CN105958515A - 电力系统混沌振荡的固定时动态面高阶滑模抑制方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开一种电力系统混沌振荡的固定时动态面高阶滑模控制方法，包括：(1)确定需要补偿的电力系统无功功率；(2)建立电流源型静止同步补偿控制器的数学模型，确定电流源型静止同步补偿控制器的输出及参考值；(3)确定控制目标值：输出能在有限时间内到达其参考值任意小的邻域内，而且该收敛时间的上界不依赖于初值；(4)设计固定时动态面高阶滑模面及控制律，实现控制目标；(5)根据李雅普诺夫函数稳定性分析，确定所设计的控制律的控制参数。本发明方法能够使系统在任何初始运行条件下，均能在预定的时间内实现系统稳定，并且克服了抖振现象，获得更好的暂态响应，加快了收敛速度，提高电力系统的稳定性。

Description

电力系统混沌振荡的固定时动态面高阶滑模抑制方法

技术领域

本发明属于电气工程领域，特别涉及一种电力系统混沌振荡的有限时抑制方法。

背景技术

电力系统，作为一种复杂的非线性动力学系统，具有丰富的非线性动力学行为。随着用电负荷的不断增长，现代电力系统更有可能运行在稳定域边界附近，在系统遭受外界扰动时，就会发生混沌振荡现象。混沌振荡破坏电力系统稳定性，造成功角失稳，频率振荡和电压崩溃，甚至诱发大面积停电事故。因此为了保障电力系统安全稳定运行，需要研究电力系统混沌振荡的控制方法。

混沌振荡是电压崩溃的一种重要的动态机理。为了抑制混沌振荡，避免电压崩溃，需要对电力系统进行无功补偿。既有电力系统混沌振荡抑制方法存在的问题主要有：1.所提出的控制方案无法实现有限时收敛，从电力系统运行的角度来说，只有能够在有限时抑制的振荡才是可接受的振荡；2.所提出的控制方案主要使用静止无功补偿器来补偿多余的无功功率。

在电力系统中，静止同步补偿器是另一种可以补偿无功功率的FACTS装置。同静止无功补偿器相比,静止同步补偿器能够实现更好的控制效果，并能提供更好的振荡阻尼。目前为止，还缺少报道使用静止同步补偿器抑制电力系统混沌振荡的控制方法。静止同步补偿器主要分为基于电压源变换器拓扑的(电压源型静止同步补偿器)和基于电流源变换器拓扑的(电流源型静止同步补偿器)。其中，基于电流源变换器拓扑的静止同步补偿器在各种性能指标上优于基于电压源变换器拓扑的静止同步补偿器。

由于切换操作，电力变换器可以认为是一种变结构的系统。作为一种变结构控制，滑模控制非常适合于设计不同的电力变换器切换方案。滑模控制具有对于外部干扰和参数摄动的鲁棒性的优势。然而，一阶滑模控制具有抖振现象，这将降低控制精度，使暂态响应变差，增加控制能耗，损坏设备，造成系统失稳。

电力系统混沌振荡破坏电力系统稳定性，损坏电气设备，需要在尽可能短的时间内得以有效抑制。有限时稳定控制能够实现快速的收敛。然而，有限时控制的收敛时间依赖于系统的初值。事实上，在电力系统中，系统的运行点不断变化，初值难以获得，因此收敛时间无法确定，而电力系统运行要求振荡必须在规定的时间内稳定，这给控制器的设计带来麻烦。

由于上述控制方法均存在问题，因此需要针对电流源型静止同步补偿器设计一种新的控制方法，使得电力系统混沌振荡在不依赖于初值的有限时间内得到抑制，并克服控制过程中出现的抖振现象。

发明内容

本发明的目的在于提供一种电力系统混沌振荡的固定时动态面高阶滑模抑制方法，以克服现有控制方法存在的不足；使得电力系统混沌振荡在不依赖于初值的有限时间内得到抑制，并克服控制过程中出现的抖振现象。

为了实现上述目的，本发明采用如下技术方案：

一种电力系统混沌振荡的固定时动态面高阶滑模控制方法，包括：

(1)根据发生混沌振荡时的无功负荷和将电力系统电压稳定到理想值V_d＝1对应的无功负荷之间的差值，确定需要补偿的电力系统无功功率；

(2)建立电流源型静止同步补偿控制器的数学模型，确定电流源型静止同步补偿控制器的输出，确定各输出量的参考值；

(3)确定控制目标：电流源型静止同步补偿控制器的输出能在有限时间内到达其参考值任意小的邻域内，而且该收敛时间的上界不依赖于初值；

(4)设计固定时动态面高阶滑模面及控制律，实现控制目标；

(5)根据李雅普诺夫函数稳定性分析，确定所设计的控制律的控制参数。

进一步的，步骤(2)中电流源型静止同步补偿控制器的数学模型为：

$\left\{\begin{array}{c}\frac{{\mathrm{dI}}_{dc}^2}{dt}=-\frac{2R_{dc}}{L_{dc}}{I}_{dc}^2-\frac{3E_d}{L_{dc}n}{I}_d\\ \frac{{\mathrm{dI}}_d}{dt}=-\frac{R}{L}{I}_d+{\mathrm{\ωI}}_q-\frac{1}{L}\frac{E_d}{n}+\frac{1}{L}{V}_d\\ \frac{{\mathrm{dV}}_d}{dt}=-\frac{1}{C}{I}_d+{\mathrm{\ωV}}_q+\frac{1}{C}{M}_d{I}_{dc}\\ \frac{{\mathrm{dI}}_q}{dt}=-{\mathrm{\ωI}}_d-\frac{R}{L}{I}_q+\frac{1}{L}{V}_q\\ \frac{{\mathrm{dV}}_q}{dt}=-\frac{1}{C}{I}_q-{\mathrm{\ωV}}_d+\frac{1}{C}{M}_q{I}_{dc}\end{array}\right.---\left(1\right)$

其中，I_dc表示dc侧电流，R_dc表示电流源变换器切换和传导电阻，L_dc为平波电抗器的电感，M_d和M_q为控制输入，V_d和V_q为滤波电容器两端电压的d轴和q轴分量；n为变换器变比；I_d和I_q表示变换器二次侧电流的d轴和q轴分量；ω是转子角速度；L和R表示变换器的电感和电阻；E_d表示线电压的d轴分量；C为滤波电容器的电容。电流源型静止同步补偿控制器的输出为I_dc和I_q；

步骤(2)中输出参考值的选择：给定I_dc的参考值I_dcref，输出I_q参考值根据下式确定：

$I_{qref}=\frac{Q_1-Q_2}{\frac{3}{2}{E}_d}---\left(2\right)$

式中Q₁为发生混沌振荡的无功负荷值，Q₂为使电力系统恢复理想电压V_d＝1对应的无功负荷值。

进一步的，步骤(4)中所设计的滑模面为：

${\mathrm{\σ}}_1=I_{dc}^2-I_{dcref}^2---\left(3\right)$

σ₂＝I_q-I_qref (4)

关于σ₁的三阶滑模控制器等价于下面的系统：

$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\·}{x_1}=x_2\\ \stackrel{\·}{x_2}=x_3\\ \stackrel{\·}{x_3}=f_1\left(x\right)+g_1\left(x\right)u_1\end{array}\right.---\left(5\right)$

式中：

x₁＝σ₁,u₁＝M_dI_dc

$\begin{array}{c}{f}_1\left(x\right)=-\frac{8R_{dc}^3}{L_{dc}^3}{I}_{dc}^2-(\frac{12R_{dc}^2{E}_d}{L_{dc}^{3}n}+\frac{6R_{dc}{E}_{d}R}{L_{dc}^{2}Ln}+\frac{3E_d{R}^2}{L^2{L}_{dc}n}-\frac{3E_d{\mathrm{\ω}}^2}{L_{dc}n}-\frac{3E_d}{{\mathrm{CLL}}_{dc}n})I_d\\ +(\frac{6R_{dc}{E}_d\mathrm{\ω}}{L_{dc}^{2}n}+\frac{3E_{d}R\mathrm{\ω}}{{\mathrm{LL}}_{dc}n}+\frac{3E_d\mathrm{\ω}R}{{\mathrm{LL}}_{dc}n})I_q-(\frac{6R_{dc}}{L_{dc}^{2}L}+\frac{3R}{L^2{L}_{dc}}){\left(\frac{E_d}{n}\right)}^2\\ +(\frac{6R_{dc}{E}_d}{L_{dc}^{2}Ln}+\frac{3E_{d}R}{L^2{L}_{dc}n})V_d-\frac{6E_d\mathrm{\ω}}{L_{dc}nL}{V}_q\end{array}$

$g_1\left(x\right)=-\frac{3E_d}{{\mathrm{CLL}}_{dc}n}$

关于σ₂二阶滑模控制器等价于下面的系统：

$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\·}{x_4}=x_5\\ \stackrel{\·}{x_5}=f_2\left(x\right)+g_2\left(x\right)u_2\end{array}\right.---\left(6\right)$

式中：

x₄＝σ₂,u₂＝M_qI_dc

$f_2\left(x\right)=2\frac{\mathrm{\ω}R}{L}{I}_d+(\frac{R^2}{L^2}-{\mathrm{\ω}}^2-\frac{1}{LC})I_q+\frac{\mathrm{\ω}}{L}\frac{E_d}{n}-2\frac{\mathrm{\ω}}{L}{V}_d-\frac{R}{L^2}{V}_q$

$g_2\left(x\right)=\frac{1}{LC}$

对于三阶滑模系统(5)设计固定时动态面高阶滑模控制律：

$\begin{array}{c}{u}_1=\frac{1}{g_1\left(x\right)}(-f_1\left(x\right)-{\mathrm{\α}}_3|e_3{|}^{\frac{m}{n}}sign\left(e_3\right)-{\mathrm{\β}}_3|e_3{|}^{\frac{n}{m}}sign\left(e_3\right)\\ -\frac{|{\mathrm{\ϵ}}_2-x_3^{*}{|}^{\frac{m}{n}}sign({\mathrm{\ϵ}}_2-x_3^{*})+|{\mathrm{\ϵ}}_2-x_3^{*}{|}^{\frac{n}{m}}sign({\mathrm{\ϵ}}_2-x_3^{*})}{{\mathrm{\τ}}_2})\end{array}---\left(15\right)$

对于二阶滑模系统(6)设计固定时动态面高阶滑模控制律：

$\begin{array}{c}{u}_2=\frac{1}{g_2\left(x\right)}(-f_2\left(x\right)-{\mathrm{\α}}_2^{\′}|e_5{|}^{\frac{m}{n}}sign\left(e_5\right)-{\mathrm{\β}}_2^{\′}|e_5{|}^{\frac{n}{m}}sign\left(e_5\right)\\ -\frac{|{\mathrm{\ϵ}}_4-x_5^{*}{|}^{\frac{m}{n}}sign({\mathrm{\ϵ}}_4-x_5^{*})+|{\mathrm{\ϵ}}_4-x_5^{*}{|}^{\frac{n}{m}}sign({\mathrm{\ϵ}}_4-x_5^{*})}{{\mathrm{\τ}}_4})\end{array}---\left(20\right)$

