CN106078742B - 一种针对带有输出约束的柔性机械臂的振动控制方法 - Google Patents
一种针对带有输出约束的柔性机械臂的振动控制方法 Download PDFInfo
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Abstract
本发明提供一种针对带有输出约束的柔性机械臂的振动控制方法，能够在已有的约束条件下减小柔性机械臂在运行过程中的振动，同时控制柔性机械臂转动到期望角位置。所述方法包括：利用哈密顿原理，建立柔性机械臂系统的动力学模型；依据所述动力学模型，确定带有输出约束的边界控制器，对带有输出约束的柔性机械臂的振动进行抑制的同时，控制所述柔性机械臂转动到期望角位置。本发明适用于自动控制技术领域。
Description
技术领域
本发明涉及自动控制技术领域，特别是指一种针对带有输出约束的柔性机械臂的振动控制方法。
背景技术
近年来，随着科学技术的发展，工业、医疗、军事及太空探索等领域对于柔性机械臂有着越来越大的需求及越来越高的要求。与传统的刚性柔性机械臂相比，柔性机械臂具有质量轻、精度高、能耗小、速度快等优点，在现代工程中，柔性机械臂正飞速地发展着。作为柔性结构系统动力学分析和控制理论研究最直接的应用对象，柔性机械臂的物理模型较为简单，易于计算机对其进行实验操作，因此，柔性机械臂已成为发展新一代机器人和航空航天技术的关键性课题。基于近似的系统模型对柔性机械臂开展其振动控制研究是非常必要的。
虽然柔性机械臂较传统刚性柔性机械臂有着很大的优势，然而由于自身的结构及材料特性的影响，柔性机械臂在运行过程中将产生自身的弹性形变及振动，对柔性机械臂系统的定位及轨迹跟踪造成很大的影响。因此，抑制柔性机械臂自身的弹性振动，同时精确地进行轨迹跟踪是亟待解决的问题。而且，在实际的操作中，由于实验平台的空间约束，以及柔性机械臂在转动过程中因幅度或弹性振动过大引发的安全问题，需要对柔性机械臂的末端及偏转角度进行输出约束控制。
目前，大多数对于柔性机械臂的研究都基于有限维模型，采用的是普通微分方程(ODE)来描述柔性机械臂系统模型，然而这样处理容易导致溢出效应从而使柔性机械臂系统不稳定。实际上，柔性机械臂是一类无穷维分布式参数系统，有高度的非线性和耦合特性，其运动过程既有大范围的整体运动，又有局部的弹性变形，所以对于传统的基于有限维模型的刚性柔性机械臂的控制设计方法不适用于柔性机械臂的控制上。
发明内容
本发明要解决的技术问题是提供一种针对带有输出约束的柔性机械臂的振动控制方法，以解决现有技术所存在的基于有限维模型描述柔性机械臂系统模型，导致柔性机械臂系统不稳定的问题。
为解决上述技术问题，本发明实施例提供一种针对带有输出约束的柔性机械臂的振动控制方法，包括：
利用哈密顿原理，建立柔性机械臂系统的动力学模型；
依据所述动力学模型，确定带有输出约束的边界控制器，对带有输出约束的柔性机械臂的振动进行抑制的同时，控制所述柔性机械臂转动到期望角位置。
进一步地，所述柔性机械臂系统的动力学模型包括：柔性机械臂系统的控制方程及柔性机械臂末端角位移的运动方程。
进一步地，所述柔性机械臂系统的控制方程表示为：
所述柔性机械臂系统的边界条件表示为：
所述柔性机械臂末端角位移的运动方程为：
