CN105956297A - 一种冗余机器人运动灵活性能综合评价与优化方法 - Google Patents

Abstract

本发明一个具有冗余关节的铺丝机器人，采用旋量的理论建立其运动学雅可比矩阵，为了综合评价其灵活性能指标，将条件数、可操作度、最小奇异值三个指标进行变化后建模为三个目标函数，采用一种改进的多目标遗传算法并引入Pareto效率对它们进行优化。将优化后的Pareto第一前端最优解集进行数据分析，采用相关系数描述了指标间关系，发现对铺丝机器人进行性能优化时，必需要考虑指标间的相互关系，最后获得了综合性能最优的铺丝机器人工作空间区域。通过仿真结果证明了采用帕累托效率进行多目标函数的遗传算法优化和应用是可靠和高效的，为铺丝机器人的下一步试验研究奠定了基础，同时对于其他串联机器人的运动灵活性性能的分析和优化提供了良好的参考价值。

Description

一种冗余机器人运动灵活性能综合评价与优化方法

技术领域

本发明涉及冗余机器人优化方法领域，特别是涉及一种冗余机器人运动灵活性能综合评价与优化方法。

背景技术

对于一定构型的机器人，其灵活性的好坏会直接影响到具体操作任务能否完成，因此衡量机器人运动灵活性的指标在机器人的设计、评价和运动规划中起着重要的作用。各国学者为此展开了深入的研究并提出了许多机器人的灵活性指标，主要包括条件数、可操作度、最小奇异值，并将这些指标应用于机器人的构型综合和轨迹规划，取得了良好的效果。其中对于评价机器人灵活性在其工作空间上的整体状况，现有文献提出了反映机器人灵活性在其整个工作空间上评价状况的全域性能指标，则运用性能指标对不同构型的串联机器人进行了详细的性能指标分析，虽然采用数理统计的分析方法对机器人全域性能指标做了深入的研究。但是在面对一个具体的任务空间时，特别是具有冗余关节的串联机器人操作性能研究，考虑的不够，研究的对象以六自由度以下的机器人居多，运动灵活性指标的综合优化研究也较少。

发明内容

为了解决上述存在的问题，本发明提供一种冗余机器人运动灵活性能综合评价与优化方法，建立一组灵活性能指标对冗余机器人进行综合优化和数学分析，寻求各种运动灵活性能指标之间的相关性，为机器人灵活性能研究提供科学的参考依据提高更合理的优化方法，为达此目的，本发明提供一种冗余机器人运动灵活性能综合评价与优化方法，其特征在于：

1)机器人雅可比矩阵的建立；

利用运动旋量与POE公式[7]导出机器人雅可比矩阵的特征式(1)：

其中：

以上各式中表示相对惯性坐标系末端执行器的空间速度，为各个关节速度，称为机器人空间速度的雅可比矩阵，其中ξ_i'与经刚体变换的第i关节的运动旋量ξ_i相对应，表示将第i个关节坐标系由初始位形变换到机器人的当前位形；

根据单位运动旋量坐标的定义，与旋转关节对应的运动副旋量坐标为式(2)：

r′_i为当前位形下轴线上一点的位置矢量，ω′_i为当前位形下旋转关节轴线方向的单位矢量；

定义与移动关节对应的运动副旋量坐标为式(3)：

v′_i为当前位形下移动关节轴线方向的单位矢量；

针对七自由度冗余铺丝机器人模型，参考坐标系{S}取在第一个关节最左点处，建立的雅可比矩阵见式(4)：

2)基于雅可比矩阵的机器人运动学灵活性能指标；

根据矩阵理论定义如下几个经典的灵活性指标：

(1)条件数k：

条件数代表了雅可比转换矩阵向各个方向的变化均一性，其定义如下：

上式中，为矩阵的范数，通常取欧式范数，矩阵条件数的变换范围是1≤k≤∞，k越接近1，矩阵的性态越好，k越大，矩阵越趋于病态；

(2)可操作度W：

可操作度反映了运动灵活性中的速度“大小”的含义，Yoshikawa定义的可操作度指标为：

可以证明，W＝σ₁σ₂…σ_m。当机器人接近奇异位形时，雅可比矩阵的几个最小奇异值接近零，W→0，即W越大，机器人的灵活性越好；

(3)最小奇异值σ_min：

雅可比矩阵最小奇异值σ_min决定了实现给定末端速度所需关节速度上限，即 当机器人接近奇异位形，σ_min→0，对于给定的末端速度 因此在机器人控制时，要保证雅可比矩阵最小奇异值σ_min足够大；

