为恒定值，然后利用输出平均值与简化的等效电阻ESR求解出了电解电容的内部温升，进一步求得电解电容的寿命。然而电解电容的等效电阻ESR随其工作频率与内部温度而变化，由于此类电解电容模型忽略了电解电容的阻抗特性，其计算出的电解电容寿命准确性较低。

发明内容

本发明提供一种将电解电容寿命模型与系统参数相结合，具体分析了主电路中电感对电解电容寿命的影响；同时将电解电容的寿命计算与电解电容阻抗特性紧密结合，可精确求解出电解电容寿命的方法。

为实现上述目的，本发明采用的技术方案是：一种基于纹波分析的电解电容寿命计算方法，所述计算方法包括利用二重傅里叶级数求解不同频率下的电解电容电流纹波，结合电解电容阻抗特性与基于内部温升的电解电容的模型，计算出电解电容寿命；具体步骤包括：

S1.计算buck电路中各次谐波电流的有效值；

S2.给出电解电容的模型，利用迭代算法通过谐波电流的有效值与谐波频率处电解电容等效电阻ESR计算得到电解电容内部温升；

S3.将电解电容内部温升代入电解电容寿命公式计算电解电容寿命。

上述的电解电容寿命计算方法中，所述步骤S1具体包括以下步骤：

S11.利用二重傅里叶级数求解buck电路中开关函数s(t)在各个频率下的幅值，再进一步得到LC滤波器电容电流在各个频率下电流幅值；

S12.求解出LC滤波器电容电流在各个频率下电流幅值后，利用叠加定理求解buck电路谐波交流电压源等效电路；

S13.再利用谐波交流电压源等效电路求解出buck电路输出侧LC滤波器中的电解电容中各次谐波电流的有效值。

上述的电解电容寿命计算方法中，所述步骤S11具体包括以下步骤：

S111.将电路的开关函数s(t)转化为s(x,y)，在buck电路中，其输入电压V_in与输出电压V_out满足V_out＝DV_in，采用调制方式得到一个直流输出，调制波形式如下：

M_ref＝D (1)

(1)式中D为开关变换器占空比；令以下两个时间变量的函数

x(t)＝ω_c(t)+θ_c (2)

y(t)＝ω_o(t)+θ_o (3)

(2)、(3)式中ω_C是载波的角频率，θ_C是载波的初始相角，ω_o为基波的角频率，θ_o为基波的初始相角；将开关函数s(t)转化为s(x,y)，变量x(t)与y(t)分别表示高频载波和低频调制波的时间变量，各变量为周期性信号且相互独立，在xy平面上，电路的开关函数s(x,y)仅有0和1两个值；

S112.根据二重傅里叶级数理论，将电路的开关函数s(x,y)用以下级数表示

$\begin{array}{c}s(x,y)=\frac{c_{00}}{4}+\frac{1}{2}\underset{n=1}{\overset{\mathrm{\∞}}{\mathrm{\Σ}}}\left(c_{0n}\cos \right(2ny)+d_{0n}\sin (2ny\left)\right)\\ +\frac{1}{2}\underset{m=1}{\overset{\mathrm{\∞}}{\mathrm{\Σ}}}\left(c_{m0}\cos \right(2mx)+e_{m0}\sin (2mx\left)\right)\\ +\frac{1}{2}\underset{m=1}{\overset{\mathrm{\∞}}{\mathrm{\Σ}}}\underset{n=-\mathrm{\∞}}{\overset{\mathrm{\∞}}{\mathrm{\Σ}}}\left(\right(c_{mn}-f_{mn}\left)\cos \right(2mx+2ny)+(d_{mn}+e_{mn}\left)\sin \right(2mx+2ny\left)\right)\end{array}---\left(4\right)$

(4)式中的为直流分量，为基波及其整数倍的谐波，为高频的载波谐波及其整数倍谐波，为载波谐波、参考波形加上与之相关的基带谐波之间的和与差所形成的所有谐波的集合，为边带谐波；其中c₀₀，c_0n，c_m0，d_0n，d_mn，e_m0，c_mn，e_mn，f_mn，为傅里叶积分系数，m与n分别代表基波频率的倍数与载波频率的倍数，其求解方法如下：

$c_{mn}=\frac{2}{{\mathrm{\π}}^2}{\∫}_{-\mathrm{\π}}^{\mathrm{\π}}{\∫}_0^{\mathrm{\π}D}cos\left(2mx\right)cos\left(2ny\right)dxdy$

$d_{mn}=\frac{2}{{\mathrm{\π}}^2}{\∫}_{-\mathrm{\π}}^{\mathrm{\π}}{\∫}_0^{\mathrm{\π}D}cos\left(2mx\right)\sin \left(2ny\right)dxdy$

$e_{mn}=\frac{2}{{\mathrm{\π}}^2}{\∫}_{-\mathrm{\π}}^{\mathrm{\π}}{\∫}_0^{\mathrm{\π}D}\sin \left(2mx\right)cos\left(2ny\right)dxdy$

$f_{mn}=\frac{1}{l}{\∫}_{-l}^l{b}_m\left(y\right)sin\frac{n\mathrm{\π}y}{l}dy=\frac{1}{l^2}{\∫}_{-l}^l{\∫}_{-l}^{l}f(x,y)sin\frac{m\mathrm{\π}x}{l}\sin \frac{n\mathrm{\π}y}{l}dxdy$

$\begin{array}{c}{c}_{0n}=\frac{4}{{\mathrm{\π}}^2}{\∫}_{-\frac{\mathrm{\π}}{2}}^{\frac{\mathrm{\π}}{2}}{\∫}_{-\frac{\mathrm{\π}}{2}}^{\frac{\mathrm{\π}}{2}}f(x,y)\cos \left(2ny\right)dxdy\\ =\frac{4}{{\mathrm{\π}}^2}{\∫}_{-\frac{\mathrm{\π}}{2}}^{\frac{\mathrm{\π}}{2}}{\∫}_{-\frac{\mathrm{\π}}{2}}^{\mathrm{\π}M\cos y-\frac{\mathrm{\π}}{2}}\cos \left(2ny\right)dxdy\\ =\frac{4}{\mathrm{\π}}M\[-\frac{2\cos \left(n\mathrm{\π}\right)}{4n^2-1}\]\end{array}$

$\begin{array}{c}{d}_{0n}=\frac{4}{{\mathrm{\π}}^2}{\∫}_{-\frac{\mathrm{\π}}{2}}^{\frac{\mathrm{\π}}{2}}{\∫}_{-\frac{\mathrm{\π}}{2}}^{\frac{\mathrm{\π}}{2}}f(x,y)\sin \left(2ny\right)dxdy\\ =\frac{4}{{\mathrm{\π}}^2}{\∫}_{-\frac{\mathrm{\π}}{2}}^{\frac{\mathrm{\π}}{2}}{\∫}_{-\frac{\mathrm{\π}}{2}}^{\mathrm{\π}M\cos y-\frac{\mathrm{\π}}{2}}\sin \left(2ny\right)dxdy\\ =0\end{array}$

S113.由二重傅里叶级数系数的计算式，得c_0n，d_0n，d_mn，f_mn，c_mn，e_mn均为0，而

$c_{00}=\frac{2}{{\mathrm{\π}}^2}{\∫}_{-\mathrm{\π}}^{\mathrm{\π}}{\∫}_0^{\mathrm{\π}D}1dxdy=4D$

$c_{m0}=\frac{2}{{\mathrm{\π}}^2}{\∫}_{-\mathrm{\π}}^{\mathrm{\π}}{\∫}_0^{\mathrm{\π}D}cos\left(2mx\right)dxdy=\frac{2}{\mathrm{\π}m}\sin \left(2\mathrm{\π}mD\right)$

$e_{m0}=\frac{2}{{\mathrm{\π}}^2}{\∫}_{-\mathrm{\π}}^{\mathrm{\π}}{\∫}_0^{\mathrm{\π}D}\sin \left(2mx\right)dxdy=\frac{4}{\mathrm{\π}m}{\sin }^2\left(\mathrm{\π}mD\right)$

由计算结果可知在buck电路中，仅有直流分量与开关频率及其整数倍的谐波，没有开关频率谐波的边带谐波、基波及基波边带谐波；利用以上结果进一步求得buck电路中开关函数的直流分量为

s₀＝D (5)