控制律(15)中α₃，β₃，τ₂,m,n为待设计的控制参数；e₃＝x₃-ε₂，其中新变量ε₂的动态满足：

${\mathrm{\τ}}_2\stackrel{\·}{{\mathrm{\ϵ}}_2}=-|{\mathrm{\ϵ}}_2-x_3^{*}{|}^{\frac{m}{n}}sign({\mathrm{\ϵ}}_2-x_3^{*})-|{\mathrm{\ϵ}}_2-x_3^{*}{|}^{\frac{n}{m}}sign({\mathrm{\ϵ}}_2-x_3^{*}),{\mathrm{\ϵ}}_2\left(0\right)=x_3^{*}\left(0\right)---\left(13\right)$

式中虚拟控制律设计为:

$\begin{array}{c}{x}_3^{*}=-{\mathrm{\α}}_2|e_2{|}^{\frac{m}{n}}sign\left(e_2\right)-{\mathrm{\β}}_2|e_2{|}^{\frac{n}{m}}sign\left(e_2\right)+\stackrel{\·}{{\mathrm{\ϵ}}_1}\\ =-{\mathrm{\α}}_2|e_2{|}^{\frac{m}{n}}sign\left(e_2\right)-{\mathrm{\β}}_2|e_2{|}^{\frac{n}{m}}sign\left(e_2\right)-\frac{|{\mathrm{\ϵ}}_1-x_2^{*}{|}^{\frac{m}{n}}sign({\mathrm{\ϵ}}_1-x_2^{*})+|{\mathrm{\ϵ}}_1-x_2^{*}{|}^{\frac{n}{m}}sign({\mathrm{\ϵ}}_1-x_2^{*})}{{\mathrm{\τ}}_1}\end{array}---\left(12\right)$

式中，α₂，β₂和τ₁为待设计的控制参数，e₂＝x₂-ε₁，ε₁的动态满足：

${\mathrm{\τ}}_1\stackrel{\·}{{\mathrm{\ϵ}}_1}=-|{\mathrm{\ϵ}}_1-x_2^{*}{|}^{\frac{m}{n}}sign({\mathrm{\ϵ}}_1-x_2^{*})-|{\mathrm{\ϵ}}_1-x_2^{*}{|}^{\frac{n}{m}}sign({\mathrm{\ϵ}}_1-x_2^{*}),{\mathrm{\ϵ}}_1\left(0\right)=x_2^{*}\left(0\right)---\left(9\right)$

式中，虚拟控制律设计为:

$x_2^{*}=-{\mathrm{\α}}_1|x_1{|}^{\frac{m}{n}}sign\left(x_1\right)-{\mathrm{\β}}_1|x_1{|}^{\frac{n}{m}}sign\left(x_1\right)---\left(8\right)$

式中，α₁，β₁为待设计的控制参数；

控制律(20)中α'₂，β'₂，τ₄，m,n为待设计的控制参数，e₅＝x₅-ε₄，其中新变量ε₄的动态满足：

${\mathrm{\τ}}_4\stackrel{\·}{{\mathrm{\ϵ}}_4}=-|{\mathrm{\ϵ}}_4-x_5^{*}{|}^{\frac{m}{n}}sign({\mathrm{\ϵ}}_4-x_5^{*})-|{\mathrm{\ϵ}}_4-x_5^{*}{|}^{\frac{n}{m}}sign({\mathrm{\ϵ}}_4-x_5^{*}),{\mathrm{\ϵ}}_4\left(0\right)=x_5^{*}\left(0\right)---\left(18\right)$

式中，虚拟控制律设计为:

$x_5^{*}=-{\mathrm{\α}}_1^{\′}|x_4{|}^{\frac{m}{n}}sign\left(x_4\right)-{\mathrm{\β}}_1^{\′}|x_4{|}^{\frac{n}{m}}sign\left(x_4\right)---\left(17\right)$

式中，α'₁，β'₁为待设计的控制参数。

进一步的，步骤(5)中三阶滑模系统(5)的控制参数的选择使得以下不等式成立：

β₃>0,

其中参数γ₁，λ₁，γ₂，λ₂，η₂，η₃为任意的正实数；m和n为正奇整数，且满足m>n和(m+n)/2为正奇整数；

步骤(5)中二阶滑模系统(6)的控制参数的选择使得以下不等式成立：

β'₂>0,

其中参数γ₄，λ₄和η₅为任意的正实数；m和n为正奇整数，且满足m>n和(m+n)/2为正奇整数。

进一步的，还包括以下步骤：(6)采用步骤(5)确定的三阶滑模系统(5)的控制参数和二阶滑模系统(6)的控制参数对电流源型静止同步补偿控制器实施控制，对电力系统进行无功补偿，抑制电力系统的混沌振荡。

相对于现有技术，本发明的创新性体现在以下三个方面：

(a)、本发明通过设计电流源型静止同步补偿控制器，达到抑制电力系统混沌振荡的目的；

(b)、本发明根据固定时稳定性理论，结合动态面控制和高阶滑模控制，设计固定时动态面高阶滑模控制律调节电流源型静止同步补偿器的输出，使其产生抑制混沌振荡所需的无功功率，保证在任何初始条件下，均能在有限时间内抑制电力系统混沌振荡，并能克服控制过程中出现的抖振现象；

(c)、本发明提供确定固定时动态面高阶滑模控制律参数的方法。

相对于现有技术，本发明具有以下有益效果：

本发明方法通过控制电流源型静止同步补偿控制器，达到抑制电力系统混沌振荡的目的，并能够实现在不依赖于初值的有限时间内使系统稳定，而且在控制过程中不出现抖振现象；本发明所提出的固定时动态面高阶滑模控制方法，能够使系统在任何初始运行条件下，均能在预定的时间内实现系统稳定，并且克服了抖振现象，获得更好的暂态响应，加快了收敛速度，提高电力系统的稳定性。

附图说明

下面结合附图对本发明进一步说明。

图1是本发明所采用电流源型静止同步补偿控制器的结构图。

图2是本发明的实施例中三母线被控电力系统示意图。

图3是本发明的实施例中三母线电力系统混沌振荡的时间响应图。

图4是本发明提供的一种电力系统混沌振荡的固定时动态面高阶滑模抑制方法的流程图。

图5是本发明实施例中电流源型静止同步补偿控制器各状态变量的时间响应图。

图6是本发明实施例中电力系统各状态变量的时间响应图。

图7是本发明实施例中收敛时间随初始值的对数变化的关系图。

图8是本发明实施例中滑模面的时间响应图。

具体实施方式

为了使本发明的目的、技术方案及优点更加清楚明白，以下结合附图及实施例对本发明作进一步详细描述，本发明提供的实施例不用于限定发明。

在电力系统中，静止同步补偿器是另一种可以补偿无功功率的FACTS装置。同静止无功补偿器相比,静止同步补偿器能够实现更好的控制效果，并能提供更好的振荡阻尼。目前为止，还缺少报道使用静止同步补偿器抑制电力系统混沌振荡的控制方法。静止同步补偿器主要分为基于电压源变换器拓扑的(电压源型静止同步补偿器)和基于电流源变换器拓扑的(电流源型静止同步补偿器)。其中，基于电压源变换器拓扑的静止同步补偿器会造成大的谐波电压和谐波电流。基于电流源变换器拓扑的静止同步补偿器可以克服基于电压源变换器结构的缺点。它可以通过可控的交流电流输出提供无功功率补偿。因此，本发明针对电流源型静止同步补偿器设计控制方案来提供充足的无功功率使得混沌振荡可以得到有效的抑制，并且能够稳定电力系统电压。

请参阅图1至图8所示，本发明提供一种电力系统混沌振荡的固定时动态面高阶滑模抑制方法，包括以下步骤：

(1)根据发生混沌振荡时的无功负荷和将电力系统电压稳定到理想值V_d＝1对应的无功负荷之间的差值，确定需要补偿的电力系统无功功率。需要补偿的电力系统无功功率计算：设发生混沌振荡的无功负荷值为Q₁，使电力系统恢复理想电压V_d＝1对应的无功负荷值为Q₂，需要补偿的无功功率值为Q₁-Q₂。

(2)建立电流源型静止同步补偿控制器的数学模型，确定系统的输出，确定各输出量的参考值。电流源型静止同步补偿控制器的结构图如图1所示，图1中，C为滤波电容器，L_dc为平波电抗器，R_dc为电流源变换器切换和传导电阻，e_a,e_b,e_c为线电压(dq坐标系下转化为[E_d,0])，i_a,i_b,i_c为变换器二次侧电流(dq坐标系下转化为[I_d,I_q])，v_a,v_b,v_c为滤波电容器两端电压(dq坐标系下转化为[V_d,V_q])，i_ia,i_ib,i_ic为电流源变换器终端电流，E_s,R_s,L_s分别表示送端电源电压，送端与电流源型静止同步补偿器之间输电线电阻和电感，E_r,R_r,L_r分别表示受端电源电压，受端与电流源型静止同步补偿器之间输电线电阻和电感，T为变比为n的电流源变换器，I_dc表示dc侧电流。根据图1，电流源型静止同步补偿控制器的数学模型的建立：

$\left\{\begin{array}{c}\frac{{\mathrm{dI}}_{dc}^2}{dt}=-\frac{2R_{dc}}{L_{dc}}{I}_{dc}^2-\frac{3E_d}{L_{dc}n}{I}_d\\ \frac{{\mathrm{dI}}_d}{dt}=-\frac{R}{L}{I}_d+{\mathrm{\ωI}}_q-\frac{1}{L}\frac{E_d}{n}+\frac{1}{L}{V}_d\\ \frac{{\mathrm{dV}}_d}{dt}=-\frac{1}{C}{I}_d+{\mathrm{\ωV}}_q+\frac{1}{C}{M}_d{I}_{dc}\\ \frac{{\mathrm{dI}}_q}{dt}=-{\mathrm{\ωI}}_d-\frac{R}{L}{I}_q+\frac{1}{L}{V}_q\\ \frac{{\mathrm{dV}}_q}{dt}=-\frac{1}{C}{I}_q-{\mathrm{\ωV}}_d+\frac{1}{C}{M}_q{I}_{dc}\end{array}\right.---\left(1\right)$

其中，I_dc表示dc侧电流，R_dc表示电流源变换器切换和传导电阻，L_dc为平波电抗器的电感，M_d和M_q为控制输入，V_d和V_q为滤波电容器两端电压的d轴和q轴分量；n为变换器变比；I_d和I_q表示变换器二次侧电流的d轴和q轴分量；ω是转子角速度；L和R表示变换器的电感和电阻；E_d表示线电压的d轴分量；C为滤波电容器的电容。电流源型静止同步补偿控制器的输出为I_dc和I_q。

输出参考值的选择：给定I_dc的参考值I_dcref，输出I_q参考值根据下式确定：

$I_{qref}=\frac{Q_1-Q_2}{\frac{3}{2}{E}_d}---\left(2\right)$

式中Q₁为发生混沌振荡的无功负荷值，Q₂为使电力系统恢复理想电压V_d＝1对应的无功负荷值。

(3)实现控制目标的确定：电流源型静止同步补偿控制器的输出I_dc和I_q在有限时间内到达其参考值任意小的邻域内，而且该收敛时间的上界不依赖于初值。

(4)设计固定时动态面高阶滑模面及控制律，实现控制目标。首先，根据控制目标设计滑模面：

${\mathrm{\σ}}_1=I_{dc}^2-I_{dcref}^2---\left(3\right)$

σ₂＝I_q-I_qref (4)