3)多目标优化方法；

(1)多目标优化模型的建立；

多目标优化问题可以描述如下[8]；

其中，x＝[x₁,x₂,…,x_D]^T∈S，D为决策变量个数，S是D维决策空间；

一组目标函数f₁(x),f₂(x),…,f_M(x)将决策空间映射到目标空间，M为目标个数，Ω是M维目标空间；

4)多目标优化遗传算法；

其算法流程如下：

输入：N(种群规模)，MaxGen(最大遗传代数)；

输出：Nds(非支配集)；

(1)初始化：产生初始化的种群P₀，n＝0；

(2)遗传操作：使用2-竞标赛选择对P_n中的个体使用交叉和变异操作，产生的新的个体进入Q_n，其规模等于N；

(3)合并操作：将P_n和Q_n合并产生R_n；

(4)非劣分类操作：对具有2N规模的种群R_n进行非劣分类操作。将R_n中的所有非支配个体拷入非支配集Nds，如果Nds的规模超过N，计算个体的拥挤距离，选择拥挤距离大的个体优先进入P_n+1，直到规模等于N；如果其规模小于或者等于N，拷贝Nds中的个体进入P_n+1，规模不够N的部分，选择适应度高的支配个体进入P_n+1，直到其规模等于N；

(5)终止：如果n<MaxGen，n＝n+1，跳转到第2步，否则，将P_n+1中的非支配个体作为Nds输出。

本发明一种冗余机器人运动灵活性能综合评价与优化方法，本发明可针对一个具有冗余关节的铺丝机器人，采用旋量的理论建立其运动学雅可比矩阵，为了综合评价其灵活性能指标，将条件数、可操作度、最小奇异值三个指标进行变化后建模为三个目标函数，采用一种改进的多目标遗传算法并引入Pareto效率对它们进行优化。将优化后的Pareto第一前端最优解集进行数据分析，采用相关系数描述了指标间关系，发现对铺丝机器人进行性能优化时，必需要考虑指标间的相互关系，最后获得了综合性能最优的铺丝机器人工作空间区域。通过仿真结果证明了采用帕累托效率进行多目标函数的遗传算法优化和应用是可靠和高效的，为铺丝机器人的下一步试验研究奠定了基础，同时对于其他串联机器人的运动灵活性性能的分析和优化提供了良好的参考价值。

附图说明

图1为本发明算法流程图；

图2为本发明多性能指标均衡分析曲面示意图；

图3为本发明目标函数1和2的Pareto第一前端最优解分布图；

图4为本发明目标函数1和3的Pareto第一前端最优解分布图；

图5为本发明目标函数2和3的Pareto第一前端最优解分布图；

图6为本发明目标函数间的散点矩阵分布图；

图7为本发明目标函数间相关系数图；

图8为本发明综合性能最优的机器人工作空间区域示意图；

具体实施方式

下面结合附图与具体实施方式对本发明作进一步详细描述：

本发明提供一种冗余机器人运动灵活性能综合评价与优化方法，建立一组灵活性能指标对冗余机器人进行综合优化和数学分析，寻求各种运动灵活性能指标之间的相关性，为机器人灵活性能研究提供科学的参考依据提高更合理的优化方法。

作为本发明一种实施例，本发明提供一种冗余机器人运动灵活性能综合评价与优化方法：

1)机器人雅可比矩阵的建立；

利用运动旋量与POE公式[7]导出机器人雅可比矩阵的特征式(1)：

其中：

以上各式中表示相对惯性坐标系末端执行器的空间速度，为各个关节速度，称为机器人空间速度的雅可比矩阵，其中ξ_i'与经刚体变换的第i关节的运动旋量ξ_i相对应，表示将第i个关节坐标系由初始位形变换到机器人的当前位形；