其中，表示数学符号任意，L表示柔性机械臂的长度，ρ表示柔性机械臂的密度，I代表关节的转动惯量，EI表示柔性机械臂的弯曲刚度，T表示柔性机械臂系统的张力，表示关节的偏转角度，表示对t的二阶导数，x(s,t)表示在位置s、时间t时柔性机械臂系统的偏移量，x'(s,t)、x”(s,t)、x”'(s,t)、x””(s,t)分别表示x(s,t)对s的一阶导数、二阶导数、三阶导数、四阶导数，y(s,t)表示在位置s、时间t时柔性机械臂系统的位置，且y'(s,t)、y”(s,t)分别表示y(s,t)对s的一阶导数、二阶导数，表示y(s,t)对t的二阶导数，f(s,t)表示时变分布式扰动，d1(t)与d2(t)分别为加在关节与末端负载上的时变边界扰动，u1(t)与u2(t)分别为柔性机械臂关节处与末端负载上的控制输入，u1(t)与u2(t)的值由所述边界控制器输出。
进一步地，边界输出x(L,t)满足|x(L,t)|<D，偏转角度满足所述期望角位置为
其中，D>0，D为预设的第一阈值，为预设的第二阈值。
进一步地，所述依据所述动力学模型，确定带有输出约束的边界控制器包括：
依据所述动力学模型，根据正切函数图像的性质，确定带有输出约束的边界控制器。
进一步地，所述边界控制器表示为：
其中， 表示对t的一阶导数；表示对t的一阶导数；k1，k2，k3，k4，kp，ks，kv表示控制参数，均为正数，且
α表示一个正权重常数，m表示柔性机械臂的质量，分别为预设的第三阈值及第四阈值，满足 满足 表示x(s,t)对s的一阶导数及对t的一阶导数，且s＝L；表示y(s,t)对s的三阶导数及t的一阶导数，且s＝L。
进一步地，所述依据所述动力学模型，确定带有输出约束的边界控制器，对带有输出约束的柔性机械臂的振动进行抑制的同时，控制所述柔性机械臂转动到期望角位置之后，所述方法还包括：
通过李雅普诺夫直接法对所述边界控制器进行稳定性分析。
进一步地，所述通过李雅普诺夫直接法对所述边界控制器进行稳定性分析包括：
构造针对所述柔性机械臂的闭环系统的李雅普诺夫候选函数；
若所述李雅普诺夫候选函数是正定的，且所述李雅普诺夫候选函数对时间的导数半负定，则判定所述边界控制器能使所述柔性机械臂的闭环系统渐进稳定。
进一步地，构造的所述李雅普诺夫候选函数表示为：
其中，表示y(s,t)对t的一阶导数，α、β均为正数。
进一步地，所述通过李雅普诺夫直接法对所述边界控制器进行稳定性分析之后，所述方法还包括：
通过仿真验证所述边界控制器的可行性及有效性。
本发明的上述技术方案的有益效果如下：
上述方案中，利用哈密顿原理，建立柔性机械臂系统的动力学模型；依据建立的所述动力学模型，确定带有输出约束的边界控制器，对带有输出约束的柔性机械臂的振动进行抑制的同时，控制所述柔性机械臂转动到期望角位置。这样，通过所述带有输出约束的边界控制器能够在已有的约束条件下减小柔性机械臂在运行过程中的振动，同时控制柔性机械臂转动到期望角位置。
附图说明
图1为本发明实施例提供的针对带有输出约束的柔性机械臂的振动控制方法的流程示意图；
图2为本发明实施例提供的确定边界控制器的流程示意图；
图3为本发明实施例提供的针对带有输出约束的柔性机械臂系统的结构示意图；
图4为本发明实施例提供的针对带有输出约束的柔性机械臂的振动控制方法的具体流程示意图；
图5为本发明实施例提供的未加边界控制时，柔性机械臂系统的振动仿真图；
图6为本发明实施例提供的未加边界控制时，柔性机械臂系统的偏转角度仿真图；
图7为本发明实施例提供的未加边界控制时，柔性机械臂系统的角度偏差仿真图；
图8为本发明实施例提供的未加边界控制时，柔性机械臂系统末端负载的振动仿真图；
图9为本发明实施例提供的加入边界控制后，柔性机械臂系统的振动仿真图；
图10为本发明实施例提供的加入边界控制后，柔性机械臂系统的偏转角度仿真图；
图11为本发明实施例提供的关节的控制输入仿真图；
图12为本发明实施例提供的末端负载的控制输入仿真图；
图13为本发明实施例提供的加入边界控制后，边界系统的角度偏差仿真图；