注意到滑动变量σ₁关于控制输入的相对阶数为3；因此，设计三阶滑模控制器来稳定σ₁。

关于σ₁的三阶滑模控制器等价于下面的系统：

$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\·}{x_1}=x_2\\ \stackrel{\·}{x_2}=x_3\\ \stackrel{\·}{x_3}=f_1\left(x\right)+g_1\left(x\right)u_1\end{array}\right.---\left(5\right)$

式中：

x₁＝σ₁,u₁＝M_dI_dc

$\begin{array}{c}{f}_1\left(x\right)=-\frac{8R_{dc}^3}{L_{dc}^3}{I}_{dc}^2-(\frac{12R_{dc}^2{E}_d}{L_{dc}^{3}n}+\frac{6R_{dc}{E}_{d}R}{L_{dc}^{2}Ln}+\frac{3E_d{R}^2}{L^2{L}_{dc}n}-\frac{3E_d{\mathrm{\ω}}^2}{L_{dc}n}-\frac{3E_d}{{\mathrm{CLL}}_{dc}n})I_d\\ +(\frac{6R_{dc}{E}_d\mathrm{\ω}}{L_{dc}^{2}n}+\frac{3E_{d}R\mathrm{\ω}}{{\mathrm{LL}}_{dc}n}+\frac{3E_d\mathrm{\ω}R}{{\mathrm{LL}}_{dc}n})I_q-(\frac{6R_{dc}}{L_{dc}^{2}L}+\frac{3R}{L^2{L}_{dc}}){\left(\frac{E_d}{n}\right)}^2\\ +(\frac{6R_{dc}{E}_d}{L_{dc}^{2}Ln}+\frac{3E_{d}R}{L^2{L}_{dc}n})V_d-\frac{6E_d\mathrm{\ω}}{L_{dc}nL}{V}_q\end{array}$

$g_1\left(x\right)=-\frac{3E_d}{{\mathrm{CLL}}_{dc}n}$

注意到滑动变量σ₂关于控制输入的相对阶数为2；因此设计二阶滑模控制器来稳定σ₂。关于σ₂的二阶滑模控制器等价于下面的系统：

$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\·}{x_4}=x_5\\ \stackrel{\·}{x_5}=f_2\left(x\right)+g_2\left(x\right)u_2\end{array}\right.---\left(6\right)$

式中：

x₄＝σ₂,u₂＝M_qI_dc

$f_2\left(x\right)=2\frac{\mathrm{\ω}R}{L}{I}_d+(\frac{R^2}{L^2}-{\mathrm{\ω}}^2-\frac{1}{LC})I_q+\frac{\mathrm{\ω}}{L}\frac{E_d}{n}-2\frac{\mathrm{\ω}}{L}{V}_d-\frac{R}{L^2}{V}_q$

$g_2\left(x\right)=\frac{1}{LC}$

接下来，对于三阶滑模系统(5)设计固定时动态面高阶滑模控制律：

第一步：考虑三阶滑模系统(5)的第一个方程。为了实现状态变量x₁的固定时稳定性，状态变量x₁的动态可以构造为：

$\stackrel{\·}{x_1}=-{\mathrm{\α}}_1|x_1{|}^{\frac{m}{n}}sign\left(x_1\right)-{\mathrm{\β}}_1|x_1{|}^{\frac{n}{m}}sign\left(x_1\right)---\left(7\right)$

式中α₁，β₁，m和n为待设计的控制参数。

选择如下的虚拟控制:

$x_2^{*}=-{\mathrm{\α}}_1|x_1{|}^{\frac{m}{n}}sign\left(x_1\right)-{\mathrm{\β}}_1|x_1{|}^{\frac{n}{m}}sign\left(x_1\right)---\left(8\right)$

引入一个新的状态变量ε₁，则新状态变量的动态满足：

${\mathrm{\τ}}_1\stackrel{\·}{{\mathrm{\ϵ}}_1}=-|{\mathrm{\ϵ}}_1-x_2^{*}{|}^{\frac{m}{n}}sign({\mathrm{\ϵ}}_1-x_2^{*})-|{\mathrm{\ϵ}}_1-x_2^{*}{|}^{\frac{n}{m}}sign({\mathrm{\ϵ}}_1-x_2^{*}),{\mathrm{\ϵ}}_1\left(0\right)=x_2^{*}\left(0\right)---\left(9\right)$

式中τ₁为待设计的控制参数。

第二步：考虑三阶滑模系统(5)的第二个方程，令

e₂＝x₂-ε₁ (10)

设计虚拟控制律使得误差变量e₂的动态满足：

$\stackrel{\·}{e_2}=\stackrel{\·}{x_2}-\stackrel{\·}{{\mathrm{\ϵ}}_1}=-{\mathrm{\α}}_2|e_2{|}^{\frac{m}{n}}sign\left(e_2\right)-{\mathrm{\β}}_2|e_2{|}^{\frac{n}{m}}sign\left(e_2\right)---\left(11\right)$

式中α₂和β₂为待设计的控制参数。

虚拟控制量可以得到：

$\begin{array}{c}{x}_3^{*}=-{\mathrm{\α}}_2|e_2{|}^{\frac{m}{n}}sign\left(e_2\right)-{\mathrm{\β}}_2|e_2{|}^{\frac{n}{m}}sign\left(e_2\right)+\stackrel{\·}{{\mathrm{\ϵ}}_1}\\ =-{\mathrm{\α}}_2|e_2{|}^{\frac{m}{n}}sign\left(e_2\right)-{\mathrm{\β}}_2|e_2{|}^{\frac{n}{m}}sign\left(e_2\right)-\frac{|{\mathrm{\ϵ}}_1-x_2^{*}{|}^{\frac{m}{n}}sign({\mathrm{\ϵ}}_1-x_2^{*})+|{\mathrm{\ϵ}}_1-x_2^{*}{|}^{\frac{n}{m}}sign({\mathrm{\ϵ}}_1-x_2^{*})}{{\mathrm{\τ}}_1}\end{array}---\left(12\right)$

引入一个新的状态变量ε₂，则新状态变量的动态满足：

${\mathrm{\τ}}_2\stackrel{\·}{{\mathrm{\ϵ}}_2}=-|{\mathrm{\ϵ}}_2-x_3^{*}{|}^{\frac{m}{n}}sign({\mathrm{\ϵ}}_2-x_3^{*})-|{\mathrm{\ϵ}}_2-x_3^{*}{|}^{\frac{n}{m}}sign({\mathrm{\ϵ}}_2-x_3^{*}),{\mathrm{\ϵ}}_2\left(0\right)=x_3^{*}\left(0\right)---\left(13\right)$

式中τ₂为待设计的控制参数。

第三步：考虑三阶滑模系统(5)的第三个方程，令

e₃＝x₃-ε₂ (14)

设计真实的系统控制律：

$\begin{array}{c}{u}_1=\frac{1}{g_1\left(x\right)}(-f_1\left(x\right)-{\mathrm{\α}}_3|e_3{|}^{\frac{m}{n}}sign\left(e_3\right)-{\mathrm{\β}}_3|e_3{|}^{\frac{n}{m}}sign\left(e_3\right)\\ -\frac{|{\mathrm{\ϵ}}_2-x_3^{*}{|}^{\frac{m}{n}}sign({\mathrm{\ϵ}}_2-x_3^{*})+|{\mathrm{\ϵ}}_2-x_3^{*}{|}^{\frac{n}{m}}sign({\mathrm{\ϵ}}_2-x_3^{*})}{{\mathrm{\τ}}_2})\end{array}---\left(15\right)$

式中α₃和β₃为待设计的控制参数。

最后，对于二阶滑模系统(6)设计固定时动态面高阶滑模控制律：

第一步：考虑二阶滑模系统(6)的第一个方程。为了实现状态变量x₄的固定时稳定性，状态变量x₄的动态可以构造为：

$\stackrel{\·}{x_4}=-{\mathrm{\α}}_1^{\′}|x_4{|}^{\frac{m}{n}}sign\left(x_4\right)-{\mathrm{\β}}_1^{\′}|x_4{|}^{\frac{n}{m}}sign\left(x_4\right)---\left(16\right)$

式中α'₁，β'₁，m和n为待设计的控制参数。

选择如下的虚拟控制:

$x_5^{*}=-{\mathrm{\α}}_1^{\′}|x_4{|}^{\frac{m}{n}}sign\left(x_4\right)-{\mathrm{\β}}_1^{\′}|x_4{|}^{\frac{n}{m}}sign\left(x_4\right)---\left(17\right)$

引入一个新的状态变量ε₄，则新状态变量的动态满足：

${\mathrm{\τ}}_4\stackrel{\·}{{\mathrm{\ϵ}}_4}=-|{\mathrm{\ϵ}}_4-x_5^{*}{|}^{\frac{m}{n}}sign({\mathrm{\ϵ}}_4-x_5^{*})-|{\mathrm{\ϵ}}_4-x_5^{*}{|}^{\frac{n}{m}}sign({\mathrm{\ϵ}}_4-x_5^{*}),{\mathrm{\ϵ}}_4\left(0\right)=x_5^{*}\left(0\right)---\left(18\right)$

式中τ₄为待设计的控制参数。

第二步：考虑二阶滑模系统(6)的第二个方程，令

e₅＝x₅-ε₄ (19)

设计真实的系统控制律：

$\begin{array}{c}{u}_2=\frac{1}{g_2\left(x\right)}(-f_2\left(x\right)-{\mathrm{\α}}_2^{\′}|e_5{|}^{\frac{m}{n}}sign\left(e_5\right)-{\mathrm{\β}}_2^{\′}|e_5{|}^{\frac{n}{m}}sign\left(e_5\right)\\ -\frac{|{\mathrm{\ϵ}}_4-x_5^{*}{|}^{\frac{m}{n}}sign({\mathrm{\ϵ}}_4-x_5^{*})+|{\mathrm{\ϵ}}_4-x_5^{*}{|}^{\frac{n}{m}}sign({\mathrm{\ϵ}}_4-x_5^{*})}{{\mathrm{\τ}}_4})\end{array}---\left(20\right)$

式中α'₂和β'₂为待设计的控制参数。

(5)根据李雅普诺夫函数稳定性分析，为所设计的控制律设计控制参数。首先引入下述引理：

引理1:对于每个正实数a,b,c和满足条件1/p+1/q＝1的正实数p,q,如下的不等式成立：

$ab\≤c^p\frac{a^p}{p}+c^{-q}\frac{b^q}{q}---\left(21\right)$

引理2:对于任何非负实数ξ₁,ξ₂,...,ξ_n和0<p≤1,如下的不等式成立：

$\underset{i=1}{\overset{n}{\&Sigma;}}{\mathrm{\&xi;}}_i^p\&GreaterEqual;{\left(\underset{i=1}{\overset{n}{\&Sigma;}}{\mathrm{\&xi;}}_i\right)}^p---\left(22\right)$

引理3:对于任何非负实数ξ₁,ξ₂,...,ξ_n和p>1,如下的不等式成立:

$\underset{i=1}{\overset{n}{\&Sigma;}}{\mathrm{\&xi;}}_i^p\&GreaterEqual;n^{1-p}{\left(\underset{i=1}{\overset{n}{\&Sigma;}}{\mathrm{\&xi;}}_i\right)}^p---\left(23\right)$

接下来，定义如下的误差变量：

$\left\{\begin{array}{c}{y}_2={\mathrm{\&epsiv;}}_1-x_2^{*}\\ y_3={\mathrm{\&epsiv;}}_2-x_3^{*}\\ y_5={\mathrm{\&epsiv;}}_4-x_5^{*}\end{array}\right.---\left(24\right)$

