CN106055767B - 电气化铁路at牵引供电系统的状态空间模型建立方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种电气化铁路AT牵引供电系统的状态空间模型建立方法，高速铁路牵引供电系统暂态数学模型是分析牵引供电系统动态问题的基础。本发明提供了全并联自耦变压器(AT)牵引供电系统详细状态空间模型的模块化建立方法，当机车移动导致牵引网拓扑结构改变时，针对不同的机车位置，只需要重新组合模块化微分方程，修改参数矩阵，实现了牵引供电系统暂态模型建立和参数修改的简单化、快速化。模块化的建模方法简化了机车位置及数量、故障点位置变化时的模型建立。此模型可以用于牵引网电磁暂态仿真、动态特性分析。

Description

电气化铁路AT牵引供电系统的状态空间模型建立方法

技术领域

本发明应用于电气化铁路AT牵引供电系统仿真、动态特性分析领域，属于牵引供电系统暂态数学模型的建立方法。

背景技术

随着高速电气化铁路的发展，出现了电力机车过分相过电压、高次谐波谐振、低频振荡等问题。目前有关牵引供电系统的暂态分析，都是基于电力系统电磁暂态仿真软件搭建电磁暂态模型，这些仿真软件中的模型是针对电力系统所设计，基本不包含牵引供电系统元件，例如牵引变压器、牵引网等。而牵引变压器接线方式、牵引网结构具有其特殊性，使得利用电磁暂态仿真软件进行牵引供电系统的数字仿真时，其模型建立或当牵引网拓扑结构变化时，需要重新放置和逐个修改各单元模块参数，过程复杂繁琐。

发明内容

本发明提出了建立高速电气化铁路全并联自耦变压器(AT)牵引供电系统状态空间模型的方法。根据变电所至分区所的牵引网拓扑结构，组合各模块，构建状态方程。当牵引网拓扑结构因机车位置的移动而改变时，只需要重新组合模块化微分方程，再修改参数矩阵即可，实现牵引供电系统暂态模型建立和参数修改的简单化、快速化。

为解决上述问题，本发明采用的技术方案是：

电气化铁路AT牵引供电系统的状态空间模型建立方法，包括以下步骤：

步骤一、采集模型原始数据：根据电力系统和变压器短路参数和牵引网各导体型号及尺寸、空间位置，获取建模所需原始数据，包括电力系统短路阻抗Z_S、牵引变压器短路阻抗Z_T，自耦变压器漏抗Z_at；牵引网多导体单位串联电阻矩阵，单位串联电感矩阵，单位并联电容矩阵，并获得将牵引网导体进行合并成6导体的串联电阻矩阵R′，单位串联电感矩阵L′，单位并联电容矩阵C′；

步骤二、建立模块化的微分方程：将全并联AT牵引供电系统暂态数学模型的构成模块，包括对电源模块，AT模块，串联模块，并联模块建立微分方程；

步骤三、根据变电所至分区所线路实际结构及运行状况，确定牵引网横向切割点，组合电源模块、AT模块、串联模块和并联模块等值电路，建立全系统等值电路；

步骤四、根据模块组合情况，计算各微分方程中各常系数或常系数矩阵：

牵引变电所等值短路阻抗Z_ST为

Z_ST＝R_ST+jωL_ST＝2Z_S+Z_T

将自耦变压器绕组电阻和漏电感折算到原边，获得R_at和L_at；计算长度为l的牵引网∏型等值电路串联电阻矩阵R_l，串联电感矩阵L_l和并联电容矩阵C_l；

步骤五、建立全系统状态空间模型。

状态方程中各矩阵的确定如下:

5.1确定状态变量矩阵x:根据模块化等值电路组合情况，依次输入对应状态变量构成列矩阵；

5.2确定系数矩阵A:由状态变量矩阵x的排列顺序，对应各状态变量xi的微分方程系数，依次在系数矩阵A的对应行、列输入方程系数,若状态变量矩阵x是n×1列矩阵，则系数矩阵A为n×n列矩阵；A的第i行内容要与x的第i行状态变量x_i对应的微分方程系数有关；当变量x_i的微分方程等号右边的某一项变量位于x的第k行，则在A的第i行k列位置输入该变量相关常系数矩阵；

