CN106100469A - 基于自适应的电机伺服系统鲁棒位置控制器的实现方法 - Google Patents

Abstract

本发明属于机电伺服控制领域，提供一种基于自适应的电机伺服系统鲁棒位置控制器的实现方法，以直流旋转电机位置伺服系统作为研究对象，建立系统的非线性模型，并且全面地考虑系统的参数不确定性以及外干扰等不确定性；针对系统的参数不确定性基于不连续投影算子所设计的参数自适应算法能准确的对未知参数进行估计，并能保证参数的估计值始终在已知的区域内；通过引入基于扩张误差信号积分的鲁棒项所设计的控制器针对系统存在的外部干扰以及未建模动态等不确定性具有良好的鲁棒性；本发明实现的电机伺服系统鲁棒位置控制器为全状态反馈控制器，使电机伺服系统的位置输出具有全局渐近跟踪性能，即当时间趋于无穷时跟踪误差为零，且控制输入连续且有规律，更利于在工程实际中应用。

Description

基于自适应的电机伺服系统鲁棒位置控制器的实现方法

技术领域

本发明涉及机电伺服控制领域，具体而言是一种基于自适应的电机伺服系统鲁棒位置控制器的实现方法。

背景技术

电机伺服系统由于具有响应快、传动效率高、维护方便以及能源获取方便等突出优点，广泛应用于工业及国防等重要领域，如机器人、机床进给、火箭炮随动系统等。随着这些领域的发展和技术水平的不断进步，迫切需要高性能的电机伺服系统作为支撑，传统基于线性化方法得到的控制性能逐渐不能满足系统需求。电机伺服系统存在诸多模型不确定性，包括参数不确定性(如负载质量的变化、随温度及磨损而变化的粘性摩擦系数等)以及不确定性非线性(如外干扰等)，这些不确定性的存在可能会严重恶化期望的控制性能，甚至使基于系统名义模型所设计的控制器不稳定，因此成为发展先进控制器的主要障碍。

一般地，自适应控制能有效的估计未知常数参数并能提高其跟踪精度，然而当系统遭受大的未建模扰动时可能会不稳定。非线性鲁棒控制器可以有效提高整个闭环系统对未建模扰动的鲁棒性，但是不适用于建模充分且只存在参数不确定性的非线性系统。总的来看，自适应控制和非线性鲁棒控制有它们各自的优缺点。美国普渡大学的Bin Yao教授团队针对非线性系统的所有不确定性，提出了一种数学论证严格的非线性自适应鲁棒控制(ARC)理论框架。其团队主要基于系统非线性数学模型设计非线性控制器，针对参数不确定性，设计恰当的在线参数估计策略，以提高系统的跟踪性能；对可能发生的外干扰等不确定性非线性，通过强增益非线性反馈控制予以抑制。由于强增益非线性反馈控制往往导致较强的保守性(即高增益反馈)，在工程使用中有一定困难，并且系统中潜在的大的未建模扰动可能会使系统的跟踪性能变差。为了补偿在ARC设计时的扰动，有学者设计了基于扩张状态观测器的ARC设计方法，并从理论和实验结果上验证了所提出的控制器能使系统具有良好的跟踪性能。然而，以上所提出的非线性设计方法仅仅只能确保系统的跟踪误差有界，这样的性能可能会在实际高精度需求的场合难以满足。对此有学者提出了基于误差符号积分鲁棒的自适应控制(ARISE)方法对存在匹配性扰动的系统能确保其跟踪误差在稳态时趋于零，然而这种控制器设计方法相对复杂并且只能保证整个系统半全局渐近稳定,同时在复杂环境中并不能保证参数估计值始终在一个有界的区域内。如何恰当的设计出能保证系统的跟踪误差在稳态时趋于零并且简单的控制器仍是目前研究的焦点。

总结来说，现有电机伺服系统的控制策略的不足之处主要有以下几点：

1.简化系统非线性模型为线性或忽略系统建模不确定性。简化系统非线性模型为线性难以准确描述实际电机伺服系统，会使控制精度降低。电机伺服系统的建模不确定性主要有未建模摩擦和未建模扰动等。存在于电机伺服系统中的摩擦会产生极限环振荡、粘滑运动等不利因素，对系统的高精度运动控制造成不利的影响。同时，实际的电机伺服系统不可避免的会受到外界负载的干扰，若忽略将会降低系统的跟踪性能；

2.传统的自适应鲁棒控制(ARC)存在高增益反馈现象并且对同时存在参数不确定性和不确定性非线性的系统只能保证跟踪误差有界(即保证跟踪误差在一个有界的范围内，并不能确保跟踪误差趋于零)。传统自适应鲁棒控制存在高增益反馈的问题，也就是通过增加反馈增益来减小跟踪误差。然而高增益反馈易受测量噪声影响且可能激发系统的高频动态进而降低系统的跟踪性能，甚至导致系统不稳定；并且对同时存在参数不确定性和不确定性非线性的系统只能确保系统的跟踪误差有界，在实际高精度需求的场合这样的性能可能会难以满足要求。

3.基于误差符号积分鲁棒的自适应控制(ARISE)器设计相对复杂并且只能保证整个系统半全局渐近稳定同时在复杂环境中并不能保证参数估计值始终在一个有界的区域内。

发明内容

本发明为解决现有电机伺服系统控制中简化系统非线性模型为线性或忽略系统建模不确定性、传统的自适应鲁棒控制存在高增益反馈现象以及对同时存在参数不确定性和不确定性非线性的系统只能保证跟踪误差有界(即保证跟踪误差在一个有界的范围内，并不能确保跟踪误差趋于零)。同时基于误差符号积分鲁棒的自适应控制(ARISE)器设计相对复杂并且只能保证整个系统半全局渐近稳定以及在复杂环境中并不能保证参数估计值始终在一个有界的区域内的问题，提出一种基于不连续投影算子的电机伺服系统鲁棒位置控制器。