状态变量x₁，x₄误差变量e₂，y₂，e₃，y₃，e₅，y₅的导数可以表示为：

$\stackrel{\&CenterDot;}{x_1}=x_2=e_2+{\mathrm{\&epsiv;}}_1=e_2+x_2^{*}+y_2=e_2+y_2-{\mathrm{\&alpha;}}_1|x_1{|}^{\frac{m}{n}}sign\left(x_1\right)-{\mathrm{\&beta;}}_1|x_1{|}^{\frac{n}{m}}sign\left(x_1\right)---\left(25\right)$

$\begin{array}{c}\stackrel{\&CenterDot;}{y_2}=\stackrel{\&CenterDot;}{{\mathrm{\&epsiv;}}_1}-\stackrel{\&CenterDot;}{x_2^{*}}=\frac{-|{\mathrm{\&epsiv;}}_1-x_2^{*}{|}^{\frac{m}{n}}sign({\mathrm{\&epsiv;}}_1-x_2^{*})-|{\mathrm{\&epsiv;}}_1-x_2^{*}{|}^{\frac{n}{m}}sign({\mathrm{\&epsiv;}}_1-x_2^{*})}{{\mathrm{\&tau;}}_1}-\stackrel{\&CenterDot;}{x_2^{*}}\\ =-\frac{|y_2{|}^{\frac{m}{n}}sign\left(y_2\right)+|y_2{|}^{\frac{n}{m}}sign\left(y_2\right)}{{\mathrm{\&tau;}}_1}-\stackrel{\&CenterDot;}{x_2^{*}}\end{array}---\left(26\right)$

$\begin{array}{c}\stackrel{\&CenterDot;}{e_2}=\stackrel{\&CenterDot;}{x_2}-\stackrel{\&CenterDot;}{{\mathrm{\&epsiv;}}_1}=x_3-\stackrel{\&CenterDot;}{{\mathrm{\&epsiv;}}_1}=e_3+{\mathrm{\&epsiv;}}_2-\stackrel{\&CenterDot;}{{\mathrm{\&epsiv;}}_1}=e_3+y_3+x_3^{*}-\stackrel{\&CenterDot;}{{\mathrm{\&epsiv;}}_1}\\ =e_3+y_3-{\mathrm{\&alpha;}}_2|e_2{|}^{\frac{m}{n}}sign\left(e_2\right)-{\mathrm{\&beta;}}_2|e_2{|}^{\frac{n}{m}}sign\left(e_2\right)\end{array}---\left(27\right)$

$\begin{array}{c}\stackrel{\&CenterDot;}{y_3}=\stackrel{\&CenterDot;}{{\mathrm{\&epsiv;}}_2}-\stackrel{\&CenterDot;}{x_3^{*}}=\frac{-|{\mathrm{\&epsiv;}}_2-x_3^{*}{|}^{\frac{m}{n}}sign({\mathrm{\&epsiv;}}_2-x_3^{*})-|{\mathrm{\&epsiv;}}_2-x_3^{*}{|}^{\frac{n}{m}}sign({\mathrm{\&epsiv;}}_2-x_3^{*})}{{\mathrm{\&tau;}}_2}-\stackrel{\&CenterDot;}{x_3^{*}}\\ =-\frac{|y_3{|}^{\frac{m}{n}}sign\left(y_3\right)+|y_3{|}^{\frac{n}{m}}sign\left(y_3\right)}{{\mathrm{\&tau;}}_2}-\stackrel{\&CenterDot;}{x_3^{*}}\end{array}---\left(28\right)$

$\stackrel{\&CenterDot;}{e_3}=\stackrel{\&CenterDot;}{x_3}-\stackrel{\&CenterDot;}{{\mathrm{\&epsiv;}}_2}=f_1\left(x\right)+g_1\left(x\right)u-\stackrel{\&CenterDot;}{{\mathrm{\&epsiv;}}_2}=-{\mathrm{\&alpha;}}_3|e_3{|}^{\frac{m}{n}}sign\left(e_3\right)-{\mathrm{\&beta;}}_3|e_3{|}^{\frac{n}{m}}sign\left(e_3\right)---\left(29\right)$

$\stackrel{\&CenterDot;}{x_4}=x_5=e_5+{\mathrm{\&epsiv;}}_4=e_5+x_5^{*}+y_5=e_5+y_5-{\mathrm{\&alpha;}}_1^{*}|x_4{|}^{\frac{m}{n}}sign\left(x_4\right)-{\mathrm{\&beta;}}_1^{\&prime;}|x_4{|}^{\frac{n}{m}}sign\left(x_4\right)---\left(30\right)$

$\begin{array}{c}\stackrel{\&CenterDot;}{y_5}=\stackrel{\&CenterDot;}{{\mathrm{\&epsiv;}}_4}-\stackrel{\&CenterDot;}{x_5^{*}}=\frac{-|{\mathrm{\&epsiv;}}_4-x_5^{*}{|}^{\frac{m}{n}}sign({\mathrm{\&epsiv;}}_4-x_5^{*})-|{\mathrm{\&epsiv;}}_4-x_5^{*}{|}^{\frac{n}{m}}sign({\mathrm{\&epsiv;}}_4-x_5^{*})}{{\mathrm{\&tau;}}_4}-\stackrel{\&CenterDot;}{x_5^{*}}\\ =-\frac{|y_5{|}^{\frac{m}{n}}sign\left(y_5\right)+|y_5{|}^{\frac{n}{m}}sign\left(y_5\right)}{{\mathrm{\&tau;}}_4}-\stackrel{\&CenterDot;}{x_5^{*}}\end{array}---\left(31\right)$

$\stackrel{\&CenterDot;}{e_5}=\stackrel{\&CenterDot;}{x_5}-\stackrel{\&CenterDot;}{{\mathrm{\&epsiv;}}_4}=f_2\left(x\right)+g_2\left(x\right)u-\stackrel{\&CenterDot;}{{\mathrm{\&epsiv;}}_4}=-{\mathrm{\&alpha;}}_2^{\&prime;}|e_5{|}^{\frac{m}{n}}sign\left(e_5\right)-{\mathrm{\&beta;}}_2^{\&prime;}|e_5{|}^{\frac{n}{m}}sign\left(e_5\right)---\left(32\right)$

然后,确定控制律(15)的相关参数：

考虑如下的李雅普诺夫函数：

$V=\frac{1}{2}{x}_1^2+\frac{1}{2}\underset{i=2}{\overset{3}{\&Sigma;}}{y}_i^2+\frac{1}{2}\underset{i=2}{\overset{3}{\&Sigma;}}{e}_i^2---\left(33\right)$

V的时间导数可以计算为：

$\begin{array}{c}\stackrel{\&CenterDot;}{V}=x_1\stackrel{\&CenterDot;}{x_1}+\underset{i=2}{\overset{3}{\&Sigma;}}{y}_i\stackrel{\&CenterDot;}{y_i}+\underset{i=2}{\overset{3}{\&Sigma;}}{e}_i\stackrel{\&CenterDot;}{e_i}\\ =x_1(-{\mathrm{\&alpha;}}_1|x_1{|}^{\frac{m}{n}}sign\left(x_1\right)-{\mathrm{\&beta;}}_1\left|x_1{|}^{\frac{n}{m}}sign\right(x_1)+e_2+y_2)-(\frac{|y_2{|}^{\frac{m}{n}+1}+|y_2{|}^{\frac{n}{m}+1}}{{\mathrm{\&tau;}}_1}+y_2\stackrel{\&CenterDot;}{x_2^{*}})\\ -(\frac{|y_3{|}^{\frac{m}{n}+1}+|y_3{|}^{\frac{n}{m}+1}}{{\mathrm{\&tau;}}_2}+y_3\stackrel{\&CenterDot;}{x_3^{*}})+e_2(e_3+y_3-{\mathrm{\&alpha;}}_2|e_2{|}^{\frac{m}{n}}sign\left(e_2\right)-{\mathrm{\&beta;}}_2\left|e_2{|}^{\frac{n}{m}}sign\right(e_2\left)\right)\\ +e_3(-{\mathrm{\&alpha;}}_3|e_3{|}^{\frac{m}{n}}sign\left(e_3\right)-{\mathrm{\&beta;}}_3\left|e_3{|}^{\frac{n}{m}}sign\right(e_3\left)\right)\end{array}---\left(34\right)$

由动态面控制理论可知，虚拟控制和的导数是有界的，即存在正常数B₂和B₃，满足

根据引理1，我们有：

$x_1{e}_2\&le;\left|x_1\right|\left|e_2\right|\&le;\frac{{\mathrm{\&gamma;}}_1^{\frac{n}{m}+1}}{\frac{n}{m}+1}|x_1{|}^{\frac{n}{m}+1}+\frac{{\mathrm{\&gamma;}}_1^{-(\frac{m}{n}+1)}}{\frac{m}{n}+1}|e_2{|}^{\frac{m}{n}+1}---\left(35\right)$

$x_1{y}_2\&le;\left|x_1\right|\left|y_2\right|\&le;\frac{{\mathrm{\&lambda;}}_1^{\frac{m}{n}+1}}{\frac{m}{n}+1}\left|x_1{|}^{\frac{m}{n}+1}\frac{{\mathrm{\&lambda;}}_1^{-(\frac{n}{m}+1)}}{\frac{n}{m}+1}\right|y_2{|}^{\frac{n}{m}+1}---\left(36\right)$

$e_2{e}_3\&le;\left|e_2\right|\left|e_3\right|\&le;\frac{{\mathrm{\&gamma;}}_2^{\frac{n}{m}+1}}{\frac{n}{m}+1}|e_2{|}^{\frac{n}{m}+1}+\frac{{\mathrm{\&gamma;}}_2^{-(\frac{m}{n}+1)}}{\frac{m}{n}+1}|e_3{|}^{\frac{m}{n}+1}---\left(37\right)$

$e_2{y}_3\&le;\left|e_2\right|\left|y_3\right|\&le;\frac{{\mathrm{\&lambda;}}_2^{\frac{m}{n}+1}}{\frac{m}{n}+1}|e_2{|}^{\frac{m}{n}+1}+\frac{{\mathrm{\&lambda;}}_2^{-(\frac{n}{m}+1)}}{\frac{n}{m}+1}|y_3{|}^{\frac{n}{m}+1}---\left(38\right)$

$-y_2\stackrel{\&CenterDot;}{x_2^{*}}\&le;\left|y_2\right|\left|B_2\right|\&le;\frac{{\mathrm{\&eta;}}_2^{(\frac{m}{n}+1)}}{\frac{m}{n}+1}|y_2{|}^{\frac{m}{n}+1}+\frac{{\mathrm{\&eta;}}_2^{-(\frac{n}{m}+1)}}{1+\frac{n}{m}}|B_2{|}^{\frac{n}{m}+1}---\left(39\right)$

$-y_3\stackrel{\&CenterDot;}{x_3^{*}}\&le;\left|y_3\right|\left|B_3\right|\&le;\frac{{\mathrm{\&eta;}}_3^{(\frac{m}{n}+1)}}{\frac{m}{n}+1}|y_3{|}^{\frac{m}{n}+1}+\frac{{\mathrm{\&eta;}}_3^{-(\frac{n}{m}+1)}}{1+\frac{n}{m}}|B_3{|}^{\frac{n}{m}+1}---\left(40\right)$