图14为本发明实施例提供的加入边界控制后，柔性机械臂系统末端负载的振动仿真图。
具体实施方式
为使本发明要解决的技术问题、技术方案和优点更加清楚，下面将结合附图及具体实施例进行详细描述。
本发明针对现有的基于有限维模型描述柔性机械臂系统模型，导致柔性机械臂系统不稳定的问题，提供一种针对带有输出约束的柔性机械臂的振动控制方法。
首先，为了更好地理解本发明实施例，对本发明实施例中出现的部分简化符号进行说明：
其中，Δ表示待求导的函数。
实施例一
参看图1所示，本发明实施例提供的一种针对带有输出约束的柔性机械臂的振动控制方法，包括：
S101，利用哈密顿原理，建立柔性机械臂系统的动力学模型；
S102，依据所述动力学模型，确定带有输出约束的边界控制器，对带有输出约束的柔性机械臂的振动进行抑制的同时，控制所述柔性机械臂转动到期望角位置。
本发明实施例所述的针对带有输出约束的柔性机械臂的振动控制方法，利用哈密顿原理，建立柔性机械臂系统的动力学模型；依据建立的所述动力学模型，确定带有输出约束的边界控制器，对带有输出约束的柔性机械臂的振动进行抑制的同时，控制所述柔性机械臂转动到期望角位置。这样，通过所述带有输出约束的边界控制器能够在已有的约束条件下减小柔性机械臂在运行过程中的振动，同时控制柔性机械臂转动到期望角位置。
在前述针对带有输出约束的柔性机械臂的振动控制方法的具体实施方式中，进一步地，所述柔性机械臂系统的动力学模型包括：柔性机械臂系统的控制方程及柔性机械臂末端角位移的运动方程。
在前述针对带有输出约束的柔性机械臂的振动控制方法的具体实施方式中，进一步地，所述柔性机械臂系统的控制方程表示为：
所述柔性机械臂系统的边界条件表示为：
所述柔性机械臂末端角位移的运动方程为：
其中，表示数学符号任意，L表示柔性机械臂的长度，ρ表示柔性机械臂的密度，I代表关节的转动惯量，EI表示柔性机械臂的弯曲刚度，T表示柔性机械臂系统的张力，表示关节的偏转角度，表示对t的二阶导数，x(s,t)表示在位置s、时间t时柔性机械臂系统的偏移量，x'(s,t)、x”(s,t)、x”'(s,t)、x””(s,t)分别表示x(s,t)对s的一阶导数、二阶导数、三阶导数、四阶导数，y(s,t)表示在位置s、时间t时柔性机械臂系统的位置，且y'(s,t)、y”(s,t)分别表示y(s,t)对s的一阶导数、二阶导数，表示y(s,t)对t的二阶导数，f(s,t)表示时变分布式扰动，d1(t)与d2(t)分别为加在关节与末端负载上的时变边界扰动，u1(t)与u2(t)分别为柔性机械臂关节处与末端负载上的控制输入，u1(t)与u2(t)的值由所述边界控制器输出。
本发明实施例中，所述柔性机械臂系统可以为单连杆柔性机械臂系统，对所述单连杆柔性机械臂系统利用哈密顿(Hamilton)原理进行建模处理，得到所述单连杆柔性机械臂系统的动力学模型，其中，所述单连杆柔性机械臂系统的动力学模型包括：单连杆柔性机械臂系统的控制方程及单连杆柔性机械臂末端角位移的运动方程；其中，所述单连杆柔性机械臂系统的控制方程为：
所述单连杆柔性机械臂系统的边界条件为：
所述单连杆柔性机械臂末端角位移的运动方程为：
其中，δ表示变分符号，Ek(t),Ep(t)分别表示单连杆柔性机械臂系统的动能及由变形产生的势能；δW(t)为外部扰动f(s,t),d1(t)和d2(t)以及边界控制对系统所做总虚功的变分；表示数学符号任意，L表示柔性机械臂的长度，ρ表示柔性机械臂的密度，I代表关节的转动惯量，EI表示柔性机械臂的弯曲刚度，T表示柔性机械臂系统的张力，表示关节的偏转角度，x(s,t)表示在位置s、时间t时柔性机械臂系统的偏移量，y(s,t)表示在位置s、时间t时柔性机械臂系统的位置，且有成立，f(s,t)表示时变分布式扰动，d1(t)与d2(t)分别为加在关节与末端负载上的时变边界扰动，u1(t)与u2(t)分别为关节处与末端负载上的控制输入，u1(t)与u2(t)的值由边界控制器和边界控制器确定。
