CN106097321B - 一种基于张量表示的偏振高光谱图像目标检测方法 - Google Patents

Abstract

一种基于张量表示的偏振高光谱图像目标检测方法，本发明涉及偏振高光谱图像目标检测方法。本发明的目的是为了解决现有偏振高光谱图像目标检测准确率低以及信息利用率低的问题。本发明组成包括：步骤一、建立张量表示下的偏振高光谱图像的数据模型：将偏振高光谱图像表示成四阶张量，则得到偏振高光谱图像的数据模型；步骤二、在张量表示下的偏振高光谱图像的数据模型的基础上，得到基于Tucker分解的四阶张量匹配检测算法的模型，根据基于Tucker分解的四阶张量匹配检测算法的模型判断检测结果。本发明用于偏振高光谱图像目标检测。

Description

一种基于张量表示的偏振高光谱图像目标检测方法

技术领域

本发明涉及偏振高光谱图像目标检测方法。

背景技术

Stokes矢量较为完整的表示了光的偏振特性，比较精确的描述了物体的组成成分及其表面特性。但是对于偏振高光谱图像而言，其具有的偏振、强度、光谱以及空间的多维信息，Stokes矢量很难完整的描述出来，它忽略了偏振高光谱图像随偏振角变化的偏振维信息；并且传统的偏振高光谱图像检测算法也忽略了图像的空间信息，很难实现偏振高光谱图像多维信息的共同利用。此外，当偏振高光谱图像的数据量较大时，对于Stokes矢量的计算量也将增加，计算误差大，综合以上，导致偏振高光谱图像目标检测准确率低。

发明内容

本发明的目的是为了解决现有偏振高光谱图像目标检测准确率低以及信息利用率低的问题，而提出基于张量表示的偏振高光谱图像目标检测方法。

一种基于张量表示的偏振高光谱图像目标检测方法具体是按照以下步骤进行的：

步骤一、建立张量表示下的偏振高光谱图像的数据模型；

将偏振高光谱图像表示成四阶张量则偏振高光谱图像的数据模型表示为

表示信号张量，表示干扰信号，I_n为图像第n维像素大小，n取值为1、2、3或4，R为实数域空间；

步骤二、在张量表示下的偏振高光谱图像的数据模型的基础上，得到基于Tucker分解的四阶张量匹配检测算法的模型，根据基于Tucker分解的四阶张量匹配检测算法的模型判断检测结果。

一种基于张量表示的偏振高光谱图像目标检测方法具体是按照以下步骤进行的：

步骤一、建立张量表示下的偏振高光谱图像的数据模型；

将偏振高光谱图像表示成张量I_n为图像第n维像素大小，n取值为1、2、3或4，R为实数域空间，则偏振高光谱图像的数据模型表示为：

表示信号张量，表示干扰信号；

步骤二、在张量表示下的偏振高光谱图像的数据模型的基础上，构造四阶张量，对构造的四阶张量进行CP分解重建，然后采用常用的统计异常检测(RX)和匹配滤波检测(MF)，得到检测结果。

本发明的有益效果为：

为了解决传统的Stokes矢量对于偏振高光谱图像目标检测信息利用不完整的问题，本发明研究利用张量表示来完整描述偏振高光谱图像的多维信息，并实现偏振与光谱在偏振高光谱图像目标检测的联合应用。张量表示完整保留了图像的多维信息，并且在检测过程中综合利用图像的这些信息，增加了目标与背景的差异，使得目标检测更加准确。本发明提出的FTMF算法不仅完整地利用了图像光谱维和偏振维的信息，还大大减化了计算过程，减少了由于计算而带来的误差。由于CP分解具有保留原始信号特征，去除干扰信号的作用，在相同虚警率下，未经处理的偏振高光谱图像检测效果要低于经过CP分解重建后的检测效果，实验结果证明了本发明提出的算法的有效性。考虑了偏振高光谱图像随偏振角变化的偏振维信息以及图像的空间信息，实现偏振高光谱图像多维信息的共同利用，提高了偏振高光谱图像目标检测准确率。