式中γ₁，λ₁，γ₂，λ₂，η₂，η₃可以选为任意的正实数。

将(35)-(40)代入(34),则有:

$\begin{array}{c}\stackrel{\&CenterDot;}{V}\&le;-({\mathrm{\&alpha;}}_1-\frac{{\mathrm{\&lambda;}}_1^{\frac{m}{n}+1}}{\frac{m}{n}+1})|x_1{|}^{\frac{m}{n}+1}-({\mathrm{\&beta;}}_1-\frac{{\mathrm{\&gamma;}}_1^{\frac{n}{m}+1}}{\frac{n}{m}+1})|x_1{|}^{\frac{n}{m}+1}-\&lsqb;({\mathrm{\&alpha;}}_2-\frac{{\mathrm{\&lambda;}}_2^{\frac{m}{n}+1}}{\frac{m}{n}+1}-\frac{{\mathrm{\&gamma;}}_1^{-(\frac{m}{n}+1)}}{\frac{m}{n}+1})|e_2{|}^{\frac{m}{n}+1}\\ +({\mathrm{\&beta;}}_2-\frac{{\mathrm{\&gamma;}}_2^{\frac{n}{m}+1}}{\frac{n}{m}+1})|e_2{|}^{\frac{n}{m}+1}\&rsqb;-({\mathrm{\&alpha;}}_3-\frac{{\mathrm{\&gamma;}}_2^{-(\frac{m}{n}+1)}}{\frac{m}{n}+1})|e_3{|}^{\frac{m}{n}+1}-{\mathrm{\&beta;}}_3|e_3{|}^{\frac{n}{m}+1}+\frac{{\mathrm{\&lambda;}}_1^{-(\frac{n}{m}+1)}}{\frac{n}{m}+1}|y_2{|}^{\frac{n}{m}+1}\\ -\left(\frac{|y_2{|}^{\frac{m}{n}+1}+|y_2{|}^{\frac{n}{m}+1}}{{\mathrm{\&tau;}}_1}\right)+\frac{{\mathrm{\&lambda;}}_2^{-(\frac{n}{m}+1)}}{\frac{n}{m}+1}|y_3{|}^{\frac{n}{m}+1}-\left(\frac{|y_3{|}^{\frac{m}{n}+1}+|y_3{|}^{\frac{n}{m}+1}}{{\mathrm{\&tau;}}_2}\right)+\frac{{\mathrm{\&eta;}}_2^{(\frac{m}{n}+1)}}{\frac{m}{n}+1}|y_2{|}^{\frac{m}{n}+1}\\ +\frac{{\mathrm{\&eta;}}_2^{-(\frac{n}{m}+1)}}{1+\frac{n}{m}}|B_2{|}^{\frac{n}{m}+1}+\frac{{\mathrm{\&eta;}}_3^{(\frac{m}{n}+1)}}{\frac{m}{n}+1}|y_3{|}^{\frac{m}{n}+1}+\frac{{\mathrm{\&eta;}}_3^{-(\frac{n}{m}+1)}}{1+\frac{n}{m}}|B_3{|}^{\frac{n}{m}+1}\\ =-({\mathrm{\&alpha;}}_1-\frac{{\mathrm{\&lambda;}}_1^{\frac{m}{n}+1}}{\frac{m}{n}+1})|x_1{|}^{\frac{m}{n}+1}-({\mathrm{\&beta;}}_1-\frac{{\mathrm{\&gamma;}}_1^{\frac{n}{m}+1}}{\frac{n}{m}+1})|x_1{|}^{\frac{n}{m}+1}-\&lsqb;({\mathrm{\&alpha;}}_2-\frac{{\mathrm{\&lambda;}}_2^{\frac{m}{n}+1}}{\frac{m}{n}+1}-\frac{{\mathrm{\&gamma;}}_1^{-(\frac{m}{n}+1)}}{\frac{m}{n}+1})|e_2{|}^{\frac{m}{n}+1}\\ +({\mathrm{\&beta;}}_2-\frac{{\mathrm{\&gamma;}}_2^{\frac{n}{m}+1}}{\frac{n}{m}+1})|e_2{|}^{\frac{n}{m}+1}\&rsqb;-({\mathrm{\&alpha;}}_3-\frac{{\mathrm{\&gamma;}}_2^{-(\frac{m}{n}+1)}}{\frac{m}{n}+1})|e_3{|}^{\frac{m}{n}+1}-{\mathrm{\&beta;}}_3|e_3{|}^{\frac{n}{m}+1}-(\frac{1}{{\mathrm{\&tau;}}_1}-\frac{{\mathrm{\&eta;}}_2^{(\frac{m}{n}+1)}}{\frac{m}{n}+1})|y_2{|}^{\frac{m}{n}+1}\\ -(\frac{1}{{\mathrm{\&tau;}}_2}-\frac{{\mathrm{\&eta;}}_3^{(\frac{m}{n}+1)}}{\frac{m}{n}+1})|y_3{|}^{\frac{m}{n}+1}-(\frac{1}{{\mathrm{\&tau;}}_1}-\frac{{\mathrm{\&lambda;}}_1^{-(\frac{n}{m}+1)}}{\frac{n}{m}+1})|y_2{|}^{\frac{n}{m}+1}-(\frac{1}{{\mathrm{\&tau;}}_2}-\frac{{\mathrm{\&lambda;}}_2^{-(\frac{n}{m}+1)}}{\frac{n}{m}+1})|y_3{|}^{\frac{n}{m}+1}+\frac{{\mathrm{\&eta;}}_2^{-(\frac{n}{m}+1)}}{1+\frac{n}{m}}|B_2{|}^{\frac{n}{m}+1}\\ +\frac{{\mathrm{\&eta;}}_3^{-(\frac{n}{m}+1)}}{1+\frac{n}{m}}|B_3{|}^{\frac{n}{m}+1}\end{array}---\left(41\right)$

选择设计参数使得不等式 β₃>0,成立，则李雅普诺夫能量函数的导数小于0，满足李雅普诺夫稳定性条件，进一步，定义：

$c_1=\min \{{\mathrm{\&alpha;}}_1-\frac{{\mathrm{\&lambda;}}_1^{\frac{m}{n}+1}}{\frac{m}{n}+1},{\mathrm{\&alpha;}}_2-\frac{{\mathrm{\&lambda;}}_2^{\frac{m}{n}+1}}{\frac{m}{n}+1}-\frac{{\mathrm{\&gamma;}}_1^{-(\frac{m}{n}+1)}}{\frac{m}{n}+1},{\mathrm{\&alpha;}}_3-\frac{{\mathrm{\&gamma;}}_2^{-(\frac{m}{n}+1)}}{\frac{m}{n}+1},\frac{1}{{\mathrm{\&tau;}}_1}-\frac{{\mathrm{\&eta;}}_2^{(\frac{m}{n}+1)}}{\frac{m}{n}+1},\frac{1}{{\mathrm{\&tau;}}_2}-\frac{{\mathrm{\&eta;}}_3^{(\frac{m}{n}+1)}}{\frac{m}{n}+1}\},$

$c_2=\min \{{\mathrm{\&beta;}}_1-\frac{{\mathrm{\&gamma;}}_1^{\frac{n}{m}+1}}{\frac{n}{m}+1},{\mathrm{\&beta;}}_2-\frac{{\mathrm{\&gamma;}}_2^{\frac{n}{m}+1}}{\frac{n}{m}+1},{\mathrm{\&beta;}}_3,\frac{1}{{\mathrm{\&tau;}}_1}-\frac{{\mathrm{\&lambda;}}_1^{-(\frac{n}{m}+1)}}{\frac{n}{m}+1},\frac{1}{{\mathrm{\&tau;}}_2}-\frac{{\mathrm{\&lambda;}}_2^{-(\frac{n}{m}+1)}}{\frac{n}{m}+1}\},$

$c_3=\frac{{\mathrm{\&eta;}}_2^{-(\frac{n}{m}+1)}}{1+\frac{n}{m}}|B_2{|}^{\frac{n}{m}+1}+\frac{{\mathrm{\&eta;}}_3^{-(\frac{n}{m}+1)}}{1+\frac{n}{m}}|B_3{|}^{\frac{n}{m}+1}$

由引理2和3，可以证明，李雅普诺夫函数满足：

$\stackrel{\&CenterDot;}{V}\&le;-2^{\frac{\frac{m}{n}+1}{2}}\&times;5^{\frac{1-\frac{m}{n}}{2}}{c}_1{V}^{\frac{\frac{m}{n}+1}{2}}-2^{\frac{\frac{n}{m}+1}{2}}{c}_2{V}^{\frac{\frac{n}{m}+1}{2}}+c_3---\left(42\right)$

根据固定时稳定性理论，所提出的控制方法能使系统在有限时间内收敛，该收敛时间是有界的，且界限可以由下面的式子确定：

$T=\frac{1}{2^{\frac{\frac{m}{n}+1}{2}}\&times;5^{\frac{1-\frac{m}{n}}{2}}{c}_1}\frac{n}{\frac{m-n}{2}}+\frac{1}{2^{\frac{\frac{n}{m}+1}{2}}{c}_2(2^{\frac{m+n}{2m}}-1)}\frac{m}{\frac{m-n}{2}}---\left(43\right)$

闭环系统最终稳定界限可以由下述等式得到：

$-2^{\frac{\frac{m}{n}+1}{2}}\&times;5^{\frac{1-\frac{m}{n}}{2}}{c}_1{V}^{\frac{\frac{m}{n}+1}{2}}-2^{\frac{\frac{n}{m}+1}{2}}{c}_2{V}^{\frac{\frac{n}{m}+1}{2}}+c_3=0---\left(44\right)$

这是具有分数指数的多项式代数方程，难以给出该方程的解析解。然而可以通过求解下面的方程给出闭环系统最终边界的粗略估计：

$-2^{\frac{\frac{m}{n}+1}{2}}\&times;5^{\frac{1-\frac{m}{n}}{2}}{c}_1{V}^{\frac{\frac{m}{n}+1}{2}}+c_3=0---\left(45\right)$

$-2^{\frac{\frac{n}{m}+1}{2}}{c}_2{V}^{\frac{\frac{n}{m}+1}{2}}+c_3=0---\left(46\right)$

解方程(45)和(46)，可以得到闭环系统最终界限：

$\underset{t\&RightArrow;\mathrm{\&infin;}}{\lim }V\left(t\right)\&le;2min\{{(c_3/(2^{(m+n)/\left(2n\right)}{5}^{(n-m)/\left(2n\right)}{c}_1\left)\right)}^{2n/(m+n)},{(c_3/(2^{(n+m)/\left(2m\right)}{c}_2\left)\right)}^{2m/(n+m)}\}---\left(47\right)$