5.3确定输入向量u:当牵引网空载时，输入向量为电源电压u_s，即u＝u_s。

5.4确定输入矩阵B:当牵引网空载时，输入矩阵B为

说明：当电源模块状态变量is位于状态变量矩阵x中的第f行时，则上式中非零元素在B中第f行。

5.5当牵引网含有机车负载时，机车负载会向该切面对应节点注入电流i_LL为：

i_LL＝M₃i_L

式中，i_L为机车电流，是状态方程式的另一输入变量；

含有机车负载的输入向量u1和输入矩阵B1为：

式中，Q＝(C^-1M₃)^T，在矩阵B1中的列位置对应x中机车接入点节点电压变量位置；C为机车所在切面对应的并联电容矩阵。

含有机车负载的系统状态方程中，系数矩阵对比与空载时要新增两行，对应输入机车所在切面下的并联模块微分方程各系数矩阵和串联模块微分方程各系数矩阵。

5.6对牵引网短路故障和牵引网断线故障作处理。

进一步地，所述步骤五5.6对牵引网短路故障和牵引网断线故障作处理具体过程如下：

1)当考虑牵引网短路故障时，做如下处理：

等效为短路导体之间并联一短路电阻R_d，短路故障切面d下的并联模块微分方程为：

其中电流增量i_d为：

i_d＝-M₄u_d

u_d为故障点对应导体节点电压列向量，i_jc为并联模块注入节点的电流列向量(不包括短路电流)，G_g为钢轨对地漏泄电导1/R_g构成的电导矩阵，M₄为由短路电导1/R_d构成的短路支路导纳矩阵；C″为短路点所在切面对应的并联电容矩阵；

短路时的状态方程系数矩阵新增两行，对应输入短路故障切面d下的并联模块微分方程各系数矩阵和串联模块微分方程各系数矩阵。

2)当考虑牵引网断线故障时，做如下处理：

断线导线等效为在故障点串联大电阻R_c，正常导线则等效为串联小电阻R_z。断线故障等效电阻的存在使得原牵引网增加两个新的切面p和q，故障切面p、q下的并联模块微分方程为：

其中，

i_dp＝(-M₅-M₆)u_p+M₆u_q

i_dq＝-M₆u_q+M₆u_p

M₅为由接地电导1/R_d构成的接地支路导纳矩阵，M₆为由电导1/R_c和1/R_z构成的断线矩阵，u_p为切面p对应导体节点电压列向量；u_q为切面q对应导体节点电压列向量；

断线故障时的状态方程系数矩阵新增三行，对应输入新增两个节点并联模块微分方程各系数矩阵和一个串联模块微分方程各系数矩阵。

本发明电气化铁路AT牵引供电系统的状态空间模型建立方法，提供了全并联自耦变压器(AT)牵引供电系统详细状态空间模型的模块化建立方法，当机车移动导致牵引网拓扑结构改变时，针对不同的机车位置，只需要重新组合模块化微分方程，修改参数矩阵，实现了牵引供电系统暂态模型建立和参数修改的简单化、快速化。模块化的建模方法简化了机车位置及数量、故障点位置变化时的模型建立。此模型可以用于牵引网电磁暂态仿真、动态特性分析。

附图说明

图1归算到牵引侧的变电所等值电路图。

图2自耦变压器等值电路图。

图3串联模块等值电路图。

图4并联模块等值电路。

图5全系统等值电路图。

图6断线故障等值电路图。

图7模型建立流程图。

图8实施例1的全系统等值电路

图9供电臂末端T-R短路状态空间模型与MATLAB/Simulink仿真波形

具体实施方式

下面结合附图，对本发明的实施步骤做进一步的详述。

步骤一、计算模型原始数据,这是按常规的方式采集模型原始数据。根据电力系统和变压器短路参数和牵引网各导体型号及尺寸、空间位置，计算建模所需原始数据，包括电力系统短路阻抗和牵引变压器短路阻抗Z_S、Z_T，自耦变压器漏抗Z_at；牵引网多导体单位串联电阻矩阵，单位串联电感矩阵，单位并联电容矩阵，并获得将牵引网导体进行合并处理后(合并成6导体)的串联电阻矩阵R′，单位串联电感矩阵L′，单位并联电容矩阵C′。