由于在实际的操作过程中，单连杆柔性机械臂的末端会受到一定的空间位置约束，为了达到控制目的，需确定一种带有输出约束的边界控制器来减小柔性机械臂在运行过程中的振动，同时控制柔性机械臂转动到期望角位置。
本发明实施例中，边界控制器设计的目的是减小柔性机械臂在操作过程中的振动，保证在受约束的操作空间中边界输出x(L,t)满足|x(L,t)|<D(D>0)，偏转角度满足同时控制柔性机械臂能够到达指定位置(期望角位置)其中，D为预设的第一阈值，为预设的第二阈值。具体的，可以借助正切三角函数的性质，设计如下的带有输出约束的边界控制器：
其中，表示对t的一阶导数；表示对t的一阶导数；表示x(s,t)对s的一阶导数及对t的一阶导数，且s＝L；表示y(s,t)对s的三阶导数及t的一阶导数，且s＝L；控制参数k1，k2，k3，k4，kp，ks，kv均为正数，且α表示一个正权重常数，m表示柔性机械臂的质量，分别为预设的第三阈值及第四阈值，满足 满足
本发明实施例中，边界控制器是指将作用力施加在柔性机械臂关节处或其末端，属于主动控制范畴，通过向柔性机械臂系统输入能量来达到对所控制的系统进行主动调节的目的，可以减少助推器与执行器的使用，如图2和图3所示。
如图4所示，在前述针对带有输出约束的柔性机械臂的振动控制方法的具体实施方式中，进一步地，所述依据所述动力学模型，确定带有输出约束的边界控制器，对带有输出约束的柔性机械臂的振动进行抑制的同时，控制所述柔性机械臂转动到期望角位置之后，所述方法还包括：
S103，通过李雅普诺夫直接法对所述边界控制器进行稳定性分析。
本发明实施例中，确定好边界控制器后，需对单连杆柔性机械臂的闭环系统的稳定性进行分析。李雅普诺夫函数法是最常用的系统稳定性判定方法。从力学的能量角度出发，如果一个柔性机械臂系统的总能量不断衰减，直到收敛至平衡点，则闭环系统是渐进稳定的。首先，选择合适的李雅普诺夫候选函数如下：
其中，α，β均为正数；
接着，利用李雅普诺夫直接法来证明闭环系统的稳定性，即若找到一个合适的闭环系统的李雅普诺夫函数是正定的，而其对时间t的导数半负定，则该闭环系统是渐进稳定的。首先，分析李雅普诺夫函数V(t)的最后一项A3(t)可得：
其中，
所以，可以得到：
0≤λ1(A1(t)+A2(t))≤V(t)≤λ2(A1(t)+A2(t))(λ1＝min(1-α1,1)>0,λ2＝max(1+α1,1)>0)。
李雅普诺夫函数对时间t的导数为：
其中，δ1～δ7均为正数。λ3，C0的表达式如下：
其中，为预设的第五阈值，满足
选择满足如下条件的合适控制参数：
可以得到其中，λ＝λ3/λ2>0。
根据李雅普诺夫直接法可知当控制参数满足上面的条件，闭环系统稳定。接下来分析闭环系统的状态有界性。首先对不等式两边积分可得即说明V(t)有界，其中，表示无穷范数。
接着，由于所以可得：
同样，由于则可得：
显然，可以进一步得到：
从上述公式(14)和(15)可以得到x(s,t)与按指数收敛于零，因此，存在时间T0，当t≥T0时，边界输出x(L,t)也会指数收敛于零。
当李雅普诺夫候选函数V(t)>0时，其对时间的导数满足半负定，因此所设计的控制器能够使得闭环系统渐进稳定。
通过以上的分析，对于本发明研究的单连杆柔性机械臂系统，如果初始条件有界，则有如下的结论：
1)闭环系统最终一致有界；
2)所有闭环系统的信号有界；