对于提出的四阶张量匹配检测算法，本发明将其检测结果与传统的基于Stokes矢量提取的强度I、偏振度DoLP以及偏振角orient的匹配检测结果作对比，如图6a、6b、6c、6d、6e所示，根据其ROC曲线，发现，在相同的虚警率下，本发明提出的四阶张量匹配检测算法的检测效率高于数据集I、DoLP和orient的匹配检测效率。这是由于常规的基于Stokes矢量的偏振高光谱图像目标检测算法破坏了偏振维的信息，而本发明提出的FTMF算法不仅完整地利用了图像光谱维和偏振维的信息，还大大减化了计算过程，减少了由于计算而带来的误差。当虚警概率为0.1时，偏振度Dolp检测准确率为92.5％，强度I检测准确率为99.2％，偏振角orient检测准确率为98.8％，FTMF检测准确率为99.9％；当虚警概率为0.15时，偏振度Dolp检测准确率为94.7％，强度I检测准确率为99.8％，偏振角orient检测准确率为99％，FTMF检测准确率基本已达到100％；

为了进一步直观看到算法的检测结果，这里给出检测结果的三维视图，如图7a、7b、7c、7d所示，同样可以发现，本发明提出的算法能够有效的抑制背景、突出目标，使得目标和背景能够更准确地被分离出来。

对于本发明提出的基于CP分解重建的偏振高光谱图像目标检测，为了验证其有效性，分别对CP分解重建后的数据采用RX和MF检测算法，后续将其命名为CPRX和CPMF，检测结果如图8a、8b、8c、8d、8e和图9a、9b所示，分别展示了两种检测算法对应的检测结果及其ROC的对比曲线，可以发现，由于CP分解具有保留原始信号特征，去除干扰信号的作用，在相同虚警率下，未经处理的偏振高光谱图像检测效果要低于经过CP分解重建后的检测效果，实验结果证明了本发明提出的算法的有效性。

检测结果的三维视图如图10a、10b、10c、10d、10e所示，从圈内目标的峰值可以看出，经过CP分解重建的偏振高光谱数据的检测结果的目标与背景基本被分离，能够更精确地从背景中找出目标，原因在于当光谱维加入偏振维信息后，目标与背景的差异被进一步放大，使得数据更加契合基于匹配滤波的检测算法和基于统计规则的RX检测算法。

如图11所示，当虚警概率为0.01时，CPRX检测准确率为80％，CPMF检测准确率为100％，FTMF检测准确率为100％；当虚警概率为0.02时，CPRX检测准确率为87％，CPMF检测准确率为100％，FTMF检测准确率为99.8％；当虚警概率为0.05时，CPRX检测准确率为94％，CPMF检测准确率为100％，FTMF检测准确率为100％。

附图说明

图1a为一个三阶张量和它的各模纤示意图；

图1b为三阶张量和它的模-1纤示意图；

图1c为三阶张量和它的模-2纤示意图；

图1d为三阶张量和它的模-3纤示意图；

图2为张量的模-1乘积过程图，A为张量，B为张量；

图3为三阶张量的Tucker分解图，X为张量，w为一维数据，v为二维数据，u为三维数据，s为核心张量；

图4为三阶张量的CP分解图，X为张量，w₁为第一个一维数据，v₁为第一个二维数据，u₁为第一个三维数据，w₂为第二个一维数据，v₂为第二个二维数据，u₂为第二个三维数据，w_R为第R个一维数据，v_R为第R个二维数据，u_R为第R个三维数据，U、V、W为因子矩阵，λ是一个常数；

图5为CP分解重建的过程图，y为张量，y′为CP分解重建后的张量，a₁为第一个一维数据，b₁为第一个二维数据，C₁为第一个三维数据，d₁为第一个四维数据，a₂为第二个一维数据，b₂为第二个二维数据，C₂为第二个三维数据，d₂为第二个四维数据，a_n为第三个一维数据，b_n为第三个二维数据，C_n为第三个三维数据，d_n为第三个四维数据，row为行，column为列，band为波段，polarization为偏振；