步骤二、建立模块化的微分方程。包括电源模块，AT模块，串联模块，并联模块微分方程。

2.1电源模块：变电所等值电路如图1所示。电源模块状态变量为牵引侧电流i_s，其微分方程为

其中，为电源处切面对应导体节点电压列向量，上标T表示矩阵转置，us是状态方程的输入变量，

2.2 AT模块：等值电路如图2所示。状态变量为自耦变压器漏抗电流i_z，其微分方程为

其中，为AT处切面对应导体节点电压列向量，

2.3串联模块：等值电路如图3所示，串联元件是两切面j、h之间多端网络串联等效电阻R_l和电感L_l(后面统一用矩阵R和L表示)，状态变量为串联电感电流，其微分方程为

式中，是合并成6导体的串联电感电流，u_j、u_h是切面j、h对应导体节点电压列向量。

2.4并联模块：等值电路如图4所示，包括切面j并联电容C_j(后面统一用矩阵C表示)，自耦变压器上、下行并联连接线等效电阻R_e，以及钢轨对地漏泄电阻R_g。状态变量为切面j对应导体节点电压，其微分方程为：

其中有：

g_e＝1/R_e，g_g＝1/R_g；

为切面j对应的导体节点电压列向量，i_j1、i_j2为节点j相连两个多端网络串联模块电流，i_LL为负载注入电流。根据切面j并联的模块情况，决定等号右边变量i_s，i_z，i_j1、i_j2以及i_LL是否为零。

步骤三、根据变电所至分区所线路实际结构及运行状况，确定牵引网横向切割点，横向切割点可是AT并联点、机车并联点、故障点。由牵引网横向切割点，组合电源模块、AT模块、串联模块和并联模块等值电路，建立全系统等值电路，如图5所示。

步骤四、根据模块组合情况，计算微分方程中各常系数或常系数矩阵。牵引变电所等值短路阻抗Z_ST为

Z_ST＝R_ST+jωL_ST＝2Z_S+Z_T

将自耦变压器绕组电阻和漏电感折算到原边，获得R_at和L_at；计算长度为l的牵引网∏型等值电路串联电阻矩阵R_l，串联电感矩阵L_l和并联电容矩阵C_l。

步骤五、建立全系统状态空间模型。根据步骤二得出的牵引供电系统模块化的微分方程，可以构成系统状态方程

状态方程中各矩阵的确定如下。

5.1确定状态变量矩阵x。由步骤二，状态变量是牵引侧电流i_s，自耦变压器漏抗电流i_z，串联电感电流和各切面对应导体节点电压，可根据模块化等值电路组合情况，依次输入对应状态变量构成列矩阵。如可按下式组合：

x^T＝[i_s i_z1 u₁₁…u₁₆ i₁₁…i₁₆ i_z2 …u_j1…u_j6 i_j1…i_j6 … i_z(n+1)u_(n+1)1…u_(n+1)6](6)

5.2确定系数矩阵A。由状态变量矩阵x的排列顺序，以及参照步骤三，对应各状态变量x_i的微分方程系数，依次在系数矩阵A的对应行、列输入方程系数。若状态变量矩阵x是n×1列矩阵，则系数矩阵A为n×n列矩阵。A的第i行内容要与x的第i行状态变量xi对应的模块化微分方程系数有关；当变量xi的微分方程等号右边的某一项变量位于x的第k行，则在A的第i行k列位置输入该变量相关常系数矩阵。

如式(6)所示，状态变量矩阵x排列为第1行变量是电源电流i_s、第2行变量是第1台AT漏抗电流i_z1、第3—8行变量是切面1对应导体节点电压矩阵u₁、第9—14行变量是切面1与切面2之间串联电感电流矩阵i₁……，则系数矩阵A的第1行依次输入0，M₁，0，0……；第2行依次输入0，M₂，0，0……；第3—8行依次输入C^-1N_s，C^-1N_at，-C^-1(G_e+G_g)，-C^-1，0……；第9—14行依次输入0,0，L^-1，-L^-1R,0，-L^-1,0……。

式中为方便表达，串联电阻矩阵R_l，串联电感矩阵L_l和并联电容矩阵C_l统一用R、L和C表示。

5.3确定输入向量u。当牵引网空载时，输入向量则是电源电压u_s，即

u＝u_s (8)

5.4确定输入矩阵B。当牵引网空载时，输入矩阵B为

说明：当电源模块状态变量i_s位于状态变量矩阵x中的第f行时，则上式中非零元素在B中第f行。

5.5当牵引网含有机车负载时，机车负载会向该切面对应节点注入电流，此电流列向量为：

i_LL＝M₃i_L (10)