本发明为解决上述问题采取的技术方案是：

基于自适应的电机伺服系统鲁棒位置控制器的实现方法，包括以下步骤：

步骤一、建立电机位置伺服系统的数学模型：

公式(1)中m为负载的转动惯量；y为负载的角位移；K_i为力矩放大系数；u为控制输入电压；为可建模的非线性摩擦模型，其中代表不同的摩擦水平，代表不同的形状函数矢量用来描述各种非线性摩擦的影响，其中B为粘性摩擦系数；d(t)为包括外干扰及未建模的摩擦的不确定性项；

针对直流旋转电机伺服系统，定义不确定参数集θ＝[θ₁,θ₂]^T，其中θ₁＝m/K_i，θ₂＝B/K_i；定义系统状态变量为 $x={\[x_1,x_2\]}^T\mathrm{\Δ}={\[y,\stackrel{\·}{y}\]}^T;$

由式(1)表征的非线性模型，则系统非线性模型的状态空间形式可以表达为：

$\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{x}}_1=x_2\\ {\mathrm{\θ}}_1{\stackrel{\·}{x}}_2=u-{\mathrm{\θ}}_2{x}_2+d\left(t\right)\end{array}---\left(2\right)$

假设1：期望跟踪的理想轨迹x_1d＝y_d(t)∈C⁴并且有界；

假设2：结构不确定性参数集θ满足：

θ∈Ω_θ＝{θ:θ_min≤θ≤θ_max} (3)

公式(3)中θ_min＝[θ_1min，θ_2min]^T,θ_max＝[θ_1max，θ_2max]^T均已知；

假设3：公式(2)中的时变不确定性d(t)足够光滑并且其中η为已知常数；

步骤二、设计自适应律对电机位置伺服系统中的不确定性参数θ₁、θ₂进行估计

定义分别为θ的估计值及估计误差(即)。定义不连续投影函数为：

公式(4)中i＝1,2，·_i为矢量·的第i个元素，对于两个矢量之间的运算“＜”为矢量中相应元素之间的运算；

自适应律设计为：

$\stackrel{\·}{\widehat{\mathrm{\θ}}}={\mathrm{Proj}}_{\widehat{\mathrm{\θ}}}\left(\mathrm{\Γ}\mathrm{\σ}\right),{\mathrm{\θ}}_{\min }\≤\widehat{\mathrm{\θ}}\left(0\right)\≤{\mathrm{\θ}}_{\max }---\left(5\right)$

公式(5)中Γ为对角自适应律矩阵且Γ＞0，σ为自适应函数。对于任意自适应函数σ，运用投影函数(5)能保证：

$\begin{array}{cc}\left(P1\right)& \widehat{\mathrm{\θ}}\∈{\mathrm{\Ω}}_{\widehat{\mathrm{\θ}}}\stackrel{\mathrm{\Δ}}{=}\{\widehat{\mathrm{\θ}}:{\mathrm{\θ}}_{\min }\≤\widehat{\mathrm{\θ}}\≤{\mathrm{\θ}}_{\max }\}\\ \left(P2\right)& {\widetilde{\mathrm{\θ}}}^T\[{\mathrm{\Γ}}^{-1}{\mathrm{Proj}}_{\widehat{\mathrm{\θ}}}\left(\mathrm{\Γ}\mathrm{\σ}\right)-\mathrm{\σ}\]\≤0,\∀\mathrm{\σ}\end{array}---\left(6\right)$

步骤三、针对公式(2)中的状态方程，设计基于不连续投影算子的电机伺服系统鲁棒位置控制器，其具体步骤如下：

步骤三(一)、定义一组类似开关函数的变量为：

$z_2={\stackrel{\·}{z}}_1+k_1{z}_1,r={\stackrel{\·}{z}}_2+k_2{z}_2---\left(7\right)$

公式(7)中z₁＝x₁-x_1d为系统的跟踪误差，k₁、k₂为正的反馈增益。在公式(7)中引入了一个扩张的误差信号r来获得额外的设计自由；

步骤三(二)、设计自适应律以及控制器输入u，使得电机伺服系统具有渐近跟踪性能。

根据公式(7)，扩张误差信号r可以整理为：

$r={\stackrel{\·}{x}}_2-{\stackrel{\·\·}{x}}_{1d}+(k_1+k_2)z_2-k_1^2{z}_1---\left(8\right)$

基于系统状态方程(2)，可以得到：

$\begin{array}{c}{\mathrm{\θ}}_{1}r=u-{\mathrm{\θ}}_1{\stackrel{\·\·}{x}}_{1d}-{\mathrm{\θ}}_2{\stackrel{\·}{x}}_{1d}-d\left(t\right)\\ +({\mathrm{\θ}}_1{k}_1+{\mathrm{\θ}}_1{k}_2-{\mathrm{\θ}}_2)z_2-{\mathrm{\θ}}_1{k}_1^2{z}_1+{\mathrm{\θ}}_2{k}_1{z}_1\end{array}---\left(9\right)$

根据公式(9)的结构，电机伺服系统的自适应函数以及基于模型的控制器可以设计为：

$\begin{array}{c}u=u_a+u_s+u_n,u_a={\widehat{\mathrm{\θ}}}^T{Y}_d,\\ u_s=-\mathrm{\μ},\mathrm{\μ}=k_r{z}_2+{\∫}_0^t{k}_r{k}_2{z}_{2}dv,\\ \mathrm{\σ}=-{\stackrel{\·}{Y}}_{d}r,Y_d={\[{\stackrel{\·\·}{x}}_{1d},{\stackrel{\·}{x}}_{1d}\]}^T\end{array}---\left(10\right)$

其中k_r为正反馈增益；u_a为可调节的基于模型的前馈控制律，通过参数自适应来获得提高的模型补偿；u_s为非线性鲁棒控制律用来保证名义系统的稳定性；u_n为基于扩张误差符号r积分的鲁棒控制律，其用来处理时变的扰动，u_n的值将在以下的设计步骤中给出；

由公式(10)中的自适应函数σ可以看出，扩张误差信号r未知，但是基于理想轨迹的矢量以及它的微分是已知的，通过积分自适应函数可以得到不包含未知扩张误差信号r的表达式：