3)如果初始条件满足则边界输出x(L,t)、也满足|x(L,t)|<D，
因此，可知当李雅普诺夫候选函数V(t)>0时，其对时间的导数满足半负定，因此所设计的控制器能够使得闭环系统渐进稳定，且系统状态最终收敛于0。
如图4所示，在前述针对带有输出约束的柔性机械臂的振动控制方法的具体实施方式中，进一步地，所述通过李雅普诺夫直接法对所述边界控制器进行稳定性分析之后，所述方法还包括：
S104，通过仿真验证所述边界控制器的可行性及有效性。
本发明实施例中，对于确定的边界控制器除了需要理论上证明其稳定性，还应该利用数值仿真验证其可行性及有效性。本发明实施例，可以利用MATLAB软件进行仿真。由于无法得到系统的解析解，这里需要利用有限差分方法获得柔性机械臂系统的近似数值解。在仿真中，需要调整各个控制参数，直到达到满意的控制效果。首先得到不加边界控制时系统的仿真图像，再得到加入边界控制后的仿真图像，通过比较来验证所述边界控制器的可行性及有效性，仿真结果如图5-图14所示。
在仿真中，所述单连杆柔性机械臂的参数及控制参数如下表1所示：
表1仿真参数
本发明实施例中，对于一个带有输出约束的单连杆柔性机械臂系统，首先需要哈密顿原理建立所述单连杆柔性机械臂系统的动力学模型，基于此动力学模型，根据正切函数图像的性质，借助正切函数确定一种边界控制器来抑制柔性机械臂振动同时进行精确轨迹跟踪，以控制所述柔性机械臂转动到期望角位置的目的。最后，对所述边界控制器分别通过理论分析证明闭环系统的稳定性及数值仿真来证明边界控制器的有效性及可行性。
以上所述是本发明的优选实施方式，应当指出，对于本技术领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明所述原理的前提下，还可以作出若干改进和润饰，这些改进和润饰也应视为本发明的保护范围。
Claims (5)
1.一种针对带有输出约束的柔性机械臂的振动控制方法，其特征在于，包括：
利用哈密顿原理，建立柔性机械臂系统的动力学模型；
依据所述动力学模型，确定带有输出约束的边界控制器，对带有输出约束的柔性机械臂的振动进行抑制的同时，控制所述柔性机械臂转动到期望角位置；
其中，所述柔性机械臂系统的动力学模型包括：柔性机械臂系统的控制方程及柔性机械臂末端角位移的运动方程；
其中，所述柔性机械臂系统的控制方程表示为：
<mrow>
<msup>
<mi>EIx</mi>
<mrow>
<mo>&prime;</mo>
<mo>&prime;</mo>
<mo>&prime;</mo>
<mo>&prime;</mo>
</mrow>
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<mo>,</mo>
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</mrow>
<mo>-</mo>
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<mi>Ty</mi>
<mrow>
<mo>&prime;</mo>
<mo>&prime;</mo>
</mrow>
</msup>
<mrow>
<mo>(</mo>
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<mi>f</mi>
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<mrow>
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</mrow>