图6a为偏振高光谱图像的数据集I的传统MF检测结果图；

图6b为偏振高光谱图像的数据集DoLP的传统MF检测结果图；

图6c为偏振高光谱图像的数据集orient的传统MF检测结果图；

图6d为偏振高光谱图像的数据集FTMF的传统MF检测结果图；

图6e为偏振高光谱图像的传统MF检测结果和FTMF检测结果对比图，false alarmrate为虚警概率，detection rate为检测准确率；

图7a为偏振高光谱图像的数据集I的MF结果三维视图；

图7b为偏振高光谱图像的数据集DoLP的MF结果三维视图；

图7c为偏振高光谱图像的数据集orient的MF结果三维视图；

图7d为偏振高光谱图像的原始数据的FTMF结果三维视图；

图8a为偏振高光谱图像数据集I的RX结果图；

图8b为偏振高光谱图像数据集DoLP的RX结果图；

图8c为偏振高光谱图像数据集orient的RX结果图；

图8d为CP分解重建的偏振高光谱图像RX结果图；

图8e为RX检测结果的ROC曲线对比图；

图9a为基于CP分解重建的偏振高光谱图像MF检测结果图；

图9b为基于CP分解重建的偏振高光谱图像MF检测结果的ROC曲线对比图；

图10a为基于CP分解重建的偏振高光谱图像数据集I的RX结果三维视图；

图10b为基于CP分解重建的偏振高光谱图像数据集DoLP的RX结果三维视图；

图10c为基于CP分解重建的偏振高光谱图像数据集orient的RX结果三维视图；

图10d为CP分解重建的偏振高光谱图像RX结果三维视图；

图10e为CP分解重建的偏振高光谱图像MF结果三维视图；

图11为偏振高光谱图像CPRX、CPMF和FTMF检测结果的ROC曲线对比图，FTMF为本发明基于张量表示的偏振高光谱图像目标检测方法。

具体实施方式

具体实施方式一：本实施方式的一种基于张量表示的偏振高光谱图像目标检测方法具体是按照以下步骤进行的：

张量的概念最早是18世纪90年代末由Woldemar Voigt提出的，后来，Ricci和他的学生在研究中逐渐完善了张量的概念和相关的运算。从代数的角度看，张量可以看成是矩阵的进一步扩展，矩阵的行是模-1纤，矩阵的列是模-2纤，三阶张量则多出了管纤，如图1a、1b、1c、1d所示，展示了一个三阶张量的格式。对于向量空间U⁽¹⁾,U^(2),...,U^(M)，定义他们的外积空间为张量。

对于后续涉及到的关于张量的基本运算，本节做一个简单介绍。首先是张量的n-模展开，对于张量按照n模进行展开指的是将张量X的n模作为列展开成矩阵形式，例如张量X为：

则张量X的n-模展开分别为：

张量的1-模展开

张量的2-模展开

张量的3-模展开

张量与矩阵的乘法被称为n-模乘积，对于张量和矩阵的n-模乘积可以表示为

即每个模-n向量与矩阵U做乘积的结果。图2给出了张量与矩阵1-模乘积过程的图示。

基于Tucker分解的四阶张量匹配检测算法

Tucker分解是指，将一个张量表示成一个核心张量沿着每一个模式乘上一个因子矩阵的形式，以一个三阶张量的Tucker分解为例，其分解形式为：

其中，S∈R^P×Q×R是核心张量，U、V、W被称之为因子矩阵，三阶张量Tucker分解如图3所示

可以发现，Tucker分解实质上是一种高阶的主成分分析，因子矩阵U、V、W为正交矩阵，可以视为沿对应模的主成分。因此，在Tucker分解的基础上，本发明提出了一种适合于偏振高光谱图像目标检测的四阶张量匹配检测算法。

传统的匹配检测算法(MF)是一种基于线性最优准则假设推导而来的检测算法，在高光谱图像的目标检测中，主要利用了图像的光谱信息，可以得到比较理想的检测结果，算法的基本形式为：

其中，ε为输出结果的分割阈值，R_x是待测数据x的协方差矩阵，s则表示目标的光谱信息。

偏振高光谱图像不仅包含了高光谱图像的信息，还多出了偏振维度的信息，因此根据张量乘法与匹配检测算法的原理，本发明采用了一种四阶张量匹配检测算法实现了偏振高光谱图像的目标检测。

步骤一、建立张量表示下的偏振高光谱图像的数据模型；

将偏振高光谱图像表示成四阶张量则偏振高光谱图像的数据模型表示为

表示信号张量，表示干扰信号，I_n为图像第n维像素大小，n取值为1、2、3或4，R为实数域空间；

步骤二、在张量表示下的偏振高光谱图像的数据模型的基础上，得到基于Tucker分解的四阶张量匹配检测算法(FTMF)的模型，根据基于Tucker分解的四阶张量匹配检测算法(FTMF)的模型判断检测结果。