其中sgn(r)定义为：

由式(11)可以看出，实际上参数的估计值并没有直接用到扩张误差信号r，而是运用了r的符号sgn(r)，为了计算公式(11)中的sgn(r)，定义函数g(t)为：

$\begin{array}{c}g\left(t\right)={\∫}_0^{t}r\left(v\right)dv\\ =z_2\left(t\right)-z_2\left(0\right)+k_2{\∫}_0^t{z}_2\left(v\right)dv\end{array}---\left(13\right)$

由于r(t)＝lim_τ→0(g(t)-g(t-τ))/τ，τ可以选取为采样时间，根据(13)可以看出只需要知道r的符号sgn(r)即可，因此只需要知道g(t)增加还是减小就可以获得sgn(r)，其中sgn(r)＝sgn(g(t)-g(t-τ))；

把(10)中的控制律带入到(9)中，可以得到：

$\begin{array}{c}{\mathrm{\θ}}_{1}r={\widetilde{\mathrm{\θ}}}^T{Y}_d-k_r{z}_2-{\∫}_0^t{k}_r{k}_3{z}_{2}dv+u_n-d\left(t\right)\\ +({\mathrm{\θ}}_1{k}_1+{\mathrm{\θ}}_1{k}_2-{\mathrm{\θ}}_2)z_2-({\mathrm{\θ}}_1{k}_1^2-{\mathrm{\θ}}_2{k}_1)z_1\end{array}---\left(14\right)$

对公式(14)进行微分可以得到：

$\begin{array}{c}{\mathrm{\θ}}_1\stackrel{\·}{r}={\stackrel{\·}{\widehat{\mathrm{\θ}}}}^T{Y}_d+{\widetilde{\mathrm{\θ}}}^T{\stackrel{\·}{Y}}_d-k_{r}r+{\stackrel{\·}{u}}_n-\stackrel{\·}{d}\left(t\right)\\ -\[k_2({\mathrm{\θ}}_1{k}_1+{\mathrm{\θ}}_1{k}_2-{\mathrm{\θ}}_2)+({\mathrm{\θ}}_1{k}_1^2-{\mathrm{\θ}}_2{k}_1)\]z_2\\ +k_1({\mathrm{\θ}}_1{k}_1^2-{\mathrm{\θ}}_2{k}_1)z_1+({\mathrm{\θ}}_1{k}_1+{\mathrm{\θ}}_1{k}_2-{\mathrm{\θ}}_2)r\end{array}---\left(15\right)$

把公式(5)中的参数自适应律带入到(15)中，可以进一步得到：

$\begin{array}{c}{\mathrm{\θ}}_1\stackrel{\·}{r}=Y_d^T{\mathrm{Proj}}_{\widehat{\mathrm{\θ}}}(-\mathrm{\Γ}{\stackrel{\·}{Y}}_{d}r)+{\widetilde{\mathrm{\θ}}}^T{\stackrel{\·}{Y}}_d-k_{r}r+{\stackrel{\·}{u}}_d-\stackrel{\·}{d}\left(t\right)\\ -\[k_2({\mathrm{\θ}}_1{k}_1+{\mathrm{\θ}}_1{k}_2-{\mathrm{\θ}}_2)+({\mathrm{\θ}}_1{k}_1^2-{\mathrm{\θ}}_2{k}_1)\]z_2\\ +k_1({\mathrm{\θ}}_1{k}_1^2-{\mathrm{\θ}}_2{k}_1)z_1+({\mathrm{\θ}}_1{k}_1+{\mathrm{\θ}}_1{k}_2-{\mathrm{\θ}}_2)r\end{array}---\left(16\right)$

根据公式(16)可以设计鲁棒控制律u_n为：

${\stackrel{\·}{u}}_n=-\mathrm{\η}\mathrm{sgn}\left(r\right)---\left(17\right)$

步骤四、确定电机伺服系统中结构不确定性参数集θ的范围即θ_min及θ_max的值，同时选取以及调节对角自适应律矩阵Γ(Γ＞0)的值，并调节参数参数τ(τ＞0)、k₁(k₁＞0)、k₂(k₂＞0)以及k_r(k_r＞0)，从而来确保整个系统稳定，并使电机位置伺服系统的位置输出y(t)准确地跟踪期望的位置指令y_d。

本发明的有益效果是：本发明选取直流旋转电机位置伺服系统作为研究对象，建立了系统的非线性模型，并且全面地考虑了系统的参数不确定性以及外干扰等不确定性；针对系统的参数不确定性基于不连续投影算子所设计的参数自适应算法能准确的对未知参数进行估计，并能保证参数的估计值始终在已知的区域内；通过引入基于扩张误差信号积分的鲁棒项所设计的控制器针对系统存在的外部干扰以及未建模动态等不确定性具有良好的鲁棒性；本发明所设计的基于不连续投影算子的电机伺服系统鲁棒位置控制器为全状态反馈控制器，并能使电机伺服系统的位置输出具有全局渐近跟踪性能，即当时间趋于无穷时跟踪误差为零；本发明所设计的控制器的控制输入连续且有规律，更利于在工程实际中应用。仿真结果验证了其有效性。

应当理解，前述构思以及在下面更加详细地描述的额外构思的所有组合只要在这样的构思不相互矛盾的情况下都可以被视为本公开的发明主题的一部分。另外，所要求保护的主题的所有组合都被视为本公开的发明主题的一部分。

结合附图从下面的描述中可以更加全面地理解本发明教导的前述和其他方面、实施例和特征。本发明的其他附加方面例如示例性实施方式的特征和/或有益效果将在下面的描述中显见，或通过根据本发明教导的具体实施方式的实践中得知。

附图说明

附图不意在按比例绘制。在附图中，在各个图中示出的每个相同或近似相同的组成部分可以用相同的标号表示。为了清晰起见，在每个图中，并非每个组成部分均被标记。现在，将通过例子并参考附图来描述本发明的各个方面的实施例，其中：