式中，i_L为机车电流，是状态方程式(5)的另一输入变量。

系统状态方程中，状态变量x会相比空载时，多出一组节点电压变量和串联电感电流变量，故系数矩阵A1如式中(10)中虚线内，对应新增节点并联模块微分方程各系数矩阵和串联模块微分方程各系数矩阵。

含有机车负载的输入向量u1和输入矩阵B1为：

式中，Q＝(C^-1M₃)^T，Q是1×6行向量，在矩阵B1中的列位置对应x中机车接入点节点电压变量位置。

5.6当考虑牵引网短路故障时，做如下处理：

等效为短路导体之间并联一短路电阻R_d。短路故障切面d下的并联模块微分方程为：

其中电流增量为：

i_d＝-M₄u_d (14)

u_d为故障点对应导体节点电压列向量，M₄为短路支路导纳矩阵，如发生上行接触线与钢轨短路故障，有：

当短路导线不同时，调整M₄的Δ位置即可。

式(7)表示的状态方程系数矩阵改为如式(16)所示A2，虚线内对应新增节点并联模块微分方程各系数矩阵和串联模块微分方程各系数矩阵。

5.7当考虑牵引网断线故障时，做如下处理：

断线导线等效为在故障点串联大电阻R_c，正常导线则等效为串联小电阻R_z。断线故障等效电阻的存在使得原牵引网增加两个新的切面p和q，如图6所示，对应导体节点电压列向量u_p和u_q。若发生断线接地故障，则在断线线路一端再并上接地电阻R_d。故障切面p、q下的并联模块微分方程为：

其中，

i_dp＝(-M₅-M₆)u_p+M₆u_q (18)

i_dq＝-M₆u_q+M₆u_p (19)

M₅为接地支路导纳矩阵，M₆为断线矩阵。以上行正馈线F1发生断线接地故障为例，设ε₁＝1/R_z，ε₂＝1/R_c，则：

当断线导线不同时，调整M₅、M₆中的Δ、ε1和ε2位置即可。

式(7)表示的状态方程系数矩阵改为如式(20)所示A3。虚线内对应新增两个节点并联模块微分方程各系数矩阵和一个串联模块微分方程各系数矩阵。

实施例1

本实施例设某高速铁路牵引变电所供电臂长度为28km，AT分别位于离变电所0km，13km和15km处。在供电臂末端发生T-R短路故障。建模过程如下：

步骤一、采集模型原始数据。设计算所得牵引变压器短路阻抗Z_T为(0.1+j5.04)欧，电力系统短路阻抗Z_S为j0.75欧；AT归算到原边的绕组电阻R_at和漏电抗X_at依次为0.1和j0.45欧；钢轨对地漏泄电阻R_g为100欧/公里；根据牵引网空间位置及型号尺寸，导线合并算法，计算将牵引网上、下行共14根导线(上下行接触线、上下行承力索、上下行正馈线、上下行保护线、上下行综合地线，以及上下行共4根钢轨)合并成6导体(上下行T线，上下行F线，以及上下行R线)的单位串联阻抗矩阵Z′，和单位并联电容矩阵C′,如下：

步骤二、建立模块化的微分方程。包括电源模块，AT模块，串联模块，并联模块微分方程。

2.1电源模块：牵引侧电流i_s为状态变量，其微分方程为

其中，为电源处切面对应导体节点电压列向量，上标T表示矩阵转置，u_s是状态方程的输入变量，

2.2 AT模块：状态变量为自耦变压器漏抗电流i_z，其微分方程为

其中，为AT处切面对应导体节点电压列向量，

2.3串联模块：状态变量为串联电感电流，其微分方程为

式中，是合并成6导体的串联电感电流，u_j、u_h是切面j、h对应导体节点电压列向量。

2.4并联模块：状态变量为切面j对应导体节点电压，其微分方程为：

其中自耦变压器上、下行并联连接线等效电阻R_e，以及钢轨对地漏泄电阻R_g。g_e＝1/R_e，g_g＝1/R_g；

为切面j对应的导体节点电压列向量，i_j1、i_j2为节点j相连两个多端网络串联模块电流，i_LL为负载注入电流。根据切面j并联的模块情况，决定等号右边变量is，i_z，i_j1、i_j2以及i_LL是否为零。