由(47)和(43)可知选取大的参数值α_i，β_i(i＝1,2,3)和小的参数值τ₁，τ₂有助于增加c₁和c₂，从而能够降低收敛时间和提高控制精度。

最后，确定控制律(20)的相关参数

考虑如下的李雅普诺夫函数：

$V=\frac{1}{2}{x}_4^2+\frac{1}{2}{y}_5^2+\frac{1}{2}{e}_5^2---\left(48\right)$

V的时间导数可以计算为：

$\begin{array}{c}\stackrel{\&CenterDot;}{V}=x_4\stackrel{\&CenterDot;}{x_4}+y_5\stackrel{\&CenterDot;}{y_5}+e_5\stackrel{\&CenterDot;}{e_5}\\ =x_4(-{\mathrm{\&alpha;}}_1^{\&prime;}|x_4{|}^{\frac{m}{n}}sign\left(x_4\right)-{\mathrm{\&beta;}}_1^{\&prime;}\left|x_4{|}^{\frac{n}{m}}sign\right(x_4)+e_5+y_5)-(\frac{|y_5{|}^{\frac{m}{n}+1}+|y_5{|}^{\frac{n}{m}+1}}{{\mathrm{\&tau;}}_4}+y_5\stackrel{\&CenterDot;}{x_5^{*}})\\ +e_5(-{\mathrm{\&alpha;}}_2^{\&prime;}|e_5{|}^{\frac{m}{n}}sign\left(e_5\right)-{\mathrm{\&beta;}}_2^{\&prime;}\left|e_5{|}^{\frac{n}{m}}sign\right(e_5\left)\right)\end{array}---\left(49\right)$

由动态面控制理论可知，虚拟控制的导数是有界的，即存在正常数B₅，满足根据引理1，我们有：

$x_4{e}_5\&le;\left|x_4\right|\left|e_5\right|\&le;\frac{{\mathrm{\&gamma;}}_4^{\frac{n}{m}+1}}{\frac{n}{m}+1}|x_4{|}^{\frac{n}{m}+1}+\frac{{\mathrm{\&gamma;}}_4^{-(\frac{m}{n}+1)}}{\frac{m}{n}+1}|e_5{|}^{\frac{m}{n}+1}---\left(50\right)$

$x_4{y}_5\&le;\left|x_4\right|\left|y_5\right|\&le;\frac{{\mathrm{\&lambda;}}_4^{\frac{m}{n}+1}}{\frac{m}{n}+1}|x_4{|}^{\frac{m}{n}+1}+\frac{{\mathrm{\&lambda;}}_4^{-(\frac{n}{m}+1)}}{\frac{n}{m}+1}|y_5{|}^{\frac{n}{m}+1}---\left(51\right)$

$-y_5\stackrel{\&CenterDot;}{x_5^{*}}\&le;\left|y_5\right|\left|B_5\right|\&le;\frac{{\mathrm{\&eta;}}_5^{(\frac{m}{n}+1)}}{\frac{m}{n}+1}\left|y_5{|}^{\frac{m}{n}+1}\frac{{\mathrm{\&eta;}}_5^{-(\frac{n}{m}+1)}}{1+\frac{n}{m}}\right|B_5{|}^{\frac{n}{m}+1}---\left(52\right)$

式中，γ₄，λ₄和η₅可以选为任意的正实数。

将(50)-(52)代入(49),则有:

$\begin{array}{c}\stackrel{\&CenterDot;}{V}\&le;-{\mathrm{\&alpha;}}_1^{\&prime;}|x_4{|}^{\frac{m}{n}+1}-{\mathrm{\&beta;}}_1^{\&prime;}|x_4{|}^{\frac{n}{m}+1}+\frac{{\mathrm{\&gamma;}}_4^{\frac{n}{m}+1}}{\frac{n}{m}+1}|x_4{|}^{\frac{n}{m}+1}+\frac{{\mathrm{\&gamma;}}_4^{-(\frac{m}{n}+1)}}{\frac{m}{n}+1}|e_5{|}^{\frac{m}{n}+1}+\frac{{\mathrm{\&lambda;}}_4^{\frac{m}{n}+1}}{\frac{m}{n}+1}|x_4{|}^{\frac{m}{n}+1}+\frac{{\mathrm{\&lambda;}}_4^{-(\frac{n}{m}+1)}}{\frac{n}{m}+1}|y_5{|}^{\frac{n}{m}+1}\\ -\left(\frac{|y_5{|}^{\frac{m}{n}+1}+|y_5{|}^{\frac{n}{m}+1}}{{\mathrm{\&tau;}}_4}\right)+\frac{{\mathrm{\&eta;}}_5^{(\frac{m}{n}+1)}}{\frac{m}{n}+1}|y_5{|}^{\frac{m}{n}+1}+\frac{{\mathrm{\&eta;}}_5^{-(\frac{n}{m}+1)}}{1+\frac{n}{m}}|B_5{|}^{\frac{n}{m}+1}+(-{\mathrm{\&alpha;}}_2^{\&prime;}|e_5{|}^{\frac{m}{n}+1}-{\mathrm{\&beta;}}_2^{\&prime;}\left|e_5{|}^{\frac{n}{m}+1}\right)\\ =-({\mathrm{\&alpha;}}_1^{\&prime;}-\frac{{\mathrm{\&lambda;}}_4^{\frac{m}{n}+1}}{\frac{m}{n}+1})|x_4{|}^{\frac{m}{n}+1}-({\mathrm{\&beta;}}_1^{\&prime;}-\frac{{\mathrm{\&gamma;}}_4^{\frac{n}{m}+1}}{\frac{n}{m}+1})|x_4{|}^{\frac{n}{m}+1}-({\mathrm{\&alpha;}}_2^{\&prime;}-\frac{{\mathrm{\&gamma;}}_4^{-(\frac{m}{n}+1)}}{\frac{m}{n}+1})|e_5{|}^{\frac{m}{n}+1}-{\mathrm{\&beta;}}_2^{\&prime;}|e_5{|}^{\frac{n}{m}+1}\end{array}$

$-(\frac{1}{{\mathrm{\&tau;}}_4}-\frac{{\mathrm{\&eta;}}_5^{(\frac{m}{n}+1)}}{\frac{m}{n}+1})|y_5{|}^{\frac{m}{n}+1}-(\frac{1}{{\mathrm{\&tau;}}_4}-\frac{{\mathrm{\&lambda;}}_4^{-(\frac{n}{m}+1)}}{\frac{n}{m}+1})|y_5{|}^{\frac{n}{m}+1}+\frac{{\mathrm{\&eta;}}_5^{-(\frac{n}{m}+1)}}{1+\frac{n}{m}}|B_5{|}^{\frac{n}{m}+1}---\left(53\right)$

选择设计参数使得不等式β'₂>0,成立，则李雅普诺夫能量函数的导数小于0，满足李雅普诺夫稳定性条件，进一步，定义：

$c_2=min\{{\mathrm{\&beta;}}_1^{\&prime;}-\frac{{\mathrm{\&gamma;}}_4^{\frac{n}{m}+1}}{\frac{n}{m}+1},{\mathrm{\&beta;}}_2^{\&prime;},\frac{1}{{\mathrm{\&tau;}}_4}-\frac{{\mathrm{\&lambda;}}_4^{-(\frac{n}{m}+1)}}{\frac{n}{m}+1}\},c_3=\frac{{\mathrm{\&eta;}}_5^{(\frac{n}{m}+1)}}{1+\frac{n}{m}}|B_5{|}^{\frac{n}{m}+1}$

由引理2和3，可以证明，李雅普诺夫函数满足：

$\stackrel{\&CenterDot;}{V}\&le;-2^{\frac{\frac{m}{n}+1}{2}}\&times;3^{\frac{1-\frac{m}{n}}{2}}{c}_1{V}^{\frac{\frac{m}{n}+1}{2}}-2^{\frac{\frac{n}{m}+1}{2}}{c}_2{V}^{\frac{\frac{n}{m}+1}{2}}+c_3---\left(54\right)$

根据固定时稳定性理论，所提出的控制方法能使系统在有限时间内收敛，该收敛时间是有界的，且界限可以由下面的式子确定：

$T=\frac{1}{2^{\frac{\frac{m}{n}+1}{2}}\&times;3^{\frac{1-\frac{m}{n}}{2}}{c}_1}\frac{n}{\frac{m-n}{2}}+\frac{1}{2^{\frac{\frac{n}{m}+1}{2}}{c}_2(2^{\frac{m+n}{2m}}-1)}\frac{m}{\frac{m-n}{2}}---\left(55\right)$

闭环系统最终稳定界限可以由下述等式得到：

$-2^{\frac{\frac{m}{n}+1}{2}}\&times;3^{\frac{1-\frac{m}{n}}{2}}{c}_1{V}^{\frac{\frac{m}{n}+1}{2}}-2^{\frac{\frac{n}{m}+1}{2}}{c}_2{V}^{\frac{\frac{n}{m}+1}{2}}+c_3=0---\left(56\right)$

这是具有分数指数的多项式代数方程，难以给出该方程的解析解。然而可以通过求解下面的方程给出闭环系统最终边界的粗略估计：

$-2^{\frac{\frac{m}{n}+1}{2}}\&times;3^{\frac{1-\frac{m}{n}}{2}}{c}_1{V}^{\frac{\frac{m}{n}+1}{2}}+c_3=0---\left(57\right)$

$-2^{\frac{\frac{n}{m}+1}{2}}{c}_2{V}^{\frac{\frac{n}{m}+1}{2}}+c_3=0---\left(58\right)$

解方程(57)和(58)，可以得到闭环系统最终界限：

$\underset{t\&RightArrow;\mathrm{\&infin;}}{\lim }V\left(t\right)\&le;2min\{{(c_3/(2^{(m+n)/\left(2n\right)}{3}^{(n-m)/\left(2n\right)}{c}_1\left)\right)}^{2n/(m+n)},{(c_3/(2^{(n+m)/\left(2m\right)}{c}_2\left)\right)}^{2m/(n+m)}\}---\left(59\right)$

由(55)和(59)可知选取大的参数值α'_i，β'_i(i＝1,2)和小的参数值τ₄有助于增加c₁和c₂，从而能够降低收敛时间和提高控制精度。

(6)采用步骤(5)确定的三阶滑模系统(5)的控制参数和二阶滑模系统(6)的控制参数对电流源型静止同步补偿控制器实施控制，对电力系统进行无功补偿，抑制电力系统的混沌振荡。