具体实施方式二：本实施方式与具体实施方式一不同的是：所述步骤二中在张量表示下的偏振高光谱图像的数据模型的基础上，得到基于Tucker分解的四阶张量匹配检测算法(FTMF)的模型，根据基于Tucker分解的四阶张量匹配检测算法(FTMF)的模型判断检测结果；具体过称为：

对训练样本采用Tucker分解，提取目标光谱维和偏振维的信息，选择目标光谱维和偏振维的因子矩阵的第一主成分(即第一列)来替代目标的光谱和偏振谱，然后根据光谱维和偏振维的信息构造光谱匹配滤波器和偏振匹配滤波器，得到基于Tucker分解的四阶张量匹配检测算法(FTMF)的模型，根据四阶张量匹配检测算法(FTMF)的模型判断检测结果。

其它步骤及参数与具体实施方式一相同。

具体实施方式三：本实施方式与具体实施方式一或二不同的是：所述根据光谱维和偏振维的信息构造光谱匹配滤波器和偏振匹配滤波器，得到基于Tucker分解的四阶张量匹配检测算法(FTMF)的模型，根据四阶张量匹配检测算法(FTMF)的模型判断检测结果；具体过称为：

光谱匹配滤波器H₃构造如下：

其中，S₃表示目标光谱，R₃＝E(Y₍₃₎Y₍₃₎ ^T)为待检测数据Y₍₃₎的协方差矩阵，表示四阶张量的3-模展开，In为图像第n维大小，n取值为1、2、3或4，T为转置；

将对光谱匹配滤波器H3和四阶张量做3-模乘积有：

式中，×₃为张量与矩阵的3模乘积；

偏振匹配滤波器H₄的构造如下：

其中，S₄是目标偏振谱，R₄＝E(T_S(4)T_S(4) ^T)为待测数据T_S(4)的协方差矩阵，T_S(4)表示四阶张量的4-模展开矩阵；

根据式(0-2)～(0-3)，基于Tucker分解的四阶张量匹配检测算法(FTMF)的模型如下：

式中，×₄为张量与矩阵的4模乘积；

当时，待检测像素被判定为目标；

当时，待检测像素被判定为背景；μ为阈值。

其它步骤及参数与具体实施方式一或二相同。

具体实施方式四：本实施方式的一种基于张量表示的偏振高光谱图像目标检测方法具体是按照以下步骤进行的：

张量的概念最早是18世纪90年代末由Woldemar Voigt提出的，后来，Ricci和他的学生在研究中逐渐完善了张量的概念和相关的运算。从代数的角度看，张量可以看成是矩阵的进一步扩展，矩阵的行是模-1纤，矩阵的列是模-2纤，三阶张量则多出了管纤，如图1a、1b、1c、1d所示，展示了一个三阶张量的格式。对于向量空间U⁽¹⁾,U^(2),...,U^(M)，定义他们的外积空间为张量。

对于后续涉及到的关于张量的基本运算，本节做一个简单介绍。首先是张量的n-模展开，对于张量按照n模进行展开指的是将张量X的n模作为列展开成矩阵形式，例如张量X为：

则张量X的n-模展开分别为：

张量的1-模展开

张量的2-模展开

张量的3-模展开

张量与矩阵的乘法被称为n-模乘积，对于张量和矩阵的n-模乘积可以表示为

即每个模-n向量与矩阵U做乘积的结果。图2给出了张量与矩阵1-模乘积过程的图示。

基于Tucker分解的四阶张量匹配检测算法

Tucker分解是指，将一个张量表示成一个核心张量沿着每一个模式乘上一个因子矩阵的形式，以一个三阶张量的Tucker分解为例，其分解形式为：

其中，S∈R^P×Q×R是核心张量，U、V、W被称之为因子矩阵，三阶张量Tucker分解如图3所示

可以发现，Tucker分解实质上是一种高阶的主成分分析，因子矩阵U、V、W为正交矩阵，可以视为沿对应模的主成分。因此，在Tucker分解的基础上，本发明提出了一种适合于偏振高光谱图像目标检测的四阶张量匹配检测算法。

传统的匹配检测算法(MF)是一种基于线性最优准则假设推导而来的检测算法，在高光谱图像的目标检测中，主要利用了图像的光谱信息，可以得到比较理想的检测结果，算法的基本形式为：