开关频率m次谐波的谐波分量为

$s_m=\frac{2}{\mathrm{\π}m}sin\left(\mathrm{\π}mD\right)---\left(6\right).$

上述的电解电容寿命计算方法中，所述步骤S12具体包括以下步骤：

在buck电路中，当工作在电感电流连续的情况下，令输入为V_in，电路中开关函数为s(t)，则buck电路二极管上的电压为

$\begin{array}{c}{V}_D=V_{in}\·s\left(t\right)\\ ={\mathrm{DV}}_{in}+V_{in}\underset{m=1}{\overset{\mathrm{\∞}}{\mathrm{\Σ}}}\frac{2}{\mathrm{\π}m}sin\left(\mathrm{\π}mD\right)\end{array}---\left(7\right)$

由叠加定理可知，二极管上的电压由直流电压源DV_in与谐波交流电压源等效。

上述的电解电容寿命计算方法中，所述步骤S13具体包括以下步骤：

在所述步骤S13中，LC滤波器中电容阻抗相对于负载足够小，则所有谐波交流电压源产生的谐波信号流过LC滤波器的电解电容，而输出电阻中仅有直流信号；

当第m次谐波电压源单独作用于电路时，电解电容上的谐波电流有效值为

$i_{hm}=\frac{v_{hm}}{({\mathrm{\ω}}_{m}L-\frac{1}{{\mathrm{\ω}}_{m}C})}=\frac{\sqrt{2}\sin \left(\mathrm{\π}mD\right)V_{in}}{\mathrm{\π}m({\mathrm{\ω}}_{m}L-\frac{1}{{\mathrm{\ω}}_{m}C})}---\left(8\right)$

其中v_hm为m次谐波电压源的有效值，ω_m为m次谐波对应的角频率，其数值为开关频率角频率的m倍；

流过电解电容谐波电流的有效值为

$i_{hm}=\sqrt{\underset{m=1}{\overset{\mathrm{\∞}}{\mathrm{\Σ}}}{i}_{hm}^2}=\frac{\sqrt{2}}{\mathrm{\π}}{V}_{in}\sqrt{\underset{m=1}{\overset{\mathrm{\∞}}{\mathrm{\Σ}}}{\left(\frac{\sin \left(\mathrm{\π}mD\right)}{m({\mathrm{\ω}}_{m}L-\frac{1}{{\mathrm{\ω}}_{m}C})}\right)}^2}---\left(9\right)$

由于项相对于ω_mL项可忽略，故i_hm的表达式可进一步简化为

$i_{hm}=\sqrt{\underset{m=1}{\overset{\mathrm{\∞}}{\mathrm{\Σ}}}{i}_{hm}^2}=\frac{\sqrt{2}}{\mathrm{\π}}{V}_{in}\sqrt{\underset{m=1}{\overset{\mathrm{\∞}}{\mathrm{\Σ}}}{\left(\frac{sin\left(\mathrm{\π}mD\right)}{{\mathrm{m\ω}}_{m}L}\right)}^2}---\left(10\right).$

上述的电解电容寿命计算方法中，所述步骤S2包括：

给出电解电容的模型，得出电解电容由等效电阻ESR、等效电感以及电容组成；其中，电解电容的等效电阻ESR随频率与温度的变化而变化，等效电阻ESR首先随频率的增大而减小，然后随频率增大而增大；通过查表得到不同频率下的电解电容等效电阻ESR，由电解电容中谐波电流有效值i_hm求得电解电容中消耗的热功率P_T为

$P_T=\underset{m=1}{\overset{\mathrm{\∞}}{\mathrm{\Σ}}}{i}_{hm}^2{R}_m\left(T\right)---\left(11\right)$

其中R_m为电解电容在m倍开关频率所对应的电解电容等效电阻ESR，是电解电容内部温度T的函数；

当系统达到平衡发热和放热温度条件时，电解电容的热功率P_T与电解电容内部的温升ΔT满足

ΔT＝P_T·R_θ (12)

其中R_θ为热阻；

将(11)式代入(12)式整理后得到：

$R_{\mathrm{\θ}}\·\underset{m=1}{\overset{\mathrm{\∞}}{\mathrm{\Σ}}}{i}_{hm}^2{R}_m\left(T\right)=\mathrm{\Δ}T---\left(13\right)$

在(13)式的两端T同时变化，利用牛顿-拉夫逊算法进行迭代求解得到电解电容内部温升。

将电解电容寿命模型与系统参数相结合，具体分析主电路中电感对电解电容寿命的影响；同时，将电解电容的寿命计算与电解电容阻抗特性紧密结合求解出电解电容的寿命。

一种基于纹波分析的电解电容寿命计算方法包括如下步骤：

A：计算buck电路中各次谐波电流的有效值大小，所述步骤A具体为：

A1：利用二重傅里叶级数求解buck电路中开关函数s(t)在各个频率下的幅值，再进一步得到LC滤波器电容电流在各个频率下电流幅值；

A2：求解出各频率下电流幅值的基础上，利用叠加定理求解buck电路谐波交流电压源等效电路；

A3：利用谐波交流电压源等效电路求解出buck电路输出电容中各次谐波电流的有效值。

B：给出电解电容的模型，利用迭代算法通过谐波电流有效值与谐波频率处电解电容等效电阻ESR计算得到电解电容内部温升；所述步骤B具体为：

给出电解电容的模型，得到电解电容是由等效电阻ESR、等效电感以及电容组成，其中电解电容的等效电阻ESR随频率与温度的变化而变化，等效电阻ESR首先随频率的增大而减小，而后随频率增大而增大，通过查表得到不同频率下的电解电容等效电阻ESR，由电解电容中谐波电流有效值i_hm求得电解电容中消耗的热功率P_T为

$P_T=\underset{m=1}{\overset{\mathrm{\∞}}{\mathrm{\Σ}}}{i}_{hm}^2{R}_m\left(T\right)---\left(11\right)$

其中R_m为电解电容在m倍开关频率所对应的等效电阻ESR，为电容内部温度T的函数；

在系统达到平衡发热和放热温度条件时，电解电容的热功率P_T与电解电容内部的温升ΔT满足

ΔT＝P_T·R_θ (12)

其中R_θ为热阻；

将(11)式代入(12)式整理后得到：

$R_{\mathrm{\θ}}\·\underset{m=1}{\overset{\mathrm{\∞}}{\mathrm{\Σ}}}{i}_{hm}^2{R}_m\left(T\right)=\mathrm{\Δ}T---\left(13\right)$

由于T在(13)式两端同时变化，利用牛顿-拉夫逊算法进行迭代求解得到电解电容内部温升。

C：将电解电容内部温升代入电解电容寿命公式计算得到电解电容寿命。

进一步的，所述步骤A1具体包括如下步骤：

A11：将开关函数s(t)转化为s(x,y)，在buck电路中，其输入电压V_in与输出电压V_out满足V_out＝DV_in，为采用调制方式得到一个直流输出，调制波形式如下

M_ref＝D (1)

其中D为开关变换器占空比；令如下两个时间变量的函数

x(t)＝ω_c(t)+θ_c (2)

y(t)＝ω_o(t)+θ_o (3)

其中ω_C是载波的角频率，θ_C是载波的初始相角，ω_o基波的角频率，θ_o是基波的初始相角，则将开关函数s(t)转化为s(x,y)，变量x(t)与y(t)分别代表高频载波和低频调制波的时间变量，各变量为周期性的信号且相互独立，在xy平面上，电路的开关动作函数s(x,y)仅有0和1两个值；

A12：根据二重傅里叶级数理论，将开关函数s(x,y)用以下级数表示

$\begin{array}{c}s(x,y)=\frac{c_{00}}{4}+\frac{1}{2}\underset{n=1}{\overset{\mathrm{\∞}}{\mathrm{\Σ}}}\left(c_{0n}\cos \right(2ny)+d_{0n}\sin (2ny\left)\right)\\ +\frac{1}{2}\underset{m=1}{\overset{\mathrm{\∞}}{\mathrm{\Σ}}}\left(c_{m0}\cos \right(2mx)+e_{m0}\sin (2mx\left)\right)\\ +\frac{1}{2}\underset{m=1}{\overset{\mathrm{\∞}}{\mathrm{\Σ}}}\underset{n=-\mathrm{\∞}}{\overset{\mathrm{\∞}}{\mathrm{\Σ}}}\left(\right(c_{mn}-f_{mn}\left)\cos \right(2mx+2ny)+(d_{mn}+e_{mn}\left)\sin \right(2mx+2ny\left)\right)\end{array}---\left(4\right)$

