CN106125715B - 一种基于阻抗回比矩阵的mimo级联系统稳定性分析方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于阻抗回比矩阵的MIMO级联系统稳定性分析方法，以高铁车网级联系统为对象，包括推导计算系统的等效前级输出阻抗，推导计算系统的等效后级输入导纳，计算系统整体传递函数并获得回比矩阵，估计回比矩阵特征值并限制其分布区域，特征值分布区域设置禁区，获得降低保守性的MIMO系统稳定性判据。推导计算系统的等效前级输出阻抗和后级输入导纳是获得系统整体传递函数的前提，是进一步获得级联系统回比矩阵的必要条件；盖尔圆定理是设置禁区限制回避矩阵特征值范围，进一步降低判据保守性的基础。该判据方法适用于MIMO级联系统的稳定性分析，可以简单有效地分析MIMO级联系统稳定性，并且保守性相较于现有的奇异值判据、范数判据等都更小。

Description

一种基于阻抗回比矩阵的MIMO级联系统稳定性分析方法

技术领域

本发明涉及系统稳定性分析是自控控制领域，尤其是基于阻抗回比矩阵的多输入多输出(MIMO)级联系统稳定性分析方法。

背景技术

实际生产应用中存在各种类型的自动控制系统，但其只有在满足稳定性条件下才能正常工作，因此系统稳定性分析是自控控制领域一个至关重要的问题。

经典控制理论中的方法，如Nyquist判据、Bode图分析等，可以对单输入单输出(SISO)系统稳定性进行分析。Middlebrook对于级联SISO系统提出了基于阻抗回比函数的稳定性判据，随后不少学者基于禁区的概念对Middlebrook阻抗判据进行了推广，减小了判据的保守性。而实际生产应用中的系统大多为多输入多输出(MIMO)系统，MIMO系统稳定性分析往往通过线性系统理论的方法，需要对系统状态空间模型进行精确建模。Belkhayat等人将SISO级联系统阻抗稳定性分析方法推广于MIMO级联系统，提出奇异值判据、范数判据等方法，相较于线性系统理论的方法更为简单，但是这类判据保守性较大。

本发明针对上述问题，提出了基于阻抗回比矩阵的MIMO级联系统稳定性分析方法，缩小现有判据的禁区范围。该判据可以简单有效地分析MIMO级联系统稳定性，并且保守性相较于现有的奇异值判据、范数判据等都更小。

发明内容

本发明的目的是提出一种基于阻抗回比矩阵的MIMO级联系统稳定性分析方法。该方法通过分析MIMO级联系统的前级输出阻抗及后级输入导纳，计算阻抗回比矩阵，基于广义Nyquist判据进行车网级联系统稳定性分析。该方法将传统单输入单输出系统阻抗稳定性分析方法拓展于多输入多输出系统，得出一种简单的稳定性判据，具有一定保守性。

本发明的目的是通过如下的手段实现的。

一种基于阻抗回比矩阵的MIMO级联系统稳定性分析方法，包括阻抗回比矩阵计算和系统稳定性分析两部分；通过分析MIMO级联系统的前级输出阻抗及后级输入导纳，计算阻抗回比矩阵，基于广义Nyquist判据进行车网级联系统稳定性分析；包含如下的主要步骤：

1)、获取计算前级系统的等效输出阻抗：

在两相旋转坐标系(dq系)下，MIMO级联系统的前级系统复频域下输出阻抗矩阵：

其中，R_s和L_s为牵引网等效电阻值和电感值，ω为基波角频率；

2)、计算后级系统的等效输入导纳：

对于CRH5型车牵引变流器，动车组在dq坐标下的导纳矩阵可以表示为

Y_Ldq＝2maY_in＝nY_in

其中m为动车组台数，a为单台动车组牵引动力单元个数，Y_in为PWM变流器的输入导纳矩阵；

3)、计算系统整体传递函数并获得回比矩阵：

式中：L_dq为系统阻抗回比矩阵，其元素分别为L_dd、L_dq、L_qd和L_qq。Z_Sdq为前级系统等效输出阻抗，其元素分别为Z_dd、Z_dq、Z_qd和Z_qq。Y_Ldq为后级系统等效输入导纳，其元素分别为Y_dd、Y_dq、Y_qd和Y_qq，s表示复频域；

4)、估计阻抗回比矩阵特征值并限制其分布区域：

利用盖尔圆定理限制特征值的分布区域，特征值满足以下两式

|λ_i-L_dd|＜|L_dq|或|λ_i-L_qq|＜|L_qd|

|λ_i-L_dd|＜|L_qd|或|λ_i-L_qq|＜|L_dq|

式中：λ_i为系统阻抗回比矩阵L_dq的第i个特征值，L_dd、L_dq、L_qd和L_qq分别为L_dq的元素；

5)、特征值分布区域设置禁区，获得低保守性的MIMO级联系统稳定性判据：

相应的四个子判据为

Re{L_dd}-|L_dq|+1＞0

Re{L_qq}-|L_qd|+1＞0

Re{L_dd}-|L_qd|+1＞0

Re{L_qq}-|L_dq|+1＞0

式中，L_dd、L_dq、L_qd和L_qq分别为系统阻抗回比矩阵L_dq的四个元素，Re表示元素的实部。

与现有技术相比，本发明的有益效果是：

1、本发明将传统SISO系统阻抗稳定性分析方法拓展于MIMO系统，克服了传统线性系统理论的方法应用于MIMO系统时需要对系统状态空间模型进行精确建模的问题，实现过程更加简便。