其中，ε为输出结果的分割阈值，Rx是待测数据x的协方差矩阵，s则表示目标的光谱信息。

偏振高光谱图像不仅包含了高光谱图像的信息，还多出了偏振维度的信息，因此根据张量乘法与匹配检测算法的原理，本发明采用了一种四阶张量匹配检测算法实现了偏振高光谱图像的目标检测。

张量的CP分解指的是，将张量分解成有限个秩一张量之和的形式，可以被看作是Tucker分解的一种特殊形式。同样以三阶张量为例，CP分解可以表示为

其中λ_r是一个常数，u_r、v_r、w_r表示每个维度上的向量。图4展示了一个三阶张量的CP分解示意图。

CP分解和Tucker分解一样，每个维度上的主要信息都被保留在其相应的向量上，CP分解后能够在保留原始信号特征的同时舍去信号的冗余信息，降低了噪声的影响，因此基于CP分解重建的偏振高光谱图像目标检测的核心是利用CP分解重建偏振高光谱数据，使其成为常规的三维数据，在保留图像多维信息的同时使用常规的检测算法对其进行目标检测。

步骤一、建立张量表示下的偏振高光谱图像的数据模型；

将偏振高光谱图像表示成张量I_n为图像第n维像素大小，n取值为1、2、3或4，则偏振高光谱图像的数据模型表示为：

表示信号张量，表示干扰信号，R为实数域空间；

步骤二、在张量表示下的偏振高光谱图像的数据模型的基础上，提出基于CP分解重建的偏振高光谱图像目标检测算法，构造四阶张量，对构造的四阶张量进行CP分解重建，然后采用常用的统计异常检测(RX)和匹配滤波检测(MF)，得到检测结果。

对构造的四阶张量进行CP分解，得到检测结果。

具体实施方式五：本实施方式与具体实施方式一不同的是：所述步骤二中在张量表示下的偏振高光谱图像的数据模型的基础上，提出基于CP分解重建的偏振高光谱图像目标检测算法，构造四阶张量，对构造的四阶张量进行CP分解重建，然后采用常用的统计异常检测(RX)和匹配滤波检测(MF)，得到检测结果；具体过称为：

步骤二一、对原始偏振高光谱图像张量中的每一个像素选择其周围k×k邻域，构造四阶张量k为分块图像大小；

步骤二二、对分块图像进行CP分解；

步骤二三、将CP分解的第三维和第四维投影向量重组为一维向量替代原始偏振高光谱图像中心的光谱和偏振，形成一个新的三维数据；

步骤二四、采用常规的统计异常检测(RX)算法，匹配滤波(MF)算法对新的三维数据进行目标检测。

其它步骤及参数与具体实施方式一相同。

采用以下实施例验证本发明的有益效果：

实施例一：

本实施例基于张量表示的偏振高光谱图像目标检测方法，具体是按照以下步骤制备的：

发明采用实测的偏振高光谱图像来进行实验，并且与传统的基于Stokes矢量的偏振高光谱图像检测算法进行对比，为了验证算法的有效性和实用性，引入ROC曲线来进行算法的评价。

对于提出的四阶张量匹配检测算法，本发明将其检测结果与传统的基于Stokes矢量提取的强度I、偏振度DoLP以及偏振角orient的匹配检测结果作对比，如图6a、6b、6c、6d、6e所示，根据其ROC曲线，可以发现，在相同的虚警率下，本发明提出的四阶张量匹配检测算法的检测效率高于数据集I、DoLP和orient的匹配检测效率。这是由于常规的基于Stokes矢量的偏振高光谱图像目标检测算法破坏了偏振维的信息，而本发明提出的FTMF算法不仅完整地利用了图像光谱维和偏振维的信息，还大大减化了计算过程，减少了由于计算而带来的误差。当虚警概率为0.1时，偏振度Dolp检测准确率为92.5％，强度I检测准确率为99.2％，偏振角orient检测准确率为98.8％，FTMF检测准确率为99.9％；当虚警概率为0.15时，偏振度Dolp检测准确率为94.7％，强度I检测准确率为99.8％，偏振角orient检测准确率为99％，FTMF检测准确率为100％；

为了进一步直观看到算法的检测结果，这里给出检测结果的三维视图，如图7a、7b、7c、7d所示，同样可以发现，本发明提出的算法能够有效的抑制背景、突出目标，使得目标和背景能够更准确地被分离出来。