式(4)中的为直流分量，为基波及其整数倍的谐波，为高频的载波谐波及其整数倍谐波，为载波谐波、参考波形加上与之相关的基带谐波之间的和与差所形成的所有谐波的集合，被称为边带谐波；其中c₀₀，c_0n，c_m0，d_0n，d_mn，e_m0，c_mn，e_mn，f_mn为傅里叶积分系数，m与n分别代表基波频率的倍数与载波频率的倍数，其求解方法如下：

$c_{mn}=\frac{2}{{\mathrm{\π}}^2}{\∫}_{-\mathrm{\π}}^{\mathrm{\π}}{\∫}_0^{\mathrm{\π}D}cos\left(2mx\right)cos\left(2ny\right)dxdy$

$d_{mn}=\frac{2}{{\mathrm{\π}}^2}{\∫}_{-\mathrm{\π}}^{\mathrm{\π}}{\∫}_0^{\mathrm{\π}D}cos\left(2mx\right)sin\left(2ny\right)dxdy$

$e_{mn}=\frac{2}{{\mathrm{\π}}^2}{\∫}_{-\mathrm{\π}}^{\mathrm{\π}}{\∫}_0^{\mathrm{\π}D}\sin \left(2mx\right)cos\left(2ny\right)dxdy$

$f_{mn}=\frac{1}{l}{\∫}_{-l}^l{b}_m\left(y\right)sin\frac{n\mathrm{\π}y}{l}dy=\frac{1}{l^2}{\∫}_{-l}^l{\∫}_{-l}^{l}f(x,y)sin\frac{m\mathrm{\π}x}{l}\sin \frac{n\mathrm{\π}y}{l}dxdy$

$\begin{array}{c}{c}_{0n}=\frac{4}{{\mathrm{\π}}^2}{\∫}_{-\frac{\mathrm{\π}}{2}}^{\frac{\mathrm{\π}}{2}}{\∫}_{-\frac{\mathrm{\π}}{2}}^{\frac{\mathrm{\π}}{2}}f(x,y)\cos \left(2ny\right)dxdy\\ =\frac{4}{{\mathrm{\π}}^2}{\∫}_{-\frac{\mathrm{\π}}{2}}^{\frac{\mathrm{\π}}{2}}{\∫}_{-\frac{\mathrm{\π}}{2}}^{\mathrm{\π}M\cos y-\frac{\mathrm{\π}}{2}}\cos \left(2ny\right)dxdy\\ =\frac{4}{\mathrm{\π}}M\[-\frac{2\cos \left(n\mathrm{\π}\right)}{4n^2-1}\]\end{array}$

$\begin{array}{c}{d}_{0n}=\frac{4}{{\mathrm{\π}}^2}{\∫}_{-\frac{\mathrm{\π}}{2}}^{\frac{\mathrm{\π}}{2}}{\∫}_{-\frac{\mathrm{\π}}{2}}^{\frac{\mathrm{\π}}{2}}f(x,y)\sin \left(2ny\right)dxdy\\ =\frac{4}{{\mathrm{\π}}^2}{\∫}_{-\frac{\mathrm{\π}}{2}}^{\frac{\mathrm{\π}}{2}}{\∫}_{-\frac{\mathrm{\π}}{2}}^{\mathrm{\π}M\cos y-\frac{\mathrm{\π}}{2}}\sin \left(2ny\right)dxdy\\ =0\end{array}$

A13：由二重傅里叶级数系数的计算式，易得c_0n，d_0n，d_mn，f_mn，c_mn，e_mn均为0，而

$c_{00}=\frac{2}{{\mathrm{\π}}^2}{\∫}_{-\mathrm{\π}}^{\mathrm{\π}}{\∫}_0^{\mathrm{\π}D}1dxdy=4D$

$c_{m0}=\frac{2}{{\mathrm{\π}}^2}{\∫}_{-\mathrm{\π}}^{\mathrm{\π}}{\∫}_0^{\mathrm{\π}D}cos\left(2mx\right)dxdy=\frac{2}{\mathrm{\π}m}\sin \left(2\mathrm{\π}mD\right)$

$e_{m0}=\frac{2}{{\mathrm{\π}}^2}{\∫}_{-\mathrm{\π}}^{\mathrm{\π}}{\∫}_0^{\mathrm{\π}D}\sin \left(2mx\right)dxdy=\frac{4}{\mathrm{\π}m}{\sin }^2\left(\mathrm{\π}mD\right)$

由计算结果可知在buck电路中，仅有直流分量与开关频率及其整数倍的谐波，而没有开关频率谐波的边带谐波、基波及基波边带谐波，利用以上结果进一步求得buck电路中开关函数的直流分量为

s₀＝D (5)

开关频率m次谐波的谐波分量为

$s_m=\frac{2}{\mathrm{\π}m}sin\left(\mathrm{\π}mD\right)---\left(6\right).$

进一步的，所述步骤A2中：

在buck电路中，当电路工作在电感电流连续的情况下时，若令输入为V_in，开关函数为s(t)，则buck电路二极管上的电压为

$\begin{array}{c}{V}_D=V_{in}\·s\left(t\right)\\ ={\mathrm{DV}}_{in}+V_{in}\underset{m=1}{\overset{\mathrm{\∞}}{\mathrm{\Σ}}}\frac{2}{\mathrm{\π}m}sin\left(\mathrm{\π}mD\right)\end{array}---\left(7\right)$

由叠加定理可知，二极管上的电压由直流电压源DV_in与谐波交流电压源等效。

进一步的，所述步骤A3中，LC滤波器中电容阻抗相对于负载足够小，则所有谐波交流电压源产生的谐波信号将流过电解电容，而输出电阻中仅有直流信号：

当第m次谐波电压源单独作用于电路时，此时电解电容谐波电流有效值为

$i_{hm}=\frac{v_{hm}}{({\mathrm{\ω}}_{m}L-\frac{1}{{\mathrm{\ω}}_{m}C})}=\frac{\sqrt{2}\sin \left(\mathrm{\π}mD\right)V_{in}}{\mathrm{\π}m({\mathrm{\ω}}_{m}L-\frac{1}{{\mathrm{\ω}}_{m}C})}---\left(8\right)$

其中v_hm为m次谐波电压源的有效值，ω_m为m次谐波对应的角频率，其数值为开关频率角频率的m倍；

流过电解电容谐波电流有效值为

$i_{hm}=\sqrt{\underset{m=1}{\overset{\mathrm{\∞}}{\mathrm{\Σ}}}{i}_{hm}^2}=\frac{\sqrt{2}}{\mathrm{\π}}{V}_{in}\sqrt{\underset{m=1}{\overset{\mathrm{\∞}}{\mathrm{\Σ}}}{\left(\frac{\sin \left(\mathrm{\π}mD\right)}{m({\mathrm{\ω}}_{m}L-\frac{1}{{\mathrm{\ω}}_{m}C})}\right)}^2}---\left(9\right)$

由于项相对于ω_mL项可忽略，故i_hm的表达式可进一步简化为

$i_{hm}=\sqrt{\underset{m=1}{\overset{\mathrm{\∞}}{\mathrm{\Σ}}}{i}_{hm}^2}=\frac{\sqrt{2}}{\mathrm{\π}}{V}_{in}\sqrt{\underset{m=1}{\overset{\mathrm{\∞}}{\mathrm{\Σ}}}{\left(\frac{sin\left(\mathrm{\π}mD\right)}{{\mathrm{m\ω}}_{m}L}\right)}^2}---\left(10\right).$