图1是本发明所考虑的直流旋转电机位置伺服系统示意图。

图2是基于不连续投影算子的电机伺服系统鲁棒位置控制器原理示意及流程图。

图3是电机位置伺服系统的参数的真值及其估计值随时间变化的曲线示意图。

图4是本发明所设计的控制器(图中以PARISEE标识)和传统PID控制器(图中以PID标识)分别作用下系统的跟踪误差随时间变化的曲线示意图。

图5是电机位置伺服系统的实际控制输入u随时间变化的曲线示意图。

具体实施方式

为了更了解本发明的技术内容，特举具体实施例并配合所附图式说明如下。

在本公开中参照附图来描述本发明的各方面，附图中示出了许多说明的实施例。本公开的实施例不必定意在包括本发明的所有方面。应当理解，上面介绍的多种构思和实施例，以及下面更加详细地描述的那些构思和实施方式可以以很多方式中任意一种来实施，这是应为本发明所公开的构思和实施例并不限于任何实施方式。另外，本发明公开的一些方面可以单独使用，或者与本发明公开的其他方面的任何适当组合来使用。

结合图1至图2说明本实施方式，本实施方式提出的基于自适应的电机伺服系统鲁棒位置控制器的实现方法，具体步骤如下：

步骤一、建立电机位置伺服系统的数学模型，本发明以直流旋转电机(如图1所示)为例，根据牛顿第二定律可得系统的运动学方程为：

公式(1)中m为负载的转动惯量；y为负载的角位移；K_i为力矩放大系数；u为控制输入电压；为可建模的非线性摩擦模型，其中代表不同的摩擦水平，代表不同的形状函数矢量用来描述各种非线性摩擦的影响，本发明为了提高控制器设计的可理解性，着重验证控制器对未建模动态的鲁棒性，从而简化控制器的补偿部分，因而采用线性摩擦模型，即其中B为粘性摩擦系数；d(t)为外干扰及未建模的摩擦等不确定性项。

由于系统的参数m、K_i以及B存在大的变化从而使系统遭受参数不确定性，因此，为使控制器的设计更具广泛性，针对直流旋转电机伺服系统，定义不确定参数集θ＝[θ₁,θ₂]^T，其中θ₁＝m/K_i，θ₂＝B/K_i；定义系统状态变量为由式(1)表征的非线性模型，则系统非线性模型的状态空间形式可以表达为：

$\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{x}}_1=x_2\\ {\mathrm{\θ}}_1{\stackrel{\·}{x}}_2=u-{\mathrm{\θ}}_2{x}_2+d\left(t\right)\end{array}---\left(2\right)$

假设1：期望跟踪的理想轨迹x_1d＝y_d(t)∈C⁴并且有界。

假设2：结构不确定性参数集θ满足：

θ∈Ω_θ＝{θ:θ_min≤θ≤θ_max} (3)

公式(3)中θ_min＝[θ_1min，θ_2min]^T,θ_max＝[θ_1max，θ_2max]^T均已知；

假设3：公式(2)中的时变不确定性d(t)足够光滑并且其中η为已知常数。

在以下的控制器设计中，假设3给未建模扰动施加了一些约束。虽然摩擦一般被建模为不连续函数，但是没有哪个执行器可以产生不连续的力来补偿不连续摩擦力的影响，因此在基于模型的控制器设计时仍然采用一些连续的摩擦模型。

步骤二、设计自适应律对电机位置伺服系统中的不确定性参数θ₁、θ₂进行估计。定义 分别为θ的估计值及估计误差(即)。定义不连续投影函数为：

公式(4)中i＝1,2，·_i为矢量·的第i个元素，对于两个矢量之间的运算“＜”为矢量中相应元素之间的运算。

自适应律设计为：

$\stackrel{\·}{\widehat{\mathrm{\θ}}}={\mathrm{Proj}}_{\widehat{\mathrm{\θ}}}\left(\mathrm{\Γ}\mathrm{\σ}\right),{\mathrm{\θ}}_{\min }\≤\widehat{\mathrm{\θ}}\left(0\right)\≤{\mathrm{\θ}}_{max}---\left(5\right)$

公式(5)中Γ为对角自适应律矩阵且Γ＞0，σ为自适应函数。对于任意自适应函数σ，运用投影函数(5)能保证：

$\begin{array}{cc}\left(P1\right)& \widehat{\mathrm{\θ}}\∈{\mathrm{\Ω}}_{\widehat{\mathrm{\θ}}}\stackrel{\mathrm{\Δ}}{=}\{\widehat{\mathrm{\θ}}:{\mathrm{\θ}}_{\min }\≤\widehat{\mathrm{\θ}}\≤{\mathrm{\θ}}_{\max }\}\\ \left(P2\right)& {\widetilde{\mathrm{\θ}}}^T\[{\mathrm{\Γ}}^{-1}{\mathrm{Proj}}_{\widehat{\mathrm{\θ}}}\left(\mathrm{\Γ}\mathrm{\σ}\right)-\mathrm{\σ}\]\≤0,\∀\mathrm{\σ}\end{array}---\left(6\right)$

步骤三、针对公式(2)中的状态方程，设计基于不连续投影算子的电机伺服系统鲁棒位置控制器，其具体步骤如下：

步骤三(一)、定义一组类似开关函数的变量为：

$z_2={\stackrel{\·}{z}}_1+k_1{z}_1,r={\stackrel{\·}{z}}_2+k_2{z}_2---\left(7\right)$

公式(7)中z₁＝x₁-x_1d为系统的跟踪误差，k₁、k₂为正的反馈增益。我们在公式(7)中引入了一个扩张的误差信号r来获得额外的设计自由。值得注意的是，由于滤波的跟踪误差r依赖于加速度的信息从而使得它不可测，这里仅仅用来协助以下的控制器设计。

步骤三(二)、设计自适应律以及控制器输入u，使得电机伺服系统具有渐近跟踪性能。

根据公式(7)，扩张误差信号r可以整理为：

$r={\stackrel{\·}{x}}_2-{\stackrel{\·\·}{x}}_{1d}+(k_1+k_2)z_2-k_1^2{z}_1---\left(8\right)$

基于系统状态方程(2)，我们可以得到：

$\begin{array}{c}{\mathrm{\θ}}_{1}r=u-{\mathrm{\θ}}_1{\stackrel{\·\·}{x}}_{1d}-{\mathrm{\θ}}_2{\stackrel{\·}{x}}_{1d}-d\left(t\right)\\ +({\mathrm{\θ}}_1{k}_1+{\mathrm{\θ}}_1{k}_2-{\mathrm{\θ}}_2)z_2-{\mathrm{\θ}}_1{k}_1^2{z}_1+{\mathrm{\θ}}_2{k}_1{z}_1\end{array}---\left(9\right)$