2.5当供电臂末端发生T-R短路故障时，做如下处理：短路故障等效为短路导体之间并联一短路电阻R_d(R_d设为一小电阻)。短路故障切面d下的并联模块微分方程为：

其中电流增量为：

i_d＝-M₄u_d (6)

u_d为故障点对应导体节点电压列向量，M₄为短路支路导纳矩阵，当发生上行接触线与钢轨短路故障，有：

步骤三、确定牵引网横向切割点，切割点依次为供电臂首端(AT1处)，AT2，AT3(因为故障点位于供电臂末端，因此故障点与AT3是同一个切割点)，形成三个切面。通过组合模块化等值电路，建立全系统等值电路如图8所示。其中切面1与切面2之间导体长度l₁即为AT2距离变电所距离13km，切面2与切面3之间导体长度l₂即为AT3与AT2之间距离15km：

步骤四、计算模块化等值电路对应微分方程中各常系数或常系数矩阵。

根据全系统等值电路，以及上述原始数据，计算模块化等值电路对应微分方程中各常系数或常系数矩阵。牵引变电所等值短路阻抗为Z_ST＝R_ST+jωL_ST＝2Z_S+Z_T＝0.1+j6.54(Ω)；用单位串联阻抗Z′及单位并联电容C′分别计算长度为l₁(13km)和l₂(15km)的牵引网∏型等值电路串联电阻矩阵R₁、R₂，串联电感矩阵L₁、L₂和并联电容矩阵C₁、C₂，且令C₃＝C₁+C₂。

步骤五、建立全系统状态空间模型。

状态方程中各矩阵的确定如下。

5.1确定状态变量矩阵x。根据模块化等值电路组合情况及各模块变量构成情况，依次输入对应状态变量构成列矩阵：

x^T＝[i_s i_z1 u₁₁…u₁₆ i₁₁…i₁₆ i_z2 u₂₁…u₂₆ i₂₁…i₂₆ i_z3 u₃₁…u₃₆] (8)

5.2确定系数矩阵A。式(8)中，第一行变量是电源模块变量i_s，根据式(1)，在矩阵A第1行对应列输入系数和M₁，其余为0；第2行变量是第1台AT漏抗电流i_z1，根据式(2)，在矩阵A第2行对应列输入系数和M₂，其余为0；第3—8行变量是切面1对应导体节点电压6×6矩阵u₁，根据式(4)，在矩阵A第3—8行对应列输入6×6系数矩阵 其余为0；第9—14行变量是切面1与切面2之间串联电感电流6×6矩阵i₁，根据式(3)，在矩阵A第9—14行对应列输入6×6系数矩阵其余为0；第15行变量是第2台AT漏抗电流i_z2，根据式(2)，在矩阵A第15行对应列输入系数和M₂，其余为0；第16—21行变量是切面2对应导体节点电压6×6矩阵u₂，根据式(4)，在矩阵A第16—21行对应列输入6×6系数矩阵其余为0；第22—27行变量是切面2与切面3之间串联电感电流6×6矩阵i₂，根据式(3)，在矩阵A第22—27行对应列输入6×6系数矩阵其余为0；第28行变量是第3台AT漏抗电流i_z3，根据式(2)，在矩阵A第28行对应列输入系数和M₂，其余为0；第29—34行变量是切面3对应导体节点电压6×6矩阵u₄，在该切面发生T-R短路故障，根据式(5)，在矩阵A第29—34行对应列输入6×6系数矩阵 其余为0；

5.3确定输入向量u。输入向量是电源电压u_s，即

u＝u_s (10)

5.4确定输入矩阵B。输入矩阵B为

当电源模块状态变量i_s位于状态变量矩阵x中的第1行时，则上式中非零元素在B中第1行。

至此，供电臂末端T-R短路的状态空间模型构造完毕。通过解式(7)，可得到短路后各状态变量的暂态过程。把此结果与用MATLAB/Simulink进行电磁暂态仿真的波形相比较，暂态过程一致，如图9所示变电所端口电流，证明了此建模方法的正确性。

Claims (2)

1.电气化铁路AT牵引供电系统的状态空间模型建立方法，其特征在于，建模方法包括以下步骤：

步骤一、采集模型原始数据：根据电力系统和变压器短路参数和牵引网各导体型号及尺寸、空间位置，获取建模所需原始数据，包括电力系统短路阻抗Z_S、牵引变压器短路阻抗Z_T，自耦变压器漏抗Z_at；牵引网多导体单位串联电阻矩阵，单位串联电感矩阵，单位并联电容矩阵，并获得将牵引网导体合并成6导体的串联电阻矩阵R′，单位串联电感矩阵L′，单位并联电容矩阵C′；