对于本发明提出的基于CP分解重建的偏振高光谱图像目标检测，为了验证其有效性，分别对CP分解重建后的数据采用RX和MF检测算法，检测结果如图8a、8b、8c、8d、8e和图9a、9b所示，分别展示了两种检测算法对应的检测检测结果及其ROC的对比曲线，可以发现，由于CP分解具有保留原始信号特征，去除干扰信号的作用，在相同虚警率下，未经处理的偏振高光谱图像检测效果要低于经过CP分解重建后的检测效果，实验结果证明了本发明提出的算法的有效性。

检测结果的三维视图如图10a、10b、10c、10d、10e所示，从红圈内目标的峰值可以看出，经过CP分解重建的偏振高光谱数据的检测结果的目标与背景基本被分离，能够更精确地从背景中找出目标，原因在于当光谱维加入偏振维信息后，目标与背景的差异被进一步放大，使得数据更加契合基于匹配滤波的检测算法和基于统计规则的RX检测算法。

如图11所示，当虚警概率为0.01时，CPRX检测准确率为80％，CPMF检测准确率为100％，FTMF检测准确率为100％；当虚警概率为0.02时，CPRX检测准确率为87％，CPMF检测准确率为100％，FTMF检测准确率为99.8％；当虚警概率为0.05时，CPRX检测准确率为94％，CPMF检测准确率为100％，FTMF检测准确率为100％。

本发明还可有其它多种实施例，在不背离本发明精神及其实质的情况下，本领域技术人员当可根据本发明作出各种相应的改变和变形，但这些相应的改变和变形都应属于本发明所附的权利要求的保护范围。

Claims (2)

1.一种基于张量表示的偏振高光谱图像目标检测方法，其特征在于：一种基于张量表示的偏振高光谱图像目标检测方法具体是按照以下步骤进行的：

步骤一、建立张量表示下的偏振高光谱图像的数据模型；

将偏振高光谱图像表示成四阶张量则偏振高光谱图像的数据模型表示为

表示信号张量，表示干扰信号，I_n为图像第n维像素大小，n取值为1、2、3或4，R为实数域空间；

步骤二、在张量表示下的偏振高光谱图像的数据模型的基础上，得到基于Tucker分解的四阶张量匹配检测算法的模型，根据基于Tucker分解的四阶张量匹配检测算法的模型判断检测结果；

所述步骤二中在张量表示下的偏振高光谱图像的数据模型的基础上，得到基于Tucker分解的四阶张量匹配检测算法的模型，根据基于Tucker分解的四阶张量匹配检测算法的模型判断检测结果；具体过称为：

对训练样本采用Tucker分解，提取目标光谱维和偏振维的信息，选择目标光谱维和偏振维的因子矩阵的第一主成分来替代目标的光谱和偏振谱，然后根据光谱维和偏振维的信息构造光谱匹配滤波器和偏振匹配滤波器，得到基于Tucker分解的四阶张量匹配检测算法的模型，根据四阶张量匹配检测算法的模型判断检测结果。

2.根据权利要求1所述一种基于张量表示的偏振高光谱图像目标检测方法，其特征在于：所述根据光谱维和偏振维的信息构造光谱匹配滤波器和偏振匹配滤波器，得到基于Tucker分解的四阶张量匹配检测算法的模型，根据四阶张量匹配检测算法的模型判断检测结果；具体过称为：

光谱匹配滤波器H₃构造如下：

其中，S₃表示目标光谱，R₃＝E(Y₍₃₎Y₍₃₎ ^T)为待检测数据Y₍₃₎的协方差矩阵，表示四阶张量的3-模展开矩阵，T为转置；

对光谱匹配滤波器H3和四阶张量做3-模乘积有：

式中，×₃为张量与矩阵的3模乘积；

偏振匹配滤波器H₄的构造如下：

其中，S₄是目标偏振谱，R₄＝E(T_S(4)T_S(4) ^T)为待测数据T_S(4)的协方差矩阵，T_S(4)表示四阶张量的4-模展开矩阵；

根据式(2-5)～(2-6)，基于Tucker分解的四阶张量匹配检测算法的模型如下：

式中，×₄为张量与矩阵的4模乘积；

当时，待检测像素被判定为目标；

当时，待检测像素被判定为背景；μ为阈值。