根据公式(9)的结构，电机伺服系统的自适应函数以及基于模型的控制器可以设计为：

$\begin{array}{c}u=u_a+u_s+u_n,u_a={\widehat{\mathrm{\θ}}}^T{Y}_d,\\ u_s=\mathrm{\μ},\mathrm{\μ}=k_r{z}_2+{\∫}_0^t{k}_r{k}_2{z}_{2}dv,\\ \mathrm{\σ}=-{\stackrel{\·}{Y}}_{d}r,Y_d={\[{\stackrel{\·\·}{x}}_{1d},{\stackrel{\·}{x}}_{1d}\]}^T\end{array}---\left(10\right)$

其中k_r为正反馈增益；u_a为可调节的基于模型的前馈控制律，通过参数自适应来获得提高的模型补偿；u_s为非线性鲁棒控制律用来保证名义系统的稳定性；u_n为基于扩张误差符号r积分的鲁棒控制律，其用来处理时变的扰动，u_n的值将在以下的设计步骤中给出。

由公式(10)中的自适应函数σ可以看出，扩张误差信号r未知，但是基于理想轨迹的矢量以及它的微分是知道的，通过积分自适应函数可以得到不包含未知扩张误差信号r的表达式：

其中sgn(r)定义为：

由式(11)可以看出，实际上参数的估计值并没有直接用到扩张误差信号r，而是运用了r的符号sgn(r)，为了计算公式(11)中的sgn(r)，定义函数g(t)为：

$\begin{array}{c}g\left(t\right)={\∫}_0^{t}r\left(v\right)dv\\ =z_2\left(t\right)-z_2\left(0\right)+k_2{\∫}_0^t{z}_2\left(v\right)dv\end{array}---\left(13\right)$

由于r(t)＝lim_τ→0(g(t)-g(t-τ))/τ，τ可以选取为采样时间，根据(13)可以看出我们只需要知道r的符号sgn(r)即可，因此我们只需要知道g(t)增加还是减小就可以获得sgn(r)，其中sgn(r)＝sgn(g(t)-g(t-τ))，这样看来，获得sgn(r)就比获得r容易多了。

把(10)中的控制律带入到(9)中，我们可以得到：

$\begin{array}{c}{\mathrm{\θ}}_{1}r={\widetilde{\mathrm{\θ}}}^T{Y}_d-k_r{z}_2-{\∫}_0^t{k}_r{k}_3{z}_{2}dv+u_n-d\left(t\right)\\ +({\mathrm{\θ}}_1{k}_1+{\mathrm{\θ}}_1{k}_2-{\mathrm{\θ}}_2)z_2-({\mathrm{\θ}}_1{k}_1^2-{\mathrm{\θ}}_2{k}_1)z_1\end{array}---\left(14\right)$

对公式(14)进行微分可以得到：

$\begin{array}{c}{\mathrm{\θ}}_1\stackrel{\·}{r}={\stackrel{\·}{\widehat{\mathrm{\θ}}}}^T{Y}_d+{\widetilde{\mathrm{\θ}}}^T{\stackrel{\·}{Y}}_d-k_{r}r+{\stackrel{\·}{u}}_n-\stackrel{\·}{d}\left(t\right)\\ -\[k_2({\mathrm{\θ}}_1{k}_1+{\mathrm{\θ}}_1{k}_2-{\mathrm{\θ}}_2)+({\mathrm{\θ}}_1{k}_1^2-{\mathrm{\θ}}_2{k}_1)\]z_2\\ +k_1({\mathrm{\θ}}_1{k}_1^2-{\mathrm{\θ}}_2{k}_1)z_1+({\mathrm{\θ}}_1{k}_1+{\mathrm{\θ}}_1{k}_2-{\mathrm{\θ}}_2)r\end{array}---\left(15\right)$

把公式(5)中的参数自适应律带入到(15)中，我们可以进一步得到：

$\begin{array}{c}{\mathrm{\θ}}_1\stackrel{\·}{r}=Y_d^T{\mathrm{Proj}}_{\widehat{\mathrm{\θ}}}(-\mathrm{\Γ}{\stackrel{\·}{Y}}_{d}r)+{\widetilde{\mathrm{\θ}}}^T{\stackrel{\·}{Y}}_d-k_{r}r+{\stackrel{\·}{u}}_n-\stackrel{\·}{d}\left(t\right)\\ -\[k_2({\mathrm{\θ}}_1{k}_1+{\mathrm{\θ}}_1{k}_2-{\mathrm{\θ}}_2)+({\mathrm{\θ}}_1{k}_1^2-{\mathrm{\θ}}_2{k}_1)\]z_2\\ +k_1({\mathrm{\θ}}_1{k}_1^2-{\mathrm{\θ}}_2{k}_1)z_1+({\mathrm{\θ}}_1{k}_1+{\mathrm{\θ}}_1{k}_2-{\mathrm{\θ}}_2)r\end{array}---\left(16\right)$

根据公式(16)可以设计鲁棒控制律u_n为：

${\stackrel{\·}{u}}_n=-\mathrm{\η}\mathrm{sgn}\left(r\right)---\left(17\right)$

步骤四、确定电机伺服系统中结构不确定性参数集θ的范围即θ_min及θ_max的值，同时选取以及调节对角自适应律矩阵Γ(Γ＞0)的值，并调节参数参数τ(τ＞0)、k₁(k₁＞0)、k₂(k₂＞0)以及k_r(k_r＞0)，从而来确保整个系统稳定，并使电机位置伺服系统的位置输出y(t)准确地跟踪期望的位置指令y_d。

本公开中，选用Lyapunov方程来分析基于控制器(10)作用下的电机位置伺服系统的稳定性：

理论1：通过自适应律(5)以及选取足够大的反馈增益k₁、k₂、k_r，使得以下定义的矩阵Λ正定，那么提出的控制律能够确保整个闭环电机伺服的所有信号有界，并且能获得全局渐近跟踪性能，即当t→∞时z₁→0。Λ定义为：