步骤二、建立模块化的微分方程：全并联自耦变压器AT牵引供电系统暂态数学模型的构成模块，包括对电源模块，AT模块，串联模块，并联模块建立微分方程；

步骤三、根据变电所至分区所线路实际结构及运行状况，确定牵引网横向切割点，组合电源模块、AT模块、串联模块和并联模块等值电路，建立全系统等值电路；

步骤四、根据模块组合情况，计算各微分方程中各常系数或常系数矩阵：

牵引变电所等值短路阻抗Z_ST为

Z_ST＝R_ST+jωL_ST＝2Z_S+Z_T

自耦变压器绕组电阻和漏电感折算到原边，获得R_at和L_at；计算长度为l的牵引网∏型等值电路串联电阻矩阵R_l，串联电感矩阵L_l和并联电容矩阵C_l；

步骤五、建立全系统状态空间模型；

状态方程中各矩阵的确定如下:

5.1确定状态变量矩阵x:根据模块化等值电路组合情况，依次输入对应状态变量构成列矩阵；

5.2确定系数矩阵A:由状态变量矩阵x的排列顺序，对应各状态变量x_i的微分方程系数，依次在系数矩阵A的对应行、列输入方程系数,若状态变量矩阵x是n×1列矩阵，则系数矩阵A为n×n列矩阵；A的第i行内容要与x的第i行状态变量x_i对应的微分方程系数有关；当变量x_i的微分方程等号右边的某一项变量位于x的第k行，则在A的第i行k列位置输入该变量相关常系数矩阵；

5.3确定输入向量u:当牵引网空载时，输入向量为电源电压u_s，即u＝u_s；

5.4确定输入矩阵B:当牵引网空载时，输入矩阵B为

其中：当电源模块状态变量i_s位于状态变量矩阵x中的第f行时，则上式中非零元素在B中第f行；

5.5当牵引网含有机车负载时，机车负载会向机车所在切面对应节点注入电流i_LL为：

i_LL＝M₃i_L

式中，i_L为机车电流，是状态方程式的另一输入变量；

含有机车负载的输入向量u1和输入矩阵B1为：

式中，Q＝(C^-1M₃)^T，在矩阵B1中的列位置对应x中机车接入点节点电压变量位置；C为机车所在切面对应的并联电容矩阵；

含有机车负载的系统状态方程中，系数矩阵对比与空载时要新增两行，对应输入机车所在切面下的并联模块微分方程各系数矩阵和串联模块微分方程各系数矩阵；

5.6对牵引网短路故障和牵引网断线故障作处理。

2.根据权利要求1所述的电气化铁路AT牵引供电系统的状态空间模型建立方法，其特征在于，所述步骤五5.6中对牵引网短路故障和牵引网断线故障作处理具体过程如下：

1)当考虑牵引网短路故障时，作如下处理：

等效为短路导体之间并联一短路电阻R_d，短路故障切面d下的并联模块微分方程为：

其中电流增量i_d为：

i_d＝-M₄u_d

u_d为故障点对应导体节点电压列向量，i_jc为并联模块注入节点的电流列向量，不包括短路电流，G_g为钢轨对地漏泄电导1/R_g构成的电导矩阵，M₄为由短路电导1/R_d构成的短路支路导纳矩阵；C″为短路点所在切面对应的并联电容矩阵；

短路时的状态方程系数矩阵新增两行，对应输入短路故障切面d下的并联模块微分方程各系数矩阵和串联模块微分方程各系数矩阵；

2)当考虑牵引网断线故障时，做如下处理：

断线导线等效为在故障点串联大电阻R_c，正常导线则等效为串联小电阻R_z；断线故障等效电阻的存在使得原牵引网增加两个新的切面p和q，故障切面p、q下的并联模块微分方程为：

其中，

i_dp＝(-M₅-M₆)u_p+M₆u_q

i_dq＝-M₆u_q+M₆u_p

M₅为由接地电导1/R_d构成的接地支路导纳矩阵，M₆为由电导1/R_c和1/R_z构成的断线矩阵，u_p为切面p对应导体节点电压列向量；u_q为切面q对应导体节点电压列向量；

断线故障时的状态方程系数矩阵新增三行，对应输入新增两个节点并联模块微分方程各系数矩阵和一个串联模块微分方程各系数矩阵。