本发明的有益效果是：

1、将电解电容寿命与系统参数设计相结合，为延长系统寿命，提高系统稳定性提供重要参考。

2、将电解电容模型与其阻抗特性相结合，提高了计算模型的准确性。

附图说明

图1为本发明一个实施例的流程示意图；

图2为本发明一个实施例的直流—锯齿波调制过程示意图；

图3为本发明一个实施例的直流锯齿波调制单元示意图，其中x(t)与y(t)分别为载波时间函数与基波时间函数；

图4为本发明一个实施例等效调制过程的示意图；

图5为本发明一个实施例buck电路原理图，其中V_in为输入电压，VD为二极管上的压降；

图6为本发明一个实施例的谐波交流电路等效示意图，其中DV_in为直流电压源，V_hi(i＝1,2,3,…,n)为谐波交流电压源；

图7为本发明一个实施例电解电容内部发热时电解电容等效电路；

图8为本发明一个实施例仿真FFT分析结果示意图，其中横轴为频率，纵轴为谐波幅值；

图9为本发明一个实施例在表1的仿真条件下不同电感值所对应的电解电容寿命示意图，其中横轴为电解电容值，纵轴为电解电容寿命。

具体实施方式

下面结合附图对本发明的实施方式进行详细描述。

实施例

如图1所示，本实施例所采用的技术方案如下：一种基于纹波分析的电解电容寿命计算方法，所述计算方法包括利用二重傅里叶级数求解不同频率下的电解电容电流纹波，结合电解电容阻抗特性与基于内部温升的电解电容的模型，计算出电解电容寿命；具体步骤包括：

S1.计算buck电路中各次谐波电流的有效值；

S2.给出电解电容的模型，利用迭代算法通过谐波电流的有效值与谐波频率处电解电容等效电阻ESR计算得到电解电容内部温升；

S3.将电解电容内部温升代入电解电容寿命公式计算电解电容寿命。

上述的电解电容寿命计算方法中，所述步骤S1具体包括以下步骤：

S11.利用二重傅里叶级数求解buck电路中开关函数s(t)在各个频率下的幅值，再进一步得到LC滤波器电容电流在各个频率下电流幅值；

S12.求解出LC滤波器电容电流在各个频率下电流幅值后，利用叠加定理求解buck电路谐波交流电压源等效电路；

S13.再利用谐波交流电压源等效电路求解出buck电路输出侧LC滤波器中的电解电容中各次谐波电流的有效值。

上述的电解电容寿命计算方法中，所述步骤S11具体包括以下步骤：

S111.将电路的开关函数s(t)转化为s(x,y)，在buck电路中，其输入电压V_in与输出电压V_out满足V_out＝DV_in，采用调制方式得到一个直流输出，调制波形式如下：

M_ref＝D (1)

(1)式中D为开关变换器占空比；令以下两个时间变量的函数

x(t)＝ω_c(t)+θ_c (2)

y(t)＝ω_o(t)+θ_o (3)

(2)、(3)式中ω_C是载波的角频率，θ_C是载波的初始相角，ω_o为基波的角频率，θ_o为基波的初始相角；将开关函数s(t)转化为s(x,y)，变量x(t)与y(t)分别表示高频载波和低频调制波的时间变量，各变量为周期性信号且相互独立，在xy平面上，电路的开关函数s(x,y)仅有0和1两个值；

S112.根据二重傅里叶级数理论，将电路的开关函数s(x,y)用以下级数表示

$\begin{array}{c}s(x,y)=\frac{c_{00}}{4}+\frac{1}{2}\underset{n=1}{\overset{\mathrm{\∞}}{\mathrm{\Σ}}}\left(c_{0n}\cos \right(2ny)+d_{0n}\sin (2ny\left)\right)\\ +\frac{1}{2}\underset{m=1}{\overset{\mathrm{\∞}}{\mathrm{\Σ}}}\left(c_{m0}\cos \right(2mx)+e_{m0}\sin (2mx\left)\right)\\ +\frac{1}{2}\underset{m=1}{\overset{\mathrm{\∞}}{\mathrm{\Σ}}}\underset{n=-\mathrm{\∞}}{\overset{\mathrm{\∞}}{\mathrm{\Σ}}}\left(\right(c_{mn}-f_{mn}\left)\cos \right(2mx+2ny)+(d_{mn}+e_{mn}\left)\sin \right(2mx+2ny\left)\right)\end{array}---\left(4\right)$

(4)式中的为直流分量，为基波及其整数倍的谐波，为高频的载波谐波及其整数倍谐波，为载波谐波、参考波形加上与之相关的基带谐波之间的和与差所形成的所有谐波的集合，为边带谐波；其中c₀₀，c_0n，c_m0，d_0n，d_mn，e_m0，c_mn，e_mn，f_mn，为傅里叶积分系数，m与n分别代表基波频率的倍数与载波频率的倍数，其求解方法如下：

$c_{mn}=\frac{2}{{\mathrm{\π}}^2}{\∫}_{-\mathrm{\π}}^{\mathrm{\π}}{\∫}_0^{\mathrm{\π}D}cos\left(2mx\right)cos\left(2ny\right)dxdy$

$d_{mn}=\frac{2}{{\mathrm{\π}}^2}{\∫}_{-\mathrm{\π}}^{\mathrm{\π}}{\∫}_0^{\mathrm{\π}D}cos\left(2mx\right)\sin \left(2ny\right)dxdy$

$e_{mn}=\frac{2}{{\mathrm{\π}}^2}{\∫}_{-\mathrm{\π}}^{\mathrm{\π}}{\∫}_0^{\mathrm{\π}D}\sin \left(2mx\right)cos\left(2ny\right)dxdy$

$f_{mn}=\frac{1}{l}{\∫}_{-l}^l{b}_m\left(y\right)sin\frac{n\mathrm{\π}y}{l}dy=\frac{1}{l^2}{\∫}_{-l}^l{\∫}_{-l}^{l}f(x,y)sin\frac{m\mathrm{\π}x}{l}\sin \frac{n\mathrm{\π}y}{l}dxdy$

$\begin{array}{c}{c}_{0n}=\frac{4}{{\mathrm{\π}}^2}{\∫}_{-\frac{\mathrm{\π}}{2}}^{\frac{\mathrm{\π}}{2}}{\∫}_{-\frac{\mathrm{\π}}{2}}^{\frac{\mathrm{\π}}{2}}f(x,y)\cos \left(2ny\right)dxdy\\ =\frac{4}{{\mathrm{\π}}^2}{\∫}_{-\frac{\mathrm{\π}}{2}}^{\frac{\mathrm{\π}}{2}}{\∫}_{-\frac{\mathrm{\π}}{2}}^{\mathrm{\π}M\cos y-\frac{\mathrm{\π}}{2}}\cos \left(2ny\right)dxdy\\ =\frac{4}{\mathrm{\π}}M\[-\frac{2\cos \left(n\mathrm{\π}\right)}{4n^2-1}\]\end{array}$

$\begin{array}{c}{d}_{0n}=\frac{4}{{\mathrm{\π}}^2}{\∫}_{-\frac{\mathrm{\π}}{2}}^{\frac{\mathrm{\π}}{2}}{\∫}_{-\frac{\mathrm{\π}}{2}}^{\frac{\mathrm{\π}}{2}}f(x,y)\sin \left(2ny\right)dxdy\\ =\frac{4}{{\mathrm{\π}}^2}{\∫}_{-\frac{\mathrm{\π}}{2}}^{\frac{\mathrm{\π}}{2}}{\∫}_{-\frac{\mathrm{\π}}{2}}^{\mathrm{\π}M\cos y-\frac{\mathrm{\π}}{2}}\sin \left(2ny\right)dxdy\\ =0\end{array}$

S113.由二重傅里叶级数系数的计算式，得c_0n，d_0n，d_mn，f_mn，c_mn，e_mn均为0，而

$c_{00}=\frac{2}{{\mathrm{\π}}^2}{\∫}_{-\mathrm{\π}}^{\mathrm{\π}}{\∫}_0^{\mathrm{\π}D}1dxdy=4D$

$c_{m0}=\frac{2}{{\mathrm{\π}}^2}{\∫}_{-\mathrm{\π}}^{\mathrm{\π}}{\∫}_0^{\mathrm{\π}D}cos\left(2mx\right)dxdy=\frac{2}{\mathrm{\π}m}\sin \left(2\mathrm{\π}mD\right)$

$e_{m0}=\frac{2}{{\mathrm{\π}}^2}{\∫}_{-\mathrm{\π}}^{\mathrm{\π}}{\∫}_0^{\mathrm{\π}D}\sin \left(2mx\right)dxdy=\frac{4}{\mathrm{\π}m}{\sin }^2\left(\mathrm{\π}mD\right)$

由计算结果可知在buck电路中，仅有直流分量与开关频率及其整数倍的谐波，没有开关频率谐波的边带谐波、基波及基波边带谐波；利用以上结果进一步求得buck电路中开关函数的直流分量为

s₀＝D (5)