根据单位运动旋量坐标的定义，与旋转关节对应的运动副旋量坐标为式(2)：

r′_i为当前位形下轴线上一点的位置矢量，ω′_i为当前位形下旋转关节轴线方向的单位矢量；

定义与移动关节对应的运动副旋量坐标为式(3)：

v′_i为当前位形下移动关节轴线方向的单位矢量；

针对七自由度冗余铺丝机器人模型，参考坐标系{S}取在第一个关节最左点处，建立的雅可比矩阵见式(4)：

2)基于雅可比矩阵的机器人运动学灵活性能指标；

机器人的雅克比矩阵实质上是机器人末端各运动分量与各关节运动的速度关系矩阵。为了定 量的描述机器人运动灵活性：

根据矩阵理论定义如下几个经典的灵活性指标：

(1)条件数k：

条件数代表了雅可比转换矩阵向各个方向的变化均一性，其定义如下：

上式中，为矩阵的范数，通常取欧式范数，矩阵条件数的变换范围是1≤k≤∞，k越接近1，矩阵的性态越好，k越大，矩阵越趋于病态；在设计机器人机构和对机器人进行控制时，要使雅可比矩阵尽量各向同性，即尽量“均匀”，就要控制雅可比矩阵的条件数尽量接近1。

(2)可操作度W：

可操作度反映了运动灵活性中的速度“大小”的含义，Yoshikawa定义的可操作度指标为：

可以证明，W＝σ₁σ₂…σ_m。当机器人接近奇异位形时，雅可比矩阵的几个最小奇异值接近零，W→0，即W越大，机器人的灵活性越好；

(3)最小奇异值σ_min：

雅可比矩阵最小奇异值σ_min决定了实现给定末端速度所需关节速度上限；

即当机器人接近奇异位形，σ_min→0，对于给定的末端速度 因此在机器人控制时，要保证雅可比矩阵最小奇异值σ_min足够大；

目前，采用综合几个灵活性指标对机器人运动灵活性进行性能评价较少，特别是综合评价机器人在其工作空间内不同点不同区域的灵活性能，这对机器人的运动控制和优化设计可以提供更好的参考准则。本申请尝试利用一种在机器人工作空间内建立能够同时综合考虑多个灵 活性能指标的优化模型，并寻找一种有效的求解方法，以获得具有较好综合灵活性能的工作区域。

3)多目标优化方法；

(1)多目标优化模型的建立；

多目标优化问题可以描述如下[8]；

其中，x＝[x₁,x₂,…,x_D]^T∈S，D为决策变量个数，S是D维决策空间；

一组目标函数f₁(x),f₂(x),…,f_M(x)将决策空间映射到目标空间，M为目标个数，Ω是M维目标空间；

4)多目标优化遗传算法；

其算法流程如图1所示包括如下步骤：

输入：N(种群规模)，MaxGen(最大遗传代数)；

输出：Nds(非支配集)；

(1)初始化：产生初始化的种群P₀，n＝0；

(2)遗传操作：使用2-竞标赛选择对P_n中的个体使用交叉和变异操作，产生的新的个体进入Q_n，其规模等于N；

(3)合并操作：将P_n和Q_n合并产生R_n；

(4)非劣分类操作：对具有2N规模的种群R_n进行非劣分类操作。将R_n中的所有非支配个体拷入非支配集Nds，如果Nds的规模超过N，计算个体的拥挤距离，选择拥挤距离大的个体优先进入P_n+1，直到规模等于N；如果其规模小于或者等于N，拷贝Nds中的个体进入P_n+1，规模不够N的部分，选择适应度高的支配个体进入P_n+1，直到其规模等于N；

(5)终止：如果n<MaxGen，n＝n+1，跳转到第2步，否则，将P_n+1中的非支配个体作为Nds输出。

本申请多指标优化仿真与分析；

1)建立适应度函数；

本文根据式(8)将最优化进行最小化问题求解，结合铺丝机器人的特点和几个常用的灵活性能指标，以条件数k、可操作度W、最小奇异值σ_min为基础建立分别反映机器人不同的灵活性能的适应度函数f₁(x)＝k、f₂(x)＝1/W、f₃(x)＝1/σ_min。