$\mathrm{\Λ}=\left[\begin{array}{ccc}{k}_1& -\frac{1}{2}& -\frac{1}{2}{w}_2\\ -\frac{1}{2}& k_2& -\frac{1-w_1}{2}\\ -\frac{1}{2}{w}_2& -\frac{1-w_1}{2}& k_3\end{array}\right]---\left(18\right)$

其中：

$w_1=k_2({\mathrm{\θ}}_1{k}_1+{\mathrm{\θ}}_1{k}_2-{\mathrm{\θ}}_2)+({\mathrm{\θ}}_1{k}_1^2-{\mathrm{\θ}}_2{k}_1)---\left(19\right)$

$w_2=k_1({\mathrm{\θ}}_1{k}_1^2-{\mathrm{\θ}}_2{k}_1)---\left(20\right)$

$k_3=k_r-max\left\{\right|Y_d^T{\mathrm{Proj}}_{\widehat{\mathrm{\θ}}}(-\mathrm{\Γ}{\stackrel{\·}{Y}}_d)\left|\right\}-({\mathrm{\θ}}_1{k}_1+{\mathrm{\θ}}_1{k}_2-{\mathrm{\θ}}_2)---\left(21\right)$

式中max{·}表示·的最大值。

选取Lyapunov方程为：

$V=\frac{1}{2}{z}_1^2+\frac{1}{2}{z}_2^2+\frac{1}{2}{\mathrm{\θ}}_1{r}^2+\frac{1}{2}{\widetilde{\mathrm{\θ}}}^T{\mathrm{\Γ}}^{-1}\widetilde{\mathrm{\θ}}---\left(22\right)$

对公式(22)关于时间进行求导可得：

$\stackrel{\·}{V}=z_1{\stackrel{\·}{z}}_1+z_2{\stackrel{\·}{z}}_2+{\mathrm{\θ}}_{1}r\stackrel{\·}{r}+{\widetilde{\mathrm{\θ}}}^T{\mathrm{\Γ}}^{-1}\stackrel{\·}{\widehat{\mathrm{\θ}}}---\left(23\right)$

把公式(7)和(16)代入公式(23)，可得：

$\begin{array}{c}\stackrel{\·}{V}=z_1(z_2-k_1{z}_1)+z_2(r-k_2{z}_2)+{\widetilde{\mathrm{\θ}}}^T{\mathrm{\Γ}}^{-1}\stackrel{\·}{\widehat{\mathrm{\θ}}}\\ +r\{Y_d^T{\mathrm{Proj}}_{\widehat{\mathrm{\θ}}}(-\mathrm{\Γ}{\stackrel{\·}{Y}}_{d}r)+{\widetilde{\mathrm{\θ}}}^T{\stackrel{\·}{Y}}_d-k_{r}r+{\stackrel{\·}{u}}_n-\stackrel{\·}{d}(x,t)+({\mathrm{\θ}}_1{k}_1+{\mathrm{\θ}}_1{k}_2-{\mathrm{\θ}}_2)r\\ -\[k_2({\mathrm{\θ}}_1{k}_1+{\mathrm{\θ}}_1{k}_2-{\mathrm{\θ}}_2)+({\mathrm{\θ}}_1{k}_1^2-{\mathrm{\θ}}_2{k}_1)\]z_2+k_1({\mathrm{\θ}}_1{k}_1^2-{\mathrm{\θ}}_2{k}_1)z_1\}\end{array}---\left(24\right)$

对(24)进一步转换可得：

$\begin{array}{c}\stackrel{\·}{V}\≤-k_1{z}_1^2-k_1{z}_2^2+z_1{z}_2+z_{2}r+{\widetilde{\mathrm{\θ}}}^T{\stackrel{\·}{Y}}_{d}r+{\widetilde{\mathrm{\θ}}}^T{\mathrm{\Γ}}^{-1}\stackrel{\·}{\widehat{\mathrm{\θ}}}\\ -Y_d^T{\mathrm{Proj}}_{\widehat{\mathrm{\θ}}}(-\mathrm{\Γ}{\stackrel{\·}{Y}}_d)r^2+{\widetilde{\mathrm{\θ}}}^T{\stackrel{\·}{Y}}_{d}r-k_r{r}^2+r{\stackrel{\·}{u}}_n-r\stackrel{\·}{d}(x,t)+({\mathrm{\θ}}_1{k}_1+{\mathrm{\θ}}_1{k}_2-{\mathrm{\θ}}_2)r^2\\ -\[k_2({\mathrm{\θ}}_1{k}_1+{\mathrm{\θ}}_1{k}_2-{\mathrm{\θ}}_2)+({\mathrm{\θ}}_1{k}_1^2-{\mathrm{\θ}}_2{k}_1)\]z_{2}r+k_1({\mathrm{\θ}}_1{k}_1^2-{\mathrm{\θ}}_2{k}_1)z_{1}r\end{array}---\left(25\right)$

由此可得：

$\begin{array}{c}\stackrel{\·}{V}\≤-\[k_r-\max \left\{\right|Y_d^T{\mathrm{Proj}}_{\widehat{\mathrm{\θ}}}(-\mathrm{\Γ}{\stackrel{\·}{Y}}_d)\left|\right\}-({\mathrm{\θ}}_1{k}_1+{\mathrm{\θ}}_1{k}_2-{\mathrm{\θ}}_2)\]r^2\\ -k_1{z}_1^2-k_2{z}_2^2-+z_1{z}_2+z_{2}r-w_1{z}_{2}r+w_2{z}_{1}r\end{array}---\left(26\right)$

根据公式(18)中定义的Λ为正定矩阵，对公式(26)进一步转换可得：

$\stackrel{\·}{V}\≤-z^T\mathrm{\Λ}z\≤-{\mathrm{\λ}}_{min}\left(\mathrm{\Λ}\right)(z_1^2+z_2^2+r^2)\stackrel{\mathrm{\Δ}}{=}-W---\left(27\right)$

公式(27)中z定义为z＝[z₁,z₂,r]^T；λ_min(Λ)为矩阵Λ的最小特征值。

根据公式(27)可以得到V∈L_∞以及W∈L₂，同时信号z以及参数估计值有界。因此，可以得出x以及控制输入u有界。基于z₁、z₂以及r的动态方程，可以得到W的时间导数有界，因此W一致连续。从而，根据Barbalat引理可以得到当t→∞时W→0，理论1即得到证明。