实施例：三母线电力系统

以带有静止同步补偿控制器的三母线电力系统为例说明上述固定时动态面高阶滑模控制方法在调节电流源型静止同步补偿控制器，抑制电力系统混沌振荡上的优势。该电力系统算例是研究电力系统电压稳定性的标准算例。如图2所示，该系统由两个发电机母线和一个负荷母线构成，电流源型静止同步补偿控制器(STATCOM)安装在负荷母线上。其中一个发电机母线是松弛母线，另一个发电机的动态可以用摇摆方程描述。负荷由感应电动机(M)与常值PQ负荷并联组成，电容C用于将负荷母线电压提升到接近1p.u.。感应电动机负荷采用常用的Walve模型。三母线电力系统动态方程可以写为：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&delta;}}}_m=\mathrm{\&omega;}\\ M\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&omega;}}=-d_m\mathrm{\&omega;}+P_m+E_m{Y}_{m}V\sin (\mathrm{\&delta;}-{\mathrm{\&delta;}}_m-{\mathrm{\&theta;}}_m)+E_m^2{Y}_m{\mathrm{sin\&theta;}}_m\\ K_{qw}\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&delta;}}=-K_{qv2}{V}^2-K_{qv}V+E_0^{\&prime;}{Y}_0^{\&prime;}V\cos (\mathrm{\&delta;}+{\mathrm{\&theta;}}_0^{\&prime;})+E_m{Y}_{m}V\cos (\mathrm{\&delta;}-{\mathrm{\&delta;}}_m+{\mathrm{\&theta;}}_m)\\ -(Y_0^{\&prime;}{\mathrm{cos\&theta;}}_0^{\&prime;}+Y_m{\mathrm{cos\&theta;}}_m)V^2-Q_0-Q_1+{\mathrm{\&Delta;Q}}_1\\ {\mathrm{TK}}_{qw}{K}_{pv}\stackrel{\&CenterDot;}{V}=K_{pw}{K}_{qv2}{V}^2+(K_{pw}{K}_{qv}-K_{qw}{K}_{pv})V+K_{qw}(-E_0^{\&prime;}{Y}_0^{\&prime;}V\sin (\mathrm{\&delta;}+{\mathrm{\&theta;}}_0^{\&prime;})\\ -E_m{Y}_{m}V\sin (\mathrm{\&delta;}-{\mathrm{\&delta;}}_m+{\mathrm{\&theta;}}_m)+(Y_0^{\&prime;}{\mathrm{sin\&theta;}}_0^{\&prime;}+Y_m{\mathrm{sin\&theta;}}_m)V^2-P_0-P_1)\\ -K_{pw}\left(E_0^{\&prime;}{Y}_0^{\&prime;}V\cos \right(\mathrm{\&delta;}+{\mathrm{\&theta;}}_0^{\&prime;})+E_m{Y}_{m}V\cos (\mathrm{\&delta;}-{\mathrm{\&delta;}}_m+{\mathrm{\&theta;}}_m)\\ -(Y_0^{\&prime;}{\mathrm{cos\&theta;}}_0^{\&prime;}+Y_m{\mathrm{cos\&theta;}}_m)V^2-Q_0-Q_1+{\mathrm{\&Delta;Q}}_1)\end{array}\right.---\left(60\right)$

式中，δ_m和ω分别表示发电机功角和频率偏差；M为发电机转动惯量；d_m表示阻尼系数；P_m为机械功率；Y_m和θ_m为输电线导纳和阻抗角；E_m表示发电机电压幅值；δ和V是负荷节点电压的相角和幅值；P₁和Q₁是常值PQ负荷的有功和无功功率，ΔQ₁为电流源型静止同步补偿器提供的无功补偿；P₀和Q₀是感应电动机负荷的常值有功和无功功率；T为感应电动机负荷时间常数；K_pw,K_pv,K_qw,K_qv,K_qv2是感应电动机的相关常数；E'₀,Y'₀和θ'₀是关于E₀,Y₀和θ₀戴维宁等效电路值。

在仿真中，网络和发电机参数选为：E_m＝1.05,Y_m＝5.0,P_m＝1.0,θ_m＝0,E₀＝1.0,Y₀＝3.33,θ₀＝0,d_m＝0.05,M＝0.01464。负荷参数选择为：K_pw＝0.4,K_qv2＝2.1,K_qw＝-0.03,K_qv＝-2.8,K_pv＝0.3,T＝8.5,P₀＝0.0,Q₀＝1.3,P₁＝0.6。电流源型静止同步补偿控制器的参数选择为：L＝0.1,R＝0.01,C＝1.5,L_dc＝0.35,R_dc＝0.1,E_d＝1,ω＝1,n＝4/π。当常值PQ负荷的无功功率变化到Q₁＝2.98975时，电力系统发生混沌振荡，如图3所示。由图3可以看出电力系统的状态变量显示出非周期的不规则振荡。如果不及时采取措施，当常值PQ负荷的无功功率变化到Q₁＝2.98982时，混沌吸引子将破裂，发生混沌蓝天分岔，电力系统发生电压崩溃。此时，需要使用所提出的固定时动态面高阶滑模控制方法来快速抑制混沌振荡，恢复电力系统的正常运行状态。

本实施例的一种电力系统混沌振荡的固定时动态面高阶滑模抑制方法，包括以下步骤：

(1)系统电压稳定到理想值V_d＝1对应的无功负荷计算为Q₂＝2.712，发生混沌振荡时的无功负荷为Q₁＝2.98975。所需补偿的无功功率为0.27775。

(2)在公式(1)中确定电流源型静止同步补偿控制器的输出I_dc和I_q，利用公式(2)，计算q轴电流的参考值为I_qref＝0.18517，dc侧电流的参考值选定为I_dcref＝8。

(3)确定控制目标：电流源型静止同步补偿控制器的输出能在有限时间内到达其参考值任意小的邻域内，而且该收敛时间的上界不依赖于初值。

(4)为实现控制目标，设计固定时动态面高阶滑模面:σ₂＝I_q-I_qref。设计的控制律为：

$\begin{array}{c}{u}_1=\frac{1}{g_1\left(x\right)}(-f_1\left(x\right)-{\mathrm{\&alpha;}}_3|e_3{|}^{\frac{m}{n}}sign\left(e_3\right)-{\mathrm{\&beta;}}_3|e_3{|}^{\frac{n}{m}}sign\left(e_3\right)\\ -\frac{|{\mathrm{\&epsiv;}}_2-x_3^{*}{|}^{\frac{m}{n}}sign({\mathrm{\&epsiv;}}_2-x_3^{*})+|{\mathrm{\&epsiv;}}_2-x_3^{*}{|}^{\frac{n}{m}}sign({\mathrm{\&epsiv;}}_2-x_3^{*})}{{\mathrm{\&tau;}}_2})\end{array}$

$\begin{array}{c}{u}_2=\frac{1}{g_2\left(x\right)}(-f_2\left(x\right)-{\mathrm{\&alpha;}}_2^{\&prime;}|e_5{|}^{\frac{m}{n}}sign\left(e_5\right)-{\mathrm{\&beta;}}_2^{\&prime;}|e_5{|}^{\frac{n}{m}}sign\left(e_5\right)\\ -\frac{|{\mathrm{\&epsiv;}}_4-x_5^{*}{|}^{\frac{m}{n}}sign({\mathrm{\&epsiv;}}_4-x_5^{*})+|{\mathrm{\&epsiv;}}_4-x_5^{*}{|}^{\frac{n}{m}}sign({\mathrm{\&epsiv;}}_4-x_5^{*})}{{\mathrm{\&tau;}}_4})\end{array}$

(5)根据李雅普诺夫函数稳定性分析，选择的控制器参数选为：α₁＝α₂＝α₃＝α'₁＝α'₂＝10,β₁＝β₂＝β₃＝β'₁＝β'₂＝5,m＝9，n＝5,τ₁＝τ₂＝τ₄＝0.01。可以证明，这组控制参数满足李雅普诺夫稳定性。

(6)采用步骤(5)确定的三阶滑模系统(5)的控制参数和二阶滑模系统(6)的控制参数对电流源型静止同步补偿控制器实施控制，对电力系统进行无功补偿，抑制电力系统的混沌振荡。

所提供的一种电力系统混沌振荡的固定时动态面高阶滑模抑制方法的流程示于图4。

电流源型静止同步补偿控制器的状态变量的时间响应和三母线电力系统状态变量的时间响应分别示于图5和图6。如图5-6所示，混沌振荡很快得到了完全抑制，控制目标得以实现，证实了所提出控制器的有效性。图7示出了在不同初值下，所提出的控制方法稳定高阶滑模系统(5)的收敛时间。结果显示，所提出控制器稳定时间的上界是个常数。图8示出了滑模面的时间响应。从图中可以看出，所提出的控制方案有效抑制了控制过程中的抖振现象。因此，本控制方法在应用于电力系统混沌振荡中取得了很好的控制效果。

Claims (5)

1.一种电力系统混沌振荡的固定时动态面高阶滑模抑制方法，其特征在于，包括：

(1)根据发生混沌振荡时的无功负荷和将电力系统电压稳定到理想值V_d＝1对应的无功负荷之间的差值，确定需要补偿的电力系统无功功率；

(2)建立电流源型静止同步补偿控制器的数学模型，确定电流源型静止同步补偿控制器的输出，确定各输出量的参考值；

(3)确定控制目标：电流源型静止同步补偿控制器的输出能在有限时间内到达其参考值任意小的邻域内，而且该收敛时间的上界不依赖于初值；

(4)设计固定时动态面高阶滑模面及控制律，实现控制目标；

(5)根据李雅普诺夫函数稳定性分析，确定所设计的控制律的控制参数。

2.根据权利要求1所述的一种电力系统混沌振荡的固定时动态面高阶滑模抑制方法，其特征在于，步骤(2)中电流源型静止同步补偿控制器的数学模型为：

$\left\{\begin{array}{c}\frac{{\mathrm{dI}}_{dc}^2}{dt}=-\frac{2R_{dc}}{L_{dc}}{I}_{dc}^2-\frac{3E_d}{L_{dc}n}{I}_d\\ \frac{{\mathrm{dI}}_d}{dt}=-\frac{R}{L}{I}_d+{\mathrm{\&omega;I}}_q-\frac{1}{L}\frac{E_d}{n}+\frac{1}{L}{V}_d\\ \frac{{\mathrm{dV}}_d}{dt}=-\frac{1}{C}{I}_d+{\mathrm{\&omega;V}}_q+\frac{1}{C}{M}_d{I}_{dc}\\ \frac{{\mathrm{dI}}_q}{dt}=-{\mathrm{\&omega;I}}_d-\frac{R}{L}{I}_q+\frac{1}{L}{V}_q\\ \frac{{\mathrm{dV}}_q}{dt}=-\frac{1}{C}{I}_q-{\mathrm{\&omega;V}}_d+\frac{1}{C}{M}_q{I}_{dc}\end{array}\right.---\left(1\right)$

其中，I_dc表示dc侧电流，R_dc表示电流源变换器切换和传导电阻，L_dc为平波电抗器的电感，M_d和M_q为控制输入，V_d和V_q为滤波电容器两端电压的d轴和q轴分量；n为变换器变比；I_d和I_q表示变换器二次侧电流的d轴和q轴分量；ω是转子角速度；L和R表示变换器的电感和电阻；E_d表示线电压的d轴分量；C为滤波电容器的电容；电流源型静止同步补偿控制器的输出为I_dc和I_q；

步骤(2)中输出参考值的选择：给定I_dc的参考值I_dcref，输出I_q参考值根据下式确定：

$I_{qref}=\frac{Q_1-Q_2}{\frac{3}{2}{E}_d}---\left(2\right)$

式中Q₁为发生混沌振荡的无功负荷值，Q₂为使电力系统恢复理想电压V_d＝1对应的无功负荷值。

3.根据权利要求1所述的一种电力系统混沌振荡的固定时动态面高阶滑模抑制方法，其特征在于，步骤(4)中所设计的滑模面为：

${\mathrm{\&sigma;}}_1=I_{dc}^2-I_{dcref}^2---\left(3\right)$

σ₂＝I_q-I_qref (4)

关于σ₁的三阶滑模控制器等价于下面的系统：

$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\&CenterDot;}{x_1}=x_2\\ \stackrel{\&CenterDot;}{x_2}=x_3\\ \stackrel{\&CenterDot;}{x_3}=f_1\left(x\right)+g_1\left(x\right)u_1\end{array}\right.---\left(5\right)$