2目标函数的Pareto最优解分布；

将图1中的一种改进的多目标遗传算法对三个需优化的适应度函数f₁、f₂、f₃，进行Pareto第一前端最优解分布的查找。种群中个体适应度值的计算，可根据表示当前作业点位姿的个体的值进行运动学逆解计算得到对应此作业点的关节变量值。将关节变量值带入雅可比矩阵 进行计算，最后得到三个适应度函数的解集，通过三个适应度函数对种群中个体质量进行综合评价，从而进行遗传优化。

算法的参数设置如表1所示；

算法运行后得到400个Pareto第一前端最优解，每个解代表了包含三个性能指标的一组取值。将整个最优前端解集拟合成一个曲面，如图2所示，可以进行铺丝机器人三个灵活性能指标的均衡分析，通过曲面找到合适的解集。

同时，也可以得到指标1和2、指标1和3、指标2和3的Pareto第一前端最优解分布，如图3、4、5所示，从中可以看出,所得最优解集在Pareto前端分布均匀,具有良好的收敛性。

图6是目标函数之间表示相关性的散点矩阵，对角中的元素表示每个目标函数的概率密度图，对角以外的元素表示目标函数之间的相关性散点图，通过散点矩阵图可以直观地观察出不同指标之间的关系变化。

将相关性散点图的数据进行处理，可以得到它们之间的相关系数矩阵，如图7所示。从中我们发现指标1与指标2、3之间分别是高度的负相关和高度正相关，而指标2与指标3之间是显著负相关，这表明三个性能指标条件数、可操作度、最小奇异值之间是相互影响的，如果过度追求一个性能指标的最优会影响到其它指标的性能，这说明了多个性能指标参与机器人运动灵活性能优化的必要性。

优化机器人的目的是希望铺丝机器人在工作中发挥更好的灵活性，根据以上三个性能指标的均衡最优解集，我们可以得到铺丝机器人工作空间综合性能最优的操作区域，如图8所示，在这个区域中机器人对其工作对象芯模操作可以获得良好的性能。

以上所述，仅是本发明的较佳实施例而已，并非是对本发明作任何其他形式的限制，而依据本发明的技术实质所作的任何修改或等同变化，仍属于本发明所要求保护的范围。

Claims (1)

1.一种冗余机器人运动灵活性能综合评价与优化方法，其特征在于：

1)机器人雅可比矩阵的建立；

利用运动旋量与POE公式[7]导出机器人雅可比矩阵的特征式(1)：

$V_{ST}^S=J_{ST}^S\left(\mathrm{\&theta;}\right)\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}=\left(\begin{array}{cccc}{\mathrm{\&xi;}}_1^{\&prime;}& {\mathrm{\&xi;}}_2^{\&prime;}& ...& {\mathrm{\&xi;}}_n^{\&prime;}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_1\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_2\\ \begin{array}{c}.\\ .\\ .\end{array}\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_n\end{array}\right)---\left(1\right);$

其中：

以上各式中表示相对惯性坐标系末端执行器的空间速度，为各个关节速度，称为机器人空间速度的雅可比矩阵，其中ξ_i'与经刚体变换的第i关节的运动旋量ξ_i相对应，表示将第i个关节坐标系由初始位形变换到机器人的当前位形；

根据单位运动旋量坐标的定义，与旋转关节对应的运动副旋量坐标为式(2)：

${\mathrm{\&xi;}}_i^{\&prime;}=\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\&omega;}}_i^{\&prime;}\\ r_i^{\&prime;}\&times;{\mathrm{\&omega;}}_i^{\&prime;}\end{array}\right]---\left(2\right);$

r′_i为当前位形下轴线上一点的位置矢量，ω′_i为当前位形下旋转关节轴线方向的单位矢量；

定义与移动关节对应的运动副旋量坐标为式(3)：

${\mathrm{\&xi;}}_i^{\&prime;}=\left(\begin{array}{c}{0}_i\\ v_i^{\&prime;}\end{array}\right)---\left(3\right);$