<mo>&Element;</mo>
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<mn>0</mn>
<mo>,</mo>
<mi>L</mi>
<mo>&rsqb;</mo>
<mo>&times;</mo>
<mo>&lsqb;</mo>
<mn>0</mn>
<mo>,</mo>
<mi>&infin;</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
所述柔性机械臂系统的边界条件表示为：
所述柔性机械臂末端角位移的运动方程为：
其中，表示数学符号任意，L表示柔性机械臂的长度，ρ表示柔性机械臂的密度，I代表关节的转动惯量，EI表示柔性机械臂的弯曲刚度，T表示柔性机械臂系统的张力，表示关节的偏转角度，表示对t的二阶导数，x(s,t)表示在位置s、时间t时柔性机械臂系统的偏移量，x'(s,t)、x”(s,t)、x”'(s,t)、x””(s,t)分别表示x(s,t)对s的一阶导数、二阶导数、三阶导数、四阶导数，y(s,t)表示在位置s、时间t时柔性机械臂系统的位置，且y'(s,t)、y”(s,t)分别表示y(s,t)对s的一阶导数、二阶导数，表示y(s,t)对t的二阶导数，f(s,t)表示时变分布式扰动，d1(t)与d2(t)分别为加在关节与末端负载上的时变边界扰动，u1(t)与u2(t)分别为柔性机械臂关节处与末端负载上的控制输入，u1(t)与u2(t)的值由所述边界控制器输出；
其中，边界输出x(L,t)满足|x(L,t)|<D，偏转角度满足所述期望角位置为
其中，D>0，D为预设的第一阈值，为预设的第二阈值；
其中，所述依据所述动力学模型，确定带有输出约束的边界控制器包括：
依据所述动力学模型，根据正切函数图像的性质，确定带有输出约束的边界控制器；
其中，所述边界控制器表示为：
其中， 表示对t的一阶导数；表示对t的一阶导数；k1，k2，k3，k4，kp，ks，kv表示控制参数，均为正数，且α表示一个正权重常数，m表示柔性机械臂的质量，分别为预设的第三阈值及第四阈值，满足 满足 表示x(s,t)对s的一阶导数及对t的一阶导数，且s＝L；表示y(s,t)对s的三阶导数及t的一阶导数，且s＝L。
2.根据权利要求1所述的针对带有输出约束的柔性机械臂的振动控制方法，其特征在于，所述依据所述动力学模型，确定带有输出约束的边界控制器，对带有输出约束的柔性机械臂的振动进行抑制的同时，控制所述柔性机械臂转动到期望角位置之后，所述方法还包括：
通过李雅普诺夫直接法对所述边界控制器进行稳定性分析。
3.根据权利要求2所述的针对带有输出约束的柔性机械臂的振动控制方法，其特征在于，所述通过李雅普诺夫直接法对所述边界控制器进行稳定性分析包括：
构造针对所述柔性机械臂的闭环系统的李雅普诺夫候选函数；
若所述李雅普诺夫候选函数是正定的，且所述李雅普诺夫候选函数对时间的导数半负定，则判定所述边界控制器能使所述柔性机械臂的闭环系统渐进稳定。
4.根据权利要求3所述的针对带有输出约束的柔性机械臂的振动控制方法，其特征在于，构造的所述李雅普诺夫候选函数表示为：
其中，表示y(s,t)对t的一阶导数，α、β均为正数。
5.根据权利要求3所述的针对带有输出约束的柔性机械臂的振动控制方法，其特征在于，所述通过李雅普诺夫直接法对所述边界控制器进行稳定性分析之后，所述方法还包括：
通过仿真验证所述边界控制器的可行性及有效性。
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