2、本发明进一步缩小判据的禁区，相对于现有的用于MIMO系统的奇异值判据、范数判据等方法保守性更小。

附图说明

图1为本发明的全并联复线AT牵引网等效电路。

图2为本发明的CRH5型车单个牵引动力单元示意图。

图3为本发明的等效电路图。

图4为本发明的CRH5型车牵引变流器dq电流控制框图。

图5为本发明的车网级联系统拓扑图。

图6为本发明的基于禁区的MIMO稳定性判据示意图。

图7为本发明7台车接入牵引网的稳定性分析幅频图。

图8为本发明8台车接入牵引网的稳定性分析幅频图。

图9为本发明的多车接入牵引网低频振荡的仿真再现图。

具体实施方式

下面结合附图和实例对本发明的实施例做详细说明。

本实施例在以本发明技术方案为前提下进行实施，给出了详细的实施过程，但本发明的保护范围不限于下述的实施例。

本实施例以高速铁路中CRH5型动车组接入的车网级联系统为例。

包括前级牵引网侧系统等效源阻抗的计算，后级动车组侧系统等效负荷导纳计算，车网级联系统的传递函数的计算并得出回比矩阵，估计回比矩阵特征值并限制其分布区域，设置禁区并获得低保守性的系统稳定性分析结果。

本实施例的MIMO级联系统稳定性分析由以下各步组成。

1)、计算前级系统的等效输出阻抗；

前级系统的等效输出阻抗通过推导牵引网等效阻抗获得，此处对中国高铁较常用的全并联复线AT供电系统进行建模和计算。图1为全并联复线AT牵引网等效电路。基于广义对称分量法，全并联复线AT牵引网的单位阻抗变换可以推导为：

式中，CW和AF分别表示接触线和AT馈线，U和D分别表示上行和下行，A₄为

根据图1的等效电路，全并联复线AT牵引网的等效阻抗可以推导为

其中，Z’_AT为AT漏抗的两倍，x是列车与前方相邻AT站的距离，l是列车与牵引变电站之间的距离，D_AT是相邻AT站的距离。

将前级系统输出阻抗Z_s分解到两相旋转坐标系(dq系)下，得到MIMO级联系统的前级系统复频域下输出阻抗矩阵：

其中，R_s和L_s为牵引网等效电阻值和电感值，ω为基波角频率。

2)、计算后级系统的等效输入导纳；

后级系统的输入导纳可以通过推导列车的数学模型获得，CRH5型车单个牵引动力单元如图2所示。逆变器和电机部分对稳定性分析影响微弱，故可等效为一个电阻以简化建模，且由于两重化整流器结构一致，对单个变流器的直流侧等效电容和负荷分别为原来的1/2和2倍，因此简化后CRH5型车牵引变流器等效电路如图3所示。

假设d_a和d_b分别表示a桥和b桥的开关状态，则电压和电流的关系可以表示为

因为采用了dq电流控制，输入电压u_n和输入电流i_n经dq解耦后得到u_d,u_q和i_d,i_q。u_n和i_n被视为α分量，通过下式坐标变换

v_α＝v_d cosωt-v_q sinωt

可将电压电流分解到dq系下：

在静态工作点，上式可以进一步表示为

由于E_q和I_q均为零，I_d，D_d和D_q稳态值可以表示为下式

为了推导整流器的小信号模型，对每个变量的稳态值加上一个小信号值

整理可得到矩阵形式的整流器小信号模型

CRH5型车网侧整流器常规控制方法为dq电流控制，如图4，可以得到下式

其中，i_q*＝0，H_I为电流环PI控制器传递函数。i_d*可由电压环PI控制器输出得到，为

其中H_U为电压环PI控制器传递函数。

图4的SPWM能够映射到dq结构下，假设载波幅值为U_C，则[d_d,d_q]^T和[u_d,u_q]^T的关系为

进一步可得到

将上式代入小信号模型，并通过Laplace变换可得

则PWM变流器的输入导纳矩阵被表示为

动车组在dq坐标下的导纳矩阵可以表示为

Y_Ldq＝2maY_in＝nY_in

其中m为动车组台数，a为单台动车组牵引动力单元个数。

3)、计算系统整体传递函数并获得回比矩阵；

车网系统可以被考虑为一个级联系统，整个系统的传递函数能够通过网侧输出阻抗和车侧输入导纳推导得到。根据图5由KVL电压定律可得

通过Laplace变换可得到车网级联系统的传递函数矩阵为

G_cl＝Y_Ldq(I₂+Z_SdqY_Ldq)^-1＝Y_Ldq(I₂+L_dq)^-1

则回比矩阵定义为

4)、估计阻抗回比矩阵特征值并限制其分布区域；

利用盖尔圆定理限制特征值的分布区域，特征值位于以对角元素为圆心，以同一行的非对角元素和为半径的区域，因此L_dq(s)的特征值λ_i位于图6所示的盖尔圆G₁或者G₂区域中，满足下式