开关频率m次谐波的谐波分量为

$s_m=\frac{2}{\mathrm{\π}m}sin\left(\mathrm{\π}mD\right)---\left(6\right).$

上述的电解电容寿命计算方法中，所述步骤S12具体包括以下步骤：

在buck电路中，当工作在电感电流连续的情况下，令输入为V_in，电路中开关函数为s(t)，则buck电路二极管上的电压为

$\begin{array}{c}{V}_D=V_{in}\·s\left(t\right)\\ ={\mathrm{DV}}_{in}+V_{in}\underset{m=1}{\overset{\mathrm{\∞}}{\mathrm{\Σ}}}\frac{2}{\mathrm{\π}m}sin\left(\mathrm{\π}mD\right)\end{array}---\left(7\right)$

由叠加定理可知，二极管上的电压由直流电压源DV_in与谐波交流电压源等效。

上述的电解电容寿命计算方法中，所述步骤S13具体包括以下步骤：

在所述步骤S13中，LC滤波器中电容阻抗相对于负载足够小，则所有谐波交流电压源产生的谐波信号流过LC滤波器的电解电容，而输出电阻中仅有直流信号；

当第m次谐波电压源单独作用于电路时，电解电容上的谐波电流有效值为

$i_{hm}=\frac{v_{hm}}{({\mathrm{\ω}}_{m}L-\frac{1}{{\mathrm{\ω}}_{m}C})}=\frac{\sqrt{2}\sin \left(\mathrm{\π}mD\right)V_{in}}{\mathrm{\π}m({\mathrm{\ω}}_{m}L-\frac{1}{{\mathrm{\ω}}_{m}C})}---\left(8\right)$

其中v_hm为m次谐波电压源的有效值，ω_m为m次谐波对应的角频率，其数值为开关频率角频率的m倍；

流过电解电容谐波电流的有效值为

$i_{hm}=\sqrt{\underset{m=1}{\overset{\mathrm{\∞}}{\mathrm{\Σ}}}{i}_{hm}^2}=\frac{\sqrt{2}}{\mathrm{\π}}{V}_{in}\sqrt{\underset{m=1}{\overset{\mathrm{\∞}}{\mathrm{\Σ}}}{\left(\frac{\sin \left(\mathrm{\π}mD\right)}{m({\mathrm{\ω}}_{m}L-\frac{1}{{\mathrm{\ω}}_{m}C})}\right)}^2}---\left(9\right)$

由于项相对于ω_mL项可忽略，故i_hm的表达式可进一步简化为

$i_{hm}=\sqrt{\underset{m=1}{\overset{\mathrm{\∞}}{\mathrm{\Σ}}}{i}_{hm}^2}=\frac{\sqrt{2}}{\mathrm{\π}}{V}_{in}\sqrt{\underset{m=1}{\overset{\mathrm{\∞}}{\mathrm{\Σ}}}{\left(\frac{sin\left(\mathrm{\π}mD\right)}{{\mathrm{m\ω}}_{m}L}\right)}^2}---\left(10\right).$

上述的电解电容寿命计算方法中，所述步骤S2包括：

给出电解电容的模型，得出电解电容由等效电阻ESR、等效电感以及电容组成；其中，电解电容的等效电阻ESR随频率与温度的变化而变化，等效电阻ESR首先随频率的增大而减小，然后随频率增大而增大；通过查表得到不同频率下的电解电容等效电阻ESR，由电解电容中谐波电流有效值i_hm求得电解电容中消耗的热功率P_T为

$P_T=\underset{m=1}{\overset{\mathrm{\∞}}{\mathrm{\Σ}}}{i}_{hm}^2{R}_m\left(T\right)---\left(11\right)$

其中R_m为电解电容在m倍开关频率所对应的电解电容等效电阻ESR，是电解电容内部温度T的函数；

当系统达到平衡发热和放热温度条件时，电解电容的热功率P_T与电解电容内部的温升ΔT满足

ΔT＝P_T·R_θ (12)

其中R_θ为热阻；

将(11)式代入(12)式整理后得到：

$R_{\mathrm{\θ}}\·\underset{m=1}{\overset{\mathrm{\∞}}{\mathrm{\Σ}}}{i}_{hm}^2{R}_m\left(T\right)=\mathrm{\Δ}T---\left(13\right)$

在(13)式的两端T同时变化，利用牛顿-拉夫逊算法进行迭代求解得到电解电容内部温升。

以下根据图1所示本实施例的流程示意图，详细描述本实施例，一种基于纹波分析的电解电容寿命计算方法包括如下的步骤：

1、首先计算buck电路中各次谐波电流的有效值大小；

所述的步骤1具体包括如下几个步骤：

I、求解buck电路开关函数s(t)：利用二重傅里叶级数求解各个频率下电流幅值，再进一步得到LC滤波器电解电容电流在各个频率下电流幅值。

在PWM开关电路中，直流—锯齿波调制是主要的调制方式之一，该调制方式由直流调制波与高频的锯齿载波相比较实现，如图2所示。当调制波大于锯齿波时，开关信号为1，此时开关管导通；当调制波小于锯齿波时，开关信号为0，此时开关管关断。

因此在一个开关周期内，直流—锯齿波调制的调制过程可用图3所示的调制单元等效。当调制波大于锯齿波时，点(x,y)位于图3中的斜线部分，此时开关管导通，开关函数s(x,y)为1；当调制波小于锯齿波时，点(x,y)位于图3中的空白部分，此时开关管关断，开关函数s(x,y)为0。

所述步骤I具体包括如下步骤：

i、将开关函数s(t)转化为s(x,y)，在buck电路中，其输入电压V_in与输出电压V_out满足V_out＝DV_in，为了采用调制方式得到一个直流输出，调制波形式如下

M_ref＝D (1)

其中D为开关变换器占空比；

令如下两个时间变量的函数

x(t)＝ω_c(t)+θ_c

y(t)＝ω_o(t)+θ_o

其中ω_C是载波的角频率，θ_C是载波的初始相角，ω_o是基波的角频率，θ_o是基波的初始相角，则开关函数s(t)转化为s(x,y)，变量x(t)与y(t)分别代表高频载波和低频调制波的时间变量，各变量为周期性的信号且相互独立。在xy平面上，电路的开关动作函数s(x,y)仅有0和1两个值。

在单个开关周期内，s(x,y)值的分布如图3所示，当点(x,y)位于图3中的斜线部分时，s(x,y)为1；当点(x,y)位于图3中的空白部分时，s(x,y)为0。图3中长为π，高为2π的矩形被称为直流—锯齿波调制的单位元。由于采用了单极性调制，所以x轴仅在右边平面有定义，而buck中为直流信号，因此y轴可以任意定义，为了积分方便，这里取[-π，π]。

直流调制波与锯齿波的调制过程可用图4表示，每经过一个载波周期，单位元就在x轴复制一遍，而每经过一个调制波周期，单位元就在y轴复制一遍。随着时间的推移，x＝2ω_Ct与y＝ω_ot在xy平面上定义了一条直线，其斜率为y/x＝ω_C/(2*ω_o)，即载波比。该直线与开关信号边界的交点对应于实际的开关时间。

每当x的值为x＝pπ p＝0,1,2,…,∞时，s(x,y)的值由0变为1；

每当x的值为x＝pπ+Dπ p＝0,1,2,…,∞时，s(x,y)的值由1变为0；

ii、根据二重傅里叶级数理论，可将开关函数s(x,y)用以下级数表示

$\begin{array}{c}s(x,y)=\frac{c_{00}}{4}+\frac{1}{2}\underset{n=1}{\overset{\mathrm{\∞}}{\mathrm{\Σ}}}\left(c_{0n}\cos \right(2ny)+d_{0n}\sin (2ny\left)\right)\\ +\frac{1}{2}\underset{m=1}{\overset{\mathrm{\∞}}{\mathrm{\Σ}}}\left(c_{m0}\cos \right(2mx)+e_{m0}\sin (2mx\left)\right)\\ +\frac{1}{2}\underset{m=1}{\overset{\mathrm{\∞}}{\mathrm{\Σ}}}\underset{n=-\mathrm{\∞}}{\overset{\mathrm{\∞}}{\mathrm{\Σ}}}\left(\right(c_{mn}-f_{mn}\left)\cos \right(2mx+2ny)+(d_{mn}+e_{mn}\left)\sin \right(2mx+2ny\left)\right)\end{array}---\left(4\right)$