式中：

x₁＝σ₁,u₁＝M_dI_dc

$\begin{array}{c}{f}_1\left(x\right)=-\frac{8R_{dc}^3}{L_{dc}^3}{I}_{dc}^2-(\frac{12R_{dc}^2{E}_d}{L_{dc}^{3}n}+\frac{6R_{dc}{E}_{d}R}{L_{dc}^{2}Ln}+\frac{3E_d{R}^2}{L^2{L}_{dc}n}-\frac{3E_d{\mathrm{\&omega;}}^2}{L_{dc}n}-\frac{3E_d}{{\mathrm{CLL}}_{dc}n})I_d\\ +(\frac{6R_{dc}{E}_d\mathrm{\&omega;}}{L_{dc}^{2}n}+\frac{3E_{d}R\mathrm{\&omega;}}{{\mathrm{LL}}_{dc}n}+\frac{3E_d\mathrm{\&omega;}R}{{\mathrm{LL}}_{dc}n})I_q-(\frac{6R_{dc}}{L_{dc}^{2}L}+\frac{3R}{L^2{L}_{dc}}){\left(\frac{E_d}{n}\right)}^2\\ +(\frac{6R_{dc}{E}_d}{L_{dc}^{2}Ln}+\frac{3E_{d}R}{L^2{L}_{dc}n})V_d-\frac{6E_d\mathrm{\&omega;}}{L_{dc}nL}{V}_q\end{array}$

$g_1\left(x\right)=-\frac{3E_d}{{\mathrm{CLL}}_{dc}n}$

关于σ₂二阶滑模控制器等价于下面的系统：

$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\&CenterDot;}{x_4}=x_5\\ \stackrel{\&CenterDot;}{x_5}=f_2\left(x\right)+g_2\left(x\right)u_2\end{array}\right.---\left(6\right)$

式中：

x₄＝σ₂,u₂＝M_qI_dc

$f_2\left(x\right)=2\frac{\mathrm{\&omega;}R}{L}{I}_d+(\frac{R^2}{L^2}-{\mathrm{\&omega;}}^2-\frac{1}{LC})I_q+\frac{\mathrm{\&omega;}}{L}\frac{E_d}{n}-2\frac{\mathrm{\&omega;}}{L}{V}_d-\frac{R}{L^2}{V}_q$

$g_2\left(x\right)=\frac{1}{LC}$

对于三阶滑模系统(5)设计固定时动态面高阶滑模控制律：

$\begin{array}{c}{u}_1=\frac{1}{g_1\left(x\right)}(-f_1(x)-{\mathrm{\&alpha;}}_3|e_3{|}^{\frac{m}{n}}sign\left(e_3\right)-{\mathrm{\&beta;}}_3|e_3{|}^{\frac{n}{m}}sign\left(e_3\right)\\ -\frac{|{\mathrm{\&epsiv;}}_2-x_3^{*}{|}^{\frac{m}{n}}sign({\mathrm{\&epsiv;}}_2-x_3^{*})+|{\mathrm{\&epsiv;}}_2-x_3^{*}{|}^{\frac{n}{m}}sign({\mathrm{\&epsiv;}}_2-x_3^{*})}{{\mathrm{\&tau;}}_2})\end{array}---\left(15\right)$

对于二阶滑模系统(6)设计固定时动态面高阶滑模控制律：

$\begin{array}{c}{u}_2=\frac{1}{g_2\left(x\right)}(-f_2(x)-{\mathrm{\&alpha;}}_2^{\&prime;}|e_5{|}^{\frac{m}{n}}sign\left(e_5\right)-{\mathrm{\&beta;}}_2^{\&prime;}|e_5{|}^{\frac{n}{m}}sign\left(e_5\right)\\ -\frac{|{\mathrm{\&epsiv;}}_4-x_5^{*}{|}^{\frac{m}{n}}sign({\mathrm{\&epsiv;}}_4-x_5^{*})+|{\mathrm{\&epsiv;}}_4-x_5^{*}{|}^{\frac{n}{m}}sign({\mathrm{\&epsiv;}}_4-x_5^{*})}{{\mathrm{\&tau;}}_4})\end{array}---\left(20\right)$

控制律(15)中α₃，β₃，τ₂,m,n为待设计的控制参数；e₃＝x₃-ε₂，其中新变量ε₂的动态满足：

${\mathrm{\&tau;}}_2\stackrel{\&CenterDot;}{{\mathrm{\&epsiv;}}_2}=-|{\mathrm{\&epsiv;}}_2-x_3^{*}{|}^{\frac{m}{n}}sign({\mathrm{\&epsiv;}}_2-x_3^{*})-|{\mathrm{\&epsiv;}}_2-x_3^{*}{|}^{\frac{n}{m}}sign({\mathrm{\&epsiv;}}_2-x_3^{*}),{\mathrm{\&epsiv;}}_2\left(0\right)=x_3^{*}\left(0\right)---\left(13\right)$

式中虚拟控制律设计为:

$\begin{array}{c}{x}_3^{*}=-{\mathrm{\&alpha;}}_2|e_2{|}^{\frac{m}{n}}sign\left(e_2\right)-{\mathrm{\&beta;}}_2|e_2{|}^{\frac{n}{m}}sign\left(e_2\right)+{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&epsiv;}}}_1\\ =-{\mathrm{\&alpha;}}_2|e_2{|}^{\frac{m}{n}}sign\left(e_2\right)-{\mathrm{\&beta;}}_2|e_2{|}^{\frac{n}{m}}sign\left(e_2\right)-\frac{|{\mathrm{\&epsiv;}}_1-x_2^{*}{|}^{\frac{m}{n}}sign({\mathrm{\&epsiv;}}_1-x_2^{*})+|{\mathrm{\&epsiv;}}_1-x_2^{*}{|}^{\frac{n}{m}}sign({\mathrm{\&epsiv;}}_1-x_2^{*})}{{\mathrm{\&tau;}}_1}\end{array}---\left(12\right)$

式中，α₂，β₂和τ₁为待设计的控制参数，e₂＝x₂-ε₁，ε₁的动态满足：

${\mathrm{\&tau;}}_1\stackrel{\&CenterDot;}{{\mathrm{\&epsiv;}}_1}=-|{\mathrm{\&epsiv;}}_1-x_2^{*}{|}^{\frac{m}{n}}sign({\mathrm{\&epsiv;}}_1-x_2^{*})-|{\mathrm{\&epsiv;}}_1-x_2^{*}{|}^{\frac{n}{m}}sign({\mathrm{\&epsiv;}}_1-x_2^{*}),{\mathrm{\&epsiv;}}_1\left(0\right)=x_2^{*}\left(0\right)---\left(9\right)$

式中，虚拟控制律设计为:

$x_2^{*}=-{\mathrm{\&alpha;}}_1|x_1{|}^{\frac{m}{n}}sign\left(x_1\right)-{\mathrm{\&beta;}}_1|x_1{|}^{\frac{n}{m}}sign\left(x_1\right)---\left(8\right)$

式中，α₁，β₁为待设计的控制参数；

控制律(20)中α'₂，β₂'，τ₄，m,n为待设计的控制参数，e₅＝x₅-ε₄，其中新变量ε₄的动态满足：

${\mathrm{\&tau;}}_4\stackrel{\&CenterDot;}{{\mathrm{\&epsiv;}}_4}=-|{\mathrm{\&epsiv;}}_4-x_5^{*}{|}^{\frac{m}{n}}sign({\mathrm{\&epsiv;}}_4-x_5^{*})-|{\mathrm{\&epsiv;}}_4-x_5^{*}{|}^{\frac{n}{m}}sign({\mathrm{\&epsiv;}}_4-x_5^{*}),{\mathrm{\&epsiv;}}_4\left(0\right)=x_5^{*}\left(0\right)---\left(18\right)$

式中，虚拟控制律设计为:

$x_5^{*}=-{\mathrm{\&alpha;}}_1^{\&prime;}|x_4{|}^{\frac{m}{n}}sign\left(x_4\right)-{\mathrm{\&beta;}}_1^{\&prime;}|x_4{|}^{\frac{n}{m}}sign\left(x_4\right)---\left(17\right)$

式中，α′₁，β′₁为待设计的控制参数。

4.根据权利要求1所述的一种电力系统混沌振荡的固定时动态面高阶滑模抑制方法，其特征在于，步骤(5)中三阶滑模系统(5)的控制参数的选择使得以下不等式成立：

${\mathrm{\&alpha;}}_1>\frac{{\mathrm{\&lambda;}}_1^{\frac{m}{n}+1}}{\frac{m}{n}+1},{\mathrm{\&beta;}}_1>\frac{{\mathrm{\&gamma;}}_1^{\frac{n}{m}+1}}{\frac{n}{m}+1},{\mathrm{\&alpha;}}_2>\frac{{\mathrm{\&lambda;}}_2^{\frac{m}{n}+1}}{\frac{m}{n}+1}+\frac{{\mathrm{\&gamma;}}_1^{-(\frac{m}{n}+1)}}{\frac{m}{n}+1},{\mathrm{\&beta;}}_2>\frac{{\mathrm{\&gamma;}}_2^{\frac{n}{m}+1}}{\frac{n}{m}+1},{\mathrm{\&alpha;}}_3>\frac{{\mathrm{\&lambda;}}_2^{-(\frac{m}{n}+1)}}{\frac{m}{n}+1},{\mathrm{\&beta;}}_3>0,$

$\frac{1}{{\mathrm{\&tau;}}_1}>\max \{\frac{{\mathrm{\&eta;}}_2^{(\frac{m}{n}+1)}}{\frac{m}{n}+1},\frac{{\mathrm{\&lambda;}}_1^{-(\frac{n}{m}+1)}}{\frac{n}{m}+1}\},\frac{1}{{\mathrm{\&tau;}}_2}>\max \{\frac{{\mathrm{\&eta;}}_3^{(\frac{m}{n}+1)}}{\frac{m}{n}+1},\frac{{\mathrm{\&lambda;}}_2^{-(\frac{n}{m}+1)}}{\frac{n}{m}+1}\};$

其中参数γ₁，λ₁，γ₂，λ₂，η₂，η₃为任意的正实数；m和n为正奇整数，且满足m>n和(m+n)/2为正奇整数；

步骤(5)中二阶滑模系统(6)的控制参数的选择使得以下不等式成立：

${\mathrm{\&alpha;}}_1^{\&prime;}>\frac{{\mathrm{\&lambda;}}_4^{\frac{m}{n}+1}}{\frac{m}{n}+1},{\mathrm{\&beta;}}_1^{\&prime;}>\frac{{\mathrm{\&gamma;}}_4^{\frac{n}{m}+1}}{\frac{n}{m}+1},{\mathrm{\&alpha;}}_2^{\&prime;}>\frac{{\mathrm{\&gamma;}}_4^{-(\frac{m}{n}+1)}}{\frac{m}{n}+1},{\mathrm{\&beta;}}_2^{\&prime;}>0,\frac{1}{{\mathrm{\&tau;}}_4}>max\{\frac{{\mathrm{\&eta;}}_5^{(\frac{m}{n}+1)}}{\frac{m}{n}+1},\frac{{\mathrm{\&lambda;}}_4^{-(\frac{n}{m}+1)}}{\frac{n}{m}+1}\};$

其中参数γ₄，λ₄和η₅为任意的正实数；m和n为正奇整数，且满足m>n和(m+n)/2为正奇整数。

5.根据权利要求1所述的一种电力系统混沌振荡的固定时动态面高阶滑模抑制方法，其特征在于，还包括以下步骤：

(6)采用步骤(5)确定的三阶滑模系统(5)的控制参数和二阶滑模系统(6)的控制参数对电流源型静止同步补偿控制器实施控制，对电力系统进行无功补偿，抑制电力系统的混沌振荡。