下面结合一个具体实例对本公开的前述实施方式的效果进行说明。

电机伺服系统参数为：惯性负载参数m＝1kg·m²；力矩放大系数K_i＝4N·m/V；粘性摩擦系数B＝2N·m·s/rad；不确定参数集的范围为:θ_min＝[0.001，0.1]^T，θ_max＝[20,30]^T；时变外干扰d(t)＝0.3sin(t)N·m；系统期望跟踪的位置指令为曲线x_1d(t)＝sin(t)[1-exp(-t³)]rad。

本发明所设计的控制器的参数选取为:η＝0.3、τ＝0.2s、k₁＝300、k₂＝50以及k_r＝30，Γ＝diag{0.5,4}；PID控制器参数选取为：k_P＝900,k_I＝600,k_D＝1。

图3是电机位置伺服系统的参数的真值及其估计值随时间变化的曲线，从曲线可以看出所设计的自适应律能使系统的参数估计值精确地跟踪其真值，从而能够准确地将系统的未知常数参数估计出来。

控制器作用效果：图4是本发明所设计的控制器(图中以PARISEE标识)和传统PID控制器(图中以PID标识)分别作用下系统的跟踪误差随时间变化的曲线，从图中可以看出，本发明所设计的控制器作用下系统的跟踪误差明显小于PID控制器作用下系统的跟踪误差，从而使其跟踪性能获得很大的提高。

图5是电机位置伺服系统的控制输入u随时间变化的曲线，从图中可以看出，本发明所得到的控制输入信号连续且有规律，有利于在工程实际中应用。

虽然本发明已以较佳实施例揭露如上，然其并非用以限定本发明。本发明所属技术领域中具有通常知识者，在不脱离本发明的精神和范围内，当可作各种的更动与润饰。因此，本发明的保护范围当视权利要求书所界定者为准。

Claims (1)

1.一种基于自适应的电机伺服系统鲁棒位置控制器的实现方法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤一、建立电机位置伺服系统的数学模型：

公式(1)中m为负载的转动惯量；y为负载的角位移；K_i为力矩放大系数；u为控制输入电压；为可建模的非线性摩擦模型，其中代表不同的摩擦水平，代表不同的形状函数矢量用来描述各种非线性摩擦的影响，其中B为粘性摩擦系数；d(t)为包括外干扰及未建模的摩擦的不确定性项；

针对直流旋转电机伺服系统，定义不确定参数集θ＝[θ₁,θ₂]^T，其中θ₁＝m/K_i，θ₂＝B/K_i；定义系统状态变量为 $x={\[x_1,x_2\]}^T\stackrel{\mathrm{\Δ}}{=}{\[y,\stackrel{\·}{y}\]}^T;$

由式(1)表征的非线性模型，则系统非线性模型的状态空间形式可以表达为：

$\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{x}}_1=x_2\\ {\mathrm{\θ}}_1{\stackrel{\·}{x}}_2=u-{\mathrm{\θ}}_2{x}_2+d\left(t\right)\end{array}---\left(2\right)$

假设1：期望跟踪的理想轨迹x_1d＝y_d(t)∈C⁴并且有界；

假设2：结构不确定性参数集θ满足：

θ∈Ω_θ＝{θ:θ_min≤θ≤θ_max} (3)

公式(3)中θ_min＝[θ_1min，θ_2min]^T,θ_max＝[θ_1max，θ_2max]^T均已知；

假设3：公式(2)中的时变不确定性d(t)足够光滑并且其中η为已知常数；

步骤二、设计自适应律对电机位置伺服系统中的不确定性参数θ₁、θ₂进行估计

定义分别为θ的估计值及估计误差定义不连续投影函数为：

公式(4)中i＝1,2，·_i为矢量·的第i个元素，对于两个矢量之间的运算“＜”为矢量中相应元素之间的运算；

自适应律设计为：

$\stackrel{\·}{\widehat{\mathrm{\θ}}}={\mathrm{Proj}}_{\widehat{\mathrm{\θ}}}\left(\mathrm{\Γ}\mathrm{\σ}\right),{\mathrm{\θ}}_{\min }\≤\widehat{\mathrm{\θ}}\left(0\right)\≤{\mathrm{\θ}}_{\max }---\left(5\right)$

公式(5)中Γ为对角自适应律矩阵且Γ＞0，σ为自适应函数。对于任意自适应函数σ，运用投影函数(5)能保证：

$\begin{array}{cc}\left(P1\right)& \widehat{\mathrm{\θ}}\∈{\mathrm{\Ω}}_{\widehat{\mathrm{\θ}}}\stackrel{\mathrm{\Δ}}{=}\{\widehat{\mathrm{\θ}}:{\mathrm{\θ}}_{\min }\≤\widehat{\mathrm{\θ}}\≤{\mathrm{\θ}}_{\max }\}\\ \left(P2\right)& {\widetilde{\mathrm{\θ}}}^T\[{\mathrm{\Γ}}^{-1}{\mathrm{Proj}}_{\widehat{\mathrm{\θ}}}\left(\mathrm{\Γ}\mathrm{\σ}\right)-\mathrm{\σ}\]\≤0,\∀\mathrm{\σ}\end{array}---\left(6\right)$

步骤三、针对公式(2)中的状态方程，设计基于不连续投影算子的电机伺服系统鲁棒位置控制器，其具体步骤如下：

步骤三(一)、定义一组类似开关函数的变量为：

$z_2={\stackrel{\·}{z}}_1+k_1{z}_1,r={\stackrel{\·}{z}}_2+k_2{z}_2---\left(7\right)$

公式(7)中z₁＝x₁-x_1d为系统的跟踪误差，k₁、k₂为正的反馈增益。在公式(7)中引入了一个扩张的误差信号r来获得额外的设计自由；

步骤三(二)、设计自适应律以及控制器输入u，使得电机伺服系统具有渐近跟踪性能。

根据公式(7)，扩张误差信号r可以整理为：

$r={\stackrel{\·}{x}}_2-{\stackrel{\·\·}{x}}_{1d}+(k_1+k_2)z_2-k_1^2{z}_1---\left(8\right)$