式(4)中的第一项为直流分量，第二项为基波及其整数倍的谐波，第三项为高频的载波谐波及其整数倍谐波，第四项为载波谐波、参考波形加上与之相关的基带谐波之间的和与差所形成的所有谐波的集合，被称为边带谐波。其中c₀₀，c_0n，c_m0，d_0n，d_mn，e_m0，c_mn，e_mn，f_mn，为傅里叶积分系数，m与n分别代表基波频率的倍数与载波频率的倍数，其求解方法如下：

$c_{mn}=\frac{2}{{\mathrm{\π}}^2}{\∫}_{-\mathrm{\π}}^{\mathrm{\π}}{\∫}_0^{\mathrm{\π}D}cos\left(2mx\right)cos\left(2ny\right)dxdy$

$d_{mn}=\frac{2}{{\mathrm{\π}}^2}{\∫}_{-\mathrm{\π}}^{\mathrm{\π}}{\∫}_0^{\mathrm{\π}D}cos\left(2mx\right)\sin \left(2ny\right)dxdy$

$e_{mn}=\frac{2}{{\mathrm{\π}}^2}{\∫}_{-\mathrm{\π}}^{\mathrm{\π}}{\∫}_0^{\mathrm{\π}D}\sin \left(2mx\right)cos\left(2ny\right)dxdy$

$f_{mn}=\frac{1}{l}{\∫}_{-l}^l{b}_m\left(y\right)sin\frac{n\mathrm{\π}y}{l}dy=\frac{1}{l^2}{\∫}_{-l}^l{\∫}_{-l}^{l}f(x,y)sin\frac{m\mathrm{\π}x}{l}\sin \frac{n\mathrm{\π}y}{l}dxdy$

$\begin{array}{c}{c}_{0n}=\frac{4}{{\mathrm{\π}}^2}{\∫}_{-\frac{\mathrm{\π}}{2}}^{\frac{\mathrm{\π}}{2}}{\∫}_{-\frac{\mathrm{\π}}{2}}^{\frac{\mathrm{\π}}{2}}f(x,y)\cos \left(2ny\right)dxdy\\ =\frac{4}{{\mathrm{\π}}^2}{\∫}_{-\frac{\mathrm{\π}}{2}}^{\frac{\mathrm{\π}}{2}}{\∫}_{-\frac{\mathrm{\π}}{2}}^{\mathrm{\π}M\cos y-\frac{\mathrm{\π}}{2}}\cos \left(2ny\right)dxdy\\ =\frac{4}{\mathrm{\π}}M\[-\frac{2\cos \left(n\mathrm{\π}\right)}{4n^2-1}\]\end{array}$

$\begin{array}{c}{d}_{0n}=\frac{4}{{\mathrm{\π}}^2}{\∫}_{-\frac{\mathrm{\π}}{2}}^{\frac{\mathrm{\π}}{2}}{\∫}_{-\frac{\mathrm{\π}}{2}}^{\frac{\mathrm{\π}}{2}}f(x,y)\sin \left(2ny\right)dxdy\\ =\frac{4}{{\mathrm{\π}}^2}{\∫}_{-\frac{\mathrm{\π}}{2}}^{\frac{\mathrm{\π}}{2}}{\∫}_{-\frac{\mathrm{\π}}{2}}^{\mathrm{\π}M\cos y-\frac{\mathrm{\π}}{2}}\sin \left(2ny\right)dxdy\\ =0\end{array}$

iii、由二重傅里叶级数系数的计算式结合图5中所示的积分域，易得c_0n，d_0n，d_mn，f_mn，c_mn，e_mn均为0，而

$c_{00}=\frac{2}{{\mathrm{\π}}^2}{\∫}_{-\mathrm{\π}}^{\mathrm{\π}}{\∫}_0^{\mathrm{\π}D}1dxdy=4D$

$c_{m0}=\frac{2}{{\mathrm{\π}}^2}{\∫}_{-\mathrm{\π}}^{\mathrm{\π}}{\∫}_0^{\mathrm{\π}D}cos\left(2mx\right)dxdy=\frac{2}{\mathrm{\π}m}\sin \left(2\mathrm{\π}mD\right)$

$e_{m0}=\frac{2}{{\mathrm{\π}}^2}{\∫}_{-\mathrm{\π}}^{\mathrm{\π}}{\∫}_0^{\mathrm{\π}D}\sin \left(2mx\right)dxdy=\frac{4}{\mathrm{\π}m}{\sin }^2\left(\mathrm{\π}mD\right)$

由计算结果可知在buck电路中，仅有直流分量与开关频率及其整数倍的谐波，而没有开关频率谐波的边带谐波、基波及基波边带谐波。利用以上结果可进一步求得buck电路中开关函数的直流分量为

s₀＝D (5)

开关频率m次谐波的谐波分量为

$s_m=\frac{2}{\mathrm{\π}m}sin\left(\mathrm{\π}mD\right)---\left(6\right)$

II、求解出各频率下电流幅值的基础上利用叠加定理求解buck电路谐波交流电压源等效电路。

在图5所示的buck电路中，当电路工作在电感电流连续的情况下时，若令输入为V_in，开关函数为s(t)，则二极管上的电压为

$\begin{array}{c}{V}_D=V_{in}\·s\left(t\right)\\ ={\mathrm{DV}}_{in}+\underset{m=1}{\overset{\mathrm{\∞}}{\mathrm{\Σ}}}\frac{2}{\mathrm{\π}m}sin\left(\mathrm{\π}mD\right)\end{array}---\left(7\right)$

由叠加定理可知，图5虚线中的电路可由直流电压源DV_in与谐波交流电压源等效，如图6所示。

III、利用谐波交流电压源等效电路求解出buck电路输出电容中各次谐波电流的有效值。

实际电路中的电解电容足够大，则可认为所有谐波交流电压源产生的谐波信号将流过电解电容，而输出电阻中仅有直流信号。

当第m次谐波电压源单独作用于电路时，此时电解电容上谐波电流的有效值为

$i_{hm}=\frac{v_{hm}}{({\mathrm{\ω}}_{m}L-\frac{1}{{\mathrm{\ω}}_{m}C})}=\frac{\sqrt{2}\sin \left(\mathrm{\π}mD\right)V_{in}}{\mathrm{\π}m({\mathrm{\ω}}_{m}L-\frac{1}{{\mathrm{\ω}}_{m}C})}---\left(8\right)$

其中v_hm为m次谐波电压源的有效值，ω_m为m次谐波对应的角频率，其数值为开关频率角频率的m倍。

流过电解电容谐波电流的有效值为

$i_{hm}=\sqrt{\underset{m=1}{\overset{\mathrm{\∞}}{\mathrm{\Σ}}}{i}_{hm}^2}=\frac{\sqrt{2}}{\mathrm{\π}}{V}_{in}\sqrt{\underset{m=1}{\overset{\mathrm{\∞}}{\mathrm{\Σ}}}{\left(\frac{\sin \left(\mathrm{\π}mD\right)}{m({\mathrm{\ω}}_{m}L-\frac{1}{{\mathrm{\ω}}_{m}C})}\right)}^2}---\left(9\right)$

由于项相对于ω_mL项可忽略，故i_hm的表达式可进一步简化为

$i_{hm}=\sqrt{\underset{m=1}{\overset{\mathrm{\∞}}{\mathrm{\Σ}}}{i}_{hm}^2}=\frac{\sqrt{2}}{\mathrm{\π}}{V}_{in}\sqrt{\underset{m=1}{\overset{\mathrm{\∞}}{\mathrm{\Σ}}}{\left(\frac{sin\left(\mathrm{\π}mD\right)}{{\mathrm{m\ω}}_{m}L}\right)}^2}---\left(10\right).$

2、给出电解电容的模型，利用迭代算法通过谐波电流有效值与谐波频率处电解电容等效电阻ESR计算得到电解电容内部温升。

在不同的工作环境下，电解电容的等效电路也不同，当讨论电解电容内部热功率时，电解电容等效电路，如图7所示。

给出电解电容的模型，得到电解电容是由等效电阻ESR、等效电感以及电容组成，其中电解电容的等效电阻ESR随频率与温度的变化而变化，等效电阻ESR首先随频率的增大而减小，而后随频率增大而增大。通过查表得到不同频率下的电解电容等效电阻ESR，同时R_m(T)也是随温度变化的函数。