|λ_i-L_dd|＜|L_dq|或|λ_i-L_qq|＜|L_qd|

由于L_dq的所有特征值在L_dq ^T的n个盖尔圆内，即L_dq的列盖尔圆，因此特征值同样满足下式

|λ_i-L_dd|＜|L_qd|或|λ_i-L_qq|＜|L_dq|

5)、特征值分布区域设置禁区，获得低保守性的MIMO级联系统稳定性判据；

为了降低保守性，一个基于禁区的判据被推广到MIMO系统，通过限制L_dq(s)的特征值在(-1+j0)右侧，使得绕过(-1+j0)的Nyquist围线仍旧为0，保持系统稳定，如图6所示。

对于L_dq盖尔圆对特征值的限制，响应的系统稳定性充分条件为

对于L_dq列盖尔圆对特征值的限制，相应的系统稳定性充分条件为

结合以上两式，可以得到低保守性的MIMO级联系统稳定性判据为

相应的四个子判据为

Re{L_dd}-|L_dq|+1＞0

Re{L_qq}-|L_qd|+1＞0

Re{L_dd}-|L_qd|+1＞0

Re{L_qq}-|L_dq|+1＞0

计算参数如表I所示

表I

车网系统参数

提出的判据用幅频图表示，四条曲线分别表示四个子判据，当两条红线和蓝线均大于零时系统稳定，由图7和图8可得，7台车接入牵引网时系统稳定，当接入8台时系统不稳定，结合图9低频振荡现象发生的情况来看，判据能够准确确定车网级联系统的稳定性情况。

Claims (4)

1.一种基于阻抗回比矩阵的MIMO级联系统稳定性分析方法，包括阻抗回比矩阵计算和系统稳定性分析两部分；通过分析MIMO级联系统的前级输出阻抗及后级输入导纳，计算阻抗回比矩阵，基于广义Nyquist判据进行车网级联系统稳定性分析；包含如下的主要步骤：

1)、获取计算前级系统的等效输出阻抗：

在两相旋转坐标系即dq坐标系下，MIMO级联系统的前级系统复频域下输出阻抗矩阵：

其中，R_s和L_s为牵引网等效电阻值和电感值，ω为基波角频率；

2)、计算后级系统的等效输入导纳：

对于CRH5型车牵引变流器，动车组在dq坐标下的导纳矩阵表示为

Y_Ldq＝2maY_in＝nY_in

其中m为动车组台数，a为单台动车组牵引动力单元个数，Y_in为PWM变流器的输入导纳矩阵，n为2ma；

3)、计算系统整体传递函数并获得回比矩阵：

式中：L_dq为系统阻抗回比矩阵，其元素分别为L_dd、L_dq、L_qd和L_qq；Z_Sdq为前级系统等效输出阻抗，其元素分别为Z_dd、Z_dq、Z_qd和Z_qq；Y_Ldq为后级系统等效输入导纳，其元素分别为Y_dd、Y_dq、Y_qd和Y_qq，s表示复频域；

4)、估计阻抗回比矩阵特征值并限制其分布区域：

利用盖尔圆定理限制特征值的分布区域，特征值满足以下两式

|λ_i-L_dd|＜|L_dq|或|λ_i-L_qq|＜|L_qd|

|λ_i-L_dd|＜|L_qd|或|λ_i-L_qq|＜|L_dq|

式中：λ_i为系统阻抗回比矩阵L_dq的第i个特征值，L_dd、L_dq、L_qd和L_qq分别为L_dq的元素；

5)、特征值分布区域设置禁区，获得低保守性的MIMO级联系统稳定性判据：

相应的四个子判据为

Re{L_dd}-|L_dq|+1＞0

Re{L_qq}-|L_qd|+1＞0

Re{L_dd}-|L_qd|+1＞0

Re{L_qq}-|L_dq|+1＞0

式中，L_dd、L_dq、L_qd和L_qq分别为系统阻抗回比矩阵L_dq的四个元素，Re表示元素的实部。

2.根据权利要求1所述的基于阻抗回比矩阵的MIMO级联系统稳定性分析方法，其特征在于，所述步骤5)中，该稳定性判据应用于MIMO级联系统稳定性分析。

3.根据权利要求1所述的基于阻抗回比矩阵的MIMO级联系统稳定性分析方法，其特征在于，在所述步骤3)、4)、5)中，该稳定性判据可以通过阻抗回比矩阵进行稳定性分析。

4.根据权利要求1所述的基于阻抗回比矩阵的MIMO级联系统稳定性分析方法，其特征在于，所述步骤5)中通过设置禁区减少了该稳定性判据的保守性。