基于系统状态方程(2)，可以得到：

$\begin{array}{c}{\mathrm{\θ}}_{1}r=u-{\mathrm{\θ}}_1{\stackrel{\·\·}{x}}_{1d}-{\mathrm{\θ}}_2{\stackrel{\·}{x}}_{1d}-d\left(t\right)\\ +({\mathrm{\θ}}_1{k}_1+{\mathrm{\θ}}_1{k}_2-{\mathrm{\θ}}_2)z_2-{\mathrm{\θ}}_1{k}_1^2{z}_1+{\mathrm{\θ}}_2{k}_1{z}_1\end{array}---\left(9\right)$

根据公式(9)的结构，电机伺服系统的自适应函数以及基于模型的控制器可以设计为：

$u=u_a+u_s+u_n,u_a={\widehat{\mathrm{\θ}}}^T{Y}_d,$

$u_s=-\mathrm{\μ},\mathrm{\μ}=k_r{z}_2+{\∫}_0^t{k}_r{k}_2{z}_{2}dv,---\left(10\right)$

$\mathrm{\σ}=-{\stackrel{\·}{Y}}_{d}r,Y_d={\[{\stackrel{\·\·}{x}}_{1d},{\stackrel{\·}{x}}_{1d}\]}^T$

其中k_r为正反馈增益；u_a为可调节的基于模型的前馈控制律，通过参数自适应来获得提高的模型补偿；u_s为非线性鲁棒控制律用来保证名义系统的稳定性；u_n为基于扩张误差符号r积分的鲁棒控制律，其用来处理时变的扰动，u_n的值将在以下的设计步骤中给出；

由公式(10)中的自适应函数σ可以看出，扩张误差信号r未知，但是基于理想轨迹的矢量以及它的微分是已知的，通过积分自适应函数可以得到不包含未知扩张误差信号r的表达式：

其中sgn(r)定义为：

由式(11)可以看出，实际上参数的估计值并没有直接用到扩张误差信号r，而是运用了r的符号sgn(r)，为了计算公式(11)中的sgn(r)，定义函数g(t)为：

$\begin{array}{c}g\left(t\right)={\∫}_0^{t}r\left(v\right)dv\\ =z_2\left(t\right)-z_2\left(0\right)+k_2{\∫}_0^t{z}_2\left(v\right)dv\end{array}---\left(13\right)$

由于r(t)＝lim_τ→0(g(t)-g(t-τ))/τ，τ可以选取为采样时间，根据(13)可以看出只需要知道r的符号sgn(r)即可，因此只需要知道g(t)增加还是减小就可以获得sgn(r)，其中sgn(r)＝sgn(g(t)-g(t-τ))；

把(10)中的控制律带入到(9)中，可以得到：

$\begin{array}{c}{\mathrm{\θ}}_{1}r={\widetilde{\mathrm{\θ}}}^T{Y}_d-k_r{z}_2-{\∫}_0^t{k}_r{k}_3{z}_{2}dv+u_n-d\left(t\right)\\ +({\mathrm{\θ}}_1{k}_1+{\mathrm{\θ}}_1{k}_2-{\mathrm{\θ}}_2)z_2-({\mathrm{\θ}}_1{k}_1^2-{\mathrm{\θ}}_2{k}_1)z_1\end{array}---\left(14\right)$

对公式(14)进行微分可以得到：

$\begin{array}{c}{\mathrm{\θ}}_1\stackrel{\·}{r}={\stackrel{\·}{\widehat{\mathrm{\θ}}}}^T{Y}_d+{\widetilde{\mathrm{\θ}}}^T{\stackrel{\·}{Y}}_d-k_{r}r+{\stackrel{\·}{u}}_n-\stackrel{\·}{d}\left(t\right)\\ -\[k_2({\mathrm{\θ}}_1{k}_1+{\mathrm{\θ}}_1{k}_2-{\mathrm{\θ}}_2)+({\mathrm{\θ}}_1{k}_1^2-{\mathrm{\θ}}_2{k}_1)\]z_2\\ +k_1({\mathrm{\θ}}_1{k}_1^2-{\mathrm{\θ}}_2{k}_1)z_1+({\mathrm{\θ}}_1{k}_1+{\mathrm{\θ}}_1{k}_2-{\mathrm{\θ}}_2)r\end{array}---\left(15\right)$

把公式(5)中的参数自适应律带入到(15)中，可以进一步得到：

$\begin{array}{c}{\mathrm{\θ}}_1\stackrel{\·}{r}=Y_d^T{\mathrm{Proj}}_{\widehat{\mathrm{\θ}}}(-\mathrm{\Γ}{\stackrel{\·}{Y}}_{d}r)+{\widetilde{\mathrm{\θ}}}^T{\stackrel{\·}{Y}}_d-k_{r}r+{\stackrel{\·}{u}}_n-\stackrel{\·}{d}\left(t\right)\\ -\[k_2({\mathrm{\θ}}_1{k}_1+{\mathrm{\θ}}_1{k}_2-{\mathrm{\θ}}_2)+({\mathrm{\θ}}_1{k}_1^2-{\mathrm{\θ}}_2{k}_1)\]z_2\\ +k_1({\mathrm{\θ}}_1{k}_1^2-{\mathrm{\θ}}_2{k}_1)z_1+({\mathrm{\θ}}_1{k}_1+{\mathrm{\θ}}_1{k}_2-{\mathrm{\θ}}_2)r\end{array}---\left(16\right)$

根据公式(16)可以设计鲁棒控制律u_n为：

${\stackrel{\·}{u}}_n=-\mathrm{\η}\mathrm{sgn}\left(r\right)---\left(17\right)$

步骤四、确定电机伺服系统中结构不确定性参数集θ的范围即θ_min及θ_max的值，同时选取以及调节对角自适应律矩阵Γ(Γ＞0)的值，并调节参数参数τ(τ＞0)、k₁(k₁＞0)、k₂(k₂＞0)以及k_r(k_r＞0)，从而来确保整个系统稳定，并使电机位置伺服系统的位置输出y(t)准确地跟踪期望的位置指令y_d。