v′_i为当前位形下移动关节轴线方向的单位矢量；

针对七自由度冗余铺丝机器人模型，参考坐标系{S}取在第一个关节最左点处，建立的雅可比矩阵见式(4)：

$\begin{array}{c}{J}_{ST}^S\left(\mathrm{\&theta;}\right)=\left(\begin{array}{ccccccc}{\mathrm{\&xi;}}_1^{\&prime;}& {\mathrm{\&xi;}}_2^{\&prime;}& {\mathrm{\&xi;}}_3^{\&prime;}& {\mathrm{\&xi;}}_4^{\&prime;}& {\mathrm{\&xi;}}_5^{\&prime;}& {\mathrm{\&xi;}}_6^{\&prime;}& {\mathrm{\&xi;}}_7^{\&prime;}\end{array}\right)\\ =\left[\begin{array}{ccccccc}0& {\mathrm{\&omega;}}_2^{\&prime;}& {\mathrm{\&omega;}}_3^{\&prime;}& {\mathrm{\&omega;}}_4^{\&prime;}& {\mathrm{\&omega;}}_5^{\&prime;}& {\mathrm{\&omega;}}_6^{\&prime;}& {\mathrm{\&omega;}}_7^{\&prime;}\\ v_1& r_2^{\&prime;}\&times;{\mathrm{\&omega;}}_2^{\&prime;}& r_3^{\&prime;}\&times;{\mathrm{\&omega;}}_3^{\&prime;}& r_4^{\&prime;}\&times;{\mathrm{\&omega;}}_4^{\&prime;}& r_5^{\&prime;}\&times;{\mathrm{\&omega;}}_5^{\&prime;}& r_6^{\&prime;}\&times;{\mathrm{\&omega;}}_6^{\&prime;}& r_7^{\&prime;}\&times;{\mathrm{\&omega;}}_7^{\&prime;}\end{array}\right]\end{array}---\left(4\right);$

2)基于雅可比矩阵的机器人运动学灵活性能指标；

根据矩阵理论定义如下几个经典的灵活性指标：

(1)条件数k：

条件数代表了雅可比转换矩阵向各个方向的变化均一性，其定义如下：

上式中，为矩阵的范数，通常取欧式范数，矩阵条件数的变换范围是1≤k≤∞，k越接近1，矩阵的性态越好，k越大，矩阵越趋于病态；

(2)可操作度W：

可操作度反映了运动灵活性中的速度“大小”的含义，Yoshikawa定义的可操作度指标为：

$W=\sqrt{\det \left(J_{ST}^S{J}_{ST}^{ST}\right)}---\left(7\right);$

可以证明，W＝σ₁σ₂…σ_m，当机器人接近奇异位形时，雅可比矩阵的几个最小奇异值接近零，W→0，即W越大，机器人的灵活性越好；

(3)最小奇异值σ_min：

雅可比矩阵最小奇异值σ_min决定了实现给定末端速度所需关节速度上限，

即当机器人接近奇异位形，σ_min→0，对于给定的末端速度 因此在机器人控制时，要保证雅可比矩阵最小奇异值σ_min足够大；

3)多目标优化方法；

(1)多目标优化模型的建立；

多目标优化问题可以描述如下[8]；

其中，x＝[x₁,x₂,…,x_D]^T∈S，D为决策变量个数，S是D维决策空间；

一组目标函数f₁(x),f₂(x),…,f_M(x)将决策空间映射到目标空间，M为目标个数，Ω是M维目标空间；

4)多目标优化遗传算法；

其算法流程如下：

输入：N(种群规模)，MaxGen(最大遗传代数)；

输出：Nds(非支配集)；

(1)初始化：产生初始化的种群P₀，n＝0；

(2)遗传操作：使用2-竞标赛选择对P_n中的个体使用交叉和变异操作，产生的新的个体进入Q_n，其规模等于N；

(3)合并操作：将P_n和Q_n合并产生R_n；

(4)非劣分类操作：对具有2N规模的种群R_n进行非劣分类操作，将R_n中的所有非支配个体拷入非支配集Nds，如果Nds的规模超过N，计算个体的拥挤距离，选择拥挤距离大的个体优先进入P_n+1，直到规模等于N；如果其规模小于或者等于N，拷贝Nds中的个体进入P_n+1，规模不够N的部分，选择适应度高的支配个体进入P_n+1，直到其规模等于N；

(5)终止：如果n<MaxGen，n＝n+1，跳转到第2步，否则，将P_n+1中的非支配个体作为Nds输出。