由电解电容中谐波电流有效值i_hm可求得电解电容中消耗的热功率P_T可简化为

$P_T=\underset{m=1}{\overset{\mathrm{\∞}}{\mathrm{\Σ}}}{i}_{hm}^2{R}_m\left(T\right)---\left(11\right)$

其中R_m为电解电容在m倍开关频率所对应的电解电容等效电阻ESR，为电解电容内部温度T的函数；

在系统达到平衡发热和放热温度条件时，电解电容的热功率P_T与电解电容内部的温升ΔT满足：

ΔT＝P_T·R_θ (12)

其中R_θ为热阻。

将电解电容的热功率(11)式带入式(12)可得：

$R_{\mathrm{\θ}}\·\underset{m=1}{\overset{\mathrm{\∞}}{\mathrm{\Σ}}}{i}_{hm}^2{R}_m\left(T\right)=\mathrm{\Δ}T---\left(13\right)$

由于T在(13)式两端同时变化，可利用牛顿-拉夫逊算法进行迭代求解得到电解电容内部温升。

令

确定迭代精度后，利用式(14)在MATLAB中对电解电容内部温度进行迭代求解

$T_{n+1}=T_n-\frac{f\left(T_n\right)}{f^{\′}\left(T_n\right)}---\left(14\right)$

得到的电解电容内部温升与初始温度的差值即为电解电容内部的温升。

3、将电解电容内部温升代入电解电容寿命公式计算得到电解电容寿命：电容寿命模型如下：

$L_x=L_o\·2^{\frac{T_o-T_x}{10}}\·2^{-\frac{\mathrm{\Δ}T}{5}}---\left(15\right)$

其中L_x为电解电容寿命，L_o为最大工作温度下额定电压时的电解电容寿命，T_o为电解电容工作的上限工作温度，T_x为环境温度，ΔT为电解电容内部温升。由该模型可知，环境温度T_x每上升10℃，或者电解电容内部温度每上升5℃，电解电容的寿命就将减少一半。

将式(10)、式(13)代入式(15)可进一步得到电解电容的寿命表达式为

$L_x=L_o\·2^{\frac{T_o-T_x}{10}}\·2^{-\frac{2R_{\mathrm{\θ}}{V}_{in}^2{R}_{fk}\underset{m=1}{\overset{\mathrm{\∞}}{\mathrm{\Σ}}}{\left(\frac{sin\left(\mathrm{\π}mD\right)}{{\mathrm{m\ω}}_{m}L}\right)}^2}{5{\mathrm{\π}}^2}}---\left(16\right)$

为进一步阐释本发明中模型的准确性，在SIMULINK仿真平台中，搭建如图5所示的buck仿真电路，仿真参数如表1、表2所示。利用SIMULINK中的FFT分析模块得到开关频率及其整数倍的LC滤波器电容电流幅值，结合电解电容手册中的等效电阻ESR计算出准确的电解电容寿命，并将本实施例中的电解电容模型计算得到的寿命值与传统模型中电解电容的寿命值进行对比。

对输出滤波电容电流利用SIMULINK中的FFT模块进行FFT分析，分析结果如图8所示，其中横轴为频率，纵轴为谐波幅值。将电解电容电流各频率的幅值I_C转化为有效值i_C与利用式(6)的计算结果进行比较。比较结果如表3所示。

表3 仿真结果

表3中的分析结果验证了纹波电流分析在电感为800μH工作点处的可行性。

由式(8)可知输出电容的寿命受主电路电感量的影响。图9为在表1中的仿真条件下改变主电路中的电感值，再利用表2中电解电容的参数，分别利用本实施例中的电解电容寿命模型与传统电解电容寿命模型计算得到的电解电容寿命结果对比，传统的电解电容寿命模型中，没有考虑电解电容的等效电阻ESR随频率的变化而变化情况。由图中看出本实施例中的电解电容寿命更接近仿真计算的电解电容寿命。

应当理解的是，本说明书未详细阐述的部分均属于现有技术。

虽然以上结合附图描述了本发明的具体实施方式，但是本领域普通技术人员应当理解，这些仅是举例说明，可以对这些实施方式做出多种变形或修改，而不背离本发明的原理和实质。本发明的范围仅由所附权利要求书限定。

Claims (6)

1.一种基于纹波分析的电解电容寿命计算方法，其特征在于，所述计算方法包括利用二重傅里叶级数求解不同频率下的电解电容电流纹波，结合电解电容阻抗特性与基于内部温升的电解电容的模型，计算出电解电容寿命；具体步骤包括：

S1.计算buck电路中各次谐波电流的有效值；

S2.给出电解电容的模型，利用迭代算法通过谐波电流的有效值与谐波频率处电解电容等效电阻ESR计算得到电解电容内部温升；

S3.将电解电容内部温升代入电解电容寿命公式计算电解电容寿命。

2.根据权利要求1所述的基于纹波分析的电解电容寿命计算方法，其特征在于，所述步骤S1具体包括以下步骤：

S11.利用二重傅里叶级数求解buck电路中开关函数s(t)在各个频率下的幅值，再进一步得到LC滤波器电容电流在各个频率下电流幅值；

S12.求解出LC滤波器电容电流在各个频率下电流幅值后，利用叠加定理求解buck电路谐波交流电压源等效电路；

S13.再利用谐波交流电压源等效电路求解出buck电路输出侧LC滤波器中的电解电容中各次谐波电流的有效值。

3.根据权利要求2所述的基于纹波分析的电解电容寿命计算方法，其特征在于，所述步骤S11具体包括以下步骤：

S111.将电路的开关函数s(t)转化为s(x,y)，在buck电路中，其输入电压V_in与输出电压V_out满足V_out＝DV_in，采用调制方式得到一个直流输出，调制波形式如下：

M_ref＝D (1)

(1)式中D为开关变换器占空比；令以下两个时间变量的函数

x(t)＝ω_c(t)+θ_c (2)

y(t)＝ω_o(t)+θ_o (3)

(2)、(3)式中ω_C是载波的角频率，θ_C是载波的初始相角，ω_o为基波的角频率，θ_o为基波的初始相角；将开关函数s(t)转化为s(x,y)，变量x(t)与y(t)分别表示高频载波和低频调制波的时间变量，各变量为周期性信号且相互独立，在xy平面上，电路的开关函数s(x,y)仅有0和1两个值；

S112.根据二重傅里叶级数理论，将电路的开关函数s(x,y)用以下级数表示

$\begin{array}{c}s(x,y)=\frac{c_{00}}{4}+\frac{1}{2}\underset{n=1}{\overset{\mathrm{\∞}}{\mathrm{\Σ}}}\left(c_{0n}\cos \right(2ny)+d_{0n}\sin (2ny\left)\right)\\ +\frac{1}{2}\underset{m=1}{\overset{\mathrm{\∞}}{\mathrm{\Σ}}}\left(c_{m0}\cos \right(2mx)+e_{m0}\sin (2mx\left)\right)\\ +\frac{1}{2}\underset{m=1}{\overset{\mathrm{\∞}}{\mathrm{\Σ}}}\underset{n=-\mathrm{\∞}}{\overset{\mathrm{\∞}}{\mathrm{\Σ}}}\left(\right(c_{mn}-f_{mn}\left)\cos \right(2mx+2ny)+(d_{mn}+e_{mn}\left)\sin \right(2mx+2ny\left)\right)\end{array}---\left(4\right)$

(4)式中的为直流分量，为基波及其整数倍的谐波，为高频的载波谐波及其整数倍谐波，为载波谐波、参考波形加上与之相关的基带谐波之间的和与差所形成的所有谐波的集合，为边带谐波；其中c₀₀，c_0n，c_m0，d_0n，d_mn，e_m0，c_mn，e_mn，f_mn，为傅里叶积分系数，m与n分别代表基波频率的倍数与载波频率的倍数，其求解方法如下：

$c_{mn}=\frac{2}{{\mathrm{\π}}^2}{\∫}_{-\mathrm{\π}}^{\mathrm{\π}}{\∫}_0^{\mathrm{\π}D}cos\left(2mx\right)cos\left(2ny\right)dxdy$

$d_{mn}=\frac{2}{{\mathrm{\π}}^2}{\∫}_{-\mathrm{\π}}^{\mathrm{\π}}{\∫}_0^{\mathrm{\π}D}cos\left(2mx\right)sin\left(2ny\right)dxdy$

$e_{mn}=\frac{2}{{\mathrm{\π}}^2}{\∫}_{-\mathrm{\π}}^{\mathrm{\π}}{\∫}_0^{\mathrm{\π}D}\sin \left(2mx\right)cos\left(2ny\right)dxdy$

$f_{mn}=\frac{1}{l}{\∫}_{-l}^l{b}_m\left(y\right)\sin \frac{n\mathrm{\π}y}{l}dy=\frac{1}{l^2}{\∫}_{-l}^l{\∫}_{-l}^{l}f(x,y)\sin \frac{m\mathrm{\π}x}{l}\sin \frac{n\mathrm{\π}y}{l}dxdy$

$\begin{array}{c}{c}_{0n}=\frac{4}{{\mathrm{\π}}^2}{\∫}_{-\frac{\mathrm{\π}}{2}}^{\frac{\mathrm{\π}}{2}}{\∫}_{-\frac{\mathrm{\π}}{2}}^{\frac{\mathrm{\π}}{2}}f(x,y)\cos \left(2ny\right)dxdy\\ =\frac{4}{{\mathrm{\π}}^2}{\∫}_{-\frac{\mathrm{\π}}{2}}^{\frac{\mathrm{\π}}{2}}{\∫}_{-\frac{\mathrm{\π}}{2}}^{\mathrm{\π}M\cos y-\frac{\mathrm{\π}}{2}}\cos \left(2ny\right)dxdy\\ =\frac{4}{\mathrm{\π}}M\[-\frac{2\cos \left(n\mathrm{\π}\right)}{4n^2-1}\]\end{array}$

$\begin{array}{c}{d}_{0n}=\frac{4}{{\mathrm{\π}}^2}{\∫}_{-\frac{\mathrm{\π}}{2}}^{\frac{\mathrm{\π}}{2}}{\∫}_{-\frac{\mathrm{\π}}{2}}^{\frac{\mathrm{\π}}{2}}f(x,y)\sin \left(2ny\right)dxdy\\ =\frac{4}{{\mathrm{\π}}^2}{\∫}_{-\frac{\mathrm{\π}}{2}}^{\frac{\mathrm{\π}}{2}}{\∫}_{-\frac{\mathrm{\π}}{2}}^{\mathrm{\π}M\cos y-\frac{\mathrm{\π}}{2}}\sin \left(2ny\right)dxdy\\ =0\end{array}$

S113.由二重傅里叶级数系数的计算式，得c_0n，d_0n，d_mn，f_mn，c_mn，e_mn均为0，而

$c_{00}=\frac{2}{{\mathrm{\π}}^2}{\∫}_{-\mathrm{\π}}^{\mathrm{\π}}{\∫}_0^{\mathrm{\π}D}1dxdy=4D$

$c_{m0}=\frac{2}{{\mathrm{\π}}^2}{\∫}_{-\mathrm{\π}}^{\mathrm{\π}}{\∫}_0^{\mathrm{\π}D}cos\left(2mx\right)dxdy=\frac{2}{\mathrm{\π}m}sin\left(2\mathrm{\π}mD\right)$

$e_{m0}=\frac{2}{{\mathrm{\π}}^2}{\∫}_{-\mathrm{\π}}^{\mathrm{\π}}{\∫}_0^{\mathrm{\π}D}\sin \left(2mx\right)dxdy=\frac{4}{\mathrm{\π}m}{\sin }^2\left(\mathrm{\π}mD\right)$

由计算结果可知在buck电路中，仅有直流分量与开关频率及其整数倍的谐波，没有开关频率谐波的边带谐波、基波及基波边带谐波；利用以上结果进一步求得buck电路中开关函数的直流分量为

s₀＝D (5)

开关频率m次谐波的谐波分量为

$s_m=\frac{2}{\mathrm{\π}m}sin\left(\mathrm{\π}mD\right)---\left(6\right).$

4.根据权利要求3所述的基于纹波分析的电解电容寿命计算方法，其特征在于，所述步骤S12具体包括以下步骤：

在buck电路中，当工作在电感电流连续的情况下，令输入为V_in，电路中开关函数为s(t)，则buck电路二极管上的电压为

$\begin{array}{c}{V}_D=V_{in}\·s\left(t\right)\\ ={\mathrm{DV}}_{in}+V_{in}\underset{m=1}{\overset{\mathrm{\∞}}{\mathrm{\Σ}}}\frac{2}{\mathrm{\π}m}\sin \left(\mathrm{\π}mD\right)\end{array}---\left(7\right)$

由叠加定理可知，二极管上的电压由直流电压源DV_in与谐波交流电压源等效。

5.根据权利要求4所述的基于纹波分析的电解电容寿命计算方法，其特征在于，所述步骤S13具体包括以下步骤：

在所述步骤S13中，LC滤波器中电容阻抗相对于负载足够小，则所有谐波交流电压源产生的谐波信号流过LC滤波器的电解电容，而输出电阻中仅有直流信号；

当第m次谐波电压源单独作用于电路时，电解电容上的谐波电流有效值为

$i_{hm}=\frac{v_{hm}}{({\mathrm{\ω}}_{m}L-\frac{1}{{\mathrm{\ω}}_{m}C})}=\frac{\sqrt{2}\sin \left(\mathrm{\π}mD\right)V_{in}}{\mathrm{\π}m({\mathrm{\ω}}_{m}L-\frac{1}{{\mathrm{\ω}}_{m}C})}---\left(8\right)$

其中v_hm为m次谐波电压源的有效值，ω_m为m次谐波对应的角频率，其数值为开关频率角频率的m倍；

流过电解电容谐波电流的有效值为

$i_{hm}=\sqrt{\underset{m=1}{\overset{\mathrm{\∞}}{\mathrm{\Σ}}}{i}_{hm}^2}=\frac{\sqrt{2}}{\mathrm{\π}}{V}_{in}\sqrt{\underset{m=1}{\overset{\mathrm{\∞}}{\mathrm{\Σ}}}{\left(\frac{\sin \left(\mathrm{\π}mD\right)}{m({\mathrm{\ω}}_{m}L-\frac{1}{{\mathrm{\ω}}_{m}C})}\right)}^2}---\left(9\right)$

由于项相对于ω_mL项可忽略，故i_hm的表达式可进一步简化为

$i_{hm}=\sqrt{\underset{m=1}{\overset{\mathrm{\∞}}{\mathrm{\Σ}}}{i}_{hm}^2}=\frac{\sqrt{2}}{\mathrm{\π}}{V}_{in}\sqrt{\underset{m=1}{\overset{\mathrm{\∞}}{\mathrm{\Σ}}}{\left(\frac{\sin \left(\mathrm{\π}mD\right)}{{\mathrm{m\ω}}_{m}L}\right)}^2}---\left(10\right).$

6.根据权利要求5所述的基于纹波分析的电解电容寿命计算方法，其特征在于，所述步骤S2包括：

给出电解电容的模型，得出电解电容由等效电阻ESR、等效电感以及电容组成；其中，电解电容的等效电阻ESR随频率与温度的变化而变化，等效电阻ESR首先随频率的增大而减小，然后随频率增大而增大；通过查表得到不同频率下的电解电容等效电阻ESR，由电解电容中谐波电流有效值i_hm求得电解电容中消耗的热功率P_T为

$P_T=\underset{m=1}{\overset{\mathrm{\∞}}{\mathrm{\Σ}}}{i}_{hm}^2{R}_m\left(T\right)---\left(11\right)$

其中R_m为电解电容在m倍开关频率所对应的电解电容等效电阻ESR，是电解电容内部温度T的函数；

当系统达到平衡发热和放热温度条件时，电解电容的热功率P_T与电解电容内部的温升ΔT满足

ΔT＝P_T·R_θ (12)

其中R_θ为热阻；

将(11)式代入(12)式整理后得到：

$R_{\mathrm{\θ}}\·\underset{m=1}{\overset{\mathrm{\∞}}{\mathrm{\Σ}}}{i}_{hm}^2{R}_m\left(T\right)=\mathrm{\Δ}T---\left(13\right)$

在(13)式的两端T同时变化，利用牛顿-拉夫逊算法进行迭代求解得到电解电容内部温升。